1.1. Metoda kyvů. Tato metoda spočívá v tom, že na obvod kola do vzdálenosti l od osy

Transkript

1 MěřENÍ MOMENTU SETRVAčNOSTI KOLA TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ 1. Teorie Moment setrvačnosti kola lze měřit dvěma metodami Metoda kyvů. Tato metoda spočívá v tom, že na obvod kola do vzdálenosti l od osy otáčení umístíme závaží o hmotnosti m. Při vychýlení z rovnovážné polohy začne systém konat kmitavý pohyb s periodou T. Pak z pohybové rovnice pro tento pohyb a dle studijního textu [1] plyne pro moment setrvačnosti kola: (i) I = ml( gt 2 4π 2 l) Aby bylo možno tento vztah použít, je třeba se omezit na malé výchylky Metoda otáčení. Kolo je opazřeno souosými válci o různých poloměrech r, na které je možno navinout lanko a pak na něho zavěsit závaží o hmotnosti m, čímž lze roztáčet kolo se stálým úhlovým zrychlením ε. Pak lze Moment setrvačnosti I spočíst jako: (ii) I = mr 2 ( g rε 1) Použitím tohoto vztahu ovšem zanedbáváme tření. Označíme-li moment třecích sil M T dostaneme pro moment setrvačnosti kola I k vztah: (iii) I k = mr ( g rε 1) 1 ε M T Moment třecích sil určíme lineární regresí zmeřením I nekorigovaného momentu strvačnosti pro různé poloměry válců na které je navíjen provázek, pro který platí: (iv) I = mr 2 ( g rε 1) = I k + 1 ε M T 2. Měření 2.1. Metoda kyvů. Na kolo bylo umístěno závaží do vzdálenosti l (meřena vzdálenost těžíště od osy) a hmotnosti m: l = (23, 7 ± 0, 5)cm m = (148, 4050 ± 0, 0001)g Na stopkách byl změřen čas vždy 10 period (výsledky v tabulce 1, zde již čas příslušný jedné periodě). Průměrná perioda (chyba byla vypočtena jako směrodatná odchylka): T = (2, 44 ± 0, 02)s 1

2 2 TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ Tabulka 1. Měření T T [s] 2,428 2,442 2,468 2,421 2,431 2,466 2,439 2,445 2,439 2,420 Z naměřených hodnot dle vztahu (i) určíme velikost momentu setrvačnosti kola: I kyvu = (0, 052 ± 0, 001)kgm Metoda otáčení. Parametry válců určených k navíjení nitek byly měřeny šuplerou. Chybu odhaduji na 0,2 mm, nebot jsou kladky na okrajích vystouplé a šuplera neměla tak velký rozsah, aby bylo možno změřit jen vnitřní průměr. D 60 = (5, 97 ± 0, 02)cm D 100 = (9, 95 ± 0, 02)cm D 140 = (13, 97 ± 0, 02)cm D 180 = (17, 98 ± 0, 02)cm Hmotnosti závaží: m 10 = (9, 9661 ± 0, 0001)g m 15 = (14, 9421 ± 0, 0001)g m 20 = (19, 8903 ± 0, 0001)g m 30 = (29, 9039 ± 0, 0001)g m 50 = (49, 7903 ± 0, 0001)g Byla naměřena závislost úhlové rychlosti na čase ω(t) pro všechny kombinace závažíválec. Grafy závislosti ω(t) vytvořené programem kolo a gnuplot i s fitovanými lineárními závislostmi naleznete jako obrázky 1-4. Některá měření byla ovšm zatížena příliš velkou chybou, proto nebyla dále zpracována. Směrnice fitovaných přímek naleznete pro jednotlivé kombinace i s chybou v tabulce 2. Tabulka 2. Směrnice fitovaných závislostí kladky D 60 D 100 D 140 D 180 závaží m ± 0, 001 m ± 0, ± 0, 001 m ± 0, ± 0, ± 0, 002 m ± 0, ± 0, ± 0, ± 0, 003 m ± 0, ± 0, ± 0, ± 0, 005 Tyto směrnice jsou vlastně úhlové zrychlení ε [ms 1 ]. Pro každé z vypočtených zrychlení určíme nyní honotu I. Tyto hodnoty jsou vypsány v tabulce 3 (chyby byly určeny jako chyba nepřímo měřené veličiny) a znázorněny v grafu 5 i s fitovanou lineární závislostí I ( 1 ε ) s parametry I k a M T dle (iv) Fitováním lineární funkce byly nalezeny hodnoty: I k = ( ± 0, 0009)kgm 2 M T = ( ± 0, 0002)kgm 2

3 MěřENÍ MOMENTU SETRVAčNOSTI KOLA 3 Obrázek 1. Graf závislosti ω(t) pro kladku D Diskuse Momenty setrvačnosi se změřené oběma metodami se neshodují ani v rámci chyby. Přesnější ovšem bude metoda otáčení, nebot v první metodě bylo zanedbáno tření. první metodě je též možná systematická chyba, nebot jak je vidět z grafů ω(t), na jednom místě kolo drhne více než na jiných, neotáčí se rovnoměrně (kolo se za dobu měření ω otočilo přibližně třikrát a na grafech pro malé kladky a malá závaží jsou vidět tři nelineární části grafu, proto také nebyly zařazeny do dalšího zpracovávání.) Pokud by toto místo bylo zrovna kolem umístění závaží v metodě kyvu, způsobilo by to vělkou systematickou chybu. V metodě kyvu vnáší největší chybu do měření měření l, nebot závaží má nepravidelný tvar a není možno tak přesně určit polohu jeho těžiště, jehož vzdálenost od osy by se měla měřit. U měření momentu setrvačnosti metodou otáčení vnáší největší nepřesnost měření poloměru válců, nebot se ve výpočtu vyskytují v druhé mocnině. 4. Závěr Metodou kyvu byl změřen moment setrvačnosti kola: I kyvu = (0, 052 ± 0, 001)kgm 2

4 4 TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ Obrázek 2. Graf závislosti ω(t) pro kladku D 100 Metodou otáčení byl změřen moment setrvačnosti kola a moment třecích sil: I k = ( ± 0, 0009)kgm 2 M T = ( ± 0, 0002)kgm 2 5. Literatura (I) Studijní text k Praktiku pdf

5 MěřENÍ MOMENTU SETRVAčNOSTI KOLA 5 Obrázek 3. Graf závislosti ω(t) pro kladku D 140 Tabulka 3. Moment setrvačnosti nekorigovaný 1 m r ε chyba ε ε chyba 1 ε I chyba I g cm rads 2 rads 2 rad 1 s 2 rad 1 s 2 kgm 2 kgm 2 29,9039 2,99 0,1739 0,0009 5,75 0,03 0,050 0,002 49,7903 2,99 0,3140 0,0010 3,18 0,01 0,046 0,002 19,8903 4,98 0,1990 0,0010 5,03 0,03 0,049 0,001 29,9039 4,98 0,3130 0,0010 3,19 0,01 0,047 0,001 49,7903 4,98 0,5410 0,0020 1,85 0,01 0,045 0,001 14,9421 6,99 0,2007 0,0009 4,98 0,02 0,051 0,001 19,8903 6,99 0,2880 0,0010 3,47 0,01 0,047 0,001 29,9039 6,99 0,4430 0,0020 2,26 0,01 0,046 0,001 49,7903 6,99 0,7500 0,0030 1,33 0,01 0,045 0,001 9,9661 8,99 0,1690 0,0010 5,92 0,04 0,052 0,001 14,9421 8,99 0,2750 0,0010 3,64 0,01 0,048 0,001 19,8903 8,99 0,3710 0,0020 2,7 0,01 0,047 0,001 29,9039 8,99 0,5280 0,0030 1,89 0,01 0,050 0,001 49,7903 8,99 0,9920 0,0050 1,01 0,01 0,044 0,001

6 6 TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ Obrázek 4. Graf závislosti ω(t) pro kladku D 180

7 MěřENÍ MOMENTU SETRVAčNOSTI KOLA 7 Obrázek 5. Graf závislosti I ( 1 ε )