Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy

Transkript

1 Oceňování finančních derivátů ve spojitém čase Václav Kozmík Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy

2 Úvod Stochastický kalkulus Wienerův proces stochastické procesy Itoovo lemma změna míry - Radon-Nikodýmova derivace Cameron-Martin-Girsanov věta o reprezentaci martingalů Konstrukce portfolia střední hodnota vs. arbitráž samofinancující portfolio replikace finančního derivátu Black-Scholesův model 2 z 31

3 Wienerův proces Definice Řekneme, že náhodný proces W t, t 0 je Wienerův podle míry P, jestliže platí: 1. W 0 = 0 a W t je spojitý 2. W t N (0, t) podle P 3. Přírůstky W s+t W s N (0, t) podle P a jsou nezávislé na historii procesu F s do času s není s.j. diferencovatelný v žádném bodě je libovolně škálovatelný s.j. dosáhne jakékoliv reálné hodnoty 3 z 31

4 Wienerův proces 4 z 31

5 Geometrický Brownův pohyb Brownův pohyb s driftem X t = σw t + µt geometrický Brownův pohyb s driftem X t = exp {σw t + µt} základní model ceny akcie S t = S 0 exp {σw t + µt} logaritmicko-normální rozdělení ceny v čase t střední hodnota závisí na ceně v čase 0 a driftu 5 z 31

6 Geometrický Brownův pohyb 6 z 31

7 Stochastický proces Definice Stochastický proces X t, t 0 je spojitý proces, pro který platí: t t X t = X 0 + σ s dw s + µ s ds, 0 0 kde σ t a µ t jsou F t -adaptované procesy, tak že s.j. platí: t Diferenciální tvar lze zapsat jako: 0 σ 2 s + µ s ds < dx t = σ t dw t + µ t dt 7 z 31

8 Jednoznačnost volatility a driftu Pokud se dva procesy X t a X t shodují v čase 0, tj. X 0 = X 0, a mají identickou volatilitu σ t a drift µ t, pak jsou si rovny, tj. X t = X t t. K danému procesu X t existuje pouze jedna dvojice volatility σ t a driftu µ t tak, že platí t: t t X t = X 0 + σ s dw s + µ s ds. 0 0 Jednoznačnost σ t a µ t plyne z Doob-Meyerova rozkladu semimartingalů. 8 z 31

9 Itoovo lemma Lemma Necht X t je stochastický proces ve tvaru dx t = σ t dw t + µ t dt a f je deterministická dvakrát diferencovatelná funkce. Potom Y t = f (X t ) je také stochastický proces a platí: dy t = ( ) σ t f (X t ) dw t + ( µ t f (X t ) + 1 ) 2 σ2 t f (X t ) dt Příklad dx t = σ t dw t + µ t dt Y t = exp {X t } dy t = σ t Y t dw t + ( µ t Y t σ2 t Y t ) dt 9 z 31

10 Oceňování finančních derivátů forward na koupi jedné akcie střední hodnota budoucí ceny cena akcie X t, 0 t T sleduje geometrický Brownův pohyb s počáteční cenou S 0 cena v čase T má pak logaritmicko-normální rozdělení střední hodnota je E [X T ] = S 0 exp {µt } arbitráž = postup, který vede k bezrizikovému kladnému výnosu úroková míra r na období délky T, spojité úročení v čase 0 si půjčím S 0 a koupím akcii, v čase T splatím S 0 exp {rt } a dostanu cenu forwardu můžeme aplikovat i opačný postup cena forwardu tedy musí být S 0 exp {rt } oceňování pomocí střední hodnoty je špatně 10 z 31

11 Konstrukce portfolia předpokládáme trh s jednou akcíı a bezrizikovým dluhopisem portfolio je dvojice procesů φ t a ψ t, které udávají počet kusů akcie a dluhopisu, které držíme v čase t povolujeme neomezené prodeje nakrátko, hodnoty procesů jsou kladné i záporné proces φ t by měl záviset pouze na historii do času t, F t -previsible předpokládejme cenu akcie S t a dluhopisu B t hodnota portfolia v čase t V t = φ t S t + ψ t B t 11 z 31

12 Samofinancující portfolio Definice Portfolio (φ t, ψ t ) s cenou akcie S t a dluhopisu B t je samofinancující, pokud platí: dv t = φ t ds t + ψ t db t Příklad ψ t = 1, φ t = 1 t S t = W t, B t = 1, t Potom ověříme podmínku: ds t = dw t, db t = 0 V t = W t + 1 dv t = dw t = φ t ds t + ψ t db t 12 z 31

13 Replikace derivátu Definice Předpokládejme, že na trhu je k dispozici bezrizikový dluhopis B t a riziková akcie S t s volatilitou σ t a derivát X T, který závisí na událostech do času T. Replikační strategíı pro X T je samofinancující portfolio (φ t, ψ t ) takové, že platí: 1. T 0 σ2 t φ 2 t dt < 2. V T = φ T S T + ψ T B T = X T pokud máme k danému derivátu replikační strategii, pak obdobnými argumenty pro arbitráž můžeme odvodit, že pro cenu derivátu v čase t platí: 13 z 31 X t = V t

14 Black - Scholesův model Předpokládejme existenci konstantní bezrizikové úrokové míry r, volatility akcie σ a driftu akcie µ. Dále předpokládáme nulové transakční náklady a možnost obchodovat v libovolném čase libovolné množství v dlouhé i v krátké pozici za stanovenou cenu. B t = exp {rt} S t = S 0 exp {σw t + µt} Pro zjednodušení úvodního řešení budeme navíc předpokládat r = z 31

15 Nalezení replikační strategie 1. Najít míru Q, podle které je S t martingal, 2. Zavést proces E t = E Q [X T F t ], 3. Najít previsible proces φ t takový, že de t = φ t ds t. rovnice pro cenu akcie: S t = exp {σw t + µt} = exp {Y t } pro určení diferenciálu použijeme Itoovu formuli dy t = σdw t + µdt ds t = σs t dw t + (µ + 12 ) σ2 S t dt 15 z 31

16 Změna míry Definice Necht jsou míry P a Q definovány na stejném měřitelném prostoru (Ω, A). Míra Q je absolutně spojitá vzhledem k P, pokud A A platí: P(A) = 0 Q(A) = 0. Míry Q a P nazýváme ekvivalentní, pokud A A platí: P(A) > 0 Q(A) > z 31

17 Radon - Nikodýmova věta Věta Necht jsou míry P a Q definovány na stejném měřitelném prostoru (Ω, A), míra Q je σ-konečná a absolutně spojitá vzhledem k σ-konečné míře P. Pak existuje měřitelná konečná funkce f tak, že A A platí: Q(A) = f dp. Funkci f říkáme Radon - Nikodýmova derivace a značíme ji dq dp. A 17 z 31

18 Změna míry Necht X t, 0 t [ T je proces adaptovaný vzhledem k historii F t. Označme ζ t = E dq P dp F ] t pro Radon-Nikodýmovu derivaci dq dp v čase T. Pak platí: [ ] dq E Q [X T ] = E P dp X T E Q [X t F s ] = 1 ζ s E P [ζ t X t F s ], s t T 18 z 31

19 Cameron - Martin - Girsanov Věta Necht W t je Brownův pohyb vzhledem k míře P a γ t je F t -adaptovaný { proces, který splňuje podmínku E P exp 1 } T 2 0 γ2 t dt <. Pak existuje míra Q taková, že platí: 1. Q je ekvivalentní s P { dq 2. dp = exp T 0 γ tdw t 1 } T 2 0 γ2 t dt 3. Ŵ t = W t + t 0 γ sds je Brownův pohyb vzhledem k míře Q. Důsledek W t je Brownův pohyb vzhledem k míře Q s driftem γ t v čase t. 19 z 31

20 Cameron - Martin - Girsanov Platí i opačné tvrzení: Věta Necht W t je Brownův pohyb vzhledem k míře P a míra Q je ekvivalentní s P. Pak existuje F t -previsible proces γ t tak, že proces t W t = W t + γ s ds 0 je Brownův pohyb vzhledem k míře Q. 20 z 31

21 Martingaly Definice Náhodný proces M t je martingal vzhledem k míře P, pokud splňuje následující: 1. E P [ M t ] < t 2. E P [M t F s ] = M s s t Lemma Necht X t je stochastický [ proces ve tvaru dx t = σ t dw t + µ t dt, který ( ) 1 ] T splňuje podmínku E 0 σ2 2 s ds <. Pak platí: X t je martingal X je bez driftu (µ t 0). 21 z 31

22 Věta o reprezentaci martingalů Věta Necht M t je martingal vzhledem k míře Q, jehož volatilita σ t je s.j. nenulová. Pokud N t je libovolný martingal vzhledem k míře Q, pak existuje F t -previsible proces φ t tak, že s.j. platí T 0 φ2 t σt 2 dt < a N t lze psát jako: t N t = N 0 + φ s dm s. 0 Proces φ t je navíc určen jednoznačně. Poznámka Přírůstky dvou martingalů vzhledem k Q se liší pouze ve volatilitách, proces φ t reprezentuje jejich poměr. 22 z 31

23 Replikace derivátu diferenciální rovnice pro vývoj ceny akcie ds t = σs t dw t + (µ + 12 ) σ2 S t dt zavedeme proces γ t a W t γ t = µ σ2 σ W t = W t + γt podle věty C-M-G existuje míra Q tak, že W t je vůči ní Brownův pohyb ds t = σs t d W t 23 z 31

24 Replikace derivátu S t je martingal vůči míře Q, není zde žádný drift ds t = σs t d W t z derivátu X T vytvoříme proces: E t = E Q [X T F t ] E t i S t jsou martingaly podle míry Q, a tak podle věty o reprezentaci martingalů existuje previsible proces φ t tak, že platí: t E t = E Q [X T F t ] = E Q [X T ] + φ s ds s 0 24 z 31

25 Replikační strategie naše strategie bude: 1. držet φ t jednotek akcie v čase t 2. držet ψ t = E t φ t S t jednotek dluhopisu v čase t hodnota portfolia (B t = 1) V t = φ t S t + ψ t B t = E t portfolio je samofinancující (db t = 0) dv t = de t = φ t ds t = φ t ds t + ψ t db t nalezli jsme replikační strategii, protože platí:v T = E T = X T cena derivátu je střední hodnota podle míry Q řešení rovnice pro cenu akcie je { S t = exp σ W t 1 } 2 σ2 t 25 z 31

26 Rozšíření o úrokovou sazbu převedeme na předchozí případ diskontováním diskontovací proces diskontovaná akcie diskontovaný derivát B 1 t = exp { rt} Z t = Bt 1 S t B 1 T X T zbytek postupu je analogický, použije se stejné odvození s diskontovanými verzemi procesů 26 z 31

27 Call opce ocenění opce se strike k X T = max {0, S T k} V 0 = exp { rt } E Q [X T ] stačí najít marginální rozdělení S T podle míry Q d (log S t ) = σd W t + (r 12 ) σ2 dt převedení na normální rozdělení ( Z N 1 ) 2 σ2 T, σ 2 T S T = S 0 exp {Z + rt } technickou manipulací lze odvodit známý vzorec 27 z 31

28 Určení obchodovací strategie Věta Pokud se cena derivátu X T rovná f (S T ) pro nějakou funkci f, pak je cena derivátu v čase t rovna V t = V (S t, t), kde: V (s, t) = exp { r (T t)} E Q [f (S T ) S t = s]. Obchodovací strategie je dána vzorcem: φ t = V s (S t, t). Poznámka Podle věty o reprezentaci martingalů je φ t lokálně poměrem volatilit příslušných procesů, v tomto případě změny ceny opce a změny ceny akcie. 28 z 31

29 Určení obchodovací strategie Důkaz. pro cenu akcie platí: ds t = σs t d W t + rs t dt použitím Itoovy formule: dv t = dv (S t, t) = samofinancující portfolio: ( ) V σs t d W t + (...) dt s dv t = φ t ds t + ψ t db t opět použitím Itoovy formule: dv t = (φ t σs t ) d W t + (...) dt 29 z 31

30 Literatura Baxter, M. and Rennie A. (1996): Financial calculus: An Introduction to derivative pricing, Cambridge University Press, ISBN z 31

31 Závěr Děkuji za pozornost! Václav Kozmík 31 z 31