1 Vedení tepla stacionární úloha

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Vedení tepla stacionární úloha"

Transkript

1 1 VEDENÍ TEPLA STACIONÁRNÍ ÚLOHA 1 1 Vedení tepla stacionární úloha Typický představitel transportních jevů Obdobným způsobem možno řešit například Fyzikální jev Neznámá Difuze koncentrace [3] Deformace membrány průhyb Kroucení masivních prutů deplanační funkce Elektrostatika elektrostatický potenciál Transport vlhkosti hmotnostní/relativní vlhkost [3] Proudění nasyceným prostředím hydraulická výška Cílem je určit rozložení skalární veličiny teploty T [K] v závislosti na souřadnicích x = {x, y, z} T

2 2 GRADIENT TEPLOTY 2 Základní kroky formulace řídicích rovnic obdobné jako u pružnosti 2 Gradient teploty Pro vedení tepla nejsou rozhodující absolutní hodnoty teploty T, ale její rozdíly (teplotní spád) Lokální změny teploty jsou popsány pomocí změn ve směru jednotlivých souřadných os T (x, y, z), x T (x, y, z), y T (x, y, z) ; z L. Botzmann J. B. J. Fourier I. Newton K. Rektorys J. Stefan

3 3 BILANCE ENERGIE 3 tedy teplotního gradientu T T (x) x T (x) T (x) = y T (x) z = x y z T (x). 3 Bilance energie Hustota tepelného toku q [Wm 2 ] je definována vztahem q = Q n. (1) t A Udává tedy množství tepla Q [J], které projde za čas t [s] plochou A [m 2 ] orientovanou normálou n. Protože uvažujeme ustálený stav, nezávisí hodnota tepelného hustoty tepelného toku na čase ( t = 1 s)

4 3 BILANCE ENERGIE Jednorozměrné vedení tepla Vyjdeme z analýzy jednorozměrného intervalu vtok {}}{ q x (x)a + zdroj {}}{ Q(x) xa = výtok {}}{ q x (x + x)a, kde Q vyjadřuje intenzitu vnitřního zdroje [Jm 3 s 1 ]. Vydělením předchozího výrazu objemem xa dostáváme q x(x + x) q x (x) x + Q(x) = 0,

5 3 BILANCE ENERGIE 5 po limitním přechodu dq x dx (x) + Q(x) = Trojrozměrné vedení tepla Obdobně jako u statických rovnic pružnosti vyjdeme z analýzy elementárního kvádru

6 3 BILANCE ENERGIE 6 Bilance energie q x (x + x) y z + q x (x) y z ( x) q y (x + y) x z + q y (x) x z ( y) q z (x + z) x y q z (x) x y ( z) +Q x y z = 0. Vydělením předchozího výrazu objemem x y z dostáváme q x(x + x) x q y(x + y) y q z(x + z) z + Q(x) = 0 Limitní přechod x 0, y 0 a z 0 vede na bilanční podmínku q x(x) x q y(x) y q z(x) z + Q(x) = 0

7 3 BILANCE ENERGIE 7 Kompaktní zápis { x y z } q x (x) q y (x) q z (x) + Q(x) = 0 T q(x) + Q(x) = 0 (2) 3.3 Okrajové podmínky Podstatné (stabilní, hlavní) okrajové podmínky Předepsaná hodnota teploty: x Γ T : T (x) T (x) = 0

8 3 BILANCE ENERGIE Přirozené (nestabilní, vedlejší) okrajové podmínky Předepsaná hodnota hustoty tepelného toku ve směru normály k hranici: x Γ q : { } q x (x) n x (x) n y (x) n z (x) q y (x) q(x) = 0 q z (x) n(x) T q(x) q(x) = 0 Přestup tepla (x Γ qc )

9 3 BILANCE ENERGIE 9 Při obtékání tělesa tekutinou vzniká v okolí hranice tělesa tzv. mezní vstva, v které dochází k laminárnímu proudění v mezní vrstvě se teplot šíří vedením. Množství tepla je pak vyjádreno Newtonovým vztahem q(x) = α(x) (T (x) T o (x)), kde α [Jm 2 K 1 s 1 ] je součinitel přestupu tepla a a T o je teplota v mezní vrstvě. Radiační podmínka (x Γ qr ) Tepelný tok je dán výrazem q(x) = ε(x)σ(x) ( T 4 (x) T 4 ), kde ε [-] označuje pohltivost daného povrchu vůči dokonale černému a Součinitel přestupu tepla α se v normálních podmínkách pohybuje v rozmezí cca Jm 2 K 1 s 1. Jeho velikost však silně závisí na teplotě; např. pro teploty 60 C se zvyšuje na α 50 Jm 2 K 1 s 1.

10 4 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 10 tělesu, 0 < ε < 1, σ je Stefan-Boltzmannova konstanta; σ = 5, Wm 2 K 4 a T je teplota zářiče (např. oblohy). V odvození slabého řešení budeme uvažovat následující rozdělení části hranice s předepsanou hodnotou tepelného toku Γ q = Γ q Γ qc Γ qr 4 Konstitutivní rovnice Fourierův zákon vedení tepla q x (x) λ xx (x) λ xy (x) λ xz (x) q y (x) = λ yx (x) λ yy (x) λ yz (x) q z (x) λ zx (x) λ zy (x) λ zz (x) x T (x) y T (x) z T (x) q(x) = λ(x) T (x),

11 5 SLABÉ ŘEŠENÍ 11 kde λ ij označují součinitel tepelné vodivosti v příslušných směrech [Wm 1 K 1 ]. V případě izotropního materiálu q(x) = λ(x) T (x). 5 Slabé řešení Opět vyjdeme z bilanční rovnice (2), kterou přenásobíme váhovou funkcí δt, δt = 0 na Γ T. δt (x) ( ) T q(x) + Q(x) dx = 0

12 5 SLABÉ ŘEŠENÍ 12 Aplikací Gaussovy věty dostáváme 0 = δt (x)n(x) T q(x) dx Γ δt (x)q(x) dx = Γ q δt (x) Γ T q {}}{ n(x) T q(x) dx εσ(t 4 T 4 {}}{ ) δt (x) n(x) T q(x) dx + Γ qr δt (x)q(x) dx ( δt (x)) T q(x) dx 0 {}}{ δt (x) n(x) T q(x) dx Γ qc δt (x) ( δt (x)) T α(t T o ) {}}{ n(x) T q(x) dx λ T {}}{ q(x) dx

13 6 GALERKINOVSKÁ APROXIMACE 13 Slabé řešení T (x) vyplývá z identity ( δt (x)) T λ(x) T (x) dx + δt (x)α(x)t (x) dx Γ qc + δt (x)ε(x)σ(x)t 4 (x) dx = δt (x)q(x) dx Γ qr Γ q + δt (x)α(x)t o (x) dx + δt (x)ε(x)t (x) 4 dx Γ qc Γ qr + δt (x)q(x) dx (3) pro všechna δt = 0 K na Γ T. Tato podmínka je též nazývána principem virtuálních teplot. 6 Galerkinovská aproximace Člen na Γ qr je nelineární vzhledem k neznámé teplotě T výsledkem diskretizace je nelineární soustava rovnic

14 6 GALERKINOVSKÁ APROXIMACE 14 V dalším odvození budeme předpokládat, že se v daném problému nedochází k výměně tepla radiací (Γ qr = ) Aproximace neznámých T a jejich derivací T T (x) N(x)r, T (x) N(x)r = B(x)r. Aproximace váhových funkcí a jejich derivací δt (x) N(x)δr, δt (x) N(x)δr = B(x)δr. Po dosazení aproximací do slabého řešení (3) dostáváme ( ) T B(x)δr λ(x)b(x)r dx + (N(x)δr) T α(x)n(x)r dx = Γ qc (N(x)δr) T q(x) dx + (N(x)δr) T α(x)t o (x) dx Γ q Γ qc + (N(x)δr) T Q(x) dx

15 6 GALERKINOVSKÁ APROXIMACE 15 Výsledná soustava rovnic kde K = K r = R = R q + R qc + R Q, B(x) T λ(x)b(x) dx + Γ qc N(x) T α(x)n(x) dx je matice vodivosti tělesa a R q = N(x) T q(x) dx Γ q R qc = N(x) T α(x)t o (x) dx Γ qc R Q = N(x) T Q(x) dx Při aproximaci metodou konečných prvků se opět tyto matice a vektory určí lokalizací příspěvků jednotlivých prvků.

16 7 NESTACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA 16 7 Nestacionární vedení tepla Teplota T je nyní funkcí jak prostorových, tak časové souřadnice T = T (x, y, z, t) = T (x, t) Teplotní spád opět popsán pomocí gradientu teploty vzhledem k prostorovým souřadnicím x T (x, t) = T (x, t) y z Konstitutivní rovnice opět předpokládáme pro jednoduchost ve tvaru q(x, t) = λ(x) T (x, t)

17 7 NESTACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA Bilanční rovnice Opět vyjdeme z bilance energie na časoprostorovém kvádru x y z t. Množství tepla, které projde za časový interval t plochou A (viz (1)) Q = n T q t A Do bilance ještě nutno zahrnout člen, vyjadřující změnu vnitřní energie vlivem časově proměnné teploty: mc v T, kde m [kg] je hmotnost elementárního kvádru a c v [Jkg 1 K 1 ] je měrná tepelná kapacita materiálu za konstantního objemu.

18 7 NESTACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA 18 Bilanční rovnice q x (x + x) y z t + q x (x) y z t ( x) q y (x + y) x z t + q y (x) x z t ( y) q z (x + z) x y t + q z (x) x y t ( z) m(x)c v (x) T (x) + Q(x) x y z t = 0 Vydělením předchozího výrazu objemem časoprostorového kvádru x y z t q x(x + x) x q y(x + y) q z(x + z) y z m x y z c T (x) v(x) + Q(x) t = 0 Limitní přechod: x 0, y 0, z 0 a t 0 q x(x, t) x q y(x, t) y q z(x, t) z T (x, t) ρ(x)c v (x) t + Q(x, t) = 0

19 8 OKRAJOVÉ A POČÁTEČNÍ PODMÍNKY 19 Kompaktní zápis T T (x, t) q(x) + Q(x, t) = ρ(x)c v (x) t (4) 8 Okrajové a počáteční podmínky Okrajové podmínky obdobné jako ve stacionárním případě. Pro t (0, t Stabilní: x Γ T (t) : T (x, t) T (x, t) = 0 Nestabilní: x Γ q (t) : n(x) T q(x, t) q(x, t) = 0 Úlohu nutno doplnit ještě počátečními podmínkami: t = 0 T (x, 0) = T 0 (x)

20 9 POROVNÁNÍ ROVNIC PRUŽNOSTI A VEDENÍ TEPLA 20 9 Porovnání rovnic pružnosti a vedení tepla Pružnost Neznámé u T Geometrické rovnice ε = T u T Vedení tepla Statické rovnice σ + X = 0 T q + Q = 0 Konstitutivní rovnice σ = D T u q = λ T Kinematické okrajové podmínky u u = 0 T T = 0 Statické okrajové podmínky n σ t = 0 n T q q = 0 Dynamická podmínka rovnováhy 10 Slabé řešení σ + X = ρ 2 u t 2 Základní přístupy k formulaci slabého řešení na celé časoprostorové oblasti 0, t, T q + Q = ρc T t

21 10 SLABÉ ŘEŠENÍ 21 proměnná T (x, t)/ t při formulaci slabého řešení formálně uvažována jako nezávislá na T (x, t) (viz přednáška č. 7). Tato metoda se též nazývá Galerkinova metoda. pomocí tzv. metody časové diskretizace nebo Rothe-Rektorysova metoda [2]. metoda konečných objemů předpokládá konstantní průběh pole teploty po jednotlivých prvcích (objemech), přímá aplikace transportních rovnic (výpočet toků) zákony zachování stavové (konstitutivní) rovnice, viz např. [1, Kapitola 2.1] pro podrobnější diskusi Metoda časové diskretizace Řešený časový interval 0, t (ekvidistantně) rozdělíme na n intervalů délky t.

22 10 SLABÉ ŘEŠENÍ 22 V i-tém době dělení intervalu označíme řešení T jako T i (x) = T (x, t i ) i = 0,..., n Hodnotu řešení T v obecném čase t aproximujeme jako ( T (x, t) 1 t t ) i 1 T i (x) + t t i 1 T i+1 (x) t t = (1 τ)t i (x) + τt i+1 (x), obdobným způsobem aproximujeme časové průběhy funkcí q a Q.

23 10 SLABÉ ŘEŠENÍ 23 Aproximace časové derivace T (x, t) t 1 t ( T i+1 (x) T i (x) ) Vzhledem ke zvolené časové diskretizaci lze psát rovnici (4) ve tvaru 0 = T ( (1 τ)q i (x) + τq i+1 (x) ) + ρ(x)c v (x) 1 t ( T i+1 (x) T i (x) ) (1 τ)q i (x) τq i+1 (x) Známe-li hodnotu řešení v i-tém časovém okamžiku t i, hodnota v čase t i+1 plyne z podmínky τ T q i+1 (x) + 1 t ρ(x)c v(x)t i+1 (x) = (τ 1) T q i (x) + 1 t ρ(x)c v(x)t i (x) + (1 τ)q i (x) + τq i+1 (x)

24 10 SLABÉ ŘEŠENÍ 24 Slabé řešení v čase t i+1 plyne z podmínky τ δt (x) T q i+1 (x) dx + 1 δt (x)ρ(x)c v (x)t i+1 (x) dx = t (τ 1) δt (x) T q i (x) dx + 1 δt (x)ρ(x)c v (x)t t i (x) dx + (1 τ) δt (x)q i (x) dx + τ δt (x)q i+1 (x) dx, pro všechna δt = 0 na Γ T (t i+1 ). Integrací podržených členů Gaussovou větou a použitím vztahu q i+1 =

25 10 SLABÉ ŘEŠENÍ 25 λ T i+1 dostáváme 1 t τ Γ q (t i+1 ) δt (x) q i+1 {}}{ n(x) T q(x) dx τ δt (x)ρ(x)c v (x)t i+1 (x) dx = (τ 1) (τ 1) ( δt (x)) T Γ i q δt (x) λ T i+1 {}}{ q i+1 (x) dx + q i {}}{ n(x) T q i (x) dx ( δt (x)) T q i (x) dx + 1 δt (x)ρ(x)c v (x)t t i (x) dx + (1 τ) δt (x)q i (x) dx + τ δt (x)q i+1 (x) dx.

26 10 SLABÉ ŘEŠENÍ 26 Tedy τ ( δt (x)) T λ(x) T i+1 dx + 1 δt (x)ρ(x)c v (x)t i+1 (x) dx = t (1 τ) ( δt (x)) T q i (x) dx + 1 δt (x)ρ(x)c v (x)t t i (x) dx + (1 τ) δt (x)q i (x) dx + τ δt (x)q i+1 (x) dx + (τ 1) δt (x)q(x) i dx τ δt (x)q(x) i+1 dx Γ q (t i ) Γ q (t i+1 ) Postup řešení: pro i = 0 jsou členy na pravé straně známé z počátečních podmínek pro T 0 (x) výpočet T 1 (x) i = 1,... n.

27 11 APROXIMACE SLABÉHO ŘEŠENÍ Aproximace slabého řešení Aproximace neznámých a jejich derivací T i+1 (x) N(x)r i+1, T i+1 (x) B(x)r i+1. Aproximace váhových funkcí a jejich derivací δt N(x)δr, δt (x) B(x)δr. Po dosazení aproximací do vztahu pro slabé řešení dostáváme soustavu rovnic pro r i+1 (τk + 1 t C ) r i+1 = (1 τ)r i i + 1 t R ρ i + (1 τ)r Q i + τr Q i+1 + (τ 1)R q i τr q i+1,

28 11 APROXIMACE SLABÉHO ŘEŠENÍ 28 kde a K = C = i R i i R ρ i R Q i R q B(x) T λ(x)b(x) dx matice vodivosti N(x) T ρ(x)c v (x)n(x) dx matice kapacity = = = = B(x) T q i (x) dx N(x) T ρ(x)c v (x)t i (x) dx N(x) T Q i (x) dx Γ q (t i ) N(x) T q(x) i+1 dx Volba τ ovlivňuje stabilitu a přesnost numerické metody

29 REFERENCE 29 τ Název metody Stabilita Přesnost 0 Explicitní podmíněná O( t) 1 Implicitní nepodmíněná O( t) 1 2 Crank-Nicolson nepodmíněná O( t 2 ) Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na Opravy verze -001: Odstraněná celá řada překlepů, nepřesností a chyb (na chyby upozornil J. Šejnoha) Verze 000 Reference [1] T. Krejčí, T. Nový, L. Sehnoutek, and J. Šejnoha, Structure-subsoil interaction in view of transport processes in porous media, CTU Report

30 REFERENCE 30 5(1), Czech Technical University in Prague, [2] K. Rektorys, Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, SNTL, Praha, [3] R. Černý, Fyzika. Transportní jevy, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1993.

1 Zatížení konstrukcí teplotou

1 Zatížení konstrukcí teplotou 1 ZATÍŽENÍ KONSTRUKCÍ TEPLOTOU 1 1 Zatížení konstrukcí teplotou Časově proměnné nepřímé zatížení Klimatické vlivy, zatížení stavebních konstrukcí požárem Účinky zatížení plynou z rozšířeného Hookeova zákona

Více

Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla

Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Motivace Diferenciální rovnice problému Gradient teploty Energetická bilance Fourierův zákon Diferenciální rovnice vedení tepla Slabé řešení Diskretizace

Více

1 Modelování pružného podloží

1 Modelování pružného podloží 1 MODELOVÁNÍ PRUŽNÉHO PODLOŽÍ 1 1 Modelování pružného podloží Úloha mechaniky zemin Modely pružného podloží interakce podloží se základovými konstrukcemi Boussinesqův model (pružný poloprostor) [2]: homogenní

Více

1 Ohyb desek - mindlinovské řešení

1 Ohyb desek - mindlinovské řešení 1 OHYB DESEK - MINDLINOVSKÉ ŘEŠENÍ 1 1 Ohyb desek - mindlinovské řešení Kinematika přemístění Posun w se po tloušťce desky mění málo (vzhledem k hodnotě průhybu) w(x, y, z) = w(x, y) Normály ke střednicové

Více

TERMOMECHANIKA 15. Základy přenosu tepla

TERMOMECHANIKA 15. Základy přenosu tepla FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechaniky a techniky prostředí Prof. Ing. Milan Pavelek, CSc. TERMOMECHANIKA 15. Základy přenosu tepla OSNOVA 15. KAPITOLY Tři mechanizmy přenosu tepla Tepelný

Více

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití. Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí

Více

Výpočtové nadstavby pro CAD

Výpočtové nadstavby pro CAD Výpočtové nadstavby pro CAD 4. přednáška eplotní úlohy v MKP Michal Vaverka, Martin Vrbka Přenos tepla Př: Uvažujme pro jednoduchost spalovací motor chlazený vzduchem. Spalováním vzniká teplo, které se

Více

1 Stabilita prutových konstrukcí

1 Stabilita prutových konstrukcí 1 STABLTA PRUTOVÝCH KONSTRUKCÍ 1 1 Stabilita prutových konstrukcí Pod účinky tlakových sil dochází u štíhlých prutů k vybočení stabilitní problém Posuny ve směru střednice u a rotace ϕ y zůstávají malé,

Více

TERMIKA II. Stacionární vedení s dokonalou i nedokonalou izolací; Obecná rovnice vedení tepla; Přestup a prostup tepla;

TERMIKA II. Stacionární vedení s dokonalou i nedokonalou izolací; Obecná rovnice vedení tepla; Přestup a prostup tepla; TERMIKA II Šíření tepla vedením, prouděním a zářením; Stacionární vedení s dokonalou i nedokonalou izolací; Nestacionární vedení tepla; Obecná rovnice vedení tepla; Přestup a prostup tepla; 1 Šíření tepla

Více

ROVINNÁ ÚLOHA. Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné

ROVINNÁ ÚLOHA. Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné ROVINNÁ ÚLOHA Rovinná úloha Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné Rovinná napjatost Rovinná deformace Rotačně symetrická úloha Rovinná

Více

1 Přesnost metody konečných prvků

1 Přesnost metody konečných prvků 1 PŘESNOST METODY KONEČNÝCH PRVKŮ 1 1 Přesnost metody konečných prvků Metoda konečných prvků je založena na diskretizaci původní spojité konstrukce soustavou prvků (nebo obecněji na diskretizaci slabé

Více

Technologie a procesy sušení dřeva

Technologie a procesy sušení dřeva strana 1 Technologie a procesy sušení dřeva 3. Teplotní pole ve dřevě během sušení Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti

Více

Řešení 1D vedení tepla metodou sítí a metodou

Řešení 1D vedení tepla metodou sítí a metodou ENumerická analýza transportních procesů - NTP2 Přednáška č. 9 Řešení 1D vedení tepla metodou sítí a metodou konečných objemů Metoda sítí (metoda konečných diferencí - MKD) Metoda sítí Základní myšlenka

Více

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5) Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek

Více

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -

Více

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy

Více

U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze

U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze Seminář z PHTH 3. ročník Fakulta strojní ČVUT v Praze U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky 1 Přenos tepla 2 Mechanismy přenosu tepla Vedení (kondukce) Fourierův zákon homogenní izotropní prostředí

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ FYZIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ FYZIKY ZÁKLADY STAVEBNÍ FYZIKY Doc.Ing.Václav Kupilík, CSc. První termodynamická věta představuje zákon o zachování energie. Podle tohoto zákona nemůže energie samovolně vznikat nebo zanikat, ale může se pouze

Více

Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice. - laminární tok -

Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice. - laminární tok - Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice - laminární tok - Základní pojmy 2 Tekutina nemá vlastní tvar působením nepatrných tečných sil se částice tekutiny snadno uvedou do pohybu (výjimka některé

Více

Termomechanika 9. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Termomechanika 9. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Termomechanika 9. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

Šíření tepla. Obecnéprincipy

Šíření tepla. Obecnéprincipy Šíření tepla Obecnéprincipy Šíření tepla Obecně: Šíření tepla je výměna tepelné energie v tělese nebo mezi tělesy, která nastává při rozdílu teplot. Těleso s vyšší teplotou má větší tepelnou energii. Šíření

Více

Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice

Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice Přednáška 1 Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice Rozšířený Hookův zákon Geometrické rovnice Ondřej Jiroušek Ústav mechaniky a materiálů Fakulta

Více

102FYZB-Termomechanika

102FYZB-Termomechanika České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební katedra fyziky 102FYZB-Termomechanika Sbírka úloh (koncept) Autor: Doc. RNDr. Vítězslav Vydra, CSc Poslední aktualizace dne 20. prosince 2018 OBSAH

Více

U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. ! t 2 :! Stacionární děj, bez vnitřního zdroje, se zanedbatelnou viskózní disipací

U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. ! t 2 :! Stacionární děj, bez vnitřního zdroje, se zanedbatelnou viskózní disipací VII. cená konvekce Fourier Kirchhoffova rovnice T!! ρ c p + ρ c p u T λ T + µ d t :! (g d + Q" ) (VII 1) Stacionární děj bez vnitřního zdroje se zanedbatelnou viskózní disipací! (VII ) ρ c p u T λ T 1.

Více

Termomechanika 11. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Termomechanika 11. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Termomechanika 11. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14 Pružnost a pevnost zimní semestr 2013/14 Organizace předmětu Přednášející: Prof. Milan Jirásek, B322 Konzultace: pondělí 10:00-10:45 nebo dle dohody E-mail: Milan.Jirasek@fsv.cvut.cz Webové stránky předmětu:

Více

Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že

Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že Kapitola Zadání Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování alespoň jedné úlohy je nutnou podmínkou pro úspěšné složení zkoušky resp. získaní (klasifikovaného) zápočtu (viz.

Více

VI. Nestacionární vedení tepla

VI. Nestacionární vedení tepla VI. Nestacionární vedení tepla Nestacionární vedení tepla stagnantním prostředím, tj. tělesy a kapalinou, ve které se neprojevuje přirozená konvekce. F. K. rovnice " ρ c p = q + Q! = λ + Q! ( g) 2 ( g)

Více

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ ZÁKLADY METODY KONEČNÝCH PRVKŮ Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

TERMOFYZIKÁLNÍ VLASTNOSTI. Radek Vašíček

TERMOFYZIKÁLNÍ VLASTNOSTI. Radek Vašíček TERMOFYZIKÁLNÍ VLASTNOSTI Radek Vašíček Základní termofyzikální vlastnosti Tepelná konduktivita l (součinitel tepelné vodivosti) vyjadřuje schopnost dané látky vést teplo jde o množství tepla, které v

Více

Stabilizace Galerkin Least Squares pro

Stabilizace Galerkin Least Squares pro Fakulta strojní ČVUT Ústav technické matematiky Stabilizace Galerkin Least Squares pro MKP na řešení proudění o vyšších Reynoldsových číslech Ing. Jakub Šístek Doc. RNDr. Pavel Burda, CSc. RNDr. Jaroslav

Více

Lineární stabilita a teorie II. řádu

Lineární stabilita a teorie II. řádu Lineární stabilita a teorie II. řádu Sestavení podmínek rovnováhy na deformované konstrukci Konstrukce s a bez počáteční imperfekce Výpočet s malými vs. s velkými deformacemi ANKC-C 1 Zatěžovacídráhy [Šejnoha,

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

M T I B A ZÁKLADY VEDENÍ TEPLA 2010/03/22

M T I B A ZÁKLADY VEDENÍ TEPLA 2010/03/22 M T I B ZATÍŽENÍ KONSTRUKCÍ KLIMATICKOU TEPLOTOU A ZÁKLADY VEDENÍ TEPLA Ing. Kamil Staněk, k124 2010/03/22 ROVNICE VEDENÍ TEPLA Cíl = získat rozložení teploty T T x, t Řídící rovnice (parciální diferenciální)

Více

Cvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí (

Cvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí ( Cvičení 11 1. Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí ( σxx τ xy τ xy σ yy ) (a) Najděte vyjádření tenzoru napětí v soustavě souřadnic pootočené v rovině xy o

Více

16. Matematický popis napjatosti

16. Matematický popis napjatosti p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti

Více

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA Bakalářské studium, 4. ročník Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

EXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 2. Zpracování měření

EXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 2. Zpracování měření FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechanik a technik prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc. EXPERIMENTÁLNÍ METODY I OSNOVA. KAPITOLY. Zpracování měření Zpracování výsledků měření (nezávislých

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Numerické metody. Numerické modelování v aplikované geologii. David Mašín. Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky

Numerické metody. Numerické modelování v aplikované geologii. David Mašín. Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Numerické modelování v aplikované geologii David Mašín Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Přírodovědecká fakulta Karlova Univerzita v Praze Přednášky pro obor Geotechnologie David

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

Vliv kapilární vodivosti na tepelně technické vlastnosti stavební konstrukce

Vliv kapilární vodivosti na tepelně technické vlastnosti stavební konstrukce Vliv kapilární vodivosti na tepelně technické vlastnosti stavební konstrukce Článek se zabývá problematikou vlivu kondenzující vodní páry a jejího množství na stavební konstrukce, aplikací na střešní pláště,

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

PRUŽNOST A PEVNOST II

PRUŽNOST A PEVNOST II VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1

Více

Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím

Více

PROCESY V TECHNICE BUDOV 12

PROCESY V TECHNICE BUDOV 12 UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY PROCESY V TECHNICE BUDOV 12 Dagmar Janáčová, Hana Charvátová, Zlín 2013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního

Více

které charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.

které charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic. 1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh.

Více

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze

Více

2 Odvození pomocí rovnováhy sil

2 Odvození pomocí rovnováhy sil Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE. 123TVVM tepelně-fyzikální parametry

KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE. 123TVVM tepelně-fyzikální parametry KATEDRA MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A CHEMIE 123TVVM tepelně-fyzikální parametry Vedení tepla v látkách: vedením (kondukcí) předání kinetické energie neuspořádaných tepelných pohybů. Přenos z míst vyšší

Více

Stanovení požární odolnosti. Přestup tepla do konstrukce v ČSN EN

Stanovení požární odolnosti. Přestup tepla do konstrukce v ČSN EN Stanovení požární odolnosti NAVRHOVÁNÍ OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ NA ÚČINKY POŽÁRU ČSN EN 1993-1-2 Ing. Jiří Jirků Ing. Zdeněk Sokol, Ph.D. Prof. Ing. František Wald, CSc. 1 2 Přestup tepla do konstrukce v ČSN

Více

Technologie a procesy sušení dřeva

Technologie a procesy sušení dřeva strana 1 Technologie a procesy sušení dřeva 5. Deformačně-napěťové pole ve dřevě během sušení Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních

Více

PROCESY V TECHNICE BUDOV 11

PROCESY V TECHNICE BUDOV 11 UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY PROCESY V TECHNICE BUDOV 11 Dagmar Janáčová, Hana Charvátová, Zlín 2013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Parametrické rovnice křivky

Parametrické rovnice křivky Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou

Více

Výsledný tvar obecné B rce je ve žlutém rámečku

Výsledný tvar obecné B rce je ve žlutém rámečku Vychází N-S rovnice, kterou ovšem zjednodušuje zavedením určitých předpokladů omezujících předpokladů. Bernoulliova rovnice v základním tvaru je jednorozměrný model stacionárního proudění nevazké a nestlačitelné

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace Rovinný problém Řešíme plošné konstrukce zatížené a uložené v jejich střednicové rovině. Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost rovinná deformace 17 Rovinná deformace 1 Obsahuje složky deformace

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

133PSBZ Požární spolehlivost betonových a zděných konstrukcí. Přednáška A3. ČVUT v Praze, Fakulta stavební katedra betonových a zděných konstrukcí

133PSBZ Požární spolehlivost betonových a zděných konstrukcí. Přednáška A3. ČVUT v Praze, Fakulta stavební katedra betonových a zděných konstrukcí 133PSBZ Požární spolehlivost betonových a zděných konstrukcí Přednáška A3 ČVUT v Praze, Fakulta stavební katedra betonových a zděných konstrukcí Obsah přednášky Teplotní analýza konstrukce Sdílení tepla

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

Nelineární problémy a MKP

Nelineární problémy a MKP Nelineární problémy a MKP Základní druhy nelinearit v mechanice tuhých těles: 1. materiálová (plasticita, viskoelasticita, viskoplasticita,...) 2. geometrická (velké posuvy a natočení, stabilita konstrukcí)

Více

CAD/CAE. Fyzikální model. (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely)

CAD/CAE. Fyzikální model. (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely) CAD/CAE ÚNOD: Jan Tippner, Václav Sebera, Miroslav Trcala, Eva Troppová. Fyzikální model (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely) Podpořeno projektem Průřezová inovace

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

7. Základní formulace lineární PP

7. Základní formulace lineární PP p07 1 7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)

Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Magisterský program: Informatika Obor: Teoretická informatika Katedra: 18101 Katedra teoretické informatiky Jaroslav Kruis Evropský sociální fond Praha

Více

vztažný systém obecné napětí předchozí OBSAH další

vztažný systém obecné napětí předchozí OBSAH další p05 1 5. Deformace těles S deformací jako složkou mechanického pohybu jste se setkali už ve statice. Běžně je chápána jako změna rozměrů a tvaru tělesa. Lze ji popsat změnami vzdáleností různých dvou bodů

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze

U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Seminář z PHH 3. ročník Fakulta strojní ČVU v Praze U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky 1 Seminář z PHH - eplo U218 Ústav procesní

Více

Parciální diferenciální rovnice

Parciální diferenciální rovnice Parciální diferenciální rovnice Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s

Více

Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

NUMERICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO PŘENOSU TEPLA V PALIVOVÉ TYČI JADERNÉHO REAKTORU VVER 1000 SVOČ FST 2014

NUMERICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO PŘENOSU TEPLA V PALIVOVÉ TYČI JADERNÉHO REAKTORU VVER 1000 SVOČ FST 2014 NUMERICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO PŘENOSU TEPLA V PALIVOVÉ TYČI JADERNÉHO REAKTORU VVER 1000 SVOČ FST 2014 Miroslav Kabát, Západočeská univerzita v Plzni, Univerzitní 8, 306 14 Plzeň Česká republika ABSTRAKT

Více

- není prostorově orientován - ve zvoleném místě prostoru (času) ho lze vyjádřit jednou hodnotou - typické skaláry: teplota, tlak, koncentrace

- není prostorově orientován - ve zvoleném místě prostoru (času) ho lze vyjádřit jednou hodnotou - typické skaláry: teplota, tlak, koncentrace 1 Úvod Nejdřív bude zopakována matematická část týkající se skalárů, vektorů a tenzorů, práce s nimi. Pak skalární součin a k čemu je dobrý, zjednodušený zápis soustav rovnic pomocí gradientu, divergence,

Více

CAD/CAE. Fyzikální model. (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely)

CAD/CAE. Fyzikální model. (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely) CAD/CAE ÚNOD: Jan Tippner, Václav Sebera, Miroslav Trcala, Eva Troppová. Fyzikální model (fyzikální podstata problémů, počáteční a okrajové podmínky, materiálové modely) Podpořeno projektem Průřezová inovace

Více

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j

Více

5.4 Adiabatický děj Polytropický děj Porovnání dějů Základy tepelných cyklů První zákon termodynamiky pro cykly 42 6.

5.4 Adiabatický děj Polytropický děj Porovnání dějů Základy tepelných cyklů První zákon termodynamiky pro cykly 42 6. OBSAH Předmluva 9 I. ZÁKLADY TERMODYNAMIKY 10 1. Základní pojmy 10 1.1 Termodynamická soustava 10 1.2 Energie, teplo, práce 10 1.3 Stavy látek 11 1.4 Veličiny popisující stavy látek 12 1.5 Úlohy technické

Více

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více