MATEMATIKA MEZI... ANEB NĚCO MÁLO O DISKRIMINACI

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA MEZI... ANEB NĚCO MÁLO O DISKRIMINACI"

Transkript

1 ROBUST 2000, c JČMF 2001 MATEMATIKA MEZI... ANEB NĚCO MÁLO O DISKRIMINACI ARNOŠT KOMÁREK Abstrakt. If somebody wants to distinguish objects from two groups,he can use a statistical model to achieve this target. Three possible statistical models are discussed a bit in this paper. Models are as follows: normal discriminant analysis (NDA),logistic regression (LR) and mixture of normal distributions (MND). The sense of this article is to reveal for another author s paper where those models are discussed many more. One of the supposed models (MND) is used for analyzis of the entrance examination at the Faculty of Law of the Charles University in Prague in We try to distinguish between honest and fraudulent candidates of studying at this college. Abstrakt. Vto state izuqaets diskriminacionny analiz dl statistixeskogo obsudeni prinimate nyh ekzamenov v Universitet Karla. Cílem příspěvku je upozornit na práci [1], jež se zabývá některými modely, pomocí nichž lze provádět diskriminaci. Konkrétně se jedná o modely normální diskriminační analýzy (NDA), logistické regrese (LR) a směsi normálníchrozdělení (MND). Vždy máme za úkol zařadit dané objekty do jedné za dvou skupin na základě hodnot jistýchznaků na nichnaměřených. Znaky naměřené na daném objektu můžeme reprezentovat pomocí hodnoty náhodného vektoru X a zařazení tohoto objektu pomocí hodnoty náhodné veličiny Y, jež nabývá hodnot 0 a 1, jelikož v naší práci rozlišujeme pouze mezi dvěma skupinami. Jednotlivé modely jsou potom definovány následovně. (LR): P (Y =1 X = x) =[1+exp( β 0 β x)] 1, P (Y =0 X = x) =[1+exp(β 0 + β x)] 1, kde β 0 a β jsou parametry modelu (β 0 R, β R p ). (NDA): P (Y =1)=λ (0, 1), L(X Y =0)=N p (µ 0, Σ), L(X Y =1)=N p (µ 1, Σ) Mathematics Subject Classification. Primary 62H30; Secondary 62P25. Klíčová slova. Diskriminační analýza. Tato práce vznikla za podpory grantu GAČR č. 201/00/0769 a grantu MSM

2 120 Arnošt Komárek Parametry jsou tentokrát λ, µ 1 µ 0 aσ. (MND): X má hustotu f(x) =λf 1 (x)+(1 λ)f 0 (x), kde f 1 je hustota N p (µ 1, Σ) a f 0 hustota N p (µ 0, Σ). Parametry jsou opět λ (0, 1), µ 1 µ 0 aσ. V práci [1] jsou jednotlivé modely podrobně popsány a porovnány. Jsou zde též uvedeny postupy pro odhadování neznámýchparametrů v jednotlivýchmodelechv praktickýchsituacích. Součástí je samozřejmě též odvození diskriminačníchpravidel. Na přiložené disketě je možno nalézt procedury v Matlabu pro výpočet odhadů. Na tomto místě poznamenejme, že modely (LR) a (NDA) vyžadují k sestavení diskriminační procedury učící skupinu objektů, zatímco model (MND) nikoliv. část práce [1] je věnována následujícímu příkladu, který se pokouší analyzovat výsledky přijímacíchzkoušek na Právnické fakultě UK v Praze v roce Tyto přijímací zkoušky jsou nechvalně známy možností, že někteří uchazeči o studium na zmíněné fakultě znali znění přijímacíchtestů před vlastní přijímací zkouškou. Pomocí studovanýchmodelů se pokusíme rozlišit studenty, kteří neznali zadání přijímacíchtestů (běžní studenti), a studenty, kteří mohli znát předem znění těchto testů (zvýhodnění studenti). K dispozici jsou výsledky jednotlivýchuchazečů v následující podobě: počet bodů za test z cizího jazyka (proměnná jazyk), z historie a všeobecného přehledu (proměnná historie) a za test z logiky (proměnná logika). Dále je u každého uchazeče uvedeno pořadové číslo termínu zkoušky, kterého se zúčastnil. Termínů bylo dohromady třináct, přitom ten třináctý byl náhradní za termín číslo dvanáct, který byl anulován kvůli podezření na podvodné jednání některýchuchazečů. V analýze nebudeme tedy pracovat s daty z třináctého termínu, neboť se ho zúčastnili studenti, kteří již přijímací zkoušku absolvovali v termínu dvanáctém. Přidání dat ze třináctého termínu do celého souboru by mohlo způsobit porušení nezávislosti jednotlivých pozorování. Každého z prvních dvanácti termínů se zúčastnil přibližně stejný počet uchazečů v rozmezí od 426 do 488. Za test z jazyka bylo přitom možné získat maximálně patnáct bodů, za test z historie a všeobecného přehledu maximálně čtyřicet pět bodů a za test z logiky maximálně čtyřicet bodů. Veličina Y, jež indikuje zařazení jednotlivých uchazečů, bude nabývat hodnoty jedna pro zvýhodněné a hodnoty nula pro běžné uchazeče. Diskriminaci budeme provádět na základě vektoru X, jehož složky budou odpovídat po řadě proměnným jazyk, historie, logika. Skupinu pro výpočet odhadů tvoří v tomto případě všichni uchazeči, kteří se zúčastnili jednoho z prvních dvanácti termínů. U žádného z nich nevíme, zda ho zařadit mezi běžné nebo zvýhodněné studenty. K sestavení diskriminační funkce tedy musíme nyní použít model směsi normálníchrozdělení. Pro podpoření domněnky, že zkoumaná data jsou skutečně směsí dvou normálníchrozdělení, jsou v [1] uvedeny histogramy dosažených bodů u jednotlivých testů zvlášť pro první a dvanáctý termín. Výsledky uchazečů z prvního termínu by směs tvořit neměly, naopak výsledky dvanáctého termínu by měly tvořit směs z rozdělení, z něhož pocházejí data u ostatních termínů a rozdělení, z něhož pocházejí data zvýhodněných uchazečů. Histogramy pro druhý až jedenáctý termín se od toho pro termín číslo jedna příliš neliší a proto nejsou uvedeny. My zařazujeme histogramy

3 Matematika mezi... aneb něco málo o diskriminaci 121 pro test z historie, jelikož zde se směs projevuje nejvíce a histogramy pro bodový součet. Směs dvou rozdělení lze odhalit v podstatě na všech histogramech odpovídajících dvanáctému termínu, přitom nejvíce se promíchání dat ze dvou výběrů projevuje právě u testu z historie a všeobecného přehledu. Naproti tomu histogramy prvního termínu poměrně dobře odpovídají hustotě normálního rozdělení. Na závěr ještě uvádíme tabulku s průměry výsledků jednotlivých testů a celkového bodového součtu zvlášť pro prvníchjedenáct termínů a pro termín dvanáctý. Průměry získaných bodů termín 12. termín (5110 studentů) (440 studentů) jazyk 10,11 10,95 historie 27,51 34,11 logika 28,64 32,05 bodový součet 66,27 77,11

4 122 Arnošt Komárek Z tabulky vidíme, že průměry dosaženýchbodů jsou u dvanáctého termínu vždy vyšší. Přitom rozdíl je věcně zanedbatelný pro jazyk a nejvyšší pro historii. Avšak statistické testy indikují významný rozdíl u všechuvažovanýchveličin. Jednostranný Wilcoxonův (Mannův-Whitneyův) test (s alternativou vyšších hodnot u dvanáctého termínu než u zbylých jedenácti termínů) dosahoval pro všechny uvažované veličiny hladiny nižší než 0,0001. Také tato zjištění nás utvrzují v domněnce, že máme co do činění se směsí dvou rozdělení. Podrobněji se lze s důvody, jež vedou k předpokladu, že data jsou směsí dvou rozdělení, seznámit na síti Internet na adrese kde je zveřejněn Komentář ke statistickému zpracování výsledků přijímacích zkoušek na Právnické fakultě UK v Praze v roce Pro vlastní sestavení diskriminační funkce použijeme výsledky všechuchazečů, kteří se zúčastnili prvníchdvanácti termínů. Takto získáme náhodný výběr ze směsi dvou rozdělení, přičemž nyní již promíchanost nevynikne tolik, jako v případě dvanáctého termínu. Prvních dvanácti termínů se zúčastnilo 5550 uchazečů. Odhady budeme počítat pomocí Matlabu. Po provedení výpočtů získáme následující výsledky: λ =0,062, µ 1 = 11,57 38,84, µ 0 = 10,09 27,32, Σ = 33,61 28,60 7,07 2,48 2,31 2,48 20,84 3,61 2,31 3,61 15,70 Vidíme, že odhad střední hodnoty bodových zisků běžných uchazečů je téměř shodný s průměry bodovýchzisků studentů, kteří se zúčastnili prvníchjedenácti termínů. Odhad střední hodnoty bodových zisků zvýhodněných uchazečů je o něco vyšší než průměr bodovýchzisků dosaženýchv rámci dvanáctého termínu. Tento fakt je způsoben skutečností, že dvanáctého termínu se zúčastnili též běžní studenti. Vzhledem k uvedenému se zdá, že data odpovídají domněnce, že prvníchjedenácti termínů se patrně nezúčastnil žádný zvýhodněný student. Z uvedených odhadů spočítáme odhady koeficientů v diskriminační funkci: β 0 = 25,92, β = 0,04 0,52. 0,20 Tedy uchazeče, který u přijímací zkoušky dosáhl bodového zisku reprezentovaného vektorem X =(jazyk, historie, logika), zařadíme mezi zvýhodněné, pokud 0,04 jazyk +0,52 historie +0,20 logika > 25,92. Pokud aplikujeme toto rozhodovací pravidlo na výsledky uvažovaných uchazečů, získáme následující odhady počtu běžných a zvýhodněných uchazečů na jednotlivýchtermínechpřijímací zkoušky. Odhady počtu běžnýchuchazečů jsou ve sloupci označeném nulou, počtu zvýhodněných uchazečů ve sloupci označeném jedničkou..

5 Matematika mezi... aneb něco málo o diskriminaci 123 Odhady počtu běžných a zvýhodněných uchazečů zařazení podíl termín 0 1 součet zvýhodněných (%) , , , , , , , , , , ,6 součet ,0 Samozřejmě, že ne každý uchazeč, který je podle našeho diskriminačního pravidla označen za zvýhodněného, jím skutečně je. Diskriminační funkce musí totiž pomocí roviny rozdělit jednoznačně trojrozměrný eukleidovský prostor na dvě části. Takto se do části se zvýhodněnými uchazeči může dostat i ten, který přirozeným způsobem (vlastními vědomostmi) dosáhl vyššího bodového zisku. Proto se mezi zvýhodněnými uchazeči objevují též studenti, kteří se zúčastnili jednoho z prvních jedenácti termínů, nikdy jichvšak není mnoho (maximálně 2,7 %). Naproti tomu v případě dvanáctého termínu bylo za zvýhodněné označeno 161 studentů, tj. 36,6 %, což podporuje domněnku, že někteří uchazeči, kteří se zúčastnili tohoto termínu přijímacích zkoušek, znali zadání testů předem. Pro srovnání ještě spočítáme odhady neznámých parametrů pouze s využitím dat z kritického dvanáctého termínu. Po provedení výpočtů dostaneme následující odhady: λ 12 =0,431, µ 12 1 = Σ 12 = 12,09 41,19 35,18, µ 12 0 = 6,83 1,47 1,64 1,47 12,12 2,74 1,64 2,74 14,92 10,08 28,75 29,68 Odhady µ 12 1, µ 12 0 a Σ 12 jsou poměrně blízké odhadům µ 1, µ 0, Σ. Odhad λ 12 sodhadem λ srovnávat nemůžeme, neboť se vztahuje k podílu zvýhodněných uchazečů v rámci dvanáctého termínu, který byl podstatně vyšší než v rámci celého přijímacího řízení. Odhady koeficientů v diskriminační funkci jsou následující: β 12 0 = 40,94, β12 =. 0,04 0,98 0,18 Pokud pomocí této diskriminační procedury zařadíme uchazeče, kteří se zúčastnili dvanáctého termínu, bude jich 185 označeno za zvýhodněné, což je o 24 více, než při diskriminaci prováděné pomocí původní procedury. Přitom žádný z uchazečů, který byl původní procedurou označen za zvýhodněného, nebude nyní nezvýhodněný. Nová procedura tedy pouze k původním zvýhodněným studentům přidala.,

6 124 Arnošt Komárek dalších24 uchazečů. Tato skutečnost může být způsobena faktem, že nyní byl podíl zvýhodněných uchazečů v učícím souboru podstatně vyšší, než při sestavování původní procedury. Zařazovat uchazeče z ostatních termínů pomocí procedury určené 12 koeficienty β 0 a β 12 nebude mít příliš velký smysl kvůli chybnému odhadu podílu zvýhodněných uchazečů v souboru všech studentů, kteří se zúčastnili přijímacích zkoušek. Upravíme-li tento odhad do tvaru λ 12,all = λ 12 počet uchazečů v 12. termínu 0, = =0,034 počet všechuchazečů 5550 a spočítáme pomocí µ 12 1, µ 12 0, Σ 12 a λ 12,all 12,all koeficienty β 0, β 12,all, jež vyjdou β 12,all 0 = 44,00, β12,all = 0,04 0,98 0,18 získáme diskriminační proceduru, pomocí níž již můžeme zařazovat též studenty z ostatních termínů. Tato procedura označí studenta za zvýhodněného, pokud 0,04 jazyk +0,98 historie +0,18 logika > 44,00. Toto rozhodovací pravidlo se na první pohled poměrně liší od původního pravidla založeného na β 0, β, ale pokud porovnáme rozhodnutí učiněná na základě těchto dvou procedur, zjistíme, že odlišnost není příliš velká, jak je možné se přesvědčit v následující tabulce, která obě procedury porovnává. Ve sloupci označeném 0 1 je počet uchazečů označených novou procedurou za zvýhodněné, ale starou za běžné, sloupec označený 1 0 obsahuje naopak počet uchazečů označených za zvýhodněné pouze původní procedurou. Sloupce původní a nová procedura přinášejí počty uchazečů, kteří byli označeni za zvýhodněné užitím příslušné diskriminační funkce. Porovnání dvou procedur původní nová počet odlišně termín procedura procedura zařazených součet Literatura. [1] Komárek A., Porovnání tří modelů, Diplomová práce MFF UK Praha, 2000 UK MFF, KPMS, Sokolovská 83, Praha

Korelace. Komentované řešení pomocí MS Excel

Korelace. Komentované řešení pomocí MS Excel Korelace Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A2:B84 (viz. obrázek) Prvotní představu o tvaru a síle závislosti docházky a počtu bodů nám poskytne

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Mnohorozměrné metody Regrese jedna náhodná veličina je vysvětlována pomocí jiných

Více

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde: Bodová předpověď: Intervalová předpověď:

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde:  Bodová předpověď: Intervalová předpověď: Predikce Text o predikci pro upřesnění pro ty, které zajímá, kde se v EViews všechna ta čísla berou. Ruční výpočty u průběžného testu nebudou potřeba. Co bude v závěrečném testu, to nevím. Ale přečíst

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

katedra statistiky PEF, Vysoká škola zemědělská, 165 21 Praha 6 - Suchdol

katedra statistiky PEF, Vysoká škola zemědělská, 165 21 Praha 6 - Suchdol STATISTICKÁ ANALÝZA PŘIJÍMACÍHO ŘÍZENÍ NA PEF PRO AKADEMICKÝ ROK 1994/1995 Bohumil Kába, Libuše Svatošová katedra statistiky PEF, Vysoká škola zemědělská, 165 21 Praha 6 - Suchdol Anotace: Příspěvek pojednává

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Úvod do analýzy rozptylu

Úvod do analýzy rozptylu Úvod do analýzy rozptylu Párovým t-testem se podařilo prokázat, že úprava režimu stravování a fyzické aktivity ve vybrané škole měla vliv na zlepšené hodnoty HDLcholesterolu u školáků. Pro otestování jsme

Více

STATISTICKÁ EVALUACE INDIKÁTORŮ PŘIJÍMACÍHO ŘÍZENÍ STATISTICAL EVALUATION OF THE ADMISSION PROCEDURE INDICATORS

STATISTICKÁ EVALUACE INDIKÁTORŮ PŘIJÍMACÍHO ŘÍZENÍ STATISTICAL EVALUATION OF THE ADMISSION PROCEDURE INDICATORS STATISTICKÁ EVALUACE INDIKÁTORŮ PŘIJÍMACÍHO ŘÍZENÍ STATISTICAL EVALUATION OF THE ADMISSION PROCEDURE INDICATORS Libuše Svatošová, Bohumil Kába Anotace: Příspěvek shrnuje a prezentuje výsledky statistické

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Popisná statistika. Komentované řešení pomocí MS Excel

Popisná statistika. Komentované řešení pomocí MS Excel Popisná statistika Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Máme k dispozici data o počtech bodů z 1. a 2. zápočtového testu z Matematiky I v zimním semestru 2015/2016 a to za všech 762 studentů,

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Souběžná validita testů SAT a OSP

Souběžná validita testů SAT a OSP Souběžná validita testů SAT a OSP www.scio.cz 15. ledna 2013 Souběžná validita testů SAT a OSP Abstrakt Pro testování obecných studijních dovedností existuje mnoho testů. Některé jsou všeobecně známé a

Více

Výsledky základní statistické charakteristiky

Výsledky základní statistické charakteristiky Výsledky základní statistické charakteristiky (viz - Vyhláška č. 343/2002 Sb. o průběhu přijímacího řízení na vysokých školách a Vyhláška 276/2004 Sb. kterou se mění vyhláška č. 343/2002 Sb., o postupu

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Tabulka obsahuje údaje o četnosti volby jednotlivých alternativ uzavřených úloh a četnosti bodových zisků v otevřených úlohách.

Tabulka obsahuje údaje o četnosti volby jednotlivých alternativ uzavřených úloh a četnosti bodových zisků v otevřených úlohách. Tabulka obsahuje údaje o četnosti volby jednotlivých alternativ uzavřených úloh a četnosti bodových zisků v otevřených úlohách. Komentář k významu jednotlivých položek: : pod: : : - číslo v didaktickém

Více

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání: Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

Výsledky základní statistické charakteristiky

Výsledky základní statistické charakteristiky Výsledky základní statistické charakteristiky (viz - Vyhláška č. 343/00 Sb. o průběhu přijímacího řízení na vysokých školách a Vyhláška 76/004 Sb. kterou se mění vyhláška č. 343/00 Sb., o postupu a podmínkách

Více

7 Regresní modely v analýze přežití

7 Regresní modely v analýze přežití 7 Regresní modely v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student rozumí významu regresního modelování dat o přežití 2. Student dokáže definovat pojmy poměr rizik a základní riziková funkce

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické

Více

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Obsah Úvod Kapitola 1 Než začneme Kapitola 2 Práce s hromadnými daty před analýzou

Obsah Úvod Kapitola 1 Než začneme Kapitola 2 Práce s hromadnými daty před analýzou Úvod.................................................................. 11 Kapitola 1 Než začneme.................................................................. 17 1.1 Logika kvantitativního výzkumu...........................................

Více

Vzorová prezentace do předmětu Statistika

Vzorová prezentace do předmětu Statistika Vzorová prezentace do předmětu Statistika Popis situace: U 3 náhodně vybraných osob byly zjišťovány hodnoty těchto proměnných: SEX - muž, žena PUVOD Skandinávie, Středomoří, 3 západní Evropa IQ hodnota

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha. Hypotézy o populacích

Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha. Hypotézy o populacích Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha Hypotézy o populacích Příklad IQ test: Předpokládejme, že z nějakého důvodu ministerstvo školství věří, že studenti absolventi středních škol v Hradci Králové

Více

8. Posloupnosti, vektory a matice

8. Posloupnosti, vektory a matice . jsou užitečné matematické nástroje. V Mathcadu je často používáme například k rychlému zápisu velkého počtu vztahů s proměnnými parametry, ke zpracování naměřených hodnot, k výpočtům lineárních soustav

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Přijímací řízení ke vzdělávání ve středních školách Pardubického kraje pro školní rok 2012/2013

Přijímací řízení ke vzdělávání ve středních školách Pardubického kraje pro školní rok 2012/2013 Přijímací řízení ke vzdělávání ve středních školách Pardubického kraje pro školní rok 2012/2013 Úvod Všem středním školám zřizovaným Pardubickým krajem bylo doporučeno v rámci přijímacího řízení do oborů

Více

Četnost volby odpovědí u didaktického testu MZ 2016 podzim

Četnost volby odpovědí u didaktického testu MZ 2016 podzim Tabulka obsahuje údaje o četnosti volby jednotlivých alternativ uzavřených úloh a četnosti bodových zisků v otevřených úlohách didaktického testu z anglického jazyka s výjimkou žáků s přiznaným uzpůsobením

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Finanční modely v oblasti Consultingu

Finanční modely v oblasti Consultingu Finanční modely v oblasti Consultingu Jan Cimický 1 Abstrakt Ve své disertační práci se zabývám finančním modelováním. Práce je koncipována jako soubor vzájemně často propojených nebo na sebe navazujících

Více

Diskriminační analýza hodnocení rozdílů mezi 2 nebo více skupinami objektů charakterizovanými více znaky

Diskriminační analýza hodnocení rozdílů mezi 2 nebo více skupinami objektů charakterizovanými více znaky Diskriminační analýza hodnocení rozdílů mezi 2 nebo více skupinami objektů charakterizovanými více znaky Interpretují rozdíly mezi předem stanovenými třídami Cílem je klasifikace objektů do skupin Hledáme

Více

ANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK

ANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK ANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK www.biostatisticka.cz POPISNÉ STATISTIKY - OPAKOVÁNÍ jedna kvalitativní

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Četnost volby odpovědí u didaktického testu MZ 2016 podzim

Četnost volby odpovědí u didaktického testu MZ 2016 podzim Tabulka obsahuje údaje o četnosti volby jednotlivých alternativ uzavřených úloh a četnosti bodových zisků v otevřených úlohách didaktického testu z anglického jazyka s výjimkou žáků s přiznaným uzpůsobením

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

(motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination.

(motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination. Neparametricke testy (motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination. Andrew Lang) 1. Příklad V následující tabulce jsou

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

VLIV OKRAJOVÝCH PODMÍNEK NA VÝSLEDEK ZKOUŠKY TEPELNÉHO VÝKONU SOLÁRNÍHO KOLEKTORU

VLIV OKRAJOVÝCH PODMÍNEK NA VÝSLEDEK ZKOUŠKY TEPELNÉHO VÝKONU SOLÁRNÍHO KOLEKTORU Energeticky efektivní budovy 2015 sympozium Společnosti pro techniku prostředí 15. října 2015, Buštěhrad VLIV OKRAJOVÝCH PODMÍNEK NA VÝSLEDEK ZKOUŠKY TEPELNÉHO VÝKONU SOLÁRNÍHO KOLEKTORU Bořivoj Šourek,

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

Karta předmětu prezenční studium

Karta předmětu prezenční studium Karta předmětu prezenční studium Název předmětu: Číslo předmětu: 545-0250 Garantující institut: Garant předmětu: Ekonomická statistika Institut ekonomiky a systémů řízení RNDr. Radmila Sousedíková, Ph.D.

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Přijímací řízení ke vzdělávání ve středních školách Pardubického kraje pro školní rok 2012/2013

Přijímací řízení ke vzdělávání ve středních školách Pardubického kraje pro školní rok 2012/2013 PARDUBICKÝ KRAJ Jana Pernicová členka Rady Pardubického kraje Přijímací řízení ke vzdělávání ve středních školách Pardubického kraje pro školní rok 2012/2013 PARDUBICE, ŘÍJEN 2011 Úvod Všem středním školám

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Vícenásobná regresní a korelační analýza 1 1 Tto materiál bl vtvořen za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. O vícenásobné závislosti mluvíme tehd, jestliže je závisle proměnná závislá na více nezávislých

Více

Platná legislativa - informační zdroje

Platná legislativa - informační zdroje Kritéria přijímacího řízení pro přijetí uchazeče ke studiu od 1. září ve školním roce 2017/2018 (dálkové nástavbové studium ukončené maturitní zkouškou) Platná legislativa - informační zdroje zákon č.

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech:

V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Příklad 1 V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Skupina Počet ženichů Počet nevěst 15-19 let 11 30 20-24 let 166 272 25-29 let 191

Více

Cvičení 12: Binární logistická regrese

Cvičení 12: Binární logistická regrese Cvičení 12: Binární logistická regrese Příklad: V roce 2014 konalo státní závěrečné zkoušky bakalářského studia na jisté fakultě 167 studentů. U každého studenta bylo zaznamenáno jeho pohlaví (0 žena,

Více

SIMULACE ZVUKOVÉHO POLE VÍCE ZDROJŮ

SIMULACE ZVUKOVÉHO POLE VÍCE ZDROJŮ SIMULACE ZVUKOVÉHO POLE VÍCE ZDROJŮ F. Rund Katedra radioelektroniky, Fakulta elektrotechnická, České vysoké učení technické v Praze Abstrakt Studium zvukového pole vytvářeného soustavou jednotlivých zvukových

Více

EKONOMICKÁ APLIKACE KOMPOZIČNÍHO REGRESNÍHO MODELU

EKONOMICKÁ APLIKACE KOMPOZIČNÍHO REGRESNÍHO MODELU EKONOMICKÁ APLIKACE KOMPOZIČNÍHO REGRESNÍHO MODELU Klára Hrůzová 1,2, Karel Hron 1,2 1 Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, Univerzita Palackého v Olomouci 2 Katedra

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 Opakování t- vs. neparametrické Wilcoxonův jednovýběrový test Opakování

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Soustavy se spínanými kapacitory - SC. 1. Základní princip:

Soustavy se spínanými kapacitory - SC. 1. Základní princip: Obvody S - popis 1 Soustavy se spínanými kapacitory - S 1. Základní princip: Simulace rezistoru přepínaným kapacitorem viz známý obrázek! (a rovnice) Modifikace základního spínaného obvodu: Obr. 2.1: Zapojení

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne:

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. VII Název: Studium kmitů vázaných oscilátorů Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: 27. 2. 2012 Odevzdal

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

6 Ordinální informace o kritériích

6 Ordinální informace o kritériích 6 Ordinální informace o kritériích Ordinální informací o kritériích se rozumí jejich uspořádání podle důležitosti. Předpokládejme dále standardní značení jako v předchozích cvičeních. Existují tři základní

Více

Výsledky základní statistické charakteristiky

Výsledky základní statistické charakteristiky Výsledky základní statistické charakteristiky (viz - Vyhláška č. 343/2002 Sb. o průběhu přijímacího řízení na vysokých školách a Vyhláška 276/2004 Sb. kterou se mění vyhláška č. 343/2002 Sb., o postupu

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9. Statistické testování hypotéz

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9. Statistické testování hypotéz PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9 Statistické testování hypotéz Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení hodnoty parametru =stanovení intervalu spolehlivosti na μ, σ, ρ,

Více