Matematika 1. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

Transkript

1 Matematika RNDr. Vlasta Krupková, CSc. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

2

3 Matematika Obsah Úvod 9. Elementy matematické logiky Výroky Výrokové funkce predikáty Kvantifikátory Shrnutí Cvičení Výsledky Množiny Číselné množiny Suprémum, infimum, maximum, minimum, ohraničené (omezené) množiny 3 Shrnutí Cvičení Výsledky Funkce, zobrazení Pojem a základní vlastnosti funkce Složená funkce Funkce prosté a funkce inverzní Algebraické operace mezi funkcemi Monotonní funkce Funkce sudé a liché, funkce periodické Funkce ohraničené Elementární funkce Polynomy, kořeny polynomu Hornerovo schéma Racionální lomené funkce, rozklad na parciální zlomky Mocninná funkce Exponenciální a logaritmická funkce Goniometrické funkce Cyklometrické funkce Hyperbolické funkce Posloupnosti Shrnutí Otázky a úlohy Cvičení Výsledky Lineární algebra 6. Aritmetické vektory Základní pojmy, aritmetické operace Vektory ve fyzice, geometrická reprezentace Lineární závislost, báze, souřadnice vektoru Podprostory

4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Hodnost systému vektorů Shrnutí Otázky a úlohy Cvičení Výsledky Matice Základní pojmy Transponovaná matice Aritmetické operace Násobení matic, inverzní matice Hodnost matice, ekvivalence matic Výpočet inverzní matice Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Determinanty Motivace Permutace Definice determinantu Základní vlastnosti determinantů, výpočet determinantů Výpočet inverzní matice Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Soustavy lineárních rovnic Maticový zápis soustavy lineárních rovnic, rozšířená matice soustavy Řešitelnost soustavy, Frobeniova věta Homogenní soustavy Nehomogenní soustavy Cramerovo pravidlo Zaokrouhlovací chyby, špatně podmíněné soustavy Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Diferenciální počet 4 3. Úvodní poznámky motivace Limita Definice limity Limita parciální funkce (relativní limita) Limita posloupnosti

5 Matematika 3 Hromadná hodnota posloupnosti, horní a dolní limita Věty o limitách Věty o nevlastních limitách Limita složené funkce Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Spojitost Klasifikace nespojitostí Funkce spojité na intervalu Vlastnosti funkcí spojitých na uzavřeném intervalu Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Derivace Motivace Derivace v bodě Derivace na intervalu Základní pravidla pro derivování Diferenciál funkce Neurčité výrazy, L Hospitalovo pravidlo Věty o přírůstku funkce Shrnutí Slovník a gramatika pro derivace Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Derivace vyšších řádů, Taylorův polynom Derivace a diferenciály vyšších řádů Linearizace Aproximace funkce Taylorovým polynomem Shrnutí Taylorovy formule pro některé funkce Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Extrémy, průběh funkce Lokální extrémy Absolutní (globální) extrémy Konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body Asymptoty grafu funkce Vyšetření průběhu funkce

6 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Integrální počet Neurčitý integrál Primitivní funkce Neurčitý integrál Integrační metody Integrace per partes Metoda substituce Integrace racionálních lomených funkcí Integrace některých iracionálních funkcí Integrace trigonometrických funkcí Shrnutí Vzorce pro výpočet neurčitých integrálů Důležité integrály Některé typy integrálů řešitelné metodou per partes Některé doporučené substituce Otázky a úlohy Cvičení Výsledky Určitý integrál Dělení intervalu Integrální součet Určitý (Riemannův) integrál Vlastnosti určitého integrálu Odhad určitého integrálu, věta o střední hodnotě Fundamentální věta Newton-Leibnizova věta Metoda per partes pro určité integrály Metoda substituce pro určité integrály Aplikace určitého integrálu Obsah rovinné oblasti Objem tělesa Objem rotačního tělesa Délka rovinné křivky Shrnutí Otázky a úlohy Cvičení Výsledky Nevlastní integrály Nevlastní integrál na neohraničeném intervalu

7 Matematika 5 Integrály z neohraničených funkcí Obecná definice nevlastního integrálu Shrnutí Cvičení Výsledky Nekonečné řady Číselné řady Základní pojmy Vlastnosti číselných řad Kriteria konvergence Absolutní konvergence Přerovnání řad, násobení řad Numerická sumace Shrnutí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky Mocninné řady Základní pojmy Poloměr konvergence Derivace a integrace mocninných řad Taylorovy řady Shrnutí Taylorovy (Maclaurinovy) řady některých elementárních funkcí Otázky a úkoly Cvičení Výsledky

8 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Seznam obrázků. y = sgn(x) y = [x] Složená funkce y = x, y = x y = e x, y = ln x y = sin x, y =arcsin x y = cos x, y =arccos x y =tg x, y =arctg x y =cotg x, y =arccotg x arcsin sin x f(x)=5 x, f (x)=(x 5) Sudá funkce Lichá funkce Periodické funkce Grafy mocninných funkcí y = x a Exponenciální funkce f(x) = a x Logaritmické funkce f(x) = log a x sin x cos x tg x Grafy goniometrických funkcí y = sin x y = cos x Grafy goniometrických funkcí y =tg x y =cotg x arcsin x, arccos x arctg x, arccotg x sinh x,cosh x tgh x,cotgh x Grafy a) b) c) d) e) a), b) Obvod k příkladu RL obvod i(t) = U ( R e (R/L)t ) y = x x 3.38 y = 3 x y = x x K příkladu f(x) = sin x f(x) = x sin x

9 Matematika Geometrická představa o limitě Funkce f z příkladu f(x) = cos x, f(x) = x f(x) = cos x x Geometrický význam derivace Polotečny ke grafu funkce Svislá tečna a polotečna Graf funkce f Graf derivace f Geometrický význam diferenciálu Rolleova věta Lagrangeova věta Funkce z příkladu Funkce a jejich derivace Linearizace Taylorovy polynomy funkce + x Taylorovy polynomy funkce e x Stacionární body a extrémy f(x) = x 3 + 3x 9x f(x) = 6 x6 + x f(x) = 3 x3 x 3x na 3, Konvexní a konkávní funkce f konvexní f roste f(x) = 3(x ) 3 + x f(x) = e x + x f(x) = x + x Znaménko derivace funkce f(x) = x3 4 x Znaménko druhé derivace funkce f(x) = x3 4 x Graf funkce f(x) = x x 3.7 Znaménko funkce f(x) = 3 x x Znaménko derivace funkce f(x) = 3 x x Graf funkce f(x) = 3 x x Znaménko derivace funkce f(x) = xe x Znaménko druhé derivace funkce f(x) = xe x Graf funkce f(x) = xe x Dělení intervalu 0, Integrální součet funkce f(x) = x Integrální součet funkce (x + ) sin x Integrální součty funkce f(x) = x 4 ln x pro n = [9, 6, 5, 36, 49, 64] Integrální střední hodnota f(x) = x x na intervalu 0, Fundamentální věta Primitivní funkce jako funkce horní meze

10 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 4.86 Grafy funkcí sin x x a x 0 sin t t dt Objem tělesa K př Cykloida Integrální kriterium Integrální kriterium

11 Matematika 9 Úvod Tento učební text k předmětu Matematika je určen především studentům prvního semestru kombinovaného studia. Tento typ studia je kombinací prezenční a distanční formy, přičemž těžiště studia je v samostatné práci, pro kterou je nezbytné mít k dispozici dosti podrobný a srozumitelný studijní materiál. Snažili jsme se proto zavádět pouze skutečně nezbytné pojmy a postupy potřebné v dalším studiu na FEKT, v mnoha případech uvedené motivací. Přitom ale nebylo možné slevit z přesnosti výkladu proto, i když je to nepopulární, postupujeme cestou definice věta důkaz. Tato cesta přes veškerou kritiku nematematiků, jíž se jí v současné době dostává, zůstává nejpřehlednější a v podstatě jedinou možnou formou matematického výkladu. Aby byl usnadněn přechod od teoretického pochopení výkladu k schopnosti získané vědomosti a dovednosti aplikovat, uvádíme mnoho ilustrujících řešených příkladů a v závěru každé kapitoly cvičení pro samostudium. Jak již bylo zmíněno, tento text je určen především pro studenty v kombinovaném studiu, ale vzhledem k tomu, že osnovy kombinovaného a prezenčního studia jsou stejné, věříme, že tento text bude plně použitelný i pro studenty studia prezenčního.

12 0 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně V našem kurzu Matematika nebudeme postupovat systematicky od úplného začátku, ale budeme navazovat na látku ze střední školy. Úvodní kapitola je věnována přehlednému opakování, popřípadě doplnění nejdůležitějších pojmů, které budeme užívat. Sledujeme i cíl upřesnit a sjednotit některé názvy a označení.. Elementy matematické logiky Výroky Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme předmětům jisté vlastnosti nebo jimiž stanovíme vztahy mezi předměty; je to (jazykový) výraz, o němž má smysl říci, že je pravdivý nebo nepravdivý. Například číslo 3 je sudé je nepravdivý výrok, naproti tomu sdělení přijď brzy domů, číslo Brno je modré, sin x > 0 výroky nejsou (druhé sdělení je nesmyslná snůška slov, třetí sdělení je tzv. výroková funkce s proměnnou x). Výrokům přiřazujeme tzv. pravdivostní hodnoty: je-li výrok pravdivý, má pravdivostní hodnotu, nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu 0. Složené výroky sestavujeme pomocí výrokotvorných částic spojek; jsou-li p, q výroky, definujeme: negace výroku p p, p, p opačný výrok konjunkce výroků p a q p q a, současně disjunkce výroků p a q p q nebo (nevylučovací!) implikace výroků p a q p q z p plyne q * ekvivalence výroků p a q p q p je ekvivalentní s q ** * p implikuje q, jestliže p pak q, q je nutná podmínka pro p, p je postačující podmínka pro q, ** p právě když q, p tehdy a jen tehdy když q, p když a jen když q, p je nutná a postačující podmínka pro q. Jednotlivé výrokové spojky mají specifické vlastnosti: například negací pravdivého výroku získáme výrok nepravdivý a naopak, konjunkce dvou výroků je pravdivá pouze v případě, jsou-li oba výroky pravdivé atd. Přehledněji vlastnosti jednotlivých výrokových spojek popíšeme pomocí pravdivostních hodnot: p p q p q p q p q p q Stejně tak pomocí tabulky pravdivostních hodnot nejsnáze zjistíme, při jaké kombinaci elementárních výroků je pravdivý nebo nepravdivý komplikovanější výrok.

13 Matematika Příklad.: Vyšetříme výrok (p q) (p q). Řešení: p q q p q p q (p q) (p q) (p q) Daný výrok je tedy pravdivý bez ohledu na to, jsou-li výroky p, q pravdivé nebo nepravdivé. Složitější výroky jsou někdy nepřehledné vzhledem k vysokému počtu závorek, které udávají pořadí, ve kterém se mají jednotlivé spojky aplikovat; proto užíváme konvenci o pořadí, jak silně spojky vážou elementární výroky. Pořadí je následující: negace, konjunkce a disjunkce, implikace a ekvivalence. Tedy např. místo a místo (p (q r)) ((p q) (p r)) píšeme p (q r) (p q) (p r), (( p) q) (p ( q)) píšeme p q p q. V příkladu. jsme viděli, že složený výrok může mít takový tvar, že je vždy pravdivý bez ohledu na to, jsou-li jednotlivé elementární výroky, ze kterých je tento složený výrok sestaven, pravdivé nebo nepravdivé (tedy má pravdivostní hodnotu při libovolném vyhodnocení); takové výroky se nazývají tautologie; výrok, který je vždy nepravdivý (pro libovolné ohodnocení elementárních výroků má pravdivostní hodnotu 0), se nazývá kontradikce. Uvedeme si některé další tautologie (jako cvičení prověřte, že se o tautologie skutečně jedná): (p q) (p q) (q p) (p q) ( q p) (p q) ( p q) negace implikace (p q) (p q)

14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně De Morganova pravidla (p q) ( p q) (p q) ( p q) distributivita p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) dvojí negace p ( p) zákon vyloučeného třetího p p Až na poslední vztah mají všechny uvedené tautologie tvar ekvivalence; výroky napravo jsou pravdivé právě tehdy, když jsou pravdivé výroky nalevo. Pravdivostní hodnota složeného výroku se tedy nezmění, nahradíme-li dílčí výrok v něm vystupující výrokem s ním ekvivalentním (provedeme ekvivalentní úpravu). To nám umožňuje složité výroky postupně zjednodušovat. Příklad.: Pomocí výše uvedených ekvivalentních úprav zjednodušíme výrok [(p q q) (p q)]: [(p q q) (p q)] (De Morganův vzorec) (p q q) (p q) (negace implikace) [(p q) q] (p q) (dvojí negace) (p q q) (p q) (p q) (p q) (distributivita) p (q q) p Výrokové funkce predikáty Představme si, že pro x R zkoumáme výraz x > 3. Tento výraz není výrok; stane se jím, až za x dosadíme některé konkrétní reálné číslo, a v závislosti na tom, které číslo zvolíme, bude pravdivý nebo nepravdivý. Takový výraz se nazývá výroková funkce (forma), také predikát. Výroková funkce obsahuje proměnné; proměnná se dá chápat jako prázdné místo, kam lze dosazovat libovolné prvky z určité množiny, např R (C), která se nazývá přípustný obor dané proměnné. Po dosazení za všechny proměnné se predikát stane výrokem buď pravdivým nebo nepravdivým. Prvky množiny, pro něž je výrok pravdivý, tvoří obor pravdivosti výrokové formy. Příklad.3: x N je predikát s přípustným oborem (například) R; dosadíme-li za x například π, 8, 3, dostaneme výroky π N, 4 N, 3 4 N,

15 Matematika 3 z nichž druhý je pravdivý a první a třetí nepravdivý. Obor pravdivosti tvoří všechna kladná sudá čísla. Kvantifikátory Je-li V predikát obsahující proměnnou x (event. i další), pak výraz x (V ) nebo x : V x (V ) nebo x : V chápeme jako tvrzení existuje x tak, že platí V pro každé x platí V Přitom se nazývá existenční kvantifikátor, se nazývá všeobecný kvantifikátor. Poznamenejme, že ve výrazech s kvantifikátory často uvádíme přímo přípustný obor pro proměnnou; píšeme x M : V (x), x M : V (x). Jestliže predikát V obsahuje jedinou proměnnou x, je x (V ) resp. x (V ) výrok; říkáme, že proměnná x je vázaná kvantifikátorem. V opačném případě jde zase o predikát s tzv. volnou proměnnou a můžeme utvořit nové výrazy (predikáty, výroky) y x (V ), y x (V ) a podobně. Příklad.4: pravdivý výrok: Máme zjistit, který z následujících predikátů s proměnnou x R je a) x b) x (x ) c) x (x ) d) x (x (, x ) Řešení: a) není výrok (proměnná x je volná); b) je nepravdivý výrok; lze najít číslo a R (např. a = 3) tak, že výrok a je nepravdivý; c) je pravdivý výrok; stačí najít jedno konkrétní číslo a R (např. a = 0) tak, že výrok a je pravdivý; d) jedná se o pravdivý výrok, kterým definujeme interval. Kvantifikátory tedy můžeme řadit za sebou, přičemž na jejich pořadí záleží. Např. x R y R (x = y) je jiný výrok než y R x R (x = y) (první je pravdivý, druhý nepravdivý).

16 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad.5: Máme vyšetřit pravdivost následujících výroků pro reálné proměnné x a y: a) x y (x < y) b) y x (x < y) Řešení: a) Výrok je pravdivý; stačí pro libovolné pevně zvolené x položit y = x + výrok x < x + je pravdivý pro každé reálné x. b) Výrok je nepravdivý; jeho pravdivost by znamenala, že existuje největší reálné číslo. ( není reálné číslo!) Při vyšetřování reálných čísel se osvědčilo zavést symbol R = R {, }. Použijeme-li toto označení, můžeme formulovat pravdivý výrok y R x R (x < y). Často potřebujeme utvořit negaci výroku s kvantifikátory. Užíváme přitom tyto ekvivalence: ( x M : V (x)) x M : V (x), ( x M : V (x)) x M : V (x). Příklad.6: [ x M : (P (x) Q(x))] x M : [P (x) Q(x)] x M : (P (x) Q(x)). Shrnutí V tomto odstavci jsme připomněli následující pojmy: výrok: jazykové spojení, o kterém lze říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé, výrokové spojky, pomocí nichž sestavujeme složitější výroky:,,,, ; ohodnocení výroků pomocí pravdivostních hodnot, tautologie a kontradikce: výrok vždy pravdivý resp. vždy nepravdivý, výroková funkce (predikát): tvrzení, které obsahuje proměnnou a které se stane výrokem, jestliže za tuto proměnnou dosadíme prvek z přípustné množiny, kvantifikátory: všeobecný a existenční.

17 Matematika 5 Cvičení. Formulujte, co rozumíme výrokem a uveďte příklady.. Nechť p znamená je chladno a q prší. Vyjádřete slovně následující složené výroky: a) p b) p q c) p q d) q p 3. Nechť p znamená je vysoká a q je hezká. Zapište symbolicky následující výroky: a) Je vysoká a hezká. b) Je vysoká, ale není hezká. c) Není pravda, že je nevysoká a hezká. d) Není ani vysoká, ani hezká. e) Je vysoká, nebo je nevysoká a hezká. f) Není pravda, že je nevysoká nebo nehezká. 4. Najděte pravdivostní hodnoty následujících složených výroků: a) Paříž je ve Francii a zároveň + = 4. b) Paříž je v Anglii a zároveň + = 4. c) Paříž je ve Francii a zároveň + = 5. d) Paříž je v Anglii a zároveň + = Najděte pravdivostní hodnoty následujících složených výroků ( nebo je zde ve smyslu nevylučovacím): a) + = 5 nebo + = 4 b) + 5 = 9 nebo = 8 c) + = 5 nebo = 4 d) + 5 = 9 nebo + 7 = 8 6. Najděte pravdivostní hodnoty následujících složených výroků: a) Kodaň je v Dánsku, a + = 5 nebo + = 4. b) Paříž je v Anglii, nebo + = a = 7. c) Kodaň je v Dánsku, nebo + 5 = 8 a = 6. d) Paříž je v Anglii, a = 7 nebo + 6 = Pomocí tabulky pradivostních hodnot ohodnoťte výroky: a) p (q r) b) (p q) (p r) 8. Definujte tautologii a kontradikci a uveďte příklady.

18 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 9. Ověřte, že: a) p (p q) je tautologie, b) (p q) (p q) je kontradikce, c) (p q) (p q) je tautologie, d) p (q r) (p q) (p r) je tautologie. 0. Sestavte tabulku pravdivostních hodnot pro logickou spojku vylučovací nebo : p q znamená platí p nebo q, ale ne současně.. Ověřte ekvivalenci p q (p q) (p q).. Nechť p(x) je výraz x + > 5. Rozhodněte, zda je to výroková funkce; v kladném případě zjistěte, zda následující množiny jsou její přípustné obory: a) N, b) M = {,, 3,... }, c) C. 3. Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků: (Přípustná množina je R) a) x : x = x, b) x : x = x, c) x : x + > x, d) x : x + = x. 4. Utvořte negace výroků z cv. 3 a vzniklé výroky co nejvíce zjednodušte. 5. Nechť A = {,, 3, 4, 5}. Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků. Utvořte a co nejvíce zjednodušte jejich negace: a) ( x A)(x + 3 = 0), b) ( x A)(x + 3 < 0), c) ( x A)(x + 3 < 5), d) ( x A)(x + 3 7). 6. Utvořte negace výroků: a) x p(x) y q(y), b) x p(x) y q(y). 7. Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků s přípustnou množinou {,, 3}: a) x y : x < y +, b) x y : x + y <, c) x y : x + y <, d) x y z : x + y < z, e) x y z : x + y < z. 8. Nechť A = {,,..., 9, 0} je přípustná množina pro následující predikáty. Jdeli o výroky, určete pravdivostní hodnotu. Jde-li o výrokové funkce, najděte obor pravdivosti: a) x y : x + y < 4, b) x y : x + y < 4, c) y : x + y < 4, d) y : x + y < Utvořte negace následujících výroků:

19 Matematika 7 Výsledky a) x y : p(x, y), b) x y : p(x, y), c) y x z : p(x, y, z), d) x y : (p(x) q(y)), e) x y : (p(x, y) q(x, y)), f) y x : (p(x) q(y)).. a) není chladno, b) je chladno a prší, c) je chladno nebo prší (nebo je chladno a prší), d) prší nebo není chladno; 3. a) p q, b) p q, c) ( p q) p q, d) p q, e) p ( p q) p q, f) ( p q) p q; 4. a), b) 0, c) 0, d) 0; 5. a), b) 0, c) 0, d) ; 6. a), b) 0, c), d) 0; 0. p q p q a),b) ano, c) ne; 3. a) 0, b), c), d) 0; 4. a) x : x = x, b) x : x x, c) x : x + x, d) x : x + x; 5. a) 0; ( x A)(x + 3 0), b) ; ( x A)(x + 3 0), c) ; ( x A)(x + 3 5), d) 0; ( x A)(x + 3 > 7); 6. a) ( x : p(x)) ( y : q(y)), b) ( x : p(x)) ( y : q(y)); 7. a), b), c) 0, d), e) 0; 8. a), b) 0, c) {,, 3}, d) A; 9. a) x y ( p(x, y)), b) x y ( p(x, y)), c) y x z ( p(x, y, z)), d) x y ( p(x, y) q(x, y)), e) x y (p(x, y) q(x, y)), f) x y ( p(x, y) q(x, y).. Množiny Ze střední školy resp. z Matematického semináře je vám známo, že v matematice nazýváme jakýkoliv soubor či systém objektů množinou. Množiny vymezujeme výčtem prvků nebo predikátem charakterizací: Je-li V (x) predikát, potom symbol {x V (x)} označuje množinu všech prvků a, pro které je V (a) pravdivý výrok; někdy uvádíme obor přípustný pro proměnnou x a píšeme např.: {x R V (x)}. Příklad.7: {x R x } = (,. Značí-li A množinu jistých objektů a x je jeden z těchto předmětů, říkáme, že x je prvkem množiny A (x patří do A) a píšeme x A. Není-li y prvkem množiny A, píšeme y A. Jestliže S je množina, jejíž prvky jsou opět množiny, nazýváme ji zpravidla systémem množin.

20 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Dvě množiny mají stejné prvky (tedy jsou si rovny), jestliže jsou charakterizovány ekvivalentními výroky: {x U(x)} = {x V (x)} x (U(x) V (x)). Operace s množinami Nechť A, B jsou množiny. Potom definujeme vztahy mezi množinami a operace s množinami pomocí následujících výroků: rovnost množin A = B x(x A x B) podmnožina A B x(x A x B) průnik množin x(x A B x A x B) sjednocení množin x(x A B x A x B) rozdíl množin x(x A \ B x A x B) Je-li A B, označujeme množinu B \ A symbolem A a nazýváme ji doplňkem (komplementem) množiny A v množině B. Tuto symboliku používáme především tehdy, zkoumáme-li komplementy více množin k jedné pevné množině. Příklad.8: Nechť A = {,, 3, 4}, B = {, 4, 6}, C = {,, 4, 8} a X = {,,..., 0}. Máme popsat výčtem prvků množiny (doplňky se rozumí vzhledem k X): A B, B C, A \ B, B \ A, A (B C), (A B) C, A B, A B. Řešení: A B = {x x A x B} = {,, 3, 4, 6} B C = {x x B x C} = {, 4} A \ B = {x x A x B} = {, 3} B \ A = {x x B x A} = {6} A (B C) = {x x A x B C} = {,, 3, 4} (A B) C = {x x A B x C} = {,, 4, } A B = {x x X x A B} = {5, 7, 8, 9, 0} A = {x x X x A} = {5, 6, 7, 8, 9, 0}, B = {x x X x B} = {, 3, 5, 7, 8, 9, 0} A B = {x x A x B} = {, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 0}

21 Matematika 9 Množina neobsahující žádné prvky se nazývá prázdná množina. Tuto množinu značíme symbolem, výrok x (x ) je tedy nepravdivý. Prázdnou množinu můžeme definovat libovolnou kontradikcí, například = {x x A x A}. Prázdná množina má mnoho překvapivých vlastností, se kterými se setkáme později; některé jsou ověřeny v následujícím příkladu: Příklad.9:. Ukažme, že pro libovolnou množinu A platí A.. Prověřme pravdivost následujících výroků: a) b) c) { } d) { } Řešení:. Použijeme výrok definující podmnožinu: A x(x x A) x je nepravda, tedy implikace ve zkoumaném výroku je vždy pravdivá (nepravda cokoliv).. a) Prázdná množina nemá žádné prvky, tedy ani samu sebe. b) viz. pro A =. c) { } je množina zadaná výčtem prvků, jediný její prvek je ; tedy { }. d) viz. pro A = { }. Množinu všech podmnožin dané množiny A nazýváme potenční množinou a označujeme P(A). Tedy P(A) = {X X A}. Příklad.0: P({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Ukážeme,že je-li A konečná množina o n prvcích, má její potenční množina n prvků: Podmnožinu o k prvcích (v množině A) můžeme utvořit ( n k) různými způsoby (je to počet kombinací k-té třídy z n prvků). Máme tedy ( n 0) podmnožin o 0 prvcích (což je ) ( n ) jednoprvkových podmnožin ( n ) dvouprvkových podmnožin ( n k). ( n n) k-prvkových podmnožin n-prvkových podmnožin Celkem (n ) + 0 ( ) n + + ( ) n + + k ( ) n = ( + ) n = n. n Proto se také někdy množina všech podmnožin dané množiny A označuje symbolem A.

22 0 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad.: Pro množiny z příkladu.8 máme určit Řešení: P(A C), P(B), P(A C) P(B) a P(A B C). A C = {,, 4} P(A C) = {, {}, {}, {4}, {, }, {, 4}, {, 4}, {,, 4}}, P(B) = {, {}, {4}, {6}, {, 4}, {, 6}, {4, 6}, {, 4, 6}}, P(A C) P(B) = {, {}, {4}, {, 4}}; A B C = {, 4}, P(A B C) = {, {}, {4}, {, 4}}. Kartézským součinem A B množin A, B (v tomto pořadí) nazýváme množinu A B = {(a, b) a A b B}. Přitom (a, b) znamená uspořádanou dvojici prvků a, b. Je-li speciálně A = B, pak A A značíme A. Například R bude značit množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel. Jsou-li A, B, A B neprázdné množiny, pak A B B A: Příklad.: Nechť A = {, }, B = {3}. Potom A B = {(, 3), (, 3)}, a B A = {(3, ), (3, )}. Číselné množiny Číselné obory se obvykle konstruují postupně tak, že se vychází od oboru přirozených čísel N = {,, 3, 4,... }. Součet a součin přirozených čísel je přirozené číslo. N se rozšíří na obor celých čísel Z celým číslem nazýváme každé číslo, které lze vyjádřit jako rozdíl přirozených čísel. Součet, součin a rozdíl celých čísel je celé číslo. Každé číslo, které můžeme vyjádřit jako podíl celého čísla a celého čísla různého od nuly, nazýváme racionálním číslem. Obor racionálních čísel značíme písmenem Q. Součet, rozdíl, součin a podíl dvou racionálních čísel (kromě dělení nulou) je racionální číslo. Všechna racionální čísla můžeme vyjádřit ve tvaru konečných nebo nekonečných periodických desetinných zlomků. Číslo, které lze vyjádřit ve tvaru nekonečného neperiodického desetinného zlomku, nazýváme iracionálním číslem. Takovými čísly jsou např. čísla, 3, 3, π atd. Množina všech racionálních a iracionálních čísel se nazývá obor reálných čísel R. Množina reálných čísel není uzavřená k opperaci tvoření odmocnin sudé odmocniny ze záporných čísel nejsou reálná čísla; např. rovnice ( x + = 0, x + x + = 0 tj. (x + ) + = 0 )

23 Matematika nejsou v R řešitelné. Při hledání kořenů algebraických rovnic je však vhodné se sudými odmocninami ze záporných čísel (především s druhou odmocninou z čísla ) počítat: Cardanův vzorec pro rovnici x 3 = ax + b má tvar ( ) b b ( a ) 3 ( ) x = b b ( a ) a má smysl pouze pro ( ) b ( a ) 3 c = 0. 3 Ale například rovnice x 3 = 5x + 4 má řešení x = 4, přičemž c = 5 3 =. Podívejme se, co dostaneme, jestliže formálně dosadíme do Cardanova vzorce: x = = = ( ) = + + = 4, přičemž rovnost označenou ( ) získáme následujícím způsobem: ( ± ) 3 = 3 ± 3 ( ) + 3 ( ) ± ( ) 3 = = 8 ± 6 ± ( ) = ±. Tedy při formálně správném výpočtu s použitím imaginární odmocniny z čísla dostaneme správný (a přitom reálný) výsledek x = 4. Podobné úvahy vedly k zavedení oboru komplexních čísel C. Komplexním číslem rozumíme číslo z tvaru z = x + j y, kde x, y R a j je tzv. imaginární jednotka, pro kterou platí j =. Reálná čísla Množinu M, jejíž všechny prvky jsou čísla, nazýváme číselnou množinou. Pokud neřekneme výslovně nic jiného, budeme v dalším hovořit o číselných množinách reálných čísel. Nejčastěji užívanými množinami reálných čísel jsou intervaly; připomeňme jejich definici:

24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Definice.3: Nechť platí a, b R, a < b. Množina. (a, b) = {x a < x < b} se nazývá otevřený interval,. a, b = {x a x b} se nazývá uzavřený interval, 3. a, b) = {x a x < b} se nazývá zleva uzavřený a zprava otevřený interval, 4. (a, b = {x a < x b} se nazývá zleva otevřený a zprava uzavřený interval. Vzhledem k uspořádání reálných čísel je vhodné zavést symboly a předpisem x R : ( < x) (x < ). Body a se nazývají nevlastní body reálné osy. Zavedeme označení: R {, } = R. Dále definujeme následující intervaly:. (a, ) = {x a < x},. a, ) = {x a x}, 3. (, b) = {x x < b}, 4. (, b = {x x b}. Podobně píšeme R = (, ). Speciálním případem intervalů jsou tzv. okolí bodu: Definice.4: Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a číslo ε poloměr okolí. Množinu U (a, ε) = U(a, ε) \ {a} = (a ε, a) (a, a + ε) = {x R 0 < x a < ε} budeme nazývat redukovaným (ryzím) okolím bodu a R. (Pro naše potřeby obvykle předpokládáme, že ε je libovolně malé.) Není-li poloměr okolí ε podstatný, píšeme místo U(a, ε) a U (a, ε) pouze U(a) a U (a). Okolím U( ) bodu budeme rozumět každý interval (K, ) a okolím U( ) bodu budeme rozumět každý interval (, K). Pomocí okolí můžeme definovat pojem tzv. hromadného bodu množiny, který budeme potřebovat při zavádění pojmu limity:

25 Matematika 3 Definice.5: Bod a R je hromadný bod množiny M R, jestliže v každém jeho redukovaném okolí leží alespoň jeden bod x M. Příklad.6: a) Každý bod intervalu (0, je hromadný. Navíc bod 0, který do intervalu nepatří, je jeho hromadným bodem. b) Množina N má v R jediný hromadný bod. c) Bod množiny M = (0, ) {} (3, ) není jejím hromadným bodem, neboť jeho okolí U() = (, + ) nemá s M jiný společný bod než. Takový bod se nazývá izolovaný bod množiny M. Suprémum, infimum, maximum, minimum, ohraničené (omezené) množiny Je-li M R, a R, zavedeme označení: M a (resp. a M) x M : x a (resp. x M : a x). Definice.7: a) Platí-li M a, a R, řekneme, že a je horní mez (závora, ohraničení) množiny M a že množina M je shora ohraničená, b) platí-li a M, a R, řekneme, že a je dolní mez (závora, ohraničení) množiny M a že množina M je zdola ohraničená, c) řekneme, že a R je největší prvek množiny M a píšeme a = max M, jestliže platí M a a M, d) řekneme, že a R je nejmenší prvek množiny M a píšeme a = min M, jestliže platí a M a M. Příklad.8: min (, 3 neex., max (, 3 = 3; max N neex., min N =. Definice.9: Nechť M R. a) Nejmenší horní mez množiny M nazýváme suprémum množiny M. Není-li množina M shora ohraničená, považujeme za její suprémum. Píšeme sup M = min {x x R M x}. b) Největší dolní mez množiny M nazýváme infimum množiny M. Není-li množina M zdola ohraničená, považujeme za její infimum. Píšeme inf M = max {x x R x M}. Příklad.0: inf (, 3 = max {x R x (, 3 } = max {x R x } =, sup (, 3 = min {x R x (, 3 } = min {x R x 3} = 3.

26 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad.: sup N = min {x R N x} = min { } =. Bez důkazu uvedeme velmi důležitou větu: Věta.: Každá podmnožina R má právě jedno suprémum a právě jedno infimum. Při axiomatické výstavbě oboru reálných čísel se uvádí následující Archimedův axiom: a (0, ) n N : a n. Platnost tohoto axiomu využijeme v následujícím příkladu: Příklad.3: Ukážeme, že platí tvrzení: ε > 0 n N : n < ε. Řešení: ε : ε > 0 ε > 0 Archimedův axiom n N : ε < n a poslední výrok je ekvivalentní s dokazovaným tvrzením. Shrnutí V tomto odstavci jsme zopakovali základní pojmy, které se týkají množin: dva hlavní způsoby zadání množiny: výčtem prvků resp. výrokovou funkcí, operace s množinami: rovnost, průnik, sjednocení a rozdíl množin, pojem podmnožiny a doplňku vzhledem k dané množině, prázdná množina, potenční množina a kartézský součin množin, množina reálných čísel R a její podmnožiny: Dále jsme zavedli nové pojmy pro obor reálných čísel: rozšíření R o nevlastní body, : R, N, Z, Q, intervaly. okolí bodu x R: interval (x ε, x + ε), redukované (ryzí) kolí bodu x R: množina (x ε, x + ε) \ {x}, hromadný bod množiny: jeden bod dané množiny, bod, v jehož libovolném redukovaném okolí leží alespoň horní (resp. dolní) mez (závora) množiny: nebo roven každému prvku této množiny, bod z R, který je větší (resp. menší) suprémum (resp. infimum) množiny: mezí množiny. nejmenší z horních (resp. největší z dolních)

27 Matematika 5 Cvičení. Nechť A = {0,,, 3}. Najděte množiny A A, A A, A \ A. Dají se výsledky zobecnit?. Nechť A je množina všech celých čísel dělitelných dvěma, B množina všech celých čísel dělitelných třemi, C množina všech celých čísel dělitelných šesti. Zjistěte, které z následujících vztahů jsou správné: a) A B, b) A C, c) B C, d) B A, e) C A, f) C B, g) A B = C, h) A \ B = C, i) A B = C. 3. Nechť M je množina všech přirozených čísel menších než 6, M je její podmnožina, která obsahuje všechna sudá čísla, M podmnožina, která obsahuje všechna čísla dělitelné třemi a M 3 podmnožina, která obsahuje všechna čísla dělitelná pěti. Najděte množiny: a) M M, b) M M M 3, c) M M 3, d) M M M 3, e) (M M ) M 3, f) (M M 3 ) (M M 3 ), g) M \ M, h) M \ M, i) (M \ M ) (M \ M ), j) (M M ) \ (M M ), k) (M M ) M 3, l) (M M ) (M M 3 ). 4. Znázorněte množiny a) l) z předchozího příkladu, jestliže pod M, M, M 3 rozumíme čtverce se stranou stejné délky, přičemž středy čtverců S, S, S 3 leží na přímce procházející protilehlými vrcholy uvedených čtverců a S 3 je střed úsečky S S. 5. Nechť A, B, C jsou soustředné kruhy s poloměry r, r, r 3, kde 0 < r < r < r 3. a) Znázorněte množiny A B C, A B C, A \ B, B \ A, B \ C, C \ B. b) Znázorněte doplňky A, B, C vzhledem k C. 6. Najděte suprémum a infimum množiny a) M = { x x = n+ n N }, n } b) M = {x x = +( )n n N, n c) M 3 = {x R 3x < x < 3x + }. 7. M = {0,5; 0,55; 0,555;... }. Dokažte, že sup M = Dokažte: Je-li N M, potom inf M inf N, sup N sup M.

28 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 9. Nechť A, B jsou neprázdné omezené množiny v R. Označme Dokažte: Výsledky. A, A, ;. e), f), i); A + B = {x + y x A y B}. a) sup (A + B) = sup A + sup B inf (A + B) = inf A + inf B, b) sup (A B) = max{sup A, sup B}, sup (A B) min {sup A, sup B}. Ukažte na příkladě, že zde nemusí platit rovnost. Co platí pro infima množin A B, A B? 3. a) M \ {, 5, 7,, 3}, b) M \ {, 7,, 3}, c) {5}, d), e)f) {0, 5}, g) {3, 9, 5}; 6. a) sup M = 3, inf M =, b) sup M = 3, inf M = 0, c) sup M 3 =, inf M 3 = 4..3 Funkce, zobrazení V této kapitole se budeme věnovat základnímu pojmu, se kterým pracuje matematická analýza pojmu funkce. Opět připomeneme pojmy známé ze střední školy a sjednotíme a upřesníme terminologii. Definice.4: Zobrazení f množiny D do množiny M je předpis, který každému prvku x D přiřadí právě jeden prvek y M. Prvek y se nazývá hodnota zobrazení f v x, nebo také obraz x a značí se f(x). Skutečnost, že f je zobrazení množiny D do množiny M zapisujeme vztahem f : D M, x f(x). Množina D se nazývá definiční obor zobrazení f, množina f(d) = {f(x) x D} se nazývá obor hodnot zobrazení f a značí se symbolem H f. Jestliže budeme současně mluvit o více funkcích, budeme pro jejich definiční obory užívat symboly D f, D g,... Dvě zobrazení f, g jsou si rovna (f = g), jestliže mají tentýž definiční obor D a platí x D : f(x) = g(x).

29 Matematika 7 Jsou-li A, B množiny, definujeme: a) Zúžení f na A (nebo též parciální zobrazení) je zobrazení f/ A s definičním oborem A D, dané předpisem f/ A : f/ A (x) = f(x), x A D. b) Obraz množiny A při zobrazení f: f(a) = {f(x) x A D}. c) Vzor množiny B při zobrazení f: f (B) = {x D f(x) B}. Poznamenejme, že a) a b) se nejčastěji používají v případech, že A D, ale není to podmínkou. V tomto učebním textu nás budou zajímat převážně zobrazení mezi číselnými množinami. V těchto případech se pro zobrazení vžil termín funkce. Definice.5: Funkcí obvykle rozumíme takové zobrazení, jehož obor hodnot je číselná množina, tedy podmnožina množiny reálných (nebo komplexních) čísel. Pojem a základní vlastnosti funkce Definice.6: Zobrazení f, jehož definiční obor, stejně jako obor hodnot, jsou podmnožiny množiny R, se nazývá reálná funkce jedné reálné proměnné, dále krátce funkce. Příklad.7: Důležité funkce: a) [x] celá část x : [x] x < [x] +, [x] Z { 0 x M b) χ M (x) = charakteristická funkce množiny M x M { 0 x Q speciálně χ(x) = charakt. funkce množiny racionálních čísel Q x Q x > 0 c) sgn(x) = 0 x = 0 x < 0 Je-li funkce f zadána formulí, např. f(x) = a x, budeme často mluvit prostě o funkci a x. V tomto případě musí být zadán definiční obor. Dohodneme se však, že v případě, kdy definiční obor nebude výslovně uveden, budeme za něj považovat množinu všech těch čísel x, pro která má daná formule smysl. Tuto množinu pak nazýváme přirozeným definičním oborem funkce.

30 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně V rovině R můžeme funkci f znázornit pomocí jejího grafu: Definice.8: Graf funkce f je množina všech bodů [x, y] R takových, že x D, y = f(x). Rovnice y = f(x) se nazývá rovnice grafu funkce f. Grafy funkcí z příkladu.7 jsou v následujících obrázcích: Obr..: y = sgn(x) Obr..: y = [x] Složená funkce Definice.9: Jsou-li f, g funkce, můžeme vytvořit novou funkci f g (čti f po g) předpisem (f g)(x) = f(g(x)). Funkce f g se nazývá složená funkce, funkce f vnější složka a funkce g vnitřní složka složené funkce f g. Definičním oborem složené funkce je množina D f g = g (D f ) = {x D g g(x) D f }. Vznik složené funkce ilustruje následující obrázek: Obr..3: Složená funkce

31 Matematika 9 Příklad.30: složky: Utvoříme složené funkce f g resp. f g h, jestliže jsou zadány jednotlivé a) f : f(y) = + y; y, + ) Určíme D f g : g : g(x) = sin x; x π, π f g : f(g(x)) = + sin x; D f g = {x (x π, π ) ( + sin x 0) } Vyřešíme příslušnou nerovnost druhý výrok vystupující v konjunkci zjednodušíme: + sin x 0 sin x π 6 + kπ x 7π 6 + kπ, k Z; konjunkce charakterizující definiční obor složené funkce má tedy tvar (x π, π ) ( π 6 + kπ x 7π 6 + kπ, k Z) x π, π π 6, 7π 6 x π 6, π (položili jsme k = 0). Tedy D f g = π 6, π. b) f : f(u) = a u ; u R, (a 0) g : g(y) = cos y; y R h : h(x) = x +x ; x R f g h : f(g(h(x))) = a x cos +x ; x R c) f : f(x) = { 0 x < 0 x x 0 a g : g(x) = sgn x f g : f(g(x)) = sgn x = x < 0 0 x = 0 x > 0 { 0 sgn x < 0 sgn(x) sgn x 0 ; tedy sgn x { < 0 x < 0 0 x 0 Odtud 0 x < 0 f(g(x)) = 0 x = 0 x > 0 neboli f(g(x)) = { 0 x 0 x = 0

32 30 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Dále připomeneme pojmy, které jsou vám jistě dobře známé ze střední školy: Funkce prosté a funkce inverzní Definice.3: Funkce f se nazývá prostá, jestliže platí: x, x D : x x f(x ) f(x ). Příklad.3: Funkce f : f(x) = x; x R f : f(x) = x ; x 0, ) f : f(x) = sin x; x π, π f : f(x) = cos x; x 0, π f : f(x) = a x ; x R, (a > 0, a ) jsou prosté, avšak funkce f : f (x) = x ; x R f : f (x) = sin x; x R f 3 : f 3 (x) = cos x; nejsou prosté: Zřejmě je analogicky x R f () = = f ( ) = ( ) =, dokonce platí x R : f (x) = f ( x), f (x) = sin x = f (x + π) = sin (x + π). Definice.33: Je-li f prostá funkce, potom inverzní funkcí k funkci f rozumíme funkci f, jejímž definičním oborem je obor hodnot funkce f a pro každou dvojici (x, y), x D f, y H f, platí y = f(x) právě když x = f (y). Jestliže tedy bod [a, b] leží na grafu funkce f, takže b = f(a), je f (b) = a, tedy bod [b, a] leží na grafu funkce f ; přitom body [a, b], [b, a] jsou symetrické podle přímky y = x. Platí tedy (jak se můžeme přesvědčit v obrázcích k příkladu.35): Věta.34: Grafy inverzních funkcí f, f jsou symetrické podle přímky y = x. Příklad.35: f : f(x) = x, x 0, ); f : f (y) = y, y 0, ) f : f(y) = a y, y R; f : f (x) = log a x, x (0, )

33 Matematika 3 Obr..4: y = x, y = x Obr..5: y = e x, y = ln x f : f(x) = sin x, x π, π ; f : f (x) = arcsin x, x, f : f(x) = cos x, x 0, π ; f : f (x) = arccos x, x, Obr..6: y = sin x, y =arcsin x Obr..7: y = cos x, y =arccos x f : f(x) = tg x, x ( π, π ); f : f (x) = arctg x, x R f : f(x) = cotgx, x (0, π); f : f (x) = arccotg x, x R

34 3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obr..8: y =tg x, y =arctg x Obr..9: y =cotg x, y =arccotg x Povšimněme si, co se stane, vytvoříme-li kompozici dvou navzájem inverzních funkcí: Zřejmě platí: f [f(x)] = x, x D f a f[f (y)] = y, y D f. Pozor: je podstatné, že vnitřní složku uvažujeme pouze na té části definičního oboru, kde je tato vnitřní složka prostou funkcí, tedy tam, kde k ní sestrojujeme funkci inverzní, která je vnější složkou. Na obr..0 můžeme na příkladu funkce arcsin sin x vidět co se stane, když vnitřní složku uvažujeme na větší množině. Obr..0: arcsin sin x Algebraické operace mezi funkcemi Definice.36: Jsou-li f, g funkce a c konstanta, (kterou můžeme ostatně chápat jako konstantní funkci, tj. funkci, která každému reálnému číslu přiřadí tutéž hodnotu c), můžeme definovat nové funkce f + g, f g, fg,, cf následujícími předpisy: f + g : (f + g)(x) = f(x) + g(x); f g : (f g)(x) = f(x) g(x); f g D f+g = D f D g D f g = D f D g fg : (fg)(x) = f(x)g(x); D fg = D f D g f : f g g (x) = f(x) g(x) ; D f g cf : (cf)(x) = cf(x); D cf = D f = {x D f D g g(x) 0} Tyto nové funkce budeme nazývat součet, rozdíl, součin, podíl funkcí f, g a c- násobek funkce f. Vzhledem k výše uvedené poznámce o konstantě, c-násobek funkce f je speciálním případem součinu funkcí.

35 Matematika 33 Všimněme si dále, že zatímco definice složené funkce, prosté funkce a inverzní funkce jsou speciální případy stejných pojmů pro zobrazení, není možné převést na libovolná zobrazení definice algebraických operací mezi funkcemi, neboť zde je podstatně využito algebraické struktury množiny R. Monotonní funkce Definice.37: Řekneme, že funkce f je na množině M D f rostoucí, jestliže x, x M : x < x f(x ) < f(x ), klesající, jestliže x, x M : x < x f(x ) > f(x ), nerostoucí, jestliže x, x M : x < x f(x ) f(x ), neklesající, jestliže x, x M : x < x f(x ) f(x ). Rostoucí a klesající funkce se nazývají ryze monotónní, funkce neklesající a nerostoucí se nazývají monotónní. Je-li f ryze monotonní na D f, potom je jistě prostá, a proto existuje inverzní funkce f. Předpokládejme pro určitost, že f je rostoucí. Označíme-li y = f(x ), y = f(x ) pro x, x D f, je y < y právě když x < x, avšak x = f (y ), x = f (y ), f je tedy také rostoucí. Podobný výsledek dostaneme pro klesající funkci (viz obrázky k příkladu.35). Platí tedy Věta.38: Je-li f ryze monotonní na D f, potom k ní existuje inverzní funkce f, která je rovněž ryze monotonní a to rostoucí, je-li f rostoucí, a klesající, je-li f klesající. Příklad.39: f : f(x) = 5 x je klesající na definičním oboru 0, +, neboť x < x x < x Funkce 5 x > 5 x. f : f (y) = (y 5) ; y (, 5 je rovněž klesající (prověřte!) viz obr.. Obr..: f(x)=5 x, f (x)=(x 5)

36 34 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Funkce sudé a liché, funkce periodické Definice.40: Funkci f nazýváme sudou (resp. lichou), když pro všechna x z D f platí f( x) = f(x) (resp. f( x) = f(x)). Leží-li na grafu y = f(x) sudé funkce bod [x, f(x)], leží na něm i bod [ x, f(x)]. Graf sudé funkce je tedy souměrný podle osy y. Pro lichou funkci f podobně s každým bodem [x, f(x)], leží na grafu y = f(x) i bod [ x, f(x)], a tedy graf liché funkce je souměrný podle počátku souřadnic. Příklad.4: f : f(x) = cos x cos ( x) ; x (, ) je sudá, neboť f( x) = x + 4 ( x) + 4 = cos x x + 4 = f(x) Obr..: Sudá funkce f : f(x) = f( x) = x sin x; x (, ) je lichá, neboť x 4 + ( x) sin ( x) = x ( x) 4 + ( sin x) = f(x) x 4 + Obr..3: Lichá funkce Definice.4: Funkce f se nazývá periodická, existuje-li číslo p 0 takové, že f(x ± p) = f(x) pro každé x D f. Číslo p se nazývá perioda funkce f. Je-li p perioda funkce f, pak kp, kde k 0 je libovolné celé číslo, je také perioda funkce f. Existuje-li nejmenší kladné číslo p, které je periodou funkce f, nazývá se primitivní perioda.