9. Fourierova transformace
|
|
- Nikola Kovářová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 9. Fourierova transformace Násobení polynomů V této kapitole se budeme zabývat násobením polynomů. Tento na první pohled triviální algebraický problém má překvapivě efektivní řešení, které nás dovede až k Fourierově transformaci. Značení: Polynomy jsou výrazy typu P(x)= p i x i, i=0 kde xjeproměnnáap 0 až p jsoučísla,kterýmříkámekoeficienty polynomu. Obecně budeme značit polynomy velkými písmeny a jejich koeficienty příslušnými malými písmeny s indexy. V algoritmech polynomy obvykle reprezentujeme pomocí vektoru koeficientů (p 0,...,p );oprotizvyklostemlineárníalgebrybudemesložkyvektorůvcelététo kapitole indexovat od 0. Počtu koeficientů n budeme říkat velikost polynomu P. Časovou složitost algoritmu budeme vyjadřovat vzhledem k velikostem polynomů na jeho vstupu. Pokudpřidámenovýkoeficient p n =0,hodnotapolynomuseprožádné xnezmění.stejnětakje-linejvyššíkoeficient p nulový,můžemehovynechat.takto můžeme každý polynom zmenšit na normální tvar, v němž má buďto nenulový nejvyšší koeficient, nebo nemá vůbec žádné koeficienty to je takzvaný nulový polynom, který pro každé x roven nule. Nejvyšší mocnině s nenulovým koeficientem se říká stupeň polynomu deg R, nulovému polynomu přiřazujeme stupeň 1. Násobení polynomů: Polynomy násobíme jako výrazy: ( ) ( m 1 P(x) Q(x)= p i x i q j x ). j i=0 Po roznásobení můžeme tento součin zapsat jako polynom R(x), jehož koeficient u x k jeroven r k = p 0 q k +p 1 q k p k q 0. Snadnonahlédneme,žepolynom RmástupeňdegP+degQavelikost P + Q 1. Algoritmus, který počítá součin dvou polynomů velikosti n přímo podle definice,protospotřebuječasθ(n)navýpočetkaždéhokoeficientu,celkemtedyθ(n 2 ). Pokusíme se nalézt efektivnější způsob. Rovnost polynomů: Odbočme na chvíli a uvažujme, kdy dva polynomy považujeme zastejné.natosedánahlížetvícezpůsoby.buďtosenapolynomymůžemedívat jako na výrazy a porovnávat jejich symbolické zápisy. Pak jsou si dva polynomy rovny právě tehdy, mají-li po normalizaci stejné vektory koeficientů. Tomu se říká identickárovnostpolynomůaobvykleseznačí P Q. Druhá možnost je porovnávat polynomy jako reálné funkce. Polynomy P a Q sitedybudourovny(p = Q)právětehdy,je-li P(x)=Q(x)provšechna x Ê. j=
2 Identickyrovnépolynomysijsourovnyijakofunkce,alemusítoplatitinaopak? Následujícívětaukáže,žeanoažedokoncestačírovnostprokonečnýpočet x. Věta:Buďte P a Qpolynomystupněnejvýše d.pokudplatí P(x i )=Q(x i )pro navzájemrůznáčísla x 0,...,x d,pakjsou Pa Qidentické. Důkaz: Připomeňme nejprve následující standardní lemma o kořenech polynomů: Lemma:Polynom Rstupně t 0mánejvýše tkořenů(čísel α,proněžje P(α)=0). Důkaz: Z algebry víme, že je-li číslo α kořenem polynomu R(x), můžeme R(x)bezezbytkuvydělitvýrazem x α.toznamená,že R(x) (x α) R (x)pronějakýpolynom R (x)stupně t 1.Dosazenímověříme,že kořenypolynomu R jsoupřesnětytéžjakokořenypolynomu R,smožnou výjimkou kořene α. Budeme-li tento postup opakovat t-krát, buďto nám v průběhu dojdou kořeny(a pak lemma jistě platí), nebo dostaneme rovnost R(x) (x α 1 )... (x α t ) R (x),kde R jepolynomnulovéhostupně.takovépolynomyovšemnemohoumítžádnýkořen,atímpádemnemůžemít žádné další kořeny ani R. Abychomdokázalivětu,stačíuvážitpolynom R(x) P(x) Q(x).Tentopolynom mástupeňnejvýše d,ovšemkaždézčísel x 0,...,x d jejehokořenem.podlelemmatu musítedybýtidentickynulový,aproto P Q. Zpět k násobení: Věta, již jsme právě dokázali, vlastně říká, že polynomy můžeme reprezentovat nejen vektorem koeficientů, ale také vektorem funkčních hodnot v nějakých smluvených bodech tomuto vektoru budeme říkat graf polynomu. Pokud zvolíme dostatečně mnoho bodů, je polynom svým grafem jednoznačně určen. V této reprezentaci je přitom násobení polynomů triviální: Součin polynomů P a Qmávbodě xhodnotu P(x) Q(x).Stačítedygrafyvynásobitposložkách, cožzvládnemevlineárnímčase.jenjepotřebadátpozornato,žesoučinmávyšší stupeň než jednotliví činitelé, takže si potřebujeme pořídit dostatečný počet bodů. Algoritmus NásobeníPolynomů 1.Jsou dány polynomy P a Q velikosti n, určené svými koeficienty. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že horních n/2 koeficientů je uoboupolynomůnulových,takžesoučin R=P Qbudetaképolynom velikosti n. 2.Zvolímenavzájemrůznáčísla x 0,...,x. 3.Spočítámegrafypolynomů Pa Q,tedyvektory(P(x 0 ),...,P(x )) a(q(x 0 ),...,Q(x )). 4.Ztohovypočtemegrafsoučinu Rvynásobenímposložkách: R(x i )= P(x i ) Q(x i ). 5. Nalezneme koeficienty polynomu R tak, aby odpovídaly grafu. Krok 4 trvá Θ(n), takže rychlost celého algoritmu stojí a padá s efektivitou převodů mezi koeficientovou a hodnotovou reprezentací polynomů. To obecně neumíme
3 vlepšímnežkvadratickémčase,alezdemámemožnostvolbybodů x 0,...,x, takže si je zvolíme tak šikovně, aby převod šel provést rychle. Pokus o vyhodnocení polynomu metodou Rozděl a panuj Uvažujme polynom P velikosti n, který chceme vyhodnotit v n bodech. Body si zvolíme tak, aby byly spárované, tedy aby tvořily dvojice lišící se pouze znaménkem: ±x 0,±x 1,...,±x n/2 1. Polynom P můžeme rozložit na členy se sudými exponenty a ty s lichými: P(x)=(p 0 x 0 +p 2 x p n 2 x n 2 )+(p 1 x 1 +p 3 x p x ). Navíc můžeme z druhé závorky vytknout x: P(x)=(p 0 x 0 +p 2 x p n 2 x n 2 )+x (p 1 x 0 +p 3 x p x n 2 ). V obou závorkách se nyní vyskytují pouze sudé mocniny x. Proto můžeme každou závorkupovažovatzavyhodnocenínějakéhopolynomuvelikostin/2vbodě x 2,tedy: P(x)=P s (x 2 )+x P l (x 2 ), kde: P s (t)=p 0 t 0 +p 2 t p n 2 t n 2 2, P l (t)=p 1 t 0 +p 3 t p t n 2 2. Navíc pokud podobným způsobem dosadíme do P hodnotu x, dostaneme: P( x)=p s (x 2 ) x P l (x 2 ). Vyhodnocenípolynomu Pvbodech ±x 0,...,±x tedymůžemepřevéstna vyhodnocenípolynomů P s a P l polovičnívelikostivbodech x 2 0,...,x2. Tonaznačujealgoritmussčasovousložitostí T(n)=2T(n/2)+Θ(n)azKuchařkovévětyvíme,žetatorekurencemářešení T(n)=Θ(nlogn).Jedinýproblém je, že tento algoritmus nefunguje: druhé mocniny, které předáme rekurzivnímu volání, jsou vždy nezáporné, takže už nemohou být správně spárované. Ouvej. Tedy... alespoňdokudpočítámesreálnýmičísly.ukážeme,ževoborukomplexních čísel už můžeme zvolit body, které budou správně spárované i po několikerém umocnění na druhou. Intermezzo: Připomenutí komplexních čísel Základní operace Definice: ={a+bi a,b Ê},i 2 =1. Sčítání:(a+bi)±(p+qi)=(a±p)+(b±q)i. Násobení:(a+bi)(p+qi)= ap+aqi+bpi+bqi 2 =(ap bq)+(aq+bp)i. Pro α Êje α(a+bi)=αa+αbi
4 Komplexnísdružení: a+bi=a bi. x=x,x±y= x±y,x y= x y,x x=(a+bi)(a bi)=a 2 +b 2 Ê. Absolutníhodnota: x = x x,takže a+bi = a 2 +b 2. Také αx = α x. Dělení: x/y=(x y)/(y y).taktoupravenýjmenovateljereálný, takže můžeme vydělit každou složku zvlášť. Gaußova rovina a goniometrický tvar KomplexnímčíslůmpřiřadímebodyvÊ2 : a+bi (a,b). x jevzdálenostodbodu(0,0). x = 1 pro čísla ležící na jednotkové kružnici(komplexní jednotky). Pakplatí x=cosϕ+isinϕpronějaké ϕ [0,2π). Prolibovolné x : x= x (cosϕ(x)+isinϕ(x)). Číslu ϕ(x) [0,2π)říkámeargumentčísla x,někdyznačímeargx. Navíc ϕ(x)= ϕ(x). Exponenciální tvar Eulerovaformule:e iϕ =cosϕ+isinϕ. Každé x lzetedyzapsatjako x e iϕ(x). Násobení: xy= ( x e iϕ(x)) ( y e iϕ(y)) = x y e i(ϕ(x)+ϕ(y)) (absolutní hodnoty se násobí, argumenty sčítají). Umocňování: x α = ( x e iϕ(x)) α = x α e iαϕ(x). Odmocniny z jedničky Odmocňování v komplexních číslech obecně není jednoznačné: jestliže třeba budemehledatčtvrtouodmocninuzjedničky,totižřešitrovnici x 4 =1,nalezneme hnedčtyřiřešení:1, 1,ia i. Prozkoumejme nyní obecněji, jak se chovají n-té odmocniny z jedničky, tedy komplexníkořenyrovnice x n =1: Jelikož x n = x n,musíbýt x =1.Proto x=e iϕ pronějaké ϕ. Máplatit1=x n =e iϕn =cosϕn+isinϕn.tonastane,kdykoliv ϕn=2kπpronějaké k. Dostávámetedy nrůzných n-týchodmocninz1,totiže 2kπi/n pro k=0,...,. Některé z těchto odmocnin jsou ovšem speciální: Definice:Komplexníčíslo xjeprimitivní n-táodmocninaz1,pokud x n =1ažádné zčísel x 1,x 2,...,x nenírovno1. Příklad:Zečtyřzmíněnýchčtvrtýchodmocninz1jsouia iprimitivníadruhé dvě nikoliv(ověřte sami dosazením). Pro obecné n > 2 vždy existují alespoň dvě primitivníodmocniny,totižčísla ω=e 2πi/n a ω=e 2πi/n.Platítotiž,že ω j = e 2πij/n,atojerovno1právětehdy,je-li jnásobkem n(jednotlivémocninyčísla ω postupně obíhají jednotkovou kružnici). Analogicky pro ω
5 Pozorování: Pro sudé n a libovolné číslo ω, které je primitivní n-tou odmocninou z jedničky, platí: ω j ω k,kdykoliv0 j < k < n.stačísepodívatnapodíl ω k /ω j = ω k j.tennemůžebýtrovenjedné,protože0<k j < n a ωjeprimitivní. Prosudé nje ω n/2 = 1.Platítotiž(ω n/2 ) 2 = ω n =1,takže ω n/2 jedruháodmocninaz1.takovéodmocninyjsoujenomdvě:1a 1, ovšem1tobýtnemůže,protože ωjeprimitivní. Vyhodnocení polynomů podruhé algoritmus FFT Ukážeme, že primitivních odmocnin lze využít k záchraně našeho párovacího algoritmu na vyhodnocování polynomů. Nejprve polynomy doplníme nulami tak, aby jejich velikost n byla mocninou dvojky. Poté zvolíme nějakou primitivní n-tou odmocninu z jedničky ω a budeme polynomvyhodnocovatvbodech ω 0,ω 1,...,ω.Tojsounavzájemrůznákomplexní čísla,kterájsousprávněspárovaná hodnotyω n/2,...,ω seodω 0,...,ω n/2 1 liší pouzeznaménkem.tosnadnoověříme:pro0 j < n/2je ω n/2+j = ω n/2 ω j = ω j. Navíc ω 2 jeprimitivní(n/2)-táodmocninazjedničky,takžeserekurzivněopětvoláme na problém téhož druhu, a ten je opět správně spárovaný. Náš plán použít metodu Rozděl a panuj tedy vyšel, opravdu máme algoritmus o složitosti Θ(n log n) pro vyhodnocení polynomu. Ještě ho upravíme tak, aby místo s polynomy pracoval s vektory jejich koeficientů či hodnot. Tomuto algoritmu se říká FFT, vzápětí prozradíme, proč. Algoritmus FFT Vstup: Číslo n=2 k,primitivní n-táodmocninazjedničky ωavektor (p 0,...,p )koeficientůpolynomu P. 1.Pokud n=1,položíme y 0 p 0 askončíme. 2. Jinak se rekurzivně zavoláme na sudou a lichou část koeficientů: 3. (s 0,...,s n/2 1 ) FFT(n/2,ω 2,(p 0,p 2,p 4,...,p n 2 )). 4. (l 0,...,l n/2 1 ) FFT(n/2,ω 2,(p 1,p 3,p 5,...,p )). 5. Z grafů obou částí poskládáme graf celého polynomu: 6. Pro j=0,...,n/2 1: 7. y j s j +ω j l j. 8. y j+n/2 s j ω j l j. Výstup:Grafpolynomu P,tedyvektor(y 0,...,y ),kde y j = P(ω j ). Diskrétní Fourierova transformace Vyhodnotit polynom v mocninách čísla ω umíme, ale ještě nejsme v cíli. Potřebujeme umět provést dostatečně rychle i opačný převod z hodnot na koeficienty. K tomu nám pomůže podívat se na vyhodnocování polynomu trochu abstraktněji jako na nějaké zobrazení, které jednomu vektoru komplexních čísel přiřadí jiný vektor. Toto zobrazení matematici v mnoha různých kontextech potkávají už několik staletí a nazývají ho Fourierovou transformací
6 Definice:DiskrétníFourierovatransformace(DFT)jezobrazeníF: n n,které vektoru x přiřadí vektor y, jehož složky jsou dány předpisem y j = x k ω jk, k=0 kde ω je nějaká pevně zvolená primitivní n-tá odmocnina z jedné. Pozorování: Pokud označíme p vektor koeficientů nějakého polynomu P, pak jeho Fourierova transformace F(p) není nic jiného než graf tohoto polynomu v bodech ω 0,...,ω.Tosnadnoověřímedosazenímdodefinice. Náš algoritmus tedy počítá diskrétní Fourierovu transformaci v čase Θ(n log n). Odtud pramení jeho název FFT Fast Fourier Transform. Také si všimněme, že DFT je lineární zobrazení. Můžeme ho proto zapsat jako násobenínějakoumaticíω,kdeω jk = ω jk.propřevodgrafunakoeficientytedy potřebujemenajítinverznízobrazeníurčenéinverznímaticíω 1. Jelikož ω 1 = ω,pojďmezkusit,zdaωneníhledanouinverznímaticí. Lemma:Ω Ω=n E,kdeEjejednotkovámatice. Důkaz: Dosazením do definice a elementárními úpravami: (Ω Ω) jk = Ω jl Ω lk = ω jl ω lk = ω jl ω lk = ω jl (ω 1 ) lk = ω jl ω lk = ω (j k)l. Tojeovšemgeometrickářada.Pokudje j= k,jsouvšechnyčlenyřadyjedničky, takžesesečtouna n.pro j kpoužijemeznámývztahprosoučetgeometrickéřady skvocientem q= ω j k : q l = qn 1 q 1 = ω(j k)n 1 ω j k 1 =0. Poslednírovnostplatídíkytomu,že ω (j k)n =(ω n ) j k =1 j k =1,takžečitatel zlomku je nulový; naopak jmenovatel určitě nulový není, jelikož ω je primitivní a 0 < j k < n. Důsledek:Ω 1 =(1/n) Ω. MaticeΩtedyjeregulárníajejíinverzesekroměvydělení nlišípouzekomplexnímsdružením.navíc ω= ω 1 jetaképrimitivní n-touodmocninouzjedničky, takže až na faktor 1/n se jedná opět o Fourierovu transformaci, kterou můžeme spočítat stejným algoritmem FFT. Shrňme, co jsme zjistili, do následující věty: Věta: Je-li n mocnina dvojky, lze v čase Θ(n log n) spočítat diskrétní Fourierovu transformaciv n ijejíinverzi
7 Tím jsme také doplnili poslední část algoritmu na násobení polynomů: Věta:Polynomyvelikosti nnadtělesem lzenásobitvčaseθ(nlogn). V obou větách přitom činíme předpoklad, že základní operace s komplexními čísly umíme provést v konstantním čase. Pokud tomu tak není, stačí složitost vynásobit složitostí jedné operace. Další použití FFT: Dodejme ještě, že Fourierova transformace se hodí i k jiným věcem než k násobení polynomů. Své uplatnění nachází i v dalších algebraických algoritmech, třeba v násobení velkých čísel(lze se dostat až ke složitosti Θ(n)). Mimo to skýtá i lecjaké fyzikální aplikace odpovídá totiž spektrálnímu rozkladu signálu na siny a cosiny o různých frekvencích. Na tom jsou založeny například algoritmy pro filtrování zvuku, také pro kompresi zvuku a obrazu(mp3, JPEG) nebo rozpoznávání řeči. Paralelní implementace FFT Zkusme si ještě průběh algoritmu FFT znázornit graficky Na levé straně následujícíhoobrázkusenacházívstupnívektor x 0,...,x (vnějakémpořadí),napravé straně pak výstupní vektor y 0,...,y. Sledujme chod algoritmupozpátku: Výstupspočítámezvýsledků polovičních transformacívektorů x 0,x 2,...,x n 2 a x 1,x 3,...,x.Černékroužkypřitomodpovídajívýpočtulineárníkombinace a+ω k b,kde a,bjsouvstupykroužkuaknějaképřirozenéčíslozávislénapoloze kroužku. Každá z polovičních transformací se počítá analogicky z výsledků transformacevelikostin/4atd.celkověvýpočetprobíhávlog 2 nvrstváchpoθ(n)operacích. Vs tu p ve likos ti w 4 *0 -w 4 *0 + w 4 *0 -w 4 *0 + w 4 *0 -w 4 *0 + w 4 *0 -w 4 * w 2 *0 0 + w 2 *1 2 -w 2 *0 -w 2 *1 + w 2 *0 + w 2 *1 -w 2 *0 -w 2 * y 0 = s 0 + w 0 *l0 y 1 = s 1 + w 1 *l1 y 2 = s 2 + w 2 *l2 y 3 = s 3 + w 3 *l3 y 4 = s 0 - w 0 *l0 y 5 = s 1 - w 1 *l1 y 6 = s 2 - w 2 *l2 y 7 = s 3 - w 3 *l3 log n Příklad průběhu algoritmu pro vstup velikosti 8 Naobrázeksetakémůžemedívatjakonaschémahradlovésítěprovýpočet DFT.Kroužkyjsoupřitom hradla pracujícískomplexnímičísly.všechnyoperace v jedné vrstvě jsou na sobě nezávislé, takže je síť počítá paralelně. Síť proto pracuje
8 v čase Θ(log n) a prostoru Θ(n), opět případně násobeno složitostí jedné operace s komplexními čísly Cvičení:Dokažte,žepermutacevektoru x 0,...,x nalevéstraněhradlovésítě odpovídábitovémuzrcadlení,tedyženapozici bshorasevyskytujeprvek x d,kde d je číslo b zapsané ve dvojkové soustavě pozpátku. Nerekurzivní FFT Obvod z předchozího obrázku také můžeme vyhodnocovat po hladinách zleva doprava, čímž získáme elegantní nerekurzivní algoritmus pro výpočet FFT v čase Θ(nlogn)aprostoruΘ(n): Algoritmus FFT2 Vstup: x 0,...,x 1.Pro k=0,...,n 1položíme y k x r(k),kde rjefunkcebitového zrcadlení. 2.Předpočítámetabulkuhodnot ω 0,ω 1,...,ω. 3. b 1 (velikostbloku) 4.Dokud b < n,opakujeme: 5. Pro j=0,...,skrokem2bopakujeme: (začátekbloku) 6. Pro k=0,...,b 1opakujeme: (pozicevbloku) 7. α ω nk/2b 8. (y j+k,y j+k+b ) (y j+k +α y j+k+b,y j+k α y j+k+b ). 9. b 2b Výstup: y 0,...,y FFT v konečných tělesech Nakonec dodejme, že Fourierovu transformaci lze zavést nejen nad tělesem komplexních čísel, ale i v některých konečných tělesech, pokud zaručíme existenci primitivní n-téodmocninyzjedničky.napříkladvtělese pproprvočíslo p=2 k +1 platí2 k = 1,takže2 2k =1a2 0,2 1,...,2 2k 1 jsounavzájemrůzná.číslo2jetedy primitivní 2k-tá odmocnina z jedné. To se nám ovšem nehodí pro algoritmus FFT, neboť 2k bude málokdy mocnina dvojky. Zachránínásovšemalgebraickávěta,kteráříká,žemultiplikativnígrupa 1 libovolnéhokonečnéhotělesa pjecyklická,tedyževšechnynenulovéprvkytělesa lze zapsat jako mocniny nějakého čísla g(generátoru grupy). Jelikož mezi čísly g 1,g 2,...,g p 1 sekaždýnenulovýprvektělesavyskytneprávějednou,jegprimitivní p-tou odmocninou z jedničky. V praxi se hodí například tyto hodnoty: p= =65537, g=3,takžefunguje ω=3pro n=2 16 (analogicky ω=3 2 pro n=2 15 atd.), p= = ,g=31,takžepro n=2 27 dostaneme ω= g 15 mod p= Tojemnožinavšechnenulovýchprvkůtělesasoperacínásobení
9 p= = , g=5,takžepro n=2 30 vyjde ω= g 3 mod p=125. BližšíprůzkumnašichúvahoFFTdokonceodhalí,ženeníanipotřebatěleso. Postačí libovolný komutativní okruh, ve kterém existuje příslušná primitivní odmocnina z jedničky, její multiplikativní inverze(ta ovšem existuje vždy, protože ω 1 = ω )amultiplikativníinverzečísla n.tonámposkytujeještědalekovíce volnosti než tělesa, ale není snadné takové okruhy hledat. Výhodou těchto podob Fourierovy transformace je, že na rozdíl od té klasické komplexní nejsou zatíženy zaokrouhlovacími chybami(komplexní odmocniny z jedničky mají obě složky iracionální). To se hodí například ve zmiňovaných algoritmech na násobení velkých čísel. Cvičení 1. O jakých vlastnostech vektoru vypovídá nultý a(n/2)-tý koeficient jeho Fourierova obrazu(výsledku Fourierovy transformace)? 2. SpočítejteFourierovyobrazynásledujícíchvektorůz n : (x,...,x) (1, 1,1, 1,...,1, 1) (ω 0,ω 1,ω 2,...,ω ) (ω 0,ω 2,ω 4,...,ω 2n 2 ) 3. Rozšířením výsledků z předchozího cvičení najděte pro každé j vektor, jehož Fourierova transformace má na j-tém místě jedničku a všude jinde nuly. Z toho lze přímo sestrojit inverzní transformaci. 4. Ukažte,žeje-lixreálnývektorzÊn,jejehoFourierovatransformacey=F(x) antisymetrická:y j Æ =y n j provšechna j. 5. Podobně ukažte, že Fourierova transformace každého antisymetrického vektoru je reálná. 6*. Uvažujme reálnou funkci f definovanou na intervalu[0, 2π). Pokud její hodnoty navzorkujeme v n pravidelně rozmístěných bodech, získáme vektor f Ên osložkáchf j = f(2πj/n).jakvypadáfourierovatransformacetohotovektoru pro následující funkce? e ikx pro k coskx sinkx 7*. Pomocí předchozího cvičení dokažte, že libovolnou reálnou funkci na[0, 2π) existujelineárníkombinacefunkcísinkxacoskx,kterápřivzorkovánívnbodech není od zadané funkce rozlišitelná. Přesnějiřečeno,prokaždývektorf Ên existujívektorya,b Ên takové,že platí: f j = a k sin 2jkπ n +b kcos 2jkπ n. k=0 Koeficienty a k a b k lzepřítomsnadnozískatzfourierovaobrazuvektoruf
10 Nápovědy ke cvičením 6. Sinus a cosinus můžete zapsat jako lineární kombinaci dvou komplexních exponenciál
1. Fourierova transformace
1. Fourierova transformace V této kapitole se budeme zabývat násobením polynomů. Tento na první pohled triviální algebraický problém má překvapivě efektivní řešení, které nás dovede až k Fourierově transformaci.
Více1. Fourierova transformace
1. Fourierova transformace Co má společného násobení polynomů s kompresí zvuku? Nebo třeba s rozpoznáváním obrazu? V této kapitole ukážeme, že na pozadí všech těchto otázek je společná algebraická struktura,
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Více[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
Více0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04
0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1
VícePolynomy. Vlasnosti reálných čísel: Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem. 5. (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí
Polynomy Vlasnosti reálných čísel: 1 (komutativitaoperace+)provšechnačísla a, b Rplatí, a+b=b+a 2 (asociativitaoperace+)provšechnačísla a, b, c Rplatí a+(b+c)=(a+b)+c, 3 (existencenulovéhoprvku)provšechnačísla
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceNěkolik aplikací. Kapitola 12
Kapitola 12 Několik aplikací Diskrétní a rychlá Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace spočívá ve změně reprezentace polynomu s koeficienty v nějakém tělese T Obvyklá reprezentace polynomu
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VíceDosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceMatematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceMezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,
Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceKTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace. Pavel Karban. Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni
KTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace Pavel Karban Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni 10.11.011 Outline 1 Motivace FT Fourierova transformace
VíceMocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.
Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceSTŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Více8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy
24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
VíceOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
nad obecným tělesem a lineární kombinace Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 1.10.2015: 1/20 nad obecným tělesem Co
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
Více. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Více[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
VíceALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceLingebraické kapitolky - Počítání s maticemi
Lingebraické kapitolky - Počítání s maticemi Jaroslav Horáček KAM MFF UK 20 Rozehřívačka: Definice sčítání dvou matic a násobení matice skalárem, transpozice Řešení: (A + B ij A ij + B ij (αa ij α(a ij
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceZáklady aritmetiky a algebry II
Osnova předmětu Základy aritmetiky a algebry II 1. Lineární rovnice, řešení v tělesech Q, R, C, Z p, počet řešení v okruhu Z n, n N \ P. Grafické řešení, lineární nerovnice. 2. Kvadratická rovnice. Didaktický
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceObecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g
Složená funkce Obecnou definici vynecháme Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y f dosadíme za argument funkci g Potom y f g Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka Pochopitelně
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceObsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie
Obsah Počítání modulo n a jeho časová složitost 3. a 4. přednáška z kryptografie 1 Počítání modulo n - dokončení Umocňování v Zn 2 Časová složitost výpočtů modulo n Asymptotická notace Základní aritmetické
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Vícepochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor
NOVý TEXT O TěLESOVýCH ROZ LÍřENÍCH DAVID STANOVSKÝ 1. Algebraické prvky a rozšíření konečného stupně 1.1. Rozšíření jako vektorový prostor. Buď T S rozšíření těles. Klíčem k pochopení celé kapitoly je
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
Více