9. Fourierova transformace

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "9. Fourierova transformace"

Transkript

1 9. Fourierova transformace Násobení polynomů V této kapitole se budeme zabývat násobením polynomů. Tento na první pohled triviální algebraický problém má překvapivě efektivní řešení, které nás dovede až k Fourierově transformaci. Značení: Polynomy jsou výrazy typu P(x)= p i x i, i=0 kde xjeproměnnáap 0 až p jsoučísla,kterýmříkámekoeficienty polynomu. Obecně budeme značit polynomy velkými písmeny a jejich koeficienty příslušnými malými písmeny s indexy. V algoritmech polynomy obvykle reprezentujeme pomocí vektoru koeficientů (p 0,...,p );oprotizvyklostemlineárníalgebrybudemesložkyvektorůvcelététo kapitole indexovat od 0. Počtu koeficientů n budeme říkat velikost polynomu P. Časovou složitost algoritmu budeme vyjadřovat vzhledem k velikostem polynomů na jeho vstupu. Pokudpřidámenovýkoeficient p n =0,hodnotapolynomuseprožádné xnezmění.stejnětakje-linejvyššíkoeficient p nulový,můžemehovynechat.takto můžeme každý polynom zmenšit na normální tvar, v němž má buďto nenulový nejvyšší koeficient, nebo nemá vůbec žádné koeficienty to je takzvaný nulový polynom, který pro každé x roven nule. Nejvyšší mocnině s nenulovým koeficientem se říká stupeň polynomu deg R, nulovému polynomu přiřazujeme stupeň 1. Násobení polynomů: Polynomy násobíme jako výrazy: ( ) ( m 1 P(x) Q(x)= p i x i q j x ). j i=0 Po roznásobení můžeme tento součin zapsat jako polynom R(x), jehož koeficient u x k jeroven r k = p 0 q k +p 1 q k p k q 0. Snadnonahlédneme,žepolynom RmástupeňdegP+degQavelikost P + Q 1. Algoritmus, který počítá součin dvou polynomů velikosti n přímo podle definice,protospotřebuječasθ(n)navýpočetkaždéhokoeficientu,celkemtedyθ(n 2 ). Pokusíme se nalézt efektivnější způsob. Rovnost polynomů: Odbočme na chvíli a uvažujme, kdy dva polynomy považujeme zastejné.natosedánahlížetvícezpůsoby.buďtosenapolynomymůžemedívat jako na výrazy a porovnávat jejich symbolické zápisy. Pak jsou si dva polynomy rovny právě tehdy, mají-li po normalizaci stejné vektory koeficientů. Tomu se říká identickárovnostpolynomůaobvykleseznačí P Q. Druhá možnost je porovnávat polynomy jako reálné funkce. Polynomy P a Q sitedybudourovny(p = Q)právětehdy,je-li P(x)=Q(x)provšechna x Ê. j=

2 Identickyrovnépolynomysijsourovnyijakofunkce,alemusítoplatitinaopak? Následujícívětaukáže,žeanoažedokoncestačírovnostprokonečnýpočet x. Věta:Buďte P a Qpolynomystupněnejvýše d.pokudplatí P(x i )=Q(x i )pro navzájemrůznáčísla x 0,...,x d,pakjsou Pa Qidentické. Důkaz: Připomeňme nejprve následující standardní lemma o kořenech polynomů: Lemma:Polynom Rstupně t 0mánejvýše tkořenů(čísel α,proněžje P(α)=0). Důkaz: Z algebry víme, že je-li číslo α kořenem polynomu R(x), můžeme R(x)bezezbytkuvydělitvýrazem x α.toznamená,že R(x) (x α) R (x)pronějakýpolynom R (x)stupně t 1.Dosazenímověříme,že kořenypolynomu R jsoupřesnětytéžjakokořenypolynomu R,smožnou výjimkou kořene α. Budeme-li tento postup opakovat t-krát, buďto nám v průběhu dojdou kořeny(a pak lemma jistě platí), nebo dostaneme rovnost R(x) (x α 1 )... (x α t ) R (x),kde R jepolynomnulovéhostupně.takovépolynomyovšemnemohoumítžádnýkořen,atímpádemnemůžemít žádné další kořeny ani R. Abychomdokázalivětu,stačíuvážitpolynom R(x) P(x) Q(x).Tentopolynom mástupeňnejvýše d,ovšemkaždézčísel x 0,...,x d jejehokořenem.podlelemmatu musítedybýtidentickynulový,aproto P Q. Zpět k násobení: Věta, již jsme právě dokázali, vlastně říká, že polynomy můžeme reprezentovat nejen vektorem koeficientů, ale také vektorem funkčních hodnot v nějakých smluvených bodech tomuto vektoru budeme říkat graf polynomu. Pokud zvolíme dostatečně mnoho bodů, je polynom svým grafem jednoznačně určen. V této reprezentaci je přitom násobení polynomů triviální: Součin polynomů P a Qmávbodě xhodnotu P(x) Q(x).Stačítedygrafyvynásobitposložkách, cožzvládnemevlineárnímčase.jenjepotřebadátpozornato,žesoučinmávyšší stupeň než jednotliví činitelé, takže si potřebujeme pořídit dostatečný počet bodů. Algoritmus NásobeníPolynomů 1.Jsou dány polynomy P a Q velikosti n, určené svými koeficienty. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že horních n/2 koeficientů je uoboupolynomůnulových,takžesoučin R=P Qbudetaképolynom velikosti n. 2.Zvolímenavzájemrůznáčísla x 0,...,x. 3.Spočítámegrafypolynomů Pa Q,tedyvektory(P(x 0 ),...,P(x )) a(q(x 0 ),...,Q(x )). 4.Ztohovypočtemegrafsoučinu Rvynásobenímposložkách: R(x i )= P(x i ) Q(x i ). 5. Nalezneme koeficienty polynomu R tak, aby odpovídaly grafu. Krok 4 trvá Θ(n), takže rychlost celého algoritmu stojí a padá s efektivitou převodů mezi koeficientovou a hodnotovou reprezentací polynomů. To obecně neumíme

3 vlepšímnežkvadratickémčase,alezdemámemožnostvolbybodů x 0,...,x, takže si je zvolíme tak šikovně, aby převod šel provést rychle. Pokus o vyhodnocení polynomu metodou Rozděl a panuj Uvažujme polynom P velikosti n, který chceme vyhodnotit v n bodech. Body si zvolíme tak, aby byly spárované, tedy aby tvořily dvojice lišící se pouze znaménkem: ±x 0,±x 1,...,±x n/2 1. Polynom P můžeme rozložit na členy se sudými exponenty a ty s lichými: P(x)=(p 0 x 0 +p 2 x p n 2 x n 2 )+(p 1 x 1 +p 3 x p x ). Navíc můžeme z druhé závorky vytknout x: P(x)=(p 0 x 0 +p 2 x p n 2 x n 2 )+x (p 1 x 0 +p 3 x p x n 2 ). V obou závorkách se nyní vyskytují pouze sudé mocniny x. Proto můžeme každou závorkupovažovatzavyhodnocenínějakéhopolynomuvelikostin/2vbodě x 2,tedy: P(x)=P s (x 2 )+x P l (x 2 ), kde: P s (t)=p 0 t 0 +p 2 t p n 2 t n 2 2, P l (t)=p 1 t 0 +p 3 t p t n 2 2. Navíc pokud podobným způsobem dosadíme do P hodnotu x, dostaneme: P( x)=p s (x 2 ) x P l (x 2 ). Vyhodnocenípolynomu Pvbodech ±x 0,...,±x tedymůžemepřevéstna vyhodnocenípolynomů P s a P l polovičnívelikostivbodech x 2 0,...,x2. Tonaznačujealgoritmussčasovousložitostí T(n)=2T(n/2)+Θ(n)azKuchařkovévětyvíme,žetatorekurencemářešení T(n)=Θ(nlogn).Jedinýproblém je, že tento algoritmus nefunguje: druhé mocniny, které předáme rekurzivnímu volání, jsou vždy nezáporné, takže už nemohou být správně spárované. Ouvej. Tedy... alespoňdokudpočítámesreálnýmičísly.ukážeme,ževoborukomplexních čísel už můžeme zvolit body, které budou správně spárované i po několikerém umocnění na druhou. Intermezzo: Připomenutí komplexních čísel Základní operace Definice: ={a+bi a,b Ê},i 2 =1. Sčítání:(a+bi)±(p+qi)=(a±p)+(b±q)i. Násobení:(a+bi)(p+qi)= ap+aqi+bpi+bqi 2 =(ap bq)+(aq+bp)i. Pro α Êje α(a+bi)=αa+αbi

4 Komplexnísdružení: a+bi=a bi. x=x,x±y= x±y,x y= x y,x x=(a+bi)(a bi)=a 2 +b 2 Ê. Absolutníhodnota: x = x x,takže a+bi = a 2 +b 2. Také αx = α x. Dělení: x/y=(x y)/(y y).taktoupravenýjmenovateljereálný, takže můžeme vydělit každou složku zvlášť. Gaußova rovina a goniometrický tvar KomplexnímčíslůmpřiřadímebodyvÊ2 : a+bi (a,b). x jevzdálenostodbodu(0,0). x = 1 pro čísla ležící na jednotkové kružnici(komplexní jednotky). Pakplatí x=cosϕ+isinϕpronějaké ϕ [0,2π). Prolibovolné x : x= x (cosϕ(x)+isinϕ(x)). Číslu ϕ(x) [0,2π)říkámeargumentčísla x,někdyznačímeargx. Navíc ϕ(x)= ϕ(x). Exponenciální tvar Eulerovaformule:e iϕ =cosϕ+isinϕ. Každé x lzetedyzapsatjako x e iϕ(x). Násobení: xy= ( x e iϕ(x)) ( y e iϕ(y)) = x y e i(ϕ(x)+ϕ(y)) (absolutní hodnoty se násobí, argumenty sčítají). Umocňování: x α = ( x e iϕ(x)) α = x α e iαϕ(x). Odmocniny z jedničky Odmocňování v komplexních číslech obecně není jednoznačné: jestliže třeba budemehledatčtvrtouodmocninuzjedničky,totižřešitrovnici x 4 =1,nalezneme hnedčtyřiřešení:1, 1,ia i. Prozkoumejme nyní obecněji, jak se chovají n-té odmocniny z jedničky, tedy komplexníkořenyrovnice x n =1: Jelikož x n = x n,musíbýt x =1.Proto x=e iϕ pronějaké ϕ. Máplatit1=x n =e iϕn =cosϕn+isinϕn.tonastane,kdykoliv ϕn=2kπpronějaké k. Dostávámetedy nrůzných n-týchodmocninz1,totiže 2kπi/n pro k=0,...,. Některé z těchto odmocnin jsou ovšem speciální: Definice:Komplexníčíslo xjeprimitivní n-táodmocninaz1,pokud x n =1ažádné zčísel x 1,x 2,...,x nenírovno1. Příklad:Zečtyřzmíněnýchčtvrtýchodmocninz1jsouia iprimitivníadruhé dvě nikoliv(ověřte sami dosazením). Pro obecné n > 2 vždy existují alespoň dvě primitivníodmocniny,totižčísla ω=e 2πi/n a ω=e 2πi/n.Platítotiž,že ω j = e 2πij/n,atojerovno1právětehdy,je-li jnásobkem n(jednotlivémocninyčísla ω postupně obíhají jednotkovou kružnici). Analogicky pro ω

5 Pozorování: Pro sudé n a libovolné číslo ω, které je primitivní n-tou odmocninou z jedničky, platí: ω j ω k,kdykoliv0 j < k < n.stačísepodívatnapodíl ω k /ω j = ω k j.tennemůžebýtrovenjedné,protože0<k j < n a ωjeprimitivní. Prosudé nje ω n/2 = 1.Platítotiž(ω n/2 ) 2 = ω n =1,takže ω n/2 jedruháodmocninaz1.takovéodmocninyjsoujenomdvě:1a 1, ovšem1tobýtnemůže,protože ωjeprimitivní. Vyhodnocení polynomů podruhé algoritmus FFT Ukážeme, že primitivních odmocnin lze využít k záchraně našeho párovacího algoritmu na vyhodnocování polynomů. Nejprve polynomy doplníme nulami tak, aby jejich velikost n byla mocninou dvojky. Poté zvolíme nějakou primitivní n-tou odmocninu z jedničky ω a budeme polynomvyhodnocovatvbodech ω 0,ω 1,...,ω.Tojsounavzájemrůznákomplexní čísla,kterájsousprávněspárovaná hodnotyω n/2,...,ω seodω 0,...,ω n/2 1 liší pouzeznaménkem.tosnadnoověříme:pro0 j < n/2je ω n/2+j = ω n/2 ω j = ω j. Navíc ω 2 jeprimitivní(n/2)-táodmocninazjedničky,takžeserekurzivněopětvoláme na problém téhož druhu, a ten je opět správně spárovaný. Náš plán použít metodu Rozděl a panuj tedy vyšel, opravdu máme algoritmus o složitosti Θ(n log n) pro vyhodnocení polynomu. Ještě ho upravíme tak, aby místo s polynomy pracoval s vektory jejich koeficientů či hodnot. Tomuto algoritmu se říká FFT, vzápětí prozradíme, proč. Algoritmus FFT Vstup: Číslo n=2 k,primitivní n-táodmocninazjedničky ωavektor (p 0,...,p )koeficientůpolynomu P. 1.Pokud n=1,položíme y 0 p 0 askončíme. 2. Jinak se rekurzivně zavoláme na sudou a lichou část koeficientů: 3. (s 0,...,s n/2 1 ) FFT(n/2,ω 2,(p 0,p 2,p 4,...,p n 2 )). 4. (l 0,...,l n/2 1 ) FFT(n/2,ω 2,(p 1,p 3,p 5,...,p )). 5. Z grafů obou částí poskládáme graf celého polynomu: 6. Pro j=0,...,n/2 1: 7. y j s j +ω j l j. 8. y j+n/2 s j ω j l j. Výstup:Grafpolynomu P,tedyvektor(y 0,...,y ),kde y j = P(ω j ). Diskrétní Fourierova transformace Vyhodnotit polynom v mocninách čísla ω umíme, ale ještě nejsme v cíli. Potřebujeme umět provést dostatečně rychle i opačný převod z hodnot na koeficienty. K tomu nám pomůže podívat se na vyhodnocování polynomu trochu abstraktněji jako na nějaké zobrazení, které jednomu vektoru komplexních čísel přiřadí jiný vektor. Toto zobrazení matematici v mnoha různých kontextech potkávají už několik staletí a nazývají ho Fourierovou transformací

6 Definice:DiskrétníFourierovatransformace(DFT)jezobrazeníF: n n,které vektoru x přiřadí vektor y, jehož složky jsou dány předpisem y j = x k ω jk, k=0 kde ω je nějaká pevně zvolená primitivní n-tá odmocnina z jedné. Pozorování: Pokud označíme p vektor koeficientů nějakého polynomu P, pak jeho Fourierova transformace F(p) není nic jiného než graf tohoto polynomu v bodech ω 0,...,ω.Tosnadnoověřímedosazenímdodefinice. Náš algoritmus tedy počítá diskrétní Fourierovu transformaci v čase Θ(n log n). Odtud pramení jeho název FFT Fast Fourier Transform. Také si všimněme, že DFT je lineární zobrazení. Můžeme ho proto zapsat jako násobenínějakoumaticíω,kdeω jk = ω jk.propřevodgrafunakoeficientytedy potřebujemenajítinverznízobrazeníurčenéinverznímaticíω 1. Jelikož ω 1 = ω,pojďmezkusit,zdaωneníhledanouinverznímaticí. Lemma:Ω Ω=n E,kdeEjejednotkovámatice. Důkaz: Dosazením do definice a elementárními úpravami: (Ω Ω) jk = Ω jl Ω lk = ω jl ω lk = ω jl ω lk = ω jl (ω 1 ) lk = ω jl ω lk = ω (j k)l. Tojeovšemgeometrickářada.Pokudje j= k,jsouvšechnyčlenyřadyjedničky, takžesesečtouna n.pro j kpoužijemeznámývztahprosoučetgeometrickéřady skvocientem q= ω j k : q l = qn 1 q 1 = ω(j k)n 1 ω j k 1 =0. Poslednírovnostplatídíkytomu,že ω (j k)n =(ω n ) j k =1 j k =1,takžečitatel zlomku je nulový; naopak jmenovatel určitě nulový není, jelikož ω je primitivní a 0 < j k < n. Důsledek:Ω 1 =(1/n) Ω. MaticeΩtedyjeregulárníajejíinverzesekroměvydělení nlišípouzekomplexnímsdružením.navíc ω= ω 1 jetaképrimitivní n-touodmocninouzjedničky, takže až na faktor 1/n se jedná opět o Fourierovu transformaci, kterou můžeme spočítat stejným algoritmem FFT. Shrňme, co jsme zjistili, do následující věty: Věta: Je-li n mocnina dvojky, lze v čase Θ(n log n) spočítat diskrétní Fourierovu transformaciv n ijejíinverzi

7 Tím jsme také doplnili poslední část algoritmu na násobení polynomů: Věta:Polynomyvelikosti nnadtělesem lzenásobitvčaseθ(nlogn). V obou větách přitom činíme předpoklad, že základní operace s komplexními čísly umíme provést v konstantním čase. Pokud tomu tak není, stačí složitost vynásobit složitostí jedné operace. Další použití FFT: Dodejme ještě, že Fourierova transformace se hodí i k jiným věcem než k násobení polynomů. Své uplatnění nachází i v dalších algebraických algoritmech, třeba v násobení velkých čísel(lze se dostat až ke složitosti Θ(n)). Mimo to skýtá i lecjaké fyzikální aplikace odpovídá totiž spektrálnímu rozkladu signálu na siny a cosiny o různých frekvencích. Na tom jsou založeny například algoritmy pro filtrování zvuku, také pro kompresi zvuku a obrazu(mp3, JPEG) nebo rozpoznávání řeči. Paralelní implementace FFT Zkusme si ještě průběh algoritmu FFT znázornit graficky Na levé straně následujícíhoobrázkusenacházívstupnívektor x 0,...,x (vnějakémpořadí),napravé straně pak výstupní vektor y 0,...,y. Sledujme chod algoritmupozpátku: Výstupspočítámezvýsledků polovičních transformacívektorů x 0,x 2,...,x n 2 a x 1,x 3,...,x.Černékroužkypřitomodpovídajívýpočtulineárníkombinace a+ω k b,kde a,bjsouvstupykroužkuaknějaképřirozenéčíslozávislénapoloze kroužku. Každá z polovičních transformací se počítá analogicky z výsledků transformacevelikostin/4atd.celkověvýpočetprobíhávlog 2 nvrstváchpoθ(n)operacích. Vs tu p ve likos ti w 4 *0 -w 4 *0 + w 4 *0 -w 4 *0 + w 4 *0 -w 4 *0 + w 4 *0 -w 4 * w 2 *0 0 + w 2 *1 2 -w 2 *0 -w 2 *1 + w 2 *0 + w 2 *1 -w 2 *0 -w 2 * y 0 = s 0 + w 0 *l0 y 1 = s 1 + w 1 *l1 y 2 = s 2 + w 2 *l2 y 3 = s 3 + w 3 *l3 y 4 = s 0 - w 0 *l0 y 5 = s 1 - w 1 *l1 y 6 = s 2 - w 2 *l2 y 7 = s 3 - w 3 *l3 log n Příklad průběhu algoritmu pro vstup velikosti 8 Naobrázeksetakémůžemedívatjakonaschémahradlovésítěprovýpočet DFT.Kroužkyjsoupřitom hradla pracujícískomplexnímičísly.všechnyoperace v jedné vrstvě jsou na sobě nezávislé, takže je síť počítá paralelně. Síť proto pracuje

8 v čase Θ(log n) a prostoru Θ(n), opět případně násobeno složitostí jedné operace s komplexními čísly Cvičení:Dokažte,žepermutacevektoru x 0,...,x nalevéstraněhradlovésítě odpovídábitovémuzrcadlení,tedyženapozici bshorasevyskytujeprvek x d,kde d je číslo b zapsané ve dvojkové soustavě pozpátku. Nerekurzivní FFT Obvod z předchozího obrázku také můžeme vyhodnocovat po hladinách zleva doprava, čímž získáme elegantní nerekurzivní algoritmus pro výpočet FFT v čase Θ(nlogn)aprostoruΘ(n): Algoritmus FFT2 Vstup: x 0,...,x 1.Pro k=0,...,n 1položíme y k x r(k),kde rjefunkcebitového zrcadlení. 2.Předpočítámetabulkuhodnot ω 0,ω 1,...,ω. 3. b 1 (velikostbloku) 4.Dokud b < n,opakujeme: 5. Pro j=0,...,skrokem2bopakujeme: (začátekbloku) 6. Pro k=0,...,b 1opakujeme: (pozicevbloku) 7. α ω nk/2b 8. (y j+k,y j+k+b ) (y j+k +α y j+k+b,y j+k α y j+k+b ). 9. b 2b Výstup: y 0,...,y FFT v konečných tělesech Nakonec dodejme, že Fourierovu transformaci lze zavést nejen nad tělesem komplexních čísel, ale i v některých konečných tělesech, pokud zaručíme existenci primitivní n-téodmocninyzjedničky.napříkladvtělese pproprvočíslo p=2 k +1 platí2 k = 1,takže2 2k =1a2 0,2 1,...,2 2k 1 jsounavzájemrůzná.číslo2jetedy primitivní 2k-tá odmocnina z jedné. To se nám ovšem nehodí pro algoritmus FFT, neboť 2k bude málokdy mocnina dvojky. Zachránínásovšemalgebraickávěta,kteráříká,žemultiplikativnígrupa 1 libovolnéhokonečnéhotělesa pjecyklická,tedyževšechnynenulovéprvkytělesa lze zapsat jako mocniny nějakého čísla g(generátoru grupy). Jelikož mezi čísly g 1,g 2,...,g p 1 sekaždýnenulovýprvektělesavyskytneprávějednou,jegprimitivní p-tou odmocninou z jedničky. V praxi se hodí například tyto hodnoty: p= =65537, g=3,takžefunguje ω=3pro n=2 16 (analogicky ω=3 2 pro n=2 15 atd.), p= = ,g=31,takžepro n=2 27 dostaneme ω= g 15 mod p= Tojemnožinavšechnenulovýchprvkůtělesasoperacínásobení

9 p= = , g=5,takžepro n=2 30 vyjde ω= g 3 mod p=125. BližšíprůzkumnašichúvahoFFTdokonceodhalí,ženeníanipotřebatěleso. Postačí libovolný komutativní okruh, ve kterém existuje příslušná primitivní odmocnina z jedničky, její multiplikativní inverze(ta ovšem existuje vždy, protože ω 1 = ω )amultiplikativníinverzečísla n.tonámposkytujeještědalekovíce volnosti než tělesa, ale není snadné takové okruhy hledat. Výhodou těchto podob Fourierovy transformace je, že na rozdíl od té klasické komplexní nejsou zatíženy zaokrouhlovacími chybami(komplexní odmocniny z jedničky mají obě složky iracionální). To se hodí například ve zmiňovaných algoritmech na násobení velkých čísel. Cvičení 1. O jakých vlastnostech vektoru vypovídá nultý a(n/2)-tý koeficient jeho Fourierova obrazu(výsledku Fourierovy transformace)? 2. SpočítejteFourierovyobrazynásledujícíchvektorůz n : (x,...,x) (1, 1,1, 1,...,1, 1) (ω 0,ω 1,ω 2,...,ω ) (ω 0,ω 2,ω 4,...,ω 2n 2 ) 3. Rozšířením výsledků z předchozího cvičení najděte pro každé j vektor, jehož Fourierova transformace má na j-tém místě jedničku a všude jinde nuly. Z toho lze přímo sestrojit inverzní transformaci. 4. Ukažte,žeje-lixreálnývektorzÊn,jejehoFourierovatransformacey=F(x) antisymetrická:y j Æ =y n j provšechna j. 5. Podobně ukažte, že Fourierova transformace každého antisymetrického vektoru je reálná. 6*. Uvažujme reálnou funkci f definovanou na intervalu[0, 2π). Pokud její hodnoty navzorkujeme v n pravidelně rozmístěných bodech, získáme vektor f Ên osložkáchf j = f(2πj/n).jakvypadáfourierovatransformacetohotovektoru pro následující funkce? e ikx pro k coskx sinkx 7*. Pomocí předchozího cvičení dokažte, že libovolnou reálnou funkci na[0, 2π) existujelineárníkombinacefunkcísinkxacoskx,kterápřivzorkovánívnbodech není od zadané funkce rozlišitelná. Přesnějiřečeno,prokaždývektorf Ên existujívektorya,b Ên takové,že platí: f j = a k sin 2jkπ n +b kcos 2jkπ n. k=0 Koeficienty a k a b k lzepřítomsnadnozískatzfourierovaobrazuvektoruf

10 Nápovědy ke cvičením 6. Sinus a cosinus můžete zapsat jako lineární kombinaci dvou komplexních exponenciál

1. Fourierova transformace

1. Fourierova transformace 1. Fourierova transformace V této kapitole se budeme zabývat násobením polynomů. Tento na první pohled triviální algebraický problém má překvapivě efektivní řešení, které nás dovede až k Fourierově transformaci.

Více

1. Fourierova transformace

1. Fourierova transformace 1. Fourierova transformace Co má společného násobení polynomů s kompresí zvuku? Nebo třeba s rozpoznáváním obrazu? V této kapitole ukážeme, že na pozadí všech těchto otázek je společná algebraická struktura,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Lineární algebra : Polynomy

Lineární algebra : Polynomy Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy... Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................

Více

Lineární algebra : Polynomy

Lineární algebra : Polynomy Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České

Více

Pomocný text. Polynomy

Pomocný text. Polynomy Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu. Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

Polynomy. Vlasnosti reálných čísel: Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem. 5. (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí

Polynomy. Vlasnosti reálných čísel: Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem. 5. (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí Polynomy Vlasnosti reálných čísel: 1 (komutativitaoperace+)provšechnačísla a, b Rplatí, a+b=b+a 2 (asociativitaoperace+)provšechnačísla a, b, c Rplatí a+(b+c)=(a+b)+c, 3 (existencenulovéhoprvku)provšechnačísla

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Několik aplikací. Kapitola 12

Několik aplikací. Kapitola 12 Kapitola 12 Několik aplikací Diskrétní a rychlá Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace spočívá ve změně reprezentace polynomu s koeficienty v nějakém tělese T Obvyklá reprezentace polynomu

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.

Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa

grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

KTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace. Pavel Karban. Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni

KTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace. Pavel Karban. Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni KTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace Pavel Karban Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni 10.11.011 Outline 1 Motivace FT Fourierova transformace

Více

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel. Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy 4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. nad obecným tělesem a lineární kombinace Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 1.10.2015: 1/20 nad obecným tělesem Co

Více

M - Kvadratické rovnice

M - Kvadratické rovnice M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád), 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici [1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i

Více

Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30

Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou

Více

ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =

ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b = ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Lingebraické kapitolky - Počítání s maticemi

Lingebraické kapitolky - Počítání s maticemi Lingebraické kapitolky - Počítání s maticemi Jaroslav Horáček KAM MFF UK 20 Rozehřívačka: Definice sčítání dvou matic a násobení matice skalárem, transpozice Řešení: (A + B ij A ij + B ij (αa ij α(a ij

Více

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,

Více

Základy aritmetiky a algebry II

Základy aritmetiky a algebry II Osnova předmětu Základy aritmetiky a algebry II 1. Lineární rovnice, řešení v tělesech Q, R, C, Z p, počet řešení v okruhu Z n, n N \ P. Grafické řešení, lineární nerovnice. 2. Kvadratická rovnice. Didaktický

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g

Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g Složená funkce Obecnou definici vynecháme Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y f dosadíme za argument funkci g Potom y f g Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka Pochopitelně

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Obsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie

Obsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie Obsah Počítání modulo n a jeho časová složitost 3. a 4. přednáška z kryptografie 1 Počítání modulo n - dokončení Umocňování v Zn 2 Časová složitost výpočtů modulo n Asymptotická notace Základní aritmetické

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

pochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor

pochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor NOVý TEXT O TěLESOVýCH ROZ LÍřENÍCH DAVID STANOVSKÝ 1. Algebraické prvky a rozšíření konečného stupně 1.1. Rozšíření jako vektorový prostor. Buď T S rozšíření těles. Klíčem k pochopení celé kapitoly je

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více