Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1
|
|
- Natálie Dominika Matějková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Úvod Difeenciální opeátoy vektoové analýzy veze. Následující text popisuje difeenciální opeátoy vektoové analýzy. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univezitě Hadec Kálové k přípavě na zkoušku. Mohou se v něm vyskytovat někteé chyby; auto ocení, když jej na chyby a nejasnosti upozoníte na u jii.lipovskyzavináč uhk.cz. 2 Skalání a vektoové pole Funkci tří poměnných ϕ(x, y, z nazýváme skaláním polem, plochy ϕ(x, y, z = konst. nazýváme hladinami tohoto pole. Vektoovou funkci v(x, y, z = (v (x, y, z, v 2 (x, y, z, v 3 (x, y, z nazveme vektoovým polem. Vekto (x, y, z nazveme polohovým vektoem. Siločáou vektoového pole nazveme křivku, jejíž tečna má v každém bodě smě tohoto pole. Deivací vektou a = (a, a 2, a 3 závislého na poměnné t nazveme limitu a a(t + h a(t (t = lim = a h 0 h (te x + a 2(te y + a 3(te z, kde e x je jednotkový vekto ve směu osy x, atd. Věta 2.. Po deivaci platí následující vztahy (a + b = a + b, (ka = ka, (a b = a b + a b, (a b = a b + a b. Příklad 2.2. Vypočtěte ychlost a zychlení bodu, kteý se pohybuje po kužnici (t = (cos t, sin t, 0. Řešení: Deivujeme po složkách v(t = (t = ( sin t, cos t, 0, a(t = v(t = ( cos t, sin t, 0 = (t. 3 Gadient Gadient skaláního pole ϕ(x, y, z je vektoové pole, po kteé platí gad ϕ(x, y, z = ϕ(x, y, z = x e x + y e y + z e z = ( x, y, z.
2 se říká nabla a uvidíme ho i u dalších vektoových opeací. Následující větu známe z difeenciálního počtu funkcí více poměnných. Symbolu = e x x + e y y + e z z Věta 3.. Příůstek hodnoty skaláního pole ϕ při posunutí o malý vekto d se vypočítá jako dϕ = gad ϕ d. Z uvedené věty plyne, že gadient skaláního pole je kolmý k jeho hladině, v každém bodě má smě největšího ůstu tohoto pole. Gadient se ve vztazích chová podobně jako deivace, platí po něj následující věta. Věta 3.2. Po gadient platí gad(ϕ + ψ = gad ϕ + gad ψ, gad (kϕ = k gad ϕ, gad(ϕψ = ψ gad ϕ + ϕ gad ψ, gad f(ϕ = f (ϕ gad ϕ. kde ϕ, ψ jsou skalání pole, f funkce a k konstanta. Příklad 3.3. Vypočtěte gadient skaláního pole ϕ( = =. Řešení: Gadient vypočteme po složkách. x ϕ = x x2 + y 2 + z 2 = x x2 + y 2 + z 2 = x. y ϕ = y, zϕ = z. Tedy ( x gad ϕ =, y, z = = 0. Výsledkem je jednotkový vekto ve směu. Příklad 3.4. Vypočtěte gadient skaláního pole ϕ( =. Řešení: Příklad vypočteme dvěma metodami. Nejdříve po složkách. x x2 + y 2 + z = x 2 (x 2 + y 2 + z 2, 3/2 y x2 + y 2 + z = y 2 (x 2 + y 2 + z 2, 3/2 z x2 + y 2 + z = z 2 (x 2 + y 2 + z 2, 3/2 = 3. Duhou možností je výpočet pomocí vztahu po gadient funkce od pole. = = 2 = 2 = 3. Využili jsme tady výsledku předchozího příkladu. 2
3 Příklad 3.5. Vypočtěte gadient skaláního pole ϕ( = b ( a, kde a a b jsou konstantní vektoy. Řešení: Nejdříve využijeme vztahu po gadient součinu dvou skaláních funkcí. b ( a = b ( a + [b ( a]. Duhý člen si vypočteme ve složkách. x [b ( a] = x [b (ya 3 za 2 + b 2 (za xa 3 + b 3 (xa 2 ya ] = = a 2 b 3 a 3 b 2 = (a b x. Tím jsme dostali x-ovou složku vektoového součinu a a b. Po ostatní složky je výpočet obdobný a dostáváme [b ( a] = a b. Výsledek vezmeme z minulého příkladu. Takže nakonec máme 4 Divegence b ( a b ( a = 3 + a b. Divegence vektoového pole je skalání pole, po kteé platí div a = a x + a 2 y + a 3 z. Pomocí opeátou nabla lze divegenci vektoového pole a popsat jako skalání součin nably s tímto polem div a = a. Divegence udává zřídlovost vektoového pole. Budeme-li uvažovat např. vektoové pole dané gadientem teploty, kladná divegence tohoto pole znamená, že v tomto bodě teplo vzniká, záponá divegence, že zaniká. Věta 4.. Po divegenci platí: div(a + b = div a + div b, div(ϕa = gad ϕ a + ϕ div a. Důkaz: Pvní vztah je tiviální, dokážeme si duhý. (ϕa = x (ϕa x + y (ϕa y + z (ϕa z = = x a x + y a y + z a z + ϕ ( ax x + a y y + a z z Příklad 4.2. Vypočtěte divegenci pole = (x, y, z. = ϕ a + ϕ a. 3
4 Řešení: div = x x + y y + z z = 3. Příklad 4.3. Vypočítejte divegenci pole a( = 0 =. Řešení: Využijeme vztahu div(ϕa = gad ϕ a + ϕ div a. S využitím minulého příkladu a jednoho z předchozích příkladů (po výpočet gad dostáváme = + = = 2. Příklad 4.4. Vypočtěte divegenci pole a( = 3. Řešení: 3 = = = = 0. Pole je tedy nezřídlové. 5 Rotace Rotací vektoového pole a(x, y, z je vektoové pole ( a3 ot a(x, y, z = y a ( 2 a e x + z z a 3 x e y + ( a2 x a e z. y Body, ve kteých je otace nenulová, se označují jako víy a příslušné pole jako víové. Pole, kteé má ve všech bodech nulovou otaci, je nevíové. Pomocí opeátou nabla otaci zapisujeme jako ot a(x, y, z = a(x, y, z. Věta 5.. Platí ot(a + b = ot a + ot b, ot(ϕa = ϕ ot a a gad ϕ, div(a b = b ot a a ot b. Příklad 5.2. Vypočtěte otaci pole a( =. Řešení: Po pvní složku dostáváme (ot a = a 3 y a 2 z = z y y z = 0. Obdobně i po další složky, tedy a( = 0. Příklad 5.3. Vypočtěte otaci pole a( =. Řešení: Opět vypočteme pvní složku. (ot a = a 3 y a 2 z = z y y z = z 2 y + y 2 z = zy 3 + zy 3 = 0. Obdobně po ostatní složky, tedy a( = 0. 4
5 6 Laplaceův opeáto Naposledy si představíme Laplaceův opeáto = 2 x y z 2. Působí na skalání pole a výsledkem je opět skalání pole. Laplaceův opeáto je důležitý např. v elektřině, kvantové teoii, popisu vlnění a difuze. Pomocí opeátou nabla lze vyjádřit jako divegence gadientu = = 2 = ( ( = e x x + e y y + e z e x z x + e y y + e z = 2 z x y z 2. Věta 6.. Po Laplaceův opeáto platí následující vztahy. po k konstantní. Věta 6.2. Dále platí (ϕ + ψ = ϕ + ψ, (ϕψ = ψ ϕ + ϕ ψ + 2( ϕ ( ψ, (a + b = a + b, (ka = k a div gad ϕ = ϕ, ot ot a = gad div a a, gad ϕ = gad ϕ, ot a = ot a, ot gad ϕ = 0, div ot a = 0. Příklad 6.3. Aplikujte Laplaceův opeáto na skalání pole ϕ(x, y, z =. Řešení: Vypočtěme pvní a duhou deivaci pole pole x. x = x, 2 ϕ x 2 = x2 3, ϕ = 3 x2 + y 2 + z 2 3 = 2. Příklad 6.4. Učete Laplace skaláního pole ϕ(x, y, z =. 5
6 Řešení: Postupujeme obdobně jako v předchozím příkladě. x = x 2, 2 ϕ x 2 = 3 + 3x2 5, ϕ = 3 3 3x2 + y 2 + z 2 5 = 0. Příklad 6.5. Aplikujte Laplaceův opeáto na vektoové pole a(x, y, z = = (x, y, z. Řešení: Vypočteme pvní složku. ( a = 2 x x x y x z 2 = 0. Obdobně po ostatní složky. Tedy a = 0. Příklad 6.6. Dokažte identitu ot gad ϕ = 0. Řešení: Identitu si ozepíšeme ve složkách. ( ϕ = yz zy, zx xz, xy. yz Potože jsou díky spojitosti ϕ paciální deivace záměnné, je výaz oven nulovému vektou. 7 Příklady k samostatnému pocvičování Příklad 7.. Vypočtěte ychlost a zychlení, má-li polohový vekto tva = (t 3, t 2 sin t, cos t. Příklad 7.2. Vypočtěte gadient funkce ϕ( = cos, kde = je absolutní hodnota polohového vektou. Příklad 7.3. Vypočtěte gadient funkce ϕ( = a. Příklad 7.4. Vypočtěte divegenci funkce a( = v. Příklad 7.5. Vypočtěte otaci funkce a( = 3. Příklad 7.6. Aplikujte Laplaceův opeáto na vektoové pole a( = 3. 6
7 8 Výsledky příkladů k samostatnému pocvičování 7. v = (3t 2, 2t sin (t+t 2 cos (t, sin (t, a = (6t, (2 t 2 sin (t+4t cos (t, cos (t. sin cos (a a a Použitá a dopoučená liteatua. Daniel Hivňák, Difeenciální opeátoy vektoové analýzy, dostupné z www: 2. Identities of vecto analysis, dostupné z www: 7
6 Diferenciální operátory
- 84 - Difeenciální opeátoy 6 Difeenciální opeátoy 61 Skalání a vektoové pole (skalání pole) u u x x x Funkci 1 n definovanou v učité oblasti Skalání pole přiřazuje každému bodu oblasti učitou číselnou
VíceHlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby
Úvod do gavitace Hlavní body Kepleovy zákony Newtonův gavitační zákon Gavitační pole v blízkosti Země Planetání pohyby Konzevativní pole Potenciál a potenciální enegie Vztah intenzity a potenciálu Úvod
VíceUčební text k přednášce UFY102
Matematický popis vlnění vlna - ozuch šířící se postředím zachovávající svůj tva (pofil) Po jednoduchost začneme s jednodimenzionální vlnou potože ozuch se pohybuje ychlostí v, musí být funkcí jak polohy
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
Více5. Světlo jako elektromagnetické vlnění
Tivium z optiky 9 5 Světlo jako elektomagnetické vlnění Ve třetí kapitole jsme se dozvěděli že na světlo můžeme nahlížet jako na elektomagnetické vlnění Dříve než tak učiníme si ale musíme alespoň v základech
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 18 Vektorová analýza a teorie pole Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 18 Vektorová funkce jedné
VíceMATEMATIKA 1. RNDr. Jiří Lipovský, Ph.D.
MATEMATIKA RNDr Jiří Lipovský, PhD Hradec Králové 203 208 Obsah Lineární algebra 5 Vektorové prostory 5 2 Definice tělesa 5 3 Definice vektorového prostoru 5 4 Příklady vektorových prostorů 6 5 Lineárně
VíceKinematika. Hmotný bod. Poloha bodu
Kinematika Pohyb objektů (kámen, automobil, střela) je samozřejmou součástí každodenního života. Pojem pohybu byl poto známý už ve staověku. Modení studium pohybu začalo v 16. století a je spojeno se jmény
VíceELEKTŘINA A MAGNETIZMUS
ELEKTŘIN MGNETIZMUS III Elektický potenciál Obsah 3 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL 31 POTENCIÁL POTENCIÁLNÍ ENERGIE 3 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL V HOMOGENNÍM POLI 4 33 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL ZPŮSOENÝ ODOVÝMI NÁOJI 5 331
Vícediferenciální rovnice verze 1.1
Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování
VíceF5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE
F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Asi nejznámějším konzevativním polem je gavitační silové pole Ke gavitační
VíceLineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1
Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové
VíceTrivium z optiky Vlnění
Tivium z optiky 7 1 Vlnění V této kapitole shnujeme základní pojmy a poznatky o vlnění na přímce a v postou Odvolávat se na ně budeme často v kapitolách následujících věnujte poto vyložené látce náležitou
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VícePráce vykonaná v elektrickém poli, napětí, potenciál Vzájemná souvislost mezi intenzitou elektrického pole, napětím a potenciálem Práce vykonaná v
Páce vykonaná v eektickém poi, napětí, potenciá Vzájemná souvisost mezi intenzitou eektického poe, napětím a potenciáem Páce vykonaná v eektostatickém poi po uzavřené dáze Gadient skaání funkce Skaání
Víceverze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
VíceD I F E R E N C I Á L N Í O P E R Á T O R Y V E K T O R O V É A N A L Ý Z Y
O S T R A V S K Á U N I V E R Z I T A P Ř Í R O D O V Ě D E C K Á F A K U L T A D I F E R E N C I Á L N Í O P E R Á T O R Y V E K T O R O V É A N A L Ý Z Y D A N I E L H R I V Ň Á K OSTRAVA 2002 O B S
Více1.3.8 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici I
1.3.8 Rovnoměně zychlený pohyb po kužnici I Předpoklady: 137 Opakování: K veličinám popisujícím posuvný pohyb existují analogické veličiny popisující pohyb po kužnici: ovnoměný pohyb pojítko ovnoměný pohyb
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
Více4. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z Matematické analýzy 2 22. - 26. října 208 4. Po funkci fx, y, z xy 2 + z 3 xyz učete v bodě a 0,, 2 deivaci ve měu u, kteý je učen tím, že víá kladnými měy ouřadných o potupně úhly 60, 45
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
Více2.1 Shrnutí základních poznatků
.1 Shnutí základních poznatků S plnostěnnými otujícími kotouči se setkáváme hlavně u paních a spalovacích tubín a tubokompesoů. Matematický model otujících kotoučů můžeme s úspěchem využít např. i při
VíceElektrické a magnetické pole zdroje polí
Elektické a magnetické pole zdoje polí Co je podstatou elektomagnetických jevů Co jsou elektické náboje a jaké mají vlastnosti Co je elementání náboj a bodový elektický náboj Jak veliká je elektická síla
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceGravitační pole. a nepřímo úměrná čtverci vzdáleností r. r r
Newtonův avitační zákon: Gavitační pole ezi dvěa tělesy o hotnostech 1 a, kteé jsou od sebe vzdáleny o, působí stejně velké síly vzájené přitažlivosti, jejichž velikost je přío úěná součinu hotností 1
Víceverze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1
1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
VíceELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE
ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE 1 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Elektický náboj základní vlastnost někteých elementáních částic (pvní elektické jevy pozoovány již ve staověku janta (řecky
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceCvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017
z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceKinematika tuhého tělesa
Kinematika tuhého tělesa Pet Šidlof TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIERCI Fakulta mechatoniky, infomatiky a mezioboových studií Tento mateiál vznikl v ámci pojektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků
VíceFYZIKA I. Mechanická energie. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Mechanická enegie Pof. RND. Vilém Mád, CSc. Pof. Ing. Libo Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Iena Hlaváčová, Ph.D. Mg. At. Dagma Mádová Ostava
VíceELEKTROMAGNETICKÉ VLNY VE VOLNÉM PROSTŘEDÍ
ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY VE VOLNÉM PROSTŘEDÍ V celé této kapitole budeme předpokládat, že se pohybujeme v neomezeném lineáním homogenním izotopním postředí s pemitivitou = 0, pemeabilitou = 0 a měnou vodivostí.
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceVlnovody. Obr. 7.1 Běžné příčné průřezy kovových vlnovodů: obdélníkový, kruhový, vlnovod, vlnovod H.
7 Vlnovody Běžná vedení (koaxiální kabel, dvojlinka) jsou jen omezeně použitelná v mikovlnné části kmitočtového spekta. S ůstem kmitočtu přenášeného signálu totiž významně ostou ztáty v dielektiku těchto
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceQ N v místě r. Zobecnění Coulombova zákona Q 3 Q 4 Q 1 Q 2
Zobecnění Coulombova zákona Uvažme nyní, jaké elektostatcké pole vytvoří ne jeden centální) bodový náboj, ale více nábojů, tzv. soustava bodových) nábojů : echť je náboj v místě v místě.... v místě Pak
VíceGravitační a elektrické pole
Gavitační a elektické pole Newtonův gavitační zákon Aistotelés (384-3 př. n. l.) předpokládal, že na tělesa působí síla směřující svisle dolů. Poto jsou těžké předměty (skály tvořící placatou Zemi) dole
VíceMAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU. r je vyjádřen vztahem
MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU udeme se zabývat výpočtem magnetického pole vytvořeného danou konfiguací elektických poudů (podobně jako učení elektického pole vytvořeného daným ozložením elektických
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky
Matematika III Základy vektorové analýzy Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Skalární a vektorový součin Skalární součin Vektorový součin
VíceGyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2
Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu nabité částice v konfiguraci rovnoběžného konstantního vnějšího elektromagnetického pole 1 Popis problému Uvažujme pohyb nabité částice v E 3 v takové
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceZÁKLADY ROBOTIKY Transformace souřadnic
ÁKLD OOIK ansfomace souřadnic Ing. Josef Čenohoský, h.d. ECHNICKÁ UNIVEI V LIECI Fakulta mechatoniky, infomatiky a mezioboových studií ento mateiál vznikl v ámci pojektu ESF C..7/2.2./7.247, kteý je spolufinancován
VíceMatematika pro chemické inženýry
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní
Více2 Šíření elektromagnetických vln
Šíření elektomagnetických vln 2 Šíření elektomagnetických vln V předchozí kapitole jsme si zopakovali základní teminologii elektomagnetismu a připomněli jsme si základní zákonitosti. Nyní si připomeneme
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceJaroslav Reichl. Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1
Střední půslová šola sdělovací techni Pansá Paha 1 Jaoslav Reichl, 017 učená studentů 4 očníu technicého lcea jao doplně e studiu apliované ateati Jaoslav Reichl Sbía úloh z apliované ateati, J Reichl,
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
VíceProtože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy., pak - skalární součin vektorů u,
4 VEKTOROVÁ ANALÝZA 41 Vektorová funkce Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy Jsou-li dány tři nenulové vektory, uu ( 1, u, u), vv ( 1, v,
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
VíceNewtonův gravitační zákon
Gavitační pole FyzikaII základní definice Gavitační pole je posto, ve kteém působí gavitační síly. Zdojem gavitačního pole jsou všechny hmotné objekty. Každá dvě tělesa jsou k sobě přitahována gavitační
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceK přednášce NUFY080 Fyzika I prozatímní učební materiál, verze 01 Keplerova úloha Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Keplerova úloha
K řednášce NUFY080 Fyzika I ozatímní učební mateiál, veze 01 Keleova úloha eoš Dvořák, MFF UK Paha, 014 Keleova úloha Chceme sočítat, jak se ohybuje hmotný bod gavitačně řitahovaný nehybným silovým centem.
VícePohyb tělesa, základní typy pohybů, pohyb posuvný a rotační. Obsah přednášky : typy pohybů tělesa posuvný pohyb rotační pohyb geometrie hmot
Pohyb tělesa, základní typy pohybů, pohyb posuvný a otační Obsah přednášky : typy pohybů tělesa posuvný pohyb otační pohyb geoetie hot Pohyb tělesa, základní typy pohybů, pohyb posuvný a otační posuvný
VíceF n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
Více3.7. Magnetické pole elektrického proudu
3.7. Magnetické pole elektického poudu 1. Znát Biotův-Savatův zákon a umět jej použít k výpočtu magnetické indukce v jednoduchých případech (okolí přímého vodiče, ve středu oblouku apod.).. Pochopit význam
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Více, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceNewtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce
Gavitační pole Newtonův gavitační zákon Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země Pohyby těles Gavitační pole Slunce Úvod V okolí Země existuje gavitační pole. Země působí na každé těleso ve svém okolí
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VícePožadavky ke zkoušce
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VícePříklady elektrostatických jevů - náboj
lektostatika Hlavní body Příklady elektostatických jevů. lektický náboj, elementání a jednotkový náboj Silové působení náboje - Coulombův zákon lektické pole a elektická intenzita, Páce v elektostatickém
Více1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení
.7. oment síly vzhledem k ose otáčení Předpoklady 70 Pedagogická poznámka Situaci tochu komplikuje skutečnost, že žáci si ze základní školy pamatují součin a mají pocit, že se pouze opakuje notoicky známá
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
VíceVEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
VíceDiferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1
Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na
VíceEvropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
F8 KEPLEOVY ZÁKONY Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší udoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Kepleovy zákony po planetání pohy zfomuloval Johannes Keple (1571 1630) na základě měření Tychona Baheho
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceI. Statické elektrické pole ve vakuu
I. Statické elektické pole ve vakuu Osnova:. Náboj a jeho vlastnosti 2. Coulombův zákon 3. Intenzita elektostatického pole 4. Gaussova věta elektostatiky 5. Potenciál elektického pole 6. Pole vodiče ve
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VícePotenciál vektorového pole
Kapitola 12 Potenciál vektorového pole 1 Definice a výpočet Důležitým typem vektorového pole je pole F, pro které existuje spojitě diferencovatelná funkce f tak, že F je pole gradientů funkce f, tedy F
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceHlavní body. Úvod do dynamiky. Dynamika translačních pohybů Dynamika rotačních pohybů
Mechanka dynaka Hlavní body Úvod do dynaky. Dynaka tanslačních pohybů Dynaka otačních pohybů Úvod do dynaky Mechanka by byla neúplná, kdyby se nezabývala, důvody poč se tělesa dávají do pohybu, zychlují,
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Více9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.
.4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli
VíceElektrický náboj [q] - základní vlastnost částic z hlediska EM pole - kladný (nositel proton), záporný (nositel elektron) 19
34 Elektomagnetické pole statické, stacionání, nestacionání zásady řešení v jednoduchých geometických stuktuách, klasifikace postředí (lineaita, homogenita, dispeze, anizotopie). Vypacoval: Onda, otja@seznam.cz
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
Více