Metoda konečných prvků Základní veličiny, rovnice a vztahy (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Transkript

1 Inovace tudijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ..7/../8.9 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah (výuková prezentace pro. ročník navazujícího tudijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D.

2 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Napjatot v tělee Síl půobící na těleo: íl vnější povrchové (tlak, tah, tření), objemové (např. gravitační) íl vnitřní vvolané vzájemným půobením čátic tělea, tvoří reakci vůči vnějším ilám Pojem napětí: lim A P A P je íla půobící na element ploch

3 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Základní ložk napětí: normálová ložka napětí ložka kolmá k ploše A mková ložka napětí ložka ležící v ploše A Obecně lze definovat v obecném bodě tělea celkem 9 ložek napětí ( ložk normálové a 6 ložek mkových napětí).

4 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah ložk normálového napětí:,, z ložk mkového napětí:,, z, z, z, z z rovnic momentové rovnováh od mkových il plne: =, z = z, z = z, ted počet mkových napětí e redukuje na (věta ovzájemnoti tečných napětí). Celkově ted dotáváme 6 neznámých ložek napětí. Značení mkových napětí: první inde značí měr o kolmé k ploše, v níž napětí půobí, druhý inde označuje měr tohoto napětí

5 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Tenzor napětí: T z z z z z Střední normálové napětí: Objemový tenzor napětí: z Deviátor napětí: T o D z z z z z Obecně platí: T=To+D

6 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Hlavní napětí Složk tenzoru napětí závií na volbě outav ouřadnic, při změně outav ouřadnic e změní velikoti ložek napětí. V obecném bodě zatíženého tělea eitují na obě kolmé ploch, na nichž jou tečná (mková) napětí nulová a normálová napětí nenulová. Tato normálová napětí e nazývají hlavní napětí, rovin, na nichž tato normálová napětí půobí e nazývají rovin hlavní.

7 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Základní tp napjatoti Jednooá napjatot:, Dvouoá napjatot: Trojoá napjatot:,, (např. tč namáhaná tahem) Např. těleo rovinného tvaru, u kterého jou rozměr větší než rozměr třetí (např. tenká deka) Obecný tav napjatoti

8 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Invariant kalární veličin, které e nemění e změnou outavou ouřadnic.. invariant:. invariant:. invariant: z z z z z T I I I det Invariant vjádřené v hlavních napětích,, : I I I

9 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Oktaedrické napětí - napětí, přílušející k oktaedrické ploše Oktaedrická plocha - plocha ve tejném klonu ke každé hlavní oe co, Oktaedrické napětí:.., okt okt n Tto rovin vmezují v ouřadném tému hlavních napětí,, omitěn napjatoti.

10 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Deviátorová rovina Deviátorová rovina rovina kolmá k přímce = =. Tato přímka e nazývá hdrotatická oa. Deviátorová rovina je určena podmínkou + + =kont. V této rovině e obvkle zobrazují obálk porušení.

11 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Střední napětí (hdrotatické napětí) p: zvšováním p dochází k objemovým změnám p I z Deviátorové napětí q: vpovídá o mkovém namáhání q Za předpokladu oově metrické napjatoti (např. v triaiálním přítroji, kde = ) platí: q

12 Stav napětí v daném bodě tělea je určen Mohrovou kružnicí (O.Mohr, 88): Střed Mohrov kružnice: ; S Poloměr Mohrov kružnice: r Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah (Wikipedia)

13 , tg Hodnot hlavních napětí: Směr hlavních napětí: Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah

14 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Mohrov kružnice odpovídající pecifickým tavům napjatoti Obecný tah Jednooý tah Kombinace tah+tlak Čitý mk Jednooý tlak Obecný tlak

15 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Deformace tělea Protorový tav deformace je obecně definován 9 ložkami deformace třemi ložkami poměrného přetvoření z a šeti ložkami zkoení (úhlových deformací), z,, z, z, z. Tenzor přetvoření z z z z z

16 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Přetvoření tělea e kládá ze změn objemu a ze změn tvaru.

17 , z z z z z z Změnu objemu vjadřujeme ložkami objemového tenzoru přetvoření: Změnu tvaru vjadřujeme ložkami tzv. deviátoru přetvoření: Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah

18 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Smkové napětí nezpůobuje změnu objemu, ale pouze změnu tvaru tělea. Rovinná napjatot: nenulové jou pouze t ložk napětí, které jou rovnoběžné určitou rovinou. tj např. z = z = z = v případě, že uvažujeme nulová napětí ve měru o z. Relativní deformace ve měru o z při rovinné napjatoti ale nulová není! z z z z z Rovinná napjatot (těna) Brožovký, Materna ()

19 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Rovinná deformace: nenulové jou pouze t ložk pounů, které vznikají v určité rovině. tj např. z = z = z =. Normálové napětí z při rovinné deformaci ale nulové není! Případ rovinné deformace je nejčatější případ v geotechnických úlohách (tunel, náp, vah, hráze, opěrné kontrukce apod.) z z z z z z Pott, Zdravkovič (999)

20 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Rotačně metrická napjatot předpoklad tohoto tavu napjatoti lze uvažovat za objektivní, jetliže je v geotechnických úlohách plněno náledující: Rotačně metrická geometrie (kruhový základ, pilota, vzorek v triaiálu apod. ) Smetrické zatížení Rotačně metrické geologické protředí v okolí kontrukce

21 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Formulace úloh pružnoti: Pro těleo e známou geometrií, materiálem, zatížením a vazbami k okolí e určuje deformace a napjatot za předpokladu repektování tří základních tpů rovnic teorie pružnoti. Základní rovnice teorie pružnoti: ) tatické rovnice - vjadřují rovnováhu il v tělee (ilové podmínk) a rovnováhu momentovou (z této momentové podmínk vplývá redukce počtu mkových ložek napětí z 9 na 6). ) geometrické rovnice- vjadřují vztah mezi ložkami deformace rep a pounutím u ) fzikální rovnice (kontitutivní vztah) vjadřují vztah mezi napětím a přetvořením

22 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Statické rovnice rovnováh v rovině X X kde X, X jou ložk vektoru objemových il X. Zavedeme-li vektorové značení : T,, Operátorová matice ˆ ˆ ˆ Maticový tvar tatické rovnice rovnováh: X

23 Geometrické rovnice : u T ˆ kde v u u T,,, Ted u v v u,, Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah ˆ Tto rovnice však nezajišťují kontinuální přetváření tělea, nutno uvažovat dále rovnice kompatibilit.

24 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Rovnice ouviloti přetvoření (kompatibilit) Zajišťují ouvilé přetváření tělea bez vzniku trhlin. Ve ložkách přetvoření: Ve ložkách napětí (Lévho rovnice):

25 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah Fzikální rovnice (kontitutivní rovnice) udávají vztah mezi napětím a deformací, prvk matice D jou v nejjednodušším případě (Hookův zákon) závilé na materiálových charakteritikách, obecně ale mohou dále záviet i na hitorii napětí a přetváření. D D C,,, z,,, z,, z z,, T D... matice tuhoti, D - =C.. matice poddajnoti T