3. VYBRANÉ ZÁKONY ROZDĚLENÍ POUŽÍVANÉ VE SPOLEHLIVOSTI

Transkript

1 3. VYBRANÉ ZÁKONY ROZDĚLENÍ POUŽÍVANÉ VE SPOLEHLIVOSTI Po úspěšém a aktivím absolvováí této KAPITOLY Budete umět: rozpozat průběh a vlastosti, uvést základí vztahy charakteristik rozděleí spojité áhodé veličiy, používaých ve spolehlivosti (epoeciálí, Weibullovo, ormálí rozděleí), popsat a zázorit průběh ěkterých typů rozděleí diskrétí áhodé veličiy, používaých ve spolehlivosti (biomické, Poissoovo rozděleí), uvést vztahy pro určeí jejich charakteristik, Budete umět odhadout parametry vybraých rozděleí áhodé veličiy ze zámých empirických dat, získaých z provozu vozidel, určit vztahy a průběh bezporuchovosti pro soustavy složeé z více prvků v uspořádáí sériovém, paralelím a smíšeém. Údaje získaé ze spolehlivostích zkoušek se porovávají s ěkterým ze zákoů rozděleí áhodé veličiy. Volbou vhodého zákoa rozděleí získáme racioálí popis spolehlivostích vlastostí zkoušeého výrobku. Záko rozděleí se volí v souladu s průběhem získaých dat, apř. podle tvaru histogramu četostí a podle požadavků a shodu s touto charakteristikou. Záko rozděleí s udaými parametry zcela popisuje charakteristiky spolehlivosti, a je tak možé výpočtem staovit všechy další veličiy. Průvodce studiem V miulé kapitole jsme pozali charakteristiky používaé pro popis áhodé veličiy. V prai má každé vozidlo i prvky, ze kterých je složeo, odlišý průběh rozděleí áhodé veličiy. V této kapitole se tedy sezámíme s kokrétími rozděleími áhodé veličiy, abychom mohli spolehlivost aalyzovat, modelovat a předpovídat. Za tímto účelem se také aučíme provádět odhad parametrů vybraých rozděleí, čímž budeme moci popsat průběh rozděleí áhodé veličiy pro libovolé vozidlo ebo jeho části, pro které máme k dispozici empirická data, zjištěá z jejich skutečého provozu. 4

2 3. Zákoy rozděleí pravděpodobosti spojité áhodé veličiy Čas ke studiu: 4 hodiy Cíl Po prostudováí tohoto odstavce budete umět: zázorit průběh epoeciálího rozděleí áhodé veličiy, použít vztahy pro určeí jedotlivých charakteristik rozděleí, odhadout parametr rozděleí, defiovat pojem kvatil a vypočítat jeho kokrétí hodoty pro epoeciálí rozděleí, popsat Weibullovo a ormálí rozděleí a jejich parametry, určit vztahy a průběh jejich charakteristik. Výklad Spolehlivost eopravovaých výrobků a soustav se měří pravděpodobostí bezporuchového provozu a odvozeými veličiami, jako je hustota poruch, itezita poruch a středí doba bezporuchového provozu. Chováí výrobku se zpravidla sleduje v čase, ěkdy je možé poruchy sledovat v závislosti a jié veličiě, obecě výkoovém parametru. Například spolehlivost hacího vozidla se zpravidla sleduje v závislosti a počtu ujetých kilometrů, stáří vozidla je méě podstaté. U většiy výrobků může porucha astat při libovolé hodotě ezávisle proměé, apříklad v libovolém čase. Nezávisle proměá je spojitá. U výrobků s espojitou čiostí, apříklad u relé, může porucha astat pouze v určitých okamžicích, kdy je relé v čiosti. Nezávisle proměá je potom espojitá. Epoeciálí rozděleí Jak bylo ukázáo v. kapitole, je období ormálího života výrobku charakteristické ustáleím itezity poruch a přibližě kostatí hodotě. Průběh itezity poruch u epoeciálí rozděleí je kostatí, a proto se velmi často používá k vyjádřeí právě této etapy života. Ozačuje se E(λ) a je určeo jedím parametrem λ. 43

3 Hustota pravděpodobosti je dáa vztahem: f λ ep( λt) λ >, t (3.) f(t) Parametr rozděleí: λ - itezita poruch, má rozměr apř. /hod, / 3 km, / 6 cyklů t (hod) Obr. č. 3.: Epoeciálí rozděleí f(t) Odvozeí vztahu (3.) přesahuje rámec těchto skript a je uvede v literatuře [Daěk,998]. Distribučí fukce je dáa vztahem: t F( t) f dt λ ep( λt) dt ep( λt) λ >, t (3.) t Průběh distribučí fukce je a obrázku 3.. F(t),63 Ts středí hodota rozděleí, používá se i ozačeí středí doba do poruchy, má rozměr apř. hod, 3 km, 6 cyklů. Ts t (hod) Obr. č. 3.: Epoeciálí rozděleí F(t) Pravděpodobost bezporuchového provozu je dáa vztahem: R F( t) ep( λt) λ >, t (3.3) 44

4 Pravděpodobost bezporuchového provozu R(t) je v literatuře azýváa i jako fukce spolehlivosti. Má tvar klesající epoeciály a je charakteristické, že u E(λ) rozděleí rychle klesá, jak azačuje obrázek 3.3. R(t) Středí hodota Ts je dáa vztahem:,37,4 T s (3.4) λ Ts Ts t (hod) Obr. č. 3.3: Epoeciálí rozděleí R(t) Středí doba do poruchy u epoeciálího rozděleí je rova převráceé hodotě parametru λ, a proto je rozděleí zcela popsáo také středí dobou. Itezita poruch je dáa vztahem: f λ ep( λt) λ ( t ) λ kost. R( t) ep( λt) Průběh itezity poruch je zázorě a obrázku 3.4. λ >, t (3.5) λ(t) λ(t) kost t (hod) Obr. č. 3.4: Průběh itezity poruch epoeciálího rozděleí Příklad 3.. Sledujeme dobu do poruchy žárovek do světlometů u parku vozidel. Za sledovaé období se vyskytlo 8 poruch, akumulovaý pracoví čas žárovek čiil T ak 5 hod. Údaje jsou zpracováy v tabulce stejě jako v příkladu.3. Požaduje se staovit středí doba do poruchy a dále % kvatil doby do poruchy. Otázka: Co to zameá staovit % kvatil doby do poruchy? 45

5 Staovit obecě p% kvatil doby do poruchy zameá určit takovou dobu provozu, kdy pravděpodobost poruchy dosáhe právě p% hodoty. V tomto příkladě se požaduje určit čas, kdy je pst poruchy F(t),. Postup řešeí: V prvím kroku sestavíme histogram četostí a z jeho průběhu odhademe vhodý záko rozděleí. Postup je uvede v příkladu.3 se závěrem, že epoeciálí rozděleí může být vhodý teoretický model pro rozděleí dob do poruchy žárovek. Ve druhém kroku provedeme odhad itezity poruch λ - parametru epoeciálího rozděleí. Odhad staovíme s využitím vztahu (3.4). Nakoec vypočteme dobu t, odpovídající požadovaému kvatilu. Tab. 3.: Doby do poruchy žárovek Třída Doba do Absolutí poruchy četost (hod) Σ 8 poruch Akumulovaý pracoví čas T ak 5 (hod) Odhad středí doby do poruchy žárovek: Tak T 5 8 s 8 ( hod),5 Průběh f(t) relativí četost,,5,,5 Třída Obr. č. 3.5: Porováí empirických dat s teoretickým modelem 46

6 Parametr λ itezita poruch, je dle vztahu (3.4) rove: Vybraé zákoy rozděleí používaé ve spolehlivosti λ 3,56 3 T s 8 (/ hod) Pravděpodobost poruchy popisuje distribučí fukce (3.), úpravami získáme vztah pro výpočet kvatilu t,. F ep( λt) Vztah (3.) upravíme tak, aby a levé straě rovice zůstala proměá t. F ep( λt) F( t) ep( λt) l( F( t)) λt l( F( t)) t (3.6) λ Dosazeím hodoty F(t), do vztahu (3.6) získáme hledaý kvatil: l( F( t)) l(,) t, 9,6 3 ( hod) 3 λ 3,56 Závěr: Posouzeím průběhu histogramu četostí jsme jako vhodý model doby do poruchy žárovek zvolili epoeciálí rozděleí (Obr. č. 3.5). Odhad středí doby do poruchy Ts 8 hodi. Pravděpodobost poruchy žárovky do světlometu P, bude dosažea po 3 hodiách provozu, tj. kvatil t, je rove 3 hod. Pozámka: Soulad mezi empirickými daty (zjištěé měřeím) a teoretickým modelem - rozděleím E(λ) můžeme ověřit porováím průběhu histogramu relativích četostí a hustoty pravděpodobosti f(t). Toto posouzeí je však pouze přibližé (Obr.3.5), ve vědeckých a odborých pracích je požadováo objektiví posouzeí. Používá se proto apř. test dobré shody s využitím statistiky χ. 47

7 Weibullovo rozděleí Ve spolehlivosti velmi často používá k modelováí průběhu áhodé veličiy Weibullovo rozděleí. Je velmi variabilí a této vlastosti se s výhodou využívá při posuzováí bezporuchovosti techických objektů. Změou parametru tvaru ahrazuje jié zákoy rozděleí, apř. epoeciálí, aproimuje ormálí rozděleí. Pracujeme tak pouze s jedím tvarem rovic, emusíme používat rovice pro další typy rozděleí, a to je velmi výhodé při umerických výpočtech v prostředí tabulkového procesoru. Původě bylo odvozeo prof. Weibullem jako tříparametrické, ale pro běžé výpočty se vztahy výrazě zjedodušují převedeím a dvouparametrické. Ozačuje se W3p resp. Wp. Položeím parametru polohy c vziká Wp rozděleí. Hustota pravděpodobosti u tohoto zákoa rozděleí je dáa vztahem (34): m m m t t f ep t (3.7) t t t W3p je určeo parametry: t - parametr měřítka, t > (ěkdy ozače β) c - parametr polohy, c m - parametr tvaru, m > (ěkdy ozače α) čas: t f(t) m m 4 m,5 Všechy tři průběhy f(t) mají parametr t shodý. Liší se pouze parametrem tvaru m. t (hod) Obr. č. 3.6: Weibullovo rozděleí f(t) 48

8 Distribučí fukce F(t) je dáa vztahem: m t F ep t t (3.8) Průběh distribučí fukce F(t) s třemi růzými parametry tvaru m jsou a obr F(t) m m 4 m,5 Průsečík průběhu křivek se azývá charakteristický život, pro který platí t t o. Potom: F(t) - ep(-),63 to t (hod) Obr. č. 3.7: Weibullovo rozděleí F(t) Pravděpodobost bezporuchového provozu je dáa vztahem: m t R ep t t (3.9) Itezita poruch je dáa vztahem: m m t λ t (3.) t t Průběh celé vaové křivky lze popsat Wp rozděleím, kde každé fázi života výrobku odpovídají jié parametry rozděleí, jak azačuje obr λ(t) Uvedeí do provozu m < Provoz itezita poruch je kostatí m Vyřazeí z provozu m > t t Obr. č. 3.8: Weibullovo rozděleí λ(t) Čas t 49

9 Středí hodota se vypočte ze vztahu: T s t Γ + Kde: Γ je gama fukce (tabelovaá) (3.) m Weibullovo rozděleí zahruje epoeciálí rozděleí (m ), Rayleighovo rozděleí (m ) a aproimuje ormálí rozděleí (m 3,5). Této vlastosti se s výhodou využívá při posuzováí bezporuchovosti techických objektů, protože výpočty vyžadující tři růzá rozděleí jsou ahrazey jedím vztahem. Pozámka: Aimace grafů charakteristik Weibullova rozděleí jsou v souborech uložeých v příloze. Normálí rozděleí V prai se často setkáváme s ormálím rozděleím u řady veliči, apř. velikosti chyby měřeí, rozděleí skutečého rozměru součásti uvitř toleračího pole při obráběí. Normálí rozděleí je také zámo jako Gaussovo rozděleí podle svého objevitele Gausse, ozačuje se N(µ,σ) a je učeo dvěma parametry, středí hodotou a směrodatou odchylkou. Stěžejí výzam má ormálí rozděleí v teorii pravděpodobosti druhá limití věta. Ve spolehlivosti se využívá pro itervalový odhad, tj. ke staoveí itervalu, ve kterém s vysokou, předem staoveou pravděpodobostí leží odhadovaý parametr. Typickým příkladem je odhad dolí a horí hraice, mezi kterými leží středí doba do poruchy. Původě bodovým odhadem středí doby změou a itervalový výrazě zvýšíme pravděpodobost, že áš odhad je správý. Staoveí itervalu se provádí s využitím pravidla σ. Hustota pravděpodobosti ormálího rozděleí je dáa vztahem: ( t µ ) σ f e > πσ < t < σ (3.) Parametry rozděleí: µ je středí hodota σ - směrodatá odchylka áhodé veličiy 5

10 Průběh hustoty pravděpodobosti a vliv parametrů a průběh fukce je azače a obr 3.9. f(t) σ < σ f(t) δ ` µ µ < µ t (hod) Obr. č. 3.9: Normálí rozděleí f(t) t (hod) Ve spolehlivosti má často áhodá proměá rozměr čas ebo kilometrický proběh, může proto abývat pouze kladých hodot (ezáporé číslo) a rozděleí je zleva usekuto. Pokud je µ a směrodatá odchylka σ, říkáme, že rozděleí je ormovaé. Distribučí fukce Φ(t) a hustota pravděpodobosti ϕ(t) ormovaého rozděleí jsou tabelovaé, použitím těchto fukcí dostáváme charakteristiky bezporuchovosti určeé ormálím rozděleím. Parametry rozděleí: t >, σ > Čas: t t t ϕ δ f (3.3) t σ Φ σ t t Φ σ t Φ σ F (3.4) t t Φ σ t Φ σ R (3.5) t t ϕ σ λ (3.6) t t σ Φ σ 5

11 T s t t t ϕ σ + σ t Φ σ (3.7) Pravděpodobost, že áhodá veličia abude hodot z určitého itervalu, je rova ploše pod hustotou pravděpodobosti ad tímto itervalem. Například pro iterval s hraicemi µ -,96σ) a µ + (,96σ) má tato plocha velikost,95. Náhodá veličia potom abývá hodot z tohoto itervalu s 95% pravděpodobostí, a pouze s 5% pravděpodobostí leží její hodoty mimo uvedeý iterval, podroběji (pravidlo σ): téměř 7 % hodot leží ve vzdáleosti meší ež směrodatá odchylka od průměru, přesěji 68,7 % leží mezi µ ± σ 95 % hodot leží ve vzdáleosti meší ež směrodaté odchylky od průměru, přesěji 95 % leží mezi µ ±,96 σ 99 % hodot leží ve vzdáleosti meší ež 3 směrodaté odchylky od průměru, přesěji 99 % leží mezi µ ±,576 σ f(t) µ -,96σ µ µ +,96σ t (hod) Obr. č. 3.: Normálí rozděleí - pravidlo σ 5

12 3. Zákoy rozděleí pravděpodobosti diskrétí áhodé veličiy Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí tohoto odstavce budete umět: využít vztahy pro výpočet charakteristik biomického rozděleí diskrétí áhodé veličiy, popsat vlastosti Poissoova rozděleí diskrétí áhodé veličiy, prakticky určit její ukazatele. Výklad Pro diskrétí áhodou proměou se ve spolehlivosti používá biomické rozděleí a Poissoovo rozděleí. Biomické rozděleí se používá k popisu úloh typu k/, tedy počtu výskytu ejvýše k pozorovaých jevů z možých. Biomické rozděleí Uvažujeme statisticky ezávislých pokusů. V každém pokusu může sledovaý jev buď astat ("úspěch") ebo eastat ("eúspěch"). Odpovídající pravděpodobosti ozačíme p a (-p), tyto jsou v každém pokusu stejé. Celkový počet úspěšých k pokusů v ezávislých pokusech má biomické rozděleí. Tato áhodá veličia může abývat pouze celočíselých hodot od do. Hustota pravděpodobosti astoupeí jevu: p( k)! k!( k)! k k p ( p ) k,,,.. < p < (3.8) Středí hodota E(X) biomického rozděleí: E( X ) p (3.9) 53

13 Rozptyl biomického rozděleí: D( X ) p ( p) (3.) Poissoovo rozděleí Poissoovo rozděleí můžeme získat dosazeím za do biomického rozděleí a vyřešeím limity. Získaý vztah popisuje pravděpodobost výskytu izolovaých dějů v čase, prostoru, možství a ozačuje se Po(λ). Poissoovo rozděleí je charakterizováo ásledujícími vlastostmi: Pravděpodobost výskytu jedé události v daém itervalu (času, prostoru) je úměrá délce tohoto itervalu. Události se vyskytují ezávisle jak ve stejém itervalu, tak mezi po sobě jdoucími itervaly. Pravděpodobost současého vziku dvou událostí v jedom itervalu je ulová. Sledujeme počet výskytu jevů a jedotku míry, apříklad počet poruch a jedotku času ebo počet poruch a jedotku kilometrického proběhu vozidla. Rozděleí je určeo vztahy: Hustota pravděpodobosti astoupeí jevu: k ( λ t) f ( k) ep( λ t) k! Kde: k je počet sledovaých jevů (poruch), λ - středí itezita poruch (/čas), k,,,.. (3.) t - čas, tj. délka itervalu, ve kterém zjišťujeme pravděpodobost výskytu jevu. Středí hodota E(X) Poissoova rozděleí: E( ) λ t (3.) Rozptyl Poissoova rozděleí: D( ) λ t (3.3) 54

14 Příklad 3.. Vybraé zákoy rozděleí používaé ve spolehlivosti Provozujeme flotilu vozidel, každé je osazeo dvěma žárovkami do světlometů. V letím období jsou světlomety zaputy průměrě 4 hodiy deě, v zimím hodi deě, vozidla jsou v provozu 5 dí v týdu. Máme určit týdeí spotřebu žárovek v letím a zimím období, je-li středí itezita poruch žárovek λ 3,56* -3 (/hod) údaj vypočte v příkladu 3.. Otázka: Jaká je pravděpodobost ulového počtu poruch žárovky za týde? Výpočtem pravděpodobosti pro k (ulový počet poruch) staovíme bezporuchovost žárovek P(Xk). Protože platí, že součet dvou disjuktích jevů je rove jedé, dopočtem do jedičky staovíme pravděpodobost vziku poruch k,,... Bezporuchovost vypočteme dosazeím do vztahu (3.) pro k. p( k p( k ) ) leto zima ( λ t) k! k ep( 3,56 ep( λ t) ep( λ t) ep( 3, ), ),93 F( ) F( ) leto zima p( k) leto,84,6,93,7 V provozu je vozidel, tj. celkem N 4 ks žárovek. Týdeí spotřebu vypočteme: leto zima F( ) F( ) leto zima N,7 4,8 3 ks N,6 4 6,4 6 ks V letím období lze očekávat poruchu 3 ks žárovek, v zimím 6 ks žárovek za týde. 55

15 3.3 Odhad parametrů zákoa rozděleí pravděpodobosti Čas ke studiu:,5 hodiy Cíl Po prostudováí tohoto odstavce budete umět: provést odhad parametrů dvouparametrického Weibullova rozděleí spojité áhodé veličiy metodou lieárí regrese, popsat postup odhadu parametrů ormálího rozděleí spojité áhodé veličiy, kokrétě určit tyto parametry. Výklad Iformace o spolehlivostích charakteristikách výrobků a systémů získáváme v prai z koečého počtu pozorovaých jevů áhodé proměé T. Pozorovaé jevy tvoří áhodý výběr, který má empirickou charakteristiku. Z empirické charakteristiky tvoříme odhad teoretické charakteristiky, tedy modelu, který dobře reprezetuje empiricky zjištěá data. V zásadě se používají dvě metody: Parametrická metoda předpokládá zalost zákoa rozděleí distribučí fukce F(t) áhodé veličiy t. Distribučí fukce je určea hodotou jedoho ebo více parametrů podle typu rozděleí, parametry se vypočítají z pozorováí jevů. Výpočtem určíme bodový odhad parametrů rozděleí, odhad se použije pro dosazeí do vztahů určujících ukazatele spolehlivosti. Bodový odhad, ozačovaý BOP, je zatíže chybou, velikost této chyby se zmešuje s rostoucím počtem pozorovaých jevů. Při malém počtu pozorovaých jevů je uté bodový odhad rozšířit a itervalový odhad, ve kterém odhadovaý parametr leží. Neparametrická metoda vychází z předpokladu, že eí zám kokrétí typ rozděleí distribučí fukce F(t) áhodé proměé T. Odhad ukazatelů spolehlivosti vychází ze zkušebího pláu zkoušky spolehlivosti. Odhad parametru epoeciálího rozděleí E(λ) byl ukázá v příkladu 3., a proto se jím dále ebudeme zabývat. U dalších rozděleí, ve kterých vystupují dva parametry, je uté použít jié postupy. Tyto budou ukázáy a příkladu Weibullova rozděleí, kde k odhadu parametrů využijeme lieárí regrese, u ormálího rozděleí použijeme metodu maimálí věrohodosti. 56

16 Odhad parametrů Weibullova rozděleí Odhad lze provést dvěma metodami: Grafickou metodou. Aalytickou metodou. Grafická metoda umožňuje staovit odhad parametrů zákoa rozděleí při současém testováí, zda je teto záko rozděleí vhodý jako aproimace eperimetálě získaých údajů. Logaritmováím rovice (3.) získáme vztah: m logλ ( t ) ( m ) logt + log( ) (3.4) t Na logaritmický papír (log log) se vyesou vypočítaé hodoty λ i (t), body se proloží přímka. Směrice přímky určuje odhad (m-), úsek a ose pořadic odhad poměru m/t. Pokud budou v grafu odchylky jedotlivých bodů λ i (t) od přímky dosti malé, můžeme považovat Weibullovo dvouparametrické rozděleí za vyhovující aproimaci. Vhodost modelu je uté ověřit testem dobré shody. Podrobý postup lze alézt v [Stuchlý, 993]. Aalytická metoda: Využívá techiky proložeí empirických dat přímkou metodou ejmeších čtverců, a je dobře realizovatelá s použitím tabulkového procesoru. Výklad metody bude provede ve třech krocích:. úprava distribučí fukce F(t) a ásledá substituce rovicí přímky,. staoveí parametrů rovice přímky proložeím empirických dat metodou ejmeších čtverců, 3. odhad parametrů Wp modelu zpětou trasformací.. krok: Distribučí fukce Wp rozděleí je dáa (3.8), cílem azačeých úprav je získat tvar vhodý k zavedeí substituce rovicí přímky: 57

17 F ep F ep t t t t m m l( F ) t t l( l( F )) m l t m l t m Srovej s rovicí přímky y k + q Zavedeme substituce: y l( l( F )) (3.5) k m l t q m lt (3.6) (3.7). krok: Uspořádáme empirická data do vzestupé řady, kde ejmeší hodota (ejkratší doba do poruchy) obdrží pořadové číslo, druhá hodota obdrží pořadové číslo, až posledí obdrží pořadové číslo. Pořadové číslo poruchy i využijeme k odhadu mediáového pořadí F i (m) dle vztahu: i,3 Fi ( m) i,, (3.8) +,4 Kde: i je pořadové číslo poruchy celkový počet poruch Mediáové pořadí je ejlepší odhad hodoty F(t), která vystupuje a pravé straě vztahu (3.5). Nyí vyeseme do grafu dvojice hodot l t i a y i, hodota y i se vypočítá ze vztahu (3.5). Vziklými body v grafu proložíme přímku metodou ejmeších čtverců, s výhodou lze pro tuto operaci použít vestavěé fukce tabulkového procesoru (obr. 3.). Získaou rovici přímky použijeme k odhadu Wp rozděleí. 58

18 y l(-l(-f(m))),5 y,86-7, ,5 l t - -,5 - -,5 Obr. č. 3.: Staoveí parametrů rovice přímky 3. krok: Rovici přímky porováme se vztahy (3.6 a 3.7). Směrice přímky k odpovídá hodotě parametru tvaru m, parametr měřítka t vypočítáme úpravou vztahu (3.7): q m l t l t q m t q ep( m ) (3.9) Příklad 3.3. Určete aalytickou metodou parametry Wp rozděleí dvou provedeí převodovek. Údaje o poruchách převodovek jsou převzaty z příkladu.. Otázka: Jak uspořádat tabulku hodot pro sestaveí grafu a obr. 3.8? Tabulka musí obsahovat hodoty potřebé k sestaveí grafu a obrázku č. 3., tedy dvojici hodot Y i a l(t i ). Vzorový výpočet. řádek, převodovka A, doba do poruchy t 5 (hod): 59

19 i,3,3 F ( m) +,4 +,4,67 y y l t l( l( F ( m))) l( l(,67 )),664 l(5) 4,88 Tab. 3.: Hodoty pro sestaveí grafu lieárí regrese P.č. Převodovka provedeí A Doba do poruchy ti (hod) Odhad F(m) yi l ti 5,67 -,664 4,88 4,63 -,73 4,94 3 5,6 -, 5,37 4 5,356 -,8 5,5 5 6,45 -,59 5, ,548 -,3 5, ,644,33 6, ,74,99 6, ,837,594 6,898 5,933,993 7,48 P.č. Převodovka provedeí B Doba do poruchy ti (hod) Odhad F(m) yi l ti,67 -,664 4,787 55,63 -,73 5, ,6 -, 5, ,356 -,8 5, ,45 -,59 6,8 6 45,548 -,3 6,5 7 5,644,33 6,5 8 5,74,99 6, ,837,594 6,73 585,933,993 6,37 Sestavíme bodový graf X - Y: osa X: - vyesey hodoty l t i z tabulky osa Y: - vyeseme hodoty y i z tabulky V grafu ozačíme datovou řadu (prostředí Ecel), zvolíme přidat spojici tredu, typ lieárí regrese. V záložce možosti zvolíme zobrazit rovici regrese a zobrazit hodotu spolehlivosti R. Získáme hledaou rovici přímky, kterou porováme ze vztahy (3.6 a 3.7). Situace je a obrázku 3.. Převodovka A Převodovka B,, y,337-8,66 R,8957,, y,9589 -,37 R,895, 4, 5, 6, 7, 8, -, -, -3,, 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 -, -, -3, Obr. č. 3.: Parametry rovice přímky 6

20 Převodovka A Parametr tvaru m: Převodovka B Parametr tvaru m: y,33 m, 3 Parametr měřítka to: q 8,66 t ep( ) ep( ) 58( hod) m,3 y,958 m, 96 Parametr měřítka to: q,37 t ep( ) ep( ) 5( hod) m,96 Pozámka: Hodota R - koeficiet determiace, porovává skutečé hodoty y a jejich odhady. Nabývá hodot od do, pokud je rove, eistuje v tomto vzorku dokoalá korelace, tj. mezi odhadem a skutečými hodotami y eí žádý rozdíl. Pokud je koeficiet determiace rove ule, zameá to, že regresí rovice edokáže předpovídat hodoty y. V uvedeém příkladu je zřejmé, že kvalita proložeí empirických dat teoretickým modelem je a dobré úrovi. Závěr: Metodou lieárí regrese jsme staovili parametry Wp rozděleí. Převodovka provedeí A má odhad parametrů Wp rozděleí: m,3 a t 58 (hod). Převodovka provedeí B má odhad parametrů Wp rozděleí: m,96 a t 5 (hod). Odhad parametrů ormálího rozděleí Odhad parametrů ormálího rozděleí je provede metodou maimálí věrohodosti. Uvažujme, že data i, kde i,,.. jsou získáa ze zkoušek spolehlivosti a jsou výsledkem opakovaých, ezávislých eperimetů. Lze tvrdit, že ze všech možých realizací áhodé veličiy (realizace výsledek zkoušky) obdržíme hodoty ejpravděpodobější, a a tomto tvrzeí je založea metoda odhadu parametrů s maimálí věrohodostí. Nazačme postup řešeí. Hustota pravděpodobosti -tice realizací i je dáa průikem pravděpodobostí astoupeí jevu. Tomu odpovídá s uvážeím vztahu (3.): 6

21 6 i i i f e e f i i i ) ( ) ( ) ( ) l( ),..., ( l ),..., ( σ µ πσ πσ πσ σ µ σ µ (3.3) (3.3) Parametry rozděleí µ a σ chápeme jako proměou a hledáme maimum pravděpodobosti vztahu (3.3) jako lokálí etrém. Protože ve vztahu vystupují dva parametry, provedeme parciálí derivaci podle µ a σ a získáme tak dvě rovice: Řešeím rovic obdržíme: ) ( µ σ µ i i i i (3.34) (3.35) Je zřejmé, že aritmetický průměr (3.34) je ejlepší odhad středí hodoty ormálího rozděleí určeý podle pricipu maimálí věrohodosti, podobě vztah (3.35) je ejlepší odhad rozptylu. Kokrétí řešeí realizujeme ve dvou krocích. Nejprve odhademe středí hodotu rozděleí, v druhém kroku provedeme odhad rozptylu. ) ( ),..., ( l ) ( ),..., ( l 4 + i i i i f f µ σ σ σ σ µ µ i,.. (3.3) (3.33)

22 3.4 Spolehlivost eobovovaých soustav Vybraé zákoy rozděleí používaé ve spolehlivosti Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí tohoto odstavce budete umět: popsat vliv sériového řazeí prvků a bezporuchovost soustavy, určit vztah pro bezporuchovost soustavy, popsat vliv paralelího řazeí prvků a bezporuchovost soustavy, určit vztah pro bezporuchovost soustavy, použít postup pro výpočet soustav s kombiovaým uspořádáím prvků, určit bezporuchovost růzě uspořádaých soustav. Výklad Spolehlivost soustavy je obecě závislá a spolehlivosti prvků soustavy a způsobu jejich zapojeí. Předpokládá se, že každý prvek i celá soustava se mohou acházet vždy v jedom ze dvou stavů: v bezporuchovém stavu ebo ve stavu poruchy. Rozklad soustavy a prvky vede k popisu čiosti vyjádřeé blokovým schématem, které odpovídá logické struktuře soustavy. Většia strojíreských výrobků má obvykle prvky řazeé v sérii i paralelě jde tedy z hlediska spolehlivosti o smíšeé zapojeí. Zjišťovat a hodotit bezporuchovost soustav lze v zásadě dvěma základími metodami, rozdíl spočívá ve způsobu získáváí vstupích údajů. Při prvím způsobu musí být k dispozici spolehlivostí údaje prvků, z ichž lze vypočítat spolehlivostí charakteristiky celé soustavy. Při druhém způsobu se hodotí při zkouškách soustava jako celek a ze získaých podkladů lze při úpravě metodiky získat údaje o jedotlivých prvcích. Jsou-li zámy spolehlivostí charakteristiky tvořících prvků, jsou rozdíly ve způsobu staoveí charakteristik bezporuchovosti soustavy určey tím, zda jde o sériovou, paralelí ebo smíšeou soustavu. Základí číselou charakteristikou je pravděpodobost bezporuchového provozu soustavy a pravděpodobost poruchy, popř. charakteristiky odvozeé. 63

23 Sériová soustava Bezporuchový stav soustavy s prvky spojeými v sérii astae pouze při bezporuchovém stavu všech prvků. Sériovým spojeím se rozumí logické fukčí uspořádáí prvků, skutečé uspořádáí prvků může být libovolé. Blokové schéma soustavy se sériovým spojeím je a obr. č Bloky odpovídají prvkům, mezi vstupem a výstupem eistuje pouze jedo spojeí procházející všemi bloky. A A A Obr. č. 3.3: Řazeí prvků sériové soustavy Porucha sériové soustavy astae, je li v poruše ěkterý z jejích prvků, bezporuchový stav sériové soustavy astae pouze tehdy, budou-li v bezporuchovém stavu všechy prvky. Této podmíce odpovídá průik jevů bezporuchovosti prvků soustavy: R... R Ri i R R i,, 3.., (3.36) Pravděpodobost bezporuchového provozu sériové soustavy R(t) je dáa součiem hodot R i (t) všech prvků soustavy. Protože jde o souči čísel meších ež jeda, platí, že výsledá pravděpodobost bezporuchového provozu soustavy je vždy horší ež bezporuchovost ejméě spolehlivého prvku. Pravděpodobost bezporuchového provozu sériové soustavy R(t) se sižuje s rostoucím počtem prvků a zvyšuje se s růstem spolehlivosti prvků. Paralelí soustava U paralelí soustavy jsou prvky spojey paralelě a každým z ich prochází jedo spojeí mezi vstupem a výstupem obr.č Porucha celé paralelí soustavy astae v případě, že se poškodí všechy tvořící prvky. Všechy prvky jsou z hlediska vziku poruch avzájem ezávislé. Pravděpodobost poruchy paralelí soustavy R(t) v době provozu t se rová součiu pravděpodobosti poruchy F i (t) všech tvořících prvků: F... F F( i) i F F i,, 3.., (3.37) 64

24 U paralelí soustavy platí, že pravděpodobost jejího bezporuchového provozu R(t) je vyšší ež obdobá hodota Ri(t) ejspolehlivějšího prvku, s růstem počtu paralelích prvků se bezporuchovost R(t) soustavy stále zvyšuje. A A A Obr. č. 3.4: Řazeí prvků paralelí soustavy Kombiovaé soustavy V kombiovaé soustavě jsou prvky řazeé sériově i paralelě. Při výpočtu pravděpodobosti bezporuchového provozu kombiovaé soustavy se používá postup vycházející z řešeí obou základích soustav sériové i paralelí. A B A B A B Obr. č. 3.5: Příklad řazeí prvků smíšeé soustavy Obecý postup řešeí: staoví se charakteristiky zálohovaých prvků R(t) a F(t) z charakteristik jejich tvořících prvků postupem obvyklým pro paralelí soustavy, řešeí celé kombiovaé soustavy se provede pomocí charakteristik ezálohovaých prvků R(t) postupem obvyklým pro sériové soustavy. Zvláští skupiu tvoří soustavy, u kterých je pro bezporuchový stav soustavy utý bezporuchový stav určitého počtu prvků a ezáleží a tom, které to jsou. Takovou soustavu představuje apříklad ocelové lao, ve kterém musí zůstat eporuše určitý počet drátů, aby lao bylo schopo přeést určitou sílu bez přetržeí. 65

25 Příklad 3.4. Prvky soustavy mají epoeciálí rozděleí doby do poruchy, popsaé distribučí fukcí dle vztahu (3.). Uspořádáí soustavy je a obr. č Určete průběh bezporuchovosti soustavy, sestavte graf průběhu bezporuchovosti celé soustavy R(t) a objektů v závislosti a čase. A B C Obr. č. 3.6: Uspořádáí soustavy Vstupí parametry bezporuchovosti prvků soustavy: λ A,4(/ hod ) λ B,4(/ hod ) λ C,5(/ hod ) Otázka: Jak provést redukci soustavy z kombiovaého a sériové uspořádáí? Řešeí soustavy se provede ahrazeím objektů A a B s paralelím uspořádáím jedím objektem (AB), a dále výpočtem sériové soustavy složeé z objektů (AB) a C. Průběh pravděpodobosti poruchy F(t) objektu (AB) se staoví s využitím vztahu (3.37), soustavy složeé z objektů (AB) a C s využitím (3.36). Výpočet paralelě uspořádaých objektů A a B (3.37): F R ab ab F a F ( F a b F b ) Výpočet sériové soustavy složeé z objektů (AB) a C provedeme dle (3.36): R R abc abc R ab R ( ( F a c F b )) R c Dosazeím vztahu (3.) popisující epoeciálí rozděleí doby do poruchy objektů A,B,C obdržíme: 66

26 R R ab abc (( ep( λ t)) ( ep( λ t))) a ( (( ep( λ t)) ( ep( λ t))) ep( λ t) a b Dosazeím kokrétích hodot itezity poruch objektů A,B,C: sestavíme tabulku hodot pro sestaveí grafu: Tab. 3.3: Hodoty pro sestaveí grafu bezporuchovost soustavy b c t (hod) F(t)a F(t)ab R(t)ab R(t)c R(t)abc,,39,,998,995,993,,77,6,994,99,984 5,,8,33,967,975,943,,33,9,89,95,848 5,,45,4,796,98,739,,55,33,697,95,63 5,,63,4,6,88,53 3,,699,488,5,86,44 35,,753,568,43,839,363 4,,798,637,363,89,97 45,,835,697,33,799,4 5,,865,748,5,779,97 55,,889,79,9,76,59 6,,99,87,73,74,8 65,,96,857,43,73,3 7,,939,88,8,75,83 75,,95,93,97,687,67 8,,959,9,8,67,54 85,,967,934,66,654,43 Průběh bezporuchovosti R(t) zobrazíme v závislosti a době provozu soustavy (obr. č. 3.7). R(t),,8,6,4,,,, 4, 6, 8,, t (hod) R(t)abc R(t)ab Obr. č. 3.7: Průběh bezporuchovosti R(t) soustavy 67

27 Závěr: Z průběhu bezporuchovosti R(t) je patrý vliv sériově řazeého objektu C. Objekt C má o řád ižší itezitu poruch ež objekty A a B, přesto jako sériově řazeý objekt začě sižuje bezporuchovost celé soustavy. Shrutí kapitoly Epoeciálí rozděleí spojité áhodé veličiy má kostatí průběh itezity poruch, a proto se využívá pro popis bezporuchovosti v období ormálího provozu vozidla. Weibullovo rozděleí spojité áhodé veličiy je vhodé pro popis bezporuchovosti strojích soustav pro svoji variabilitu. Změou parametru tvaru lze tímto rozděleím ahradit ěkterá další rozděleí. Odhad parametrů tohoto rozděleí je možé provést metodou lieárí regrese. Pro diskrétí áhodou veličiu se v oblasti spolehlivosti využívá biomické rozděleí a Poissoovo rozděleí. Používají se k popisu počtu výskytů áhodých jevů (apř. poruch). Bezporuchovost sériové soustavy je vždy horší ež bezporuchovost ejméě spolehlivého prvku. Bezporuchovost paralelí soustavy je vždy lepší ež bezporuchovost ejspolehlivějšího prvku. 68

28 Kotrolí otázky 3.. Jak jsou popsáy a jaký mají průběh spojitá a diskrétí rozděleí pravděpodobosti? epoeciálí rozděleí Weibullovo rozděleí ormálí rozděleí biomické rozděleí Poissoovo rozděleí 3.. Jak lze provést odhad parametrů Weibullova rozděleí metodou lieárí regrese? 3.3. Jaký je pricip odhadu parametrů ormálího rozděleí metodou maimálí věrohodosti? 3.4. Jak vypočítat bezporuchovost sériové soustavy? 3.5. Jak vypočítat bezporuchovost paralelí soustavy? 3.6. Jak vypočítat bezporuchovost kombiovaé soustavy? Úkoly k řešeí 3.7. Bylo zkoušeo 5 výrobků, dokud se všechy eporouchaly. Doby do poruchy (h) mají epoeciálí rozděleí. Metodou lieárí regrese byla zjištěa rovice přímky y,56. Určete parametr rozděleí λ (h - ) a středí dobu do poruchy T S (h). Určete, kolik výrobků bylo porouchaých po době 9 h. 69

29 3.8. Bylo zkoušeo výrobků, dokud se všechy eporouchaly. Doby do poruchy (h) mají epoeciálí rozděleí. Akumulovaá pracoví doba čiila 6 h. Určete parametr rozděleí λ (h - ) a mediá. Vypočtěte, kolik výrobků bude porouchaých po uplyutí středí doby do poruchy T S (h) Určete kilometrický proběh vozidel mezi údržbou, je-li požadováa miimálí bezporuchovost vozidel R(l),9. Kilometrické proběhy mezi poruchami vozidel mají Weibullovo rozděleí (Wp) s parametry: m,6; l 3 77 km. 3.. U vozidel byla eperimetem zjištěa z kilometrických proběhů mezi poruchami s Weibullovým rozděleím (Wp) přímka lieárí regrese ve tvaru: y,8. 5,756 Určete parametry rozděleí m, l (km). Budou vozidla vyhovovat požadavku miimálí bezporuchovosti R(l),95, je-li prováděa údržba po proběhu 3 km? 3.. U skupiy 6 vozidel dochází k poruše klíového řemeu s itezitou /9 km -. Vozidla jsou v provozu každý de, průměrý deí běh vozidla je km. Určete počet áhradích klíových řemeů, které musí mít provozovatel vozidel ve skladu během týde (7 dí). 3.. Ve flotile 85 autobusů dochází během čtyř týdů k 6 poruchám termostatu. Autobusy jsou v provozu každý de, průměrě 6 hodi deě. Určete, jak by se musela změit středí doba do poruchy termostatu, je-li požadavek, aby počet poruch za období 4 týdů klesl a poloviu Určete vztah pro výpočet bezporuchovosti soustavy, uvedeé a obrázku

30 3.4. Zkouškami spolehlivosti byly zjištěy parametry bezporuchovosti dvou prvků s epoeciálím rozděleím dob do poruchy: λ,5 h - ; λ, h -. Prvky jsou v soustavě řazey sériově. Určete dobu provozu mezi údržbami, aby bezporuchovost systému eklesla pod R(t),9, je-li údržba prvků prováděa společě Ve smíšeé soustavě (viz obrázek) jsou 3 prvky, které mají epoeciálí rozděleí dob do poruchy. Prvek č. má parametr λ,5 h -, prvky č. a 3 mají shodý parametr λ λ 3,75 h -. U prvku č. je předepsáa obova po době h. Navrhěte dobu mezi obovami prvků č. a 3 tak, aby byla dodržea požadovaá miimálí bezporuchovost soustavy R(t),9. 3 Další zdroje [Barlow, 996] Barlow, R.E., Proscha, F.: Mathematical Theory of Reliability. Golub, G.H.,Stafort Uiversity. Uited States of Amerika 996. ISBN [Daěk,999] [Holub, 99] Daěk, A. - Široký,J. - Famfulík,J.: Matematické metody obovy dopravích prostředků, Reprois Ostrava 999, ISBN Holub, R.: Základy spolehlivosti techických systémů, Bro, Vojeská akademie, 99. [Novotý, ] Novotý R.: Weibullovo rozděleí při aalýzách bezporuchovosti. Elektrorevue /7. [Stuchlý, 993] Stuchlý, V.: Teória údržby, VŠDS Žilia, Žilia 993, ISBN