Mocniny. Mocniny, odmocniny, logaritmy, exponenciála. Obecná mocnina. Mocniny. Odmocniny

Transkript

1 Mociy Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála Zdeěk Halas KDM MFF UK 07 Počátky logaritmů Základí idea logaritmů Napierovy logaritmy Přirozeé logaritmy Kvadratura hyperboly Expoeciála Zavedeí expoeciály Expoeciála a její vlastosti Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 / 44 Mociy Mociy Obecá mocia defiováa pro x > 0 Mociy x = x x x 0 = x m = ( x) m pro N pro m, N x m = ( m pro m, N x) x α = lim k xα k pro α R, α k Q, α k α 0 α = 0 pro α R + liché odmociy lze pro x R (f(x) = x je a R rostoucí, tj. prostá, tj. existuje f ) Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 3 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 4 / 44

2 Exkurs biomická věta Mociy biomické koeficiety: α (α ) (α ) (α (k )) = k 3 k k čiitelů v čitateli i ve jmeovateli, ( + x) α = = + αx α (α ) x + x + pro α N je rozvoj koečý: ( ) ( ) ( + x) = + 0 k N, α C x + x α (α ) (α ) 3 x + ( ) x + x 4 + = 4 x 3 + = ( ) x k=0 ( ) x x k k Exkurs biomická věta souvislost s odmociami Například: Mociy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + x) = + x + x + x 3 + x 4 + = = + x 8 x + 6 x3 5 8 x4 + = + = Tato aproximace však eí moc efektiví: =, =, čleů:, čleů:, Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 5 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 6 / 44 defiice: x = a, a 0 takové ezáporé x, pro které platí Existuje takové x? x = a Tj.! průsečík x 0 0 fukce y = x a s osou x? existuje: fukce je spojitá pro a > : y(0) < 0, y(a) > 0 pro 0 < a < : y(0) < 0, y() > 0 dle Bolzaovy věty o abýváí mezihodot tedy x 0 pro a = : y() = 0 pro a = 0 : y(0) = 0 právě jede: fukce je a R + 0 rostoucí, tj. prostá Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 7 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 8 / 44

3 Héró z Alexadrie (. stol. po Kr.) spis Metrika, I, 8: Tabulka YBC = ; 4, 5, 0 = =, Existuje obecý postup jak alézt bez zalosti výšky obsah libovolého trojúhelíku, jsou-li dáy tři stray. Nechť mají stray trojúhelíku délku 7, 8, 9 jedotek. Sečti 7, 8 a 9, vzike 4. Z ich vezmi poloviu, vzike. Odeber 7 jedotek, zbude 5. Opět od těch odeber 8 jedotek, zbudou 4. A ještě těch 9, zbudou 3. Vyásob pěti, vzike 60. To čtyřmi, vzike 40. To třemi, vzike 70. Z ich vezmi strau a to bude obsah toho trojúhelíku. S = s (s a) (s b) (s c) Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 9 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 0 / 44 Výpočet iteračí metodou Héróova Metrika pokračováí: Jelikož druhá odmocia 70 eí racioálí, určíme ji s ejmeší chybou takto: Jelikož je 70 ejbližší čtverec 79 a jeho straa je 7, vyděl 70 7, vzike 6 a /3. Přidej 7, vzike 53 a /3. Z toho polovia, vzike 6 / /3. Nejbližší straa 70 je tedy 6 / /3. 6 / /3 vyásobeo samo sebou dává 70 /36 x = 70 x + x x = 7 = 70 + x x Pseudoodvozeí iteračího předpisu 70 =? x = 70 / + x x = a x = 70 + x / : x 70 + x x = x = posloupost zadaá rekuretě: x + = 70 + x x, x 0 > 0 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 / 44

4 Výpočet 70 x + = 70 + x x, x 0 > 0 x 0 7 x 6,83 x 6, x 3 6, x 4 6, x 5 6, počet platých cifer za des. čárkou: tj. po 6 iteracích přesost a více ež 50 míst Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 3 / 44 Názak odvozeí vztahu pro výpočet a, kde a 0 a = + ε, 0 ε <, N a = ( + ε) = + ε + ε + ε ε a a + ε = + a a a + emusí být utě z N, může to být i lepší aproximace, ε je pak ještě meší (výhoda při zaedbáí ε ) postup tedy můžeme opakovat: x + = a + x x, 0 < x 0 < a Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 4 / 44 Výpočet k-té odmociy defiice: x = k a takové ezáporé x, pro které platí x k = a (k N, a 0, pro lichá k lze a R) Zobecěí postupu pro druhou odmociu a k-tou odmociu k 5 =? x k = 5 / + (k )x k k x k = 5 + (k )x k / : k x k x = 5 + (k )xk k x k posloupost zadaá rekuretě: x + = 5 + (k )xk k x k, x 0 > 0 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 5 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 6 / 44

5 Počátky logaritmů Počátky logaritmů Předchůdce logaritmu logaritmy základí účel: zjedodušit pracé výpočty (ásobeí a děleí) formule převádějící ásobeí a sčítáí byly zámy i dříve: si α si β = [cos(α β) cos(α + β)] Tycho Brahe (546 60) zaměstával a svém ostrově Hve počtáře: Paul Wittich usadňoval si výpočty výše uvedeou rovostí v populárí literatuře Joh Napier z Merchistou (550 67). tabulky: Mirifici logarithmorum caois descriptio (Ediburgh, 64) NapLog (x) = log 07 x log Hery Briggs (56 630) prví tabulky dekadických logaritmů (4místé) Logarithmorum chilias prima (67) Log (ab) = Log a + Log b Log aby vzikalo co ejméě problémů při výpočtech, volí se Log = 0 Deší defiice: log a x = y x = a y Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 7 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 8 / 44 Počátky logaritmů Počátky logaritmů počátek Joh Napier (550 67): Mirifici logarithmorum caois descriptio (64) Mirifici logarithmorum caois costructio (69) Původí defiice: Logaritmus siu je takové číslo, které velmi přesě určuje úsečku, která se zvětšovala lieárě, ve stejém čase úsečka příslušá celému siu se zmešovala geometricky až k zadaému siu a každý pohyb je chápá sychroě a s týmiž počátečími rychlostmi. Napier však při geerováí tabulek použil vztahu mezi aritmetickou a geometrickou posloupostí. Co jsou tedy Napierovy logaritmy? Oblasti využití: výpočty zejméa při avigaci, také astroomické výpočty proto tabulka logaritmů hodot siu šířeí po Evropě logaritmy velmi praktické, objev se brzy rozšířil po Evropě: Johaes Kepler (57 630) Chiliades logarithmorum (64) Deis Herio ( ) Traité des logarithmes (66) Adria Vlacq ( ) Arithmetica logarithmica sive logarithmorum chiliades cetum (68) (vylepšeé Briggsovy tabulky) Boavetura Cavalieri (598 64) Directorium geerale uraometricum i quo trigoometriae logarithmicae fudameta (63) (spis o aplikacích logaritmů) Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 9 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 0 / 44

6 Základí idea logaritmů Základí idea logaritmů základí idea Joh Napier (550 67) Tabulka moci o základu : Např.: 6 64 = 04 Pomocí tabulky: = 0, tj. 04 Problém: tabulka je řídká větší základ by to ještě zhoršil: 5, 5 = 5, 5 3 = 5, 5 4 = 65, Řešeí: základ blízký. Např., 00 má celočíselé mociy:, 00, 0000, , , , , , , , 00..., 0..., 0... základí idea ilustrace: základ 0 (lépe je mít hodoty v itervalu (0,)) 0,9 0,8 3 0,79 4 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Např.: 0, 43 0, 8 = 0, 6 pomocí tabulky: 8 + = 0, tj. 0, Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 / 44 Základí idea logaritmů Základí idea logaritmů Logaritmus ázev z řeckých slov logos (poměr) a arithmos (přirozeé číslo) je-li dáa aritmetická a geometrická posloupost logaritmy jsou idexy poměrů (čleů geometrické poslouposti) Napierův základ: 0 7 ( 0 7 ) 0, , , , , , , , , , Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 3 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 4 / 44

7 Napierovy logaritmy Napierovy logaritmy Napierova tabulka (základ 0 7 ) Joh Napier: Mirifici Logarithmorum Caois Costructio, Ediburgh, ( 0 7 ) Napier by musel stále ásobit, to by však bylo velmi áročé. Proto tyto mociy epočítá! tzv. Prví tabulka: = , , = , = , , = , = , , = , = , Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 5 / 44 Napierovy logaritmy Hledáme tedy : x() = 0 7 ( 0 7 ) = NapLog (x) = x() = 0 7 ( 0 7 ) = l x() 0 7 = l( 0 7 ) l( 0 7 ) 0 7 l x 0 7 NapLog (x) = l( 0 7 ) l x = 07 l 07 x NapLog (x) = 0 7 l 07 x Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 6 / 44 Hry s kalkulátorem, , , , , , , , l = 0, Cifry jsou při volbě = 0 k stejé: je to áhoda? Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 7 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 8 / 44

8 Od Napiera k Briggsovi Napierova tabulka: mociy základu 0 7 výhoda: výpočet opakovaým ásobeím základem evýhoda: emožost lokálího zjeměí tabulku řídí mociy, e samotá čísla Chceme přímo tabulkovou hodotu y, a to apř. k číslu 0, 7 Vziká otázka vhodého základu, zvoleo číslo 0; všecha čísla tedy vyjádřea jako mociy čísla 0. 0 y = 0, 7 Hery Briggs (56 630) Arithmetica Logarithmica, Lodo, 64. dekadické logaritmy log x = y x = 0 y Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 9 / 44 výpočet dekadických logaritmů Výpočet log 0 základí pozorováí: c apříklad, , , , , , , , , , , , Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála / 44 Výpočet log 0 tj. log 0 = y základí pozorováí: c = + ε log 0 = y = 0 y / 0 = + δ = ( 0) y tj. + ε = ( + δ ) y dle biomické věty: + ε = + y δ + tj. ε y δ y ε δ příklad: výpočet log , , , , , log 0 ε δ = = 0, 9... = 0, , = 0, , , = 0, , log 0 = 0, Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 3 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 3 / 44

9 Přirozeé logaritmy Přirozeé logaritmy e základ přirozeého logaritmu motivace přírůstek obyvatelstva městečko obyvatel, ročí přírůstek obyvatelstva 3 % počet obyvatel po jedotlivých letech: = 5000 ( ( + 3 ) ( + 3 ) ( + 3 ) ( + 3 ) 00 podobě se chová složeé úrokováí 00 ) e základ přirozeého logaritmu motivace spojité úrokováí vklad korua, úrok 00 % zůstatek a účtu po roce, úročí-li baka -krát ročě: ročě + = ( ) ( ) ročě = ( + ) =, 5 [ ] [( ) ] [( 3 ročě ( ) ( ) ) ] = = ( + ( 3) ( + ) ) ( ) 3 3 = + ( 3 + 3) = = ( + 3 3) =, ( ) ročě + ( modifikace pro vklad a, úrok p procet: a + p/00 ) Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála / 44 ( ) +, 5 3, , , , , , , , , , , , , , Přirozeé logaritmy e =, Přirozeý logaritmus Základí pozorováí: Přirozeé logaritmy ( e = lim + ) tj. e ( + ) eboli e / = e + Výpočet l = + ε e + l = log e = y = e y / = ( e) y tj. + ε = ( + )y dle biomické věty: + ε = + y + tj. ε y y ε = ( ) Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála / 44

10 Přirozeé logaritmy Přirozeé logaritmy Přirozeý logaritmus příklad: výpočet l = log e Výhoda: pro výpočet hodot l x eí třeba zát hodotu čísla e Přirozeý logaritmus zkrátka l ε = ( ) 0, = 0, , = 0, , , , , , l ( ) =, l = 0, l = 0, Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála / 44 Přirozeé logaritmy Kvadratura hyperboly Přirozeý logaritmus a logaritmy o jiém základu Defiice logaritmu: je to iverzí fukce k expoeciále Kvadratura hyperboly y = a x, a > 0, a, x R. Jelikož je oborem hodot iterval (0, + ), dostáváme: y = log a x x = a y x (0, + ). Logaritmujme posledí rovost při libovolém základu, apř. základu e: l x = l a y zpočátku byly logaritmy ástrojem pro usaděí výpočtů l x = belgický jezuita A. A. de Sarasa objevil souvislost logaritmu a kvadraturou hyperboly, když studoval spis svého přítele: Gregory St. Vicet: Opus Geometricum (Atverpy, 647) x dt t Pravá straa: l a y = y l a. y = log a x = l x l a Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála / 44

11 Expoeciála Zavedeí expoeciály Expoeciála Zavedeí expoeciály Zavedeí expoeciály a přirozeého logaritmu Existuje právě jeda fukce e(x) defiovaá a celém R, pro kterou platí: Zavedeí expoeciály des x, y R e(x + y) = e(x) e(y), e(x) lim =. x 0 x Tuto fukci azýváme expoeciála. Lze sado dokázat, že tato fukce je rostoucí, tj. prostá, tj. k í fukce iverzí, kterou azýváme přirozeý logaritmus. Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 4 / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála 07 4 / 44 Expoeciála Zavedeí expoeciály Expoeciála Expoeciála a její vlastosti Růzé způsoby zavedeí expoeciály Expoeciála a komplexí čísla a) ( e(x) = lim + x ) e x = + x! + x! + x3 3! + x4 4! + b) e x = + x! + x! + x3 3! + x4 4! + si x = x! x3 3! + x5 5! x7 7! + cos x = x! + x4 4! x6 6! + c) Jediá fukce e(x) defiovaá a celém R, pro kterou platí: e(x) e(x + y) = e(x) e(y) x, y R a lim =. x 0 x e iφ = cos φ + i si φ pro φ = π: e iπ =, tj. e iπ + = 0 Kolik je i i? Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála / 44 Zdeěk Halas (KDM MFF UK) Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála / 44