Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu.
|
|
- Štěpán Vlček
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 1 Kategorie C V této kapitole se budeme věnovat problémovým úlohám a úlohám k procvičení, které jsou vhodným výchozím studijním materiálem pro úspěšné zvládnutí domácí části matematické olympiády kategorie C, tj. pro první ročníky čtyřletých studijních oborů a jim odpovídající ročníky víceletých gymnázií. 1.1 Slovnílogik C I 1 Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu. 1.Z29 dětí sbírá 12 dětí známky, 13 pohlednice. Těch, kteří sbírají známkyipohledniceješest.kolikdětísbírájenomznámkyakolik jich nesbírá nic? Jenom známky sbíralo 6 dětí, 10 dětí nesbíralo nic, viz. diagram níže. 2.Ze30žákůjednétřídybylo7žákůoprázdnináchnarekreacivŘeckua právětolikvchorvatsku;itáliinavštívilo5žáků.vžádnéztěchtotří zemínebylo16žáků,všechnytřinavštíviljedenžák.vřeckuiitáliibyli 2žáci,vItáliiivChorvatsku1žák.Kolikžákůnavštívilooprázdninách Chorvatsko nebo Řecko, Itálii nebo Chorvatsko, jen Řecko?
2 2 Načrtneme Vennův digram pro tři množiny a postupně vyznačíme počty prvků v jednotlivých jeho částech. Chorvatsko nebo Řecko navštívilo 11 studentů, Itálii nebo Chorvatsko 1student,jenvŘeckubyli3studenti. 3.ZpětirodinodebírajítřirodinydeníkDnesadvěLidovénoviny.Existuje mezi nimi rodina, která neodebírá žádný z těchto materiálů? Ano, může. Možnosti při odebírání novin vidíme na následujících diagramech.
3 3 Uveďmesipravidlahry slovnílogik.hráč Asimyslíslovosloženézpěti rúzných písmen. Hráč B vysloví libovolné slovo složené z pěti různých písmenahráč Amuprozradí,kolikpísmenuhodlnasprávnépoziciakolik na nesprávné. Písmena považujeme za různá, i když se liší jen háčkem nebo čárkou. Například: Myslíme si slovo SEŠIT, hráč B řekne slovo ŠIŠKA, hráč A zkráceněodpoví1+1,neboťjednopísmenojenasprávnépozici(š)ajedno písmeno je na nesprávné pozici(i). Nebo jiná dvojice: LOĎKA + KOLÁČ ErikaaKlárkahrályhru slovnílogik.erikasimyslelaslovozpěti různých písmen a Klárka vyslovila slova SIRUP a VODKA. Erika v danémpořadíodpověděla0+3a1+1.dokažte,ževšechnapísmena slova,kterésierikamyslela,patřídomnožiny M= {S,I,R,U,P } {V,O,D,K,A}. Slova SIRUP a VODKA nemají žádné společné písmeno. Erika si mohla myslet například slovo DOPIS, RUSKO, IRSKO nebo PRVKU. 5.ErikaaKlárkahrályhruslovnílogik.ErikasimyslelaslovoAGÁTYa Klárka vyslovila slova KABÁT a MĚSTA. Ověřte, že Erika musela odpovědět stejně jako v úloze 4. Proč nyní nepatří všechna písmena slova, která si Erika myslela, do množiny L = {K,A,B,Á,T} {M,Ě,S,T,A}?
4 4 Slova mají společné písmeno A. Proto se v množině sestavené z písmen obou slov nenachází všech pět písmen hledaného slova. 6. Erika a Klárka hrály hru slovní logik. Klárka vyslovila slova OPAVÚ a ÚLOZE, přičemž Erika odpověděla stejně jako v úloze 4. Jaké slovo sierikamyslela,kdyžvšechnajehopísmenaužpatřídomnožiny L= {O,P,A,V,Ú} {Ú,L,O,Z,E}? Vybíráme3písmenavjinépozicizprvníhoslova,jednopísmenov nesprávné pozici a jedno ve správné pozici z druhého slova. Erika si myslela slovo PAVLE. 7. Třicet maturantů jednoho gymnázia podalo přihlášku k dalšímu studiu na některou ze šesti fakult ČVUT. Využili možnost podat více přihlášek, a tak polovina žáků podala přihlášku aspoň na tři fakulty, třetina si podala přihlášku na více než tři fakulty. Na fakultu architektury se s ohledem na talentovou přijímací zkoušku nehlásil nikdo. a)dokažte,žeaspoňnajednufakultusipodalopřihláškuaspoň14 studentů. b) Dokažte, že na některou ze zbývajících pěti fakult se přihlásilo méně než dvacet studentů. a)vpřípadě,žebyneplatilotototvrzení,mohlobybýtnejvýše5 13= 65 přihlášek. Dle zadání polovina studentů podala aspoň tři přihlášky, tedy druhá polovina studentů podala jednu nebo dvě přihlášky. Z druhé poloviny 10 studentů(třetina z celkového počtu) podalo aspoň čtyři přihlášky a zbývajících 5 studentů podalo právě tři přihlášky. Minimální početpřihlášekdlepodmínekzadáníje =70 >65. Tedy aspoň na jednu fakultu podalo přihlášku aspoň čtrnáct studentů. Rozpis pro případ, kdy na každou fakultu si podalo přihlášku právě 14 studentů viz. tabulka níže.
5 5 b)kdybytvrzeníúlohyneplatilo,bylobyzapotřebíaspoň5 20= 100 přihlášek. Z rozboru řešení v případě a) odhadneme, že maturanti podalinejvýše =95 <100,protonemohlipodatna každou fakultu aspoň 20 přihlášek. Rozpis pro případ, kdy na každou fakultu studenti podali právě 19 přihlášek viz níže. 8. Honza, Jirka, Martin a Petr organizovali na náměstí sbírku na dobročinné účely. Za chvíli se u nich postupně zastavilo pět kolemjdoucích. PrvnídalHonzovidojehokasičky3Kč,Jirkovi2Kč,Martinovi1Kč
6 6 apetrovinic.druhýdaljednomuzchlapců8kčazbylýmtřemnedal nic.třetídaldvěmachlapcůmpo2kčadvěmanic.čtvrtýdaldvěma chlapcůmpo4kčadvěmanic.pátýdaldvěmachlapcůmpo8kča dvěma nic. Poté chlapci zjistili, že každý z nich vybral jinou částku, přičemž tyto tvoří čtyři po sobě jdoucí přirozená čísla. Který z chlapců vybral nejméně a který nejvíce peněz? Dohromady chlapci dostali od kolemjdoucích celkem 42 Kč. Číslo 42 vyjádřímejednoznačnějakosoučetčtyřposobějdoucíchčísel =42.Úvahylzeuspořádatdotabulky,přičemžuvážíme,že nemohlanijedenzchlapcůdostatdvakrát8kč.ktomunejvýšejeden mohldostat4kč,jinakbybylidvasnejvyššívybranoučástkou12kč, viz tabulka níže Σ P H Nejmnéně vybral Honza a nejvíce vybral Petr. 1.2 Přímky a pravoúhelník C I 2 1. Na list papíru tvaru obdélníku narýsujte podle obrázku pravoúhelník ABCD tak, aby jeho strany AB a AD splývaly s okrajem papíru. Pak sestrojte přímku, aby měla s pravoúhelníkem společný jen bod C a její průnik listem papíru tvořil úsečku M N, podél níž papír rozřízněte.
7 7 Vzniklý papírový model trojúhelníku AM N s narýsovaným obdélníkem ABCD přehněte podél úseček BC a DC. Tuto činnost několikrát opakujte, přitom pro tentýž pravoúhelník ABCD volte různé délky úsečky BM.Colzezvýsledkuusouditopoměruobsahůtrojúhelníku AMN a pravoúhelníku ABCD? Hypotézu dokažte. Tímto modelováním nebo užitím programů dynamické geometrie, např. Cabri,jemožnédojítkhypotéze,žeobrazempřímky MN vobou souměrnostech je jedna a táž přímka CX. Uvážíme-li souhlasné úhly při vrcholech M a C v trojúhelnících N DC a NAM,pakmůžemepsát <)NCD = <)CMB = <)DCX =α a <)MCB = <)BCX =90 α. Součetúhlůsvrcholemvbodě Cjepakroven <)NCD + <)DCX + <)MCB + <)BCX = = α+α+90 α+90 α=180, tedy obrazy přímky M N v osových souměrnostech podle přímek BC a CD splývají. Zpodobnostitrojúhelníkuů NDCa CBMplyne,že y b = a x y= ab x.
8 8 Pak obsah AM N můžeme vyjádřit takto: S AMN = 1 ( 2 (a+x)(b+y)=1 2 (a+x) b+ ab ) = x = ab+ 1 ( x 2 a x) + a 2ab. Rovnostnastane,právěkdyž x=a.vtomtopřípaděje S AMN =2ab. 2.Jedánostrýúhel KBLabod M jehovnitřku.sestrojtebodem M přímku p tak, aby vytínala z úhlu KBL trojúhelník ABC nejmenšího obsahu. Analyzujte obsah trojúhelníku ABC pro různé případy polohy bodu Mvzhledemkúsečce AC.Naobrázkujebod M,jímproloženápřímka a trojúhelník ABC. Uvažme jinou přímku procházející bodem M. Z obrázku je patrno, že nově vzniklý trojúhelník má menší obsah než původní trojúhelník.
9 Uvážíme-lipolohubodu Mtakovou,žejestředemúsečky AC,pakz obrázku níže je patrno, že libovolnou jinou přímkou vedenou bodem M nedosáhneme trojúhelníku s menším obsahem, než má trojúhelník ABC. 9
10 10 3.Jedánapřímka pavjednépoloroviněbody A,B.Najdětenapřímce pbod Xtak,abysoučetvzdálenostíodbodů A,Bbylconejmenší. Hledanýbod X získámejakoprůsečíkúsečky AB spřímkou p,kde bod B jeobrazembodu Bvosovésouměrnostidanéosou p.adále platí,že XB = XB,tedy AX + XB = AX + XB.Projinou polohubodu X,např. X,platív AX B trojúhelníkovánerovnost, tj. AX + X B > AB.Probod Xzkonstruovanýtímtozpůsobem je součet minimální. 4.Jedánostrýúhel XV Y ajehovnitřníbod C.Sestrojtenarameni V X bod Aanarameni V Y bod Btak,abyvzniklýtrojúhelníkměl ABC měl minimální obvod. Analogicky předchozímu příkladu, zobrazíme bod C v osových souměrnostech podle ramen daného úhlu, viz. obrázek. Hledané zbylé vrcholy jsoupakprůsečíkemramenúhlusúsečkou C C.
11 11 5. Dokažte, že pro libovolná nezáporná čísla a, b platí 1 2 (a+b) ab, přičemžrovnostnastane,právěkdyž a=b. Uvažme a=u 2,b=v 2, u,v 0.Pakposubstitucidostaneme 1 2 (u2 + v 2 ) u2 v 2 = uvpronezápornáčísla.poúpravě u 2 + v 2 2uv,odkud (u v) 2 0,cožjevýrokpravdivý.Druhámocninalibovolnéhoreálného čísla je vždy nezáporná. 1.3 Celáčást x C I 3 1.Určete 0, 2,1, 2,8, 99,9, 5, 10, 2,001, 2,8, 99,9, 9. 0;2;2;99;5; 10; 3; 3; 100; 9. 2.Nechť a Zat 0;1).Určete a, a+t, a+ 1 2 t, a t, a+2t, a 2t.
12 12 a;a;a;apro t=0aa 1pro t (0;1); apro t 0; 1 2) a a+1pro t 1 2 ;1) ; apro t=0, a 1pro t ( 0; 1 2 a a 2pro t ( 1 2 ;1). 3.Načrtnětegrafyfunkcí: y= x, y= x x. 4.ŘeštevR: a) x+ x =68,5 b) x+ x =97 c) x x =68,5 d) x x =97 a)34,5;b)nemářešení;c)8 < x <9, x=8,5625;d)nemářešení. 5.Řešterovnice x R: a) 3x 5 =5x 8 b) 5+6x 8 = 15x 7 5 c) 3+2x 4 = 5 3x 2 d)soustavu x,y R:7 x +2y=117,4a5x+2 y =91,9 a)výraz5x 8jenutněceléčíslo,tedy k=5x 8,odkud x= 1(k+8). 5 Podosazení do zadání dostaneme 3 k+8 3k 1 5 = = k. 5 5 To podle definice celé části vede k nerovnostem k 3k 1 5 < k+1 3 < k 1 2, odkudpro k= 2je x 1 =1,2,nebo k= 1je x 2 =1,4. b)výraz 15x 7 = k Zatedy 15x 7 5+6x < 15x Zprvnínerovniceplyne x 9 = 81 41,zdruhénerovniceplyne x >
13 13 Dálevíme,že 15x 7 = k x= 30k+42,tedy40 <30k+42 81a 5 90 konečně 1 < k 39, k=0;1.podosazenímáme x = 7, x 15 2= 4. 5 c) Platísoučasně k 3+2x < k+1ak 5 3x < k+1.pak I 4 2 k1 = 4k 3 ) ; 4k a Ik2 = ( 3 2k; 5 2k 3 3 ahledáme,prokteráceláčísla kmají tytointervalyneprázdnýprůnik.tedy 4k+1 > 3 2k asoučasně 5 2k k 3,odkuddostanemepro kpodmínku,že 3 < k 19 k= Pro k=1apodosazení 3+2x 4 = 5 3x 2 =1,jevýslednýinterval x ( 1 2 2) ;5 1 ;1 = 1; d) Označme x x =x 0 a y y =y 0,kde x 0,y 0 0;1).Pakdaná soustava přejde na tvar 7 x +2 y = 117,4 2y 0 5 x +2 y = 91,9 5x 0. Nalevéstraněobourovnicsoustavyjesoučetcelýchčísel,tedyina pravéstraněrovnicsoustavymusíbýtceláčísla,odkudpro y 0 plynou dvěmožnosti: y 0 =0,2nebo0,7. Zprvnírovnicevyjádříme y = 117,4 2y 0 7 x,dálerovniceod 2 sebeodečteme,dostanemepro y 0 =0,2rovnici2 x =25,1+5x 0 a x y =.Protože0 5x 0 <5,je x =13,14nebo15.Z 2 důvodu y Z,musíbýt x liché.pakdostaneme x x 0 y x y 13 0, ,18 13,2 15 0, ,98 6, x Analogickyprodruhýpřípad,kdy y 0 =0,7a y =,dostanemepoodečtení2 x =24,1+5x 0.Protože0 5x 0 <5,je x =13 2 nebo14.zdůvodu y Z,musíbýt x sudé.pakdostaneme x x 0 y x y 14 0, ,78 9,7. Mámetedycelkemtřiřešení[13,18;13,2],[15,98;6,2],[14,78;9,7].
14 Mocnostbodukekružnici C I 4 1. Určete poloměry tří kružnic, jejichž středy tvoří vrcholy trojúhelníku sestranamidélek a,b,c,akaždédvěmajívnějšídotyk. Zobrázkuvidíme,že a=s+t, b=r+ t, c=r+ s.odkudsečtením prvnímdvourovniczískámerovnici a+b=r+s+2t=c+2t,zčehož plyne t= a+b c. Postupným dosazením získáme i velikosti zbývajících 2 poloměrů s= a+c b a r= b+c a Kružnice k,l,msepodvouvnědotýkajíavšechnytřimajíspolečnou tečnu.poloměrykružnic k,ljsou3cma12cm.vypočtětepoloměr kružnice m. Najděte všechna řešení. Označmepoloměrykružnic k,lpostupně r,sabodydotykunaspolečné tečně A,B,C.Vizobrázek.
15 Uvažujme lichoběžník ART C a dále vezměme pravoúhlý trojúhelník RUT, UT = AC = (r+ t) 2 (r t) 2 = 2 rt = 2 3t.Analogicky z lichoběžníků CT SB a ARSB dostaneme vztahy BC = 2sqrtst=4 3ta AB =2sqrtrs=12.Nejdříceuvažme,žebod Cleží mezibody AaB.Jepak2sqrt3t+4 3t=12,odkud t= 4 3.Jestliže bod Aležímezibody Ca B,dostanemerovnici2 3t+12=4 3t, odkud t=12.jinýpřípad,bod Bjemezibody AaC,nemářešení, viz. další obrázek. 15
16 16 Poloměr mjeroven 4 3 cmnebo12cm. 3.Kružnice k,l,msedotýkajíspolečnétečnyvetřechrůznýchbodecha jejichstředyležívpřímce.kružnice kalstejnějakokružnice lam mají vnější dotyk. Určete poloměr kružnice l, jestliže poloměry kružnic kamjsou3cma12cm. Zpravoúhlýchlichoběžníků KLV U,LMWV,KMWUplynepodlePythagorovy věty KL 2 = (r+3) 2 (r 3) 2 =12r LM 2 = (12+r) 2 (12 r) 2 =48r KM 2 = (3+2r+12) 2 (12 3) 2 =4r 2 +60r+144 a KL + LM = KM.Poúpravěpro rrovnici 4r 2 48r+144=0=4(r 6) 2. Mátatorovnicejedinéřešení r=6. Kružnice l má poloměr 6 cm.
17 17 4.Kružnice k,lsvnějšímdotykemležíoběvobdélníku ABCD,jehož obsahje72cm 2.Kružnice ksepřitomdotýkástran CD,DAaAB, zatímco kružnice l se dotýká stran AB a BC. Určete poloměry kružnic k, l, jestliže poloměr kružnice k je v centimetrech vyjádřen celým číslem. KL = (r+ s) 2 (r s) 2 =2 rsas ABCD = AD AB =2r (r+2 rs+s)=( r+ s) 2.Odkud rs=(6 r) 2 a s= (6 r)2 r. Zúlohyplyne,že s r,tj. s ra AB >2r.Dále72= AB AD 4r 2 r <4.Pak {r;s} {4,1}. Úlohamáprávědvěřešení: r=s=3cmar=4cm, s=1cm. 1.5 Algebraické nerovnosti C I 5 1.Dokažte,že a,b R:ab a2 +b 2 2. Poúpravě2ab a 2 + b 2 0 (a 2 2ab+b 2 ) 0 (a b) 2,cožje výrok pravdivý, druhá mocnina reálného čísla je vždy nezáporna.
18 18 2.Dokažte,že a,b R + : a b + b a 2. Poúpravě a2 +b 2 ab 2 a 2 + b 2 2ab (a b) Dokažte,že a,b R + : ab=1 a+b 2. Povyjádření a= 1 b adosazenímámenerovnicivetvaru 1 b + b 2 b 2 2b+1 0 (b 1) Dokažte,že a,b,c R:3(x 2 + y 2 + z 2 )=(x+y+ z) 2 x=y= z. 5.Dokažte,že a R + : a+ 1 a 2.Kdynastanerovnost? Viz.úloha3vtétopodkapitole.Rovnostnastanepro a=1. 6.Dokažte,že a R + : a a 2 2.Kdynastanerovnost? Analogickyupravímeadostanemevýraz a 4 2a 2 +1=(a 2 1) 2 0. Rovnostnastanepro a=1. 7.Najdětevšechnytrojickladnýchčísel a,b,c,prokteréplatí Poúpravě a+ 1 ( a +2 b+ 1 ) b a=b=c=1. a+2b+3c+ 1 a +2 b +3 c =12. ( +3 c+ 1 ) 12.Rovnostnatanepro c 8.Nechť a,b,c,djsoutakováreálnáčísla,že a+d=b+c.dokažtenerovnost (a b)(c d)+(a c)(b d)+(d a)(b c) 0. Zpodmínkynerovnicezískámevyjádřenípro d; d=b+c aatoto dosadímedolevéstranynerovnice.poúpravě2a 2 4ab+2b 2 =2(a b) 2. Výraz je nezáporný pro každé reálné číslo, tím je nerovnost dokázaná.
19 19 9. Dokažte, že pro libovolná různá kladná čísla a, b platí a+b 2 < 2(a2 + ab+b 2 ) 3(a+b) a2 + b < 2. 2 Nejprveupravímelevoučást,tedy3(a+b) 2 <4(a 2 + ab+b 2 ) 0< (a b) 2 pro a b.pravoučástumocníme(obéstranynerovnicejsou kladná čísla), roznásobíme a částečně upravíme na tvar 6a 2 b 2 < a 4 + b 4 +2a 3 b+2ab 3. Což můžeme chápat jako součet dvou nerovností 2a 2 b 2 < a 4 + b 4 0<(a b) 2 a 4a 2 b 2 <2a 3 b+2ab 3 0<2ab(a b) Určetevšechnakladnáčísla x,y,z,proněžsoučasněplatí: x+ 1 y 2, y+1 z 2, z+1 x 2 Sečtenímvšechtřínerovnicdostaneme x+y+ z+ 1 x +1 y +1 z 6. Provedemeodhadnazákladěúlohy5,resp.3.Tedy6 x+ 1 x + y+ 1 y + z+1 6.Tedy x=y= z=1. z 1.6 Dělitelnost C I 6 1. Trojciferné číslo je zakončeno číslicí 4. Přesuneme-li tuto číslici na první místo, dostaneme číslo, které je o 81 menší než číslo původní. Určete původní číslo.
20 20 Hledanéčíslojetvaru ab4,popřesunuposledníčíslice4ab,kde a,bjsou číslice0 < a 9,0 b 9.Rozepíšeme-lijejdorozvinutéhozápisuv desítkové sooustavě, obdržíme rovnici 100a+10b+4= a+b+81 10a+b=53. Uvážíme-li,že a,bjsoučíslice0<a 9, 0 b 9,získámejediné řešení a=5,b=3.hledanéčísloje Najděte všechna čtyřmístná čísla n, která mají následující tři vlastnosti: Vzápisečísla njsoudvěrůznéčíslice,každádvakrát.číslo njedělitelné sedmi. Číslo, které vznikne obrácením pořadí číslic čísla n, je rovněž čtyřmístné a dělitelné sedmi. Uvažmetřipřípady: aabb, ababaabba,kde0 < a,b 9. a) n=aabb=1100a+11ban = bbaa=1100b+11a.dáleplatí,že7 n a7 n,musídělitijejichsoučetarozdíl.tedy7 (n n )atéž7 (n+n ). Po úpravě máme n+n =1111(a+b), n n =1089(a b). Čísla1089,1111všaknejsoudělitelná7,tedy7musídělit a+ba a b.použijemestejnouúvahuještějednou,tedy7 (a+b)+(a b)a 7 (a+b) (a b),odkudvyplývá,že7 2aa7 b,neboli a,b {0;7}. Číslice a,bjsounavzájemrůzné,protojednaznichmusíbýt0.číslo n nebo n bypakalenebyločtyřmístné.číslo nnemůžebýttohototvaru. b) n=abab=1010a+101ban = baba=1010b+101a.podobnějako v předcházejícím případě odvodíme, že 7 n n =909(a b),7 n+n =1111(a+b) 7 a,b a,b {0;7}, tedyjednaznichopětmusíbýt0.číslo nnebo n bypakalenebylo čtyřmístné a nemůže být ani tohoto tvaru. c) n=abba=1001a+110b=n aprotože7 1001a7 110,musí 7 b b {0;7}.Vzhledemkpodmínce a {1,2,...,9}aa bje řešením17čísel1001,2002,3003,4004,5005,6006,7007,8008, 9009,1771,2772,3773,4774,5775,6776,8778,9779.
21 21 3. Klárka měla na papíru napsáno trojmístné číslo. Když ho správně vynásobila devíti, dostala čtyřmístné číslo, jež začínalo touž číslicí jako původní číslo, prostřední dvě číslice se rovnaly a poslední číslice byla součtem číslic původního čísla. Které čtyřmístné číslo mohla Klárka dostat? Hledámečíslotvaru x=abc=100a+10b+ca9x=9(100a+10b+c)= adde=1000a+100d+10d+(a+b+c),přičemž a,b,c,d,ejsoučíslice. Porovnáním posledních číslic zjistíme, že poslední číslice výrazu 9c je táž,jakovýraz a+b+c.dálevíme,že a+b+c >5a0<c<5,jinak byvýraz9ckončilčíslicínepřevyšující5;pro c=0bypakix=0. Ostatní možnosti jsou dány v tabulce. c 9c a+b+c a+b Vztah 9(100a+10b+c) = 1000a+100d+10d+(a+b+c) ještě upravíme na tvar 100(b a d)=10d+a+11b 8c. (1) Číslice a,b,c,djsounejvýšerovnydevíti,tedyhodnotapravéstranyje menšínež200aaspoň-72.jetedybuď b a d=0nebo b a d=1. Zprvníhopřípaduplyne,že d=b a,poúpravě(1)natvar8c= 3(7b 3a)vidíme,že cjenásobkemtří.ztabulkypakplyne,že c= 3,a=4 b a=b=2.tedy x=223ahledanéčtyřmístnéčísloje Druhýpřípad b a d=1jepak d=b a 1,dosadímedo(1) azjistíme,že8c+110=3(7b 3a).Výraz8c+110jetdydělitelný třemiaprotomusí cdávatzbytek2přidělenítřemi.ztabulky c=2 a b=6 adorovnice8c+110=3(7b 3a)zjistíme,že a=0,což odporuje tomu, že Klára měla na papíře napsané trojmístné číslo.
Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu.
1 1 Kategorie C V této kapitole se budeme věnovat problémovým úlohám a úlohám k procvičení, které jsou vhodným výchozím studijním materiálem pro úspěšné zvládnutí domácí části matematické olympiády kategorie
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
63. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V = (a b) + (b c) + (c a), splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek a +
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
68. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Neznámé číslo je dělitelné právě čtyřmi čísly z množiny {6, 15, 20, 21, 70}. Určete, kterými. (Michal Rolínek) Řešení. Pokud by
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
Více55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
VíceM - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VícePatří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceSyntetická geometrie II
Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD
VícePODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
Více2. Přeneste úsečku KL na polopřímku s počátkem P a vyznačte tak úsečku PR shodnou s úsečkou KL. Vztah shodnosti mezi těmito úsečkami zapište.
Konstrukce kružítkem 1. Narýsujte kružnici se středem S a poloměrem shodným s úsečkou AB. Úsečku AB přeneste na polopřímku s počátkem M pomocí kružítka a vyznačte tak úsečku MN shodnou s úsečkou AB. 2.
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
67. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechny mnohočleny tvaru ax 3 + bx + cx + d, které při dělení dvojčlenem x + 1 dávají zbytek x + a při dělení dvojčlenem
VíceExtremální úlohy v geometrii
Extremální úlohy v geometrii Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 30.4. 2013 Petr
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie B
Návody k domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechna osmimístná čísla taková, z nichž po vyškrtnutí některé čtveřice sousedních číslic dostaneme čtyřmístné číslo, které je 2 019krát menší. (Pavel
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie. Najděte nejmenší možnou hodnotu výrazu x xy + y, ve kterém x a y jsou libovolná celá nezáporná čísla.. Určete, kolika způsoby lze všechny
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 : 9. dubna 07 D : 830 P P P : 30 M. M. : 30 : 8,8 M. :, % S : -7,5 M. P : -,5 :,4 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a
Více66. ročníku MO (kategorie A, B, C)
Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené
VíceMatematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1
1 of 9 20. 1. 2014 12:05 Matematická olympiáda - 48. ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7 Zadání úloh Z5 II 1 Do prostředního kroužku je možné zapsat pouze čísla 8
Více2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám
MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
VíceI. kolo kategorie Z8
68. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z8 Z8 I 1 Ferda a David se denně potkávají ve výtahu. Jednou ráno zjistili, že když vynásobí své současné věky, dostanou 38. Kdyby totéž provedli za čtyři
VíceCVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny
VíceB A B A B A B A A B A B B
AB ABA BA BABA B AB A B B A A B A B AB A A B B B B ABA B A B A A A A A B A A B A A B A A B A BA B A BA B D A BC A B C A B A B C C ABA B D D ABC D A A B A B C D C B B A A B A B A B A A AB B A AB A B A A
VíceI. kolo kategorie Z7
66. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Čtverec se stranou 4 cm je rozdělen na čtverečky se stranou 1 cm jako na obrázku. Rozdělte čtverec podél vyznačených čar na dva útvary s obvodem
Více49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000
49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 9.ñ. dubna 000 . Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé. (J. Šimša) Řešení.
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
VícePLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceÚlohy domácího kola kategorie A
49. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie A 1. Nechť P (x), Q(x) jsou kvadratické trojčleny takové, že tři z kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 jsou čísla 22, 7, 13. Určete čtvrtý kořen této
VíceÚlohy krajského kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie B 1. Určete všechny trojice celých kladných čísel k, l a m, pro které platí 3l + 1 3kl + k + 3 = lm + 1 5lm + m + 5. 2. Je dána úsečka AB,
VíceTest Zkušební přijímací zkoušky
Test Zkušební přijímací zkoušky 1. Vypočtěte: ( 10 1.5) ( 4 ).( 15). ( 5 6). Doplňte číslo do rámečku, aby platila rovnost:.1. 4 11 10. 8 16 6.. 49 7 1.. + 1. Proveďte početní operace:.1. 6x 4x ( 4x x)
Vícepro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A
Přijímací zkouška na MFF UK pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé úlohy
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
66. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66úhelníku přiřadíme jedno z čísel 1 nebo 1. Ke každé úsečce spojující dva jeho vrcholy (straně nebo
Více63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice
63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ
VíceCVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické
VíceÚlohy domácího kola kategorie B
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Řešte v oboru kladných čísel soustavu rovnic 3x + y = 598,6, x + y = 73,4, v níž x a y označují po řadě čísla x a y zaokrouhlená na desítky.
Více56. ročník Matematické olympiády
56. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí a + 5 b = b + 5 a. Řešení. Substitucí m = a, n = b převedeme rovnici
Více61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012
61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Víceg) když umocníme na druhou třetinu rozdílu dvou čísel x, y a zvětšíme toto číslo o jejich součin, tak dostaneme výraz?
Téma : Výrazy, poměr (úprava výrazů, podmínky řešitelnosti, algebraické vzorce, hodnota výrazů, poměr, měřítko na mapě) Příklady Zápis výrazů ) Zapište jako výraz: a) součet trojnásobku libovolného čísla
VíceNávody k úlohám domácí části I. kola 59. ročníku MO kategorie B
Návody k úlohám domácí části I kola 59 ročníku MO kategorie B Soutěžní úloha 1 Na stole leží tři hromádky zápalek: v jedné 009, ve druhé 010 a v poslední 011 Hráč, který je na tahu, zvolí dvě hromádky
VíceI. kolo kategorie Z7
67. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Petr řekl Pavlovi: Napiš dvojmístné přirozené číslo, které má tu vlastnost, že když od něj odečteš totéž dvojmístné přirozené číslo akorát napsané
Více65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Pardubice, dubna 2016
65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A Pardubice, 3. 6. dubna 2016 MO 1. Nechť p > 3 je dané prvočíslo. Určete počet všech uspořádaných šestic (a, b, c, d, e, f) kladných celých čísel,
VíceÚloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.
Úloha. V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. PřepočetzCelsiovýchstupňůnaFahrenheitovylzeprovéstpodlevzorce f = 9 5 c+32(cjsoustupně Celsiovy, f Farenheitovy).
VíceSHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ
Vícep ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm
Úloha Je dán pravoúhlý trojúhelník ACD s pravým úhlem při vrcholu C, AC = 7,5 cm, CD =,5 cm. Na přímce CD určete bod B tak, aby AB = BD Řešení: Úlohu vyřešíme nejprve geometrickou konstrukcí. a) Z rozboru
VíceZajímavé matematické úlohy
Zajímavé matematické úlohy Pokračujeme v uveřejňování dalších nových úloh tradiční rubriky Zajímavé matematické úlohy. V tomto čísle uvádíme zadání další dvojice úloh. Jejich řešení můžete zaslat nejpozději
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
Více53. ročník matematické olympiády. q = 65
53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,
VíceCVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 24 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze
VíceCVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21
CVIČNÝ TEST 12 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písmena A, B, C a D vyjadřují každé jednu z číslic
VíceCVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka
VíceFunkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].
Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška
VíceÚlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem
Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky
VíceJak by mohl vypadat test z matematiky
Jak by mohl vypadat test z matematiky 1 Zapište zlomkem trojnásobek rozdílu, 2 Vypočtěte: 2.1 0,05: 0,001 0,7 0,3 = 2.2 : = 3 Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru: 36 3 3 16 + 1 6 = 4
VíceMatematický KLOKAN 2007 kategorie Junior (A) 8 (B) 9 (C) 11 (D) 13 (E) 15 AEF? (A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 36 (E) 48
Matematický KLOKAN 007 kategorie Junior Úlohy za 3 body 1. Lucka, Radek a David mají dohromady 30 míčů. Jestliže Radek dá 5 míčů Davidovi, David dá 4 míče Lucce a Lucka dá míče Radkovi, budou mít oba chlapci
Více4.3.2 Koeficient podobnosti
4.. Koeficient podobnosti Předpoklady: 04001 Př. 1: Která z následujících tvrzení jsou správná? a) Každé dvě úsečky jsou podobné. b) Každé dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné. c) Každé dva rovnostranné
VíceFebruary 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace
Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
63 ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1 Dokažte, že pro každé celé číslo n 3 je n-místné číslo s dekadickým zápisem druhou mocninou některého celého čísla 1 1 8
VíceObrázek 101: Podobné útvary
14 Podobná zobrazení Obrázek 101: Podobné útvary Definice 10. [Podobné zobrazení] Geometrické zobrazení f se nazývá podobné zobrazení, jestliže existuje kladné reálné číslo k tak, že pro každé dva body
Více( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
VíceDirichletův princip. D1 Z libovolných 82 přirozených čísel lze vybrat dvě čísla tak, aby jejich rozdíl byl dělitelný číslem 81. Dokažte.
Dirichletův princip U1 Dirichletův princip a jeho důkaz. U2 Na konferenci 70 delegátů hovoří 11 různými jazyky, stejným jazykem nejvíce 15 z nich. Za oficiální je považován takový jazyk, kterým hovoří
VíceSlouží k opakování učiva 8. ročníku na začátku školního roku list/anotace
Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 utor Mgr. Martina Smolinková Datum 9. 8. 2014 Ročník 8. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace Vzdělávací obor Matematika
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VíceÚlohy domácího kola kategorie B
47. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čísel, v níž je součet všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách
VícePočítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek
Počítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek Cílem této přednášky je obohatit vaše znalosti z planimetrie o nové metody, založené na algebraickém přístupu. Nebudeme ovšem sáhodlouze upravovat obrovskévýrazy,jakbysemohlozdát.naopaksiukážemepříklady,vnichžnástrocha
VíceCVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,
Více2. Která z trojice úseček může a která nemůže být stranami trojúhelníku. a) b)
Konstrukce trojúhelníku z daných stran 1. Trojúhelníková nerovnost 1. Porovnejte grafický součet každých dvou stran narýsovaných trojúhelníků se stranou třetí. Strany trojúhelníků můžete obtáhnout barevně.
VíceMATE MATIKA. učebnice pro 2. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia
MATE MATIKA učebnice pro. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia OBSAH Zlomky 5 Rovnice Množiny 7 Jazyk písmen II 7 Rodina Mnohoúhelníky 50 Trojúhelník I Prvočísla I 5 Záporná čísla 7 Mocniny 55 Dělitelnost 0
VíceÚvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Úvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost Prima 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
61. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek a při dělení dvojčlenem x + zbytek
VíceCVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13
CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 1 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jakou část obsahu kruhu
VíceŘešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.
Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční
VíceOblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách
Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v
VíceJméno a příjmení. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!
MATEMATIKA 9 M9PCD19C0T03 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 16 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: pouze psací a rýsovací potřeby 1 Základní informace k zadání zkoušky Časový
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
68. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Každé pole tabulky 68 68 máme obarvit jednou ze tří barev (červená, modrá, bílá). Kolika způsoby to lze učinit tak, aby každá trojice
VíceVlasta Moravcová. Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3. Letní škola geometrie 2018,
KONSTRUKČNÍ ÚLOHY Katedra didaktiky matematiky Gymnázium Na Pražačce Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3 Letní škola geometrie 2018, 4. července 2018, Česká
Více