Zobrazení kružnice v pravoúhlé axonometrii. osy, která je normálou roviny dané kružnice; délka hlavní poloosy je rovna poloměru

Transkript

1 Geometie Zoazovací metody Zoazení kužnice v pavoúhlé axonometii Zoazení kužnice ležící v souřadnicové ovině Výklad v pavoúhlé axonometii lze poměně snadno sestojit půmět kužnice dané středem a poloměem, jestliže tato leží v ovině souřadnicové neo v ovině s ní ovnoěžné půmětem takové kužnice je elipsa, jejíž hlavní osa je kolmá k půmětu té souřadnicové osy, kteá je nomálou oviny dané kužnice; délka hlavní poloosy je ovna poloměu kužnice po omezení vedlejší poloosy je možno poměně snadno najít půmět dalšího odu dané kužnice a použít někteou použkovou konstukci neo je možné užít otočení příslušné souřadnicové oviny do axonometické půmětny v následujícím příkladu je ukázáno použití oou naznačených způsoů Zpacoval Jiří Doležal

2 Geometie Zoazovací metody Řešené úlohy Příklad: V pavoúhlé axonometii dané osovým křížem zoazte kužnici k(s, =3) ležící v půdoysně π, a půlkužnici l(s x, = 4) ležící v náysně ν nad osou x; středy S, S jsou dány svými axonometickými půměty,. zadání úlohy podle něj leží oa ody S i S v půdoysně π, a platí tedy S = S a S = S ; z důvodu větší přehlednosti popisů je ovšem v oázku vynecháno příslušné označení = a =... Pozn.: při tomto zadání není (pozatím) axonometická půmětna učena jednoznačně, a může jí ýt kteákoliv ovina ovnoěžná s ovinou nákesny (papíu); je zajímavé, že i přesto ude možné danou úlohu, v níž se ojevují také metické vztahy (délka úsečky, kolmost), s úspěchem řešit... Zpacoval Jiří Doležal

3 Geometie Zoazovací metody v půdoysně π ved me středem S půmě AB kužnice k tak, ay přímka AB yla ovnoěžná s axonometickou půmětnou; půmě AB leží v π, je tedy AB z, a na základě Věty o pavoúhlém půmětu pavého úhlu musí platit ; navíc se na půmětu půměu AB zachová délka úsečk ody, ( =) jsou tedy hlavními vcholy elipsy, do níž se pomítne daná kužnice k(s, = 3) π, potože všechny její ostatní půměy se při pavoúhlém pomítání zkátí Zpacoval Jiří Doležal 3

4 Geometie Zoazovací metody ovnoěžky s osami y, x vedené po řadě ody A, B jsou navzájem kolmé a podle Thaletovy věty se potínají v odě M kužnice k; v půmětu se ovnoěžnost zachová (kolmost oecně nikoliv) a od je tedy dalším odem konstuované elipsy (speciálně, půlí-li přímka úhel mezi přímkami a, je takto sestojený od vedlejším vcholem elipsy a následující konstukční kok je pak možné přeskočit) Zpacoval Jiří Doležal 4

5 Geometie Zoazovací metody vedlejší vcholy, sestojíme pomocí někteé z použkových konstukcí v oázku je zvolena součtová vaianta: po od na vedlejší ose elipsy je = =, přímka potíná hlavní osu v odě a délka vedlejší poloosy elipsy je ovna délce úsečky, tj. = = = Zpacoval Jiří Doležal 5

6 Geometie Zoazovací metody na závě této části zadané úlohy je s pomocí olouků hypeoskulačních kužnic v jejích vcholech vyýsována elipsa, kteá je axonometickým půmětem dané kužnice k(s, =3) π; zcela odoně ychom mohli postupovat, pokud y daná kužnice ležela v nějaké ovině π ovnoěžné s půdoysnou π Pozn.: analogický postup, kteý yl v předchozím použit po kužnici ležící v půdoysně π, lze odvodit po sestojení axonometického půmětu kužnice, jež leží v náysně ν neo v okoysně µ, či v jiné ovině, kteá je s někteou z nich ovnoěžná... Zpacoval Jiří Doležal 6

7 Geometie Zoazovací metody Z X= při zoazení honí půlkužnice l(s x, = 4) ν použijme poněkud odlišný postup půjde nám o to najít nejpve půměty K a, L a odů K, L, v nichž uvažovaná půlkužnice l potíná osu x, a půmět N a nejvyššího odu N, tj. odu, v němž danou půlkužnici l potíná ovnoěžka s osou z vedená středem S ; poto nyní ved me axonometickou půmětnu ρ pávě odem S, a oviny ρ a ν se tak potnou v přímce, jež musí ýt kolmá k půmětu osy na níž leží stana XZ příslušného axonometického tojúhelníka, přičemž X = S = a Z ; zývající dvě stany XY, ZY, kde Y, axonometického tojúhelníka neudeme v dalším postupu potřeovat, poto nejsou ani v oázku vyýsovány... Zpacoval Jiří Doležal 7

8 Geometie Zoazovací metody [z] Z [O] X= [x] známým způsoem poved me otočení náysny ν do zvolené axonometické půmětny ρ kolem přímky XZ, tj. sestojme otočené polohy [O], [x], [z] počátku souřadnicových os x, z: přitom užijeme Thaletovu půlkužnici sestojenou vpavo na půměem XZ (v oázku jsou pouze čákovaně naznačeny její významné olouky), její půsečík s půmětem osy y je otočenou polohou [O] počátku osy x = OX, z = OZ se otočí do přímek [x] = [O]X, [z] = [O]Z, přičemž díky užití Thaletovy věty se v otočení zachová pavý úhel, tj. [x] [z]; připomeňme ještě, že kvůli přehlednosti ývá zvykem otočené polohy významných útvaů ýsovat čechovaně... Zpacoval Jiří Doležal 8

9 Geometie Zoazovací metody [z] Z [O] [K] K a X= [x] na otočené polohy [x], [z] můžeme nyní nanést daný polomě = 4 ve skutečné velikosti; na polopřímce X[O] je tak sestojen od [K], X[K] = = 4, kteý je otočenou polohou odu K jakožto jednoho z půsečíků půlkužnice l s osou x; na polopřímce [O]Z je polomě = 4 nanesen od odu [O], koncový od vzniklé úsečky není nijak označen; následně jsou oa tyto ody z otočení tzv. váceny do půmětu, tj. jsou jimi vedeny kolmice k přímce XZ, a na půmětu osy x je tak sestojen půmět K a odu K, na půmětu osy z je pouze vymezeno odpovídající zkácení daného poloměu Zpacoval Jiří Doležal 9

10 Geometie Zoazovací metody [z] Z [O] N a [K] K a X= [x] L a od L souměně sdužený s odem K podle středu S = X je duhým půsečíkem půlkužnice l s osou x, a tato středová souměnost se v půmětu zachová od K a můžeme tedy souměně podle středu = X přenést do odu L a ; tečny k půlkužnici l v odech K, L jsou ovnoěžné s osou z, a v půmětu jsou tedy vedeny ody K a, L a ovnoěžně s přímkou ; podoně doplníme půmět N a nejvyššího odu N: neot zkácení poloměu na půmětu osy z máme zjištěno z předchozího koku, stačí tedy příslušnou délku nanést od odu na ovnoěžku s přímkou ; tečna v odě N je zřejmě ovnoěžná s osou x, a v půmětu tedy pochází odem N a ovnoěžně s přímkou potíná poto přímku v koncovém odě získaném při předchozím učení zkácení poloměu na půmětu osy z; tím se nám podařilo sestojit oaz tzv. tečnového půlčtvece opsaného půlkužnici l, v půmětu máme tedy po půlelipsu l a tři její ody K a, L a, N a i s příslušnými tečnami... Zpacoval Jiří Doležal 0

11 Geometie Zoazovací metody [z] Z [O] H a N a [K] K a X= [x] l a L a v posledním koku sestojme nejpve hlavní vchol H a půlelipsy l a, a to analogicky jako jsme sestojili hlavní vcholy, elipsy : stačí od odu S a = X na polopřímku XZ nanést daný polomě = 4 ve skutečné velikosti; získáme tak vlastně půsečík H půlkužnice l s axonometickou půmětnou ρ, kteý splývá se svým axonometickým půmětem H a, tj. H a = H; navíc můžeme sestojit od půlkužnice l, kteý je souměně sdužený s odem H podle přímky S N, a v oou těchto odech doplníme tečny: v půmětu je tečna ve vcholu H a kolmá k přímce XZ a s tečnou vedenou půmětem odu osově souměného k odu H podle přímky S N se potíná pávě na půmětu N a přímky S N; tím máme po půlelipsu l a, kteá je půmětem dané půlkužnice l(s x, = 4) ν, sestojeno pět odů i s tečnami, což y mělo ýt dostačující k vytažení jejího půěhu volnou ukou; případně ychom mohli pomocí někteé z použkových konstukcí najít její vedlejší vchol a použít pomocné olouky hypeoskulačních kužnic ve vcholech, podoně jako jsme to učinili při zoazení kužnice k Zpacoval Jiří Doležal