KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t

Transkript

1 KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá čár? Podobný problém vzniká, má-li se spočítt práce vykonná působením síly po nějké křivé dráze. Nejdříve bude nutné se podrobněji podívt n pojmy týkjící se křivek. Jsou to většinou pojmy z diferenciální geometrie není možné v tomto textu všechny potřebné pojmy podrobně probrt. KŘIVKY Křivk může být zdán různými způsoby. Nejobvyklejší zdání ( pokud nebude řečeno jink, právě toto zdání bude použito) je jko spojitý obrz kompktního intervlu z R. Jedná se vlstně o prmetrické zdání, protože spojité zobrzení Φ : [, b] R n je n-tice spojitých reálných funkcí jedné proměnné definovných n [, b]. Křivk v rovině je tedy popsán spojitými funkcemi ϕ, ψ : [, b] R jko množin bodů {(ϕ(t), ψ(t)); t [, b]}. Křivk v prostoru je popsán spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [, b] R jko množin bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t [, b]}. Počáteční bod křivky je Φ(), koncový bod je Φ(b) (pokud není orientce stnoven jink viz dále). Křivky, u kterých počáteční koncový bod splývjí, se nzývá uzvřené. Npř. elips, lemniskt (tj.,,ležtá osmičk"), obvod obdélníku jsou uzvřené křivky. Grf funkce jedné proměnné nejsou uzvřené křivky. Necht jsou dány dvě křivky, 2 definovné funkcemi Φ : [, b] R n Ψ : [c, d] R n, přičemž koncový bod křivky je počáteční bod křivky 2, tj. Φ(b) = Ψ(c). Spojením obou křivek se rozumí křivk, znčená jko + 2, definovná funkcí T (t) n intervlu [, b + d c] předpisem { Φ(t), pro t [, b]; T (t) = Ψ(t + c b), pro t [b, b + d c].. Je zřejmé, jk se definuje spojení tří více křivek. to: V dlším textu bude používán pojem hldká křivk. Je-li křivk popsán prmetricky funkcemi ϕ, ψ, znmená. funkce ϕ, ψ mjí spojité první derivce; 2. pro kždé t [, b] je spoň jedn z derivcí ϕ (t), ψ (t) nenulová; 3. kždý bod křivky je obrzem jediného bodu z [, b] s jedinou možnou výjimkou: počáteční koncový bod mohou splývt. Npříkld oblouk, elips, grf spojité funkce mjící spojitou derivci n kompktním intervlu, jsou hldké křivky. Lemniskt není hldkou křivkou. Po částech hldká křivk je křivk, která vznikl spojením konečně mnoh hldkých křivek. Npříkld lemniskt, steroid, cykloid, obvod obdélníku, jsou po částech hldké křivky. Příkld lemniskty dává příkld uzvřené křivky, která všk má nepříjemný bod. V mnoh přípdech lze tuto nepříjemnost obejít, pro jednoduchost ji všk vyloučíme v definici jednoduše uzvřené křivky. Necht je po částech hldká křivk spojením křivek, 2,..., n v uvedeném pořdí. Křivk se nzývá jednoduše uzvřená, jestliže všechny křivky i jsou nvzájem disjunktní s jedinými výjimkmi: počáteční bod křivky splývá s koncovým bodem křivky n počáteční bod křivky i+ splývá s koncovým bodem křivky i pro i =..n.

2 Dá se dokázt, podobně jko u kružnice, že jednoduše uzvřená křivk dělí rovinu n dvě části: omezenou, tzv. vnitřek křivky (znčený ι) neomezenou, tzv. vnějšek. V dlším textu bude potřeb orientce křivky, tj. určení kldného záporného směru křivky. Je-li orientovná křivk, znčí množinově tutéž křivku s opčnou orientcí. U křivky zdné pomocí funkce Φ n nějkém intervlu [, b] je kldná orientce dán (pokud není určeno jink) tímto intervlem. Kldná orientce probíhá od bodu Φ() do bodu Φ(b), tj. podle rostoucího prmetru. Kldná orientce jednoduše uzvřené křivky (pokud nebude řečeno jink) je proti směru pohybu hodinových ručiček. Přesněji řečeno: jdete-li po této křivce v kldném směru, máte její vnitřek po levé strně. Tečný vektor u orientovných hldkých křivek bude oznčován tučně, npř. dt. Bude-li funkce f s hodnotmi v rovině nebo prostoru chápán jko vektor, bude se též znčit tučně jko f. Poznámky Příkldy Otázky KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY.DRUHU Tk jko u reálných funkcí n R dává integrál z funkce identicky rovné délku (míru) množiny, přes kterou se integruje, měl by křivkový integrál z identické přes křivku dávt délku křivky. V kpitole o použití integrálu se délk křivky vypočítl jko ds, kde ds symbolicky znčilo délku mličké části křivky, která se dl povžovt z úsečku, tkže se spočítl z Pythgorovy věty pomocí dx, dy. V souldu s tímto znčením se bude integrál funkce f podél křivky znčit f(s) ds, kde s jsou body křivky. Způsob, jkým byl délk křivky počítán, nznčuje, jk se bude počítt křivkový integrál. Z chvíli bude probírán jiný přístup integrování funkcí podle křivky. Ob způsoby se odliší v názvu jko první druhý druh. Následující definice je vhodná pro výpočty v prxi se vyskytujících přípdů, le požduje po částech hldké křivky. DEFINIE. Necht je dán reálná funkce f n po částech hldké křivce v rovině zdné prmetricky funkcemi ϕ ψ n intervlu [, b]. Pk se definuje křivkový integrál.druhu funkce f podél křivky jko b f(s) ds = f((ϕ(t), ψ(t)) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt. Následující 3 rovnosti pltí, jkmile mjí smysl prvé strny, poslední nerovnost pltí, pokud existuje levá strn.. (αf(s) + βg(s)) ds = α f(s) ds + β g(s) ds; f(s) ds = f(s) ds + 2 f(s) ds; 3. f(s) ds = f(s) ds; 4. f(s) ds L() mx s f(s), kde L() je délk křivky. 2

3 Poznámky 2 Příkldy 2 Otázky 2 vičení 2 KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY 2.DRUHU V prxi se vyskytují úlohy typu: spočtěte, jká práce byl vykonán lokomotivou při jízdě vlku po křivé dráze proti větru. Zkusíme roviný přípd. Počítáme práci, tedy sílu krát dráhu. Síl i křivk jsou v tomto přípdě,,dvojrozměrné", síl je vektor křivk je popsán svými tečnými vektory dt = ( dx, dy). Práce je sklární součin síly tečného vektoru dráhy. V prxi je jsné, jký má vektor tečny směr. V obecném přípdě to zřejmé není je nutné tento směr nejdříve zdt, tj. křivku je nutné orientovt. Z uvedené motivce výpočtu práce se nbízí následující definice. DEFINIE. Necht je dán rovinná po částech hldká orientovná křivk funkcemi ϕ, ψ n intervlu [, b] funkce f n s hodnotmi v R 2 se souřdnicemi (f, f 2 ). Pk se definuje křivkový integrál 2.druhu funkce f podle křivky jko ( f(s). dt = f (x, y) dx + f 2 (x, y) dy ) b ( = f (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) + f 2 (ϕ(t), ψ(t))ψ (t) ) dt. První dv integrály jsou ekvivlentní formy zápisu křivkového integrálu 2.druhu, třetí integrál je jeho definice pomocí obyčejného integrálu reálné funkce jedné proměnné n intervlu. Následující zákldní vlstnosti křivkového integrálu 2.druhu se opět sndno dokzují. Všimněte si rozdílu oproti křivkovému integrálu.druhu u předposlední vlstnosti. Následující 3 rovnosti pltí, jkmile mjí smysl prvé strny.. (αf + βg). dt = α f. dt + β g. dt; 2. + f. dt = 2 f. dt + f. dt; 2 3. f. dt = f. dt; Následující tvrzení uvádí vzth mezi oběm křivkovými integrály. (f (x, y) dx + f 2 (x, y) dy) = (f (s) cos α(s) + f 2 (s) sin α(s)) ds, kde α(s) je úhel, který svírá tečný vektor k v bodě s s osou x. Necht, D jsou dvě různé jednoduše uzvřené kldně orientovné po částech hldké křivky, které se protínjí v křivce K. Pk je spojením dvou orientovných křivek, K podobně D je spojením dvou orientovných křivek D, K 2 (v pořdí podle orientce), kde K K 2 je křivk K s odlišnými orientcemi. Spojení + D je pk kldně orientovná uzvřená po částech hldká křivk. 3

4 Je-li f funkce + D R 2, pk f dt = f dt. +D +D Poznámky 3 Příkldy 3 Otázky 3 vičení 3 GREENOVA VĚTA Křivkový integrál 2.druhu po uzvřené křivce se čsto znčí symbolem chápe se přes kldnou orientci křivky (tj. proti směru pohybu hodinových ručiček). VĚTA. (Green) Necht H je otevřená množin v rovině obshující jednoduše uzvřenou křivku i s jejím vnitřkem ι f = (f, f 2 ) je funkce H R 2 mjící spojité prciální derivce n H. Pk pltí ( f2 (f (x, y) dx + f 2 (x, y) dy) = ι x f ) Jestliže se v Greenově rovnosti místo funkce (f, f 2 ) vezme funkce ( f 2, f ), dostává se vzorec ( f (f (x, y) dy f 2 (x, y) dx) = i x + f ) 2 Zde je v levém integrálu sklární součin f normály k, který se čsto znčí jko f.dn. Poznámky 4 Příkldy 4 Otázky 4 POUŽITÍ KŘIVKOVÝH INTEGRÁLŮ Podíváte-li se nyní zpátky n popis délky křivky nebo n postup při zjišt ování těžiště křivky, zjistíte, že vzorce z kpitoly 5-ip se djí přepst pomocí křivkových integrálů.druhu.. Délk po částech hldké křivky je rovn ds. 2. Hmotnost tenkého drátu mjícího tvr po částech hldké křivky, který má v bodě s hustotu h(s), je rovn h(s) ds. 3. Těžiště tenkého drátu mjícího tvr po částech hldké křivky, který má v bodě s hustotu h(s), má souřdnice (T x, T y ), kde (m znčí hmotnost drátu) T x = xh(s) ds, T y = yh(s) ds. m m 4

5 V integrálech se musí z x, y, s dosdit příslušné výrzy podle toho, jk je křivk popsán. Čittelé ve vzorcích pro těžiště drátu jsou (sttické) momenty drátu vzhledem k osám y nebo x resp. První dvě položky pltí i v prostoru beze změny. Pro těžiště se přidá nlogický třetí výrz pro T z, což je moment křivky vzhledem k rovině xy. N zákldě Greenovy věty lze nyní uvést nové vzorce pro výpočet obshu některých rovinných množin. Necht G je jednoduchá množin. Její obsh je roven G dx dy, tj. integrálu z funkce identicky rovné n G. Aby bylo možné použít Greenův vzorec, musí se vzít tkové funkce f, f 2 mjící spojité prciální derivce n G, by f x + f 2 =. Nbízí se několik možností, npř. f (x, y) = x, f 2 (x, y) = 0, nebo nopk f (x, y) = 0, f 2 (x, y) = y nebo symetricky zvolené funkce f (x, y) = x/2, f 2 (x, y) = y/2. S(G) = x dy = y dx = (x dy y dx). 2 Příkldy 5 vičení 5 STANDARDY z kpitoly KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY KŘIVKY Křivk je spojitý obrz kompktního intervlu Φ : [, b] R n, Φ je tedy n-tice spojitých reálných funkcí jedné proměnné definovných n [, b]. Křivk v rovině je popsán spojitými funkcemi ϕ, ψ : [, b] R jko množin bodů {(ϕ(t), ψ(t)); t [, b]}. Křivk v prostoru je popsán spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [, b] R jko množin bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t [, b]}. Počáteční bod křivky je Φ(), koncový bod je Φ(b) (pokud není orientce stnoven jink viz dále). Křivky, u kterých počáteční koncový bod splývjí, se nzývá uzvřené. Necht jsou dány dvě křivky, 2 definovné funkcemi Φ : [, b] R n Ψ : [c, d] R n, přičemž koncový bod křivky je počáteční bod křivky 2, tj. Φ(b) = Ψ(c). Spojením obou křivek se rozumí křivk, znčená jko + 2, definovná funkcí T (t) n intervlu [, b + d c] předpisem { Φ(t), pro t [, b]; T (t) = Ψ(t + c b), pro t [b, b + d c].. Je-li křivk Ψ popsán prmetricky funkcemi ϕ, ψ, řekneme, že Ψ je hldká křivk, když:. funkce ϕ, ψ mjí spojité první derivce; 2. pro kždé t [, b] je spoň jedn z derivcí ϕ (t), ψ (t) nenulová; 3. kždý bod křivky je obrzem jediného bodu z [, b] s jedinou možnou výjimkou: počáteční koncový bod mohou splývt. Po částech hldká křivk je křivk, která vznikl spojením konečně mnoh hldkých křivek. Necht je po částech hldká křivk spojením křivek, 2,..., n v uvedeném pořdí. Křivk se nzývá jednoduše uzvřená, jestliže všechny křivky i jsou nvzájem disjunktní s jedinými výjimkmi: počáteční bod křivky splývá s koncovým bodem křivky n počáteční bod křivky i+ splývá s koncovým bodem křivky i pro i =..n. 5

6 Dá se dokázt, podobně jko u kružnice, že jednoduše uzvřená křivk dělí rovinu n dvě části: omezenou, tzv. vnitřek křivky (znčený ι) neomezenou, tzv. vnějšek. V dlším textu bude potřeb orientce křivky, tj. určení kldného záporného směru křivky. Je-li orientovná křivk, znčí množinově tutéž křivku s opčnou orientcí. U křivky zdné pomocí funkce Φ n nějkém intervlu [, b] je kldná orientce dán (pokud není určeno jink) tímto intervlem. Kldná orientce probíhá od bodu Φ() do bodu Φ(b), tj. podle rostoucího prmetru. Kldná orientce jednoduše uzvřené křivky (pokud nebude řečeno jink) je proti směru pohybu hodinových ručiček. Přesněji řečeno: jdete-li po této křivce v kldném směru, máte její vnitřek po levé strně. Příkld. Jkou prostorovou křivku předstvuje prmetrické zdání ϕ(t) = sin t, ψ(t) = cos(t), τ(t) = t, t [0, 2π]? KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY.DRUHU Necht je dán reálná funkce f n po částech hldké křivce v rovině zdné prmetricky funkcemi ϕ ψ n intervlu [, b]. Pk se definuje křivkový integrál.druhu funkce f podél křivky jko b f(s) ds = f((ϕ(t), ψ(t)) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt. Oznčme τ(t) = (ϕ (t), ψ (t)) tečný vektor křivky v bodě. Pk substituujeme (velikost tečného vektoru je něco jko Jcobián): s = (ϕ(t), ψ(t)) Pro prostorové křivky se prcuje se třemi složkmi b f(s) ds = ds = (ϕ (t), ψ (t)) dt = τ(t) dt b f(s) ds = f((ϕ(t), ψ(t)) τ(t) dt. f((ϕ(t), ψ(t), τ(t)) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) + τ 2 (t) dt. Příkld. Spočtěte křivkový integrál.druhu funkce x + y přes obvod trojúhelník s vrcholy (0, 0), (, 0), (, ). Příkld. Necht je dán reálná funkce H n hldké křivce = [0, ] (jde o jednotkový intervl n reálné ose). Necht jsou dány dvě prmetrizce ϕ : [α, β] f : [, b] s rostoucími funkcemi ϕ f. Pk β β H(s) ds = H(ϕ(τ)) ϕ 2 (τ) dτ = H(ϕ(τ)) ϕ (τ) dτ. α α Podobně b b H(s) ds = H(f(t)) f 2 (t) dt = H(f(t)) f (t) dt. Dokžte, že se jedná o stejný výsledek při obou prmetrizcích. Řešení. Použijeme substituci τ = ϕ (f(t)). Pk β H(ϕ(τ)) ϕ (τ) dτ = α b = H(ϕ(ϕ (f(t))))ϕ (ϕ (f(t))) ϕ (ϕ (f(t))) f (t) dt = 6

7 A je to. b = H(f(t)) f (t) dt KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY 2.DRUHU DEFINIE. Necht je dán rovinná po částech hldká orientovná křivk funkcemi ϕ, ψ n intervlu [, b] funkce f n s hodnotmi v R 2 se souřdnicemi (f, f 2 ). Pk se definuje křivkový integrál 2.druhu funkce f podle křivky jko ( f(s). dt = f (x, y) dx + f 2 (x, y) dy ) b ( = f (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) + f 2 (ϕ(t), ψ(t))ψ (t) ) dt. První dv integrály jsou ekvivlentní formy zápisu křivkového integrálu 2.druhu, třetí integrál je jeho definice pomocí obyčejného integrálu reálné funkce jedné proměnné n intervlu. Bude-li funkce f s hodnotmi v rovině nebo prostoru chápán jko vektor, bude se též znčit tučně jko f. Pro křivku uvžujeme bod křivky jko vektor t(t) = (x(t), y(t)). Pk formálně získáme vektor dt = ( dx, dy). Zde dx/ dt = ϕ (t) dy/ dt = ψ (t), odtud vyjádříme dx dy použijeme následně substituci ve tvru dt = ( dx, dy) = (ϕ (t), ψ (t)) dt = τ dt. Tedy t = (ϕ(t), ψ(t)) dt = (ϕ (t), ψ (t)) dt = τ(t) dt b f(s). dt = f((ϕ(t), ψ(t)).τ(t) dt. Pokud má smysl prvá strn tk pltí. f. dt = f. dt. Je-li f funkce + D R 2, pk f dt = f dt. +D +D Příkld. Spočtěte křivkový integrál 2.druhu z funkce ( y 2, xy) po obvodu čtverce s vrcholy (0, 0), (, 0), (, ), (0, ). Příkld. Spočtěte integrál (y dx + z dy + x dz) přes vhodnou křivku. Příkld. Zintegrujte konstntní vektorové pole přes uzvřenou křivku n obrázku. GREENOVA VĚTA b f (x) dx = f(b) f(). Křivkový integrál 2.druhu po uzvřené křivce se čsto znčí symbolem chápe se přes kldnou orientci křivky (tj. proti směru pohybu hodinových ručiček). 7

8 VĚTA. (Green) Necht H je otevřená množin v rovině obshující jednoduše uzvřenou křivku i s jejím vnitřkem ι f = (f, f 2 ) je funkce H R 2 mjící spojité prciální derivce n H. Pk pltí ( f2 (f (x, y) dx + f 2 (x, y) dy) = ι x f ) Greenovu větu lze psát f.dt = (f (x, y) dx + f 2 (x, y) dy) = ι ( f2 x f ) N levé strně se integruje ve skutečnosti sklární součin funkce f tečného vektoru τ = ( dx, dy) ke křivce. N prvé strně se integruje rotce vektorové funkce. Jestliže se Greenov rovnost použije n pomocnou funkci ( f 2, f ), dostává se vzorec ( f f.dn = (f (x, y) dy f 2 (x, y) dx) = i x + f ) 2 N levé strně se integruje ve skutečnosti sklární součin funkce f normály n = ( dy, dx) ke křivce, znčíme nlogicky f.dn. N prvé strně se integruje divergence vektorové funkce. VĚTA. (Greenov vět v obecném tvru) Necht G je otevřená souvislá množin, která má z hrnici konečně mnoho disjunktních, jednoduše uzvřených křivek H otevřená množin obshující G. ( Necht f = (f, f 2 ) je funkce H R 2 mjící spojité prciální derivce. Pk pltí ( f2 (f (x, y) dx + f 2 (x, y) dy) = G x f ) Stejně jko u zákldní verze Greenovy věty lze vzorec psát ve tvru ( f (f (x, y) dy f 2 (x, y) dx) = G x + f ) 2 Příkld. Použijte Greenův vzorec n mezikruží {(x, y); r < x 2 + y 2 < R}, kde 0 r < R pro funkci y x x 2 +y 2 ). x 2 +y 2, POUŽITÍ KŘIVKOVÝH INTEGRÁLŮ. Délk po částech hldké křivky je rovn ds. 2. Hmotnost tenkého drátu mjícího tvr po částech hldké křivky, který má v bodě s hustotu h(s), je rovn h(s) ds. 3. Těžiště tenkého drátu mjícího tvr po částech hldké křivky, který má v bodě s hustotu h(s), má souřdnice (T x, T y ), kde (m znčí hmotnost drátu) T x = xh(s) ds, T y = yh(s) ds. m m V integrálech se musí z x, y, s dosdit příslušné výrzy podle toho, jk je křivk popsán. Čittelé ve vzorcích pro těžiště drátu jsou (sttické) momenty drátu vzhledem k osám y nebo x resp. První dvě položky pltí i v prostoru beze změny. Pro těžiště se přidá nlogický třetí výrz pro T z, což je moment křivky vzhledem k rovině xy. 8

9 N zákldě Greenovy věty lze nyní uvést nové vzorce pro výpočet obshu některých rovinných množin. Necht G je jednoduchá množin. Její obsh je roven G dx dy, tj. integrálu z funkce identicky rovné n G. Aby bylo možné použít Greenův vzorec, musí se vzít tkové funkce f, f 2 mjící spojité prciální derivce n G, by f x + f 2 =. Nbízí se několik možností, npř. f (x, y) = x, f 2 (x, y) = 0, nebo nopk f (x, y) = 0, f 2 (x, y) = y nebo symetricky zvolené funkce f (x, y) = x/2, f 2 (x, y) = y/2. S(G) = x dy = y dx = (x dy y dx). 2 Příkld. Spočtěte plochu elipsy pomocí křivkového integrálu. Řešení. Pomocí Greenovy věty určíme obsh G plochy G uvnitř elipsy x y2 b 2 =. Elipsu budeme prmetrizovt modifikovnými polárními souřdnicemi x = ϕ(t) = cos t, y = ψ(t) = b sin t, t [ π, π]. Zvolme funkci f = (f, f 2 ), kde funkce jsou dány vzthy f (x, y) = y, f 2 (x, y) = x. Podle Greenovy věty dostáváme ( f2 (x, y) f (x, y) dx + f 2 (x, y) dy = f ) (x, y) dx dy = 2 dx dy. G x G Jelikož G = dx dy, G hledný obsh G pk bude roven G = y dx + x dy = π (( b sin t)( sin t) + ( cos t)(b cos t)) dt = πb. 2 2 π Příkld. Njděte těžiště cykloidy x = (t sin t), y = ( cos t), t [0, 4π]. 9