ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

Transkript

1 Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S. Dskrétní náhodná velčna může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Spojtá náhodná velčna může nabývat všech hodnot z nějakého ntervalu (doba bezporuchového chodu zařízení, výška náhodně vybraného člověka) Dskrétn tní náhodná velčna na Házejme mncem, které umíme rozlšt, např. pětkorunou, desetkorunou a dvacetkorunou českou. Na každé mnc může padnout líc (L) nebo rub (R). Určete prvky množny všech možných výsledků. n = V () = = Nechť udává počet líců. Pak je dskrétní náhodná velčna, která může nabývat hodnot 0,,,. Určeme její rozdělení

2 Dskrétn tní náhodná velčna na n = V () = = = 0) = = 0,5 = ) = = 0,75 = ) = = 0,75 = ) = = 0,5 { LLL, LLR, LRL, RLL, RRR, RRL, RLR, LRR} Dskrétn tní náhodná velčna na Hustota Dstrbuční pravděpodobnost funkce n = V () = = = 0) = = 0,5 = ) = = 0,75 = ) = = 0,75 = ) = = 0,5 pdf(x) 0,4 0,5 0, 0,5 0,50, 0,5 0, 0, F() pdf(x) 0,5 0,5 0,75 0,75 0,75 0,5 xx ( = x) ; F( x = x) f ( x) = P ) E( ) = ; V ( ) = ; RSD = 4

3 Dskrétn tní náhodná velčna na x sázíme 00 Kč na líc. Určete pst všech možností. 0,5 Rozdělení pravděpodobnost = 00) = = 0,5 = 00) = = 0,75 = 00) = = 0,75 = 00) = = 0,5 pdf(x) 0,4 0, 0, 0, pdf(x) 0,5 0,75 0,75 0,5 x ( ) = 5000 = E ( ) = 0; V ; RSD Náhodná velčna na Proměnná, jejíž hodnota je určena výsledkem náhodného pokusu. Každému el. jevu E z prostoru všech jevů S přřadíme reálnéčíslo (E), takové, že pro každé reálnéčíslo a je jevem množna Dskrétní náhodná velčna (množna hodnot je konečná, nebo spočetná) je popsána pravděpodobnostní funkcí a)=(e)=a), nebo dskrétní dstrbuční funkcí Spojtá náhodná velčna (množna hodnot je nterval I R) dstrbuční funkce F(x) F( x) = x) hustota pravděpodobnost f(x) x b F( x) = f ( u) du F( b) F( a) f ( u) du { E; ( E a} A = ) = a

4 Středn ední hodnota a rozptyl Střední hodnota dskrétní náhodné velčny spojté náhodné velčny E[ x] = x = x ) E[ ] = x f ( x) dx vlastnost střední hodnoty: E[c.] = c.e[] E[+Y] = E[] + E[Y] E[.Y] = E[]. E[Y] pro, Y nezávslé Rozptyl dskrétní náhodné velčny spojté náhodné velčny ( ) V [ x] = x E[ ] = x ) ( ) V [ ] = x E( ) f ( x) dx Vybrané rozložen ení pravděpodobnost podobnost Dskrétní rozdělení pravděpodobnost Bnomcké Geometrcké Possonovo Spojté rozdělení pravděpodobnost Rovnoměrné Normální Exponencální Erlangovo 4

5 Geometrck cké rozdělen lení dskrétn tní náhodné velčny ny Počet pokusů do prvního úspěšného výsledku. Expermenty jsou nezávslé, pravděpodobnost úspěchu je dána p. p = = ) = p ( p) E[ ] = p p V[ ] = p p=/4 Příklad: Zařízení kontrolujeme pravdelně jednou za hodnu. Pravděpodobnost, že se za hodnu zařízení nepokazí je 0,9. Určete pravděpodobnost, že k chybě zařízení dojde př šesté kontrole. Určete průměrnou dobu bezvadného chodu. p = 0, P 5 ( = 6) = 0, (0, 9) = 0, 059 E[ ] = = 0 ( hod ) 0. Bnomcké rozdělen lení dskrétn tní náhodné velčny ny Nechť je počet úspěšných výsledků z n provedených nezávslých expermentů, kde pravděpodobnost úspěšného výsledku je dána p, potom n n p = = ) = p ( p) E[ ] = n p V[ ] = np p ( ) 5

6 Bnomcké rozdělen lení dskrétn tní náhodné velčny ny Nechť je počet úspěšných výsledků z n provedených nezávslých expermentů, kde pravděpodobnost úspěšného výsledku je dána p, potom n n p = = ) = p ( p) E[ ] = n p V[ ] = np p ( ) Příklad: Test obsahuje 0 otázek s výběrem z 5 možných odpovědí.. Určete pravděpodobnost, že student nezaškrtne an jednu odpověď správně = 0) = 0, 5. Určete pravděpodobnost, že všechny odpověd budou správné P ( = 0) = 0, Určete pravděpodobnost, že student zvolí alespoň 7 odpovědí správně 4. Určete průměrný počet správných odpovědí ( ) = ( = ) + ( = ) + ( = ) + ( = ) P 7 P 7 P P 9 P 0 0, E ( ) = 0 = 5 Bnomcké rozdělen lení v Excelu 6

7 Possonovo rozdělen lení dskrétn tní náhodné velčny ny počet výskytů sledovaného jevu v určtém časovém ntervalu t, jestlže posloupnost časových okamžků sledovaného jevu tvoří ordnální homogenní proces s nezávslým přírůstky (Elementární tok). k ( λ t ) λ t = = E[ ] = λ t P ( N ( t) k ) e k! Possonovo rozdělen lení dskrétn tní náhodné velčny ny Pokud n, np=λ, pak náhodná velčna s bnomckým rozdělením konverguje k Possonovu rozdělení Bnom( n, p) Posson( n p) P E ( = k ) [ ] = λ k λ e = k! λ np=5 n=0 n=0 n=000 7

8 Possonovo rozdělen lení v Excelu Rovnoměrn rné rozdělen lení spojté náhodné velčny ny f ( x) = ; a x b b a ( a + b) a + b E[ ] = ; V[ ] = Příklad: Tramvaje jezdí pravdelně každých 5 mnut. Na zastávku přjdeme náhodně.. Určete pravděpodobnost, že budeme čekat nejvýš mnutu. Určete průměrnou dobu čekání f ( x) = ; 0 x 5 5 x < ) = dx = x 5 = E[ ] = ; 0 0

9 Exponencáln lní rozdělen lení spojté náhodné velčny ny λx f ( x) = λe ; 0 x F( x) = e E[ ] = ; V[ ] = λ λ λx Příklad:. Doba dvou po sobě následujících jevů je exponencálně rozdělená náhodná velčna s parametrem λ. Určete průměrný počet jevů za časovou jednotku. E[ T ] = λ. Doba bezvadného chodu nového automoblu je náhodná velčna =/0 [rok]. a) Určete pravděpodobnost, že se do 5 let neobjeví žádná závada. 0 ( 5) ( 5) x P = F = e = e = 0,606 b) Určete průměrnou dobu bezvadného chodu auta. E[ T ] = = 0 ( let) 0. Exponencáln lní rozdělen lení v Excelu 9

10 Erlangovo rozdělen lení spojté náhodné velčny ny ~ Erlang(λ,k) k λx ( λx) k k f ( x) = λe ; 0 x E[ ] = ; V[ ] = ( k )! λ λ Součet k nezávslých náhodných velčn, jež mají všechny exponencální rozdělení ~exp(λ) je Erlangovo rozdělení ~ Erlang(λ,k) Normáln lní rozdělen lení spojté náhodné velčny ny ~ N(µ,σ ) f ( x) = e πσ ( x µ ) σ Počet bodů z testu ntelgence σ = 5, µ = 00 0

11 Normáln lní rozdělen lení v Excelu Studentovo rozdělen lení Pokud má proměnná normální rozdělení, pak proměnná µ Z = σ má normované normální rozdělení. Průměr náhodného výběru má normální rozdělení se směrodatnou odchylkou σ σ = n Odchylku σ většnou neznáme, ale můžeme j odhadnout pomocí výběrové směrodatné odchylky s. Proměnná t má Studentovo t rozdělen lení. µ t = s

12 Studentovo rozdělen lení U N (0,) V χ ( n) n = 0 n = n = Obr. t-dstrbuce pro různé stupně volnost n. Pro n=, t dstrbuce je dentcká s normální dstrbucí. Studentovo rozdělen lení v Excelu

13 χ rozdělen lení Součet kvadrátů proměnné s normálním rozdělením. Domácí úkol - Centráln lní lmtní věta Centrální lmtní věta označuje tvrzení, podle něhož (za určtých podmínek) se rozdělení výběrového průměru blíží k normálnímu rozdělení. O náhodné velčně s uvedeným chováním říkáme, že má asymptotcky normální rozdělení. WkpedE Např: Vygenerujte 00 hodnot náhodné velčny s rovnoměrným rozdělením na ntervalu (a,b) a vypočtěte průměr vzorku. Výběr 50 x opakujte. Nakreslete hstogram výběrových průměrů, vypočtěte průměr a směrodatnou odchylku. =NÁHČÍSLO()*(0-)+ =PRŮMĚR(data) =ČETNOSTI(data;horní meze ntervalů)

14 Domácí úkol Centráln lní lmtní věta Vygenerujte 00 hodnot náhodné velčny s rovnoměrným rozdělením na ntervalu (a,b) a vypočtěte průměr vzorku. Výběr 50 x opakujte. Nakreslete hstogram výběrových průměrů, vypočtěte průměr a směrodatnou odchylku. =NÁHČÍSLO()*(0-)+ =PRŮMĚR(data) =ČETNOSTI(data;horní meze ntervalů) Movreova-Laplaceova věta 4

15 Spojnce trendu x hustota pravděpodobnost podobnost 5