Odezva na obecnou periodickou budící funkci. Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti

Transkript

1 Odezva a obecou periodickou budící fukci Iva Períková Kaedra mechaiky, pružosi a pevosi

2 Obsah Fourierovy řady Odezva a polyharmoickou fukci Odezva a obecou periodickou fukci Odezva a jedokový skok Příklad odezva a obdélíkovou fukci 9.5.6

3 Fourierova řada a výpoče jejích koeficieů a F ( ) + a cos ω + b si ω + si ( ω + ϕ ) F F F Výpoče koeficieů a f ( ) cos( ω ) d b f ( ) si ( ω ) d pro,, pro, Vzahy mezi a, b, F, φ a F F a b a + ϕ arcg b

4 Odezva a polyharmoickoufukci Pro lieárí sysém plaí pricip superpozice, parikulárí řešeí je ve varu polyharmoické fukce, usáleá odezva je dáa součem odezev a jedolivé čley harmoické fukce N si ( ω + ϑ ) x x ( ϕ ) mx ɺɺ + bxɺ + kx F si ω + N

5 Odezva a periodickou sílu Periodická síla se opakuje v určiém iervalu je perioda, Rovice sousavy s supěm volosi F ( + ) F ( ) mx ɺɺ + bxɺ + kx F ( ) F() vyjádříme pomocí Fourierovy řady a F ( ) + a cos ω + b si ω ebo ve varu + si ( ω + ϕ ) F F F ( ω ϕ ) mx ɺɺ + bxɺ + kx F + F si + ω ω

6 Odezva a periodickou sílu Při řešeí aplikujeme pricip superpozice: F ) odezva sysému a kosaí sílu ) odezva a sílu F si ω + ϕ Jedá se o odezvu a harmoickou xp C fukci, řešeo v prezeaci s. xɺ ɺɺ x C volosi II. čás p p mx ɺɺ + bxɺ + kx F p p p kc F x p C F k ( ω ϕ ) mx ɺɺ + bxɺ + kx F + F si + x kde F / k ( η ) + ( ζη ) ( ω + ϕ ψ ) p si ω ω η η Ω Ω Ω k m

7 Odezva a periodickou sílu ψ Celkové řešeí je dáo součem ζη arcg η x x + x p p p + x x + x F k h p F / k ( η ) + ( ζη ) si ( ω + ϕ ψ ) Výpoče usáleé odezvy a periodickou fukci u sousavy s jedím supěm volosi je provede v sw Mahcad viz příklad

8 Odezva a impulzí sílu Impulzí síla je defiovaá jako síla, kerá má velkou hodou a působí ve velmi krákém čase. Impulzí síla a obr. působí a sousavu s jedím supěm volosi a obr.. Plaí difereciálí pohybová rovice: mx ɺɺ + bxɺ + kx F Po iegraci rovice v časovém iervalu (, ): mxd ɺɺ + bxd ɺ + kxd F d () Na velmi malém časovém iervalu (, ) jsou hodoy x aɺ x koečé, limiy. a 3. iegrálu v rovici () jsou ulové. mxd ɺɺ F d F() F N si ( ω + ϑ ) x x

9 Odezva a impulzí sílu mxd ɺɺ kde xɺ F d ɺɺ x dxɺ / d xɺ mdxɺ F d ( ɺ ɺ ) m x x F d ɺ x xɺ xɺ F ( ) d m xɺ kde je skoková změa rychlosi hmoy způsobeá působeím Impulzí síly, kerou azveme Impuls I a je defiová: I F d Pokud je Impuls rove jedé, je azývá jedokovým impulsem (jedokovým skokem) a dosáváme I ɺ x xɺ xɺ m Výsledek ukazuje, že působeí impulzí síly, kerá působí ve velmi krákém časovém iervalu a sousavu, kerá byla a počáku v klidu, může bý uvažová jako pohyb sousavy s počáečí rychlosí I/m a ulovou počáečí výchylkou. V omo případě jde o volé kmiáí sousavy s daou počáečí rychlosí.

10 Odezva a impulzí sílu mxd ɺɺ kde xɺ F d ɺɺ x dxɺ / d xɺ mdxɺ F d ( ɺ ɺ ) m x x F d ɺ x xɺ xɺ F ( ) d m xɺ kde je skoková změa rychlosi hmoy způsobeá působeím Impulzí síly, kerou azveme Impuls I a je defiová: I F d Pokud je Impuls rove jedé, je azývá jedokovým impulsem (jedokovým skokem) a dosáváme I ɺ x xɺ xɺ m Výsledek ukazuje, že působeí impulzí síly, kerá působí ve velmi krákém časovém iervalu a sousavu, kerá byla a počáku v klidu, může bý uvažová jako pohyb sousavy s počáečí rychlosí I/m a ulovou počáečí výchylkou. V omo případě jde o volé kmiáí sousavy (s podkriickým lumeím) s daou počáečí rychlosí.

11 Odezva a impulzí sílu Řešeí předpokládáme ve varu ζω x( ) Ce si( Ω + γ ) ζω xɺ ( ) ζωce si( Ω + γ ) + ζω + Ω Ce cos( Ω + γ ) kde C, γ jsou kosay, určeé s počáečích podmíek, Ω je vlasí frekvece, Ω D je vlasí frekvece lumeých kmiů, ζ je koeficie aladěí. Při aplikaci impulzí síly s lieárím impulsem I v čase, jsou počáečí podmíky: x, xɺ I m Odud počáečí výchylka vyjde a γ je. Z rovice pro rychlos dosáváme kosau C a výsledá výchylka je I ζ Ω x e si Ω mω j. x( ) I H kde fce H() se azývá impulzí přeosová fukce ζ H ( ) e Ω si Ω mω

12 Příklad určeí odezvy a obdélíkovou fukci

13 Nahrazeí fukce g() Fourierovou řadou

14 Usáleá odezva fukce g()

15 Usáleá odezva fukce g() Průběh usáleé odezvy a fukci g() pro prvích k-čleů řady k ; k 5