PRAKTIKUM II. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Název: Přechodové jevy v RLC obvodu. stud. skup.

Transkript

1 Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II. Úloha č. 18 Název: Přechodové jevy v RLC obvodu Pracoval: Lukáš Vejmelka stud. skup. FMUZV (73) dne Odevzdal dne: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při měření 0 5 Teoretická část 0 1 Výsledky měření 0 8 Diskuse výsledků 0 4 Závěr 0 1 Seznam použité literatury 0 1 Celkem max. 20 Posuzoval: dne

2 1 Zadání úlohy 1. Sestavte obvod podle obr. 1 a změřte pro obvod v periodickém stavu závislost doby kmitu T na velikosti zařazené kapacity C = (0,5 10) µf, R = 20 Ω. Výsledky měření zpracujte graficky a vyhodnoťte velikost indukčnosti L zařazené v obvodu. 2. Stanovte hodnoty aperiodizačních odporů pro několik hodnot kapacit zařazeného kondenzátoru (1 10 µf). I v tomto případě stanovte velikost indukčnosti L. 3. Změřte závislost relaxační doby obvodu RC na velikosti odporu a na velikosti kapacity v obvodu. Výsledky měření zpracujte graficky a porovnejte s teoretickými. 2 Teoretický úvod měření V této úloze budeme zkoumat chování sériového RLC obvodu. Ověříme typy časových průběhů proudu v závislosti na parametrech odporu, kapacitě a indukčnosti. Ukážeme, jak závisí perioda tlumeného kmitavého průběhu na kapacitě v obvodu řazené. Stanovíme závislost velikosti aperiodizačních odporů na kapacitě v obvodu. Z obou měření určíme indukčnost zapojené cívky. Tuto cívku nakonec z obvodu vyřadíme a budeme zkoumat časový průběh proudu v RC obvodu v závislosti na jeho parametrech R a C. [1] Zavedení potřebných veličin a vztahů Uvažujme sériový RLC obvod. Obvod nejprve připojíme ke zdroji, čímž dojde k nabití kondenzátoru. V okamžiku uzavření obvodu s takto nabitým kondenzátorem (již bez zdroje) lze pro napětí na jednotlivých prvcích psát 1 Idt + RI = L di C dt. (1) Zderivujeme-li rovnici (1) podle času, získáme homogenní lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty LÏ + R I + 1 I = 0. C (2) Označme útlumem výraz γ = R 2L a rezonanční frekvencí výraz ω 0 = 1 LC a nechť ω 2 = ω0 2 + γ 2 je úhlová frekvence. Napětí na nabitém kondenzátoru je ε. Rovnice (2) pak dává následující řešení [1]: ˆ Je-li ω0 2 > γ 2, pak hovoříme o periodickém stavu a průběh proudu vystihuje rovnice I(t) = ε ωl e γt sin ωt. (3) ˆ Je-li ω 2 0 = γ 2, pak hovoříme o mezně aperiodickém stavu a průběh proudu vystihuje rovnice I(t) = ε L e γt. (4) ˆ Je-li ω0 2 < γ 2, pak hovoříme o aperiodickém stavu a průběh proudu vystihuje rovnice I(t) = ε ωl e γt sinh ωt. (5) V případě periodického stavu lze pro periodu užitím vztahů pro ω, ω 0 a γ psát [1] T = 2π ω = 2π ω 2 0 γ 2 = 2π 1 LC ( ). (6) R 2 2L Z podmínky pro mezně aperiodický stav (4) obvodu vyplývá, že hodnota odporu v obvodu musí být vázána s ostatními parametry vztahem L R ap = 2 C. (7) Časový průběh proudu v sériovém RC obvodu lze popsat vztahem [1] I(t) = ε R e t RC = ε R e t τ, (8) kde jsme zavedli relaxační dobu τ = RC. V čase odpovídající relaxační době poklesne proud v obvodu na hodnotu I(0)/e. 2

3 2.1 Použité přístroje, měřidla, pomůcky Cívka Leybold L 9mH a jádro, kapacitní dekáda DK4S, odporová dekáda DR5/BCDEF, převodník a rozhraní pro ISES, počítač se softwarem, přepínač a vodiče. 2.2 Popis postupu vlastního měření Měření závislosti T = T (C) Sestavíme sériový RLC obvod s přepínačem umožňující nabití kondenzátoru a uzavření obvodu, dále zapojíme ISES rozhraní dle obrázku 1. Tím nebudeme sledovat přímo časový průběh proudu v obvodu, ale časový průběh napětí na rezistoru (odporové dekádě). Napětí na rezistoru je ve fázi s proudem; oproti průběhu proudu tedy bude odlišná pouze amplituda, tu ale znát nepotřebujeme. Pro kapacity od 0,5 µf do 10 µf a hodnotu odporu dekády 20 Ω zjistíme doby kmitu T. Tu určíme jako podíl časového intervalu odpovídajícího více period a počtu těchto period. Časové intervaly odečítáme v softwaru ISES. Pro zlepšení přesnosti a určení nejistoty odečtu můžeme pro danou kapacitu měření provést vícekrát a data statisticky zpracovat. Měření závislosti R ap = R ap (C) Pro kapacity z intervalu od 1 µf až 10 µf určíme hodnotu odporu R dek dekády, při které je obvod v mezně aperiodickém stavu. Tento stav nalezneme tak, že zvyšujeme tlumení (zvětšováním odporu) až do okamžiku, kdy nedojde k překmitnutí. Měření závislostí τ = τ(c), τ = τ(r) Závislosti relaxační doby RC série na kapacitě a odporu naměříme následovně. Zaznemenáme průběh napětí při vybíjení. Stejně jako u časového průběhu proudu zde očekáváme exponenciální závislost. Fitací exponciály získáme koeficient v exponentu, který souvisí s relaxační dobou. Tento koeficient naměříme pro různé hodnoty kapacity a odporu v obvodu. Obrázek 1: Schéma zapojení pro měření RLC sériového obvodu L představuje cívku s jádrem, C je kapacitní dekáda, R je dekáda odporová. V reálném uspořádání je obvod uzemněn automaticky zápornou svorkou přes rozhraní ISES a dále přes PC na zemnící kolík. 3

4 3 Výsledky měření 3.1 Laboratorní podmínky Teplota v laboratoři: 23,5 C Atmosférický tlak: 980,6 hpa Vlhkost vzduchu: 41,9 % 3.2 Způsob zpracování dat Měření závislosti T = T (C) Bylo-li měřeno více period pro danou kapacitu, nalezneme jejich aritmetický průměr. Vykreslíme závislost T = T (C). Teorie předpovídá závislost popsanou rovnicí (6). Budeme tedy regresně prokládat křivku 2π y =. (9) A x B2 Z regresních koeficientů A, B vypočítáme hledanou indukčnost a celkový odpor obvodu dle vztahů L = 1 A, R cel = 2BL. (10) Podle těchto vztahů určíme z chyb regresních koeficientů i nejistoty určení L a R. Neboť měření probíhá při hodnotě odporové dekády R 0 dek = 20 Ω, je v obvodu mimo dekády ještě jiný odpor R o = R cel R 0 dek. Měření závislosti R ap = R ap (C) Vykreslíme závislost R ap = R ap (C), kde R ap = R dek + R o je celkový odpor v obvodu daný součtem odporu na dekádě a ostatního odporu. Teorie předpovídá závislost popsanou rovnicí (7). Budeme tedy regresně prokládat křivku D y = 2 x, (11) kde hodnota regresního koeficientu D odpovídá indukčnosti v obvodu L. Nejistotu jejího určení vypočítáme z chyby regresního koeficientu D. Měření závislosti τ = τ(c), τ = τ(r) V ovládacím programu ISES rozhraní jsme fitovali exponenciální funkci průběhu napětí. Průběh proudu je sledovanému napětí na rezistoru přímo úměrný. Na základě rovnice pro proud (8) tak lze očekávat průběh napětí U(t) e t τ. (12) Budeme-li jednotlivým průběhům napětí fitovat exponenciálu s reg. koeficienty g, f ve tvaru y = fe gx, (13) bude relaxační doba přímo τ = 1 g. (14) Fitací přímek pro stejné parametry můžeme orientačně určit chybu měření relaxační doby τ. Nakonec vykreslíme hledané závislosti τ = τ(c), τ = τ(r). Závislostmi regresně proložíme lineární funkce s obecně nenulovým konstantním členem. Lineární závislost předpovídá vztah τ = RC, absolutní člen souvisí s dalším odporem mimo dekádu. 3.3 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty zachycuje tabulka 1. 4

5 Tabulka 1: Naměřené hodnoty, nejistoty měření a teoretické hodnoty pro úkoly 1 až 3. Úloha 1.: Doby kmitu a jejich chyby při jednotlivých kapacitách. R = 20 Ω C[µF] T 1 [ms] T 2 [ms] T1,2 [ms] δ T [ms] 0,1 1,03 1,03 1,03 < 0,01 0,3 1,79 1,82 1,80 0,02 0,5 2,34 2,33 2,34 0,01 1,0 3,26 3,28 3,27 0,01 3,0 5,68 5,71 5,70 0,02 5,0 7,45 7,31 7,38 0,07 Úloha 2.: Odpory na dekádě a aperiodizační odpor při různých kapacitách. C[µF] R dek [Ω] δ Rdek [Ω] R ap [Ω] δ Rap [Ω] 0, Úloha 3.: Regresní koeficienty, relaxační doba při různých odporech. C = 8 µf R[kΩ] g[s 1 ] τ[ms] δτ[ms] τ teor [ms] 1-122,4 8,2 0, ,1 16,1 0, ,3 24,2 0, ,9 32,4 0, ,8 40,3 0, ,6 48,5 1, ,8 56,2 1, ,4 64,9 1, ,4 80,6 1, ,9 113,0 2, ,9 144,9 2, ,0 199,6 4,0 200 Úloha 3.: Regresní koeficienty, relaxační doba při různých kapacitách. R = 5 kω R[kΩ] g[s 1 ] τ[ms] δτ[ms] τ teor [ms] 1-169,4 5,9 0, ,8 10,1 0, ,7 15,2 0, ,0 20,4 0, ,8 25,8 0, ,2 35,5 0, ,8 45,9 0, ,7 59,9 1,2 50 5

6 Změřené / odečtené hodnoty, hodnoty zadání Měření závislosti T = T (C) probíhalo při odporu dekády Rdek 0 = 20 Ω, Závislost τ = τ(r) byla měřena při kapacitě C τ = 8 µf, Závislost τ = τ(c) byla měřena při odporu R τ = 5 kω. 3.4 Zpracování dat, číselné a jiné výsledky Indukčnost ze závislosti T = T (C) Vykreslili jsme závislost T = T (C). Grafem jsme proložili křivku očekávané závislosti (9). Program QtiPlot vypočítal regresní koeficienty A,B a z těchto koeficientů a jejich chyb jsme určili indukčnost a sériový odpor obvodu dle vztahů (10) a jejich nejistoty. Statistické chyby byly přepočítány na chyby mezní. L = (0,272 ± 0,003) H, P 1, R cel = (54 ± 33) Ω, P 1. Kromě rezistoru v podobě odporové dekády je tedy v obvodu zřejmě další sériový odpor o velikosti R o = R cel R 0 dek = (34 ± 33) Ω, P 1. Při regresní fitaci programem QtiPlot jsem použil Nelder-Mead Simplex algoritmus s Arbitary vážením, tj. bylo přihlíženo k chybovým úsečkám jednotlivých experimentálních bodů. Indukčnost ze závislosti R ap = R ap (C) Vykreslili jsme závislost R ap = R ap (C), kde k naměřeným odporům R dek jsme připočetli ostatní odpor R o v obvodu, získaný z regrese úlohy 1. Závislostí jsme proložili křivku očekávaného typu (11). Program QtiPlot vypočítal regresní koeficient D a jeho chybu. Tento koeficient určuje přímo hledanou indukčnost L. Její nejistota je dána chybou regresního koeficientu. Statistická chyba byla přepočítána na chybu mezní. L = (0,288 ± 0,004) H, P 1. Při regresní fitaci program QtiPlot jsem použil Scaled Levenberg-Marquardt algoritmus s Arbitary vážením, tj. bylo přihlíženo k chybovým úsečkám jednotlivých experimentálních bodů. Závislost τ = τ(c) Vykreslili jsme závislost τ = τ(c). Tu jsme regresně proložili křivkou, kterou předpovídá teoretická závislost, tj. lineární funkcí dle (8), ale s absolutním členem, tj. y = αx + β. Naměřenou závislost nejlépe vystihuje rovnice τ = (0,1 + 8, {R}) ms, P 1, kde odpor R dosazujeme v jednotkách SI. Statistické relativní chyby koeficientů jsou ρ α = 0,01 a ρ β = 1,6. Z fitace obecné lineární funkce plyne, že pro nulový odpor dekády je relaxační doba nenulová, tj. τ(0) = β. Budeme-li předpokládat, že v obvodu není již žádná výraznější kapacita, je i nyní v obvodu další odpor R 0 = (13 ± 23) Ω, P 1, kde velká chyba je dána velkou nepřeností určení koeficientu β. Závislost τ = τ(r) Vykreslili jsme závislost τ = τ(r). Tu jsme regresně proložili křivkou, kterou předpovídá teoretická závislost, tj. lineární funkcí dle (8), ale s absolutním členem, tj. y = αx + β. Naměřenou závislost nejlépe vystihuje rovnice τ = (0,8 + 4, {C}) ms, kde kapacitu C dosazujeme v jednotkách SI. Statistické relativní chyby koeficientů jsou ρ α = 0,02 a ρ β = 0,17. 6

7 3.5 Grafické výsledky měření Sekce obsahuje všechny naměřené závislosti. V grafech jsou zakresleny chybové úsečky ve směru osy y, chyby ve směru osy x tj. chyby dekád nebo fitací v softwaru ISES jsou vzhledem k měřítku či velikosti bodů malé. V grafech jsou zakresleny regresní křivky, jejich rovnice jsou uvedeny v části zpracování dat. V případě, kdy to má smysl, jsou vykresleny i teoretické závislosti. 9 Graf 1: Závislost doby kmitu na velikosti zařazené kapacity T [ms] Experimentální body Regresní fit očekávané závislosti C[µF] Graf 2: Závislost velikosti aperiodizačního odporu na kapacitě Experimentální body Fit očekávané závislosti Rap[Ω] C[µF] 7

8 Graf 3: Závislost relaxační doby RC série na odporu R 200 Experimentální body Teoretická závislost Lineární regrese 150 τ[ms] R[kΩ] Graf 4: Závislost relaxační doby RC série na kapacitě C Experimentální body Teoretická závislost Lineární regrese 30 τ[ms] C[µF] 8

9 4 Diskuze výsledků Komentáře ke grafům Graf 1. Graf představuje závislost doby kmitu na kapacitě volené na kapacitní dekádě v sériovém RLC obvodu. Chyby ve směru osy y reprezentují odchylku dvou naměřených hodnot při stejných parametrech. Závislostí je proložena křivka dle teoretického průběhu. Vidíme, že perioda s rostoucí kapacitou roste. Pro malé kapacity roste rychleji, než pro kapacity vyšší. Graf 2. V grafu je zanesena závislost aperiodizačního odporu, tj. celkového odporu v obvodu, nikoliv pouze odporu dekády, na vložené kapacitě. Chybové úsečky jsou poměrně velké, nepřesnost je dána komplikovaným určením mezního aperiodického stavu obvodu. Grafem je proložena mocninná křivka dle teorie. Pro malé kapacity potřebný aperiodizační odpor prudce klesá, dále pak klesá střídměji. Graf 3. Zde je zobrazena závislost relaxační doby tj. doby, za kterou poklesne proud na jednu e-tinu maximálního proudu, na odporu dekády R. Regresní přímka, teoretická křivka a experimentální body se velmi dobře shodují. Z grafu je patrné, že kondenzátoru trvá déle, vybíjí-li se přes rezistor s vyšším odporem. Graf 4. Zde je opět zobrazena závislost relaxační doby, tentokrát na kapacitě dekády C. Regresní přímka, teoretická křivka a experimentální body si opět velmi dobře odpovídají. Je zde opět patrna základní vlastnost kondenzátory s vyšší kapacitou se při dané hodnotě odporu vybíjejí déle. Další diskuze V úloze 1 se dopouštíme chyby při odečítání period v ISES softwaru maximálně 3 % (mezní chyba). Pokud bychom odečítali samotnou periodu, dopouštěli bychom se chyby mnohonásobně větší. Výslednou indukčnost jsme určili s chybou asi 1 %, jejíž původ je v regresní analýze. Reálná chyba může být vyšší, měření mohlo být zatíženo další systematickou chybou např. kapacita i jinde, než v dekádě. V úloze 2 byl velký problém rozeznat mezní aperiodický případ, nalezení hodnoty vhodného odporu bylo díky šumu velmi náročné. Chyba určení tohoto odporu je až 6 %, k tomu se pak přidává chyba určení R o ostatního odporu v obvodu, získaného z regrese úlohy 1. V úloze 3 jsme opakovaným proměřením RC obvodu se stejnými parametry zjistili, že se dopouštíme chyby v určení relaxační doby pouze kolem 1,5 %. Na měřené cívce byla napsána indukčnost L 9 mh. Při měření bylo ověřováno, zda-li zjištěné aperiodizační odpory odpovídají teoretickým hodnotám podle tohoto parametru. Hodnoty samozřejmě neodpovídaly, neboť bylo opomenuto, že cívka měla jádro a její indukčnost tak byla při daném uspořádání vyšší, jak z naměřených dat vyplývá dokonce třicetkrát. Systematická chyba v podobě rozloženého ohmického odporu v celém obvodu, tj. odpor nebyl soustředěn pouze v odporové dekádě, byla dle možností vyloučena regresním nalezením celkového odporu. Znalost odporu zbylé části obvodu byla použita ke korekci hodnot v druhé úloze. Byť byl ohmický odpor v RC obvodu odpojením cívky mnohem menší, jeho zanedbání jsme použitím obecné lineární funkce vyloučili i zde. Indukčnosti byly určeny jednak ze závislosti T = T (C), jednak R ap = R ap (C). Ač jsou nejistoty jejich určení velmi podobné, větší váhu přikládám prvnímu měření. Druhé měření bylo komplikované z hlediska detekce mezního aperiodického stavu. Dále byl také pro přepočet odporů použit velmi nepřesně určený regresní koeficient z první úlohy. V žádném z případů však nebyla pro chybu měření omezující přesnost dekád. 9

10 5 Závěr Zatímco indukčnost samotné cívky udává výrobce 9 mh, s jádrem má tatáž cívka indukčnost L = (0,272 ± 0,003) H, P 1, což je hodnota naměřená v úloze 1. Analýza dat úlohy 2 dává podobnou hodnotu L = (0,288 ± 0,004) H, P 1. Regresní analýzou jsme zjistili, že celkový odpor je pravděpodobně větší, než vlastní odpor dekády R cel = (54 ± 33) Ω, P 1, což je dáno přítomností vinutí cívky, průpojných vodičů a přechodových odporů. Závislosti relaxační doby RC obvodu na odporu při C = 8 µf, nejlépe vystihuje rovnice τ = (0,1 + 8, {R}) ms. Závislosti relaxační doby RC obvodu na kapacitě při R = 5 kω nejlépe vystihuje rovnice τ = (0,8 + 4, {C}) ms. Doba kmitu s rostoucí zařazenou kapacitou v sériovém RLC obvodu roste, aperiodizační odpor klesá. Časová konstanta sériového RC obvodu s rostoucím odporem i kapacitou roste lineárně. Naměřené závislosti jsou zaneseny v grafech 1, 2, 3 a 4. Seznam použité literatury [1] ZFP II MFF UK Praha: Fyzikální praktikum, studijní text. ( ). 10