Využití korelace v rezervování povinného ručení

Transkript

1 INSURANCE Využití korelace v rezervování povinného ručení Ondřej Bušta, Actuarial services 7. prosince 2007 ADVISORY 1

2 Agenda Nástin problému Majetkové škody Zdravotní škody Korelační analýza a riziko pojistného Nejlepší odhad rezerv 2

3 Nástin problému Různý charakter majetkových a zdravotních škod Zpoždění v likvidaci Výše a volatility škod Řešení: Využití korelace mezi majetkovými a zdravotními škodami Předpoklady k využití korelace: Majetkové škody Kratší likvidace než u zdravotních škod Riziko chyby v odhadu rezervy malé ve srovnání s rizikem pojistného Korelace mezi majetkovými a zdravotními škodami 3

4 Nástin problému Nástroje: Volba teoretického rozdělení Měření korelace Agregační funkce (teorie kopul) Monte Carlo simulace 4

5 Některá zjednodušení (zdravotní škody) Zpoždění v likvidaci zdravotních škod nezávisí na riziku Nulový run-off od momentu hlášení prvního příznaku zdravotní škody Stejná distribuční funkce pro všechny zdravotní škody Žádné změny v likvidačním procesu Data jsou očištěna o vliv změn: Pojistných sazeb Škodní inflace Škodní frekvence 5

6 Příklad zadání Statutární výkazy Rok Pojistné RBNS majetek (stav 2006) RBNS zdraví (stav 2006) Nákladové procento 25% 6

7 Majetkové škody 7

8 Klasický odhad rezerv (I) Kumulativní trojúhelník výplat: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0 8

9 Klasický odhad rezerv (II) Analýza reziduí: Rezidua po vývojových letech 0,040 0,030 0,020 Reziduum 0,010 0,000-0, ,020-0,030-0,040 Vývojový rok 9

10 Rezervy: Analýza rozdělení Kumulativní trojúhelník výplat metoda chain ladder Analýza rozdělení zpoždění Porovnání rozdělení empirického zpoždění výplaty s teoretickým rozdělením Porovnání distribučních funkcí Q/Q diagram Kumulativní pnost 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0, Zpoždění (dny) Empirické rozdělení 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Empirické rozdělení Teoretické rozdělení Teoretické rozdělení 10

11 Rezervy: Stochastická simulace Předpoklad stejného rozdělení vývojových faktorů jako vlastního zpoždění Za předpokladu logaritmicko-normálního rozdělení: 14,0% 12,0% IBNR - majetkové škody Kvantil E(X) IBNR 41,2 Pravděpodobnost 10,0% 8,0% 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% IBNR 50% 75% 90% 95% 99,50% 40,5 82,3 119,5 145,0 211,9 11

12 Rezervy: Stochastická simulace Škodné procento pro rok poslední vývojový rok (2006) 35,0% 30,0% Expozice v riziku Kvantil E(X) Škodné procento 60,1% Pravděpodobnost 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% 5,0% 0,0% 40% 50% 60% 70% Škodní procento 50% 75% 90% 95% 60,1% 60,9% 61,6% 62,0% Rezervy 99,50% 63,2% 12

13 Pojistné: Analýza střední hodnoty Analýza škodných procent po letech vzniku: Rok Pojistné Škody Škodné procento 50,84% 56,85% 54,68% 63,05% 57,86% 53,41% 60,12% Výsledné hodnoty EX= 56,12% VarX=0,

14 Pojistné: Stochastická simulace Stochastická simulace škodného procenta Při předpokladu logaritmicko-normálního rozdělení škodného procenta (LN(-0,5806 ; 0,0056)): 35,0% 30,0% Expozice v riziku - pojstné a rezervy Kvantil E(X) Škodné procento 56,1% Pravděpodobnost 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% 5,0% 0,0% 40% 50% 60% 70% Škodní procento 50% 75% 90% 95% 56,0% 58,9% 61,6% 63,3% Rezervy Pojistné 99,50% 67,9% 14

15 Zdravotní škody 15

16 Klasický odhad rezerv (I) Kumulativní trojúhelník podle zaúčtování: ,3 516,3 525,5 526,8 531,2 531,2 531, ,2 457,6 484,9 484,9 486,5 486, ,7 342,7 362,3 367,7 369, ,8 726,2 756,3 759, ,9 435,1 461, ,7 250, ,7 16

17 Klasický odhad rezerv (II) Analýza reziduí: Rezidua po vývojových letech Reziduum 14,000 12,000 10,000 8,000 6,000 4,000 2,000 0,000-2,000-4,000-6, Vývojový rok 17

18 Zdravotní škody Kolektivní model rizika S = N i = 1 X i S úhrn škodných nároků N počet pojistných událostí X škodní nárok 18

19 Rezervy: Počty škod Trojúhelník počtu škod: ,0 42,0 45,0 46,0 47,0 47,0 47, ,0 50,0 55,0 55,0 56,0 56, ,0 38,0 41,0 43,0 43, ,0 55,0 58,0 60, ,0 51,0 56, ,0 40, ,0 19

20 Rezervy: Počty škod Analýza reziduí: Rezidua po vývojových letech Reziduum 3,500 3,000 2,500 2,000 1,500 1,000 0,500 0,000-0,500-1,000-1, Vývojový rok 20

21 21 Pojistné: Počty škod Doplněný trojúhelník: 51,5 50,5 50,5 50,5 49,8 48,5 44,9 7, ,8 44,9 44,9 44,9 44,3 43,2 40,0 7, ,4 58,2 58,2 58,2 57,4 56,0 51,0 7, ,1 60,8 60,8 60,8 60,0 58,0 55,0 10, ,9 43,0 43,0 43,0 43,0 41,0 38,0 4, ,1 56,0 56,0 56,0 55,0 55,0 50,0 10, ,9 47,0 47,0 47,0 46,0 45,0 42,0 5, Tail

22 Pojistné: Počty škod Analýza počtu škod po letech vzniku: Rok Dlouhodobý průměr: EN=52,7 VarN=59,91 Kmen (počet) Škody 47,9 57,1 43,9 62,1 59,4 45,8 51,5 22

23 Pojistné: Počty škod analýza rozdělení Ze vztahu E(N) a Var(N) zvoleno negativně binomické rozdělení : N NBi(301,96;0,85) 23

24 Pojistné: Výše škod Porovnání empirického rozdělení a teoretického rozdělení: Distribuční funkce Q-Q diagram 1 1 Pravděpodobnost 0,8 0,6 0,4 0,2 Teoretické 0,8 0,6 0,4 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 Škoda Empirické Teretické rozdělení Empirické rozdělení Teoretické rozdělení Empirické rozdělení Zvoleno zobecněné rozdělení: X Pareto(1;0,66; 200) 24

25 Pojistné: Stochastická simulace Stochastická simulace počtu škod a výše škod Nezávislost počtu na výši škody 14,0% 12,0% Expozice pojistného rizika Kvantil E(X) Škodné procento 10,3% Pravděpodobnost 10,0% 8,0% 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% 0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0% 25,0% Škodné procento 50% 75% 90% 95% 99,50% 9,9% 12,4% 15,1% 16,7% 21,2% 25

26 Korelace pojistné riziko 26

27 Korelační analýza Analyzujeme korelaci: Škodné procento majetkové škody Počet škod zdravotní škody 27

28 Korelační koeficienty Kendalovo tau: τ = 1 2 2P n( n 1) 1 Kde: n počet pozorování P = i< j sign [( X X )( Y Y )] i j i j Spearmanovo rho: ρ = 6 n i= n( n d 2 i 1) Kde: d rozdíl mezi pořadími n počet pozorování 28

29 Korelační koeficienty - výsledky Data po letech vzniku: Korelační koeficienty: Rok 2000 Majetkové škody 50,8% Zdravotní škody 47,9 τ = 60% ,9% 57, ,7% 63,1% 43,9 62,1 ρ = 77,1% ,9% 59, ,4% 45, ,1% 51,5 29

30 Agregace rizik Archimedovské kopuly: Název C α ( u, v) ϕ (t) α Clayton Frank Gumbel max 1 ( e ln 1+ α exp 1 1 α α α [ u + v 1] α,0 ( 1) αu 1)( e α e 1 αv 1) 1 α α [( lnu ) + ( ln v) ] α α α t [ 1, ) \ {} 0 ln e α e t (, ) \ {} 0 α ( lnt) α 1 1 [ 1, ) 30

31 Závislosti v koncích Různé kopuly pro 50% korelaci: Gaussian copula (linear dependence) Clayton (lower tail dependence) 1,1 1,1 1 1 MTPL (CR) 0,9 0,8 0,7 MTPL (CR) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,6 0,5 0,5 0,7 0,9 1,1 0,5 0,5 0,7 0,9 1,1 CASCO (CR) CASCO (CR) Frank copula (central dependence) Gumbell copula (upper tail dependence) 1,1 1,1 1 1 MTPL (CR) 0,9 0,8 0,7 MTPL (CR) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,5 0,7 0,9 1,1 CASCO (CR) 0,6 0,5 0,5 0,7 0,9 1,1 CASCO (CR) 31

32 Měření závislostí v koncích Neparametrický odhad distribuční funkce na datech: Kde: Z i = K( z) = Pr( Z z) pocet i [( X, Y ) kde X < X ay < Y ] i j n 1 Parametrický odhad pro jednotlivé kopuly: j i j i Kde: ϕ(z) ϕ' ( z) K ( z) = z ϕ( z) ϕ'( z) - generátor - derivace generátoru 32

33 Parametrické odhady K(z) pro jednotlivé kopuly: Clayton: z(1 + α K( z) = α z α ) Frank: K( z) αz 1 e 1 e ln α 1 e α = z αz Gumbel: K( z) = z( α ln z) α 33

34 Hodnocení závislostí v koncích Genest Rivest (1993): Genest-Rivest (1993) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 K(Zi) 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Zi Kz(Empirical) Kz(Clayton) Kz(Frank) Kz(Gumbel) 100% závislost 34

35 Pojistné: Celková simulace RAROC: Celková expozice v riziku - pojistné 7,00% 6,00% Pravděpodobnost 5,00% 4,00% 3,00% 2,00% 1,00% 0,00% výplaty Celkové výplaty Očekávaná hodnota Pojistné 99,5% interval spolehlivosti 35

36 Odhad rezervy 36

37 Rezervy: Majetkové škody - rekapitulace Standardní chain ladder Výsledky: 14,0% 12,0% IBNR - majetkové škody Kvantil E(X) IBNR 41,2 Pravděpodobnost 10,0% 8,0% 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% IBNR 50% 75% 90% 95% 99,50% 40,5 82,3 119,5 145,0 211,9 37

38 Rezervy: Zdravotní škody Trojúhelník na počty škod chain ladder x průměrná škoda Rok Neznámé škody Průměrná škoda IBNR rezerva ,9 10 9, , , ,9 10 8, , , , , , ,4 38

39 Rezervy: Zdravotní škody 2006 Majetkové škody: Zdravotní škody: Expozice v riziku - pojstné a rezervy Expozice pojistného rizika 35,0% 30,0% 14,0% 12,0% Pravděpodobnost 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% 5,0% Pravděpodobnost 10,0% 8,0% 6,0% 4,0% 0,0% 2,0% 40% 50% 60% 70% Škodní procento 0,0% 0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0% 25,0% Rezervy Pojistné Škodné procento Korelace majetkové vs. zdravotní škody: 39

40 Rezervy: Zdravotní škody 2006 Využití korelace zdravotních a majetkových škod: Výsledky simulace v okolí očekávaného procenta: Celkové škody Známe Neznáme Průměrná škoda IBNR rezerva 55,9 7 48, Stochastický přistup: Simulace počtu a výše škod využití vztahu střední hodnoty a rozptylu u počtu škod 40

41 Závěr 41

42 Závěr Co jsme odhadli? Předpověděli jsme objem zdravotních škod na základě vývoje majetkových škod Důvody proč? Korelace mezi zdravotními a majetkovými škodami Rozdílná doba likvidace mezi majetkovými a zdravotními škodami Matematický aparát Analýza zpoždění Volba teoretického rozdělení Korelační analýza Volba agregační funkce Monte Carlo simulace 42

43 Aplikace v praxi Data Matematický aparát Testování a kalibrace 43

44 Další využití Strategická analýza Náklady na kapitál a kapitálové požadavky 50,0% 45,0% RAROC 40,0% 35,0% 30,0% 25,0% 20,0% Capital Current Strategy 1 Strategy 2 Strategy 3 Strategy 4 44

45 Další využití Hodnocení zajistného programu Rozdělení zisku Porovnání zajistného a úhrad od zajistitelů Zisk 0 0 0,2 0,4 0,6 0, Mio ,2 0,4 0,6 0,8 Kumulativní pnost Kumulativní pnost Brutto zisk Netto zisk Platby zajistitele Cedované pojistné Tarifování produktů 45

46 Ondřej Bušta KPMG Česká republika The information contained herein is of a general nature and is not intended to address the circumstances of any particular individual or entity. Although we endeavor to provide accurate and timely information, there can be no guarantee that such information is accurate as of the date it is received or that it will continue to be accurate in the future. No one should act on such information without appropriate professional advice after a thorough examination of the particular situation. Informace zde obsažené jsou obecného charakteru a nejsou určeny k řešení situace konkrétní osoby či subjektu. Ačkoliv se snažíme zajistit, aby poskytované informace byly přesné a aktuální, nelze zaručit, že budou odpovídat skutečnosti k datu, ke kterému jsou doručeny, či že budou platné i v budoucnosti. Bez důkladného prošetření konkrétní situace a řádné odborné konzultace by neměla na základě těchto informací být činěna žádná opatření KPMG Česká republika, s.r.o., a Czech limited liability company and a member firm of the KPMG network of independent member firms affiliated with KPMG International, a Swiss cooperative. All rights reserved. Printed in the Czech Republic. 46