Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Pavel Pejřimovský. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Pavel Pejřimovský. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky"

Transkript

1 Uiverzita Karlova v raze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ RÁCE avel ejřimovský rofilová věrohodost Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce : Studijí program : Studijí obor : Ig. Marek Omelka h.d. Matematika Obecá matematika raha 2014

2 oděkováí Rád bych a tomto místě věoval poděkováí vedoucímu bakalářské práce Ig. Marku Omelkovi h.d. za jeho odboré rady a za to že si vždy ašel čas ke kozultaci.

3 rohlašuji že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatě a výhradě s použitím citovaých prameů literatury a dalších odborých zdrojů. Beru a vědomí že se a moji práci vztahují práva a poviosti vyplývající ze zákoa č. 121/2000 Sb. autorského zákoa v platém zěí zejméa skutečost že Uiverzita Karlova v raze má právo a uzavřeí licečí smlouvy o užití této práce jako školího díla podle 60 odst. 1 autorského zákoa. V de odpis autora

4 Název práce: rofilová věrohodost Autor: avel ejřimovský Katedra: Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Ig. Marek Omelka h.d. Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Abstrakt: Tato bakalářská práce se zabývá statistickou metodou zvaou profilová věrohodost. oužíváme ji apříklad při odhadováí ezámých parametrů za přítomosti rušivých parametrů sestavováí itervalů spolehlivosti ebo testováí hypotéz. rofilová věrohodost přímo vychází z metody maximálí věrohodosti která je jedou ze základích metod matematické statistiky při odhadováí ezámých parametrů. Z metody maximálí věrohodosti ještě vycházejí asymptotické testy a jejich případé zobecěí a testy s rušivými parametry. V této práci ukážeme že mezi profilovou věrohodostí a testy s rušivými parametry pauje jistá souvislost. Také ilustrujeme využití profilové věrohodosti a klasickém příkladě s ormálím rozděleím. Klíčová slova: Metoda maximálí věrohodosti itervaly spolehlivosti Title: rofile likelihood Author: avel ejřimovský Departmet: Departmet of robability ad Mathematical Statistics Supervisor: Ig. Marek Omelka h.d. Departmet of robability ad Mathematical Statistics Abstract: This thesis deals with a statistical method called profile likelihood. We use it i estimatig the ukow parameters i the presece of iterferig parameters compilig cofidece itervals or testig hypotheses for example. rofile likelihood is directly derived from the maximum likelihood method which is oe of the fudametal methods of mathematical statistics i estimatig the ukow parameters. The maximum likelihood method is the base for asymptotic tests ad their possible geeralizatio o tests with uisace parameters. I this work we show that there is some coectio betwee the profile likelihood ad tests with uisace parameters. It also illustrates the usage profile credibility of the classic examples of the ormal distributio. Keywords: maximum-likelihood estimatio cofidece itervals

5 Obsah 1 Odhad metodou maximálí věrohodosti Metoda maximálí věrohodosti Asymptotické testy Testy s rušivými parametry rofilová věrohodost rofilová věrohodost říklady Odhad metodou maximálí věrohodosti pro vektorový parametr (µσ 2 ) rofilová věrohodost Testové statistiky při H 0 : µ = µ Testové statistiky při H 0 : σ 2 = σ Iterval spolehlivosti pro µ při rušivém σ Iterval spolehlivosti pro σ 2 při rušivém µ Literatura 22 1

6 Úvod Úkolem této bakalářské práce je přiblížit statistickou metodu profilové věrohodosti kterou používáme apříklad při odhadováí ezámých parametrů za přítomosti rušivých parametrů sestavováí itervalů spolehlivosti ebo testováí hypotéz. rofilová věrohodost přímo vychází z metody maximálí věrohodosti které je věová úvod prví kapitoly kde jsou popsáy základí pricipy fugováí věrohodosti. Dále jsou zavedey asymptotické testy které z metody maximálí věrohodosti přímo vycházejí a shruty základí pozatky o ich. Závěr kapitoly se věuje testům s rušivými parametry které vímáme jako zobecěí asymptotických testů. Druhá kapitola pak představí právě profilovou věrohodost a ukáže souvislost mezi í a testy s rušivými parametry. Ve třetí kapitole je vše bohatě ilustrováo a příkladech s ormálím rozděleím. Jsou sestavováy testové statistiky pro profilovou věrohodost za platosti růzých hypotéz a kostruováy itervaly spolehlivosti pro růzé případy rušivých parametrů. Dosažeé výsledky jsou ásledě porováy. 2

7 Kapitola 1 Odhad metodou maximálí věrohodosti Na začátek zmiňme metodu ze které profilová věrohodost vychází. Jedá se o metodu maximálí věrohodosti.ve druhé části se podíváme a asymptotické testy a v závěru kapitoly zavedeme testy s rušivými parametry. Učiňme základí předpoklady. Buď X=(X 1 X 2...X ) T áhodý vektor s hustotou f X (xθ) vzhledem k ějaké σ-koečé míře µ kde θ Θ R m je ezámý m-rozměrý parametr m N který chceme odhadout. V dalším textu ebude-li řečeo jiak budeme uvažovat X jako výše zavedeý. 1.1 Metoda maximálí věrohodosti V této kapitole stručě popíšeme metodu maximálí věrohodosti a způsob jak tuto metodu použít. Defiice 1.1 Buď X=(X 1 X 2... X ) áhodý vektor kde X 1 X 2... X jsou ezávislé stejě rozděleé áhodé veličiy mající hustotou f(x i θ) θ Θ. ro pevá x se fukce f X (xθ) = f(x iθ) jakožto fukce θ azývá věrohodostí fukce. Defiice 1.2 Hodota θ parametru θ která maximalizuje věrohodostí fukci f X (xθ) pro daou hodotu áhodého vektoru X = x se azývá maximálě věrohodý odhad parametru θ. okud alezeme více bodů které maximalizují věrohodostí fukci pak si můžeme vybrat kterýkoliv z ich. Defiice 1.3 Fukci L(xθ) = l f X (xθ) jakožto fukce proměé θ pro daé X=x se azývá logaritmická věrohodostí fukce. ozámka: Hustotu áhodého vektoru X budeme pro jedoduchost začit f(xθ) a dále budeme předpokládat jako v defiici 1.1 že áhodé veličiy X 1 X 2... X jsou ezávislé stejě rozděleé. Fukce L(xθ) je fukce apozorovaých hodot. 3

8 Fukce L(Xθ) je áhodá veličia kterou ozačíme L(θ). okud ějaký bod maximalizuje věrohodostí fukci f(x iθ) pak maximalizuje i logaritmickou věrohodostí fukci L(θ) (logaritmus je ryze rostoucí fukce a tedy eměí argumet maxima). Za určitých předpokladů z difereciálího počtu (Jarík (1984) věta 215) lze maximálě věrohodý odhad hledat jako řešeí rovic: L(θ) = l f(x iθ) = 0 j = 1...m θ j θ j Tuto soustavu azýváme systém věrohodostích rovic. 1.2 Asymptotické testy Nyí se zabývejme otázkou kdy máme podezřeí že skutečá hodota parametru je rova θ 0. V takovémto případě můžeme testovat hypotézu H 0 : θ = θ 0. Abychom tak mohli učiit v co ejobecějším případě je potřeba se omezit a speciálí rodiu rozděleí tzv. regulárí systém hustot a zavést Fisherovu iformačí matici která bude hrát roli při sestavováí testových statistik. Defiice 1.4 Nechť X je áhodá veličia s hustotou f(xθ) a echť dále platí: θ Θ kde parametrický prostor Θ R m je eprázdá otevřeá možia. M = {x : f(xθ) > 0} ezávisí a θ. ro [µ] skoro všecha x M a pro všecha i = 1... m existují f(xθ) θ i := f i(xθ). ro všecha θ Θ a pro všecha i = 1... m platí M f i(xθ)dµ(x) = 0. ro každou dvojici (ij) existuje koečý itegrál f i(xθ) f(xθ) f j(xθ) f(xθ) f(xθ)dµ(x) =: J ij(θ). M Matice J(θ) := (J ij (θ)) m ij=1 je pozitivě defiití pro θ Θ. ak se {f(xθ); θ Θ} azývá regulárí systém hustot. Defiice 1.5 Matice J(θ) se azývá Fisherova iformačí matice pro áhodou veličiu X. Díky požadavku a vektor X z defiice 1.1 můžeme jeho Fisherovu iformačí matici kterou ozačíme J (θ) popsat pomocí jedé áhodé veličiy X i. latí J (θ) = J(θ) (Aděl (2011) věta 7.20). rvky Fisherovy iformačí matice áhodé veličiy X i lze také počítat jako: J ij (θ) = 1 E 2 l f(xθ) θ i θ j 4 = 1 E 2 L(θ) θ i θ j

9 pokud pro [µ] skoro všecha x M existuje: a pro θ Θ platí M f ij(xθ) := 2 f(xθ) θ i θ j f ij(xθ)dµ(x) = 0 Důkaz je uvede v kize (Aděl (2011) věta 7.27) ij = 1...m d ro další výklad připomeňme že symbolem X X máme a mysli kovergeci v distribuci poslouposti áhodých veliči X. Symbolem θ budeme začit maximálě věrohodý odhad závisející a. Následující věta hovoří o kozisteci odhadu získaého jako řešeí systému věrohodostích rovic ( θ θ 0 ) o asymptotické ormalitě derivace logaritmické věrohodostí fukce a o asymptotické ormalitě pro kozistetí odhady. Zaveďme ásledující začeí: ( L(θ) U(θ) =... L(θ) ) T θ 1 θ m je vektor parciálích derivací logaritmické věrohodostí fukce L(θ). Věta 1.1. Buď X áhodý vektor kde každá jeho složka X i má hustotu f(xθ) která je regulárím systém hustot. Nechť J(θ) je Fisherova iformačí matice pro jedu áhodou veličiu X i a echť dále platí ásledující předpoklady: 1 : Nechť Θ je parametrický prostor který obsahuje eprázdý otevřeý iterval I takový že skutečá hodota parametru θ I. 2 : Nechť θ 1 a θ 2 Θ. ak f(xθ 1 ) = f(xθ 2 ) [µ] skoro všude θ 1 = θ 2. 3 : Nechť existují parciálí derivace a pro všecha ijk = 1... m. 3 f(xθ) θ i θ j θ k pro [µ] skoro všecha x θ I 4 : ro θ I platí M f ij(xθ)dµ(x) = 0 ij = 1...m. 5 : ijk = 1...m existují ezáporé fukce H ijk (x) s koečou středí hodotou tedy EH ijk (X l ) < pro l = 1... a takové že 3 l f(xθ) θ i θ j θ k H ijk(x) pro všecha θ I a [µ] skoro všecha x M. ak platí: 5

10 1. Jestliže pak ε > 0 existuje s pravděpodobostí jdoucí k jedé takové řešeí θ systému věrohodostích rovic že θ θ < ε. 2. ro : 1 U(θ d ) N(0J(θ )). (1.1) 3. Existuje-li pro všecha dostatečě velká a pro každou hodotu X takový koře θ systému věrohodostích rovic že θ je kozistetím odhadem parametru θ pak ( θ θ ) Důkaz viz (Aděl (2011) věta 7.100) d N(0[J(θ )] 1 ). (1.2) Defiice 1.6 Řekeme že posloupost áhodých veliči Y je omezeá v pravděpodobosti pokud pro všecha ε > 0 existuje číslo K a idex 0 takové že ( Y K) 1 ε pro všecha 0 Nyí už můžeme defiovat testové statistiky díky imž budeme moci testovat hypotézu H 0 : θ = θ 0 proti alterativě H 1 : θ θ 0. LM(θ 0 ) = 1 [U(θ 0)] T [J(θ 0 )] 1 [U(θ 0 )] W (θ 0 ) = ( θ θ 0 ) T J( θ )( θ θ 0 ) [ ] LR(θ 0 ) = 2 L( θ ) L(θ 0 ) Věta 1.2 Za předpokladů věty 1.1 a spojitosti matice J(θ) v bodě θ 0 má každá áhodá veličia LM(θ 0 )W (θ 0 )LR(θ 0 ) za platosti H 0 : θ = θ 0 asymptoticky χ 2 m (chí kvadrát o m stupích volosti) rozděleí. Důkaz: ředpokládejme že skutečá hodota θ o LM(θ 0 ). odle (1.1) áhodý vektor 1 J 1/2 d (θ 0 )U(θ 0 ) N(0I) kde I začí jedotkovou matici typu m m. A tedy = θ 0. Jako prví dokážeme tvrzeí 1 [ J 1/2 (θ 0 )U(θ 0 ) ] T 1 J 1/2 (θ 0 )U(θ 0 ) = 1 [U(θ 0)] T [J(θ 0 )] 1 [U(θ 0 )] má asymptoticky podle (Aděl (2011) věta 4.15) χ 2 m rozděleí. Dále odvodíme rozděleí W (θ 0 ). odle (1.2) platí J(θ0 ) 1/2 ( θ θ 0 ) 6 d N(0I)

11 Dostaeme že [J(θ 0 ) 1/2 ( θ θ 0 )] T J(θ 0 ) 1/2 ( θ θ 0 ) = ( θ θ 0 ) T J(θ 0 )( θ θ 0 ) má opět χ 2 m rozděleí. Jelikož θ θ 0 a J(θ) je spojitá v bodě θ 0 pak i J( θ ) J(θ 0 ) (Aděl (2011) věta B9). J( θ ) je tedy kozistetí odhad J(θ 0 ). Za použití vícerozměré Cramér-Sluckého věty (va der Vaart (2000) lemma 2.8) dostáváme že veličia W (θ 0 ) má asymptoticky χ 2 m rozděleí. Zbývá dokázat tvrzeí o LR(θ 0 ). Za použití Taylorova rozvoje do třetího řádu dostáváme: L(θ 0 ) = L( θ ) + (θ 0 θ ) T L ( θ ) + 1 }{{} 2 (θ 0 θ ) T L ( θ )(θ 0 θ ) + = m m m j=1 k=1 3 L(ξ) θ i θ j θ k (θ 0i θ i )(θ 0j θ j )(θ 0k θ k ) (1.3) kde ξ je mezi θ 0 a θ a uvažujeme θ 0 = (θ 01...θ 0m ) T a θ = ( θ θ 0m ) T. Vztah (1.3) je ekvivaletí s [ ] LR(θ 0 ) = 2 L( θ ) L(θ 0 ) = (θ 0 θ ) T L ( θ )(θ 0 θ ) m m m j=1 k=1 Ze zákoa velkých čísel plye: 3 L(ξ) θ i θ j θ k (θ 0i θ i )(θ 0j θ j )(θ 0k θ k ). 1 L (θ 0 ) = 1 2 l f(x i θ 0 ) θ θ T J(θ 0 ). (1.4) o prvcích použijeme vícerozměrou Lagragerovu větu difereciálí počtu (Jarík (1984) věta 182): 1 2 L(θ 0 ) 1 2 L( θ ) = θ i θ j θ i θ j m 1 3 L(ξ k ) (θ 0k θ i θ j θ θ k ) (1.5) k kde ξ k je mezi θ 0 a θ pro ij = 1...m. o prvcích ukážeme že výraz k=1 1 3 L(ξ k ) θ i θ j θ k je omezeý v pravděpodobosti. Využijeme předpoklad 5 a silý záko velkých čísel: 1 3 L(ξ k ) 1 = θ i θ j θ k l=1 3 l f(x l ξ k ) θ i θ j θ k 1 H ijk (X l ) EH ijk (X 1 ) < l=1 7

12 pro ijk = 1...m. A tedy je skutečě výraz 1 3 L(ξ k ) omezeý v pravděpodobosti podle defiice 1.6. Z věty 1.1 máme že θ θ i θ j θ k k θ 0k 0 pro k = 1...m. roto pravá straa v (1.5) koverguje v pravděpodobosti k ule (va der Vaart (2000) str.12) z čehož dostáváme: Díky (1.4) a (1.6) dostaeme: Z (1.2) a (1.7) plye že výraz 1 L (θ 0 ) 1 L ( θ ) 0. (1.6) 1 L ( θ ) J(θ 0 ). (1.7) ( θ θ 0 ) T L ( θ )( θ θ 0 ) = ( θ θ 0 ) T [ 1 L ( θ )] ( θ θ 0 ) koverguje v distribuci k χ 2 m rozděleí. Zbývá ukázat že posledí čle v (1.3) jde k ule v pravděpodobosti. Teto čle můžeme zapsat ve tvaru: 1 3 m m j=1 k=1 m 1 3 L(ξ) (θ0i θ i θ j θ θ i ) (θ 0j θ j )(θ 0k θ k ). k Jak jsme ukázali výše výraz 1 3 L(ξ) θ i θ j θ k mezi θ 0 a θ. odle (1.2) víme že je omezeý v pravděpodobosti pro ξ ( θ θ 0 ) d N(0[J(θ 0 )] 1 ). A tedy podle (Aděl (2011) věta 7.90) je posloupost ( θ θ 0 ) omezeá v pravděpodobosti. S využitím θ θ 0 0 dostaeme celkový výsledek: 1 3 m m j=1 k=1 m 1 3 L(ξ) (θ0i θ i θ j θ θ i ) (θ 0j θ j )(θ 0k θ k ) k pro ijk = 1...m. Tím je tvrzeí dokázáo. 0 Test založeý a LM(θ 0 ) se azývá Raův skórový test. Test založeý a W (θ 0 ) se azývá Waldův test. Test založeý a LR(θ 0 ) se azývá Test poměrem věrohodosti. Všechy tyto testy zamítají H 0 a hladiě α pokud hodota áhodé veličiy příslušící k daému testu je větší rova χ 2 m(1 α) kde χ 2 m(1 α) je 1 α kvatil χ 2 rozděleí o m stupích volosti. 1.3 Testy s rušivými parametry Často se stae že při odhadováí vektorového parametru se budeme zajímat pouze o ěkteré dílčí parametry. Zbylé parametry budeme ozačovat za rušivé. 8

13 V této sekci popíšeme asymptotické testy s rušivými parametry. Ozačme: θ 1 θ k+1 τ = ; ϕ = θ k θ m pro 1 k < m. Zabývejme se hypotézou H 0 : τ = τ 0. V tomto případě ás tedy zajímá pouze vektor parametrů τ a vektor ϕ je zde rušivý. Chceme-li zát maximálě věrohodý odhad parametru θ za platosti H 0 : τ = τ 0 pak maximalizujeme věrohodostí fukci pouze pro rušivý parametr ϕ. Odhad parametru θ za platosti H 0 pomocí metody maximálí věrohodosti ozačíme: ( ) τ0 θ =. ϕ A dále můžeme psát vektor maximálě věrohodého odhadu: ( ) τ θ =. ϕ K zavedeí asymptotických testů s rušivými parametry budeme potřebovat umět ivertovat matice rozděleou do bloků. roto formulujme ásledující lemma: Lemma 1.3 Nechť ( ) J11 J J = 12 J 21 J 22 je regulárí matice přičemž bloky J 11 a J 22 jsou čtvercové a regulárí. oložme: J 11.2 = J 11 J 12 J 1 22 J 21 J 11 = J J 12 = J J 12 J 1 22 ak J 22.1 = J 22 J 21 J 1 11 J 12 J 22 = J J 21 = J J 21 J ( J J 1 11 J = 12 J 21 J 22 ). Důkaz viz (Aděl (2011) lemma 8.24) Nyí můžeme přistoupit k zavedeí testů s rušivými parametry. Nechť platí předpoklady věty 1.1 a Fisherova iformačí matice J(θ) je spojitá v bodě θ 0 a je rozdělea do bloků ásledujícím způsobem: ( ) J11 (θ) J J(θ) = 12 (θ) J 21 (θ) J 22 (θ) jako v lemmatu 1.3 matice J 11 je typu k k a J 22 typu m m. oložme U 1 (θ) = L(θ) θ 1 L(θ) θ k U 2(θ) = L(θ) θ k+1 L(θ) θ m 9

14 pak pro áhodé veličiy LM = 1 [ U 1 ( θ ] T [ ) J 11.2 ( θ ] 1 [ ) U 1 ( θ ] ) W = ( τ τ 0 ) T J 11.2 ( θ )( τ τ 0 ) [ LR = 2 L( θ ) L( θ ] ) kde matice J 11.2 je vytvořea stejým způsobem jako v lemmatu 1.3. Za platosti H 0 : τ = τ 0 a pro platí: LM d χ 2 k W d χ 2 k LR d χ 2 k. Z toho vyplývá že za platosti H 0 mají áhodé veličiy LM W LR asymptoticky χ 2 k rozděleí a proti hypotéze H 0 svědčí hodoty áhodé veličiy větší ebo rovy χ 2 k (1 α) (Aděl (2011) věta 8.25) 10

15 Kapitola 2 rofilová věrohodost Tato kapitola popíše jak fuguje profilová věrohodost. Využíváme ji jako další možost pro odhad dílčích parametrů za přítomosti rušivých parametrů ke kostrukci itervalu spolehlivosti ebo k testováí hypotéz. Tato metoda přímo vychází z metody maximálí věrohodosti. ředpokládejme že chceme odhadout z parametru θ = (θ 1... θ m ) T pouze prví složku θ 1 (zbylé složky parametru θ považujeme za rušivé). 2.1 rofilová věrohodost Ozačme Θ 1 (τ) = {θ Θ; θ 1 = τ}. Jedá se o možiu kde je zkoumaý parametr θ 1 fixí pro daé τ. Defiice 2.1 jako rofilová (logaritmická) věrohodostí fukce pro τ je defiováa L(τ) = max θ Θ 1 (τ) L(θ) kde L(θ) je logaritmická věrohodost z pozámky za defiicí 1.3 Dále buď ϕ = (θ 2 θ m ) T vektor rušivých parametrů a ϕ (τ) hodota která maximalizuje logaritmickou věrohodostí fukci L(θ) a možiě Θ 1 (τ). ϕ (τ) = arg max L(τϕ) ϕ Tedy ϕ (τ) je maximálě věrohodý odhad rušivých parametrů pro pevou hodotu θ 1 = τ. ak maximum profilové věrohodostí fukce L(τ) je dosahováo v bodě τ = θ 1 kde θ 1 je prví složkou maximálě věrohodého odhadu θ. V souvislosti se zavedeým začeí v kapitole 1.3 můžeme psát: L(τ) = max ϕ L(τϕ) = L(τ ϕ (τ)) (2.1) Ukážeme že k profilové věrohodosti můžeme přistupovat jako ke stadardí logaritmické věrohodosti. Zavedeme ásledující začeí: Ũ(τ) = L(τ) τ 11

16 ozámka: Z důvodu lepší přehledosti yí upustíme od obvyklého začeí kde jsme vektory ozačovali tučě budeme takto ozačovat i skaláry. latí: Ũ(τ) = L(τ) τ (2.1) = L(τ ϕ (τ)) τ = U 1 (τ ϕ (τ)) + U 2 (τ ϕ (τ)) }{{} =0 ϕ (τ). τ Druhý čle v derivaci je ulový pro všecha τ jelikož bod ϕ (τ) je argumet maxima logaritmické věrohodosti L(τ ϕ (τ)) a tedy je derivace v tomto bodě ulová. Všiměme si že čle U 1 (τ ϕ (τ)) v bodě τ 0 eí ic jiého ež U 1 ( θ ) zavedeé v kapitole 1.3. Zbývá se podívat čemu bude rova druhá derivace. Ozačíme išme tedy: 1 2 L(τ) 2 τ F(θ) = 1 2 L(θ) θ θ = T = 1 U 1 (τ ϕ (τ)) τ ( F11 (θ) F 12 (θ) F 21 (θ) F 22 (θ) ) = F 11 (τ ϕ (τ)) + F 12 (τ ϕ (τ)) ϕ (τ) τ Naším cílem bude vyjádřit ϕ (τ). Jak jsme ukázali výše je U 2 (τ ϕ (τ)) = 0 τ Derivujme obě stray podle τ : Odtud vyjádříme U 2 (τ ϕ (τ)) τ = F 21 (τ ϕ (τ)) + F 22 (τ ϕ (τ)) ϕ (τ) τ = 0 a dostaeme ϕ (τ) τ = F 1 22 (τ ϕ (τ))f 21 (τ ϕ (τ)) 1 2 L(τ) 2 τ = F 11 (τ ϕ (τ)) F 12 (τ ϕ (τ))f 1 22 (τ ϕ (τ))f 21 (τ ϕ (τ)) := F 11.2 (τ ϕ (τ)) Za stejých předpokladů jako ve větě 1.2 a podobou argumetací pomocí třetích derivací lze ukázat že F 11.2 (τ 0 ϕ (τ 0 )) J 11.2 (τ 0 ϕ (τ 0 )) kde J 11.2 (τ 0 ϕ (τ 0 )) byl zavede v kapitole 1.3. Za platosti H 0 : τ = τ 0 víme že θ a θ jsou kozistetí odhady θ 0. Tedy platí: F 11.2 ( θ ) J 11.2 (θ 0 ) F 11.2 ( θ ) J 11.2 (θ 0 ). odobě jako u asymptotických testů můžeme testovat hypotézu H 0 : τ = τ 0 pomocí áhodé veličiy: LR p = 2[ L( τ) L(τ 0 )]. 12

17 Všiměme si že teto tvar je stejý jako tvar áhodé veličiy LR = 2[L( θ ) L( θ )] zavedeý v kapitole 1.3. Z toho plye že áhodá veličia má za platosti H 0 asymptoticky χ 2 1 rozděleí. Tedy můžeme H 0 zamítout pokud hodota LR p je větší ebo rovo ež χ 2 1(1 α). omocí veličiy LR p lze defiovat iterval spolehlivosti pro parametr τ: {τ : L( τ) L(τ 0 ) 1 2 χ2 1(1 α)} (2.2) odíváme-li se a tvary testů s rušivými parametry z kapitoly 1.3 zjistíme že podobě jako jsme zavedli áhodou veličiu LR p můžeme zavést i ásledující veličiy: LM p = 1 T [ [Ũ1 (τ 0 )] F 11.2 ( θ 1 ] )] [Ũ1 (τ 0 ) W p = ( τ τ 0 ) T F 11.2 ( θ )( τ τ 0 ). Tyto áhodé veličiy mají opět χ 2 1 rozděleí díky kozisteci Fisherovy iformačí matice ve smyslu uvedeým v (Aděl (2011) ozámka 8.26). Když máme zavedeé testové statistiky pro profilovou věrohodost můžeme sado pomocí ich vytvořit itervaly spolehlivosti. Iterval spolehlivosti založeý a Waldově testu pro profilovou věrohodost vypadá takto: {τ : ( τ τ 0 ) T F 11.2 ( θ )( τ τ 0 ) χ 2 1(1 α)} (2.3) a založeý a Raově testu pro profilovou věrohodost takto: {τ : 1 T [ [Ũ1 (τ 0 )] F 11.2 ( θ 1 ] )] [Ũ1 (τ 0 ) χ 2 1(1 α)}. (2.4) 13

18 Kapitola 3 říklady V této kapitole ilustrujeme metody zmíěé v předchozích kapitolách a zkusíme je porovat. odíváme a ejzámější rozděleí a sice ormálí s parametry µ pro středí hodotu a σ 2 pro rozptyl. Náš parametr zde bude θ = (µσ 2 ). Nechť X i jsou ezávislé stejě rozděleé s hustotou ( 1 f(x i ) = exp (x ) i µ) 2 µ R σ 2 > 0. 2πσ 2 2σ Odhad metodou maximálí věrohodosti pro vektorový parametr (µσ 2 ) Budeme yí odhadovat oba parametry pomocí řešeí systému věrohodostích rovic. Sestavíme systém dvou věrohodostích rovic: ( ) ( 1 f(xµσ 2 ) = exp (X ) i µ) 2 (sdružeá hustota) 2πσ 2 2σ 2 L(µσ 2 ) = 2 l(2πσ2 ) (X i µ) 2 (logaritmická věrohodost) 2σ 2 1. rovice pro µ L(µσ 2 ) µ = (X i µ) σ 2! = 0 2. rovice pro σ 2 Z prví rovice sado dostaeme: L(µσ 2 ) = σ 2 2σ + (X i µ) 2! = 0 2 2σ 4 L(µσ 2 ) µ = X µ σ 2! = 0 µ = X (3.1) 14

19 Kde X = 1 X i je výběrový průměr. Druhá rovice má tvar: σ 2 = 1 σ 2 = 1 (X i µ) 2 s využitím (3.1) dostaeme vztah : (X i X) 2. (3.2) ro µ jsme dostali estraý a kozistetí odhad který se běžě používá. ro σ 2 jsme dostali asymptoticky estraý odhad který má však meší čtvercovou chybu ež estraý odhad S 2 = (X i X) 2. Tedy celkový odhad parametru (µσ 2 1 ) je (X (X i X) 2 ). 3.2 rofilová věrohodost Nyí se dostáváme k profilové věrohodosti budeme sestavovat iterval spolehlivosti popsaý v (2.2)(2.3) a (2.4) a odvodíme tvary testových statistiky LR p W p LM p Testové statistiky při H 0 : µ = µ 0 Jako prví se zabývejme případem kdy je pro ás σ 2 rušivé. Sestavíme příslušé statistiky: 1. LR p řipomeňme tvar LR p = 2[ L( µ) L(µ 0 )] který byl zavede ve druhé kapitole. Začěme s vytvořeím profilovou věrohodostí fukcí: L(µ) = L(µ σ 2 (µ)) = 2 l(2πσ2 ) (X i µ) 2 2 (X i µ) 2 } {{ } 2 L( µ) = L( µ σ 2 ) = 2 l(2π σ2 ) 2 L(µ 0 ) = L(µ 0 σ 2 ) = 2 l(2π σ2 ) 2 kde σ 2 = 1 (X i µ 0 ) 2 = σ 2 (µ 0 ) (3.3) je odhad σ 2 za platosti ulové hypotézy. Dále s využitím vztahů (3.2) (3.3) a právě spočteými hodotami dostaeme: LR p = l(2π σ 2 ) + l(2π σ 2 ) = l (X i µ 0 ) 2 σ2 (X = l i X) 2 σ. 2 15

20 2. W p Další statistika W p = ( µ µ 0 )F 11.2 ( θ )( µ µ 0 ) je obdobou Waldova testu. K tomu je zapotřebí zát F 11.2 (µ σ 2 ) = 1 2 L(µ) 2 µ. očítejme: L(µ) = 2 l(2π (X i µ) 2 ) 2 L(µ) = (X i µ) µ (X i µ) 2 2 L(µ) µ 2 = 2 (X i µ) }{{ 2 } σ 2 (µ) 2 ( (X i µ) ) 2 (X i µ) 2 } {{ } C(µ) Z toho dostávámeže F 11.2 (µ σ 2 ) = 1 + 2C(µ). Můžeme si všimout že σ 2 (µ) C( µ) = 0. Celkem dostaeme: W p = (X µ 0) 2 σ LM p osledí testová statistika LM p = 1 T [ [Ũ1 (τ 0 )] F 11.2 ( θ 1 ] )] [Ũ1 (τ 0 ) je obdobou Raova skórového testu. Napočítáme příslušou derivaci: a dosadíme LM p = 1 = 1 Ũ(µ 0 ) = L(µ) µ µ=µ 0 = (X i µ 0 ) σ 2 ( (X i µ 0 ) ) 2 σ 2 σ ( 1 (X i µ 0 ) 2 [ (X i µ 0 ) = 1 [(X µ 0 )] 2 ] 2 1 σ ( 1 1 σ 2 (X i µ 0 )) ( 1 (X i µ 0 )) 2 = (X µ 0) 2 1 σ ( 1 (X i µ 0 )) 2 Za platosti ulové hypotézy jde druhý čitatel v pravděpodobosti k jedé. (LM p (X µ 0) 2 0). }{{ σ 2 } LM pp 16

21 Nyí můžeme všechy 3 testy porovat: Využijeme-li přepisu výrazu σ 2 = 1 (X i µ 0 ) 2 = 1 (X i X) 2 + (X µ 0 ) 2 = σ 2 + (X µ 0 ) 2 a dosadíme do LR p = l σ2 σ 2 dostaeme LR p = l(1+ (X µ 0) 2 ). Rozvieme logaritmus do Taylorova σ 2 rozvoje kolem bodu (X µ 0) 2 který je za ulové hypotézy v pravděpodobosti rove ule. σ 2 Dostaeme: LR p (X µ 0) 2 σ 2 což je te samý výraz jako má tvar Waldova testu pro profilovou věrohodost. Srováme-li tyto dva testy ještě s tvarem veličiy LM pp = (X µ 0) 2 σ 2 vidíme že jediá změa je v odhadu σ 2 pomocí ulové hypotézy místo maximálě věrohodého odhadu Testové statistiky při H 0 : σ 2 = σ 2 0 Nyí se a celou situaci podíváme z druhého úhlu pohledu. Rušivé pro ás bude µ a budeme chtít odhadout σ LR p Opět odvodíme test poměrem věrohodosti pro profilovou věrohodost.začeme sestaveím profilové věrohodosti pro σ 2 : L(σ 2 ) = 2 l(2πσ2 ) (X i X) 2 2σ 2 LR p = 2( L( σ 2 ) L(σ 0)) 2 L( σ 2 ) = 2 l(2π σ2 ) (X i X) 2 2 σ 2 L(σ 0) 2 = 2 l(2πσ2 0) (X i X) 2 2σ 2 0 LR p = (l 2πσ 2 0 l 2π σ = (l σ 2 0 l σ 2 + σ2 σ 2 0 = (l σ2 σ σ2 σ 2 0 1). (X i X) 2 } {{ } σ 2 1) ) ( σ 2 σ0 2 ) σ0 σ

22 2. W p Zde je uté zova spočítat druhou derivaci profilové věrohodosti jelikož si parametry prohodily role. L(σ 2 ) = 2 l(2πσ2 ) (X i X) 2 2σ 2 L(σ 2 ) (X i X) 2 Z toho Máme že = σ 2 2σ L(σ 2 ) = σ 4 2σ 4 F 22.1 ( µσ 2 ) = 1 2σ 4 + 2σ 4 (X i X) 2 σ 6 (X i X) 2 σ 6 = 1 2σ 4. Celkem je tedy tvar Waldova testu pro profilovou věrohodost ve tvaru: W p = 2 σ 4 ( σ2 σ 2 0) LM p Zbývá udělat Raův test pro profilovou věrohodost. Napočítáme příslušé veličiy pomocí (3.1): Dostáváme: Ũ( θ) = využijeme (3.2) : L( θ) σ 2 = L( µσ2 0) σ 2 = + (X i X) 2. 2σ0 2 2σ0 4 LM p = 1 [ U 1 ( θ ] T [ ) F 22.1 ( θ ] 1 [ ) U 1 ( θ ] ) = 1 ( + (X i X) 2 ) 22σ 4 0 2σ 2 0 = ( 1 ) 2σ + σ2 4 2 σ0 2 σ = ( σ 2 σ 2σ 0) Opět můžeme všechy 3 statistiky porovat. okud bychom u veličiy LR p rozviuli logaritmus v bodě σ2 do Taylorova polyomu stupě 2 dostali σ0 2 bychom: (( σ2 LR p 1) + 1 ) ( σ2 1) 2 + σ2 1) = 2 ( σ 2 1) σ0 2 2 σ0 2 σ0 2 2 σ0 2 což je stejý výraz jako tvar testové statistiky pro Raův test. Rozdíl mezi Raovým a Waldovým testem jsou stejé jako u středí hodoty. 18 2σ 4 0

23 3.2.3 Iterval spolehlivosti pro µ při rušivém σ 2 Nyí budeme hledat iterval spolehlivosti pro µ 1. podle (2.2). Víme že LR p = l (X i µ 0 ) 2 (X i X) 2. řepíšeme-li teto výraz do itervalu spolehlivosti podle (2.2) a k tomu ozačíme 1 α kvatil χ 2 1 jako K pak dostaeme ( l (X i µ) 2 (X i X) K ).= 1 α 2 ( (X i µ) 2 (X i X) 2 exp K ).= 1 α ( (X i µ) 2 ( µ 2 2Xµ + ( µ 2 2Xµ + (X i ) 2 (X i) 2 1 (X i X) 2 exp K ).= 1 α (X i X) 2 exp K ).= 1 α (X i X) 2 exp K ).= 1 α. Vyřešíme-li kvadratickou rovici dostaeme iterval spolehlivosti ve tvaru: ( D D ) X 2 µ X + 2 kde D = 4X 2 4 (X i) 2 Dále pišme: + 4 exp( K ) (X i X) 2. D 4 = (X i X) 2 +exp( K ) (X i X) 2 Dostáváme: ( X σ K 2 µ X + σ K ) 2. Srováme s přesým itervalem spolehlivosti: = σ 2 (exp( K ) 1) σ2 K. ( X t 1 (1 α 2 ) S µ X + t 1 (1 α 2 ) S ) kde t 1 (1 α) je 1 α kvatil t rozděleí o 1 stupích volosti 2 2 které pro dostatečě velký počet stupňů volosti blíží ke kvatilu ormálího rozděleí u(1 α). Uvědomíme-li si že K = u(1 α ) vidíme velkou 2 2 podobost mezi asymptotickým a přesým itervalem spolehlivosti. 19

24 2. odle (2.4) a (2.3) Na základě spočteých veliči W p a LM p vytvoříme pouze iterval spolehlivosti vycházející z Waldova testu pro profilovou věrohodost (pro LM p bychom dostali obdobý výsledek). Iterval spolehlivosti o spolehlivosti 1-α založeý a Waldově testu má teto tvar: ( (X µ) 2 σ 2 {µ : W p χ 2 1(1 α)} χ 2 1(1 α) ). = 1 α ( (X µ) 2 σ2 χ2 1(1 α) ). = 1 α ( 2 σ X µ χ2 1(1 α) ). = 1 α ( 2 2 σ σ χ2 1(1 α) X µ χ2 1(1 α) ). = 1 α ( 2 2 σ σ X χ2 1(1 α) µ X + χ2 1(1 α) ). = 1 α Všiměme si že jsme obdrželi stejý iterval jako v předchozím případě což je v souladu s tvary testových statistik Iterval spolehlivosti pro σ 2 při rušivém µ Nyí budeme hledat iterval spolehlivosti pro σ 2 pomocí (2.3). Te je ve tvaru: očítejme: ( ( σ 2 {σ 2 : W p χ 2 1(1 α)} ( ṋ σ 2 ( σ2 σ 2 ) 2 χ 2.= 1(1 α)) 1 α (( σ 2 σ 2 ) 2 χ 21(1 ) α) σ2.= 1 α ( ) σ 2 σ 2 χ 2 1(1 α) σ2.= 1 α ) χ 2 1(1 α) σ2 σ2 σ 2 χ 2 1(1 α) σ2.= 1 α ) χ 2 1(1 α) σ2 σ2 σ 2 + χ 2 1(1 α) σ2.= 1 α Na závěr uveďme přesý iterval spolehlivosti : (( 1)S 2 χ 2 1( α 2 ) σ2 ( 1)S2 χ 2 1(1 α 2 ) ). Na prví pohled epozorujeme ějakou podobost smíříme se tedy s tím že jsme dostali asymptotický iterval spolehlivosti pro σ 2. 20

25 Závěr ráce se věovala asymptotickým testům s mohorozměrým parametrem testům s rušivými parametry a profilové věrohodosti. Byly shruty základí pozatky o asymptotických testech s mohorozměrým parametrem a testech s rušivými parametry z kihy (Aděl 2011). U asymptotických testů s mohorozměrým parametrem byla dokázáa věta hovořící o rozděleí testových statistik. V kapitole o profilové věrohodosti byla odvozea souvislost mezi testy s rušivými parametry a profilovou věrohodostí. Ukázalo se že testové statistiky u profilové věrohodosti jsou velmi podobé klasickým testovým statistikám pro testy s rušivými parametry. Na závěr byla ilustrováa metoda maximálí věrohodosti a profilová věrohodost ve které má profilová věrohodost základ. Vše bylo odvozeo a ormálím rozděleí 21

26 Literatura Aděl J. (2011). Základy matematické statistiky. Třetí vydáí. Matfyzpress raha. ISBN Jarík V. (1984). Difereciálí počet II. Čtvrté vydáí. Academia raha. va der Vaart A. W. (2000). Asymptotic Statistics. Cambridge Uiversity ress Cambridge. ISBN

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti -rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici

Více

ASYMPTOTICKÉ TESTY HYPOTÉZ V MODELECH S RUŠIVÝMI PARAMETRY

ASYMPTOTICKÉ TESTY HYPOTÉZ V MODELECH S RUŠIVÝMI PARAMETRY ROBUST 2000, 25 34 c JČMF 200 ASYMPTOTICKÉ TESTY HYPOTÉZ V MODELECH S RUŠIVÝMI PARAMETRY MICHAL KULICH Abstrakt. We discuss likelihood ratio, Wald ad Rao test statistics for testig several parameters i

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Testy homoskedasticity v lineárním modelu

Testy homoskedasticity v lineárním modelu Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Ja Vávra Testy homoskedasticity v lieárím modelu Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin Uiverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Bc. Barbora Šimková Odhady parametrů rozděleí áhodých veliči Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program:

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019 Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Kateřia Jaoušková Dvouvýběrové testy Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program:

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Michaela Kurková. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Michaela Kurková. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Michaela Kurková Dvouvýběrový T-test v případě estejých rozptylů Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

PoznÁmky k přednášce

PoznÁmky k přednášce NMSA331 Matematická statistika 1 PozÁmky k předášce Naposledy upraveo de 15. úora 2019. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text představuje

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

NMSA331 Matematická statistika 1

NMSA331 Matematická statistika 1 NMSA331 Matematická statistika 1 POZNÁMKY K PŘEDNÁŠCE Naposledy upraveo de 29. prosice 2018. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

DVOUVÝBĚROVÉ PODMÍNĚNÉ POŘADOVÉ TESTY VANALÝZEPŘEŽITÍ

DVOUVÝBĚROVÉ PODMÍNĚNÉ POŘADOVÉ TESTY VANALÝZEPŘEŽITÍ ROBUST 2000, 3 8 c JČMF 200 DVOUVÝBĚROVÉ ODMÍNĚNÉ OŘADOVÉ TESTY VANALÝZEŘEŽITÍ LENKA KOBLÍŽKOVÁ Abstrakt The preset paper deals with coditioal rak tests i survival aalysis for two sample problem with radomly

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

Teorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4

Teorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4 Metody odhadováí parametrů. Metoda mometů. Maximálě věrohodé odhady. Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

O Jensenově nerovnosti

O Jensenově nerovnosti O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více