Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny
|
|
- Blažena Dušková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Ing. Jana Šenkapoulová VODÁRENSKÁ AKCIOVÁ SPOLEČNOST, a.s. Brno, Soběšická 156, Brno ÚVOD Každé rekonstrukci vodovodu musí předcházet podrobná bilance ekonomických přínosů plánované investice, která je podložena optimálním návrhem řešení. Při tomto analytickém procesu se porovnávají náklady na obnovu infrastruktury ve vztahu k eliminaci rizika očekávané škody. Zpravidla není efektivní snaha o okamžité a maximální teoreticky možné snížení škod. Doporučuje se postupovat dle následujícího obecného algoritmu (maximální konvexe součtové křivky dává optimum): Stanovení optimální rekonstrukce finanční náklady Optimum riziko škody náklady na obnovu součtová křivka Zatímco odhad nákladů na obnovu infrastruktury je často rutinní záležitostí, obtížnější bývá stanovení rizika škod a jeho finanční numerace. Nejčastěji se v praxi vychází z prognózy poruchovosti infrastruktury a následně se předpokládanému počtu poruch přiřazuje jejich finanční ocenění. Poruchy na infrastruktuře jsou náhodné jevy, vyznačují se však některými vlastnostmi obecného charakteru, a proto při jejich prognóze lze s výhodou využít numerických metod založených na statistice a pravděpodobnostním počtu. Poruchy na vodovodních řadech zařazujeme mezi náhodné nespojité (diskrétní) veličiny, které nabývají spočetného počtu hodnot bez ohledu na to, je-li tento počet konečný nebo nekonečný. 1. Obecně pro nespojité náhodné veličiny Pravděpodobnost, že náhodná nespojitá veličina X nabude určité hodnoty x se zapisuje P(X=x) nebo častěji P(x). Všechny hodnoty definičního oboru Ω představují úplný systém neslučitelných jevů a součet pravděpodobností všech možných hodnot x se rovná: x Ω P ( x) = P ( x) = 1 Pravděpodobnosti jednotlivých hodnot x jsou funkcí těchto hodnot a tato funkce se nazývá pravděpodobnostní funkce (vyjádření tabulkou, grafem, vzorcem). Známe-li P(x), lze vypočítat pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty rovné alespoň x k a nejvýše x r : P(x k) X x r ) = P ( x) x r x= x k x
2 Rozdělení náhodné veličiny se popisuje distribuční funkcí, která každému reálnému číslu přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty, která je menší než toto číslo. Distribuční funkce se značí F(x): F(x) = P(X<x). Pro nespojitou náhodnou veličinu X lze distribuční funkci např.zapisovat: F(x) = P ( t), t<x kde x je libovolné reálné číslo. Distribuční funkce má tyto vlastnosti: a.) F(x) 1 b.) distribuční funkce je neklesající c.) distribuční funkce je spojitá zleva d.) jestliže možné hodnoty náhodné veličiny jsou z intervalu <a,b), pak F(a) = a F(b) =1, obecně: F (- ) = a F( ) = 1 e.) P(x k) X x r ) = F(x r ) F(x k ) Rozdělení dvou nespojitých náhodných veličin X,Y je možné popsat sdruženou (simultánní) distribuční funkcí: F(x,y) = P (X<x Y<y). Některá nejčastěji užívaná rozdělení nespojitých náhodných veličin: alternativní (házení mincí), binomické (házení kostkou), Poissonovo (počet vad v ploše, objemu, v časovém úseku), geometrické (počet nezávislých pokusů do prvního úspěchu), negativní binomické (počet neúspěšných pokusů předcházejících n-tému úspěšnému pokusu), hypergeometrické (pro navzájem závislé opakované náhodné pokusy). 2. Poissonovo rozdělení náhodné veličiny (lze je aplikovat na poruchovost vodovodů) Definice: náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení (je Poissonova náhodná proměnná) s parametrem λ, jestliže má pravděpodobnostní funkci x λ λ e pro x =,1, a kde λ > x! q(x) = { jinak Značíme X ~ Po( λ ) a platí: X ~ Po( λ ) E(X) = λ, D(X) = λ, kde E(X) je střední hodnota náhodné veličiny X a D(X) je rozptyl náhodné veličiny X Poznámka: a.) Rozdělení Po( λ ) má náhodná veličina X, která udává počet výskytů jevu A za časové období t, jestliže: jev A může nastat v libovolném okamžiku sledovaného časového období počet výskytů jevu A závisí pouze na délce tohoto časového období a ne na jeho počátku, ani na tom, kolikrát jev A nastoupil před jeho počátkem pravděpodobnost, že jev A nastoupí více než jednou v časovém období délky t konverguje k nule rychleji než t λ = k. t, kde k je průměrný počet výskytů jevu A za časovou jednotku a t je sledované časové období Místo časového období lze uvažovat např. i počet výskytů jevu A v určité ploše, objemu, hmotnosti, délce apod.
3 b.) Rozdělení Po( λ ) aproximuje rozdělení Bi (n,p). Je-li p <.1 a n >3, potom Bi (n,p) Po( λ ), kde λ = n. p c.) Je-li X ~ Po( λ ), pak pro modus x o náhodné veličiny X platí λ - 1 x o λ d.) Při nezávislosti více Poissonovských veličin X i ~ Po( λ i ) lze vyjádřit směs těchto rozložení: Y = α 1 X α n X n přičemž α 1, α 2,,α n (,1) a platí: α i = 1 3. Příklad aplikace Poissonova rozdělení na poruchovost vodovodních řadů: Zadání - požadavek na řešení: - v hodnocené lokalitě je zapotřebí zjistit: a.) kolik poruch na vodovodních řadech lze očekávat v hodnocené lokalitě maximálně ročně s 95 % pravděpodobností výskytu? b.) jaký roční počet poruch na vodovodních řadech je nejpravděpodobnější v hodnocené lokalitě? Oba požadavky je nutno vyhodnotit: - pro stávající stav, - pro výhled za 1 let bez provedení rekonstrukce, - pro výhled za 1 let s provedením rekonstrukce, která spočívá v obnově veškerého potrubí staršího 5 let Hodnocená lokalita je součástí skupinového vodovodu, ve kterém je provozně vyhodnocena následující stávající poruchovost vodovodních řadů v členění dle 3 kategorií stáří potrubí (jsou evidovány jen poruchy na potrubí,tj. bez armatur a objektů): Poruchovost vodovodního potrubí poruchovost potrubí,6,4,2 do 3O let od 3O do 5O let nad 5O let poruch / km / rok stáří potrubí Vodovodní řady jsou v hodnocené lokalitě provozně evidovány v členění dle stáří, délky a průměrné roční jednotkové poruchovosti viz. následující tabulka: Velké Meziříčí do 3O let od 3O do 5O let nad 5O let stávající počet poruch /km/rok,21,25,48 stávající stav výhled za 1 let bez rekonstr výhled za 1 let po rekonstr.* Pozn. - * je uvažována obnova všech řadů ve stáří nad 5 let
4 Rozdělení vodov. potrubí dle stáří délka potrubí (m) do 3O let od 3O do 5O let nad 5O let stávající stav výhled za 1 let bez rekonstr. výhled za 1 let po rekonstr.* kategorie stáří Postup řešení: Předpokládáme, že počet poruch za rok je náhodná nespojitá veličina. V dané lokalitě sledujeme 3 navzájem nezávislé kategorie veličin charakterizované odlišnou hodnotou stáří potrubí. Výchozí zadání splňuje všechny podmínky, které musí být splněny, aby bylo možno považovat rozdělení náhodné veličiny (t.j. v našem případě poruchy řadů) za vícerozměrné Poissonovo rozdělení. Předpokládáme tedy, že X i ~ Po( λ i ) kde i = 1,2,3..počet kategorií vodovodních řadů X i počet poruch v i-té kategorii stáří λ i...parametry Poissonova rozdělení, pro které platí: λ i = k i. t i, kde k je průměrný roční počet poruch na jednotkovou délku v dané kategorii a t je sledovaná délka vodovodních řadů v dané kategorii stáří. V našem případě tedy pro stávající stav:,21 λ 1 = = 5,9 X 1 ~ Po( 5,9 ) 1,25 λ 2 = = 4,73 X 2 ~ Po( 4,73 ) 1,48 λ 3 =. = X 3 ~ Po( ) 1 Analogicky se zpracovává výpočet pro další 2 varianty vztažené k výhledu za 1 let. Řešení je provedeno v tabulkové formě, pro usnadnění a automatizaci výpočtu byl vytvořen vlastní jednoduchý výpočtový program. Postupuje se dle vztahu pro pravděpodobnostní funkci q(x): x λ λ e pro x =,1, x! X ~ q(x) = { jinak
5 Výsledky řešení: Pravděpodobnosti poruch na hodnocených vodovod.řadech dle Poissonova rozdělení Počet Stávající stav Výhled za 1 let bez rekonstr. Výhl.za1 let po rek poruch Do 3 let 3-5 let Do 3 let 3-5 let nad 5 let Do 3 let 3-5 let,269,887,197,3894,235,78,3894 1,1593,4191,4952,12639,1423,556, ,4712,991,11171,2511,436,1991,2511 3,9295,15595,1683,22191,8688,4752, ,13752,18422,18955,187,13148,857,187 5,16276,1741,1716,11689,15917,12183, ,1653,13711,12864,6323,1659,1454,6323 7,13571,9255,8292,2932,13887,14873,2932 8,139,5467,4677,119,158,13313,119 9,661,287,2345,429,767,1592,429 1,396,1356,158,139,4278,7584,139 11,212,583,434,41,2354,4937,41 12,136,229,163,11,1188,2946,11 13,472,83,57,3,553,1623,3 14,199,28,18,1,239,83,1 15,79,9,5,,96,396, 16,29,3,2,,37,177, 17,1,1,,,13,75, 18,3,,,,4,3, 19,1,,,,1,11, 2,,,,,,4, Průměr: 5+4= 9 poruch Průměr: 4+3+6= 13 poruch Průměr: 7+3=1 poruch MAXIM: 1+9= 18 poruch MAXIM: 8+7+1= 25 poruch MAXIM: 11+7=17poruch Pro naše zadání vyhledáme ve výpočtové tabulce maximální počet poruch v dané kategorii, který odpovídá požadované pravděpodobnosti,95. Výsledný počet poruch získáme součtem zjištěného počtu poruch v každé kategorii. Průměrný počet poruch se zjistí z předpokladu nejčastějšího výskytu, názornější přehled je v grafické podobě: Pravděpodobnost počtu poruch - stávající stav pravděpodobnostní funkce q(x),2,15,1,5, do 2 do 4 do 6 do 8 do 1 do 12 do 14 do 16 do 18 do 2 Do 3 let Do 5 let Do 7 let počet poruch : průměrně 5+4=9 poruch /rok
6 Očekávaný průměrný počet poruch za 1 let bez provedení rekonstrukce řadů: Pravděpodobnost počtu poruch za 1 let - bez rekonstrukce pravděpodobnostní funkce q(x),25,2,15,1,5, Do 3 let Do 5 let Do 7 let do 2 do 4 do 6 do 8 do 1 do 12 do 14 do 16 do 18 do 2 počet poruch: průměrně 4+3+6=13 por./rok Očekávaný průměrný počet poruch za 1 let po provedení rekonstrukce řadů: Pravděpodobnost počtu poruch za 1 let - po rekonstrukci pravděpodobnostní funkce q(x),3,2,1, do 2 do 4 do 6 do 8 do 1 do 12 do 14 do 16 do 18 počet poruch: průměrně 7+3=1 poruch /rok do 2 Do 3 let Do 5 let Do 7 let Souhrnné výsledky řešení: Očekávaný počet poruch v hodnocené lokalitě za rok dle Poissonova rozdělení Velké Meziříčí maximum s pravděpodobn.95 % průměrný počet poruch stávající stav 18 poruch ročně 9 poruch ročně výhled za 1 let bez rekonstr. 25 poruch ročně 13poruch ročně výhled za 1 let po rekonstr.* 17 poruch ročně 1 poruch ročně Pozn. - * je uvažována obnova všech řadů ve stáří nad 5 let Z ÁV Ě R: Z provedené prognózy počtu poruch lze následně poměrně snadno vyčíslit odhad finančních nákladů a stanovit riziko škody (náklady na opravu poruch, průměrná cena uniklé vody, ). Využití této časově nenáročné analytické numerické metody poskytuje provozovatelům a vlastníkům infrastruktury užitečný podklad pro jejich strategické rozhodování v oblasti plánování obnovy. Efektivita této metody se projeví zejména u velkých firem provozujících vodovody v desítkách či stovkách obcí, mezi nimiž je třeba objektivně stanovit priority obnovy. Literatura: Koutková, Moll Úvod do pravděpodobnosti a matem.statistiky (VUT Brno, 21) Hebák, Kahounová Počet pravděpodobnosti v příkladech (SNTL Praha, 1988)
Teoretická rozdělení
Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické
VíceModely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,
VíceA NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2.
A NUMERICKÉ METODY Fourierova podmínka: f (x) > 0 => rostoucí, f (x) < 0 => klesající, f (x) > 0 => konvexní ᴗ, f (x) < 0 => konkávní ᴖ, f (x) = 0 ᴧ f (x)!= 0 => inflexní bod 1. Řešení nelineárních rovnic:
VíceVýznamná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
Alternativní rozdělení Příklad Střelec vystřelí do terče, pravděpodobnost zásahu je 0,8. Náhodná veličina X udává, jestli trefil: položíme X = 1, jestliže ano, a X = 0, jestliže ne. Alternativní rozdělení
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a
VíceNěkteré zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení
Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.
VíceDistribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna
Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
VíceRozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.
Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
Více1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceÚmrtnostní tabulky příjemců příspěvku na péči
Úmrtnostní tabulky příjemců příspěvku na péči Datum: listopad 2011 Verze: 2.2 Zadavatel: Aktivita č. 12 Autor: Jan Alexa 1 Jan Alexa vystudoval Přírodovědeckou fakultu University Karlovy a Fakultu sociálních
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VíceFAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:
FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD
Více2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.
Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.
VíceTématické celky { kontrolní otázky.
Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
Vícealternativní rozdělení Statistika binomické rozdělení bi(n, π)(2)
Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara 5. listopadu 2007 1(178) binomické rozdělení Poissonovo rozdělení normální rozdělení
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceRegresní a korelační analýza
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)
VíceMatematická statistika
Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceUrčete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
VíceSTP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA
Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady
Více(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada
(Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Úvod do teorie pravděpodobnosti Náhoda a pravděpodobnost, náhodný jev, náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti
VíceV praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více
9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VíceTen objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý.
@001 1. Základní pojmy Funkce funkční? Oč jde? Třeba: jak moc se oblečeme, závisí na venkovní teplotě, jak moc se oblečeme, závisí na našem mládí (stáří) jak jsme staří, závisí na čase jak moc zaplatíme
VíceMendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií
Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií STATISTIKA pro TZP Modul : Pravděpodobnost a náhodné veličiny Prof
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
Více5. cvičení 4ST201_řešení
cvičící. cvičení 4ST201_řešení Obsah: Informace o 1. průběžném testu Pravděpodobnostní rozdělení 1.část Vysoká škola ekonomická 1 1. Průběžný test Termín: pátek 26.3. v 11:00 hod. a v 12:4 v průběhu cvičení
VíceDrsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?
Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceZápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A
skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost
VícePřehled pravděpodobnostních rozdělení
NSTP097Statistika Zima009 Přehled pravděpodobnostních rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní(Bernoulliovo, nula-jedničkové) rozdělení X Alt(p) p (0, ) X {0,} Hustota: P[X= j]=p j ( p) j, j {0,} Středníhodnota:
VíceRozhodovací procesy 10
Rozhodovací procesy 10 Rozhodování za rizika a nejistoty Příprava předmětu byla podpořena projektem OPPA č. CZ.2.17/3.1.00/33253 X rozhodování 1 Rozhodování za rizika a nejistoty Cíl přednášky 10: Rozlišení
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
VíceDiskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot
Rozdělení Náhodná veličina Náhodná veličina je vyjádření výsledku náhodného pokusu číselnou hodnotou. Jde o reálnou funkci definovanou na množině. Rozdělení náhodné veličiny udává jakých hodnot a s jakou
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VíceOrganizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika?
Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika 2012 2013 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hudecova@karlin.mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceNEPARAMETRICKÉ TESTY
NEPARAMETRICKÉ TESTY Výhodou neparametrických testů je jejich použitelnost bez ohledu na typ rozdělení, z něhož výběr pochází. K testování se nepoužívají parametry výběru (např.: aritmetický průměr či
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
Více2. RBF neuronové sítě
2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
VíceDISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 5. cvičení
DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 5. cvičení Rozdělení pravděpodobnosti NV Rozdělení náhodné veličiny X je předpis, kterým definujeme pravděpodobnost jevu, jež lze touto náhodnou veličinou popsat. U
VíceNáhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
VíceBiostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty
Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
Více5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
VícePROVEDENÍ ANALÝZY RIZIK
IV. Příloha č. 1 Počet listů: 7 PROVEDENÍ ANALÝZY RIZIK Pro určení úrovně rizika je využito následujícího vztahu: R = F N kde F (Frekvence) je koeficientem četnosti možné aktivace konkrétního typu nebezpečí
VíceUNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo
VíceMatematické symboly a značky
Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceNÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:
NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného
VíceZNALECKÝ POSUDEK. č. 75-2815 / 10. o obvyklé ceně pozemků parc.č. 1502/2 a 1502/3 v k.ú. Bludovice obec Havířov, okr. Karviná.
ZNALECKÝ POSUDEK č. 75-2815 / 10 o obvyklé ceně pozemků parc.č. 1502/2 a 1502/3 v k.ú. Bludovice obec Havířov, okr. Karviná. Objednatel posudku: Exekutorský úřad Ostrava Mgr. Pavla Fučíková - soudní exekutor
Vícehttp://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.
Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceKOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA. Charakteristiky variability. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M4r0120
KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Charakteristiky variability Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M4r0120 CHARAKTERISTIKY VARIABILITY Charakteristika variability se určuje pouze u kvantitativních znaků.
VíceÚloha I.E... tři šedé vlasy dědy Aleše
Úloha I.E... tři šedé vlasy dědy Aleše 8 bodů; průměr 4,28; řešilo 50 studentů Pokuste se určit některé napěťové charakteristiky v tahu u lidského vlasu. Z vašeho pokusu sestavte co nejpodrobnější graf
VíceManuál pro vodohospodářský model konsolidované FA/FEA pro projekty v PO1 - Zelená louka
Manuál pro vodohospodářský model konsolidované FA/FEA pro projekty v PO1 - Zelená louka Model verze 16.2 MINISTERSTVO ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ STÁTNÍ FOND ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ ČR www.opzp.cz, dotazy@sfzp.cz
VíceROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceDnešní program odvozování v Bayesovských sítích exaktní metody (enumerace, eliminace proměnných) aproximační metody y( (vzorkovací techniky)
Umělá inteligence II Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Bayesovská síť zachycuje závislosti mezi náhodnými proměnnými Pro zopakování orientovaný acyklický graf
VícePROPUSTNOST ŽELEZNIČNÍ DOPRAVY
PROPUSTNOST ŽELEZNIČNÍ DOPRAVY Studijní opora Ing. Josef Bulíček, Ph.D. 2011 Propustnost železniční dopravy OBSAH SEZNAM SYMBOLŮ A ZNAČEK... 4 1 ZÁKLADNÍ DEFINICE A TERMINOLOGIE... 6 1.1 Charakteristika
VíceHledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá
Více6 Extrémy funkcí dvou proměnných
Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných 2 6.1 Lokálníextrémy..... 2 6.2 Vázanélokálníextrémy.... 4 6.2.1 Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů..... 5 6.2.2 Přímédosazení..... 5 6.2.3 Lagrangeovametoda.....
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního
VíceLineární programování
Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.
VíceSpojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VíceR-5602 DYNBAL_V1 - SOFTWARE PRO VYHODNOCENÍ DYNAMICKÉ NEVÝVAHY V JEDNÉ ROVINĚ ING. JAN CAGÁŇ ING. JINDŘICH ROSA
DYNBAL_V1 - SOFTWARE PRO VYHODNOCENÍ DYNAMICKÉ NEVÝVAHY V JEDNÉ ROVINĚ ING. JAN CAGÁŇ ING. JINDŘICH ROSA VÝZKUMNÝ A ZKUŠEBNÍ LETECKÝ ÚSTAV, a. s. BERANOVÝCH 130, 199 05 PRAHA-LETŇANY 2013 OBSAH 1 Úvod...
VíceAnalýza a vyhodnocení. zdravotního stavu. obyvatel. města TŘEBÍČ. Zdravá Vysočina, o.s. ve spolupráci se Státním zdravotním ústavem
Analýza a vyhodnocení zdravotního stavu obyvatel města TŘEBÍČ Zdravá Vysočina, o.s. ve spolupráci se Státním zdravotním ústavem MUDr. Stanislav Wasserbauer Hana Pokorná Jihlava, září 2012 Obsah: 1 Úvod...4
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Posouzení způsobilosti společnosti Thermal Pasohlávky a.s. dostát závazkům vyplývajících ze zamýšlených úvěrů ZHOTOVITEL: Vysoké učení technické v Brně, Antonínská 548/1,
Více