Regulační diagramy CUSUM pro atributivní znaky. Eva Jarošová

Transkript

1 Regulační diagramy CUSUM pro atributivní znaky Eva Jarošová

2 Obsah. Klasické diagramy pro atributivní znaky, omezení a nevýhody jejich aplikace 2. Přístup založený na transformaci sledované veličiny 3. CUSUM diagramy pro transformovanou proměnnou 4. CUSUM diagramy založené na předpokládaném rozdělení sledované veličiny 2

3 Klasické Shewhartovy diagramy Pro počet neshodných jednotek v podskupině Pro podíl neshodných jednotek v podskupině Pro počet neshod Pro podíl neshod na jednotku Založeny na předpokladu normálního rozdělení, jímž lze za určitých podmínek aproximovat skutečné rozdělení sledované veličiny 3

4 Podmínky pro aproximaci Binomické rozdělení Bi(n,p) střední hodnota np 5 nebo np 8 Poissonovo rozdělení Po(l) střední hodnota (nezávislost) l 5 nebo l 8 Regulační meze ve vzdálenosti 3 sigma riziko falešného signálu v podobě překročení horní regulační meze,35 4

5 Důsledky nesplnění podmínky vlivem nedostatečného rozsahu výběru nesymetrické meze záporná hodnota pro dolní mez se nahradí nulou větší riziko falešného signálu (i pro np=5) nelze diagnostikovat okamžik zlepšení 5

6 Alternativní přístupy Transformace + Shewhartův diagram Transformace + CUSUM CUSUM přímo 6

7 Podstata CUSUM diagramů První CUSUM Page (954), od té doby řada modifikací Dvě základní Kumulativní součty odchylek od cílové hodnoty t S ( X ) t i rozhodování pomocí V-masky Kumulativní součty Si max Si ( Xi K ); Si min Si ( Xi K ); tabelární CUSUM (podobný klasickému diagramu) i 7

8 Tabelární CUSUM pro měřitelné znaky cílová hodnota K H C max ; x ( K) C i i i C min ; x ( K) C i i i C C k směrodatná odchylka 2 h rozhodovací interval k,5 h 4 nebo 5 8

9 CUSUM pro počet neshodných Založen na binomickém rozdělení počtu neshod v podskupině horní CUSUM dolní CUSUM Si max Si ( Xi K ); Si min Si ( Xi K ); Cílová hodnota počtu neshod v podskupině p Konstanta pro identifikaci posunu p p Meze pro S+ a S- (rizika a ) K K p nln p p p ln p p H ln p p ln p p H ln p p ln p p 9

10 CUSUM pro počet neshod Založen na Poissonovu rozdělení počtu neshod v podskupině horní CUSUM dolní CUSUM Si max Si ( Xi K ); Si min Si ( Xi K ); Cílová hodnota počtu neshod v podskupině c Konstanta pro identifikaci posunu c c Meze pro S+ a S- (rizika a ) K c c K c ln c H ln c ln c H ln c ln c

11 Případová studie Dodávky nárazníků Počet poškozených nárazníků Proměnná velikost dodávek kusů, průměrná velikost 434

12 Proportion P-diagram, konstantní meze Základní hodnoty nejsou dány p 3 p( p) / n P Chart of d,4,2, UCL=,,8,6,4,2, _ P=,267 LCL= Sample LCL vychází záporná LCL = Nestejné rozsahy - proměnlivé riziko falešného signálu 2

13 Proportion P-diagram, proměnné meze p 3 p( p) / ni,4,2 P Chart of d, UCL=,958,8,6,4,2, _ P=,267 LCL= Sample Tests performed with unequal sample sizes 3

14 Proportion P-diagram, konstantní meze p 3 p ( p ) / n Základní hodnoty dány; p =,25 P Chart of d,4,2, UCL=,969,8,6,4,2, _ P=,25 LCL= np, Sample Skutečné riziko falešného signálu (překročení UCL),5 4

15 Proportion P-diagram, proměnné meze Základní hodnoty dány; p =,25,4,2 P Chart of d,,8 UCL=,99,6,4,2, _ P=,25 LCL= Sample Tests performed with unequal sample sizes 5

16 Přístup založený na transformaci A. Transformace založená na normování B. Transformace arcsin X i I-diagram pro individuální hodnoty CUSUM diagram p i p p ( p ) / n i Y i arcsin xi 3 / 8 n 3 / 4 i 6

17 Individual Value I-diagram Diagram pro individuální hodnoty (regulace měřením) I Chart of x UCL=3 2 _ X= LCL= Observation Normované normální rozdělení - pevné meze 3 7

18 Proportion I-diagram a zpětná transformace Základní hodnoty dány; p =,25 P Chart of p,6,4,2, UCL=,48,8,6,4,2, _ P=,25 LCL=, Sample Střední hodnota arcsin p, směrodatná odchylka 4n 8

19 Cumulative Sum CUSUM pro transformovanou proměnnou 5 CUSUM Chart of x 5 UCL=4-5 LCL= Sample Cílová hodnota =, směrodatná odchylka =, h =,5, k = 4 9

20 Cumulative Sum CUSUM pro transformovanou proměnnou,3 CUSUM Chart of arcsin,2, UCL=,96, -, LCL=-, Sample Cílová hodnota p =,25 Cílová hodnota po transformaci =,5; směrodatná odchylka =,24, h =,5, k = 4 2

21 Případová studie Průměr procesu p,267 Cílová hodnota p,25 Směrodatná odchylka kolísání p p ( p ) / n,24 Nepřijatelná hodnota p, která by měla být odhalena p,5 Rizika chybného rozhodnutí,35, Parametry CUSUM K K,439 H 9,498 H 6,62 2

22 S-, S+ Horní a dolní CUSUM K K,439 prokazatelné zhoršení procesu H 9,498 H 6, prokazatelné zlepšení procesu 22

23 Použití diagramu Překročení horní meze hledá se vymezitelná příčina; je-li hledání úspěšné, příčina se odstraní a kumulativní součet se vynuluje (na obrázku se vynulování neuvažuje) Překročení dolní meze znamená zlepšení procesu s ohledem na neustálé zlepšování procesu by se měla revidovat cílová hodnota, určit nové parametry CUSUM diagramu, vynulovat kumulativní součty a pokračovat dál (jinak při podílu neshodných trvale lepším než je původní cílová hodnota bude dolní kumulativní součet pořád klesat a jeho zobrazování přestává mít smysl) 23

24 S-, S+ S-, S+,35, Vliv volby rizik ,,

25 Sample Count Diagram pro počet neshod Příklad Ford Motor (Ryan) 8 C Chart 6 UCL=5, _ C=7, LCL= Sample

26 Sample Count Příklad Ford Motor (Ryan) Základní hodnota dána: c = 7 8 C Chart of c-ryan UCL=4, _ C=7 4 2 LCL= Sample

27 Individual Value Transformace y c c 9 8 I Chart of c-transf UCL=8, _ X=5, Observation LCL=2,474 2 l Střední hodnota, směrodatná odchylka 27

28 Průměr procesu c 7,56 CUSUM Poisson Cílová hodnota c 7 Směrodatná odchylka kolísání c c 2, 6 Chceme odhalit posun c c = 2 c 9 Rizika chybného rozhodnutí,35, Parametry CUSUM K K 7,958 H 26,292 H 8,324 28

29 S-, S+ Horní a dolní CUSUM K K 7,958 prokazatelné zhoršení procesu H 26,292 H 8, Podskupina prokazatelné zlepšení procesu 29

30 Sekvenční kontrola Sledování jednotek kus po kuse Speciální případ binomického CUSUM pro n = (Bernoulliho rozdělení) Modifikace konstanty K a mezí H + a H - viz [4] Další možnost sleduje se počet shodných jednotek mezi dvěma neshodnými (geometrické rozdělení) 3

31 Příklad Kumulativní počet udává, kdy se vyskytla neshodná jednotka Kumulativní počet Pořadí neshodných Y Kumulativní počet Pořadí neshodných Y

32 S-, S+ CUSUM - Bernoulli Cílová hodnota p =,2,35, K K H 7,88 H 5,9,3275 Nepřijatelná hodnota p =, zhoršení procesu

33 S-; S+ CUSUM geometrický K K / K 35,36 G G B H mh m 224 G G H mh m 2496 G G m K G Překročení dolní meze představuje signál, že podíl neshodných je větší, tedy zhoršení procesu 33

34 Literatura. ČSN 266: 985 Special types of statistical control: Method of cumulative sums (In Czech) 2. PAGE, E.S. Continuous inspection schemes. Biometrika, 954, vol. 4, pp KENETT, R.S., ZACKS, S. Modern Industrial Statistics: Design and Control of Quality and Reliability. Pacific Grove: Duxbury Press, p. 4. REYNOLDS, M.R., STOUMBOS, Z.G. A CUSUM Chart for Monitoring a Proportion When Inspecting Continuously. Journal of Quality Technology, 999, Vol. 3, No., pp GOH, T.N. A control chart for very high yield processes. Quality Assurance, 987, vol. 3, no., pp CHAN, L.Y., LIN, D.K.J., XIE, M., GOH, T.N. Cumulative probability control charts for geometric and exponential process characteristics. International Journal of Production Research, 22, Vol. 4, No., pp