Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Transkript

1 DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y a 2n y n + b 2 (x) y n = a n1 y 1 + a n2 y a nn y n + b n (x) kde b i (x) jsou pravé strany, a ij IR jsou koeficienty Počáteční či Cauchyho úloha pro tuto soustavu má počáteční podmínky y 1 (x 0 ) = y 1,0, y 2 (x 0 ) = y 2,0,, y n (x 0 ) = y n,0 Soustava se nazývá homogenní, pokud b i (x) = 0 pro všechna i = 1,, n Fakt Každou soustavu n lineárních ODR 1 řádu lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR řádu n Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR řádu n i Věta (o existenci a jednoznačnosti pro soustavy) Uvažujme soustavu LODR 1 řádu Jsou-li b i (x) spojité na otevřeném intervalu I, pak pro každé x 0 I a všechna y 1,0, y 2,0,, y n,0 IR existuje řešení příslušné počáteční (Cauchyho) úlohy na I a je jednoznačné 1

2 Fakt Každou lineární diferenciální rovnici řádu n (a každou soustavu lineárních diferenciálních rovnic se součtem řádů n) lze ekvivalentně převést na soustavu n lineárních diferenciálních rovnic 1 řádu Soustavu y 1 = a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y a 2n y n + b 2 (x) y n = a n1 y 1 + a n2 y a nn y n + b n (x) a 11 a 1n lze zapsat jako y = A y + b, kde A = je matice soustavy, a n1 a nn b 1 (x) y 1 (x) b(x) = je vektor pravých stran, neznámá je y(x) = b n (x) y n (x) Soustava je homogenní, pokud b = 0, kde 0 = Poč podmínky jsou y(x 0 ) = y n 1, pak y = y 1 y n Věta (o struktuře řešení pro homogenní soustavy) Uvažujme homogenní soustavu lineárních ODR y = A y, kde A IR n n Množina všech řešení této soustavy na nějakém otevřeném intervalu I je vektorový prostor dimenze n Uvažujme homogenní soustavu lineárních ODR y = A y, kde A IR n n Fundamentální systém řešení této soustavy na otevřeném intervalu I je libovolná báze prostoru všech řešení této soustavy na I Je-li { y 1,, y n } fundamentální systém řešení, definujeme jeho fundamentální matici na I jako Y (x) = ( y 1 (x) y n (x) ) (matice n n) 2

3 Fakt Uvažujme homogenní soustavu lineárních ODR y = A y, kde A IR n n Je-li Y (x) její fundamentální matice na I, pak obecné řešení této soustavy na I je y h (x) = Y (x) c pro c IR n Věta Uvažujme homogenní soustavu lineárních ODR y = A y, kde A IR n n Nechť y 1,, y n jsou řešení této soustavy na otevřeném intervalu I { y 1,, y n } je fundamentální systém řešení této soustavy na I právě tehdy, když det(y (x)) 0 na I, což je právě tehdy, když det(y (x 0 )) 0 pro nějaké x 0 I Nechť A IR n n je matice Číslo λ se nazývá vlastní číslo matice A, jestliže existuje nenulový vektor x IR n takový, že A x = λ x Vektorům x s touto vlastností pak říkáme vlastní vektory A příslušné/přidružené k vlastnímu číslu λ Věta Uvažujme homogenní soustavu lineárních ODR y = A y s maticí A IR n n Je-li λ 0 vlastní číslo A s vlastním vektorem v, pak y = v e λ 0x je řešením dané soustavy na IR Jsou-li λ 1,, λ k různá vlastní čísla matice A, pak odpovídající řešení tvoří lineárně nezávislou množinu 3

4 Fakt Uvažujme homogenní soustavu lineárních ODR y = A y s maticí A IR n n Nechť λ 0 je vlastní číslo A a v příslušný vlastní vektor Jestliže je λ 0 komplexní číslo (tedy Im(λ 0 ) 0), pak Re( ve λ 0x ) a Im( ve λ 0x ) jsou lineárně nezávislá řešení dané soustavy na IR Fakt Uvažujme homogenní soustavu lineárních ODR y = A y s maticí A IR n n Nechť λ 0 je vlastní číslo A násobnosti m a v příslušný vlastní vektor Definujme vektory takto: v 1 = v, v 2 řeší (A λ 0 E n ) x = v 1, v 3 řeší (A λ 0 E n ) x = v 2, v m řeší (A λ 0 E n ) x = v m 1 Pak jsou následující funkce řešeními dané soustavy na IR a tvoří lineárně nezávislou množinu: y = v 1 e λ0x, [ ] y = ( v 1 ) dx + v 2 e λ0x = ( v 1 x + v 2 )e λ0x, y = [ ( v 1 x + v 2 ) dx + v 3 ] e λ 0x = ( 1 2 v 1x 2 + v 2 x + v 3 ) e λ 0 x, y = ( 1 (m 1)! v 1x m (m 2)! v 2x m v m 1 x + v m ) e λ 0 x 4

5 Věta (o struktuře řešení pro soustavy) Uvažujme soustavu lineárních ODR y = A y + b(x) Nechť y p je nějaké její řešení na intervalu I Pak y 0 je také jejím řešením na I právě tehdy, když y 0 = y p + y h pro nějaké řešení y h soustavy y = A y na I Proto je-li y h obecné řešení přidružené homogenní soustavy na I, pak y p + y h je obecné řešení dané soustavy na I Algoritmus (Metoda variace konstant) Zadána soustava y = A y + b(x) 1 Nejprve najdeme obecné řešení y h přidružené homogenní soustavy y = A y: y h = Y (x) c neboli y 1h (x) = c 1 u 1 (x) + c 2 v 1 (x) +, y 2h =, y nh (x) = c 1 u n (x) + c 2 v n (x) + 2 a) Variace řádková: Hledáme řešení ve tvaru y 1 (x) = c 1 (x)u 1 (x) + c 2 (x)v 1 (x) +, y n (x) = c 1 (x)u n (x) + c 2 (x)v n (x) + Neznáme funkce c i (x) najdeme řešením soustavy rovnic c 1(x)u 1 (x) + c 2(x)v 1 (x) + = b 1 (x), c 1(x)u n (x) + c 2(x)v n (x) + = b n (x) Odtud se najde (eliminací, Kramerem) c 1(x), c 2(x), atd, integrací se získá c 1 (x), c 2 (x), atd, to se dosadí do zvariovaných y i a dostane se y 1p,, y np Obecné řešení je y i = y ip + y ih b) Variace vektorová: Hledáme řešení ve tvaru y = Y (x) c(x) Vznikne rovnice Y (x) c (x) = b(x), odtud c (x) = Y (x) 1 b(x), integrujeme po řádcích, dosadíme c(x) do y(x) = Y (x) c(x), vyjde y p, pak obecné řešení y = y p + y h 5