Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Transkript

1 Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

2 Určitý integrál Určitý integrál můžeme stručně chrkterizovt jko reálné číslo, kterým vyjdřujeme celkové množství, npříkld obsh, hmotnost, práci proměnné síly,... Motivční úloh: JkseurčíobshSobrzce? S. =0,25.f(0)+0,25.f(0,25)+0,25.f(0,5)+0,25.f(0,75)=0,55208 Počet částí Součet Počet částí Součet 4 0, , , , , , , , , , Tkto vyjádříme čísl(součty), která přibližně vyjdřují číslo S. Přitom pltí, že číslo S může být vyjádřeno uvedeným postupem s libovolnou přesností. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

3 Určitý integrál Poznámk Obdélníky můžeme vyjádřit mnoh způsoby tk, že jednu strnu kždého z nich volíme funkční hodnotu f(c), kde c je libovolné číslo v částečném intervlu. (v příkldě jsme volili levý krjní bod) HlednéčísloSjeurčenofunkcí f(x)=x intervlem[0,1],zpisujemeho 1 0 (x )dx čteme určitýintegrálfunkce x nintervlu[0,1]. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

4 Určitý integrál Definice Nechť fjefunkcedefinovnánintervlu[,b]. ) Intervl[, b] rozdělíme n částečné intervly [x 0,x 1 ],[x 1,x 2 ],...,[x n 1,x n ], kde =x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b. Množinu dělících bodů D={x 0,x 1,x 2,...,x n } nzveme dělením D intervlu[, b]. Délkuintervlu[x i 1,x i ]oznčíme x i,tj. nzveme krokem dělením D. Mximální krok dělení D oznčíme x i = x i x i 1, i=1,2,...,n h(d)=mx 1 i n { x i }. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

5 Určitý integrl b)kdnéfunkci fdělení Dutvořímesoučet S(D,f)=f(c 1 ) x 1 +f(c 2 ) x 2 + +f(c n ) x n, kde c 1, c 2,..., c n jsoulibovolnébody,zvolenévjednotlivýchčástečnýchintervlech, tj. c 1 [x 0,x 1 ], c 2 [x 1,x 2 ],...,c n [x n 1,x n ]. Součet S(D,f)nzvemeintegrálnímsoučtemfunkce f. c) Jestliže z uvedených předpokldů existuje tkové číslo I, které lze proximovt integrálním součtem s libovolnou přesností, tktotočíslo Inzývámeurčitýintegrálfunkce fnintervlu[,b] píšeme I= f(x)dx. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

6 Určitý integrál Poznámk(přesný význm proximovt číslo I integrálním součtem s libovolnou přesností ) Prokždépřirozené kexistuječíslo H >0tk,žeprolibovolnédělení Dintervlu [,b]smximálnímkrokem h(d) < Hprolibovolnouvolbu c i [x i 1,x i ]pltí nerovnost S(D,f) I 0,5.10 k. Definice Jestližekdnéfunkci fnintervlu[,b]existujeurčitýintegrál,pkřekneme,žeje funkce f integrovtelná n intervlu[, b]. Intervl[,b]senzýváintegrčníobor,čisl, bjsouintegrčnímeze, jedolní mez, bhornímezfunkce fsenzýváintegrovnáfunkce. Poznámk Výpočet integrálu funkce f n intervlu[, b] se nzývá integrování funkce f n intervlu[, b]. Vstupem této operce je funkce f integrční meze, výstupem operce je číslo. Příkld Podledefiniceurčeteintegrálfunkce f(x)=knintervlu[,b]. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

7 Určitý integrál Vět 8.1. Je-li funkce f spojitá n intervlu[, b], potom je n tomto intervlu integrovtelná. Vět 8.2. Je-lifunkce fomezenápočástechspojitánintervlu[,b],potomjentomto intervlu integrovtelná. Příkld Funkce f(x)= sinx x. (není definován v bodě 0, le je integrovtelná n libovolném intervlu[, b]) Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

8 Vlstnosti integrálů Hodnot integrálu závisí A) n integrčním oboru B) n integrovtelné funkci A) Vět 8.3. (ditivit integrálu vzhledem k integrčnímu oboru) Nechťje < c < b,funkce fjeintegrovtelnánintervlu[,b],právěkdyžje integrovtelná n intervlech[, c],[c, b]. Přitom pltí f(x)dx= c f(x)dx+ c f(x)dx. Větu 8.3 používáme v těchto přípdech: ) Integrovtelná funkce je zdán různými vzorci n různých intervlech. b) Integrovtelná funkce má konečný počet bodů nespojitosti. Příkld. f(x)= x, x [ 1,1]. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

9 Vlstnosti integrálů Vět 8.4. Uvžujmedvěfunkce f g,definovnénintervlu[,b]lišícísenvzájemv konečnémpočtubodů.je-lijednznichintegrovtelnáv[,b],potomjeidruhá integrovtelná n[, b] plti f(x)dx= g(x)dx. Důsledek. Integrál nezávisí n tom, jk je funkce f definován v krjních bodech integrčního oboru. f(x)dxvyjdřujeintegrál fnkterémkolizintervlů[,b],[,b),(,b],(,b). Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

10 Vlstnosti integrálů Definice. Pro bdefinujemeurčitýintegráltkto: 1)Je-li > b,potom f(x)dx= (slovy: Záměnou mezí se změní znmení integrálu) 2)Je-li =b,potom b f(x)dx=0. f(x)dx. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

11 Vlstnosti integrálů B) Vět 8.5. (linerit integrálu vzhledem k integrndu) Jsou-lifunkce f gintegrovtelnénintervlu[,b]kjelibovolnákonstnt, potomjsouintegrovtelnén[,b]funkce Kf f+g.přitompltí Kf(x)dx=K f(x)dx. (slovy: Vytknutí konstnty před integrční znk.) (f(x)+g(x))dx= f(x)dx+ g(x)dx. (slovy: Integrál součtu je roven součtu integrálů.) Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

12 Vlstnosti integrálů Důkz. Integrál proximujeme integrálními součty resp. n Kf(c i ) x i = K i=1 n [f(c i )+g(c i )] x i = i=1 n f(c i ) x i i=1 n f(c i ) x i + i=1 n g(c i ) x i s libovolnou přesností. Z integrovtelnosti funkcí f g vyplývá integrovtelnost funkcí n levé strně rovnosti. i=1 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

13 Vlstnosti integrálů Vět 8.6. Jestliže pro integrovtelnou funkci f n intervlu[, b] pltí nerovnosti m f(x) M, potom pro její integrál pltí následující odhdy: m(b ) f(x)dx M(b ). Důsledek. 1. Je-li funkce f integrovtelná nezáporná n intervlu[, b], potom tké integrál n[,b]jenezáporný,tj. f(x)dx 0. 2.Jsou-lifunkce f gintegrovtelnén[,b]pltízdenerovnost f(x) g(x), potomstejnánerovnostpltíiprointegrályn[,b],tj. f(x)dx g(x)dx. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

14 Vlstnosti integrálů Vět 8.7. (citlivost integrálu n mlou změnu integrovné funkce) Jsou-lifunkce f gintegrovtelnénintervlu[,b]pltízdenerovnost potom je f(x) g(x) 0,5.10 k, f(x)dx g(x)dx 0,5.10 k.(b ). Poznámk Význm věty lze vyjádřit tkto: Nhrdíme-li f v mlém intervlu dosttečně přesně funkcí g, bude přibližně stejně přesně nhrzen tké její integrál. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

15 Vlstnosti integrálů Vět 8.8. (o střední hodnotě funkce n intervlu) Je-lifunkce fspojitánintervlu[,b],potomexistujelespoňjednočíslo x 0 [,b] tkové, že pltí f(x 0 )= 1 f(x)dx. (1) b f(x)dx=f(x 0 )(b ) Číslo f(x 0 )vyjádřenéintegrálem(1)senzývástředníhodnotfunkce fnintervlu [,b]. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

16 Výpočet integrálu pomocí primitivní funkce V některých přípdech můžeme vyjádřit určitý integrál pomocí hodnot elementárních funkcí. Zákldem těchto metod jsou vzorce pro derivci funkce. Příkld Je-li F(x)=x 2,potom F (x)=2xpro x (, ). Obrácená úloh: Víme,žeje F (x)=2xpro x (, )mámeurčit F(x). (řešení,tj.funkci x 2 nzvemeprimitivnífunkcíkfunkci2xnintervlu(, )) Definice Funkci F nzveme primitivní funkcí k funkci f n intervlu J, jestližeprovšechnčísl x Jpltí Příkld x =1 F= x f=1 (sinx) =cosx F=sinx f=cosx (tgx) = 1 cos 2 x F=tgx f= 1 cos 2 x F = f. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

17 Výpočet integrálu pomocí primitivní funkce Je-li Fprimitivnífunkcíkfn J(tj. F = fn J), pk F+cjetképrimitivnífunkcíkfn J(neboť(F+c) = F +c = f) To znmená: Má-li funkce primitivní funkci, pk jich má nekonečně mnoho. Příkld f(x)=2x F(x)=x 2 x 2 +1 x 2 2 Vět 9.1. Je-li Fprimitivnífunkcíkfunkci fnintervlu J, potomkždáprimitivnífunkcerůznáod Fjevetvru F+c,kde cjekonstnt.!!!!! Ne ke kždé funkci existuje primitivní funkce!!! Vět 9.2. Je-lifunkce fspojitánintervlu J,potomkníexistujeprimitivnífunkce Fn J. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

18 Použití primitivní funkce pro výpočet určitého integrálu Je-lifunkce fintegrovtelnánintervlu[,b],potomprokždé c [,b]existuje c f(x)dx. Definujemenovoufunkcipro x [,b]předpisem H(x)= x f(u)du. Vět 9.3.(zákldní vět integrálního počtu) Je-li funkce f spojitá n intervlu[, b], potom funkce H(x)= máderivciprokždé x [,b]pltí x f(u)du H (x)=f(x). Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

19 Použití primitivní funkce pro výpočet určitého integrálu H(x)...vyjdřujejednuzprimitivníchfunkcíkfunkci fn[,b],dosď x= H()= f(u)du=0, dosď x=b tedy H(b)= f(u)du, f(x)dx=h(b)=h(b) 0=H(b) H(). Projinouprimitivnífunkci G(x)=H(x)+cdostneme f(x)dx=h(b) H()=G(b) c (G() c)=g(b) G(). Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20

20 Výpočet integrálu pomocí primitivní funkce Vět 9.4.(Newton- Leibnizov) Je-li funkce f spojitá n intervlu[, b] F její primitivní funkce n tomto intervlu, potom je někdy píšeme f(x)dx=f(b) F(), f(x)dx=[f(x)] b. Příkld 2 1 2xdx=[x2 ] 2 1= =3. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS / 20