Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY

Transkript

1 Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaého celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY DEFINICE FAKTORIÁLU Při výpočtech úloh z kombiatoriky se používá! Teto symbol azýváme faktoriál a je pro přirozeá čísla defiová takto:...! Pro = 0 je defiová: 0! Příklady:!! 6 6! 6 70 KOMBINACE K TÉ TŘÍDY Z N PRVKŮ VYTVOŘENÝCH BEZ OPAKOVÁNÍ Je euspořádaá k tice (tj. k-tice, v íž ezáleží a pořadí prvků) sestaveá pouze z těchto prvků tak, že každý prvek se v í vyskytuje ejvýše jedou. Příklad: Je dáa možia M a, b, c, d a, b, c; a, b, d; a, c, d; b, c, d. Všechy tříčleé kombiace vytvořeé z těchto prvků jsou:

2 Ozačeí: ) ( C k ebo ) ; ( k C ; ; ; 0 N k k 0 Pro počet všech kombiací k té třídy z prvků bez opakováí platí vztah:! )! (! ) ( k k k C k Čteme: Pro počet všech kombiací k té třídy z prvků bez opakováí platí: C ) ( 0 ) ( 0 C ) ( C Příklady: kombiace k té třídy z prvků bez opakováí kombiačí číslo ad k faktoriál lomeo ( - k) faktoriál krát k faktoriál

3 Při počítáí s kombiačími čísly se často využívá této vlastosti: k k Například: Řešeé příklady ) Kolika způsoby může shromážděí 0 lidí zvolit ze svého středu tří čleý výbor? Řešeí: Vytvoříme euspořádaé trojice, tj. k =, = 0. Daé prvky se v trojici eopakují a ezáleží a jejich pořadí jde o kombiace třetí třídy z třiceti prvků bez opakováí (0) C Shromážděí 0 lidí může tříčleý výbor zvolit 060 způsoby.

4 ) Na volejbalovém turaji hraje 6 družstev systémem každý s každým. Určete počet všech utkáí. Řešeí: Vytvoříme dvojice z daých šesti družstev, tj. k =, =6, v ichž ezáleží a pořadí zápas družstva A s družstvem B je totéž jako zápas družstva B s družstvem A. V těchto dvojicích se každé družstvo vyskytuje ejvýše jedou jde o kombiace druhé třídy z šesti prvků bez opakováí. 6 6 C (6) Celkem se musí odehrát utkáí. ) Určete, kolik přímek je určeo deseti body, jestliže: a) žádé tři z ich eleží a přímce Řešeí: Každá přímka je určea dvěma růzými body, a jejichž uspořádáí ezáleží: A B B A vytvoříme euspořádaé dvojice, tj. k =, = C (0) V tomto případě je deseti body určeo přímek. b) právě čtyři z ich leží a přímce Řešeí:

5 0 C ( 0) C () 0 počet všech přímek určeých deseti body počet přímek tvořeých body ležících a přímce počet přímek tvořeých body a přímce V tomto případě je deseti body určeo 0 přímek. ) Ve třídě je 9 chlapců a dívek. Určete, kolika způsoby lze z ich vybrat tříčleou skupiu, v íž jsou: a) pouze chlapci Řešeí: způsobů vybíráme chlapce z 9 žádou dívku z současě b) pouze dívky Řešeí: způsobů c) dva chlapci a jeda dívka Řešeí: způsobů

6 d) aspoň dvě dívky Řešeí: Aspoň dvě dívky zameá, že vybíráme dvě dívky ebo tři dívky způsobů chlapec z 9 a současě dívky z ebo žádý chlapec z 9 a současě dívky z ) Určete všecha N; pro ěž platí C ( ) 8. Řešeí: C ( ) kvadratickou rovici řešíme rozkladem kvadratického trojčleu a souči 0 8 N 7 N Zadáí vyhovuje koře 8 6

7 6) Zmeší-li se počet prvků o, zmeší se počet kombiací druhé třídy z těchto prvků třikrát. Kolik je prvků? Řešeí: C C podmíka: > ; N C C / /: teto koře evyhovuje podmíce Počet prvků je 0. 7

8 PRACOVNÍ LIST KOMBINACE BEZ OPAKOVÁNÍ Řešte ásledující příklady: ) Basketbalové družstvo tvoří pět hráčů. Vypočtěte, kolik možostí má pro sestaveí družstva treér, má-li k dispozici hráčů. ) Při setkáí si přátelé podali každý s každým ruku. Počet těchto podáí byl 78. Určete, kolik bylo přátel. ) Zjistěte, kolik kružic je určeo deseti body, jestliže žádé tři z těchto bodů eleží a přímce a žádé čtyři a kružici. ) Ze sedmi mužů a čtyř že se má vybrat šestičleá skupia, v íž jsou alespoň tři žey. Vypočtěte, kolika způsoby to lze provést. 8

9 PRACOVNÍ LIST KOMBINACE BEZ OPAKOVÁNÍ ) Určete, kolik kružic je určeo deseti body, jestliže žádé tři z těchto bodů eleží a přímce a žádé čtyři a kružici. 6) Určete, kolika způsoby lze a čtvercové šachovici se 6 poli vybrat trojici polí tak, aby všecha pole ebyla téže barvy. 7) Test přijímací zkoušky se skládá z otázek. Jsou to otázky z dějepisu (připraveo je jich 0), otázky z občaské auky (připraveo je jich ) a otázka ze zeměpisu (připraveo je jich 0). Kolik variat testu připraveé otázky umožňují? 9

10 PRACOVNÍ LIST KOMBINACE BEZ OPAKOVÁNÍ 8) V kůlě je sedm bílých a 6 červeých kuliček. Při kolika pokusech vybráí kuliček budou mezi imi: a) právě dvě bílé b) aspoň dvě bílé 9) Určete počet úhlopříček v kovexím úhelíku. 0

11 PRACOVNÍ LIST KOMBINACE BEZ OPAKOVÁNÍ 0) Na kružici jsou dáy body A, A,..., A. Idexy bodů určují jejich pořadí. Určete: a) počet tětiv určeých těmto body b) počet trojúhelíků s vrcholy v těchto bodech c) počet kovexích čtyřúhelíků s vrcholy v těchto bodech ) Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet kombiací druhé třídy z těchto prvků vytvořeých o 0. Kolik je prvků?

12 PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ ) V oddíle stolího teisu tréuje 0 chlapců a děvčat. Kolika způsoby z ich můžeme vybrat soutěží družstvo skládající se ze chlapců a dívek? ) Určete, kolika způsoby lze ze sady dvaácti růzobarevých pastelek, mezi imiž je jeda čerá, vybrat tři tak, aby: a) jeda z ich byla čerá b) ai jeda ebyla čerá ) Ve třídě je 0 žáků, z toho děvčat. Kolika způsoby můžeme z této třídy sestavit takové sedmičleé družstvo, aby v ěm byla děvčata. ) V rotě je důstojíků a 0 vojáků. Kolika způsoby lze sestavit službu, která se skládá z jedoho důstojíka a tří vojáků? ) Kolika způsoby lze osvětlit místost, v íž je pět růzých lamp a každá má samostatý vypíač? 6) Na brigádě s celodeím režimem bylo chlapců a 0 děvčat. Kolik růzých služeb je možo určit, jestliže se služba skládá ze dvou chlapců a jedoho děvčete? 7) Je dáo 0 růzých bodů v prostoru, z ichž žádé tři eleží a jedé přímce a žádé čtyři v jedé roviě. Kolik rovi lze těmto body určit? Kolik rovi lze těmto body určit, jestliže čtyři z ich leží v jedé roviě? 8) Jízdeky dopravího podiku mají devět očíslovaých okéek. Kolika způsoby lze astavit kód ozačovacího strojku, jestliže se děrují tři ebo čtyři okéka? 9) Kolik prvků je třeba mít, aby z ich bylo možo utvořit šestkrát více kombiací. třídy ež kombiací. třídy? 0) Zmeší-li se počet prvků o, zmeší se počet kombiací druhé třídy z těchto prvků vytvořeých o. Kolik je prvků?

13 Sezam použité literatury Výukové materiály a ěkteré úlohy a cvičeí jsou autorsky vytvořey pro učebí materiál. E. CALDA, V. DUPAČ: Matematika pro gymázia Kombiatorika, pravděpodobost a statistika. Prometheus, 006 O. PETRÁNEK, E. CALDA, P. HEBÁK: Matematika pro SOŠ a studijí obory SOU,. část. Prometheus 006 M. HUDCOVÁ, L. KUBIČÍKOVÁ: Sbírka úloh z matematiky pro středí odboré školy, středí odborá učiliště a ástavbové studium. Prometheus 00 P. ČERMÁK, P. ČERVINKOVÁ: Odmaturuj z matematiky. Didaktis 007 F. JIRÁSEK, K. BRANIŠ, S. HORÁK, M. VACEK: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijí obory SOU,. Část.