PRACOVNÍ SEŠIT ROVNICE A NEROVNICE. 3. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

Transkript

1 Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 3. tematický okruh: ROVNICE A NEROVNICE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ z matematiky školní rok 014/015

2 Toto je bonus číslo 1 k výukovému videu: Rovnice a nerovnice. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňuj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a budeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když už tě Rovnice a nerovnice unaví, nebo tě přestanou bavit, dej si jednoduše pauzu a pokračuj později. Pracovní sešit ti bude sloužit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k tématu Rovnice a nerovnice musíš znát. Není už tedy třeba hledat informace v učebnicích, starých sešitech nebo si platit doučování. Příjemné učení s Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním produktem, který doprovází výukové video Rovnice a nerovnice. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešitu třetím osobám bez souhlasu autorky je zakázáno! Děkuji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiálu rozumíte, že jakékoli použití informací z tohoto materiálu a úspěchy či neúspěchy z toho plynoucí, jsou pouze ve Vašich rukách a autorka za ně nenese žádnou zodpovědnost.

3 3. ROVNICE A NEROVNICE 3.1 ALGEBRAICKÉ ROVNICE A NEROVNICE Rovnice Co je to rovnice? Máme-li dva L(x) a P(x) s proměnnou x a musíme-li určit hodnoty proměnné x, pro které jsou si hodnoty obou výrazů, potom tuto úlohu zapíšeme ve tvaru: který se nazývá rovnice. x x L P, Výrazu L(x) se říká strana rovnice. Výrazu P(x) se říká strana rovnice. Proměnná x v rovnici se nazývá:. Pomocí rovnic se snažíme vyjádřit, že něco se má rovnat něčemu. Rovnice může vypadat třeba takto: x 1 9 LEVÁ STRANA PRAVÁ STRANA Řešení rovnice Hodnoty neznámé x (tj. určitá konkrétní čísla), pro které je rovnice splněna, se nazývají kořeny (řešení) rovnice. Některé rovnice mohou mít více než jeden kořen ( x 1, x,, xn ). Množinu všech kořenů (řešení) rovnice budeme značit K x, x,,. 1 Číselný obor, ve kterém hledáme kořeny (řešení) rovnice, nazýváme oborem řešení rovnice. Pozn.: Pokud nebude uvedeno jinak, řešíme vždy nad oborem čísel. x n 3

4 Nerovnice Co je to nerovnice? Máme-li dva výrazy L(x) a P(x) s proměnnou x a musíme-li určit hodnoty proměnné x, pro které je: Lx Px, nebo Lx Px, nebo L x > Px, nebo x Px L, pak jakýkoliv z těchto zápisů nazýváme nerovnice. Stejně tak jako u rovnic používáme podobné názvosloví: L(x) - nerovnice P(x) - nerovnice x neznámá Pomocí nerovnic se snažíme vyjádřit, že něco je menší než něco jiného, popř. je to menší nebo rovno něčemu jinému, respektive větší, eventuálně větší nebo rovno. Nerovnice může vypadat například následovně: 3x 1 5 Řešení nerovnice Hodnoty neznámé x (tj. určitá konkrétní čísla), pro které je nerovnice splněna, se nazývají ( ) nerovnice. Množinu všech kořenů (řešení) nerovnice značíme K. Nejčastěji se bude jednat o nějaký. Číselný obor, ve kterém hledáme kořeny (řešení) nerovnice, nazýváme nerovnice. Tím bude nejčastěji obor reálných čísel. 4

5 Algebraické rovnice a nerovnice Algebraická rovnice n-tého stupně, neboli neznámé je rovnice, která se dá upravit na tvar: rovnice n-tého stupně, o jedné n n1 anx an 1x a1x a0 0, kde levou stranu rovnice tvoří polynom n-tého stupně, přičemž n N, a0,, an R. Algebraická nerovnice n-tého stupně, bude mít tedy jen místo rovnítka jeden ze znaků:,, nebo. Příklady: lineární rovnice.. lineární nerovnice.. kvadratické rovnice.. kvadratická nerovnice.. kubické rovnice.. kubická nerovnice.. Ekvivalentní úpravy rovnice a nerovnice Pro nalezení řešení rovnic/nerovnic používáme různé rovnic/nerovnic, zvláště důležité jsou tzv. ekvivalentní úpravy. Jsou to úpravy, které danou rovnici/nerovnici převádějí na rovnici/nerovnici, jejíž množina všech kořenů je množině všech kořenů dané rovnice/nerovnice. Přehled ekvivalentních úprav rovnice: Vzájemná VÝMĚNA STRAN rovnice. PŘIČTENÍ nebo ODEČTENÍ čísla či výrazu s neznámou, který je definován v celém oboru řešení rovnice, k oběma stranám rovnice. 5 x 3 1 x 5

6 VYNÁSOBENÍ nebo VYDĚLENÍ obou stran rovnice stejným číslem různým od, nebo stejným výrazem, který nabývá jen nenulových hodnot v celém oboru řešení rovnice. UMOCNĚNÍ nebo ODMOCNĚNÍ obou stran rovnice týmž přirozeným mocnitelem, resp. přirozeným odmocnitelem, jestliže jsou obě dvě strany rovnice v celém oboru řešení rovnice. x 49 x 3 x 5 3x Přehled ekvivalentních úprav nerovnice: 3x 4 x Vzájemná VÝMĚNA STRAN nerovnice s tím, že se současně změní znak nerovnosti v. PŘIČTENÍ nebo ODEČTENÍ stejného čísla či výrazu s neznámou, který je definován v celém oboru řešení, k oběma stranám nerovnice. VYNÁSOBENÍ nebo VYDĚLENÍ obou stran nerovnice číslem, nebo výrazem s neznámou, který nabývá jen kladných hodnot v celém oboru řešení nerovnice. VYNÁSOBENÍ nebo VYDĚLENÍ obou stran nerovnice číslem, nebo výrazem s neznámou, který nabývá jen záporných hodnot v celém oboru řešení nerovnice, přitom znak nerovnosti se mění v!!! 6

7 UMOCNĚNÍ nebo ODMOCNĚNÍ obou stran nerovnice týmž přirozeným mocnitelem, resp. přirozeným odmocnitelem, jestliže jsou obě dvě strany nerovnice v celém oboru řešení nerovnice x 6 3 x 10 x 5 Zkouška Zkouška slouží k ověření, zda vypočítaná řešení jsou opravdu správná. Zkoušku u řešení rovnice provádíme tak, že: L(x)= P(x)= Zkoušku u řešení nerovnice provádíme tak, že: L(x)= P(x)= Zkouška je nutnou součástí řešení v případě, že všechny úpravy, které se v průběhu výpočtu používaly, ekvivalentní! 7

8 Příklady: Vypočítejte a proveďte zkoušku : x 3 5 x x 5 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A JEJICH SOUSTAVY Lineární rovnice o jedné neznámé Lineární rovnice s neznámou x je každá rovnice tvaru: ax b 0 kde a, b jsou libovolná čísla. Příklady lineárních rovnic: 3x 0 4x 5 13 x 3 x 14 x 5 x 1 3x x, Vyjádření neznámé ze vzorce Pokud máme jistý vzorec a máme z něj vyjádřit nějakou proměnnou, postupujeme následovně: 8

9 1. Uvědomíme si, že zadaný vzorec představuje vlastně!. Tu proměnnou, kterou musíme vyjádřit, si představíme jako v rovnici. 3. Ostatní proměnné si představujeme jako - čísla. 4. Rovnici tak, abychom získali tvar: neznámá = Vyjádřete proměnnou v ze vzorce pro výpočet S r r v v? Vyjádřete proměnnou a ze vzorce: a b c 3 a=? Vyjádřete proměnnou k ze vzorce: 3 m k k=? 5 Řešení rovnic v součinovém a podílovém tvaru Rovnice v součinovém tvaru: ax b cx d 0 Při řešení si musíme zodpovědět otázku: tedy řešíme dvě rovnice: ax b 0 cx d 0 9

10 x 63 x 0 ax b Rovnice v podílovém tvaru: 0 cx d Při řešení si musíme zodpovědět otázku: tedy řešíme rovnici: ax b 0, naopak: cx d 0 4 7x x 5 0 Další příklady: x 3 5x 1 0 x x x 0 10

11 Početní řešení soustavy lineárních rovnic s více neznámými Při řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých můžeme využít jednu z následujících metod: a) Sčítací ( ) metoda - rovnice soustavy vynásobíme zvolenými čísly tak, aby se po sečtení vynásobených rovnic jedna neznámá. 7x 3y 36 5x y 5 b) Dosazovací ( ) metoda - vyjádříme jednu neznámou z jedné zvolené soustavy a pak ji do druhé rovnice, tím se jedna neznámá s této rovnice vyloučí. 4x y 3 x 3y 14,5 11

12 c) Srovnávací ( ) metoda - z obou rovnic vyjádříme jednu stejnou, výsledky porovnáme a tím získáme novou, ve které již tato neznámá není. 3x y 14 x y 9 Počet řešení: Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých a) má právě jedno řešení: K x; y b) nemá žádné řešení: K 0 c) má nekonečně mnoho řešení: K x; y f x Příklady: b) x 3y 3 6x 9y 5 c) 9x 6y 4,5 6x 4y 3 1

13 Grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Je potřeba si uvědomit, že množinou všech bodů, jejichž souřadnice splňují lineární rovnici se dvěma neznámými x, y R, je. Sestrojíme tedy dvě přímky, které odpovídají daným lineárním rovnicím soustavy. Řešení této soustavy pak představují body obou přímek. Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých: a) má právě jedno řešení, jestliže jsou přímky různoběžné. Řešením jsou souřadnice průsečíku. b) nemá žádné řešení, jestliže jsou přímky rovnoběžné různé. c) má nekonečně mnoho řešení, pokud obě přímky splývají. Příklady: x y 1 x y 4 x y 1 4x y x y 1,5 x y 3 13

14 Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic a jejich soustav Příklady: Neznámé číslo nejprve zvětšíme o sedminu jeho hodnoty, potom zmenšíme o 7. Po vynásobení výsledku dvěma dostaneme původní neznámé číslo. Určete neznámé číslo. Záhon má tvar obdélníku s obvodem 0,4 m. Kdyby byl záhon o 1 m delší a o 1 m užší, byla by jeho výměra menší o, m. Určete rozměry záhonu. 3.3 ROVNICE S NEZNÁMOU VE JMENOVATELI Řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli Protože neznámá se v těchto rovnicích objevuje ve, musíme vždy určit, za kterých se jmenovatel nebude rovnat. Určujeme v podstatě definiční obor rovnice. Po určení podmínek celou rovnici nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů, tak abychom se zlomků zbavili. 14

15 Příklady: 3x 5 x 1 7 x x x x 3 x x x 3 x x Vyjádření neznámé ze vzorce Vyjádřete proměnnou a ze vzorce: 1 a 5b 3 a=? Vyjádřete proměnnou k ze vzorce: 5m T 1 k k=? Slovní úloha Hranice zemědělského pole má tvar pravoúhelníku o rozloze 0, ha. Pole bylo rozděleno hranicí na dva obdélníky, které se liší pouze v délce jedné strany a to o 10 m. Obsahy obdélníků jsou v poměru 3:. Jaké jsou rozměry většího obdélníku? 15

16 3.4 KVADRATICKÉ ROVNICE Kvadratické rovnice o jedné neznámé Kvadratická rovnice s neznámou x je každá rovnice tvaru: ax bx c 0 kde a, b, c jsou libovolná čísla, ovšem a 0. Příklady kvadratických rovnic: Řešení kvadratických rovnic Při řešení každé kvadratické rovnice hraje důležitou roli číslo: D b 4ac, tzv. kvadratické rovnice Pro D > 0, má kvadratická rovnice. x 1, b a D x 13x 40 0 Pro D 0, má kvadratická rovnice. x x 1 b a 16

17 4x 1x 9 0 Pro D 0, má kvadratická rovnice. 3x x 5 0 Další příklady: 4x 3 3x x 4 1 x Řešení neúplných kvadratických rovnic Bez použití diskriminantu můžeme řešit tzv. neúplné kvadratické rovnice. Jedná se o rovnice, u kterých chybí buďto člen, nebo člen. Příklady: x x 1x 0 x 5x 0 3x

18 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Mezi kořeny x1, x a koeficienty a, b, c ( ) libovolné kvadratické rovnice ax bx c 0, resp. příslušné kvadratické rovnice x px q 0 platí tzv. Vietovy vztahy: x 1 x x x 1 b p a c q a Příklady: x 9x 0 0 x 5x 14 0 Slovní úlohy Příklady: Na střední škole je zapsáno 780 studentů. Počet tříd je o 4 větší než průměrný počet studentů v každé třídě. Určete počet tříd na škole. Pepíček pozoroval babiččin dvorek se zvířaty. Babička měla slepice, husy, kterých bylo o 4 více než slepic, dva kohouty a psa. Pepíček zjistil, že když vynásobí počet slepic počtem hus, dostane jako výsledek počet nohou všech zvířat, která na dvorku jsou. Kolik bylo zvířat na dvorku? 18

19 3.5 LINEÁRNÍ NEROVNICE S JEDNOU NEZNÁMOU A JEJICH SOUSTAVY Řešení lineárních nerovnic Připomínám : Lineární nerovnice řešíme podobně jako lineární rovnice provádíme ekvivalentní úpravy, akorát místo = je zde jeden ze znaků nerovnosti:,, nebo. Pozor musíme dát akorát při násobení nebo dělení nerovnice číslem, protože v tomto případě musíme otočit znak nerovnosti! Řešením nerovnice nad oborem reálných čísel je nejčastěji. Příklady: 3x 1 x 7 5x 1 3x 4 x 1 Řešení soustav lineárních nerovnic o jedné neznámé Soustavy lineárních nerovnic řešíme tak, že řešíme nejprve každou nerovnici zvlášť. Výsledkem soustavy je pak řešení, tedy nejčastěji intervalů. Příklady: 6 x 5 > 10 x x 8 x 16 x 5 4 x 1 7x 19

20 Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Nerovnice v součinovém tvaru: Nerovnice v podílovém tvaru: ax b ax 0 cx d bcx d 0 Při řešení si musíme zodpovědět otázku: řešíme pomocí diskuze: buďto A) ax b 0 cx d > 0 nebo B) ax b 0 cx d 0 x 73x 5 0 Nerovnice v součinovém tvaru: Nerovnice v podílovém tvaru: ax b ax 0 cx d bcx d 0 Při řešení si musíme zodpovědět otázku: 0

21 řešíme pomocí diskuze: buďto A) ax b 0 cx d 0 nebo B) ax b 0 cx d > 0 4 x 0 8x 3 PERFEKTNÍ, TEORII K ROVNICÍM A NEROVNICÍM MÁŠ ZA SEBOU! A MŮŽEŠ POKRAČOVAT DÁL 1