ÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová, Adéla Vrtková

Transkript

1 ÚVOD DO TEORIE ODHADU Martina Litschmannová, Adéla Vrtková

2 Obsah Výběrové charakteristiky parametry populace vs. výběrové charakteristiky Úvod do teorie odhadu bodové odhady vs. intervalové odhady intervalové odhady jednovýběrové rozdílů, resp. podílů, parametrů dvou populací

3 Výběrové charakteristiky vs. parametry populace Parametry populace (obvykle pro jejich značení používáme symboly řecké abecedy) jsou konstanty. Charakteristiky výběru (obvykle značíme latinkou) jsou obvykle různé v závislosti na pořízeném výběru. Jsou to náhodné veličiny. Základní soubor (populace) Výběrový soubor (výběr) střední hodnota μ průměr തX medián x 0, 5 výběrový medián X 0,5 rozptyl σ 2 výběrový rozptyl S 2 směr. odchylka σ výběrová směr. odchylka S pravděpodobnost π rel. četnost π Poznámka: തX, μ Ƹ průměr (obecně, tj. průměr nějakého výběru, náhodná veličina), x ҧ průměr (konkrétní realizace, tj. průměr daného výběru, jedno číslo), p relativní četnost (konkrétní realizace zjištěna z daného výběru)

4 Úvod do teorie odhadu

5 Lze určit střední hodnotu životnosti el. součástek? Lze určit účinnost léku? Lze určit, který výrobce vyrábí kvalitněji? Neznáme-li rozdělení náhodné veličiny X, pak parametry náhodné veličiny X nelze většinou přesně určit, lze je jen odhadnout.

6 Jak odhadnout parametry populace? Bodový odhad - parametr základního souboru aproximujeme jediným číslem Intervalový odhad parametr populace aproximujeme intervalem, v němž s velkou pravděpodobností příslušný populační parametr leží.

7 Bodový odhad Mějme náhodný výběr X 1, X 2,, X n z určitého rozdělení, které závisí na neznámém parametru θ. Odhadem T parametru θ je pak výběrová charakteristika T X 1, X 2,, X n, která nabývá hodnot blízkých neznámému parametru θ. Vybrané populační parametry a jejich bodové odhady: konstanty obecně značíme θ Základní soubor (populace) Výběrový soubor (výběr) střední hodnota μ průměr തX medián x 0, 5 výběrový medián X 0,5 rozptyl σ 2 výběrový rozptyl S 2 směr. odchylka σ výběrová směr. odchylka S pravděpodobnost π rel. četnost π náhodné veličiny obecně značíme T X

8 Interval spolehlivosti vs. intervalový odhad Interval spolehlivosti (konfidenční interval) pro parametr θ se spolehlivostí 1 α, kde α 0; 1, je taková dvojice statistik T D, T H, že Intervalový odhad t D, t H P T D θ T H = 1 α. je jednou z realizací intervalu spolehlivosti. V čem spočívá výhoda intervalových odhadů vůči bodovým odhadům? Přinášejí informaci o nejistotě (nepřesnosti) odhadu.

9 Co je co v terminologii intervalových odhadů? P T D θ T H = 1 α hledaný parametr (konstanta, kterou nejsme schopni přesně určit) spolehlivost odhadu, tj. pravděpodobnost s níž hledaný parametr θ leží v intervalu T D ; T H meze intervalu spolehlivosti (náhodné veličiny)

10 odhad Co to znamená, že spolehlivost odhadu je 1-α? realizace Simulace intervalových odhadů střední hodnoty (spolehlivost 0,95) získaných na základě opakovaných výběrů o rozsahu 30 z populace se střední hodnotou intervalů ze 100 neobsahuje skutečnou střední hodnou.

11 Jaké máme požadavky na interval spolehlivosti? P T D θ T H = 1 α hladina významnosti Co největší spolehlivost odhadu. Co nejmenší šířka intervalu spolehlivosti. (S rostoucí šířkou intervalového odhadu klesá významnost získané informace.) Závěr: S rostoucí spolehlivostí se zvětšuje šířka intervalového odhadu a tím klesá významnost takto získané informace. Nutnost kompromisu α = 05, resp. 0,01nebo 0,10 S rostoucím rozsahem výběru se šířka intervalového odhadu snižuje.

12 Jaké jsou typy intervalů spolehlivosti? oboustranné P θ < T D = P θ > T H = α 2 Tyto dvě podmínky zaručují, že P T D θ T H = 1 α. jednostranné (odhadujeme-li například délku života nějakého zařízení, je pro nás důležitá pouze dolní mez) levostranné: P θ T D = 1 α pravostranné : P θ T H = 1 α

13

14

15

16 stejné rozdělení p-sti

17 hustota pravděpodobnosti Normalita dat častý předpoklad pro metody stat. indukce Normální rozdělení bývá vhodné k popisu náhodných veličin, které lze interpretovat jako aditivní výsledek mnoha nepatrných a vzájemně nezávislých faktorů (např. výška člověka, IQ, délky končetin ). Norm. rozdělení popisuje náhodné veličiny, jejichž hodnoty se symetricky shlukují kolem střední hodnoty a vytvářejí tak charakteristický tvar hustoty pravděpodobnosti známý pod názvem Gaussova křivka. X N μ; σ 2 f x = 1 σ 2π e 1 2 x μ σ 2 střední hodnota rozptyl

18 Normalita dat častý předpoklad pro metody stat. indukce X N μ; σ 2 f x = 1 σ 2π e 1 2 x μ σ 2 Vliv střední hodnoty μ na pozici Gaussovy křivky Vliv směrodatné odchylky σ na tvar Gaussovy křivky 0,4 stř. hodnota; sm. odchylka 0; 1 0,4 stř. hodnota; sm. odchylka 5; 1 5; 1 5; 3 0,3 0,3 10; 1 5; 5 f(x) 0,2 f(x) 0,2 0,1 0, x x

19 Pravidlo 3σ Zdroj:

20 Posouzení normality dat na základě explorační analýzy Posouzení na základě číselných charakteristik Výběrová šikmost i špičatost blízká nule (v praxi leží v intervalu 2; 2 ) Posouzení na základě grafických výstupů Histogram Odhad hustoty pravděpodobnosti Odhad distribuční funkce (empirická distribuční funkce) Q-Q graf

21 Histogram Pozor na zvolené členění - počet tříd!

22 Odhad hustoty pravděpodobnosti

23 Q-Q graf

24 Q-Q graf

25 Posuzování normality na základě explorační analýzy pro vybrané typy výběrových souborů

26

27

28 Q-Q graf ve tvaru S

29

30 Jak ověřit shodu rozptylů dvou populací na základě explorační analýzy? s A = 36 mah s D = 38 mah s2 max s min ,12 < 2 nepředpokládáme, že výběry pocházejí z populací s různými rozptyly

31 Jak ověřit shodu rozptylů dvou populací na základě explorační analýzy? s A = 36 mah s B = 15 mah s2 max s min ,76 > 2 předpokládáme, že výběry pocházejí z populací s různými rozptyly

32 DĚKUJI ZA POZORNOST!