4 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

Transkript

1 4 ZÁKLADNÍ TYY ROZDĚLENÍ RAVDĚODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. Rovnoměrné rozdělení Rn - má náhodná velčna terá může nabýt n různých hodnot z nchž aždá je stejně ravděodobná Defnce 4..: Náhodná velčna má rovnoměrné rozdělení Rn rávě tehdy dyž její ravděodobnostní funce je určena vztahem: = n de n je očet možných výsledů. n H... n n... ; : rovnoměrné rozdělení Rn s arametrem n F: n n F n 3 řílad 4..: Náhodná velčna udává očet bodů teré adnou ř hodu jednou ostou. Určete její ravděodobnostní func dstrbuční func F střední hodnotu E a roztyl D. očet bodů teré adnou ř hodu jednou ostou R 34 H... ; : F: F

2 3... E ] [ E E D 4. Alternatvní rozdělení A - má náhodná velčna terá může nabýt ouze dvou hodnot: a - odovídá náhodnému ousu N u terého rozlšujeme ouze dva výsledy nař. u hodu mncí můžou nastat ouze dvě stuace adne rub nebo adne líc. Taovýto ous nazýváme alternatvní náhodný ous AN. oud jeden ze dvou možných výsledů alternatv označíme jao zdar a druhý jao nezdar můžeme alternatvní NV defnovat jao očet zdarů ř jedné realzac alternatvního náhodného ousu. Označme: A zdar; A A nezdar; A očet zdarů ř realzac AN A alternatvní NV Defnce 4..: Náhodná velčna s ravděodobnostní funcí má alternatvní rozdělení ravděodobnost A s arametrem. H : alternatvní rozdělení A s arametrem F: F E.... ] [ E E D řílad 4..: ravděodobnost zásahu cíle je 7. Určete rozdělení dstrbuční func střední hodnotu a roztyl náhodné velčny udávající očet zásahů cíle ř jednom výstřelu. očet zásahů cíle ř jednom výstřelu A7 H 7 3 :

3 F: F 3; E 7 D Bnomcé rozdělení Bn - má náhodná velčna terá udává očet zdarů ř n nezávslých realzacích AN Bnomcé rozdělení tedy dostáváme tehdy dyž alternatvní náhodný ous oaujeme n- rát o sobě anž bychom měnl systém odmíne za terých je ous realzován. Dále se ředoládá že jednotlvé ousy jsou na sobě nezávslé to znamená že výslede žádného z těchto ousů nezávsí na tom jaé výsledy nastaly u ousů ostatních. Taováto sére ousů bývá označována jao Bernoullho oslounost. Je to tedy sére ousů z nchž u aždého rozlšujeme ouze dva výsledy zdar a nezdar řčemž ravděodobnost zdaru je u všech ousů onstantní. Označme: A zdar; A A nezdar; A očet zdarů ř n nezávslých realzacích AN B n bnomcá NV Defnce 4.3.: Náhodná velčna má bnomcé rozdělení Bn s arametry n a rávě tehdy dyž její ravděodobnostní funce je určena vztahem: n n =... n de n je očet ousů a je ravděodobnost zdaru v aždém ousu. H... n n n : bnomcé rozdělení Bn s arametry n a E n. D n.. oznáma: Alternatvní rozdělení je secálním říadem bnomcého rozdělení ro n =. Bnomcým rozdělením lze osat nařílad: očet chlaců mez novorozenc očet vadných výrobů mez testovaným očet šeste ř hodech ostou 3 Vlv arametrů n a na tvar ravděodobnostní funce bnomcé náhodné velčny je znázorněn na Obr. 4.3.: 3

4 Obr. 4.3.: řílad 4.3.: ravděodobnost zásahu cíle je 7. Určete rozdělení dstrbuční func střední hodnotu a roztyl náhodné velčny udávající očet zásahů cíle ř třech nezávslých výstřelech. očet zásahů cíle ř třech nezávslých výstřelech B3;7 n 3; 7; H 3 : F: ; 7 ; F ; 7 ; 3 ; 3 E n. 3.7 D n řílad 4.3.: Na záladě statstcých údajů byla stanovena ravděodobnost narození dívy 48. Jaá je ravděodobnost že v rodně s 8 dětm jsou: a rávě 3 dívy b více než dívy c méně než 3 dívy. 4

5 očet díve v rodně s osm dětm B8;48 n 8; 48; H a b { } c 3 { } 83 řílad 4.3.3: ravděodobnost že student zasí a řjde ozdě na řednášu je 3%. V semestru je řednáše - tzn. nezávslých ousů dorazt na řednášu včas. Vyočtěte ravděodobnost toho že student nesthne řednášu v důsledu zasání v olovně nebo více říadech. očet zasání ve říadech B;3 n ; 3; H Hledaná ravděodobnost má hodnotu: oznáma: Ruční výočet je v tomto říadě oměrně zdlouhavý roto s rác můžeme usnadnt oužtím něterého statstcého rogramu nebo Ecelu. V Ecelu je mlementována funce BINOM.DIST terá umožňuje vyočítat hodnoty dstrbuční ravděodobnostní funce bnomcého rozdělení. Tato funce má 4 arametry a oužívá se následovně: - chceme-l vyočíst hodnotu ravděodobnostní funce bnomcého rozdělení Bn v bodě voláme func BINOM.DIST ve tvaru BINOM.DIST ; n; ; - očítáme-l u téhož rozdělení hodnotu dstrbuční funce v bodě volíme u osledního arametru hodnotu. Navíc musíme brát v otaz menší nedostate Ecelu a sce ten že užívá ro defnc dstrbuční funce vztah F = na rozdíl od obecně užívaného vztahu F = < se terým racujeme my. ro náhodnou velčnu s rozdělením Bn tedy vyočteme jao BINOM.DIST ; n; ;. řílad 4.3. a v Ecelu vyočítáme velce jednoduše tato: a 3 BINOM.DIST3;8;48; 3 b BINOM.DIST;8;48; 83 c 3 BINOM.DIST;8;48; a řílad tato: BINOM.DIST;;3; 8 Rozdělení ravděodobnost ro řílad je znázorněno grafcy na Obr. 4.3.:

6 ravděodobnost Obr. 4.3.: očet zasání 4.4 Hyergeometrcé rozdělení HNMn - má náhodná velčna terá udává očet rvů sledované vlastnost mez n vybraným - odovídá tzv. výběru bez vracení naoa bnomcé rozdělení odovídá výběru s vracením Hyergeometrcé rozdělení tedy dostáváme tehdy dyž náhodný ous oaujeme n-rát řčemž jednotlvé ousy jsou vzájemně závslé výslede v lbovolném ousu závsí na výsledcích v ředcházejících ousech. ředoládejme že v záladním souboru N rvů je M rvů s danou vlastností. Náhodně vybereme n rvů z nchž žádný nevracíme zět. Mějme tedy následující označení: N očet rvů záladního souboru ZS M očet rvů ZS majících sledovanou vlastnost n očet rvů teré vybíráme ze ZS očet rvů sledované vlastnost mez n vybraným H N M n hyergeometrcá NV Defnce 4.4.: Náhodná velčna má hyergeometrcé rozdělení HN M n s arametry N M a n rávě tehdy dyž její ravděodobnostní funce je určena vztahem: M N M n N n. H ma M N n...mn M n

7 M N M n : N n hyergeometrcé rozdělení HNMn s arametry N M a n M E n N M N n D n N M N N oznáma: ravděodobnostní func hyergeometrcého rozdělení lze snadno odvodt z lascé defnce ravděodobnost jao očet všech říznvých stuací u očtu všech možných stuací. Hyergeometrcé rozdělení hraje významnou rol ř statstcé ontrole jaost v říadech dy zoumáme jaost malého očtu výrobů nebo dyž má ontrola ráz destruční zoušy tj. výrobe je ř zoušce znčen. 3 Hyergeometrcým rozdělením lze osat nařílad: očet vadných výrobů mez 8 vybraným z dodávy výrobů mez nmž bylo 7 vadných očet díve v náhodně vybrané suně 4 dětí ze třídy v níž je 3 chlaců a díve očet cbulí bílých tulánu v balíču cbulí vybraných ze směs terá obsahuje cbulí žlutých a cbulí bílých tulánů 4 Hodnoty dstrbuční ravděodobnostní funce hyergeometrcého rozdělení lze vyočíst rovněž v Ecelu - užtím funce HYGEOM.DIST. ro náhodnou velčnu s rozdělením HN M n a latí: HYGEOM.DI ST ; n; M; N; HYGEOM.DI ST ; n; M; N; řílad 4.4.: Mez stovou výrobů je zmetů. Vybereme deset výrobů. Jaá je ravděodobnost že mez nm budou rávě 3 zmety? očet zmetů mez vybraným H N ; M ; n ; H HYGEOM.DIST3;;;; oznáma: Rozdělení ravděodobnost ro řílad 4.4. je znázorněno grafcy na Obr. 4.4.: 7

8 ravděodobnost Obr. 4.4.: očet zmetů řílad 4.4.: Mez vajíčy určeným ro rodej v jsté maloobchodní rodejně je vajíče raslých. Jaá je ravděodobnost že vybereme-l náhodně vajec a jedno z vajíče bude raslé b asoň tř vajíča budou raslá c žádné vajíčo nebude raslé? očet raslých vajíče mez vybraným H N ; M ; n ; H a 334 HYGEOM.DIST;;;; b HYGEOM.DI ST;;;; 9 c 87 HYGEOM.DIST;;;; 4. ossonovo rozdělení oλ - má náhodná velčna terá udává očet ossonovsých náhodných jevů teré se vysytnou v daném úseu 8

9 ossonovo rozdělení ojmenované odle francouzsého matemata S. D. ossona mají náhodné velčny teré osují četnost ossonovsých náhodných jevů což jsou jevy slňující tyto vlastnost: - známe růměrný očet výsytů jevu v daném úseu časovém nebo rostorovém - to jestl jev v daném úseu nastane nezávsí na tom zda nastal nebo nenastal v úseu jném - ravděodobnost výsytu jevu v úseu dély l je římo úměrná velost tohoto úseu a je ve všech úsecích stejné velost stejná - ravděodobnost že by dva jevy nastaly současně řesně v jednom oamžu nebo místě je zanedbatelná. Označme: růměrný očet výsytů zoumaného jevu v daném úseu očet jevů teré v daném úseu nastanou o ossonovsá NV Defnce 4..: Náhodná velčna má ossonovo rozdělení o rávě tehdy dyž udává očet ossonovsých náhodných jevů teré nastanou v určtém úseu. Její ravděodobnostní funce má tvar: e 3...! de značí růměrný očet výsytů zoumaného jevu v daném úseu. H... : e ossonovo rozdělení oλ s arametrem λ! E D oznáma: Hodnoty ossonova rozdělení jsou uvedeny ve statstcých tabulách. ossonova rozdělení užíváme ro nahrazení bnomcého rozdělení s velým n a malým. ro n a tedy latí: n n ~ e de n.! 3 ossonovým rozdělením lze osat nařílad: očet acentů ošetřených během dooledních ordnačních hodn očet mroorgansmů v ltru vody očet azů v daném vzoru láty 4 Hodnoty dstrbuční ravděodobnostní funce ossonova rozdělení vyočteme v Ecelu užtím funce OISSON.DIST. ro náhodnou velčnu s rozdělením o latí: OISSON.DIST ; ; OISSON.DIST ; ; Vlv arametru na tvar ravděodobnostní funce ossonovsé náhodné velčny je znázorněn na Obr. 4..: 9

10 ravděodobnost Obr. 4..: řílad 4..: Dlouhodobým ozorováním bylo zjštěno že na dané výrobní lnce dojde v růměru 3 oruchám týdně. Zjstěte jaá je ravděodobnost že očet oruch na této lnce za jeden den bude větší než 4. očet oruch za jeden den o růměrný očet oruch za jeden den 3/ 7 Úlohu nejlée vyřešíme omocí oačného jevu: 4 4 { 3 4}! e! e! 3 e 3! 4 e 4! e OISSON.DIST4;; oznáma: Rozdělení ravděodobnost ro řílad 4.. je znázorněno grafcy na Obr. 4..: Obr. 4..: očet oruch za den

11 řílad 4..: racovní obsluhuje 8 vřeten na teré se navíjí říze. ravděodobnost řetržení říze v case t je na aždém vřeten řčemž řetržení řízí na jednotlvých vřetenech jsou navzájem nezávslé jevy. Jaá je ravděodobnost že se za čas t říze roztrhne rávě na čtyřech vřetenech? očet řízí teré se řetrhnou v čase t B8; n 8; ; H BINOM.DIST4;8;; 4 ro velá n a malá můžeme bnomcé rozdělení nahradt rozdělením ossonovým vz oznáma str.9 de n.. Můžeme tedy uvažovat náhodnou velčnu: očet řízí teré se řetrhnou v čase t o růměrný očet řízí teré se řetrhnou v čase t n a hledanou ravděodobnost vyočítat jao e 94 OISSON.DIST4;4;. 4! Vdíme že výsledy se lší až ve 4. desetnném místě.

12 řílady rocvčení:. Závodní střelec zasáhne cíl ř aždém výstřelu s ravděodobností 8. Určete ravděodobnost toho že ř ět výstřelech budou v cíl a rávě 3 zásahy b asoň zásahy.. Mnohaletým ozorováním stavu vody v horsé řece byla určena ravděodobnost jarní ovodně 4/. Určete střední hodnotu a roztyl očtu jarních ovodní v nejblžších letech. 3. V urně je 8 oulí z toho bílých a 3 černé. Najednou vytáhneme 4 oule. Jaá je ravděodobnost že a 3 z vytažených oulí budou bílé b nejvýš vytažené oule budou bílé? 4. Z radoatvního materálu vyzařuje růměrně 3 alfa částc za mnutu. Určete ravděodobnost že během seundy vyzáří a rávě alfa částce b žádná alfa částce c více než alfa částce d mamálně alfa částce.. Telefonní ústředna obsluhuje 3 účastníů. ravděodobnost že lbovolný účastní bude v růběhu hodny volat je. Určete ravděodobnost toho že v růběhu hodny budou volat 4 účastníc.. ravděodobnost že výrobe slňuje všechny techncé arametry je 9. Určete ravděodobnost toho že mez náhodně vybraným výroby budou a 3 vyhovující b asoň 3 vyhovující. 7. V dodávce 8 olotovarů je 8 vadných. Náhodně vybereme olotovarů jaá je ravděodobnost že mez nm bude mamálně vadný? 8. Za jasné letní noc můžeme v růměru aždých mnut vdět adat hvězdu. Jaá je ravděodobnost že během mnut uvdíme adající hvězdy?