M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

Transkript

1 VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

2 RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN Vydala Vysoká škola polytechnická Jihlava, Tolstého 6, Jihlava, 05. Schválila ediční komise Vysoké školy polytechnické v Jihlavě jako učební text. Rukopis neprošel jazykovou úpravou.

3 Obsah. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH (Zámková)..... Vzdálenost bodů, norma..... Okolí bodu, otevřená a uzavřená množina, oblast Definice funkce dvou proměnných Elementární funkce dvou proměnných grafické znázornění Úrovňové křivky - vrstevnice Spojitost funkce dvou proměnných Derivace funkcí dvou proměnných Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Tečná rovina a normála plochy Diferenciál funkce Parciální derivace vyšších řádů Derivace složené funkce Věta o implicitní funkci Normálový vektor, gradient Extrémy funkcí dvou proměnných Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Globální (absolutní) extrémy funkcí dvou proměnných Vázané extrémy funkcí dvou proměnných Cvičení INTEGRÁLNÍ POČET (Krejčová) Primitivní funkce a neurčitý integrál Výpočet neurčitého integrálu Metoda přímé integrace Metoda integrace per partes Metoda integrace substitucí Integrování racionálních lomených funkcí Určitý integrál Aplikace určitého integrálu Výpočet obsahu elementární oblasti v rovině Délka křivky Objem rotačního tělesa Plášť rotačního tělesa Nevlastní integrál... 3

4 .5.. Konvergence nevlastního integrálu Cvičení POSLOUPNOSTI A ŘADY (Hojdarová) Konvergentní a divergentní posloupnosti Nekonečné řady, základní pojmy Řady s kladnými členy Alternující řady, absolutní a neabsolutní konvergence Funkční a mocninné řady Cvičení DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE (Hojdarová) Základní pojmy Existence a jednoznačnost řešení u diferenciální rovnice.řádu Diferenciální rovnice. řádu řešitelná separací proměnných Lineární diferenciální rovnice.řádu Příklady praktických úloh řešených diferenciální rovnicí.řádu Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Homogenní lineární rovnice.řádu s konstantními koeficienty Nehomogenní lineární rovnice.řádu s konstantními koeficienty Řešení nehomogenní rovnice s konstantními koeficienty a obecnou pravou stranou Cvičení SEZNAM LITERATURY... 9

5 . DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH.. VZDÁLENOST BODŮ, NORMA Kartézská soustava souřadnic v rovině je tvořena dvěma navzájem kolmými přímkami, vodorovnou, kterou nazýváme osou x a svislou nazývanou osou y. Průsečík O těchto přímek označíme jako počátek souřadnicové soustavy (dále jen počátek). Na obou osách zvolíme stejnou jednotku délky a šipkou označíme na obou osách kladnou orientaci, viz obrázek č.. Každému bodu P v rovině pak přiřazujeme v kartézské soustavě souřadnic uspořádanou dvojici reálných čísel. Bodem P vedeme kolmici k ose x, její průsečík s osou x je reálné číslo x P, které nazýváme x-ovou souřadnicí bodu P. Pak bodem P vedeme kolmici k ose y, její průsečík s osou y je reálné číslo y P, které nazýváme y-ovou souřadnicí bodu P. Souřadnice bodu v kartézské soustavě souřadnic se nazývají kartézské souřadnice. Obrázek Tímto způsobem je každému bodu P v rovině jednoznačně přiřazena uspořádaná dvojice [x P, y P ], což zapisujeme P[x P, y P ]. Počátku O souřadnicové soustavy je přiřazena dvojice [0, 0]. Zavedením souřadnicové soustavy v rovině jsme sestrojili bijektivní zobrazení množiny bodů roviny na množinu R x R (označujeme také R ). Množinu všech uspořádaných dvojic reálných čísel [x, y] budeme nazývat dvojrozměrným prostorem nebo také rovinou xy. DEFINICE: VZDÁLENOST BODŮ V R Nechť A[x A, y A ], B[x B, y B ] jsou body z R. Vzdálenost bodů (metriku) d definujeme jako d(a, B) = (x B x A ) + (y B y A ).

6 DEFINICE: NORMA VEKTORU V R Nechť A[x A, y A ], B[x B, y B ] jsou body z R. Vektor u = (u, u ) = (x B x A, y B y A ). Normu (velikost) vektoru u definujeme u = u + u. Uvědomme si tedy, že platí d(a, B) = u, viz obrázek č.. Obrázek Uvažujme nyní soustavu tří os x, y, z v prostoru navzájem kolmých a procházejících bodem O, který nazveme počátkem souřadnicové soustavy. Každé dvě ze souřadnicových os tvoří jednu ze tří souřadnicových rovin, a to xy, yz, zx, které dělí celý trojrozměrný prostor na osm stejných částí, nazývaných oktanty. Obdobně jako v R je každému bodu P v prostoru jednoznačně přiřazena uspořádaná trojice [x P, y P, z P ], což zapisujeme P[x P, y P, z P ]. Počátku O souřadnicové soustavy je přiřazena trojice [0, 0, 0], viz obrázek č. 3. Symbolem R 3 pak rozumíme kartézský součin R x R x R, kde normu vektoru definujeme u = u + u + u 3. Uvědomme si, že norma vektoru v = x P + y P + z P, viz obrázek č. 3, je vzdáleností bodu P od počátku.

7 Obrázek 3 Zobecněním výše uvedeného obdržíme prostor R n, jakožto množinu uspořádaných n-tic reálných čísel, tj. R n = R x R x x R. Vzdálenost bodů X[x, x, x 3,, x n ], Y[y, y, y 3,, y n ] zde definujeme vztahem normu vektoru pak d(x, Y) = (y x ) + (y x ) + + (y n x n ), u = u + u + + u n... OKOLÍ BODU, OTEVŘENÁ A UZAVŘENÁ MNOŽINA, OBLAST Víme, že definičním oborem funkce jedné proměnné je vždy množina reálných čísel (nejčastěji interval), kterou je možno znázornit jako množinu bodů na přímce. Funkce více proměnných jsou definovány ve vícerozměrných oborech, jejichž prvky jsou body v prostoru R n. V tomto odstavci se budeme zabývat některými význačnými body a množinami bodů v R, které budeme potřebovat při práci s funkcemi dvou proměnných. DEFINICE: OKOLÍ BODU Množinu všech bodů X v prostoru R, jejichž vzdálenost od daného bodu A je menší než zvolené číslo ε > 0, nazýváme ε-ovým okolím bodu A. Značíme jej 3

8 U ε (A) = { X R ; d(x, A) < ε }. Okolí bodu A, z něhož vyloučíme bod A, nazveme prstencovým ε- ovým okolím bodu A. Značíme jej P ε (A) = {X R ; 0 < d(x, A) < ε }. V rovině, představuje okolí U ε (A) bodu A množinu všech bodů uvnitř kruhu (tj. bez hraniční kružnice) se středem v bodě A a poloměrem ε. Poznamenejme, že index ε se někdy vynechává a píšeme pouze U(A). DEFINICE: VNITŘNÍ BOD Bod B M se nazývá vnitřním bodem množiny M, kde M R, existuje-li jeho okolí U ε (C) M. DEFINICE: OTEVŘENÁ MNOŽINA Množina G v R je otevřená, jestliže každý její bod je jejím vnitřním bodem, tj. ke každému bodu A G existuje ε > 0, že U ε (A) G. DEFINICE: UZAVŘENÁ MNOŽINA Množina F v R je uzavřená, jestliže její doplněk R \F je otevřená množina. Obrázek 4 otevřená množina (vlevo), uzavřená množina (vpravo) DEFINICE: SOUVISLÁ MNOŽINA Množina N se nazývá souvislá, jestliže každé dva body, ležící v množině N lze spojit lomenou čarou, ležící v N. DEFINICE: OBLAST Otevřená souvislá množina se nazývá oblast. Značíme ji Ω. 4

9 .3. DEFINICE FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH DEFINICE: FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Zobrazení f: R R nazveme funkcí dvou proměnných. Je-li [x, y], pak používáme značení f: z = f(x, y). DEFINICE: DEFINIČNÍ OBOR FUNKCE Definiční obor funkce f (označujeme D f, popř. D(f)) je množina všech bodů [x, y] R, pro něž existuje z R, že f(x, y) = z. Není-li řečeno jinak, považujeme za definiční obor funkce f množinu všech bodů [x, y], pro které má f(x, y) smysl. Při vyšetřování definičního oboru funkce z = f(x, y) postupujeme tak, že nejprve popíšeme definiční obor systémem nerovností, pak určíme geometrické oblasti, odpovídající těmto nerovnostem a na závěr definiční obor znázorníme graficky. Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce: z = f(x, y) = x + y + ln(9 x y ). Řešení: Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tj. musí být splněna podmínka x + y 0, x + y. Rovnice x + y = je rovnicí kružnice se středem v počátku [0, 0] a poloměrem r =. Množina všech bodů [x, y] R splňující tuto nerovnost, je znázorněna na obrázku č. 5. Je to uzavřená množina v R. Obrázek 5 5

10 Argument logaritmu musí být nezáporný a nesmí se rovnat nule, tj. musí být splněna podmínka 9 x y > 0, x + y < 9. Rovnice x + y = 9 je rovnicí kružnice se středem v počátku [0, 0] a poloměrem r = 3. Množina všech bodů [x, y] R splňující tuto nerovnost, je znázorněna na obrázku č. 6. Je to otevřená množina v R. Obrázek 6 Definičním oborem zadané funkce z = x + y + ln(9 x y ) je pak množina všech bodů [x, y] R splňující obě výše uvedené nerovnosti současně tzv. mezikruží, viz obrázek č. 7. Obrázek 7 Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce: x + y z = f(x, y) = arcsin ( ) 4 x y. Řešení: Definičním oborem prvního sčítance je množina bodů [x, y] R, které splňují nerovnosti 6

11 x + y x + y x + y x + y y x y x Grafy křivek y = x a y = x jsou přímky a definičním oborem funkce z = arcsin ( x+y ) je pás mezi nimi, viz obrázek č. 8. Obrázek 8 Definičním oborem druhého sčítance je množina bodů [x, y] R, pro které platí 4 x y 0. Rovnice x + y = 4 je rovnicí kružnice se středem v bodě [0, 0] a poloměrem r =. Obrázek 9 Množina všech bodů [x, y] R splňující výše uvedené nerovnosti současně, tj. definiční obor funkce z = f(x, y) = arcsin ( x+y ) 4 x y, je znázorněna na obrázku č. 9. (Jedná se o překryv modré, červené a zelené.) Je to uzavřená množina v R. 7

12 Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce: z = f(x, y) = 4x x y x. y Řešení: Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tj. musí být splněna podmínka To nastane právě když nebo 4x x y x 0. y 4x x y 0 a x y > 0 4x x y 0 a x y < 0. Rovnice x + y 4x = 0 je rovnicí kružnice se středem v bodě [, 0] a poloměrem r =, neboť tuto rovnici lze převést na tvar (x ) + y = 4. Rovnice y = x je rovnicí paraboly. Obě výše uvedené situace jsou znázorněny na obrázku č. 0 vlevo je zachycena situace vpravo pak (x ) + y 4 a y < x, (x ) + y 4 a y > x. Obrázek 0 Množina všech bodů [x, y] R splňující výše uvedené nerovnosti, tj. definiční obor funkce, je znázorněna na obrázku č.. 8

13 Obrázek Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce: (y z = f(x, y) = (x ) + ) (x 4 + y 6x). Řešení: Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tj. musí být splněna podmínka To nastane právě když nebo (x (y ) + ) (x + y 6x) 0. 4 x (y ) + 0 a (x + y 6x) 0 4 x (y ) + 0 a (x + y 6x) 0. 4 Rovnice x + (y ) = je rovnicí elipsy se středem v bodě [0, ] a poloosami délek a = a b =, 4 rovnice x + y 6x = 0 je rovnicí kružnice se středem v bodě [3, 0] a poloměrem r = 3, neboť tuto rovnici lze převést na tvar (x 3) + y = 9. Obě výše uvedené situace jsou znázorněny na obrázku č.. 9

14 Obrázek Množina všech bodů [x, y] R splňující výše uvedené nerovnosti, tj. definiční obor funkce, je znázorněna na obrázku č. 3. Je to uzavřená množina v R. Obrázek 3 Obdobně, jako u funkce jedné proměnné, zavádíme obor hodnot, graf funkce i rovnost funkcí. DEFINICE: OBOR HODNOT FUNKCE Oborem hodnot funkce f je množina všech z R takových, že z = f(x, y) pro nějaké [x, y] D f. DEFINICE: GRAF FUNKCE Grafem funkce f je množina všech bodů [x, y, f(x, y)] zobrazených v R 3 s kartézským systémem souřadnic. VĚTA: ROVNOST FUNKCÍ Funkce f, g jsou si rovny, tj. f = g, jestliže mají stejné grafy (jsou množinově stejné). 0

15 Obrázek 4: Graf funkce dvou proměnných.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ DEFINICE: ELEMENTÁRNÍ FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Elementární funkce dvou proměnných jsou funkce, které jsou vytvořeny ze základních funkcí (jedné proměnné) a projekcí P (x, y) = x, P (x, y) = y, x, y R. Připomeňme, že projekcí chápeme algebraické operace (sčítání, odečítání, násobení, dělení) a skládání funkcí. Elementární funkce jedné proměnné jsou pak např.: konstantní y = konstanta, (konstanta R), identita y = x, mocniny řádu n y = x n, n odmocniny řádu n y = x exponenciála y = e x, logaritmus y = ln x, sinus y = sin x, arkussinus y = arcsin x, arkustangens y = arctg x,, (n N),

16 Obrázek 5: Elementární graf funkce dvou proměnných z = 8xye x +y Podobně jako u funkce jedné proměnné budeme předpokládat, že funkce jsou spojité v každém vnitřním bodě definičního oboru. Pojmu spojitosti se budeme věnovat později v podkapitole (.6.)..5. ÚROVŇOVÉ KŘIVKY - VRSTEVNICE Při znázornění funkce z = f(x, y) v kartézské soustavě souřadnic v prostoru je často užitečné sestrojit řezy grafu význačnými rovinami, jako jsou například souřadnicové roviny, roviny s nimi rovnoběžné nebo roviny procházející souřadnicovou osou. K významným řezům plochy z = f(x, y) náleží její řezy rovinami z = C (kde C = konstanta), kolmými na osu z, které se nazývají úrovňové křivky vrstevnice. Jsou to křivky o rovnicích z = f(x, y), z = C. Jejich znalost nám umožňuje utvořit si lepší představu o dané funkci. Obrázek 6 jedna z úrovňových křivek a její průmět do roviny xy Na obrázku č. 7 (a) je znázorněn graf funkce z = f(x, y), který znázorňuje povrch hory. Na obrázku č. 7 (b) je pomocí úrovňových křivek vrstevnic vytvořena topografická mapa terénu.

17 Obrázek 7.6. SPOJITOST FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Spojitost v bodě funkce dvou proměnných se definuje analogicky jako pro funkci jedné proměnné. DEFINICE: SPOJITOST V BODĚ LOKÁLNÍ SPOJITOST Funkce z = f(x, y) se nazývá spojitá v bodě A, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé X[x, y] U δ (A) platí f(x, y) U ε (f(a)). Takto definovaná spojitost funkce f v bodě A má smysl pouze, pokud je bod A vnitřním bodem definičního oboru. VĚTA: SPOJITOST ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Elementární funkce f je spojitá v každém vnitřním bodě svého definičního oboru. Je-li definičním oborem funkce f otevřená množina, je f spojitá na svém definičním oboru. Poznámka: Uvědomme si tedy, že všechny mnohočleny, goniometrické, cyklometrické, exponenciální a logaritmické funkce, obecná mocnina a dále všechny funkce, které z nich získáme konečným počtem operací sčítání, odečítání, násobení, dělení a skládání těchto funkcí navzájem jsou spojité v každém vnitřním bodě svého definičního oboru. 3

18 Poznámka: Pojem limity funkce dvou proměnných se zavádí analogicky jako u funkce jedné proměnné. Tedy funkce z = f(x, y) má limitu L, jestliže se funkční hodnoty f(x, y) libovolně blíží číslu L, blíží-li se bod [x, y] bodu [x 0, y 0 ]. Problém limity funkce dvou proměnných a jejího výpočtu je však mnohem složitější. Pro naše účely si stačí uvědomit, že výpočet limity lim f(x, y) provádíme obdobně (x,y) (x 0,y 0 ) jako u funkce jedné proměnné, tedy dosazením x = x 0 a y = y 0 do funkce z = f(x, y). Podrobněji např. viz []. Vypočítejte: y + sin(x + π) lim (x,y) (0,) x + 3xy 3 + y Řešení: Dosazením x = 0, y = obdržíme výsledek: y + sin(x + π) lim (x,y) (0,) x + 3xy 3 + y = =..7. DERIVACE FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH.7.. PARCIÁLNÍ DERIVACE DEFINICE: PARCIÁLNÍ DERIVACE. ŘÁDU Nechť funkce z = f(x, y) je definovaná v okolí bodu P 0 [x 0, y 0 ].. Má-li funkce g(x) = f(x, y 0 ) proměnné x v bodě x = x 0 derivaci g (x 0 ), nazýváme ji parciální derivací. řádu nebo první parciální derivací podle x funkce z = f(x, y) v bodě P 0 [x 0, y 0 ] a značíme ji f x (x 0, y 0 ). Platí tedy f f(x,y x (x 0, y 0 ) = lim 0 ) f(x 0,y 0 ). x x0 x x 0. Má-li funkce h(y) = f(x 0, y) proměnné y v bodě y = y 0 derivaci h (y 0 ), nazýváme ji parciální derivací. řádu nebo první parciální derivací podle y funkce z = f(x, y) v bodě P 0 [x 0, y 0 ] a značíme ji f y (x 0, y 0 ). Platí tedy f f(x y (x 0, y 0 ) = lim 0,y) f(x 0,y 0 ). y y0 y y 0 Parciální derivace v bodě značíme i různými jinými symboly, např.: f x (P 0 ), f(p 0 ) x, z(p 0 ) x, z x (P 0 ), 4

19 Nechť funkce z = f(x, y) má v každém bodě P 0 [x 0, y 0 ] oblasti Ω, parciální derivaci f x (x 0, y 0 ). Tím je na oblasti Ω definována funkce přiřazující každému bodu P 0 [x 0, y 0 ] hodnotu f x (x 0, y 0 ). Tuto novou funkci budeme značit f x (případně z x ) a nazývat první parciální derivací podle x. Obdobným způsobem dospějeme k první parciální derivaci podle y, kterou značíme f y (případně z y ). Poznámka: Z definice vyplývá, že při výpočtu parciální derivace f x (x, y) považujeme x za proměnnou, zatímco y za konstantu. Obdobně při výpočtu f y (x, y) považujeme y za proměnnou a x za konstantu. Pracujeme tedy s funkcí f jako s funkcemi jedné proměnné. Přitom zůstávají v platnosti pravidla a vzorce, která platí pro derivování funkce jedné proměnné. Budeme přitom předpokládat, že prováděné operace se uskutečňují na vnitřních bodech definičního oboru uvažovaných funkcí. Poznámka: Poznamenejme, že při praktickém výpočtu používáme pro výpočet parciálních derivací tatáž pravidla jako pro výpočet obyčejných derivací, tj. používáme vzorce pro derivaci součinu, podílu, složené funkce, součtu, rozdílu apod. Protože derivujeme podle základních derivačních vzorců, máme zajištěnu spojitost ve vnitřních bodech D f. Parciální derivace. řádu si nyní ukážeme na příkladech. Budeme přitom předpokládat, že prováděné operace se uskutečňují na vnitřních bodech definičního oboru uvažovaných funkcí. Určete parciální derivace. řádu funkce: z = f(x, y) = 5xy 3x + y + 4 Řešení: z x = f x (x, y) = 5y 3 z y = f y (x, y) = 0xy + y Určete parciální derivace. řádu funkce: Řešení: z = f(x, y) = (x + y) ln x z x = f x (x, y) = ln x + (x + y) x z y = f y (x, y) = ln x 5 = x ln x + x + y x

20 Určete parciální derivace. řádu funkce: Řešení: z = f(x, y) = x y + z x = f x (x, y) = y + z y = f y (x, y) = x ( ) (y + ) y = xy (y + ) Určete parciální derivace. řádu funkce: Řešení: z = f(x, y) = arctg y x z x = f x (x, y) = + ( y ( y x ) = x ) z y = f y (x, y) = + ( y x = x ) Určete parciální derivace. řádu funkce v bodě [, ]: y x x + y x x x + y x = y = x + y x x + y z = f(x, y) = xy + x y Řešení: y + z x = f y + x (x, y) = xy + x, f x (, ) = y + = x x z y = f y y (x, y) = xy + x, f y (, ) = y + = 0 6

21 DEFINICE: HLADKÁ FUNKCE PRVNÍHO ŘÁDU Řekneme, že funkce z = f(x, y) je v bodě C[c, c ] hladká prvního řádu, existuje-li okolí U(C) tak, že parciální derivace z x = f x (x, y) a z y = f y (x, y) v tomto okolí existují a jsou v bodě C spojité. Rozhodněte, zda funkce: z = f(x, y) = x y 3 xy je v bodě [x, y] R hladká prvního řádu. Řešení: Platí z x = f x (x, y) = xy 3 y z y = f y (x, y) = 3x y 4xy. Parciální derivace prvního řádu jsou elementární funkce v celém R, a tedy spojité v libovolném bodě [x, y] R. Odtud plyne, že zadaná funkce je hladká prvního řádu v libovolném bodě [x, y] R..7.. GEOMETRICKÝ VÝZNAM PARCIÁLNÍ DERIVACE Parciální derivace funkce dvou proměnných z = f(x, y) v bodě P 0 [x 0, y 0 ] mají obdobný geometrický význam jako v případě funkce jedné proměnné. Nechť z = f(x, y) je funkce definovaná v oblasti Ω. Bodem [x 0, y 0, z 0 ], kde z 0 = f(x 0, y 0 ), veďme rovinu y = y 0. Tato rovina je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou xz a protíná plochu z = f(x, y) v křivce g(x). Parciální derivace f x (x 0, y 0 ) je stejná jako derivace funkce g(x) = f(x, y 0 ) v bodě x = x 0. Geometricky představuje směrnici tečny t, sestrojené v bodě [x 0, y 0, z 0 ] k řezu plochy z = f(x, y) rovinou y = y 0. Je tedy f x (x 0, y 0 ) = tg α, kde α značí úhel, který svírá příslušná tečna s kladnou částí osy x. Podobně parciální derivace f y (x 0, y 0 ) představuje směrnici tečny t sestrojené v bodě [x 0, y 0, z 0 ] k řezu plochy z = f(x, y) rovinou x = x 0. Je tedy f y (x 0, y 0 ) = tg β, kde β značí úhel, který svírá příslušná tečna s kladnou částí osy y, viz obrázky č. 8 a 9. 7

22 Obrázek 8 Pozn.: z 0 = f(x 0, y 0 ) Obrázek TEČNÁ ROVINA A NORMÁLA PLOCHY V tomto odstavci budeme předpokládat, že funkce z = f(x, y) je hladká prvního řádu a bod P[x 0, y 0 ] je vnitřním bodem jejího definičního oboru. Mějme funkci z = f(x, y), která má v bodě P 0 [x 0, y 0 ] spojité parciální derivace f x (P 0 ), f y (P 0 ). Ty představují směrnice tečen t, t sestrojených v bodě P[x 0, y 0, z 0 ] ležícím na ploše z = f(x, y) k jejím řezům rovinami y = y 0, x = x 0. 8

23 DEFINICE: TEČNÁ ROVINA A NORMÁLA PLOCHY Rovina, která je určená tečnami t, t, se nazývá tečná rovina plochy z = f(x, y) v bodě P[x 0, y 0, z 0 ]. Její rovnice je z z 0 = f x (P 0 )(x x 0 ) + f y (P 0 )(y y 0 ). Přímka kolmá na tečnou rovinu plochy v jejím bodě dotyku P se nazývá normála plochy v tomto bodě. Její parametrické rovnice jsou: kde t R. x = x 0 + f x (P 0 )t, y = y 0 + f y (P 0 )t, z = z 0 t, Určete tečnou rovinu a normálu plochy o rovnici: v bodě P[3, 4,? ]. f(x, y) = x + y xy Řešení: Nejprve určíme hodnotu uvažované funkce v bodě P 0 [3, 4]. Dále vypočítáme parciální derivace: Hodnota těchto derivací v bodě P 0 je: Rovnice tečné roviny tedy je Po úpravě f(p 0 ) = f(3, 4) = = 7. f x x (x, y) = x + y y, f y y (x, y) = x + y x. f x (3, 4) = f y (3, 4) = z ( 7) = = = 7 5, = = 5. (x 3) (y 4). 5 7x + y + 5z 60 = 0. Parametrické rovnice normály plochy v bodě P 0 jsou 9

24 x = t, y = 4 5 t, z = 7 t, kde t R DIFERENCIÁL FUNKCE Připomeňme, že diferenciálem funkce jedné proměnné v bodě x 0 rozumíme přírůstek funkce na tečně vedené ke grafu funkce v bodě [x 0, f(x 0 )]. Označíme-li přírůstek nezávisle proměnné dx = x x 0, pak diferenciál funkce y = f(x) v bodě x 0 je lineární funkce proměnné dx df(x 0 ) = f (x 0 ) dx. U funkce z = f(x, y) je tzv. totální diferenciál definován analogicky: je to přírůstek funkce na tečné rovině vedené ke grafu funkce bodem [x 0, y 0, f(x 0 )]. Tečná rovina má s grafem funkce lokálně (tj. v okolí bodu, kde ji sestrojujeme) společný právě jeden bod. DEFINICE: DIFERENCIÁL FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Nechť má funkce z = f(x, y) v bodě [x 0, y 0 ] spojité parciální derivace. řádu a označme přírůstky nezávisle proměnných jako dx = x x 0, dy = y y 0. Diferenciál funkce z = f(x, y) v bodě [x 0, y 0 ] je lineární funkce proměnných dx a dy tvaru df(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy. Má-li funkce v daném bodě diferenciál, říkáme, že je v tomto bodě diferencovatelná. VĚTA: SPOJITOST Je-li funkcef diferencovatelná v bodě [x 0, y 0 ], pak je v tomto bodě spojitá. Poznámka: Opak této věty neplatí. Je-li funkce spojitá, nemusí být diferencovatelná, např. f(x, y) = x + y v bodě [0, 0], promyslete samostatně. 0

25 VĚTA: PŘIBLIŽNÁ HODNOTA FUNKCE Má-li funkce z = f(x, y) v bodě [x 0, y 0 ] totální diferenciál, má graf funkce v tomto bodě tečnou rovinu o rovnici z = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0, y 0 ) (y y 0 ). Rovnice tečné roviny je nejlepší lineární aproximací funkce f(x, y) v okolí bodu [x 0, y 0 ]. Přibližná hodnota funkce je f(x, y) = f(x 0, y 0 ) + df(x 0, y 0 ). Vypočítejte hodnotu totálního diferenciálu funkce: v bodě [, ] pro dx = 0,0 a dy = 0,0. Řešení: Parciální derivace. řádu již známe: z = f(x, y) = arctg y x f y x = x + y, f y = x x + y. Hodnota totálního diferenciálu v bodě [, ] pro dané přírůstky je df(, ) = 0,0 + 0,0 = 00. Pomocí totálního diferenciálu přibližně vypočtěte:,04,0. Řešení: K výpočtu použijeme diferenciál funkce f(x, y) = x y v bodě [, ] s přírůstky dx = 0,04, dy = 0,0. Parciální derivace jsou Platí potom A tedy podle výše uvedené věty f x = yx y, f y = x y ln x. df(x, y) = yx y dx + x y ln x dy, df(, ) = dx + 0 dy = dx.

26 ,04,0 = f(,04;,0) = f(, ) + df(, ),04,0 = + 0,04 =,08. Pomocí totálního diferenciálu přibližně vypočtěte: (,98) + (4,05). Řešení: K výpočtu použijeme diferenciál funkce f(x, y) = x + y v bodě [3, 4] s přírůstky dx = 0,0, dy = 0,05. Parciální derivace jsou Platí potom f x = x x + y, f y y = x + y. x df(x, y) = x + y dx + y x + y dy, A tedy podle výše uvedené věty df(3, 4) = 3 5 dx dy. (,98) + (4,05) = f(3, 4) + df(3, 4) (,98) + (4,05) = ( 0,0) ,05 (,98) + (4,05) = 5 + 0,4 = 5,08. 5 Napište rovnici tečné roviny grafu funkce: v bodě [,,? ]. z = f(x, y) = x + y Řešení: Dosazením do funkčního předpisu najdeme z-ovou souřadnici dotykového bodu z = + =. Vypočteme parciální derivace f x = x, f y = y A jak již umíme, přímým dosazením do vzorce pro tečnou rovinu dostáváme její rovnici

27 z = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0, y 0 ) (y y 0 ) z = + (x ) + (y ) x + y z = 0. Jak již víme, ze samotné existence parciálních derivací funkce v bodě [x 0, y 0 ] neplyne diferencovatelnost. Jsou-li však tyto derivace v tomto bodě spojité, je diferencovatelnost zaručena, jak ukazuje následující věta. VĚTA: Má-li funkcef v bodě [x 0, y 0 ] spojité parciální derivace. řádu, pak má v tomto bodě také diferenciál. Poznámka: Mějme funkci definovanou předpisem f(x, y) = { když x = 0 nebo y = 0, tj. na osách, 0 když x 0 a y 0, tj. mimo osy. Grafem funkce je rovina xy, z níž je vyzdvižen osový kříž, viz obrázek č. 0, šedá barva. Zadaná funkce není v bodě [0, 0] spojitá, ale obě parciální derivace jsou v tomto bodě spojité, rovny nule. Rovina v bodě [0, 0] (v obrázku č. 0 červená) není tečnou rovinou ke grafu funkce v bodě [0, 0]. Obrázek 0 3

28 .7.5. PARCIÁLNÍ DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ DEFINICE: PARCIÁLNÍ DERIVACE. ŘÁDU Nechť funkce z = f(x, y) má v každém bodě oboru Ω parciální derivace f x, f y. Mají-li tyto nové funkce f x, f y v oboru Ω Ω parciální derivaci podle x, případně podle y, nazýváme je parciálními derivacemi. řádu nebo druhými parciálními derivacemi a značíme je f xx (x, y), f xy (x, y), f yx (x, y), f yy (x, y). Parciální derivace druhého řádu značíme i jinak, např.: f(x, y) x, f(x, y) x y, z xx, z x y, Derivováním podle x nebo podle y parciálních derivací. řádu dostaneme parciální derivace 3. řádu neboli třetí parciální derivace. Analogicky se definují parciální derivace funkce z = f(x, y) řádu n > 3. Přitom pořadí symbolů x a y v indexu (případně ve jmenovateli) značí pořadí, v jakém jsme derivovali podle jednotlivých proměnných. Obecně parciální derivace k-tého řádu funkce f(x, y) dostaneme z parciálních derivací řádu k opětovným derivováním podle x, popř. podle y. Určete parciální derivace. řádu funkce: z = f(x, y) = Řešení: Nejprve určíme parciální derivace. řádu: z x = f x (x, y) = y3 x. xy3 ( x ), z y = f y (x, y) = 3y x. Jejich derivováním pak dostaneme parciální derivace. řádu: z xx = y3 ( x ) xy 3 ( x )( x) ( x ) 4 = y3 ( + 3x ) ( x ) 3 ; z yy = 6y x ; z xy = 6xy ( x ) = z yx. Vyšší parciální derivace, které vznikají derivováním podle různých proměnných, se nazývají smíšené derivace. Ve výše uvedeném příkladě jsou smíšené parciální derivace z xy, z yx stejné. Následující věta ukazuje, že nejde o náhodný jev. U smíšených parciálních derivací za jistých předpokladů nezáleží na 4

29 pořadí proměnných, podle kterých derivujeme, ale pouze na tom, kolikrát podle jednotlivých proměnných derivujeme. VĚTA: SCHWARZOVA VĚTA ROVNOST SMÍŠENÝCH PARCIÁLNÍCH DERIVACÍ Jestliže smíšené parciální derivace f xy (x, y), f yx (x, y) funkce z = f(x, y) existují v okolí U(P 0 ) bodu P 0 [x 0, y 0 ] a jsou v tomto bodě spojité, pak platí f xy (P 0 ) = f yx (P 0 ). Určete parciální derivace. řádu funkce: Řešení: Nejprve určíme parciální derivace. řádu: z x = f x (x, y) = z = f(x, y) = ln(x + y + ). x x + y +, z y = f y y (x, y) = x + y +. Jejich derivováním pak dostaneme parciální derivace. řádu: z xx = (x + y + ) 4x (x + y + ) = y x + (x + y + ) ; z yy = (x + y + ) 4y (x + y + ) = x y + (x + y + ) ; 4xy z xy = (x + y + ) = z yx. Určete parciální derivace. řádu funkce: Řešení: Parciální derivace. řádu již známe: z = f(x, y) = arctg y x z y x = x + y, z y = Jejich derivováním pak dostaneme parciální derivace. řádu: x x + y. Hermann Schwarz (843 9) byl německý matematik, známý především pro jeho práci v komplexní analýze a diferenciální geometrii. 5

30 xy z xx = (x + y ) ; xy = (x + y ) ; z yy z xy = y x (x + y ) = z yx. Určete parciální derivace. řádu funkce: Řešení: Nejprve určíme parciální derivace. řádu: z = f(x, y) = e x y z x = x e x y, z y = y e x y. Jejich derivováním pak dostaneme parciální derivace. řádu: z xx = ( + 4x ) e x y ; z yy = ( + 4y ) e x y ; z xy = 4xy e x y = z yx. DEFINICE: HLADKÁ FUNKCE Řekneme, že funkce z = f(x, y) je v bodě C[c, c ] hladká řádu k, existuje-li okolí U(C) tak, že všechny parciální derivace do řádu k včetně, funkce f(x, y), v tomto okolí existují a jsou v bodě C spojité. Hladké funkce řádu k pak označujeme C k (Ω). Rozhodněte, zda funkce: z = f(x, y) = x y 3 xy je v bodě [x, y] R hladká druhého řádu. Řešení: Již víme, že z x = f x (x, y) = xy 3 y z y = f y (x, y) = 3x y 4xy. 6

31 Parciální derivace prvního řádu jsou elementární funkce v celém R, a tedy jsou v R spojité. Odtud plyne, že zadaná funkce je hladká prvního řádu v celém R. Dále platí: z xx = y 3 ; z yy = 6x y 4x; z xy = 6xy 4y = z yx. Parciální derivace druhého řádu jsou opět elementární funkce v celém R, a tedy spojité v libovolném bodě [x, y] R. Odtud plyne, že zadaná funkce je hladká druhého řádu v libovolném bodě [x, y] R DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE Na úvod připomeňme, jak se derivuje složená funkce jedné proměnné: Má-li funkce g derivaci v bodě x 0 a funkce f derivaci v bodě u 0 = g(x 0 ), je derivace složené funkce f(g(x 0 )) rovna součinu derivací jejích jednotlivých funkcí (vnitřní a vnější), tj. (f(g(x 0 ))) = f (g(x 0 )) g (x 0 ). Nyní odvodíme podobné vztahy pro parciální derivace složené funkce dvou proměnných. Předpokládejme, že funkce jsou hladké. VĚTA: DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE Nechť funkce u = u(x, y), v = v(x, y) mají parciální derivace prvního řádu v bodě [x 0, y 0 ], označme u 0 = u(x 0, y 0 ), v 0 = v(x 0, y 0 ). Je-li funkce z = f(u, v) diferencovatelná v bodě [u 0, v 0 ], pak složená funkce z = F(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)) má parciální derivace. řádu v bodě [x 0, y 0 ] a platí: Zkráceně píšeme F x (x 0, y 0 ) = f u (u 0, v 0 ) u x (x 0, y 0 ) + f v (u 0, v 0 ) v x (x 0, y 0 ) F y (x 0, y 0 ) = f u (u 0, v 0 ) u y (x 0, y 0 ) + f v (u 0, v 0 ) v y (x 0, y 0 ). z x = z u u x + z v v x, z y = z u u y + z v v y. 7

32 Je dána funkce kde u = x y a v = x + y. Vypočtěte z x a z y. z = e u sin v, Řešení: Protože vnitřní i vnější funkce mají spojité parciální derivace v celém R, má složená funkce parciální derivaci v každém bodě tohoto prostoru. Dosazením do vzorce dostáváme z x = z u u x + z v v x = (e u sin v) y + (e u cos v), z y = z u u y + z v v y = (e u sin v) x + (e u cos v). Zbývá dosadit za u a v, u = x y a v = x + y a dostaneme z x = e xy (y sin(x + y) + cos(x + y)), z y = e xy (x sin(x + y) + cos(x + y)) VĚTA O IMPLICITNÍ FUNKCI VĚTA: O IMPLICITNÍ FUNKCI Nechť F: R R je funkce, která má spojité obě parciální derivace P[x 0, y 0 ]. Nechť navíc F(x 0, y 0 ) = 0 a definovaná na tomto okolí taková, že ve všech bodech okolí U(x 0 ). F, F x y v nějakém okolí bodu F y (x 0, y 0 ) 0. Potom existuje okolí U(x 0 ) a funkce f f(x 0 ) = y 0 a F(x, f(x)) = 0 Funkce f je spojitá a spojitě diferencovatelná na U(x 0 ). Důsledkem je vzorec pro derivaci implicitně zadané funkce f jedné proměnné v bodě x 0 : f (x 0 ) = F x (x 0, y 0 ) F y (x 0, y 0 ) Uvedenou větu je možné zobecnit pro funkce více proměnných a pro derivace vyšších řádů, podrobněji např. viz []. Vzorec pro derivaci implicitně zadané funkce z dvou proměnných v bodě (x 0, y 0 ) lze pak psát z x (x 0, y 0 ) = F x (x 0, y 0, z 0 ) F z (x 0, y 0, z 0 ), z y (x 0, y 0 ) =. F y (x 0, y 0, z 0 ) F z (x 0, y 0, z 0 ). 8

33 Vypočítejte f implicitní funkce dané rovnicí v bodě [0, ]. (x + y ) 3x y y 3 = 0 Řešení: Jedná se o implicitně zadanou funkci jedné proměnné. Označme F(x, y) = (x + y ) 3x y y 3. Platí F x (x, y) = (x + y )x 6xy, F x (0, ) = 0, F y (x, y) = (x + y )y 3x 3y, F y (0, ) =. Dosadíme do vzorce pro derivaci implicitní funkce a dostáváme f (x 0 ) = F x (x 0, y 0 ) F y (x 0, y 0 ) f (0) = F x (0, ) F y (0, ) = 0 = 0. Vypočítejte f, f implicitní funkce dané rovnicí v bodě [, ]. x + xy + y 3 = 0 Řešení: Jedná se o implicitně zadanou funkci jedné proměnné. Označme F(x, y) = x + xy + y 3. Dosadíme do vzorce pro derivaci implicitní funkce a dostáváme f () = F x (, ) F y (, ) = x + y x + y [x,y]=[,] = 3 3 =. Totéž můžeme získat i jiným způsobem. Budeme předpokládat v rovnici implicitní funkce závislost y na x, rovnici derivujeme podle x a vyjádříme y. x + y + xy + yy = 0 y = x + y x + y y () = f () = 3 3 =. K získání druhé derivace implicitní funkce y musíme rovnici implicitní funkce derivovat dvakrát podle x a vyjádřit y. Rovnici implicitní funkce jsme již jednou derivovali, stačí ji tedy derivovat ještě jednou podle x. 9

34 (x + y + xy + yy = 0) + y + y + xy + y y + yy = 0, po úpravě + y + (y ) + (x + y)y = 0 y = + y + (y ) x + y y () = f () = + ( ) + ( ) + = 3. Určete rovnici tečny a normály ke křivce dané rovnicí v bodě [, ]. x 3 + y 3 xy = 0 Řešení: Jedná se o implicitně zadanou funkci jedné proměnné. Označme F(x, y) = x 3 + y 3 xy. Platí F y (x, y) = 3y x, F y (, ) = 0, Jsou tedy splněny všechny předpoklady věty, tj. rovností x 3 + y 3 xy = 0 je v jistém okolí bodu [, ] určena implicitně funkce jedné proměnné y = f(x), pro jejíž derivaci v bodě x = dostáváme f (x 0 ) = F x (x 0, y 0 ) F y (x 0, y 0 ) f () = F x (, ) F y (, ) = 3x y 3y x [x,y]=[,] = Rovnice tečny je pak t: y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) t: y = ( ) (x ) t: x + y = 0. Rovnice normály je potom 30

35 n: y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0) n: y = (x ) ( ) n: y = x. Určete rovnici tečné roviny v bodě [, 0, ] k ploše určené rovnicí x 3 + y 3 + z 3 3xyz x y z = 0. Řešení: Jedná se o implicitně zadanou funkci dvou proměnných. Určíme parciální derivace této implicitně zadané funkce z = z(x, y). Derivováním zadané rovnice podle x a podle y (uvážíme při tom, že z je funkcí proměnných x a y) dostáváme Odtud Dosazením x =, y = 0, z = získáváme 3x + 3z z x 3yz 3xyz x z x = 0, 3y + 3z z y 3xz 3xyz y z y = 0. z x = 3x 3yz 3xy + 3z, z y = 3y 3xz 3xy + 3z. z x (, 0) =, z y (, 0) =. Tečná rovina k dané ploše v bodě [, 0, ] má pak rovnici Po úpravě z z 0 = f x (P 0 ) (x x 0 ) + f y (P 0 ) (y y 0 ), z z 0 = z x (, 0) (x x 0 ) + z y (, 0) (y y 0 ), z = ( ) (x ) + (y 0). x y + z = 0. Určete rovnici tečné roviny v bodě [,, ] k ploše určené rovnicí x + y + z 3 + z 4 = 0. 3

36 Řešení: Jedná se o implicitně zadanou funkci dvou proměnných. Určíme parciální derivace této funkce z = z(x, y) v bodě [, ] dle výše uvedených vztahů (z x = Dosazením x =, y =, z = získáváme z x = + 3z, z y = y + 3z. F F x F, z y y = F ). Dostáváme z z z x (, ) = 4, z y (, ) =. Tečná rovina v bodě [,, ] má pak rovnici z z 0 = f x (P 0 ) (x x 0 ) + f y (P 0 ) (y y 0 ), z z 0 = z x (, ) (x x 0 ) + z y (, ) (y y 0 ), z = ( 4 ) (x ) + ( ) (y ) NORMÁLOVÝ VEKTOR, GRADIENT Uvažujme (podobně jako ve větě o implicitní funkci), že F: R R je funkce, která má spojité obě parciální derivace F, F v jistém okolí bodu P[x x y 0, y 0 ], a platí F(x 0, y 0 ) = 0, F (x y 0, y 0 ) 0. Potom je rovnice F(x, y) = 0 v jistém okolí bodu P[x 0, y 0 ] rovnicí hladké křivky, kterou lze v tomto okolí vyjádřit také rovnicí y = f(x). Tečna v bodě [x 0, y 0 ] = [x 0, f(x 0 )] k této křivce má obecnou rovnici f (x 0 ) x y = f (x 0 ) x 0 f(x 0 ), tedy vektor n kolmý k této přímce (normálový vektor) je n = (f (x 0 ), ). Podle věty o implicitní funkci snadno odvodíme n = k (f (x 0 ), ) = ( F x (x 0, y 0 ), F y (x 0, y 0 )) = F(x 0, y 0 ), kde k R\{0}. Vektor n je gradientem funkce F v bodě [x 0, y 0 ]. Gradient zapisujeme pomocí Hamiltonova operátoru (nabla). 3

37 Určete normálový vektor a rovnici tečny ke kružnici x x + y 4y 0 = 0 v bodě [4, ]. Řešení: Označme F(x, y) = x x + y 4y 0. Platí F x (x, y) = x, F x (4, ) = 6, F y (x, y) = y 4, F y (4, ) = 8, tedy n = F(4, ) = (6, 8) = 6i 8j, kde i = (, 0) a j = (0, ). Tečna v bodě [4, ] má obecnou rovnici 6x 8y = c. Dosazením bodu [4, ] vypočítáme číslo c a rovnici pak upravíme na tvar: 6x 8y = 40, 3x 4y = 0. 33

38 Poznámka: Podobně jako u křivky zadané implicitně lze určit normálový vektor plochy zadané implicitně. Je-li plocha určená rovnicí F(x, y, z) = 0 a P[x 0, y 0, z 0 ] je její bod, potom normálový vektor v tomto bodě je n = ( F x (P 0), F y (P 0), F z (P 0)) = F(x 0, y 0, z 0 ). Určete normálový vektor plochy určené x + y + z = 6 v bodě [,, ]. Řešení: Označme F(x, y) = x + y + z 6. Platí F x (x, y, z) = x, F x (,, ) =, F y (x, y, z) = y, F y (,, ) = 4, F z (x, y, z) = z, F y (,, ) =. Normálový vektor zadané kulové plochy je n = F(,, ) = (, 4, ) = i + 4j + k, kde i = (, 0, 0), j = (0,, 0), k = (0, 0, ). Tečná rovina v bodě [,, ] má obecnou rovnici x + 4y + z = c. Dosazením bodu [,, ] vypočítáme číslo c a rovnici pak upravíme na tvar x + y + z = 6. 34

39 .8. EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH.8.. LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH DEFINICE: LOKÁLNÍ MAXIMUM, LOKÁLNÍ MINIMUM Řekneme, že funkce z = f(x, y) má v bodě [x 0, y 0 ], ve kterém je definována,. lokální maximum, jestliže existuje okolí bodu [x 0, y 0 ] tak, že pro všechny body [x, y] z tohoto okolí platí f(x 0, y 0 ) f(x, y),. lokální minimum, jestliže existuje okolí bodu [x 0, y 0 ] tak, že pro všechny body [x, y] z tohoto okolí platí f(x 0, y 0 ) f(x, y). Lokální maxima a minima nazýváme souhrnně lokální extrémy, viz obrázek. Platí-li v uvedené definici v nějakém prstencovém okolí bodu [x 0, y 0 ] ostré nerovnosti, mluvíme o ostrém lokálním maximu, resp. ostrém lokálním minimu. Poznámka: Z definice vyplývá, že lokální extrém (tj. lokální maximum, resp. lokální minimum) může mít funkce pouze ve vnitřním bodě svého definičního oboru. 35

40 Obrázek VĚTA: FERMATOVA NUTNÁ PODMÍNKA PRO EXISTENCI LOKÁLNÍCH EXTRÉMŮ Jestliže funkce z = f(x, y) má v bodě P 0 [x 0, y 0 ] lokální extrém (ostrý nebo neostrý), pak každá parciální derivace, která v tomto bodě existuje, je nulová. Platí tedy f x (P 0 ) = 0, f y (P 0 ) = 0. DEFINICE: STACIONÁRNÍ BOD Bod P 0 [x 0, y 0 ] z definičního oboru funkce z = f(x, y), ve kterém platí f x (P 0 ) = 0 = f y (P 0 ), se nazývá stacionárním bodem funkce z = f(x, y). Vyšetřete, zda funkce f(x, y) = x y má ve svých stacionárních bodech lokální extrémy. Řešení: D f = R. Vypočítáme parciální derivace f x (x, y) = x, f y (x, y) = y a řešením soustavy x = 0, y = 0 Pierre de Fermat (60 665) byl francouzský matematik, který se zasloužil o rozvoj matematiky v oblasti teorie čísel, teorie pravděpodobnosti, matematické analýzy a analytické geometrie. 36

41 určíme stacionární bod [0, 0]. Zkoumáme-li funkční hodnoty funkce f ve stacionárním bodě a jeho okolí, je vidět, že f(0, 0) = 0, f(x, 0) = x > 0 pro všechna x 0 a f(0, y) = y < 0 pro všechna y 0. Daná funkce nemá tedy v bodě [0, 0] lokální extrém, neboť v jeho každém okolí existují body, pro které f(x, y) > 0, a jiné, ve kterých platí f(x, y) < 0, viz obrázek č.. Obrázek Tato plocha se nazývá sedlo VĚTA: POSTAČUJÍCÍ PODMÍNKA PRO EXISTENCI LOKÁLNÍCH EXTRÉMŮ Nechť P 0 [x 0, y 0 ] je stacionárním bodem funkce z = f(x, y), která má v okolí U(P 0 ) spojité parciální derivace druhého řádu. Označme D(P 0 ) = f xx (P 0 ) f xy (P 0 ) f yx (P 0 ) f yy (P 0 ) = f xx (P 0 ) f yy (P 0 ) f yx (P 0 ) f xy (P 0 ). Je-li D(P 0 ) > 0 a f xx (P 0 ) < 0, má funkce v bodě P 0 ostré lokální maximum. Je-li D(P 0 ) > 0 a f xx (P 0 ) > 0, má funkce v bodě P 0 ostré lokální minimum. Je-li D(P 0 ) < 0, potom funkce f v bodě P 0 nemá lokální extrém (má sedlový bod). Funkce z = f(x, y) může mít lokální extrém nejen ve stacionárních bodech, ale i v bodech, v nichž obě parciální derivace f x, f y neexistují, nebo v bodech, v nichž jedna z nich neexistuje a druhá je rovna nule. Funkce sama musí být v takových bodech definovaná a tyto body musí být vnitřními body definičního oboru. Zda má funkce v těchto bodech lokální extrém, zjistíme vyšetřením jejího chování v jejich okolí. 37

42 Poznámka: Ze spojitosti parciálních derivací druhého řádu v bodě P 0 [x 0, y 0 ] plyne, že f xy (P 0 ) = f yx (P 0 ). Odtud je pak vidět, že pokud D(P 0 ) > 0, pak f xx (P 0 ) 0. Pokud je D(P 0 ) = 0, může, ale nemusí být v bodě P 0 lokální extrém. Nelze výše uvedeným postupem o existenci lokálního extrému rozhodnout. Číslo D(P 0 ) je determinantem tzv. Hessovy matice ( f xx (P 0 ) f xy (P 0 ) f yx (P 0 ) f yy (P 0 ) ). Poznámka: Shrňme si nyní postup při vyšetřování lokálních extrémů funkce z = f(x, y): určíme definiční obor funkce z = f(x, y), vypočítáme parciální derivace f x, f y a položíme je rovny nule, řešením vzniklých rovnic určíme stacionární body P i a ověříme, zda jsou vnitřními body definičního oboru funkce z = f(x, y), vypočítáme parciální derivace f xx, f xy, f yy a hodnoty těchto derivací ve stacionárních bodech P i, určíme hodnotu determinantu D(P i ) ve stacionárních bodech P i a při D(P i ) 0 rozhodneme o existenci lokálních extrémů, podle znaménka f xx (P i ) určíme typ extrému, vyšetříme chování funkce v okolí stacionárních bodů, ve kterých je příslušný determinant roven nule, a v okolí bodů, v nichž parciální derivace f x, f y nejsou definovány. Vyšetřete lokální extrémy funkce f(x, y) = x + xy + y x y. Řešení: D f = R. Vypočítáme parciální derivace f x (x, y) = x + y, f y (x, y) = x + y. Řešením soustavy rovnic x + y = 0, x + y = 0 38

43 dostaneme jediný stacionární bod P 0 [, 0]. Tento bod je vnitřním bodem definičního oboru. Vypočítáme druhé parciální derivace: f xx (x, y) =, f xy (x, y) =, f yy (x, y) =. Nakonec určíme hodnotu determinantu D(P 0 ) pro stacionární bod. D(P 0 ) = = 3 > 0, tedy v bodě P 0 má funkce lokální extrém, protože f xx (P 0 ) = > 0 v bodě P 0 je ostré lokální minimum o hodnotě f(,0) =. Vyšetřete lokální extrémy funkce f(x, y) = 3xy x y xy. Řešení: D f = R. Vypočítáme parciální derivace f x (x, y) = 3y xy y, f y (x, y) = 3x x xy. Řešením soustavy rovnic y(3 x y) = 0, x(3 x y) = 0 dostaneme čtyři stacionární body P [0, 0]; P [, ]; P 3 [3, 0]; P 4 [0, 3]. Všechny tyto body jsou vnitřními body definičního oboru. Vypočítáme druhé parciální derivace: f xx (x, y) = y, f xy (x, y) = 3 x y, f yy (x, y) = x a jejich hodnoty ve stacionárních bodech P i pro i =,, 3, 4 : f xx ( P ) = 0, f xy ( P ) = 3, f yy ( P ) = 0, f xx ( P ) =, f xy ( P ) =, f yy ( P ) =, 39

44 f xx ( P 3 ) = 0, f xy ( P 3 ) = 3, f yy ( P 3 ) = 6, f xx ( P 4 ) = 6, f xy ( P 4 ) = 3, f yy ( P 4 ) = 0. Nakonec určíme hodnotu determinantů D(P i ) pro jednotlivé stacionární body. D(P ) = = 9 < 0, tedy v bodě P lokální extrém nenastává, D(P ) = = 3 > 0, tedy v bodě P má funkce lokální extrém. f xx ( P ) = < 0 proto je v bodě P ostré lokální maximum o hodnotě f(,) =, D(P 3 ) 0 3 = 3 6 = 9 < 0, tedy v bodě P 3 lokální extrém nenastává, D(P 4 ) = = 9 < 0, tedy ani v bodě P 4 lokální extrém nenastává. Vyšetřete lokální extrémy funkce Řešení: D f = R. Vypočítáme parciální derivace f(x, y) = (x + y )e x. Řešením soustavy rovnic f x (x, y) = e x + (x + y ) e x, f y (x, y) = y e x. e x (x + y + ) = 0, y e x = 0 dostaneme jediný stacionární bod P 0 [, 0]. Tento bod je vnitřním bodem definičního oboru. Vypočítáme druhé parciální derivace: f xx (x, y) = e x + 4 ex (x + y ), f xy (x, y) = y e x, f yy (x, y) = e x 40

45 a jejich hodnoty ve stacionárním bodě P 0 [, 0]: f xx ( P 0 ) = e, f xy ( P 0 ) = 0, f yy ( P 0 ) = e. Nakonec určíme hodnotu determinantu D(P 0 ) pro stacionární bod: D(P 0 ) = e 0 0 = e > 0, e tedy v bodě P 0 má funkce lokální extrém a z faktu f xx (P 0 ) = > 0 vyplývá, že v bodě P e 0 je ostré lokální minimum o hodnotě f(,0) = = 0,736. e Vyšetřete lokální extrémy funkce Řešení: D f = R. Vypočítáme parciální derivace Funkce f nemá stacionární body, neboť rovnice f(x, y) = x + y. f x x (x, y) = x + y, f y y (x, y) = x + y. x x + y = 0, y x + y = 0 nemají společné řešení. Parciální derivace f x, f y však nejsou definovány v bodě [0, 0], který je vnitřním bodem definičního oboru. Budeme-li zkoumat chování funkce z = f(x, y) v okolí tohoto bodu, zjistíme, že f(x, y) > 0 pro všechny body z prstencového okolí bodu [0, 0] a přitom f(0, 0) = 0. Funkce má tedy v bodě [0, 0] ostré lokální minimum, viz obrázek č. 3. 4

46 Obrázek GLOBÁLNÍ (ABSOLUTNÍ) EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH DEFINICE: SPOJITOST FUNKCE NA MNOŽINĚ Funkce f je spojitá na množině M D f, jestliže je spojitá v každém bodě P 0 M vzhledem k množině M. Tj. ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechny body X[x, y] platí X[x, y] U δ (P 0 ) M f(x) U ε (f(p 0 )). Poznámka Spojitost funkce na množině M znamená, že v každém bodě P 0 [x 0, y 0 ] M platí: blíží-li se bod X[x, y] k bodu P 0 [x 0, y 0 ], přičemž X[x, y] M (může být dokonce [x, y] = [x 0, y 0 ]), potom f(x, y) se blíží k f(x 0, y 0 ). Pozor funkce může být spojitá na množině M, ale nemusí být spojitá v žádném bodě této množiny! Např. funkce definovaná předpisem f(x, y) = { 3 pro x + y = 9, 0 jinak, je spojitá na kružnici (ve smyslu spojitosti na množině), ale není spojitá v žádném bodě, který leží na kružnici, viz obrázek č. 4. 4

47 Obrázek 4 DEFINICE: HROMADNÝ A IZOLOVANÝ BOD Řekneme, že bod A je hromadným bodem množiny M R n, jestliže pro každé δ > 0 existuje bod X M P δ (A). Množinu všech hromadných bodů množiny M značíme M. Bod, který není hromadným bodem, se nazývá izolovaným bodem. DEFINICE: OMEZENÁ MNOŽINA Množina M se nazývá omezená, jestliže se vejde do nějakého dostatečně velkého okolí počátku, tj. existuje S > 0 tak, že M U S (O). DEFINICE: KOMPAKTNÍ MNOŽINA V R Množina K R se nazývá kompaktní, jestliže je současně uzavřená a omezená. Poznámka Příkladem kompaktní množiny je: Jednobodová množina, případně konečná množina, Uzavřený kruh D = {[x, y] R ; x + y r }, Kružnice K = {[x, y] R ; x + y = r }, 43

48 DEFINICE: HRANIČNÍ BOD Bod X R n je hraničním bodem množiny M, jestliže každé jeho okolí obsahuje jak body, které leží v množině M, tak i body, které leží mimo množinu M. DEFINICE: HRANICE Hranice množiny je množina všech hraničních bodů této množiny. DEFINICE: GLOBÁLNÍ (ABSOLUTNÍ) EXTRÉMY Nechť z = f(x, y) je funkce s definičním oborem D f a M D f. Řekneme, že funkce f má v bodě P 0 [x 0, y 0 ] M globální maximum (resp. globální minimum) na množině M, jestliže pro každý bod [x, y] M platí f(x, y) f(x 0, y 0 ), resp. f(x, y) f(x 0, y 0 ). Globální maxima a globální minima souhrnně nazýváme globálními extrémy (místo termínu globální extrém se často používá pojem absolutní extrém). Jsou-li nerovnosti ostré pro [x, y] [x 0, y 0 ], hovoříme o ostrých globálních extrémech. Poznámka Globální minimum (resp. globální maximum) je ostré, pokud ho funkce f na množině M nabývá pouze v právě jednom bodě. Nabývá-li funkce f hodnoty globálního extrému alespoň ve dvou různých bodech na množině M, hovoříme o neostrém globálním extrému. VĚTA: WEIERSTRASSOVA 3 Nechť je funkce z = f(x, y) spojitá na kompaktní množině K D f. Potom existují body C, C K takové, že funkce z = f(x, y) má v bodě C globální maximum a v bodě C globální minimum na množině K. Poznámka Funkce z = f(x, y) spojitá na kompaktní neprázdné množině K D f nabývá svých globálních extrémů buď v bodech lokálních extrémů ležících uvnitř kompaktní množiny, nebo v některém hraničním bodě. Při vyšetřování globálních extrémů funkce z = f(x, y) spojité na kompaktní neprázdné množině postupujeme následovně: 3 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (85 897) byl německý matematik, často nazývaný jako otec moderní matematické analýzy. 44

49 Určíme stacionární body funkce z = f(x, y) a ověříme, zda leží uvnitř kompaktní množiny. Vyšetříme funkci z = f(x, y) na hranici kompaktní množiny. Porovnáním funkčních hodnot ve všech bodech, které získáme popsaným postupem, určíme, ve kterých z nich nabývá daná funkce svých globálních extrémů. Poznámka Poznamenejme, že není-li množina K kompaktní, mohou, ale nemusí globální extrémy existovat, více viz []. Vyšetřování globálních extrémů si nyní ukážeme na příkladech. Budeme přitom předpokládat, že množina M je neprázdná kompaktní množina. Vyšetřete globální extrémy funkce z = xy x y + x + y v trojúhelníku tvořeném souřadnými osami a tečnou ke grafu funkce y = 4 x v bodě [, ]. Řešení: Nejprve určeme rovnici tečny ke grafu funkce y = 4. Platí x y = 4 x, tj. rovnice tečny je y = 4 (x ) 4 y = x + y = 4 x. Tedy množinou M, na níž hledáme absolutní extrémy, je množina M = {(x, y) R : x 0, y 0, y 4 x}. Určíme stacionární body funkce f = xy x y + x + y: f x = y x + = 0 f y = x y + = 0, odkud dostáváme stacionární bod [x, y] = [, ] M. Funkční hodnota v tomto bodě je f(, ) =. Nyní vyšetříme funkci f na hranici množiny M, která se skládá z úseček: I. y = 0, x [0, 4]; II. x = 0, y [0, 4]; III. y = 4 x, x [0, 4]. 45

50 I. y = 0, x [0, 4]. Dosazením dostáváme u = f(x, 0) = x + x a hledáme globální extrémy této funkce jedné proměnné pro x [0, 4]. Platí u = x + = 0, odkud x =. Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou u ( ) = ( ) + = 4, u(0) = 0, u(4) = (4) + 4 =. II. x = 0, y [0, 4]. Dosazením dostáváme v = f(0, y) = y + y a hledáme globální extrémy této funkce jedné proměnné pro y [0, 4]. Platí v = y + = 0, odkud y =. Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou v ( ) = ( ) + = 4, v(0) = 0, v(4) = (4) + 4 =. III. y = 4 x, x [0, 4]. Dosazením dostáváme w = f(x, 4 x) = x(4 x) x (4 x) + x + 4 x = 3x + x a hledáme globální extrémy této funkce jedné proměnné pro x [0, 4]. Platí w = 6x + = 0, odkud x =. Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou w() = 3 + = 0, w(0) =, w(4) = =. Porovnáním funkčních hodnot funkce f na hranici (tj. hodnot funkcí u, v, w v jejich stacionárních bodech a v krajních bodech intervalů, kde tyto funkce vyšetřujeme) s funkční hodnotou funkce f v jediném stacionárním bodě [, ] vidíme, že f min = pro [x, y] = [0, 4] a [x, y] = [4, 0], f max = pro [x, y] = [, ]. Zadaná funkce tedy nabývá svého ostrého globálního maxima v bodě [, ] a globálního minima v bodech [0, 4] a [4, 0]. Závěrem poznamenejme, že algebraické úpravy spojené s vyjádřením funkce f na hranici bývají nejčastějším zdrojem numerických chyb. Máme však k dispozici poměrně dobrou průběžnou kontrolu. V bodě [x, y] = [4, 0] se stýkají části hranice I. a III. a tedy funkce u z I. musí pro x = 4 nabývat stejné funkční hodnoty jako funkce w z III. v x = 4. V našem případě je u(4) = = w(4). Podobně v bodě [0, 0] se stýkají části I. a II. a v bodě [0, 4] části II. a III. Také v těchto bodech průběžná kontrola vychází, neboť u(0) = 0 = v(0) a w(0) = = v(4). 46

51 Vyšetřete globální extrémy funkce z = f(x, y) = 3xy v kruhu x + y. Řešení: Tedy množinou M, na níž hledáme globální extrémy, je množina M = {(x, y) R : x + y }. Určíme stacionární body funkce f = 3xy: f x = 3y = 0 f y = 3x = 0, odkud dostáváme stacionární bod [x, y] = [0, 0] M. Funkční hodnota v tomto bodě je f(0, 0) = 0. Nyní vyšetříme funkci fna hranici množiny M, která se skládá ze dvou křivek: I. y = x, x [, ]; II. y = x, x [, ]. I. Je-li y = x, x [, ]. Dosazením dostáváme u = f(x, x ) = 3x x a hledáme globální extrémy této funkce jedné proměnné pro x [, ]. Platí u = 3 x x + 3x x = 3( x ) 3x x = 6 6x x = 0, odkud 6 6x = 0 a potom x, = ±. Funkční hodnoty ve stacionárních bodech a v krajních bodech intervalu jsou u() = 3 = 3, u( ) = 3 ( ) ( ) = 3, u( ) = 3 ( ) ( ) = 0, u( ) = 3 ( ) = 0. II. Je-li y = x, x [, ]. Dosazením dostáváme v = f (x, x ) = 3x x a opět hledáme globální extrémy této funkce jedné proměnné pro x [, ]. Platí 47

52 v = 6 6x x = 0 odkud x, = ±. Funkční hodnoty ve stacionárních bodech a v krajních bodech intervalu jsou v() = 3 = 3, v( ) = 3 ( ) ( ) = 3, v( ) = 3 ( ) ( ) = 0, v( ) = 3 ( ) = 0. Porovnáním funkčních hodnot funkce f na hranici (tj. hodnot funkcí u, v v jejich stacionárních bodech a v krajních bodech intervalů, kde tyto funkce vyšetřujeme) s funkční hodnotou funkce f v jediném stacionárním bodě [0, 0] vidíme, že f min = 3 pro [x, y] = [, ] a [x, y] = [, ], f max = 3 pro [x, y] = [, ] a [x, y] = [, ]. Zadaná funkce tedy nabývá svého globálního maxima v bodech [, ] a [, ], globálního minima pak v bodech [, ] a [, ]. Podobně lze opět provést průběžnou kontrolu, kdy v bodech, kde se stýkají části hranice I. a II., tj. [, 0] a [, 0] musí funkce nabývat stejné funkční hodnoty: u( ) = 0 = v( ). u( ) = 0 = v( ),.8.3. VÁZANÉ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Kromě lokálních a globálních extrémů je v praxi často potřeba určit extrémy funkce z = f(x, y) vázané podmínkou g(x, y) = 0. Takové extrémy budeme nazývat vázanými extrémy a lze je chápat jako extrémy na hranici. DEFINICE: VÁZANÉ EXTRÉMY Říkáme, že funkce z = f(x, y) má v bodě P 0 [x 0, y 0 ], ve kterém je definována,. vázané maximum, jestliže nerovnost f(x, y) f(x 0, y 0 ). platí v okolí U(P 0 ) bodu P 0 za předpokladu, že proměnné x, y splňují vedlejší podmínku g(x, y) = 0. 48

53 . vázané minimum, jestliže nerovnost f(x, y) f(x 0, y 0 ). platí v okolí U(P 0 ) bodu P 0 za předpokladu, že proměnné x, y splňují vedlejší podmínku g(x, y) = 0. Vázané maximum a vázané minimum stručně nazýváme vázané extrémy. Poznámka Geometrická interpretace vázaného extrému: Bodům, které leží v definičním oboru funkce z = f(x, y) a vyhovují rovnici g(x, y) = 0, odpovídají na ploše z = f(x, y) za vhodných předpokladů body, tvořící křivku k. Body vázaných extrémů jsou pak takové body, v nichž funkce z = f(x, y) nabývá své největší nebo nejmenší hodnoty na křivce k, viz obrázek č. 5. Obrázek 5 Rozdíl mezi lokálními a vázanými extrémy tedy spočívá v tom, že v případě lokálních extrémů vyšetřujeme funkci v jejím celém definičním oboru, zatímco při vázaných extrémech vyšetřujeme jen ty hodnoty funkce z = f(x, y), kterých nabývá v bodech křivky g(x, y) = 0. Při vyšetřování vázaných extrémů lze postupovat několika způsoby: I. Pokud rovnice g(x, y) = 0 určuje implicitně funkci y = φ(x), převede se úloha na nalezení vázaného extrému na úlohu určení extrému funkce z = f(x, φ(x)) funkce jedné proměnné metoda dosazovací. 49

54 Určeme vázaný extrém funkce z = f(x, y) = x + y pro vazebnou podmínku x + y = (přímka). Řešení: Definičním oborem funkce z = + je celá rovina kromě bodů přímek x = 0, y = 0. x y Z podmínky x + y = vyjádříme proměnnou y a dosadíme ji do dané funkce. Dostaneme funkci jedné proměnné z = x + x, jejíž lokální extrémy budeme vyšetřovat. Pomocí první derivace z = x + ( x) určíme stacionární bod x =. Druhá derivace má pak tvar a z () = 3 + ( ) 3 = 4 > 0. z = x 3 + ( x) 3 Tedy v bodě x = má funkce z = + x x vázané minimum o hodnotě z =. lokální minimum a v bodě [, ] má funkce z = x + y Určeme vázaný extrém funkce pro vazebnou podmínku x = y (parabola). z = f(x, y) = x 3 + y 3 3xy Řešení: Definičním oborem funkce z = x 3 y 3 3xy je celá rovina. V podmínce x = y máme vyjádřenou proměnnou x a dosadíme ji do dané funkce. Dostaneme funkci jedné proměnné z = (y ) 3 + y 3 3y y = y 6 y 3 jejíž lokální extrémy budeme vyšetřovat. Pomocí první derivace z = 6y 5 6y 6y (y 3 ) = 0 50

55 určíme stacionární body y = 0 nebo y =. Druhá derivace má pak tvar a po dosazení z = 30y 4 y z (0) = 0 nelze o lokálním extrému rozhodnout z () = 8 > 0. Tedy v bodě y = má funkce z = y 6 y 3 lokální minimum a v bodě [, ] má funkce z = x 3 y 3 3xy vázané minimum o hodnotě z =. Poznámka Aplikace v ekonomii Vázaných extrémů je často využíváno při výpočtech v ekonomických vědách, viz příklady ekonomická aplikace a. PŘÍKLAD EKONOMICKÁ APLIKACE : Vypočtěte maximální možný objem produkce při rozpočtu 00 tis. EUR na výrobu, která je popsána produkční funkcí P = x y, kde x označuje množství vloženého kapitálu (nájemné stroje je 0 tis. EUR za hodinu) a y označuje množství vynaložené práce (náklady na jednu hodinu práce jsou 5 tis. EUR). Řešení dosazovací metodou: Naším úkolem je tedy najít, jaké množství kapitálu a jaké množství práce je potřeba k výrobě maximálního množství výrobků. Hledáme proto vázané maximum funkce na množině určené vazebnou podmínkou P = x y g(x, y) = 0x + 5y 00 = 0. Z vazebné podmínky vyjádříme jednu proměnnou pomocí druhé, např.: 0x + 5y 00 = 0 y = 0 x, a dosadíme ji za příslušnou proměnnou do funkce P: F(x) = P(x, 0 x) = x (0 x). Dostáváme tak funkci jedné proměnné, takže pro hledání extrémů opět využijeme známé metody. První derivace je F (x) = x (0 x) + x (0 x) ( ), 5

56 po úpravě F (x) = x (0 x) (0 4x) Je pak vhodné požadovat x, y > 0, proto je maximum x = 5, y = 0. Maximální hodnota produkční funkce je tedy P(5, 0) = 500 výrobků. PŘÍKLAD EKONOMICKÁ APLIKACE : Výroba firmy je popsána produkční funkcí P = x y. Náklady na jednu hodinu práce jsou 00 Kč a nájemné stroje je 50 Kč za hodinu. Na výrobu byl vyčleněn rozpočet ve výši Kč. Jaké maximální množství produkce je schopna firma v dané situaci vyrobit? Řešení dosazovací metodou: Naším úkolem je tedy najít, jaké množství kapitálu a jaké množství práce je potřeba k výrobě maximálního množství výrobků. Hledáme opět vázané maximum funkce na množině určené vazebnou podmínkou P = x y g(x, y) = 50x + 00y 5000 = 0. Z vazebné podmínky vyjádříme jednu proměnnou pomocí druhé, např.: 50x + 00y 5000 = 0 y = 50 x, a dosadíme ji za příslušnou proměnnou do funkce P: F(x) = P (x, 50 x ) = x 50 x. Dostáváme tak funkci jedné proměnné, takže pro hledání extrémů opět využijeme známé metody. První derivace je po úpravě F (x) = x 50 x + x 50 x ( ), 5

57 F (x) = x 50 x ( 00 x x (00 x) ). Je pak vhodné požadovat x, y > 0, proto je maximum Maximální hodnota produkční funkce je tedy x = 50, y = 5. P(50, 5) = 50 5 = 70,7 = 70 výrobků. II. Uvedený postup však není možný, pokud žádnou z proměnných x, y nelze z podmínky g(x, y) = 0 vyjádřit. V tom případě používáme tzv. Lagrangeovu metodu neurčitých multiplikátorů. DEFINICE: LAGRANGEŮV MULTIPLIKÁTOR Nechť g je daná funkce a nechť rovnicí g(x, y) = 0 je dána podmínka pro vázaný extrém funkce z = f(x, y). Funkci L(x, y, λ) = f(x, y) λ g(x, y) nazveme Lagrangeovou funkcí, příslušnou k funkci z = f(x, y) a podmínce g(x, y) = 0. Číslo λ se nazývá Lagrangeův multiplikátor. (Jedná se tedy o funkci dvou proměnných s parametrem λ.) Má-li funkce L při daném λ lokální extrém v bodě P 0 [x 0, y 0 ], tedy splňuje nerovnost L(x, y) L(x 0, y 0 ) nebo L(x, y) L(x 0, y 0 ) pro všechny body z jistého okolí bodu P 0, pak tato nerovnost platí i pro body omezené podmínkou g(x, y) = 0, kde L(x, y) = f(x, y). Pro výpočet Lagrangeova multiplikátoru λ a odpovídajících stacionárních bodů pak dostáváme z rovnic L x (x, y) = 0 a L y (x, y) = 0 podmínky f x (x, y) λ g x (x, y) = 0 a f y (x, y) λ g y (x, y) = 0, které spolu s podmínkou g(x, y) = 0 tvoří soustavu tří rovnic o třech neznámých f x (x, y) λ g x (x, y) = 0, f y (x, y) λ g y (x, y) = 0, () g(x, y) = 0, 53

58 ze které vypočítáme nejdříve λ a potom pro získané hodnoty λ souřadnice x, y odpovídajících stacionárních bodů. O existenci a charakteru vázaného extrému rozhodneme podle následujících vět. VĚTA: POSTAČUJÍCÍ PODMÍNKY PRO EXISTENCI VÁZANÝCH EXTRÉMŮ Nechť funkce f, g jsou diferencovatelné v okolí množiny M určené podmínkou M = {[x, y] R, g(x, y) = 0} a nechť pro λ R, P 0 M platí podmínka L x (P 0 ) = 0 a L y (P 0 ) = 0. Má-li Lagrangeova funkce L(x, y, λ) lokální minimum (resp. maximum) v bodě P 0, pak má funkce f v bodě P 0 vázané lokální minimum (resp. maximum) vzhledem k M. Poznámka Poznamenejme, že Lagrangeova funkce L(x, y, λ) v bodě P 0 závisí na konkrétním λ odpovídajícímu tomuto bodu. Tedy pro každý bod P 0 máme ve výše uvedené větě jinou funkci L(x, y, λ). Dále je třeba si uvědomit, že tvrzení výše uvedené věty je pouze implikace. Může se stát, že funkce f má v bodě P 0 lokální vázaný extrém vzhledem k M a příslušná Lagrangeova funkce L(x, y, λ) má v P 0 sedlový bod (tedy nikoliv lokální extrém). VĚTA: VÁZANÉ LOKÁLNÍ MINIMUM, RESP. MAXIMUM Nechť P 0 je stacionární bod funkce L(x, y, λ), vyhovující rovnicím (). Předpokládejme, že funkce f, g mají spojité parciální derivace. řádu. Označme Pak platí: L xx (P 0 ) L xy (P 0 ) g x (P 0 ) D L (P 0 ) = L yx (P 0 ) L yy (P 0 ) g y (P 0 ). g x (P 0 ) g y (P 0 ) 0 a) Je-li D L (P 0 ) > 0, má funkce f v bodě P 0 vázané lokální minimum. b) Je-li D L (P 0 ) < 0, má funkce f v bodě P 0 vázané lokální maximum. Určete vázané extrémy a hodnotu λ funkce z = f(x, y) = x + y na křivce g(x, y) = x + y x y 6 = 0. 54

59 Řešení: Sestavíme Lagrangeovu funkci L: z = (x + y) λ (x + y x y 6). Vypočítáme parciální derivace: L x (x, y, λ) = λ (x ), L y (x, y, λ) = λ (y ). Soustava rovnic () má v tomto případě tvar λ (x ) = 0, λ (y ) = 0, x + y x y 6 = 0. Z první rovnice můžeme vyjádřit λ = x a x, obdobně z druhé rovnice λ = y a y, Přičemž je z prvních dvou rovnic zřejmé, že λ 0. Z rovnosti pravých stran řešené soustavy plyne rovnost jejich levých stran. Je tedy Odtud plyne λ (x ) = λ (y ) λx = λy, λ(x y) = 0, Je tedy x = y. Dosadíme-li do vazebné podmínky, dostaneme x 4x 6 = 0 x x 3 = 0 (x 3)(x + ) = 0 Stacionární body jsou tedy dva P [3, 3] a P [, ]. Vypočítáme potřebné parciální derivace. řádu, hodnotu λ a dosadíme do determinantu D L. Pro bod P [3, 3] je λ = 4 a 55

60 0 4 D L (P ) = = 6, tedy funkce f má v bodě P vázané lokální maximum o hodnotě f( P ) = 6. Pro bod P [, ] je λ = 4 a 0 4 D L (P ) = 0 4 = 6, tedy funkce f má v bodě P vázané lokální minimum o hodnotě f( P ) =. Určete vázané extrémy a hodnotu λ funkce z = f(x, y) = x + y + na křivce g(x, y) = (x + y ) x y = 0. Řešení: Sestavíme Lagrangeovu funkci L: z = (x + y + ) λ (x + y x y ). Vypočítáme parciální derivace: L x (x, y, λ) = λ (4x xy ), L y (x, y, λ) = λ (4y x y). Soustava rovnic () má v tomto případě tvar λ (4x xy ) = 0, λ (4y x y) = 0, x + y x y = 0. Z první rovnice můžeme vyjádřit λ = x( y ) pro x 0 a y ±, obdobně z druhé rovnice λ = y( x ) pro y 0 a x ±. 56

61 Z rovnosti pravých stran řešené soustavy plyne rovnost jejich levých stran. Je tedy Potom a po úpravě takže je buď y x = 0 nebo xy + = 0. λ (4x xy ) = λ (4y x y). 4x xy = 4y x y (y x)(xy + ) = 0, Dosadíme-li z těchto rovnic do vazebné podmínky, dostaneme dvojici stacionárních bodů P [, ] a P [, ]. Vypočítáme potřebné parciální derivace. řádu, hodnotu λ a dosadíme do determinantu D L. Pro bod P [, ] je λ = 8 a 8 D L (P ) = = 9, tedy funkce f má v bodě P vázané lokální minimum o hodnotě f( P ) = 6. Pro bod P [, ] je λ = 8 a 8 D L (P ) = 8 = 9, tedy funkce f má v bodě P vázané lokální maximum o hodnotě f( P ) =. Poznámka Metoda Lagrangeových multiplikátorů je založena na jednoduchém pozorování. Je-li v bodě P 0 lokální vázaný extrém funkce f vzhledem k vazebné podmínce g(x, y) = 0, potom se úrovňová křivka funkce f procházející bodem P 0 dotýká křivky g(x, y) = 0 v bodě P 0, tj. jejich normálové vektory (gradienty funkcí f, g) v bodě P 0 jsou rovnoběžné, viz obrázek č

62 Obrázek 6 Tedy za podmínky, že f, g jsou diferencovatelné v bodě P 0, g(p 0 ) 0, funkce g je spojitá na nějakém okolí bodu P 0 a funkce f má lokální vázaný extrém v bodě P 0 vzhledem k g(x, y) = 0, potom můžeme psát f(p 0 ) = λ g(p 0 ). () Poznámka Jacobiho determinant Podmínka () tedy znamená, že vektory f(p 0 ) a g(p 0 ) jsou lineárně závislé, což lze vyjádřit pomocí Jacobiho determinantu f x (P 0 ) f y (P 0 ) g x (P 0 ) g = 0, (3) y (P 0 ) tzv. Jakobiánu. Uvědomme si, že se v podstatě jedná o další možnost, jak odhalit vázané lokální extrémy. Vrátíme se nyní k řešení příkladů ekonomická aplikace, a vyřešíme je pomocí Lagrangeovy metody. Zopakujme vždy zadání: PŘÍKLAD EKONOMICKÁ APLIKACE : Vypočtěte maximální možný objem produkce při rozpočtu 00 tis. EUR na výrobu, která je popsána produkční funkcí P = x y, 58

63 kde x označuje množství vloženého kapitálu (nájemné stroje je 0 tis. EUR za hodinu) a y označuje množství vynaložené práce (náklady na jednu hodinu práce jsou 5 tis. EUR). Řešení Lagrangeovou metodou: V tomto případě je z povahy úlohy zřejmé, že hledané maximum bude v bodě, který splňuje podmínku (). Jelikož nepotřebujeme znát hodnotu Lagrangeova multiplikátoru λ, použijeme při výpočtu ekvivalentní podmínku (3) Jakobián : xy x y 0 5 = 0xy 0x y = 0. Druhou rovnici pro určení neznámých x, y máme z vazebné podmínky: g(x, y) = 0x + 5y 00 = 0. Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice [x, y] = [5, 0], tedy (stejně jako při použití dosazovací metody) obdržíme maximální hodnotu produkční funkce P = 500 výrobků. Poznámka V ekonomických vědách vyjadřuje Lagrangeův multiplikátor poměr maximální hodnoty funkce f k číslu k = g(x, y). Konkrétně tedy ve výše uvedeném příkladu je hodnota multiplikátoru pro vypočtené hodnoty [x, y] = [5, 0] rovna λ = 00, což znamená, že kdyby se množství kapitálu zvýšilo o jeden tisíc EUR (tj. měli bychom vazebnou podmínku 0x + 5y = 0), pak by se produkce P zvýšila o přibližně 00 výrobků. Vazebnou podmínku (např. 0x + 5y = 00) chápeme jako jistou omezující podmínku při výrobě (rozpočet je omezen 00 tis. EUR). Hodnotu Lagrangeova multiplikátoru lze tedy chápat jako vliv dané omezující podmínky na výrobu. Nízká hodnota λ představuje malý vliv odstranění omezení na množství produkce. 59

64 PŘÍKLAD EKONOMICKÁ APLIKACE : Výroba firmy je popsána produkční funkcí P = x y. Náklady na jednu hodinu práce jsou 00 Kč a nájemné stroje je 50 Kč za hodinu. Na výrobu byl vyčleněn rozpočet ve výši Kč. Jaké maximální množství produkce je schopna firma v dané situaci vyrobit? Řešení Lagrangeovou metodou: V tomto případě je z povahy úlohy zřejmé, že hledané maximum bude opět v bodě, který splňuje podmínku (). Jelikož nepotřebujeme znát hodnotu Lagrangeova multiplikátoru λ, použijeme při výpočtu ekvivalentní podmínku (3) Jakobián : po úpravě xy y xy x xy xy x y = 00 xy x = 0, 50 xy y Druhou rovnici pro určení neznámých x, y máme z vazebné podmínky: g(x, y) = 50x + 00y 5000 = 0. Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice [x, y] = [50, 5], tedy (stejně jako při použití dosazovací metody) obdržíme maximální hodnotu produkční funkce P = 70 výrobků. = 0. Určete vázané extrémy funkce na kružnici x + y =. z = f(x, y) = x y Řešení: Vazebnou podmínkou je tedy g(x, y) = x + y, což je kružnice se středem v počátku a poloměrem r =. Jedná se tedy o kompaktní množinu. Funkce f(x, y) = x y je spojitá v celém R, tedy i v této množině. Podle Weierstrassovy věty funkce f na této množině nabývá svého maxima i minima. Jelikož opět nepotřebujeme znát hodnotu Lagrangeova multiplikátoru λ, použijeme při výpočtu podmínku (3) Jakobián. Sestavíme nejprve determinant prvních derivací, upravíme jej a pak položíme roven nule: xy x y x y = 4xy3 4x 3 y = 4xy(y x ) = 0. 60

65 Potom x = 0, nebo y = 0, resp. x = y, tj. x = y, resp. x = y. Dosazením do vazebné podmínky dostaneme: x = 0 y =, proto y =, y =, y = 0 x =, proto x =, x =, x = y x =, proto x 3 =, x 4 =. Z rovnice x = y plyne, že hodnotám x 3 =, x 4 = odpovídají hodnoty y, pro něž y =, tj. y =, y =. Body, v nichž pak může funkce f nabývat extrémních hodnot na g(x, y) jsou: Protože je P [0, ]; P [0, ]; P 3 [, 0]; P 4 [, 0]; P 5 [, ]; P 6 [, ]; P 7 [, ]; P 8 [, ]. f(0, ) = f(0, ) = f(, 0) = f(, 0) = 0, f(, ) = f(, ) = f(, ) = f(, ) =, nabývá funkce f v bodech P, P, P 3, P 4 svého vázaného lokálního minima a v bodech P 5, P 6, P 7, P 8 svého vázaného lokálního maxima na množině g(x, y) = x + y. Určete vázané extrémy funkce na elipse x + 3y = 6. z = f(x, y) = xy Řešení: Vazebnou podmínkou je g(x, y) = x + 3y 6. Tuto podmínku lze zapsat x + y =, je 3 proto zřejmé, že se jedná o elipsu se středem v počátku a délkami poloos 3 a. Jedná se tedy o kompaktní množinu. Funkce f(x, y) = xy je spojitá v celém R, tedy i v této množině. Podle Weierstrassovy věty funkce f na této množině nabývá svého maxima i minima. Jelikož opět nepotřebujeme znát hodnotu Lagrangeova multiplikátoru λ, použijeme při výpočtu podmínku (3) Jakobián. Sestavíme nejprve determinant prvních derivací, upravíme jej a pak položíme roven nule: y x 4x 6y = 6y 4x = 0. Rovnici pak lze zapsat ve tvaru 3y = x, dosadíme-li do vazebné podmínky za x výraz 3y dostaneme 6y = 6, tj. y =, y =. 6

66 Dosadíme-li naopak do vazebné podmínky za 3y výraz x, pak z rovnice 4x = 6 plyne x = 3, x = 3. Body, v nichž pak může funkce f nabývat extrémních hodnot na g(x, y) jsou: P [ 3, ] ; P [ 3, ] ; P 3 [ 3, ] ; P 4 [ 3, ]. Protože je f ( 3, ) = f ( 3, ) = 3, f ( 3, ) = f ( 3, ) = 3. nabývá funkce f v bodech P, P 4 svého vázaného lokálního maxima a v bodech P, P 3 svého vázaného lokálního minima na množině g(x, y) = x + 3y 6. Určete vázané extrémy funkce na kruhu g(x, y): x + y. z = f(x, y) = x Řešení: Využijeme větu o postačujících podmínkách pro existenci vázaných extrémů (str. 5). Sestavíme Lagrangeovu funkci Vypočítáme parciální derivace: L: z = ( x) λ (x + y ). L x (x, y, λ) = λ (x), L y (x, y, λ) = λ (y). Podmínka L x (P 0 ) = 0 a L y (P 0 ) = 0 má v tomto případě tvar Z první rovnice můžeme vyjádřit λx = 0, λy = 0. 6

67 λ = x a x 0. Protože jsou splněny všechny předpoklady, body, ve kterých mohou být lokální vázané extrémy, nalezneme pomocí Jakobiánu: 0 = 0, tj. y = 0. x y Dosadíme-li do vazebné podmínky, dostaneme dvojici podezřelých bodů P [, 0] a P [, 0]. Pro bod P [, 0] je λ = a pro bod P [, 0] je λ =. Hessova matice pro funkci L(x, y, λ) je ( L xx(p 0 ) L xy (P 0 ) L yx (P 0 ) L yy (P 0 ) ) = ( λ 0 0 λ ). Podle postačující podmínky pro existenci lokálních extrémů (viz str. 35) platí, že funkce L(x, y, λ) má v bodě P [, 0] lokální minimum a v bodě P [, 0] pak lokální maximum. Tedy podle výše uvedené věty (postačující podmínky pro existenci vázaných extrémů) je v bodě P [, 0] lokální vázané minimum a v bodě P [, 0] lokální vázané maximum funkce f(x, y) = x na kružnici g(x, y): x + y. Poznámka Dosazovací metoda versus Lagrangeova metoda Dosazovací metoda: - Spolehlivě najde lokální vázaný extrém a určí, o jaký extrém (max., min.) se jedná. - Je nutné však počítat s tím, že lokální vázaný extrém může být na kraji definičního oboru příslušné funkce jedné proměnné (takže se nejedná o lokální extrém funkce jedné proměnné). - Tuto metodu nemůžeme použít, když z vazebné podmínky neumíme vyjádřit jednu proměnnou pomocí druhé. Lagrangeova metoda: - Pomocí této metody lze většinou snadno najít podezřelé body, tj. body, ve kterých mohou být lokální vázané extrémy. Hodí se tedy hlavně ke hledání globálních extrémů na kompaktní množině. - Někdy je obtížné určit, zda v nalezeném podezřelém bodě je nebo není lokální vázaný extrém. - Lagrangeova metoda vyžaduje silnější předpoklady na funkce f, g. 63

68 .9. CVIČENÍ ) Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce: a) z = x +y 4x x x y ; b) z = 36 4x 9y ; c) z = y x ln( x y ) ; d) z = arcsin x+y x. [a) ; b) ; c) ; 64

69 d) ] ) Vypočtěte parciální derivace. řádu funkce: a) z = x y 3 + x 3 y ; b) z = x y ; c) z = x sin(x + y) ; d) z = arcsin xy ; e) z = ln ( x +y x x +y + x ). [a) z x = xy 3 + 3x y ; z y = 3x y + x 3 y; b) z x = y ; z y = x y 3 ; c) z x = sin(x + y) + x cos(x + y) ; z y = x cos(x + y) ; d) z x = y x y ; z y = x x y ; e) z x = ; z x +y y = x. ] y x +y 3) Vypočtěte parciální derivace. a. řádu funkce: a) z = x+y y ; b) z = (x + y) e x ; c) z = ln(x + y ) ; d) z = cos x y. [a) z x = ; z y y = y y x ; z (y ) xx = 0; z xy = z yx = ; z (y ) yy = x+ ; (y ) 3 b) z x = e x ( + x + y); z y = e x ; z xx = e x ( + x + y); 65

70 b) z = ln (x + y x ) v bodě [, ]. [a) zx = 5; zy = 0 + 5; z xy = z yx = e x ; z yy = 0; c) z x = ; z x+y y = y ; z x+y xx = ; z (x+y ) xy = z yx = y ; z (x+y ) yy = x y ; (x+y ) d) z x = x sin x y ; z y = cos x ; z y xx z xy = z yx = = sin x 4x cos x x sin x cos x ; z y yy =. ] y 3 y ; 4) Vypočtěte parciální derivace. řádu následujících funkcí v daných bodech: a) z = y + y + x v bodě [, 5]; b) z x = 0; z y = 4. ] 5) Určete tečnou rovinu a normálu dané plochy v bodě P: a) z = x sin y v bodě P [, π,? ] ; b) z = ln(x + y ) v bodě P[, 0,? ]. [a) x z = 0; x = + t, y = π, z = t; b) x z = 0; x = + t, y = 0, z = t. ] 6) Určete diferenciál funkce: a) z = xy + x y b) z = arctg x+y xy v bodě [, ]; v bodě [ 3, ]. [a) dx; b) 4 dx dy.] 7) Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně: a) (0,98) + (,03) 3 ; b) arctg,0 0,95. [a) 3,053 ; 66 b) π 4 + 0,035.]

71 8) Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce v daném bodě: a) z = x + xy + y v bodě [,, 4]; b) z = e x +y v bodě [0, 0,? ]. [a) 3x + 5y z = 4 ; b) z =. ] 9) Vyšetřete lokální extrémy zadaných funkcí z = f(x, y): a) z = x + xy + y 6x 9y; b) z = xy x 4y; c) z = x 3 6x 6xy + 6y + 3y ; d) z = x 3 3x + y 3 3y; e) z = x 3 + y 3 6y 3x + 9; f) z = 8 x + x y + y; g) z = e x y ; h) z = ln( + x + y ). [a) v bodě P 0 [, 4] má funkce f ostré lokální minimum o hodnotě f(, 4) = ; b) v bodě P 0 [, ] není lokální extrém; c) v bodě P [, ] má funkce f ostré lokální minimum o hodnotě f(, ) = 7 a v bodě P [0, ] není lokální extrém; d) v bodě P [, ] má funkce f ostré lokální minimum o hodnotě f(, ) = 4, v bodě P [, ] má funkce f ostré lokální maximum o hodnotě f(, ) = 4 a v bodech P 3 [, ] a P 4 [, ] lokální extrém nenastane; e) v bodě P [, 0] má funkce f ostré lokální maximum o hodnotě f(, 0) =, v bodě P [, 4] má funkce f ostré lokální minimum o hodnotě f(, 4) = 5 a v bodech P 3 [, 0] a P 4 [, 4] lokální extrém nenastane; f) v bodě P 0 [4, ] má funkce f ostré lokální minimum o hodnotě f(4, ) = 6; g) v bodě P 0 [0, 0] má funkce f ostré lokální maximum o hodnotě f(0, 0) = ; h) v bodě P 0 [0, 0] má funkce f ostré lokální minimum o hodnotě f(0, 0) = 0. ] 0) Vyšetřete globální extrémy zadaných funkcí z = f(x, y) na uzavřené množině M: a) z = f(x, y) = x + xy 4x + 8y na obdélníku 0 x, 0 y ; 67

72 b) z = f(x, y) = x + xy + y 3x 5y na trojúhelníku, jehož hranice tvoří přímky: x + 3y = 6, x = 0, x 3y = 3; [a) Funkce f nabývá svého ostrého globálního maxima f max = 7 v bodě [, ] a ostrého globálního minima f min = 3 v bodě [, 0]; b) Funkce f nabývá svého ostrého globálního maxima f max = 7 v bodě [0, ] a ostrého globálního minima f min = 3 v bodě [, ].] ) Vyšetřete vázané lokální extrémy zadaných funkcí z = f(x, y): a) z = f(x, y) = x + y na kružnici g(x, y) = x + y 4 = 0; b) z = f(x, y) = (x ) + (y ) na kružnici g(x, y) = x + y 45 = 0; c) z = f(x, y) = x 3 y 3 3xy na parabole g(x, y) = x y = 0; d) z = f(x, y) = x + 4x + 4y na elipse g(x, y) = x + y 4 = 0 ; e) z = f(x, y) = x 3 + y 3 na přímce g(x, y) = x + y 3 = 0; f) z = f(x, y) = xy na elipse g(x, y) = 4x + y 8 = 0; g) z = f(x, y) = e xy na kružnici g(x, y) = x + y = 0; [a) Funkce f na dané kompaktní množině g nabývá vázaného lokálního maxima v bodě P [, ] a vázaného lokálního minima v bodě P [, ] ; b) Funkce f na dané kompaktní množině g nabývá vázaného lokálního maxima v bodě P [ 3, 6] a vázaného lokálního minima v bodě P [3, 6] ; c) Funkce f na dané množině g nabývá vázaného lokálního minima 3 v bodě P [ 4 3, ] ; d) Funkce f na dané kompaktní množině g nabývá vázaného lokálního maxima v bodě P [, 0] a vázaného lokálního minima v bodě P [, 0] ; e) Funkce f na dané množině g nabývá vázaného lokálního minima v bodě P [ 3, 3 ] ; f) Funkce f na dané kompaktní množině g nabývá vázaného lokálního maxima v bodech P [, ] a P [, ], vázaného lokálního minima pak v bodech P 3 [, ] a P 4 [, ] ; g) Funkce f na dané kompaktní množině g nabývá vázaného lokálního maxima v bodech P [, ] a P [, ], vázaného lokálního minima pak v bodech P 3 [, ] a P 4 [, ]. ] 68

73 . INTEGRÁLNÍ POČET.. PRIMITIVNÍ FUNKCE A NEURČITÝ INTEGRÁL V této kapitole zavedeme pojmy primitivní funkce a neurčitý integrál. DEFINICE: PRIMITIVNÍ FUNKCE Nechť f a F jsou funkce definované na intervalu J. Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu J, jestliže pro každý bod x J tohoto intervalu platí F (x) = f(x). Poznámka: Pokud k intervalu J náleží některý z jeho krajních bodů, pak v tomto bodě uvažujeme příslušnou jednostrannou derivaci. Uvažujme následující funkce f(x) = x 3, F(x) = x 3x + 5. Dle definice je funkce F primitivní funkcí k funkci f na R. Protože derivace konstanty je nula, je primitivní funkcí k funkci F na R také například funkce G(x) = x 3x 7. Tuto skutečnost popisují následující dvě věty. VĚTA Nechť funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu J. Potom funkce G G(x) = F(x) + C, kde C R je konstanta, je také primitivní funkcí k f na intervalu J. VĚTA Nechť funkce F a G jsou primitivní funkce k funkci f na intervalu J. Potom existuje konstanta C R tak, že pro každé x J je Poznámka: G(x) = F(x) + C. V předchozí větě je podstatné, že množina J je interval, jinak tvrzení nemusí platit. Například funkce F(x) = arctg x je primitivní funkce k funkci f(x) = x + na R a funkce G(x) = arccotg x je 69

74 primitivní funkcí také k funkci f ale na ( ; 0) (0; ). Pro tyto funkce ale neexistuje konstanta C tak, že G(x) = F(x) + C na ( ; 0) (0; ). Následující věta uvádí postačující podmínku pro existenci primitivní funkce. VĚTA Je-li f funkce spojitá na intervalu J, pak k ní na tomto intervalu existuje primitivní funkce F. Poznámka: Jelikož všechny elementární funkce jsou na svém definičním oboru spojité, plyne z předchozí věty jednoduchý důsledek: Je-li f elementární funkce definovaná na intervalu J, pak k ní na tomto intervalu existuje primitivní funkce F. DEFINICE: NEURČITÝ INTEGRÁL Množina všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu J se nazývá neurčitý integrál funkce f na intervalu J. Pro neurčitý integrál používáme zápis: f(x)dx = F(x) + C, kde dx je diferenciál integrační proměnné, F(x) je nějaká primitivní funkce k funkci f(x) a C R je integrační konstanta. Poznámka: Diferenciál integrační proměnné dx označuje, co je proměnná. Například pokud budeme uvažovat funkci s proměnnou y, používáme dy. Neurčitý integrál k funkci f(x) = x 3 můžeme tedy zapsat: (x 3 )dx = x 3x + C... VÝPOČET NEURČITÉHO INTEGRÁLU Nyní si ukážeme základní metody výpočtu neurčitého integrálu. Podobně jako u derivací, i zde při praktickém počítání používáme vzorce pro integraci některých elementárních funkcí. 70

75 VĚTA Pro integraci základních elementárních funkcí platí vzorce: 0dx = C dx = x + C na ( ; ), na ( ; ), x n dx = xn+ + C (n ) na (0; ) (resp. R nebo R\{0}), n+ dx = ln x + C x e x dx = e x + C na ( ; 0) nebo na (0; ), na ( ; ), a x dx = ax + C (a > 0, a ) na ( ; ), ln a sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C na ( ; ), na ( ; ), sin x dx = cotg x + C na (kπ; π + kπ), k Z, dx = tg x + C na ( π + kπ; π + kπ), k Z, cos x +x dx = arctg x + C na ( ; ), dx = arcsin x + C na ( ; ). x Poznámka: Definiční obor u integrace funkce x n závisí na n. Necháváme čtenáři k promyšlení. V následujících příkladech již tyto intervaly uvádět nebudeme. Doporučujeme čtenářům jako cvičení na definiční obory. VĚTA Nechť funkce f, g mají na intervalu J primitivní funkce. Potom také funkce (f + g), (f g) a (c f), kde c R, mají na J primitivní funkce a platí: (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx, (f(x) g(x))dx = f(x)dx g(x)dx, cf(x) dx = c f(x)dx. 7

76 Poznámka: Zdůrazněme, že neexistují žádné vzorce pro přímé integrování součinu a podílu dvou funkcí, jako tomu bylo u derivací.... METODA PŘÍMÉ INTEGRACE Jedná se o nejjednodušší metodu výpočtu neurčitého integrálu. Při výpočtu používáme základní integrační vzorce a pravidla z předchozí věty, případně použijeme základní algebraické úpravy výrazů. Snažíme se převést zadaný výraz na součet, resp. rozdíl, násobků elementárních funkcí, které umíme integrovat. 3 Vypočítejme neurčitý integrál ( x 5 x + x 3 + x 3x ) dx. Jedná se o součet a rozdíl základních elementárních funkcí. K řešení využijeme pravidla z předchozí věty a vzorce pro integrování: 3 ( x 5 x + x + x 3x ) dx = x 5 3 dx x dx + x dx + x dx 3 x dx = Poznámka: = x ln x + x + x 3x ln 3 + C = 3 x8 3 8 ln x x + x 3x ln 3 + C. Poznamenejme, že pokud příklad sestává ze součtu (resp. rozdílu) více integrálů, stačí ve výsledku uvádět jednu integrační konstantu C. Vypočítejme neurčitý integrál ( sin x 3 + 4) dx. x K řešení využijeme pravidla z předchozí věty a vzorce pro integrování: ( sin x 3 x + 4) dx = sin x dx 3 dx + 4 dx = x = cos x 3 ln x + 4x + C. Vypočítejme neurčitý integrál ( sin x x + x) dx. K řešení využijeme pravidla z předchozí věty a vzorce pro integrování: 7

77 ( 4 sin x 3 x + 5 dx = 4 x) sin x dx 3 x + dx 5 x dx = = 4cotg x 3 arctg x 5 arcsin x + C. Vypočítejme neurčitý integrál 5x3 x+4 dx. x Vzhledem k tomu, že je se jedná o podíl dvou funkcí, musíme výraz nejprve upravit na součet (resp. rozdíl) elementárních funkcí. V tomto případě to lze provést pouhým vydělením. 5x3 x + 4 x dx = ( 5x3 x x x + 4 x ) dx = (5x x + 4x ) dx = = 5x ln x + 4x Vypočítejme neurčitý integrál x 3 dx. x 3 x x + C = 5x ln x 4 x + C dx = (x x 3 x ) dx = (x 3x ) dx = = x3 3 3x 3 Vypočítejme neurčitý integrál x(3x ) dx. + C = 4 x3 3 6 x + C Výraz se skládá ze součinu dvou funkcí, musíme je tedy nejprve vynásobit. 3 x(3x ) dx = x 3(3x )dx = (3x 4 3 x 3) dx = = 3x x C = 9 x x4 3 + C 73

78 Vypočítejme neurčitý integrál x 5x dx. x x 5 x dx = (( x 5 ) ( x 5 ) ) dx = ( 5 ) ln ( 5 ) ( 5 ) x ln ( 5 ) + C Vypočítejme neurčitý integrál ( x 3) dx. x ( x 3) x dx = = ln x 6x x 6 x + 9 x + 9x dx = ( x 3 6x + 9x ) dx = + C = ln x + x 9 x + C Vypočítejme neurčitý integrál tg x dx. K výpočtu použijeme vzorce: tg x = sin x cos x a sin x = cos x. tg x dx = sin x cos x dx = cos x cos x dx = ( cos ) dx = tg x x + C x Vypočítejme neurčitý integrál cotg x 3 dx. cos x K výpočtu použijeme vzorec cotg x = cos x sin x. cos x cotg x 3 cos dx = sin x 3 x cos x dx = ( sin x 3 cos ) dx = cotg x 3tg x + C x cos x Vypočítejme neurčitý integrál dx. cos x K výpočtu použijeme vzorce: cos x = cos x sin x a sin x = cos x. cos x cos x dx = cos x sin x cos x dx = cos x ( cos x) cos dx = x 74

79 = cos x cos dx = ( x cos ) dx = x tg x + C x... METODA INTEGRACE PER PARTES Víme, že na integraci součinu dvou funkcí neexistuje vzorec jako je tomu u derivací. Na některé případy součinu dvou funkcí však lze použít metodu per partes. VĚTA: INTEGRACE PER PARTES Nechť funkce u, v mají spojité derivace u a v na intervalu J. Potom na tomto intervalu platí u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx. Poznámka: Tato metoda byla odvozena ze vzorce pro derivaci součinu dvou funkcí. (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x) Rovnost můžeme přepsat na tvar u(x)v (x) = (u(x)v(x)) u (x)v(x) Integrací obou stran této rovnosti získáme uvedený vzorec. u(x)v (x)dx = (u(x)v(x)) dx u (x)v(x) dx u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x) dx Vypočítejme neurčitý integrál x ln x dx. Při výpočtu použijeme metodu per partes. Na začátku se rozhodneme, kterou funkci označíme u a kterou v. Pak dopočítáme funkci u a v. Tedy funkci, kterou označíme u, budeme derivovat a funkci, kterou označíme v, budeme integrovat. V tomto příkladu označení provedeme následovně: u = ln x v = x x ln x dx = u = v = Opačné označení by zde k výsledku nevedlo. Pokud by v = ln x, nemohli bychom určit funkci v, protože primitivní funkci k funkci ln x neznáme. Dopočítáme nyní chybějící funkce a dosadíme dle vzorce pro integraci per partes. 75

80 u = ln x x ln x dx = u = x v = x v = x = ln x x x x dx = = x ln x x x xdx = ln x 4 + C Poznámka: Z uvedeného postupu vyplývá, že za v je většinou vhodné volit funkci, kterou umíme integrovat. Tedy například funkce ln x, log x, arcsin x, arctg x raději volíme za u, protože neznáme jejich primitivní funkce. Vypočítejme neurčitý integrál x arctg x dx. u = arctg x x arctg x dx = u = v = x v = +x x + = (x + )arctg x +x (x + )dx = = (x + )arctg x dx = (x + )arctg x x + C V tomto příkladu opět nelze volit v = arctg x, neboť k této funkci neznáme primitivní funkci. Je dobré si uvědomit, že pokud v = x, pak v = x + C. Většinou se za konstantu C volí 0, ale v tomto příkladu bylo vhodné zvolit C =, protože nám tato volba výrazně ulehčí integraci + x (x + )dx = dx. Vypočítejme neurčitý integrál x sin x dx. Poznámka: u = x v = sin x x sin x dx = = x cos x cos x dx = u = v = cos x = x cos x + sin x + C Dle předchozí poznámky jsme v tomto příkladu za v mohli zvolit obě funkce, neboť známe jejich integraci. Pokud bychom položili v = x, pak u = sin x x sin x dx = u = cos x v = x v = x = x x sin x cos x dx. Je patrné, že ve výsledku máme opět integrál ze součinu dvou funkcí, takže nám tento postup k výpočtu nepomůže. Obecně můžeme říci, že pokud umíme integrovat obě funkce v zadaném 76

81 součinu a jedna z nich je polynom, volíme za u polynom, protože derivací se snižuje jeho stupeň. Tedy po konečném počtu kroků dostaneme z polynomu konstantu. Vypočítejme neurčitý integrál (4x + ) 5 x dx. u = 4x + (4x + ) 5 x dx = v = 5x u = 4 v = 5x ln 5 = 5x 4 5x (4x + ) dx = ln 5 ln 5 = 5x 4 (4x + ) ln 5 ln 5 5x dx = 5x 4 5x (4x + ) ln 5 ln 5 + C Vypočítejme neurčitý integrál x e x dx. x e x dx = u = x v = e x u = x v = e x = x e x xe x dx = Po provedení metody per partes nám v integrálu vyjde opět součin dvou funkcí, ale mocnina polynomu se zmenšila. Takže pokud použijeme metodu per partes znovu, bude možné již integrál spočítat. Poznámka: = x e x xe x u = x v = ex dx = u = v = e x = x e x (xe x e x dx) = = x e x xe x + e x + C Z předchozího příkladu vidíme, že metodu per partes je někdy nutné použít opakovaně. Například při výpočtu x 4 e x dx musíme tuto metodu použít čtyřikrát za sebou, než dospějeme k výsledku. Vypočítejme neurčitý integrál (x 3) cos x dx. (x 3) cos x dx = u = x 3 v = cos x u = x v = sin x = (x 3) sin x x sin x dx = u = x v = sin x = u = v = cos x = (x 3) sin x ( x cos x cos x dx) = = (x 3) sin x + x cos x sin x + C 77

82 Vypočítejme neurčitý integrál sin x dx. sin u = sin x v = sin x x dx = u = cos x v = cos x = sin x cos x cos x dx = = sin x cos x + ( sin x)dx = sin x cos x + x sin x dx Při výpočtu jsme použili vzorec cos x = sin x. Protože nám vyšel stejný integrál jako bylo v zadání, lze nyní příklad dopočítat jako rovnici s neznámým integrálem: sin x dx = sin x cos x + x sin x dx Převedeme integrál na levou stranu rovnice a celou rovnici pak vydělíme dvěma: Poznámka: sin x dx = sin x cos x + x sin x dx = sin x cos x + x Jak vidíme z předchozího příkladu, v některých případech, když po použití metody per partes dospějeme ke stejnému integrálu, jaký byl v zadání příkladu, dopočítává se příklad jako rovnice. Obecně můžeme tento postup zapsat takto: + C f(x)dx = F(x) k f(x)dx (k R { }) ( + k) f(x)dx = F(x) f(x)dx = F(x) + k + C Pomocí metody per partes se integruje i funkce ln x, jejíž primitivní funkci nemáme mezi základními vzorci. Vypočítejme neurčitý integrál ln x dx. u = ln x v = ln x dx = ln x dx = u = v = x = x ln x x dx = x x 78

83 = x ln x dx = x ln x x + C..3. METODA INTEGRACE SUBSTITUCÍ Další metodou, kterou můžeme při integraci využít, je substituce. Tato metoda je důsledkem věty o derivování složené funkce. VĚTA: METODA INTEGRACE SUBSTITUCÍ Nechť f je funkce spojitá na intervalu J a F je funkce k ní primitivní na J. Dále předpokládejme, že funkce g má první defivaci g (x) ve všech bodech x I a že g(x) J pro každé x I. Pak složená funkce F(g(x)) je primitivní funkcí k funkci f(g(x))g (x) na intervalu I. Výpočet integrálu pomocí substituce lze popsat takto: t = g(x) f(g(x))g (x)dx = = f(t)dt = F(t) + C = F(g(x)) + C dt = g (x)dx Tedy funkci g(x) nahradíme proměnnou t a zároveň g (x)dx nahradíme pomocí dt. Původní integrál přejde na tvar f(t)dt. Nyní stačí vypočítat tento neurčitý integrál s proměnnou t a do výsledku za t dosadit zpět g(x). Tato metoda se nejčastěji používá, pokud se zadaný integrál skládá ze součinu složené funkce a derivace její vnitřní funkce. Vypočítejme neurčitý integrál sin 3 x cos x dx. sin 3 t = sin x x cos x dx = dt = cos x dx = t3 dt = t4 4 + C = sin4 x 4 + C Vidíme, že v integrálu je součin složené funkce, jejíž vnitřní funkce je funkce sin x, a derivace této vnitřní funkce. Za t volíme vnitřní funkci a dt vyjádříme pomocí derivace vnitřní funkce. V novém integrálu nahradíme všechny výskyty vnitřní funkce proměnnou t a součin derivace vnitřní funkce a dx nahradíme pomocí dt. Vypočítáme nový integrál a do výsledné primitivní funkce dosadíme zpět za t výraz s proměnnou x. Vypočítejme neurčitý integrál 3x e x dx. Za t zvolíme vnitřní funkci x. Derivace x je x. Pokud nám v příkladu chybí pouze číselný násobek, lze jednoduše příklad danou hodnotou rozšířit. V tomto příkladu tedy vytkneme před integrál trojku a pak celý výraz vynásobíme a vydělíme dvěma. 79

84 3x e x dx = 3 x e x dx = 3 x ex dx = t = x dt = xdx = = 3 et dt = 3 et + C = 3 ex + C Po nalezení primitivní funkce se vrátíme k původní proměnné x, tedy nezapomeneme zpět do výsledku dosadit použitou substituci (tzn. místo t výraz x ). Vypočítejme neurčitý integrál x x 3 4 dx. x x 3 4 dx = t = x3 4 dt = 3x dx = 3 3x x 3 4 dx = 3 tdt = Poznámka: = 3 t3 3 + C = 3 3 t 3 + C = 9 (x3 4) 3 + C V následujícím příkladu vidíme, že se substituce nepoužívá pouze k integrování složených funkcí. Nyní ji použijeme k integraci podílu dvou funkcí. arctg x Vypočítejme neurčitý integrál dx. x + t = arctg x arctg x x + dx = dt = dx = t dt = t x + C = arctg x + C + Vypočítejme neurčitý integrál dx. cos x 3 x x cos x 3 dx = t = x 3 dt = 3x dx = 3 3x cos x 3 dx = 3 cos t dt = 3 tg t + C = 3 tg x3 + C Vypočítejme neurčitý integrál 3 x 5 dx. 3 x 5 t = x 5 dx = dt = dx = 3x 5 dx = 3t dt = 3 t 3x 5 + C = ln 3 ln 3 + C 80

85 Vypočítejme neurčitý integrál 4 dx. x(ln x ) 4 t = ln x x(ln x ) dx = dt = x dx = 4 dt = 4 ln t + C = 4 ln ln x + C t Poznámka: Někdy je třeba navíc ze substituce vyjádřit proměnnou x a nahradit v zadaném integrálu všechny výskyty proměnné x výrazy s proměnnou t. Po provedení substituce nikdy nesmí zůstat v integrálu obě dvě proměnné, tedy x a t. Viz následující příklad. ex Vypočítejme neurčitý integrál dx. e x ex e x dx = ex ex t = ex e x dx = dt = e x (t + )dt dx = = (t + t ) dt = t + = e x t = t3 3 + t + C = 3 t 3 + t + C = 3 (ex ) 3 + e x + C Použili jsme substituci za vnitřní funkci e x. Po dosazení t a dt v čitateli zlomku zbyde e x, tedy je třeba nahradit také toto. Proto ze substituce t = e x vyjádříme t + = e x. Vypočítejme neurčitý integrál x +3x dx. x+ Poznámka: x + 3x x + t = x + dx = dt = dx = (t ) + 3(t ) dt = t = x t = t + t 3 dt = (t + 3 t t ) dt = t (x + ) + t 3 ln t + C = + x + 3 ln x + + C = x + x ln x + + C Předchozí příklad lze také řešit pomocí postupu, který si ukážeme v následující kapitole (Integrování racionálních lomených funkcí). 8

86 Vypočítejme neurčitý integrál arccos x dx. x t = arccos x arccos x x dx = dt = dx arccos x = x x Vypočítejme neurčitý integrál 5x dx. 4x dx = t dt = t3 3 + C = arccos3 x 3 5x dx = t = 4x 4x dt = 8xdx = 5 8 8x 4x dx = 5 8 t dt = 5 8 t dt = + C = 5 8 t + C = 5 4 4x + C Vypočítejme neurčitý integrál 5 dx. 4x Zde nelze použít stejnou substituci jako v předchozím příkladu, protože v čitateli zlomku již není obsažen člen x, který je součástí derivace t. Můžeme ale použít takovou substituci, kterou převedeme integrál na tvar dt = arcsin t. t 5 4x dx = 5 t = x dx = (x) dt = dx = = 5 dx (x) = 5 dt t = Podobně vypočítáme i následující integrály. = 5 arcsin t + C = 5 arcsin x + C Vypočítejme neurčitý integrál dx. 4 9x Opět použijeme takovou substituci, abychom převedli integrál na tvar t dt. 8

87 4 9x dx = dx = 4 ( 9x 4 ) t = 3x dx = ( 3x ) dt = 3 = dx = 3 3 ( 3x ) dx = 3 t dt = = 3 arcsin t + C = 3x arcsin 3 + C Vypočítejme neurčitý integrál dx. (x 3) = x 3 dx = t (x 3) dt = dx = dt = arcsin t + C = arcsin(x 3) + C t Vypočítejme neurčitý integrál dx. x ln x 4 4 t = ln x x ln x dx = dt = x dx = 4 dt = 4 arcsin t + C = 4 arcsin(ln x) + C t Poznámka: Pokud použijeme metodu substituce na funkci ve tvaru f (x) f(x), dostaneme f (x) f(x) dx = t = f(x) dt = f (x)dx = dt = ln t + C = ln f(x) + C. t Tento výsledek lze použít jako vzorec pro integrování: f (x) dx = ln f(x) + C. (4) f(x) sin x Vypočítejme neurčitý integrál dx. cos x x V čitateli zlomku je derivace jmenovatele zlomku. Tedy platí zde vzorec (4) a výsledek je: sin x dx = ln cos x x + C cos x x 83

88 Vypočítejme neurčitý integrál ex x+4 e x x +4x dx. ex x + 4 e x x + 4x dx = ln ex x + 4x + C Vypočítejme neurčitý integrál x+4 dx. dx = ln x C x + 4 Vypočítejme neurčitý integrál x ln x dx. Zde stačí zlomek přepsat na složený tvar a je hned patrné, že vzorec (4) lze opět použít. x ln x dx = x dx = ln ln x + C ln x Vypočítejme neurčitý integrál dx. x 3 x Vzorec (4) nyní nemůžeme použít přímo, protože v čitateli potřebujeme výraz x. Zlomek lze ale jednoduše rozšířit dvěma a tím upravit na tvar vhodný pro integraci dle daného vzorce. x x 3 dx = x x 3 dx = ln x 3 + C Vypočítejme neurčitý integrál 3x dx. 3x dx = 3 3 3x dx = ln 3x + C 3 Vypočítejme neurčitý integrál tg x dx. sin x tg x dx = cos x sin x dx = dx = ln cos x + C cos x 84

89 Vypočítejme neurčitý integrál cotg x dx. Poznámka: cotg x dx = cos x dx = ln sin x + C sin x Některé příklady se počítají kombinací výše uvedených metod. Například integrály k cyklometrickým funkcím. Vypočítejme neurčitý integrál arccotg x dx. Nejprve použijeme metodu per partes. u = arccotg x v = arccotg x dx = arccotg x = u = + x = v = x Dále k výpočtu použijeme vzorec (4) = x arccotg x x + x dx = = x arccotg x + x + x dx = x arccotg x + ln + x + C Vypočítejme neurčitý integrál arcsin x dx. Nejprve použijeme metodu per partes. u = arcsin x v = arcsin x dx = arcsin x = u = v = x = x Nový integrál dopočítáme pomocí substituce. = x arcsin x x x dx x dx = t = x x dt = x dx = x x dx = = t dt = t dt = 85

90 = t + C = x + C Celý výsledek tedy je arcsin x dx = x arcsin x + x + C..4. INTEGROVÁNÍ RACIONÁLNÍCH LOMENÝCH FUNKCÍ Než přejdeme k integrování racionálních lomených funkcí, připomeňme důležité vlastnosti polynomů a racionálních lomených funkcí. DEFINICE: POLYNOM Polynom stupně n, n N {0}, je funkce definovaná předpisem P n : y = a n x n + a n x n + + a x + a 0, kde a n 0. Jsou-li všechna čísla a 0, a,, a n R, nazýváme P n reálným polynomem. DEFINICE: NULOVÝ BOD POLYNOMU Nulovým bodem polynomu P n nazveme (reálné nebo komplexní) číslo x, pro které platí P n (x) = 0. VĚTA: ZÁKLADNÍ VĚTA ALGEBRY Polynom P n má v množině komplexních čísel C aspoň jeden nulový bod. Podíl polynomů R(x) = P(x), kde Q(x) 0, se nazývá racionální lomená funkce. Je-li stupeň Q(x) polynomu P vyšší nebo roven stupni polynomu Q, lze racionální funkci R jednoznačně vyjádřit jako součet polynomu a další racionální funkce. Tedy R(x) = P(x) Q(x) = P 0(x) + P (x) Q(x), kde P je polynom stupně nižšího než je stupeň polynomu Q. Racionální lomenou funkci převedeme na tento tvar pomocí algoritmu pro dělení polynomů. Funkce P (x) se nazývá ryze racionální funkce a Q(x) pro její integraci existují standardní postupy. Nejprve si připomeňme si algoritmus pro dělení polynomu polynomem. 86

91 Vydělme polynomy x3 +x 8x 4 x x 3. (x 3 + x 8x 4) : (x x 3) = = x + 3 (x 3 x 3x) 3x 5x 4 (3x 6x 9) zbytek: x + 5 Tedy x 3 + x 8x 4 x x 3 x + 5 = x x x 3. Ryze racionální lomenou funkci P (x) Q(x), kde P je polynom nižšího stupně než polynom Q, lze jednoznačně rozložit na součet parciálních zlomků typu (ax+b) αx+β (ax +bx+c) k, kde je ve jmenovateli mocnina lineárního členu, k N, nebo k, kde je ve jmenovateli mocnina kvadratického nerozložitelného trojčlenu, k N. Tyto zlomky lze již integrovat standardními metodami. Uveďme nejprve tři příklady rozkladu racionální lomené funkce. Správnost rozkladu lze ověřit zpětným sečtením, pravidla jeho vytvoření budou postupně rozebrána v dalších úlohách. 3x + x + 4 x 3 + x + x = 3x + x + 4 x(x + x + ) = x + x 3 x + x + x 3 + 3x + 7x x 3 + x x = + x + 9x x(x )(x + ) = + x + 3 x x + 3x 4 3x 3 + 4x 4x + x 3 (x ) = x 3 x x + 4 x + (x ) U třetího příkladu zdůrazněme, že pokud jmenovatel obsahuje mocninu nějakého výrazu, pak v rozkladu se mohou objevit také zlomky se všemi nižšími mocninami tohoto výrazu. 87

92 Proberme nyní integraci parciálních zlomků obou uvedených typů: I. Ve jmenovateli mocnina lineárního členu Jedná se o integrál typu dx, (ax + b) k k N, k jehož výpočtu použijeme substituci za vnitřek závorky. Označíme-li ax + b = f(x), jedná se o dvě základní integrační úlohy, které lze obecně popsat následovně. Pro k = f (x) dx = ln f(x) + C. f(x) Tato úloha byla již uvedena jako vzorec v předchozí kapitole. Pro k =, 3, f (x) t = f(x) dx = k (f(x)) dt = f (x)dx = dt t k = t k dt = t k+ k + + C = = + C = (k )tk k + C. (f(x)) k II. Ve jmenovateli kvadratický nerozložitelný trojčlen Jedná o integrál typu I = αx+β ax +bx+c dx, kde diskriminant D = b 4ac < 0. Tento integrál upravíme na tvar I = AI + BI, kde A, B jsou vhodné konstanty a ax+b I = dx = ax +bx+c ln ax + bx + c + C, (5) I = ax + bx + c dx. Integrál I se vhodnou substitucí převede na tvar dt +t = arctg t + C. 88

93 Poznámka: Integrace parciálních zlomků s mocninou kvadratického nerozložitelného trojčlenu ve jmenovateli přesahuje rámec těchto skript. Touto situací se tedy zabývat nebudeme. Uveďme si nyní příklady na integraci obou typů parciálních zlomků. Začneme prvním typem, kdy je ve jmenovateli lineární člen nebo jeho mocnina. Vypočítejme neurčitý integrál 5x+7 dx. 5x + 7 dx = 5 5 5x + 7 dx = ln 5x C 5 Vypočítejme neurčitý integrál 3 dx. (3x+) 4 Zde použijeme substituci za vnitřek závorky. 3 = 3x + dx = (3x + ) 4 t dt = 3dx = dt t 4 = t 4 dt = t C = 3 (3x + ) 3 + C Vypočítejme neurčitý integrál 5 dx. x 4x+4 Jmenovatel lze upravit pomocí vzorce a ab + b = (a b) na druhou mocninu lineárního členu, za který pak provedeme substituci. 5 x 4x + 4 dx = 5 = x dx = (x ) t dt = dx = = 5 dt t = 5 t dt = 5t + C = 5 x + C Vypočítejme neurčitý integrál x 4 dx. x +3x 4 Jedná se o ryze racionální funkci, jejíž jmenovatel lze rozložit na součin kořenových činitelů (diskriminant je kladný). Tyto lineární členy budou jmenovateli příslušných parciálních zlomků. 89

94 x 4 x + 3x 4 = x 4 (x + 4)(x ) =? x + 4 +? x Zbývá určit čitatele obou parciálních zlomků. Označíme je jako neznámé konstanty A, B a postupujeme jako při řešení rovnice, tedy obě strany rovnice vynásobíme výrazem (x + 4)(x ), abychom odstranili zlomky. x 4 (x + 4)(x ) = A x B x x 4 = A(x ) + B(x + 4) Dále stačí za x dosadit takovou hodnotu, abychom se v rovnici zbavili neznámé A a snadno dopočítali neznámou B. Podobně pak dosadíme tak, abychom se zbavili neznámé B a dopočítali neznámou A. V našem případě stačí za x zvolit x =. Nyní zvolíme x = 4 a dostaneme Zadanou racionální lomenou funkci lze přepsat a integrujeme ji po sčítancích 4 = A( ) + B( + 4) 5 = 5B B = 3 ( 4) 4 = A( 4 ) + B( 4 + 4) 0 = 5A A = x 4 (x + 4)(x ) = x x x 4 x + 3x 4 dx = ( x x ) dx = = x + 4 dx 3 dx = ln x ln x + C x Vypočítejme neurčitý integrál x 8 dx. x x 6 Jedná se o ryze racionální funkci, jejíž jmenovatel lze rozložit na součin kořenových činitelů (tedy diskriminant je kladný). 90

95 Rozklad na parciální zlomky má tvar x 8 x x 6 = x 8 (x 3)(x + ) x 8 (x 3)(x + ) = Neznámé konstanty A, B dopočteme z rovnosti A x 3 + B x +. x 8 = A(x + ) + B(x 3), která je splněna pro každé reálné x. Volbou x = dostáváme Dále volbou x = 3 dopočteme 0 = 5B B = 5 = 5A A = Zadanou racionální lomenou funkci pak integrujeme po sčítancích. x 8 dx = ( (x 3)(x + ) x 3 + x + ) dx = = x 3 dx + dx = ln x 3 + ln x + + C x + V dalších příkladech se zaměříme na integraci parciálních zlomků druhého typu, které mají ve jmenovateli nerozložitelný kvadratický trojčlen, t.j. se záporným diskriminantem. Začneme integrály typu I, kdy je v čitateli pouze konstanta a které stačí vhodnou substitucí převést na tvar dt = arctg t + C. + t Vypočítejme neurčitý integrál 5 dx. 6+3x Polynom ve jmenovateli racionální lomené funkce má záporný diskriminant, tedy nemá reálné kořeny. V čitateli je pouze konstanta, jedná se tedy o integrál ve tvaru I, který se vhodnou substitucí převede na úlohu dt +t = arctg t + C. 9

96 x dx = 5 6 ( + 3x 6 ) dx = ( 3x 4 ) dx = 3x t = = 4 dt = 3 = 5 4 dx t dt = 5 5 3x arctg t + C = arctg C Vypočítejme neurčitý integrál dx. x +4x+5 Jmenovatel racionální lomené funkce má opět záporný diskriminant a v čitateli je pouze konstanta. Provedeme vhodnou substituci doplněním do čtverce. x + 4x + 5 dx = x + 4x dx = (x + ) + dx = t = x + = dt = dx = t dt = arctg t + C = arctg (x + ) + C + Vypočítejme neurčitý integrál dx. x x+0 Jmenovatel racionální lomené funkce má záporný diskriminant a v čitateli je pouze konstanta. Provedeme vhodnou substituci doplněním do čtverce. x x + 0 dx = x x dx = (x ) + 9 dx = = 9 (x ) dx = 9 t = x + 9 ( x dx = 3 3 ) + dt = = 3 dx 9 3 t + dt = = 3 arctg t + C = x arctg C Nyní se zaměříme na případy, kdy jmenovatel má záporný diskriminant a čitatel je polynom stupně jedna, tedy lineární výraz αx + β, kde α 0. Tento integrál upravíme na tvar ax + b I = AI + BI = A ax + bx + c dx + B ax + bx + c dx, 9

97 kde pak k výpočtu integrálu I použijeme vzorec fˇ(x) dx = ln f(x) + C f(x) a integrál I vypočítáme pomocí právě probrané substituce vedoucí na funkci arctg. Vypočítejme neurčitý integrál x 3 dx. x 6x+0 Jmenovatel má záporný diskriminant a v čitateli je lineární výraz, jedná se o parciální zlomek druhého typu. Převedeme ho na součet dvou zlomků s týmž jmenovatelem tak, aby v prvním zlomku byl čitatel derivací jmenovatele (nebo násobkem derivace jmenovatele) a v druhém zlomku byl čitatel pouze konstanta. V čitateli prvního zlomku tedy potřebujeme derivaci jmenovatele, neboli výraz x 6. Proto si čitatele přepíšeme na tvar x 3 = x A dostáváme součet x 3 x x 6 x dx = 6x + 0 x dx = 6x + 0 x 6x + 0 dx + 3 x 6x + 0 dx První integrál vypočítáme dle vzorce (5), resp. (4). Druhý integrál vypočítáme pomocí substituce. Konečný výsledek tedy je x 6 x 6x + 0 dx = ln x 6x C 3 x 6x + 0 dx = 3 x 6x dx = 3 (x 3) + dx = t = x 3 = dt = dx = 3 t dt = 3 arctg t + C = 3 arctg (x 3) + C + x 3 x 6x + 0 dx = ln x 6x arctg (x 3) + C Vypočítejme neurčitý integrál x+3 dx. x +8x+0 Jmenovatel má záporný diskriminant a v čitateli je lineární výraz, jedná se opět o parciální zlomek druhého typu. Převedeme ho na součet dvou zlomků s týmž jmenovatelem tak, aby v prvním zlomku byl čitatel derivací jmenovatele (nebo násobkem derivace jmenovatele) a v druhém zlomku byl čitatel pouze konstanta. 93

98 Derivace jmenovatele je x + 8. V čitateli máme pouze x. Zlomek tedy nejprve rozšíříme dvěma a dostaneme x + 3 x + 8x + 0 dx = x + 6 x + 8x + 0 dx = Poté si čitatel rozložíme na součet derivace jmenovatele a konstanty. První integrál vypočítáme dle vzorce (5), resp. (4). Druhý integrál vypočítáme pomocí substituce. = x + 8 x + 8x + 0 dx = = x + 8 ( x + 8x + 0 dx x + 8x + 0 dx) = = x + 8 x + 8x + 0 dx x + 8x + 0 dx x + 8 x + 8x + 0 dx = ln x + 8x C x + 8x + 0 dx = x + 8x dx = (x + 4) + 4 dx = = 4 t = x + 4 ( x + 4 dx ) + dt = = dx 4 t + dt = arctg t + C = + 4 arctg (x ) + C Konečný výsledek tedy je x + 3 x + 8x + 0 dx = ln x + 8x + 0 arctg (x + 4 ) + C V dalších úlohách využijeme znalost integrace parciálních zlomků obou typů, integraci většinou předchází dělení polynomů a příp. i rozložení na parciální zlomky. Pro jednoduchost se omezíme jen na (racionální lomené) funkce, které mají ve jmenovateli polynom stupně nejvýše dva. Vypočítejme neurčitý integrál x3 +x 8x 4 dx. x x 3 Polynom v čitateli racionální lomené funkce je vyššího stupně než polynom ve jmenovateli. Musíme tedy nejprve provést dělení polynomů. Toto jsme již počítali v příkladu na straně 85. Víme tedy, že x 3 + x 8x 4 x x 3 x + 5 = x x x 3. 94

99 Jmenovatel racionální lomené funkce má kladný diskriminant, lze tedy rozložit na součin. Rozklad na parciální zlomky je tvaru x + 5 x x 3 = x + 5 (x 3)(x + ) x + 5 (x 3)(x + ) = odkud vypočteme konstanty A, B. Volbou x =. Dále volbou x = 3. Zadanou funkci integrujeme po sčítancích. x3 + x 8x 4 x x 3 = x A x 3 + B x + x + 5 = A(x + ) + B(x 3) 4 = 4B B = 8 = 4A A = x + 5 dx = (x x x 3 ) dx = = (x x 3 x + ) dx = + 3x + ln x 3 ln x + + C Vypočítejme neurčitý integrál x3 +x +9x 5 dx. x +x+7 Protože polynom v čitateli je vyššího stupně než polynom ve jmenovateli, musíme nejprve provést dělení polynomů. 95

100 (x 3 + x + 9x 5) : (x + x + 7) = x 3 (x 3 + 4x + 34x) 3x 5x 5 ( 3x 6x 5) zbytek: x Platí tedy x3 + x + 9x 5 x + x + 7 x = (x 3 + x + x + 7 ) dx. Jmenovatel racionální lomené funkce má záporný diskriminant a zároveň v čitateli je polynom stupně jedna, upravíme racionální lomenou funkci na součet dvou zlomků. V prvním zlomku bude v čitateli derivace výrazu ze jmenovatele a v druhém zlomku bude v čitateli pouze konstanta. x x + x + 7 dx = x x + x + 7 dx = x + 4 x + x + 7 dx = První integrál vypočítáme dle vzorce (5), resp. (4). Druhý integrál vypočítáme pomocí substituce. = x + ( x + x + 7 dx 4 x + x + 7 dx) = = x + x + x + 7 dx x + x + 7 dx x + x + x + 7 dx = ln x + x C x + x + 7 dx = x + x dx = (x + ) + 6 dx = = 6 t = x + ( x + dx 4 4 ) + dt = = 4 dx 8 4 t + dt = arctg t + C = + arctg (x 4 ) + C Výsledek tedy je x3 + x + 9x 5 x + x + 7 x = (x 3 + x + x + 7 ) dx = 96

101 = xdx 3dx + x + x + x + 7 dx x + x + 7 dx = = x 3x + ln x + x + 7 arctg (x + 4 ) + C Vypočítejme neurčitý integrál x 6x+30 dx. x 6x Polynom v čitateli je stejného stupně jako polynom ve jmenovateli. Musíme tedy nejprve provést dělení polynomů. (x 6x + 30) : (x 6x) = (x x) zbytek: 4x + 30 Platí tedy x 6x x + 30 x dx = ( + 6x x 6x ) dx. Jmenovatel racionální lomené funkce má kladný diskriminant, lze tedy rozložit na součin. Rozklad na parciální zlomky je ve tvaru 4x + 30 x 6x = 4x + 30 x(x 6) 4x + 30 x(x 6) = A x + B x 6 4x + 30 = A(x 6) + Bx Dosazením x = 6 dopočítáme B =. Dosazením x = 0 dostaneme A = 5. Konečný výsledek je x 6x + 30 x dx = ( 5 6x x + x 6 ) dx = = x 5 ln x + ln x 6 + C 97

102 Vypočítejme neurčitý integrál x +0x x 0x+5 dx. Polynom v čitateli je stejného stupně jako polynom ve jmenovateli. Musíme tedy nejprve provést dělení polynomů. ( x + 0x ) : (x 0x + 5) = ( x + 0x 5) zbytek: 3 Platí tedy x + 0x x 0x + 5 dx = ( + 3 x 0x + 5 ) dx. Jmenovatel racionální lomené funkce má nulový diskriminant, lze tedy převést na druhou mocninu lineárního členu (x 5). K integrování použijeme substituci za vnitřek závorky. Vypočítejme neurčitý integrál 3 ( + x 0x + 5 ) dx = dx + 3 x 0x + 5 dx = = x 5 = x + 3 dx = (x 5) t dt = dx = x + 3 t dt = = x + 3t 4x 3 dx. x x+6 + C = x 3 x 5 + C Polynom v čitateli je menšího stupně než ve jmenovateli, nemusíme polynomy dělit. Diskriminant polynomu ve jmenovateli je záporný. Jedná se o parciální zlomek druhého typu, který rozložíme následovně 4x 3 x x + 6 dx = x 3 x + x dx = x + 6 x x + 6 dx = = ( x x x + 6 dx + x x + 6 dx) = = x x x + 6 dx + x x + 6 dx 98

103 Vypočítáme první integrál dle vzorce (5). Druhý integrál vypočítáme substitucí. Výsledek je roven x x x + 6 dx = ln x x C x x + 6 dx = x x dx = (x ) + 5 dx = = 5 ( x dx = = 5 ) + = 5 5 arctg t + C = 5 5 t = x 5 dt = = 5 dx x arctg 5 + C 5 5 t + dt = 4x 3 x x + 6 dx = ln x x x arctg C..3. URČITÝ INTEGRÁL Určitý integrál spočívá v myšlence výpočtu obsahu. Uvažujme funkci f, která je nezáporná a spojitá na uzavřeném intervalu < a; b >. Chceme určit obsah rovinného útvaru M, ohraničeného shora grafem funkce f, zdola osou x, zleva přímkou o rovnici x = a a zprava přímkou o rovnici x = b. Cílem je rovinný útvar M nahradit jednodušším útvarem, jehož obsah umíme vypočítat, a navíc takovým, že se jeho obsah příliš neliší od obsahu útvaru M. Postupujeme tak, že interval < a; b > rozdělíme dělícími body a útvar M pokryjeme obdélníky. Toto uděláme dvěma způsoby a to tak, že nový útvar z obdélníků bude buď vepsaný množině M (obrázek 7) nebo opsaný množině M (obrázek 8). 99

104 Obrázek 7 Obrázek 8 Je zřejmé, že obsah obrazce M leží mezi hodnotami obsahu množiny Q min a množiny Q max. Chyba, které se při výpočtu dopustíme je maximálně rozdíl obsahů Q min a Q max. Postup, který jsme si nyní nastínili, vychází z definice Riemannova 4 určitého integrálu. Můžeme se setkat i s dalšími určitými integrály (například Newtonův 5, Lebesgueův 6 ), které se navzájem liší také v tom, pro které skupiny funkcí jsou zavedeny. Kdykoli však pro danou funkci a interval existují dva určité integrály různých typů, vždy se číselně rovnají. Dále uvedeme základní definice a věty. DEFINICE: DĚLENÍ INTERVALU, INTEGRÁLNÍ SOUČET Nechť je dán uzavřený interval < a; b >. Množinu bodů D = {x 0, x,, x n } < a; b > splňující podmínku a = x 0 < x < < x n < x n = b nazveme dělením intervalu < a; b >. Norma dělení D je číslo v(d), které je rovno největší vzdálenosti dvou sousedních bodů dělení D, tj. v(d) = max i {,, n} (x i x i ). 4 Georg Friedrich Bernhard Riemann (86 866) byl německý matematik, který výrazně přispěl k rozvoji matematické analýzy a diferenciální geometrie. 5 Isaac Newton (643 77) byl anglický fyzik a matematik. V matematice se dělí s Gottfriedem Leibnizem o zásluhy na objevu integrálního počtu. Přispěl také k výzkumu mocninných řad. 6 Henri Léon Lebesgue (875 94) byl francouzský matematik. Zabýval se matematickou analýzou, vybudoval moderní teorii míry a integrálu. 00

105 Pro dané dělení D nechť B = {c,, c n } je množina bodů z intervalu < a; b > tak, že c i < x i ; x i >, i =,, n. Označme integrální součet příslušný dělení D a množině B. n S(f, D, B) = f(c i )(x i x i ) i= DEFINICE: RIEMANNŮV INTEGRÁL Nechť f je omezená funkce definovaná na uzavřeném intervalu < a; b >. Existuje-li číslo R takové, že lim S(f, D, B) = R, řekneme, že funkce f je riemannovsky integrovatelná na intervalu < a; b >. v(d) 0 + Číslo R nazveme Riemannovým určitým integrálem funkce f na intervalu <a; b >. Píšeme b f(x)dx a Pokud žádné číslo R uvedených vlastností neexistuje, říkáme, že funkce f nemá na < a; b > Riemannův integrál. Poznámka: Zdůrazněme, že Riemannův určitý integrál je definován pouze pro funkce omezené na uzavřeném intervalu. Každá omezená funkce na uzavřeném intervalu však nemusí být riemannovsky integrovatelná. = R. VĚTA Je-li funkce f spojitá na uzavřeném intervalu < a; b >, pak je také riemannovsky integrovatelná na tomto intervalu. K výpočtu určitého integrálu používáme následující vzorec. VĚTA: NEWTONŮV-LEIBNIZŮV 7 VZOREC Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu < a; b > a nechť F je její primitivní funkce na < a; b >. Potom platí rovnost b f(x)dx = F(b) F(a). a (6) 7 Gottfried Wilhelm von Leibniz (646 76) byl německý matematik, který nezávisle na Isaacu Newtonovi objevil integrální kalkulus a jeho způsob zápisu se používá dodnes. 0

106 Při výpočtu budeme používat následující označení b f(x)dx = [F(x)] b a = F(b) F(a). a Pravá strana v uvedeném vzorci nezávisí na konkrétním výběru primitivní funkce F, neboli na volbě konstanty C, neboť b f(x)dx = [F(x) + C] b a = F(b) + C (F(a) + C) = F(b) F(a). a Integrační konstantu C lze tedy při výpočtu určitého integrálu vypustit, resp. volit C = 0. Spodní hodnotu a u určitého integrálu nazýváme dolní mez, horní hodnotu b horní mez určitého integrálu. Při výpočtu určitého integrálu nejprve určíme primitivní funkci, tedy neurčitý integrál funkce f. K tomu lze použít všechny postupy, které jsme uvedli u neurčitého integrálu. Metodu per partes a substituci v určitém integrálu upřesníme později. Dál počítáme podle vzorce (6), tj. do primitivní funkce postupně dosadíme za x horní mez a dolní mez a funkční hodnoty od sebe odečteme. Ukažme si tento postup na příkladu. 0 Vypočítejme určitý integrál x dx. Nejprve vypočítáme neurčitý integrál dané funkce, tedy x dx = x + C. Za C volíme nulu. Dále dosadíme do primitivní funkce nejprve horní mez určitého integrálu, tedy hodnotu, a od toho odečteme hodnotu primitivní funkce pro dolní mez, tedy pro x = 0. Zapisujeme takto: Poznámka: x dx 0 = [ x ] = 0 =. 0 Jak jsme uvedli na začátku kapitoly, pokud uvažujeme funkci f nezápornou a spojitou na uzavřeném intervalu < a; b >, pak hodnota určitého integrálu vyjadřuje obsah plochy ohraničené funkcí f, osou x a přímkami o rovnicích x = a, x = b. Výsledek předchozího příkladu je tedy obsah trojúhelníka vyznačeného na obrázku č. 9. 0

107 Obrázek 9 Pokud uvažujeme funkci f, která je nekladná a spojitá na uzavřeném intervalu < a; b >, pak určitý integrál bude záporné číslo. V tomto případě nebo v případě, kdy funkce f mění znaménko, hodnotu určitého integrálu nelze interpretovat jako obsah. Ukážeme si to na modifikaci předchozího příkladu. Vypočítejme určitý integrál x dx. x dx = [ x ] = ( ) = 0. Výsledek tohoto určitého integrálu lze odvodit i bez výpočtu. Dle předchozího příkladu platí 0 x dx =. Vzhledem k tomu, že je funkce f(x) = x lichá (graf je symetrický dle počátku), pak určitý integrál 0 x dx má stejnou hodnotu, ale zápornou, tedy 0 x dx =, protože má funkce f záporné znaménko. Proto výsledná hodnota je nula. V tomto případě hodnotu určitého integrálu nelze interpretovat jako obsah plochy. 03

108 Poznámka: Z předchozího, lze tedy odvodit následující tvrzení, která nám mohou v některých případech usnadnit výpočet: Je-li f funkce lichá a spojitá na intervalu < a; a >, pak platí a a f(x)dx = 0. Je-li f funkce sudá a spojitá na intervalu < a; a >, pak platí a f(x)dx = f(x)dx. a 0 a Z Newton-Leibnizova vzorce je také zřejmé, že platí: b f(x)dx a a b = f(x)dx, a f(x)dx = 0. a Poznámka: Při výpočtu určitého integrálu je důležitá spojitost integrované funkce. Například funkci na intervalu x < ; > zintegrovat nelze, protože není na tomto intervalu spojitá. Nelze tedy tvrdit, že platí dx = 0, protože je funkce lichá. x Ze vzorce (6) vyplývají následující vlastnosti integrálu. VĚTA Nechť a < c < b, k R. Potom platí rovnosti b kf(x)dx = k a b (f(x) ± g(x))dx a b f(x)dx, a = f(x)dx ± g(x)dx, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx, pokud určité integrály na obou stranách rovností existují. a b a c a b c b a b 04

109 Uveďme si nyní několik řešených příkladů na určitý integrál. Při výpočtu použijeme přímou integraci nebo vzorec f (x) dx = ln f(x) + C. f(x) Vypočítejme určitý integrál (4x 3 x 3)dx. Nejprve vypočítáme neurčitý integrál dané funkce. (4x 3 x 3) dx = x 4 x 3x + C Za C volíme nulu. Dále dosadíme do primitivní funkce nejprve horní mez určitého integrálu, tedy hodnotu, a od toho odečteme hodnotu primitivní funkce pro dolní mez, tedy pro x =. (4x 3 x 3)dx = [x 4 x 3x] = ( 4 3 ) ( 4 3 ) = 6 ( 3) = 9. Vypočítejme určitý integrál (x x 3 + x)dx. 0 (x x 3 + x)dx 0 = [ x x4 + x3 3 ] = 3 0 = 3. 0 Vypočítejme určitý integrál x x 3 dx. x x x (x x ) 3 dx = x x 3 = dx = x3 4 dx 7 7 Vypočítejme určitý integrál ex +e x dx. 0 e x ex + e x dx 0 e x x 3 7 = (e x + )dx 0 = xdx 5 = = ( 7 7 ) [ x7 ] 7 = [ = [e x + x] 0 = e + e 0 = e. x7 7 ] = 05

110 π Vypočítejme určitý integrál ( cos x sin x) 0 π ( cos x sin x) 0 dx. dx = [ sin x + cos x] 0 π = = sin π + cos π ( sin 0 + cos 0) = 0 (0 + ) = 3 Vypočítejme určitý integrál ( 3 x 3 x 3 4+x ( 3 x x 4 + x 3 + 5x ) dx 3 = 3 x dx ) dx. +5x 3 = 3 x dx x 4 + x dx 3 + 5x dx = x 4 + x dx x dx = = [3ln x ln 4 + x 3 5 ln + 5x ] = 3 = 3ln3 ln3 3 5 ln7 + ln ln7 Nyní si ukážeme, jak se postupuje při počítání určitých integrálů pomocí metody per partes. VĚTA: METODA PER PARTES PRO URČITÝ INTEGRÁL Nechť funkce u, v mají spojité derivace u, v na uzavřeném intervalu < a; b >. Potom platí rovnost b u(x)v (x)dx a b = [u(x)v(x)] b a u (x)v(x)dx. a Tedy při použití metody per partes postupujeme podobně jako u neurčitého integrálu. π 0 Vypočítejme určitý integrál x cos xdx. π x cos x dx 0 u = x v = cos x = u = v = sin x = [x sin x] 0 π sin x dx = = π sin π 0 [ cos x] 0 π = π sin π + [cos x] 0 π = 0 + cos π cos 0 = 0 π 06

111 Vypočítejme určitý integrál x ln 3x dx. e x ln x dx e u = ln x v = x = u = x = v = x3 x 3 = [ x3 3 ln x] = e3 e ln e ln 3 x dx = e3 e (ln + ln e) 0 [x3 3 9 ] = = e3 (ln + ) (e ) = = e3 3 (ln + 3 ) + 7 = e e x x3 3 dx Při výpočtu jsme využili vzorec pro součet logaritmů: ln(a b) = ln a + ln b, kde a > 0, b > 0. = 0 Vypočítejme určitý integrál x3 x dx. x3 x dx 0 u = x = u = v = 3 x v = 3x = [ x3x ln 3 ] 3x 0 ln 3 dx 0 ln 3 = 3 ln 3 0 ln 3 3x dx = 0 = 3 ln 3 ln 3 [ 3x ln 3 ] = 3 0 ln 3 ln 3 ( 3 ln 3 ln 3 ) = ln 3 (3 ln 3 ) Vypočítejme určitý integrál 0 x arccotg x dx 0 x arccotg x dx. u = arccotg x = u = v = x + x v = x = [ x 0 arccotg x] = 0 arccotg( ) + 0 x x + dx 0 + x x dx = Nový integrál je racionální lomená funkce, která má v čitateli a ve jmenovateli polynom stejného stupně. Je tedy nejprve třeba provést dělení polynomů a pak lze přistoupit k integraci. Řešení necháváme na čtenářích. Ukažme si jednodušší způsob výpočtu pomocí vhodně zvolené integrační 07

112 konstanty ve funkci v. Pokud místo v = x x zvolíme v = +, můžeme v racionálně lomené funkci krátit výrazem x + a výpočet se výrazně zjednodušší. 0 x arccotg x dx = [ x 0 + arccotg x] u = arccotg x v = x = u = + x v = x + = 0 = 0 arccotg 0 arccotg( ) + dx + x x + dx = = π 4 3π = π + = π 3 4 π + [ x] = 0 Dále ukážeme výpočet určitého integrálu substitucí. VĚTA: SUBSTITUČNÍ METODA PRO URČITÝ INTEGRÁL Nechť f je funkce spojitá na intervalu < A; B >. Nechť g je funkce, která má spojitou první derivaci g na intervalu < a; b >, a platí g(x) < A; B > pro všechny body x < a; b >. Potom platí rovnost b f(g(x))g (x)dx a g(b) = f(t)dt. g(a) Při substituci postupujeme podobně jako u neurčitého integrálu, ale po záměně proměnné t za proměnnou x je nutné přepočítat meze pro novou proměnnou t. Po nalezení primitivní funkce se již nevracíme k původní proměnné x jako u neurčitého integrálu, ale rovnou dosadíme přepočítané meze. Postup si ukážeme na následujících příkladech. π 0 Vypočítejme určitý integrál sin(x π)dx. π sin(x π)dx 0 t = x π = = sin t dt dt = dx 0 π 0 = [ cos t] π = cos 0 + cos( π) = = Provedli jsme substituci t = x π. Poté jsme přepočetli obě meze pro novou proměnnou t, a to dosazením původní dolní a horní meze do substituce. x = π t = x π = π π = 0. x = 0 t = x π = 0 π = π. 08

113 Dále po nalezení primitivní funkce již dosazujeme tyto přepočítané meze přímo do této funkce, nedosazujeme zpět za t = x π, jako tomu bylo u neurčitého integrálu. Vypočítejme určitý integrál e cos(ln x) x dx. e cos(ln x)dx t = ln x = x dt = dx = cos t dt = [sin t] 0 = sin sin 0 = sin x Vypočítejme určitý integrál x x + 9dx. 4 x x + 9dx 0 = t = x + 9 dt = xdx = 5 tdt 9 = 5 [ 3 t 3 ] 9 = ( ) = 3 3 Vypočítejme určitý integrál dx 0 3x. dx dx t = = = 3x 0 3x 0 ( 3x) dt = 3 dx = dt = t 3 = 3 [arcsin t] 0 = 3 (arcsin 3 arcsin 0) = 3 π 3 = π 3 3 Vypočítejme určitý integrál x+5 dx x +4x+5 x + 5 x + 4x + 5 dx = x x + 4x + 5 dx = = [ln x + 4x + 5 ] +. x + 4 x + 4x + 5 dx + x + 4x dx = ln 0 ln + t = x + = dt = dx = ln 5 + t + dt 3 = ln 5 + [arctg t] 3 = x + 4x + 5 dx = (x + ) + dx = = ln 5 + arctg 3 arctg = ln 5 + arctg 3 π 4 Při úpravě výrazu jsme použili vzorec ln a ln b = ln a, kde a > 0, b > 0. b 09

114 4 0 Vypočítejme určitý integrál e x dx. 4 e x dx 0 Příklad dopočítáme pomocí metody per partes. t e t dt 0 t = x = t = x tdt = dx = t e t dt = u = t v = et u = v = e t = [t et ] 0 e t dt = = 4e [e t ] 0 = 4e e + e 0 = e APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU Určitý integrál je jednoznačně definované reálné číslo na rozdíl od neurčitého integrálu, který představuje funkci. Jakou má toto číslo geometrickou interpretaci, jsme uvedli při definici Riemannova určitého integrálu. Nyní ukážeme i další užití určitého integrálu. Integrální počet má velmi široké využití nejen v matematice, ale zejména v přírodních a technických vědách. V této kapitole uvedeme stručný přehled nejběžnějších aplikací určitých integrálů v geometrii..4.. VÝPOČET OBSAHU ELEMENTÁRNÍ OBLASTI V ROVINĚ Na základní a střední škole jste se seznámili se vzorci pro výpočet obsahu základních geometrických obrazců. Tyto vzorce a obsahy obecnějších obrazců lze odvodit právě pomocí určitého integrálu. Obrázek 30 0

115 Předpokládejme, že funkce f je spojitá na intervalu < a; b >. Obsah rovinného obrazce mezi grafem nezáporné funkce f a osou x na intervalu < a; b >, viz obrázek č. 30, je dán b S = f(x)dx. a Obrázek 3 Pokud je graf spojité funkce f na intervalu < a; b > pod osou x, tedy funkce f je záporná, viz obrázek č. 3, její určitý integrál je také záporný. Obsah obrazce M je b S = f(x)dx. a Pokud spojitá funkce f na intervalu < a; b > střídá znaménko, je při výpočtu obsahu rovinného obrazce M potřeba najít nulové body ohraničující funkce a rovinný obrazec rozdělit na obrazce nad a pod osou x. Obrázek 3 Například obsah rovinného obrazce M na obrázku č. 3 vypočítáme

116 S = f(x)dx f(x)dx a c c d b + f(x)dx. d Můžeme také určit obsah části roviny sevřené dvěma (či více) funkcemi na intervalu a; b. Obrázek 33 Předpokládejme, že jsou funkce f, g spojité na intervalu < a; b > a platí g(x) f(x) pro každé x < a; b >. Pak pro obsah obrazce (viz obrázek č. 33) ohraničené zdola grafem funkce g, shora grafem funkce f a přímkami x = a, x = b platí b S = (f(x) g(x))dx. a Obecně by mohly funkce f a g protínat osu x a část obrazce by ležela pod osou x. V tomto případě, když přičteme k oběma funkcím vhodnou konstantu C tak, aby byly obě funkce f(x) + C, g(x) + C nezáporné, je patrné, že obsah uvažovaného obrazce se nezmění. Z toho vyplývá, že při výpočtu obsahu obrazce mezi grafy dvou funkcí není důležité, zda tento obrazec nebo jeho část leží nad či pod osou x. Tedy obsahy obou ploch na obrázcích č. 34 a 35 se vypočítají stejně, a to b S = (f(x) g(x))dx. a

117 Obrázek 34 Obrázek 35 Je-li obrazec, jehož obsah počítáme, ohraničen grafy více funkcí, rozdělíme jej podle potřeby na několik částí. Například obsah rovinného obrazce M na obrázku č. 36 lze vyjádřit takto: S = (f(x) h(x))dx + (g(x) h(x))dx. a b b c Obrázek 36 Uveďme si nyní několik řešených příkladů. Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou f(x) = 3x x a osou x. U příkladů tohoto typu je dobré si udělat náčrtek, abychom zjistili, jak daná oblast vypadá, jestli je funkce f kladná nebo záporná apod. 3

118 Z náčrtku je patrné, že obrazec je nad osou x a krajní body intervalu jsou a = 0, b = 3. Obsah tedy vypočítáme pomocí určitého integrálu: b S = f(x)dx = (3x x )dx = a 0 3 = [ 3x x3 3 3 ] = 9 0 Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou f(x) = x x, osou x a přímkami x =, x = 3. Grafem funkce f je parabola. Načrtneme ji a vypočteme její průsečíky s osou x. Z náčrtku vidíme, že funkce mění znaménko. Zadaný obrazec se skládá ze tří částí a jeho obsah vypočteme jako součet obsahů jednotlivých částí. S = (x x )dx (x x )dx + (x x )dx = = [ x3 3 x x] [ x3 3 x x] + [ x3 3 x 3 x] = = ( 7 6 ( 4 )) ( ) + ( 3 ( 0 49 )) = Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou f(x) = x, osou x a přímkami x =, x x = 4. Nejprve si funkci opět načrtneme a spočítáme průsečík funkce f s osou x. Z náčrtku vidíme, že funkce mění znaménko. Zadaný obrazec se skládá ze dvou částí. 4

119 S = x x dx x x dx = 4 = ( x ) dx ( x ) dx = = [ln x x] [ln x x] = 4 4 = ln + (ln 4 ln + ) = Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou f(x) = x sin x, osou x a přímkami x = 0, x = π. Graf této funkce načrtnout neumíme, ale je zřejmé, že na intervalu < 0; π > je x 0, avšak funkce sin x bude měnit znaménko. Proto bude x sin x 0 pro x < 0; π > a x sin x 0 pro x < π; π >. Hledaný obrazec se skládá ze dvou částí. Pro představu jsme si zobrazili graf funkce. Funkce má průsečíky s osou x v každém násobku π. π π S = x sin x dx x sin x dx 0 Primitivní funkci nalezneme metodou per partes: u = x v = sin x x sin x dx = u = v = cos x = = x cos x cos x dx = π Tedy = x cos x + sin x + C S = [ x cos x + sin x] 0 π [ x cos x + sin x] π π = 4π 5

120 Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = 3 x a y = x. První křivkou je parabola a druhou je přímka. Funkce si opět načrtneme. Abychom určili meze určitého integrálu, musíme zjistit průsečíky křivek. Řešíme tedy rovnici 3 x = x 0 = x + x 3 0 = (x + 3)(x ) Tedy průsečíky daných funkcích jsou x = 3 a x =. Obrazec je ohraničen shora grafem funkce y = 3 x a zdola grafem funkce y = x. Pro obsah tedy platí S = (3 x x)dx = 3 = [3x x3 3 x ] = 3 = 5 3 ( 9) = 3 3 Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = e x, y = e x a y = e. Obrazec je ohraničen grafy dvou exponenciálních funkcí a vodorovnou přímkou. Funkce si načrtneme. Pro určení mezí určitého integrálu zjistíme průsečíky těchto křivek. Řešíme tedy rovnice Hledané průsečíky jsou x =, x = 0 a x =. e x = e e x = e e x = e x 6

121 Obrazec je ohraničen shora grafem funkce y = e a zdola na intervalu < ; 0 > grafem funkce y = e x a na intervalu < 0; > grafem funkce y = e x. Obsah sestává ze dvou částí. 0 S = (e e x )dx + (e e x )dx Primitivní funkci k funkci e x určíme substitucí. e x t = x dx = dt = dx = et dt = e x + C S = [ex + e x ] 0 + [ex e x ] 0 = 0 Poznámka: V předchozím příkladě lze využít symetrie zadaného obrazce podle osy y. Tedy obsah můžeme také vypočítat takto: S = (e e x )dx 0 Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = x x a y = x + 4. První křivkou je parabola a druhou je přímka. Funkce si načrtneme. Pro určení mezí určitého integrálu zjistíme jejich průsečíky. Řešíme tedy rovnici x x = x + 4 x 3x 4 = 0 (x + )(x 4) = 0 Tedy průsečíky daných funkcích jsou x = a x = 4. 7

122 Obrazec je ohraničen shora grafem funkce y = x + 4 a zdola grafem funkce y = x x. Pro obsah tedy platí 4 4 S = (x + 4 (x x))dx = (3x x + 4)dx = [ 3x x x] = = 5 6 = 4 Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = x, y = x a y = 0. Načrtneme obě paraboly, grafem funkce y = 0 je osa x. Pro určení mezí určitého integrálu, zjistíme průsečíky ohraničujících křivek. Řešíme tedy rovnici x = x x = x Průsečík grafů odmocnin je tedy x =. Další průsečíky s osou x jsou zřejmě x = 0 a x =. Obrazec se skládá ze dvou částí. První část leží mezi grafem funkce y = x a osou x a druhá část leží mezi grafem funkce y = x a osou x. Pro obsah tedy platí S = xdx 0 + x dx t = x = dt = dx = x dx = [ x3 ] = 0 t dt = 0 [ t3 ] = = 4 3 8

123 .4.. DÉLKA KŘIVKY Další aplikací určitého integrálu je výpočet délky oblouku grafu funkce f na intervalu < a; b >, která je dána vzorcem Délku křivky značíme l podle anglického length. b l = + (f (x)) dx. a Vypočtěme délku křivky y = 9 x na intervalu < 0; >. Do vzorce na délku křivky potřebujeme znát derivaci funkce f, tedy f (x) = x 9 x. x l = + ( 9 x ) dx = 9 x + x 3 9 x dx = 9 x dx = = x 9 dx = 0 0 ( x dx ) 3 t = x 3 = dt = = 3 3 dx 0 = 3[arcsin t] 0 3 = 3 arcsin t dt = Vypočtěme délku křivky y = 4 x ln x na intervalu < ; e >. Nejprve určíme derivaci funkce f (x) = x x = x x. e l = + ( x e x ) dx = 4x + x 4 x e + 4x dx = x4 + x + 4x dx = e = (x + ) 4x dx = x + x dx e = e (x + x ) dx = (e + ln e ln ) = (e + ) = e + 4 e = [x + ln x ] = 9

124 .4.3. OBJEM ROTAČNÍHO TĚLESA Necháme-li rovinný útvar rotovat kolem osy x, vznikne rotační těleso, jehož objem můžeme vypočítat pomocí určitého integrálu. Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu funkce f na intervalu < a; b > kolem osy x, je roven b V = π f (x)dx. a Vypočtěme objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ohraničeného křivkou y = x na intervalu <0; >. V = π (x ) dx 0 = π x 4 dx 0 = π [ x5 5 ] = 3 5 π 0 = 0

125 Vypočtěme objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ohraničeného křivkou y = x+ x + na intervalu < ; 3 >. 3 V = π x + x dx = π x + x + dx = = π x + x + dx = π ( x x + + x + ) dx = = 3 = π [ln x + + arctg x] 3 = = π (ln 0 + arctg 3 ln arctg( )) = = π (ln 5 + arctg 3 + π ) Vypočtěme objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ohraničeného křivkami y = x, y = 6 x na intervalu < 0; 3 >. Pokud si křivky načrtneme (obrázek č. 37), zjistíme, že se jedná o rotaci obrazce sevřeného mezi dvěma elipsami. Objem tedy vypočítáme tak, že nejdříve určíme objem tělesa vytvořeného rotací horní funkce (y = x ), viz obrázek č. 38, dále objem tělesa vytvořeného rotací dolní funkce (y = 6 x ), viz obrázek č. 39, a výsledky odečteme. Obrázek 37 Obrázek 38 Obrázek 39

126 3 V = π ( x ) dx π ( 6 x ) = π ( 9 (36 4x )dx 4 (6 x )dx) = 0 = π 3 3 4x3 [36x 9 3 ] π4 x3 [6x 3 ] = 0 0 = π 9 7 π 4 9 = 3 4 π dx =.4.4. PLÁŠŤ ROTAČNÍHO TĚLESA Vedle objemu rotačního tělesa můžeme pomocí určitého integrálu spočítat i povrch (obsah pláště) tohoto tělesa. Pro výpočet povrchu rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu funkce f na intervalu < a; b > kolem osy x platí vzorec b S pl = π f(x) + (f (x)) dx. a Vypočtěme obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ohraničeného křivkou y = x na intervalu < ; >. Pro výpočet potřebujeme derivaci funkce f (x) = x S pl = π x + ( x ) dx = 4( x) + = π x dx = 4( x) 9 4x = π x x dx = π 9 4x dx =

127 t = 9 4x = π 9 4xdx = dt = 4dx = π 4 [ t3 3 ] 3 = π 4 t dt = 3 = π 4 ( 3 33 ) 3 Vypočtěme obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ohraničeného křivkou y = x na intervalu < 0; >. Pro výpočet potřebujeme derivaci funkce f (x) = x x. S pl = π x x + ( x ) dx = 0 = π x x + x x dx = 0 = π x x dx = π dx = 0 = π[x] 0 = π 0.5. NEVLASTNÍ INTEGRÁL V definici Riemannova integrálu jsme na integrovanou funkci f měli dva hlavní požadavky, aby byla definovaná a omezená na celém uzavřeném intervalu < a; b >. Nyní tuto definici rozšíříme na obecnější případy. V zásadě mohou nastat dvě situace. Jednak může být jeden nebo oba koncové body intervalu nekonečné (pak přirozeně nelze uvažovat uzavřený interval), v tomto případě mluvíme o nevlastním integrálu vlivem meze (mezí). Anebo a, b jsou konečné hodnoty a funkce je na daném intervalu neomezená, případně není definovaná v některém z krajních bodů. Pak mluvíme o nevlastním integrálu vlivem funkce. V obou případech budeme předpokládat, že je funkce f spojitá na otevřeném intervalu (a, b). Příklad nevlastního integrálu vlivem meze č. 40. dx x. Pravý krajní bod intervalu je +. Viz obrázek 3

128 Příklad nevlastního integrálu vlivem funkce 0 dx. x obrázek č. 4. Funkce není na tomto intervalu omezená, viz Obrázek 40 Obrázek 4 DEFINICE: NEWTONŮV NEVLASTNÍ INTEGRÁL Nechť funkce f je spojitá na intervalu (a, b), a < b, a F je její primitivní funkce na (a, b). Potom definujeme Poznámka: b f(x)dx = lim F(x) lim F(x). x b x a + a V definici je zahrnuta situace, kdy je třeba počítat pomocí limit hodnoty v obou krajních bodech intervalu. Může ale také nastat situace, kdy počítáme pomocí limity pouze hodnotu v jednom krajním bodě. Pokud je krajní bod a nebo b roven + (resp. ), nepočítáme jednostranné limity ale přímo lim F(x) (resp. lim F(x)). x x Jsou-li všechny limity na pravé straně vlastní, říkáme, že integrál konverguje. Je-li výraz na pravé straně roven nebo +, řekneme, že integrál diverguje. Pokud některá z limit na pravé straně neexistuje nebo výraz na pravé straně je typu, řekneme, že integrál neexistuje. Vypočítejme nevlastní integrál dx x. 4

129 Jedná se o nevlastní integrál vlivem meze, protože pravý krajní bod je +. Tuto funkci máme zobrazenu na obrázku č. 40. Při výpočtu postupujeme tak, že problematickou mez nahradíme parametrem c. Dále postupujeme stejně jako při výpočtu určitého integrálu, a nakonec spočítáme limitu. c x dx = lim c x dx = lim c [ln x ] c = lim c ln c ln = Integrál diverguje. Obsah plochy (vyznačené na obr. 40) tedy není konečný. Vypočítejme nevlastní integrál dx. x Jedná se o nevlastní integrál vlivem meze, protože pravý krajní bod je +. c c x dx = lim x dx = = lim [ c c x ] = lim c c + = Integrál konverguje. Všimněme si, že výsledek je obsah plochy, která není ohraničená, přesto ale má konečný obsah. Důvodem je, že se graf blíží k ose x velice rychle. U předchozího příkladu tomu tak nebylo. π Vypočítejme nevlastní integrál tgxdx. 0 Jedná se o nevlastní integrál vlivem funkce, protože funkce není definovaná v pravém krajním bodě. π tg x dx 0 = lim c π c tg x dx = 0 lim c π c sin x cos x 0 dx = lim c π ( 0 c sin x cos x dx ) = = lim [ c π ln cos x ] 0 c = lim c π ( ln cos c ) + ln cos 0 = + 5

130 Vypočítejme nevlastní integrál x dx x. Jedná se o nevlastní integrál vlivem funkce, protože funkce není definovaná v levém krajním bodě. x x dx = lim c + c x x dx V případě složitější funkce doporučuje se primitivní funkci určit zvlášť jako neurčitý integrál. x t = x x dx = dt = dx = t + t + = x t dt = = (t + t ) dt = t3 3 = = t3 3 (x )3 3 + t + t + C = + x + C + C = Nyní dopočítáme nevlastní integrál. x x dx = lim Integrál konverguje. c + c x x dx )3 = lim [ (x + x ] = c + 3 c = 8 3 lim )3 ( (c + c ) = 8 c = 8 3 Vypočítejme nevlastní integrál dx +x. Jedná se o nevlastní integrál vlivem meze, protože jsou krajní body +,. Pro snažší zápis integrál rozdělíme na součet dvou nevlastních integrálů: + x dx = 0 + x dx + + x dx = 0 6

131 Integrál konverguje. = lim c [arctg x] c 0 + lim c [arctg x] 0 c = = arctg 0 lim arctg c + lim arctg c arctg 0 = ( π c c ) + π = π Vypočítejme nevlastní integrál arctg x dx. +x Jedná se o nevlastní integrál vlivem meze, protože jsou krajní body +,. Určíme si nejprve primitivní funkci k zadané funkci. t = arctg x arctg x + x dx = dt = dx + x = t dt = Nevlastní integrál rozdělíme na součet dvou nevlastních integrálů: Integrál konverguje. t C = arctg3 x 3 arctg x + x dx = arctg x + x dx + arctg x + x dx = 0 x = lim c [arctg3 ] 3 0 c 0 + lim [ arctg3 x ] c 3 arctg 3 c arctg 3 c = 0 lim + lim 0 = π3 c 3 c 3 c 0 = + C Vypočítejme nevlastní integrál 0 cos x dx. Jedná se o nevlastní integrál vlivem meze, protože je horní mez +. c cos x dx = lim cos x dx = lim [sin x] 0 c = lim sin c sin 0 c c c 0 Hodnota limity lim c sin c neexistuje, tedy nevlastní integrál také neexistuje KONVERGENCE NEVLASTNÍHO INTEGRÁLU. Často při vyšetřování nevlastních integrálů nás zajímá, jestli integrál konverguje nebo diverguje, ale nepotřebujeme znát jeho přesnou hodnotu. Předpokládejme, že funkce f je spojitá a nezáporná na intervalu (a, b). Pak 7

132 b a buď f(x)dx =, b a anebo integrál konverguje, tj. f(x)dx <. Ke zjištění, zda nevlastní integrál konverguje, není nutné tento integrál vypočítat. Můžeme použít následující srovnávací kritérium. VĚTA: SROVNÁVACÍ KRITÉRIUM Nechť f, g jsou funkce spojité na otevřeném intervalu (a, b), a < b. Nechť 0 f(x) g(x) ve všech bodech x (a, b). Potom platí: b b g(x)dx < a f(x)dx <, a b b f(x)dx = a g(x)dx =. a Vyšetřeme konvergenci integrálu Je zřejmé, že platí Z příkladu na straně 3 víme, že dx x x dx x. x x x. diverguje, tedy diverguje i x dx Podle srovnávacího kritéria diverguje také integrál = x dx. dx x x. Vyšetřeme konvergenci integrálu Zřejmě platí Z příkladu na straně 3 víme, že integrál x dx x 6 +. x dx x 6 + x x 6 +. x x 6 = x. dx konverguje. Podle srovnávacího kritéria konverguje také x 8

133 Vyšetřeme konvergenci integrálu Je zřejmé, že platí x dx x +. x x + x x + x = x. Z příkladu na straně 3 víme, že integrál x dx x +. dx x diverguje. Podle srovnávacího kritéria diverguje také Vyšetřeme konvergenci integrálu Zřejmě platí Z příkladu na straně 3 víme, že integrál sin x x 4 dx. sin x x 4 dx. sin x x 4 x 4 x. dx konverguje. Podle srovnávacího kritéria konverguje také x 9

134 .6. CVIČENÍ. Vypočtěte neurčitý integrál metodou přímé integrace: a) ( 3 x x) dx 3 b) x (x ) x dx c) ( 4 x + x 5 sin x ) dx d) cotg x dx e) ex 3x dx a) 3 4x3 ln x + x3 3 + C, b) (3 3 4 x4 3 3 x) + C, c) 4arctg x arcsin x + 5cotg x + C, d) cotg x x + C, [ e) (e 3 )x ln e 3. Vypočtěte neurčitý integrál pomocí metody per partes: a) x 3 ln x dx b) x cos x dx c) x arccotg x dx d) cos x dx e) ( + x)e x dx 3. Vypočtěte neurčitý integrál pomocí substituce: cos x a) dx sin 3 x b) 3 x x dx c) 3 x +9 dx d) 0x(x + 3) dx e) 4 dx 5x [ ( 3 ) ln 3 x + C a) x4 x4 ln x C, b) x sin x + x cos x sin x + C, c) x + arccotg x + x + C, [ d) (sin x cos x + x) + C, e)xex + C a) C x x, b) 3 x C, c) arctg C, sin d) x 3 C 4, e) arcsin 5x C 5 ] ] ] 30

135 4. Vypočtěte neurčité integrály racionálních lomených funkcí: a) 4 dx x 3 x b) dx x 6x 5 c) dx x 4x 6 3x 4 d) dx x x 3 e) x 3 dx x 3x [ 5 a) + C, b) ln x 5 ln x + C, c) x 3 3 d) ln x arctg x x arctg + C, x + C, e) x 3x 0ln x 3 ln x + C] 5. Vypočtěte neurčitý integrál (různé metody): a) x 0 dx x 5x 4 x b) sin( 3x ) e x dx c) x 6x d) x x dx dx x 9 3x 9 e) x ln xdx f) 4 x dx g) 4+x dx h) x e x dx [ c) a) 3ln x 7 ln x + + C, b) cos(3x ) e x C, 3 7 x 3 ln x 6x arctg + C, d) ln x 9 ln 3x e) 3 9 x + C, 3 3 x ln x x + C, f) 4 ln + x 4 ln x + C, g) arctg x + C, h) e x (x + x + ) + C, ] 3

136 6. Vypočtěte určitý integrál: π dx 3 x 3x+ e dx x +x a) x sin x dx b) 7 + 4x dx c) d) x ln x dx e) f) (3x + ) ln x dx g) e dx e x ln x 4 π cos x dx 0 +sin x dx x h) x( + x)dx i) j) x a) π, b) 6 [ 3, c) ln 4 3, d) 9 ( e 3 + ), e) ln 3 7, f) 0 ln 4, g) ln, h) 59 3, i) ln, j) ] 4 ln 3 7. Vypočtěte nevlastní integrál a určete, jestli diverguje či konverguje: a) dx x 4x 3 b) cos x dx 0 0 c) x e d) ln x 0 e) 3 x dx dx x 9 dx a) diverguje, b)neexistuje diverguje, c) [ 3 konverguje, d) konverguje, e) π ] 3 konverguje 8. Vypočtěte obsah rovinného útvaru ohraničeného grafy funkcí: a) y = 9 x, y = 0 b) y =, x =, x =, y = 0 x c) y = x + x, y = x + d) y = e x, y =, x =, x = e) y = x, y = x +, y = x. Vyberte obrazec, který obsahuje počátek. [a) 36, b) ln, c) 9, d) e + e, e) 7 3 ] 3

137 9. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného danými křivkami kolem osy x: a) y = x + 3, x =, x =, y = 0 b) y = x, y =, y = 0, x = x c) y = x, y = x d) y = 3x, y = x e) y = + sin x na intervalu < π ; π > [a) 5 π, b) 5 6 π, c) 5 π, d) 3 5 π, e) 9 π ] 0. Vypočtěte obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného danou křivkou: a) y = x na intervalu < 0; > b) y = x na intervalu < 0; > c) y = 4 x. Vypočtěte délku křivky: a) y = x3 na intervalu < 0; > 3 b) y = 4 x na intervalu < 0; > c) y = x 3 na intervalu < 0; 4 3 > [a) π, b) 3 π, c) 6π] 3 [a) 4, b) π 56, c) 3 7 ] 33

138 3. POSLOUPNOSTI A ŘADY 3.. KONVERGENTNÍ A DIVERGENTNÍ POSLOUPNOSTI Nekonečná posloupnost je nekonečná množina čísel a, a, a 3, a n,, která jednoznačně korespondují s přirozenými čísly,, 3,, n,. Pokud jsou čísla a, a, reálná, hovoříme o reálné (nekonečné) posloupnosti. Posloupnost je uspořádaná, pokud je prvek a přiřazen číslu, prvek a číslu, atd. Slovo nekonečná se často vynechává a rozumí se samo sebou. DEFINICE: NEKONEČNÁ POSLOUPNOST Nekonečná posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina přirozených čísel N. Obor hodnot reálné posloupnosti je množina reálných čísel. Způsoby zadání posloupnosti: pomocí tvaru n-tého členu a n, zapisujeme {a n }. rekurentně, což znamená, že je dán první nebo několik prvních členů, a dále pravidlo, jak se spočítá člen a n+ z předchozích n členů posloupnosti. výčtem dostatečného počtu členů, z něhož lze zjistit zákonitost posloupnosti Tedy například posloupnost daná n-tým členem { 5n } má. člen roven 5 n+ dosadili číslo ), její druhý člen je 0, (za n bylo dosazeno číslo ), atd. 3, (za n jsme Příkladem rekurentního zadání je aritmetická a geometrická posloupnost, které bývají dány rekurentně. To znamená, že je dán. člen, a dále pravidlo, jak se spočítá člen a n+ z předchozích n členů posloupnosti. Pro aritmetickou posloupnost platí a n+ = a n + d pro každé n ε N, (d je diference aritmetické posloupnosti). Pro součet jejích prvních n členů platí vzorec s n = n (a + a n ). Pro geometrickou posloupnost platí a n+ = a n q ( q je kvocient geometrické posloupnosti), a její součet prvních n členů je s n = a qn q. Najděme první čtyři členy posloupností a) { n }, b) a =, a n+ = 3a n a) Posloupnost je dána n-tým členem. Dosazujeme za n postupně přirozená čísla,, 3, 4, a dostáváme posloupnost,,,,

139 b) Posloupnost je dána rekurentně. Za n dosadíme číslo a dostáváme a = 3a, tedy a = 4. Za n dosadíme číslo a získáme a 3 = 3a, tedy a 3 = 0, atd. První čtyři členy jsou, 4, 0, 8, Najděme součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti { n}. Posloupnost je geometrická s kvocientem q =. První člen a je též roven jedné polovině. Dosadíme do vzorce pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti: s 0 = ( )0 = 0 = 9. Vzhledem k tomu, že posloupnost je funkce, můžeme u ní hovořit o stejných vlastnostech jako u ostatních funkcí. Posloupnost může být rostoucí nebo klesající, nerostoucí nebo neklesající, konstantní, periodická, omezená nebo neomezená. Všechny tyto vlastnosti byly definovány ve skriptech Matematika, a jsou tedy jasné. Posloupnost nabývá hodnot pouze pro přirozená čísla a graf posloupnosti je tvořen izolovanými body. Žádný z těchto izolovaných bodů není hromadným bodem, nemůže v něm tedy existovat limita. Např. posloupnost { 5n } uvedená výše je rostoucí omezená posloupnost, jejíž graf je na n+ následujícím obrázku č. 4 vyznačen modrými izolovanými puntíky. (Černou čarou je pak vyznačen tvar spojité funkce pro reálný argument). Je vidět, že všechny členy této posloupnosti jsou menší než pět a s rostoucím n se k pěti přibližují. Tento poznatek nás vede k zavedení pojmu limita posloupnosti v plus nekonečnu. V zápise limity můžeme vynechat n +, jelikož žádná jiná limita posloupnosti není definována a nemůže tedy dojít k nejasnostem. 35

140 Obrázek 4: Posloupnost { 5n n+ } DEFINICE: VLASTNÍ LIMITA POSLOUPNOSTI Posloupnost {a n } má vlastní limitu A konverguje k A -- značíme lim a n = A, jestliže pro každé ε > 0 existuje číslo n 0 ε N tak, že pro všechna n > n 0 platí a n A < ε. Jestliže takové číslo A neexistuje, posloupnost nemá vlastní limitu, a říkáme, že diverguje. Pokud můžeme volbou dostatečně velkého n 0 dosáhnout buď libovolně velké nebo libovolně malé hodnoty, hovoříme o nevlastní limitě. Zapisujeme potom lim a n = + nebo lim a n = DEFINICE: NEVLASTNÍ LIMITY POSLOUPNOSTI: lim a n = + znamená, že pro každé kladné reálné číslo K existuje n 0 ε N takové, že pro n > n 0 je a n > K, lim a n = znamená, že pro každé záporné reálné číslo K existuje n 0 ε N takové, že pro n > n 0 je a n < K. Na obrázku č. 4 je znázorněna vlastní limita posloupnosti na posloupnosti { 5n }, Obrázek č. 43 ilustruje nevlastní limitu posloupnosti na posloupnosti {n}, a na obrázku č. 44 je znázorněna posloupnost {sin n}, která tak zvaně osciluje, a limitu nemá. Jak v případě nevlastní limity, tak v případě, že limita neexistuje, říkáme, že posloupnost je divergentní. n+ 36

141 Obrázek 43: Posloupnost {n} Obrázek 44: Posloupnost {sin n} Pro výpočet limit posloupností je důležitá následující věta: VĚTA: Mějme nekonečnou posloupnost {a n }, a nechť funkce f(x), pro kterou platí f(n) = a n, existuje pro každé x ε R, x. Potom platí: a) jestliže lim x + f(x) = A, pak též lim a n = A, b) jestliže lim x + f(x) = + (nebo ), pak též lim a n = + (nebo ). Ilustrace této věty je na obrázku č. 4. Vybereme-li totiž z definičního oboru pouze hodnoty v přirozených číslech, limitní chování funkce se tím nemění. Z uvedené věty vyplývá, že limity posloupností lze počítat stejně jako limity reálných funkcí, a je možné používat veškeré věty platné pro výpočet limit funkcí, včetně věty o sevření a L Hospitalova pravidla. Uveďme ještě jednu důležitou větu hovořící o existenci limity: 37

142 VĚTA: Každá ohraničená, monotónní, nekonečná posloupnost má vlastní limitu, tedy je konvergentní. Zjistěme, zda posloupnost { +n } je rostoucí nebo klesající. Vytvořme si člen a n+ a proveďme rozdíl a n+ a n. Bude-li rozdíl kladný, je posloupnost rostoucí, bude-li záporný, je posloupnost klesající. Je a n+ =. a +(n+) n+ a n = - = +n (n+) = +(n+) +n (+(n+) )(+(n+) ) pro každé n. n (+(n+) )(+(n+) ) Jmenovatel je kladný, čitatel je záporný, tedy celý zlomek je záporný. Je a n+ < a n pro každé n, a posloupnost je klesající. PŘÍKLADY: Hledejme limity následujících posloupností a zjistěme, zda jsou konvergentní nebo divergentní: a) { 3n 5 } b) {8n + 5} c) {( + n+4 n )n } d) { n3 +7n } e) { n sin n n n } f) { n + n} g) { e n} a) Limita typu, kde nejvyšší mocniny v čitateli a jmenovateli jsou stejné. Výsledek limity je tedy 3 a posloupnost je konvergentní. b) Podle věty o součtu limit je limita rovna + + 5, neboli +. Posloupnost je divergentní. c) Pro limitu funkce tohoto tvaru platí vzorec, který udává výslednou hodnotu e. Posloupnost má tutéž limitu a je tedy konvergentní. d) Mocnina v čitateli je vyšší než mocnina ve jmenovateli limita je rovna + a posloupnost je divergentní. e) Na zlomek použijeme sevření sin n. Oba krajní zlomky mají limitu rovnou n n n číslu 0. Tedy je limita posloupnosti rovna nule a posloupnost je konvergentní. f) Tuto limitu musíme počítat rozšířením na zlomek. Je lim ( n + n) = = lim ( n+ n)( n++ n) n++ n =lim n+ n n++ n = lim n++ n = 0. Posloupnost je konvergentní. 38

143 g) Lze použít L Hospitalovo pravidlo. Dostaneme podíl Posloupnost je konvergentní. e n, který je v limitě roven nule. 3.. NEKONEČNÉ ŘADY, ZÁKLADNÍ POJMY DEFINICE: NEKONEČNÁ ŘADA Nechť {a n } je nekonečná posloupnost. Potom součet a + a + a a n + se nazývá nekonečná řada, nebo krátce řada. Jednotlivé sčítance se nazývají členy řady. Pokud jsou členy řady reálná čísla, hovoříme o číselné řadě. Pokud jsou členy řady funkce, hovoříme o funkční řadě. Je-li znám tvar n-tého členu řady, lze řadu popsat sumou zvanou sumační vzorec tvaru a n My se budeme nejprve zabývat řadami číselnými, poté krátce řadami funkčními. n= Vzhledem k tomu, že nekonečnou řadu nesčítáme vždy od n =, ale někdy též od n = 0 nebo n >, (např. když výraz pro n-tý člen není pro n = definován), budeme někdy, pokud se bude jednat o konvergenci a ne o přesnou hodnotu součtu, psát v definicích a větách sumu bez této specifikace. Sčítáme vždy do +. DEFINICE: ČÁSTEČNÝ SOUČET A POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ k-tý částečný součet nekonečné řady k n= a n, k ε N, je výraz S k = a + a + + a k. Posloupnost částečných součtů pro řadu a n je posloupnost S, S,, S k,. DEFINICE: KONVERGENCE ŘADY: Nekonečná řada n= a n je konvergentní (nebo krátce konverguje), jestliže posloupnost částečných součtů pro tuto řadu {S n } je konvergentní. se nazývá součet řady a n a je lim S n = S n + S = a + a + + a n + 39

144 Nekonečná řada je divergentní (diverguje), je- li posloupnost částečných součtů pro tuto řadu divergentní. Divergentní řada nemá součet. Vyšetřeme konvergenci řady n= n(n+) Napišme si prvních několik členů řady n (n+) zlomky. Je + a proveďme rozklad jednotlivých členů řady na parciální =. Dosaďme tento rozklad za jednotlivé členy dostaneme n (n+) n n n n+ + neboť sčítance se vyruší až na první a poslední. Dále je konvergentní a její součet S je roven jedné.. n-tý částečný součet je tedy roven S n = n+ lim ( ) =. Řada je tedy n + n+ Pokud dokážeme vyjádřit n-tý částečný součet S n jako funkci proměnné n, snadno potom výpočtem limity zjistíme, zda je řada konvergentní nebo divergentní, a jaký je v případě konvergence součet S. Tato situace ovšem nenastává často. Řada bývá dána sumačním vzorcem, z něhož nelze obecně n-tý částečný součet zjistit. Uvedený příklad byl spíše výjimkou. n-tý částečný součet může být bez problémů nalezen u geometrických řad. Geometrická řada vzniká sečtením členů geometrické posloupnosti, u níž existuje vzorec pro součet prvních n členů posloupnosti. Ale to je vlastně v názvosloví řad n-tý částečný součet. Čili známe vzorec pro S n. Je S n = a qn q. Ptáme se nyní na limitu lim n + S n. Je zřejmé, že pokud je q >, s rostoucím n bude čitatel zlomku velký záporný, jmenovatel je též záporný a čitatel poroste do nekonečna. Výsledkem je tedy +, a řada je divergentní. Pokud je q <, bude jmenovatel kladný, ale čitatel bude růst a přitom oscilovat pro sudé n bude záporný a pro liché n bude kladný. Limita částečných součtů tedy neexistuje a řada je divergentní. Pro q = a q = v jsou řady divergentní představme si řady a + + U první z nich je S n = n a lim S n = +, u druhé částečné součty oscilují mezi nulou 40

145 a jedkničkou a lim S n neexistuje. Zbývá případ q <. V tomto případě je limita čitatele zlomku rovna jedné a je tedy větu. lim S n = a, což je konečná hodnota. Závěr vyslovíme jako n q VĚTA: Nechť a 0. Geometrická řada a + a q + a q + + a q n + konverguje pro q < a její součet je S = a. Pro q geometrická řada diverguje. q Číslo s periodickým desetinným rozvojem,.. napišme pomocí zlomku. Číslo si přepišme jako První jedničku ponecháme stranou. Zbylé sčítance tvoří geometrickou řadu s kvocientem q =. q <, řada konverguje a její součet je S = =. K tomuto zlomku připočteme schovanou jedničku a dostáváme zlomek 99, který vyjadřuje naše číslo s nekonečným desetinným rozvojem. Zřejmě tedy každé číslo s nekonečným desetinným rozvojem, jehož rozvoj je periodický, lze napsat pomocí zlomku. Sečtěme řadu Tato řada geometrická není. Ale přerovnáme-li pořadí jejích sčítanců, lze ji napsat jako součet dvou nekonečných řad, které jsou již geometrické, takto: První část je tvořena lichými členy řady, a = a q = 3. Druhá část je tvořena sudými členy, a = a q =. Obě části lze sečíst a je S = 3 = 3 a S = =. S = S + S =,5. 4

146 Jak již bylo poznamenáno, pokud řada není geometrická, nelze obecně najít n-tý částečný součet a sečítat řadu přes jeho limitu. Budeme si tedy klást nižší cíl, a budeme chtít alespoň zjistit, zda je řada konvergentní nebo divergentní, bez nalezení jejího součtu v případě konvergence. Základ pro naše zkoumání dává následující věta. VĚTA: NUTNÁ PODMÍNKA KONVERGENCE Je-li nekonečná řada a n konvergentní, potom lim a n = 0. Víme, že n-tý člen řady a n lze vyjádřit jako S n S n. Jestliže je lim S n = S, pak je též lim S n = S, a proto lim(s n S n ) = S S = 0, což je důkaz této důležité věty. Větu nelze obrátit. Pokud platí lim a n = 0, neplyne z toho, že řada je konvergentní. Říkáme, že věta je nutnou podmínkou pro konvergenci řady, ale není podmínkou postačující. Pokud nutná podmínka splněna není, řada určitě nekonverguje. Pokud nutná podmínka splněna je, musíme ve zkoumání konvergence dále pokračovat. Zjistěme, zda platí nutná podmínka konvergence u následujících řad: n a) n= b) n= c) 3n+5 n n 3 e n n=. n a) Limita zlomku je rovna. Řada tedy diverguje. 3n+5 3 b) Limita zlomku je rovna nule. Nutná podmínka konvergence je splněna. Zatím ještě n3 nevíme, jestli řada konverguje nebo diverguje. c) Limita zlomku en n diverguje. je +. (Stačí jedenkrát použít L Hospitalovo pravidlo). Řada tedy Nyní uvedeme několik vět pro počítání s řadami. VĚTA: Jestliže a n a b n jsou konvergentní řady se součty po řadě A, B, potom jsou též konvergentní řady ) (a n ± b n ), a má součet A ± B 4

147 ) k a n, kde k ε R, a má součet k A VĚTA: Je-li a n konvergentní řada a b n divergentní řada, potom je řada (a n + b n ) divergentní. VĚTA: Vynecháme-li z konvergentní řady konečný počet členů, zůstane řada konvergentní. Vynecháme-li z divergentní řady konečný počet členů, zůstane řada divergentní. Otázkou zatím zůstává, jaký vliv má na součet řady změna pořadí členů řady. Ukazuje se, že někdy můžeme členy přerovnat bez dalšího vlivu na konvergenci řady a její součet, někdy to nelze. Vrátíme se k tomuto problému později. Zjistěme, zda konvergují řady : a) b) ( 5n n= ) 3 n Řada a) konverguje, neboť ji získáme z konvergentní geometrické řady n= vynecháním tří členů (druhého, třetího a čtvrtého) Řada b) diverguje, jelikož je rozdílem geometrické konvergentní řady a divergentní řady n 5n, u níž není splněna nutná podmínka konvergence. 3 n 3.3. ŘADY S KLADNÝMI ČLENY Uveďme nyní několik vět, které nám umožní rozhodnout o konvergenci nebo divergenci řady s kladnými členy ( a n > 0 pro všechna n), v případě, že nutná podmínka konvergence je splněna. Řady s kladnými členy jsou základem pro vyšetřování obecnějších řad, jejichž konvergence se často určuje na základě příbuzné řady s kladnými členy. 43

148 VĚTA: PODÍLOVÉ KRITÉRIUM Mějme řadu s kladnými členy a n. Nechť a lim n+ = A. n + a n Potom: je-li A <, řada konverguje; je-li A >, řada diverguje, je-li A =, nelze rozhodnout. Podílové kritérium vychází z geometrické řady a n = + A + A + A n +. U této a geometrické řady je n+ = A. Přitom řada je konvergentní pro A <. Smyslem a n podílového kritéria je zjistit, zda se zkoumaná řada limitně chová jako konvergentní nebo divergentní geometrická řada. Zřejmě pokud bude platit a n+ >, nemůže být splněna a n nutná podmínka konvergence. Rozhodněme o konvergenci řad: a) n= ; b) n= ; c) n n 5 n n= n U obou řad je splněna nutná podmínka konvergence. Budeme je dále vyšetřovat podílovým kritériem. a a) lim n+ = lim n + a n n n + (n+) = lim n + n (n+) = Kritérium nedává výsledek, zda řada konverguje nebo ne. a b) lim n+ = lim n + a n n + a c) lim n+ = lim n + a n n+ 5n 5n+ = 5 n n + n+ <. Řada konverguje. =, a kritérium opět nedává výsledek. Následující kritérium je užitečné, pokud a n obsahuje n-tou mocninu. VĚTA: ODMOCNINOVÉ KRITÉRIUM Mějme řadu s kladnými členy a n. Nechť n lim a n = A. n + Potom: je-li A <, řada konverguje; je-li A >, řada diverguje, je-li A =, nelze rozhodnout. 44

149 Rozhodněme o konvergenci řady n=. (ln n) n n Nutná podmínka je splněna. a n =. Dále je lim ln n n + ln n = 0 <. Řada je konvergentní. Uvedená dvě kritéria jsou snadná na použití, ale mají poměrně omezený dosah. Velmi často se ukáže, že selhávají, neboť limita je rovna jedné. Další kritérium, které si uvedeme, tak zvané integrální kritérium, lze odvodit z Riemannovy definice určitého integrálu. Toto kritérium je velmi účinné, je ovšem třeba umět vypočítat konkrétní nevlastní integrál. VĚTA: INTEGRÁLNÍ KRITÉRIUM Je dána řada s kladnými členy a n, pro kterou je a a a n a dále nechť funkce f(x), pro kterou je a n = f(n) pro všechna n ε N je spojitá pro x. Potom: jestliže konverguje (existuje) nevlastní integrál jestliže diverguje (neexistuje) nevlastní integrál f(x)dx, potom konverguje i řada a n, f(x)dx, potom diverguje i řada a n. V případě konvergence platí odhad zbytku tvaru R n f(x)dx, což je odhad chyby, n které se dopustíme, nahradíme-li neznámý součet řady S hodnotou jejího n-tého částečného součtu. Rozhodněme o konvergenci následujících řad : (o tom, že všechny čtyři řady splňují nutnou podmínku konvergence se přesvědčte sami) a) n= n b) n= c) n= d) n n + n= n n + a) vypočtěme nevlastní integrál. x diverguje, řada diverguje též. dx = [ln x] = lim ln n ln = +. Integrál n + x b) c) x + též konverguje. d) x dx x + dx = [ x] = lim n = +. Integrál diverguje, řada též diverguje. n + dx = [arctg x] = lim arctg n arctg = π π = π. Integrál konverguje, řada n = [ ln (x + )] = + ln = +. Integrál i řada jsou divergentní. 45

150 V příkladu části a) jsme dokázali divergenci řady. Tato řada má pro svou důležitost n v ekonomických aplikacích název hovoříme o harmonické řadě. DEFINICE: HARMONICKÁ ŘADA Řada n se nazývá harmonická řada. Harmonická řada diverguje (jak jsme v minulém příkladu zjistili pomocí integrálního kritéria). Najděme chybu, které se dopustíme při stanovení součtu řady, sečteme-li prvních 0 členů řady n=. n Nejprve najdeme S 0 : S 0 = ,0 Následně najdeme zbytek: je dx = [ 0 ] x x = 0 + = 0,. Chyba určení součtu řady je 0 0 tedy na prvním desetinném místě a můžeme psát S ± 0,. Jako poslední kritérium pro řady s kladnými členy uvedeme kritérium, které řeší konvergenci zkoumané řady pomocí jejího porovnání s jinou řadou, kterou již známe, nebo ji umíme prozkoumat snáze např. příslušný integrál je jednodušší, apod. VĚTA: SROVNÁVACÍ KRITÉRIUM Mějme dvě řady s kladnými členy a n a b n. Nechť je dále a n b n pro každé n ε N. Potom : jestliže řada b n konverguje, konverguje též řada a n, jestliže řada a n diverguje, diverguje též řada b n. Toto kritérium lze použít např. k jinému způsobu zjištění divergence řady n, které jsme prováděli výše integrálním kritériem. Lze si uvědomit, že n n pro každé n ε N. Je tedy také. Řada je známá harmonická řada, o níž víme, že diverguje. Námi zkoumaná n n n řada n musí tedy divergovat též. 46

151 Pomocí srovnávacího kritéria vyšetřeme konvergenci řad: a) b) sin π c) n d) e) 3+ n n+ln n n + Všechny řady splňují nutnou podmínku konvergence ověřte sami. ln n n 3 3n n 7 a) Je 3 + n > n, a tedy < 3+ n n. Řada je geometrická řada s kvocientem q =, n tedy se jedná o konvergentní řadu. Řada a) je podle srovnávacího kritéria též konvergentní. b) Je sin π < π, (protože pro x > 0 platí sin x < x). Řada π n n n je geometrická, kvocient q =, jedná se o konvergentní řadu. Podle srovnávacího kritéria je řada b) též konvergentní. c) n+ln n n + > Je x x + n n +. Řadu dx = [ ln x] n n + = +. vyšetříme integrálním kritériem. Integrál diverguje, pomocná řada též diverguje. Podle srovnávacího kritéria diverguje i řada c). ln n d) Je < n, jelikož platí ln n < n. Vyšetřujeme nejprve tedy řadu. Integrální n 3 n 3 n kritérium dává její konvergenci (proveďte sami). Podle srovnávacího kritéria je pak konvergentní i řada d). 3n e) Je > 3n = 3 n 7 n n pomocné řady). 3 (poněvadž jmenovatel dané řady je menší o sedm, než jmenovatel Vyšetřujme tedy řadu, což je ovšem harmonická řada násobená konstantou 3. Je n to tedy divergentní řada. Proto řada e) je podle srovnávacího kritéria též divergentní ALTERNUJÍCÍ ŘADY, ABSOLUTNÍ A NEABSOLUTNÍ KONVERGENCE Dále budeme vyšetřovat konvergenci řad, které obsahují jak kladné tak záporné členy, a to nejdůležitější z nich, tak zvané alternující řady. DEFINICE: ALTERNUJÍCÍ ŘADA: Alternující řada neboli řada se střídavými znaménky je řada a a + a 3 a ( ) n a n + případně 47

152 a a + a 3 a ( ) n+ a n + nebo řada a + a a 3 + a 4 + ( ) n a n +, kde a n > 0. Sumační vzorce těchto řad jsou postupně ( ) n a n, ( ) n+ a n, ( ) n a n. Uveďme pro ně následující kritérium konvergence: VĚTA: LEIBNIZOVO KRITÉRIUM Je-li a > a > a 3 > > 0 a je-li lim a n = 0, potom je alternující řada konvergentní. Vidíme tedy, že nutná podmínka pro příslušnou řadu s kladnými členy, kterou získáme vynecháním členu ( ) n případně ( ) n± se stává postačující podmínkou konvergence řady alternující v případě, že posloupnost členů řady je klesající. Rozhodněme o konvergenci alternujících řad a) n= ( ) n n b) n= ( ) n+ n 3n U řady a) se jedná skutečně o klesající posloupnost členů a n a je lim a n = lim Leibnizova kritéria řada konverguje. n = 0. Podle U řady b) není lim a n rovna nule, ale lim a n = lim n není splněna, řada b) diverguje. 3n = 3. Nutná podmínka konvergence U integrálního kritéria jsme dokázali odhadnout chybu, o kterou se po sečtení n členů lišíme od součtu řady. Podobný odhad existuje i u Leibnizova kritéria. VĚTA: ODHAD ZBYTKU ALTERNUJÍCÍ ŘADY: Pokud alternující řada konverguje podle Leibnizova kritéria, je chyba v přibližném výpočtu jejího součtu pomocí n-tého částečného součtu S n menší než absolutní hodnota členu a n+. Dokažme, že řada n= ( ) n je konvergentní, a vypočtěme její součet s přesností na 5 desetinných míst. (n )! 48

153 Zřejmě je posloupnost členů a n klesající a lima n = 0, tedy podle Leibnizova kritéria řada konverguje. Použijeme li pro výpočet součtu řady částečný součet S 4 = + = + 0,84468, je chyba podle předchozí věty menší 3! 5! 7! než a 5 = < 0, Tedy výpočet S = 0,8447 je přesný na pět desetinných míst. 9! Povšimněme si, že daná řada je Taylorovou řadou pro funkci sin x v bodě x =, a je tedy sin 0,8447. Je vidět, že konvergence alternující řady je dosaženo snáze, než konvergence řady s kladnými členy. Konvergence příslušné řady s kladnými členy a stejnými koeficienty a n je obtížněji dosažitelná a je v určitém smyslu silnější. Vysvětlíme si to dále. DEFINICE ABSOLUTNÍ KONVERGENCE: Nekonečná řada a n je absolutně konvergentní, jestliže a n je konvergentní. To znamená, že např. řada ( ) n n + je absolutně konvergentní, poněvadž tato řada se střídavými znaménky konverguje dle Leibnizova kritéria a řada absolutních hodnot jejích členů, čili řada, konverguje dle integrálního kritéria. n + Příští věta říká, že z absolutní konvergence vyplývá konvergence řady alternující, a nejen to. Vyplývá z ní konvergence jakékoliv řady, která má některé členy se záporným znaménkem (není třeba, aby se znaménka přímo střídala). VĚTA: Každá absolutně konvergentní řada je konvergentní. Např. řada je řada s kladnými členy, která je konvergentní dle integrálního kritéria n (zjistěte sami). Jelikož u řady s kladnými členy znamená konvergence totéž jako absolutní konvergence, můžeme ji považovat za absolutně konvergentní řadu. Z věty plyne, že tedy alternující řady ( ) n a n ( )n konvergují též, a dále konvergují všechny řady, n které mají znaménko mínus u kterýchkoli členů řady n. 49

154 Např. tedy určitě konverguje řada DEFINICE: NEABSOLUTNÍ KONVERGENCE Nekonečná řada a n je neabsolutně konvergentní, jestliže řada a n je konvergentní a a n je divergentní. U řad s kladnými členy neabsolutní konvergence nastat nemůže, alternující řady mohou ale konvergovat neabsolutně. Ukažme, že řada řada.) n= ( ) n+ n konverguje neabsolutně. (Tato řada se nazývá Leibnizova Daná řada splňuje podmínky Leibnizova kritéria klesající posloupnost členů a lim a n = 0. Tedy konverguje. Ale řada absolutních hodnot, neboli řada n= je harmonická řada, o níž víme, že je divergentní. n Daná řada n= ( ) n+ n je tedy pouze neabsolutně konvergentní. Slovo pouze bylo uvedeno proto, že absolutní konvergence znamená víc. Pokud je alternující řada absolutně konvergentní, konvergují vlastně řady dvě; a to původní řada alternující, a dále řada absolutních hodnot jejích členů. U neabsolutní konvergence konverguje pouze alternující řada. Zjistěme typ konvergence řady ( ) n n= Řada je zcela jistě konvergentní dle Leibnizova kritéria. Zkoumejme řadu absolutních hodnot n=. n Je n > n n, a proto srovnáním s harmonickou řadou naše řada absolutních hodnot diverguje dle srovnávacího kritéria. Daná řada ( ) n n= konverguje neabsolutně. n 50

155 Zjistěme typ konvergence řady n= ( ) n 3 n Podle Leibnizova kritéria řada konverguje. Řada absolutních hodnot n= konverguje dle integrálního kritéria. Daná řada proto konverguje absolutně. 3 n A nyní se vraťme k možnosti přerovnávání řad, kterou jsme použili v příkladu s geometrickou řadou na str.38. VĚTA: O PŘEROVNÁVÁNÍ ŘAD Je-li nekonečná řada absolutně konvergentní, nemění se její součet žádným přerovnáním. Je-li řada neabsolutně konvergentní, můžeme vhodným přerovnáním dosáhnout toho, aby řada konvergovala k libovolnému předem zvolenému číslu, aby její součet byl + či, nebo aby oscilovala. Řady s kladnými členy tedy lze přerovnávat. U alternujících řad můžeme přerovnávat beze změny jejich součtu jen některé, a to ty, které jsou absolutně konvergentní. Vezměme např. řadu + + +, tedy řadu ( )n, o níž víme, že je n neabsolutně konvergentní. Přerovnáme ji tak, aby divergovala k +. Provedeme to takto: sečteme tolik kladných členů řady, aby jejich součet byl větší než číslo. (U nás je třeba sečíst první čtyři kladné členy). Potom odečteme první záporný člen. Přičítáme dále kladné členy, až součet přesáhne číslo. Odečteme druhý záporný člen, atd. Tímto způsobem dostaneme řadu, která zřejmě diverguje k FUNKČNÍ A MOCNINNÉ ŘADY DEFINICE: POSLOUPNOST FUNKCÍ Nechť x R. Nekonečná posloupnost funkcí je posloupnost f (x), f (x),, f n (x),, kde ke každému n ε N je přiřazena funkce f n (x). Tato posloupnost je definována na průniku definičních oborů funkcí f k (x), kde k =,,, n, DEFINICE: NEKONEČNÁ FUNKČNÍ ŘADA Nechť {f n (x)} je nekonečná posloupnost funkcí. Potom součet 5

156 f (x) + f (x) + + f n (x) + nazýváme nekonečná funkční řada. Tato řada je v R definována na průniku definičních oborů všech f k (x), k =,,,n,.. Poznámka: Nekonečnou řadu lze definovat i na množině komplexních čísel C. Tím se zde nebudeme zabývat. Funkční řada se nemusí chovat stejně ve všech bodech, kde je definována. Pro některá x z definičního oboru může konvergovat a pro některá divergovat. Vezměme si např. funkční řadu n= x n, neboli řadu x + x + x x n +. Tato řada existuje pro všechna x ε R. Snadno nahlédneme, že daná řada je geometrická s kvocientem q = x. Proto může konvergovat pouze pro q <. Řada tedy konverguje pro x ε (,). Pro ostatní reálná x je řada divergentní. Lze ji též sečíst podle vzorce pro součet geometrické řady. Je S = pro každé x ε (, ). Pro ostatní x řada součet nemá. Naopak lze říci, že funkce y = x x x x. Tento vzorec lze použít je v intervalu (, ) reprezentována řadou n= xn. Funkční hodnoty je možno v tomto intervalu počítat pomocí řady s předem stanovenou přesností. DEFINICE: OBOR KONVERGENCE Mějme funkční řadu f n (x). Množina všech reálných x, pro která řada konverguje, se nazývá obor konvergence funkční řady. Oborem konvergence řady n= x n je otevřený interval (, ). Funkční řady lze vyšetřovat stejným způsobem jako číselné řady. Většinou vyšetřujeme absolutní konvergenci, tedy můžeme použít kritéria pro řady s kladnými členy. Vyšetřeme konvergenci funkční řady n+ n=. (x ) n 5

157 Vyšetřujme absolutní konvergenci podílovým kritériem. Je lim n+ (x )n = (x ) n+ n+ lim n+ n+ x = lim x =. Aby řada konvergovala, musí platit, že x x <, to znamená x >. Řešením této nerovnice s absolutní hodnotou dostáváme, že x ε (, 0) (, + ). V tomto sjednocení je řada konvergentní. Body 0 a, kdy je limita rovna jedné a podílové kritérium selhává, musíme vyšetřit zvlášť. Postupným dosazením těchto dvou bodů do funkční řady dostaneme řady číselné, jejichž konvergenci umíme vyšetřit. Dosazením čísla 0 do funkční řady dostaneme alternující číselnou řadu ( ) n (n + ), která je divergentní podle Leibnizova kritéria (lim a n 0); dosazením čísla do funkční řady dostáváme číselnou řadu s kladnými členy (n + ), která je divergentní (není splněna nutná podmínka konvergence). Obor konvergence dané funkční řady je tedy sjednocení otevřených intervalů Obor konvergence je tedy (, 0) (, + ). Pro čísla mimo obor konvergence řada diverguje. Speciální případ funkční řady je řada mocninná. U mocninných řad často sčítáme od n = 0. DEFINICE: MOCNINNÁ ŘADA Nechť x ε R. Funkční řada tvaru a n (x c) n se nazývá mocninná řada, číslo c ε R se nazývá střed řady, a n jsou koeficienty řady. VĚTA: O KONVERGENCI MOCNINNÉ ŘADY Mějme mocninnou řadu a n (x c) n. Pak existuje r ε 0, ) tak, že řada konverguje pro všechna reálná čísla x pro která je x c < r, a diverguje pro všechna reálná x, pro která je x c > r. V bodech, kde je x c = r řada konvergovat může a nemusí. Číslo r se nazývá poloměr konvergence mocninné řady. a) je-li r = 0, konverguje řada pouze ve svém středu c, b) je-li r =, řada konverguje pro všechna x ε R, c) je-li r ε 0, + ), řada konverguje pro reálná x splňující x c < r, a to absolutně. 53

158 Poloměr konvergence lze zjišťovat buď tak, že vyšetřujeme obvyklým způsobem absolutní konvergenci s použitím známých kritérií, nebo můžeme použít dále uvedených vzorců. V každém případě je třeba v bodech c ± r, o kterých věta nehovoří, vyšetřit konvergenci zvlášť - dosazením a vyšetřením příslušné číselné řady. VĚTA: POLOMĚR KONVERGENCE Poloměr konvergence lze určit pomocí jedné z následujících limit pro n +, pokud příslušná limita existuje : r = lim a n nebo r = lim n. a n+ a n Vyšetřujme konvergenci mocninné řady n=0 (x + ) n. Střed této řady je c =. a n = n n n n. Použijme první ze vzorců, a dostáváme r = lim n+ =. Poloměr konvergence je tedy r =, a řada konverguje ve vnitřních n bodech intervalu ( 4, 0). Krajní body intervalu je třeba vyšetřit zvlášť. Dosaďme do řady x = 0. Dostáváme číselnou řadu n=0, což je divergentní harmonická řada. Dosaďme do řady x = 4. Dostáváme číselnou řadu n=0, která konverguje dle Leibnizova kritéria. n ( ) n n Daná mocninná řada n=0 ( ) n (x 3)n n+ 4, 0), ilustrace proto konverguje v polouzavřeném intervalu poloměru konvergence je na obrázku č. 45. V bodě x = 4 je konvergence neabsolutní, všude jinde absolutní. 54

159 Obrázek 45 Vyšetřeme konvergenci mocninné řady n=0 n! (x + ) n. Střed řady je c =. Opět použijeme první ze vzorců a je lim Poloměr konvergence je r = 0. Řada konverguje pouze ve svém středu. n! (n+)! = lim n+ = 0 Vyšetřeme konvergenci řady 5 n n=0 (n+)! xn. Střed c = 0. Podle prvního ze vzorců je lim konverguje pro všechna x ε R. 5 n (n+)! (n+)! n+ = lim 5n+ 5 = +. Řada tedy Poznámka: Mocninné řady lze derivováním nebo integrací někdy převádět na geometrické řady, a poté sčítat s využitím vzorce pro součet geometrické řady. Výraz pro součet mocninné řady potom představuje vzorec pro součty číselných řad po dosazení jakéhokoli x ležícího v oboru konvergence mocninné řady. Na začátku této podkapitoly jsme viděli, že funkce může být reprezentována mocninnou řadou v oboru konvergence této mocninné řady. My již důležité příklady této vlastnosti f (n) (c) známe. Stačí si uvědomit, že Taylorova řada n=0 (x c) n, o níž jsme hovořili v Matematice, je mocninná řada se středem v bodě c a s koeficienty f(n) (c). Na základě této řady byly uvedeny reprezentace funkcí e x, sin x, cos x a dalších. Jak se tyto reprezentace využívají, bylo uvedeno v Matematice. n! n! 55

160 3.6. CVIČENÍ. Napište prvních 5 členů řad sin n π cos nπ n+ a) n= ; b) n= ; c) ( ) n n+ n= n [a) ; b) ; c) ]. Je dán n-tý částečný součet S n. Je řada konvergentní nebo divergentní? a) S n = n + n+ ; b) S n = ( ) n n ; c) S n = 3n+ n + ; d) S n = 3 n ; [a) divergentní; b) divergentní ; c) konvergentní ; d) konvergentní] 3. Zjistěte, zda je splněna nutná podmínka konvergence řady a) +n ; b) n+ ; c) n ln n ; [a) je ; b) není ; c) není ] 4. Najděte sumační vzorec, je-li dán n-tý částečný součet řady a) S n = ; b) S n n = ( )n n ; [a) n n= ; b) n n(n ) ; ] n= 5. Zjistěte, zda následující geometrické řady konvergují, a pokud ano, sečtěte je a) ( n= 3 )n ; b) n= ( ) n ( 5 4 )n ; c) 0, + 0,0 0,00 + 0,000 [a) konverguje, S = ; b) diverguje ; c) konverguje, S = 0 ] 6. S použitím vhodného kritéria konvergence zjistěte, zda konvergují řady s nezápornými členy a) 3n+ n= ; b) n= ; c) n= ; d) n= arctg n n ; e) n n ln n 3 n n +4 arctg n n= ; +n [a) konv. (podílové k. ); b) konv. (srovnávací a integrální k. ; c)div. ; d) div. ; e) konv. (integrální k. )] 56

161 7. S použitím vhodného kritéria rozhodněte o konvergenci řad a) nn n= ; b) n= ; c) 5 n n= ; d) n= ; e) 0n 0 n (ln n) n 3n + n 3 + n= ; n! [a) div. ; b) konv. (odmocninové k. ); c) div. ; d) div. (srovnávací a integrální k. ); e) konv. (podílové k. ) ] 8. Zjistěte, zda konvergují alternující řady, a pokud ano, určete, jestli konvergují absolutně nebo neabsolutně a) n= ( ) n ; b) n ln n n= ( )n e n ; c) n= ( ) n 5 n + ; d) n n= ( )n+ n ; [a) konv. neabsolutně; b) konv. absolutně; c) konv. absolutně; d) div. ] 9. Rozhodněte o konvergenci alternující řady, případně o typu konvergence a) n= ( ) n n 4n 3 ; b) n= ( )n n ; c) ln n ( )n 4n+5 n= ; d) ( ) n+ n n= n ; ln n [a)konv. neabsolutně; b) div. ; c) konv. neabsolutně; d) div. ] 0. S jakou chybou lze určit přibližně součet řady pomocí součtu prvních 0 členů a) n= ; b) ( ) n n + n= ; n + [a) S = 0,67 ± 0, ; b) S = 0,36 ± 0,09]. Najděte poloměr konvergence mocninné řady a její obor konvergence n a) n= x n ; b) n + n= n5 n (x )n ; c) n=0 n+ 0 n ln n e n n=0 n+ (x 4) n ; d) n= (x e) n ; e) (x + 3) n [a) r =,, ) ; b) r = 5, 3, 7) ; c) r = 0, ( 6,0) ; d) r = e, (0,e) ; e) r =, 4, ) ] 57

162 4. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 4.. ZÁKLADNÍ POJMY Diferenciální rovnice je rovnice, v níž je neznámou funkce. V rovnici vystupují derivace této neznámé funkce až do řádu n, (nebo její diferenciály), samotná neznámá funkce, a její argument. Pokud je neznámá funkce funkcí více proměnných a derivace jsou parciální, hovoříme o parciální diferenciální rovnici, pokud je neznámá funkce funkcí jedné proměnné a derivace jsou obyčejné, jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici. My se budeme zabývat nadále pouze obyčejnými diferenciálními rovnicemi a slovo obyčejná budeme v názvu vynechávat. Oblast zkoumání a řešení diferenciálních rovnic je velmi rozsáhlá, diferenciálních rovnic je mnoho různých typů a studují se též soustavy rovnic. Tato kapitola budiž pouze úvodem k této důležité partii matematiky. DEFINICE: POJEM DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice je vztah mezi nezávisle proměnnou x, hledanou funkcí y = f(x), a jejími derivacemi. Její obecný tvar je F(x, y, y, y,, y (n) ) = 0, (tak zvaný implicitní tvar), kde F je funkce (n+) proměnných definovaná v oblasti D R n+. Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace, která se v rovnici vyskytuje. Řešením diferenciální rovnice pro xε J je každá funkce y = f(x) definovaná na intervalu J, (může být i v implicitním tvaru), mající derivace až do řádu n v každém bodě intervalu J, po jejímž dosazení včetně jejích příslušných derivací přejde v intervalu J rovnice F(x, y, y, y (n) ) = 0 v identitu. Řešit rovnici znamená najít všechna její řešení. Grafy jednotlivých řešení diferenciální rovnice se nazývají integrální křivky. Uvažujme např. rovnici y 5 = 0. To znamená, že y = 5, a tuto rovnici dokážeme vyřešit velmi snadno dvojí integrací. Je y = 5 dx = 5x + C, a dále je y = (5x + C )dx = 5x + C x + C. Řešením naší diferenciální rovnice je tedy každá funkce tvaru y = 5x + C x + C, x R, pro libovolné navzájem nezávislé konstanty C, C ε R. Na tomto příkladu je názorně vidět, že pokud bude diferenciální rovnice řešitelná, pak je počet nezávislých libovolných konstant v řešení rovnice roven řádu rovnice. Takže v řešení rovnice.řádu bude vystupovat jedna libovolná konstanta, v řešení rovnice.řádu dvě libovolné nezávislé konstanty, atd. Odtud vyplývá, že každá řešitelná diferenciální rovnice má nekonečně mnoho řešení. Chceme-li z nich vybrat konkrétní řešení, musíme pro ně zadat 58

163 podmínku, (případně více podmínek), např. že řešení má procházet konkrétním bodem v rovině. Takové podmínky se nazývají počáteční podmínky. Počátečních podmínek musí být tolik, kolik je neurčitých konstant. Kromě počátečních podmínek lze zadat i tak zvané okrajové podmínky, jimiž může též být konkrétní řešení určeno. Okrajovými podmínkami se zde nebudeme zabývat. DEFINICE: OBECNÉ A PARTIKULÁRNÍ ŘEŠENÍ, POČÁTEČNÍ PODMÍNKY Řešení diferenciální rovnice n-tého řádu, n =,,, obsahuje n neurčitých na sobě nezávislých konstant a nazývá se obecné řešení diferenciální rovnice. Počáteční podmínky určují na základě obecného řešení partikulární řešení diferenciální rovnice příslušné k daným počátečním podmínkám. Počáteční podmínky jsou tvaru y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y, y (x 0 ) = y,, y (n ) (x 0 ) = y n. Počáteční podmínky nám tedy udávají, jaká je v jednom určitém bodě x 0 hodnota funkce a všech jejích derivací až do řádu (n ). Partikulární řešení jsou obsažena v obecném řešení pro konkrétní volbu konstant. Někdy se však stává, že rovnice má ještě další řešení, které není v obecném řešení obsaženo pro žádnou volbu konstant. Takové řešení se nazývá singulární řešení. Přesvědčme se : a) že funkce y = (x + C) je obecným řešením diferenciální rovnice y = y pro x C, C R. b) že rovnice má v intervalu x C singulární řešení tvaru y = 0 c) najděme partikulární řešení, které splňuje počáteční podmínku y() = 4 d) nakresleme integrální křivky dané rovnice a) Obecné řešení musí po derivování a dosazení do rovnice vytvořit identitu. Derivujme obecné řešení. Dostáváme y = (x + C). Dosaďme do rovnice za y a za y. Je (x + C) = (x + C) = x + C = (x + C) pro x C. Dostáváme tedy identitu. b) Dále dosaďme do rovnice y = 0. Vidíme, že 0 = 0, funkce y = 0 je tedy též řešením rovnice. Na intervalu (, C) je jediným řešením rovnice. Ale na intervalu ( C, + ) ať volíme v obecném řešení konstantu jakkoliv, nikdy nedostaneme rovnici y = 0, vždy tam zůstává proměnná x. V bodech osy x existují tedy řešení dvě. Řešení y = 0, které není obsaženo v obecném řešení se nazývá singulární řešení. 59

164 c) Dosaďme do obecného řešení z počáteční podmínky x =, y =. Dostáváme rovnici pro konstantu C. Má být 4 = ( + C). Odtud máme + C = a následně je C =, nebo C = 3, přičemž má platit C, tedy C. Podmínce vyhovuje pouze C =. Partikulární řešení je proto funkce y = (x + ), x. Na obrázku č. 46 je to křivka, která se dotýká osy x v bodě x =. d) Integrální křivky pro několik různých konstant C jsou na obrázku č. 46. Jedná se o pravé poloviny parabol s vrcholy na ose x. Dalším řešením je osa x, která na intervalu ( C, + ) představuje singulární řešení. Je totiž takovou integrální křivkou, v jejímž libovolném bodě z intervalu ( C, + ) řešení nejsou lokálně jednoznačně určena počáteční podmínkou předepsanou libovolným z jejích bodů. Obrázek 46: Integrální křivky rovnice y = y Přesvědčme se, že diferenciální rovnice y 5y = 0 má obecné řešení tvaru y = C e 5x + C e 5x a najděme partikulární řešení, které vyhovuje počátečním podmínkám y(0) = 3, y (0) = 5. Derivujme dvakrát obecné řešení. Je y = 5C e 5x 5C e 5x a y = 5C e 5x + 5C e 5x. Dosaďme vypočtené derivace do diferenciální rovnice. Dostáváme 60

165 (5C e 5x + 5C e 5x ) 5(C e 5x + C e 5x ) = 0 a po úpravě dostaneme 0 = 0. Uvedená funkce je tedy skutečně obecným řešením dané rovnice. Nyní dosadíme první ze dvou počátečních podmínek do obecného řešení, druhou počáteční podmínku do derivace tohoto řešení. Dostáváme soustavu rovnic C + C = 3 a 5C 5C = 5. Odtud snadno dostáváme, že C = a C =. Partikulárním řešením příslušným k počátečním podmínkám je funkce y = e 5x + e 5x. Najděme diferenciální rovnici soustavy křivek y = Cx 3. Obecnou funkci y = Cx 3 derivujeme, dostáváme y = 3Cx. Potřebujeme vyloučit konstantu C, proto ji vypočítáme jak z funkce, tak z derivace, a výsledky porovnáme. Je C = y y x3, a též C =. To znamená, že je y 3x je hledaná diferenciální rovnice. = y x 3 3x, a po úpravě je xy 3y = 0, což 4.. EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ U DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE.ŘÁDU Základní otázkou teorie diferenciálních rovnic je problém, za jakých předpokladů je daná diferenciální rovnice řešitelná, a za jakých dalších podmínek je řešení v konkrétním bodě jednoznačné. Tento problém je velmi důležitý i v aplikacích diferenciálních rovnic. Uveďme si větu, která na tuto otázku odpovídá. Omezme se na diferenciální rovnici.řádu v explicitním tvaru y = F(x, y) s počáteční podmínkou y(x 0 ) = y 0. Tato úloha je jednou z nejdůležitějších úloh teorie diferenciálních rovnic a nazývá se počáteční úloha nebo též Cauchyova 8 úloha. VĚTA: O LOKÁLNÍ EXISTENCI A JEDNOZNAČNOSTI ŘEŠENÍ ROVNICE y = F(x, y): Nechť funkce F(x, y) je spojitá v okolí bodu [x 0, y 0 ]. Potom existuje alespoň jedno řešení y = f(x) spojité v okolí bodu x 0 splňující počáteční podmínku y(x 0 ) = y 0. Jestliže navíc má funkce F(x, y) v okolí bodu [x 0, y 0 ] spojitou parciální derivaci F y (x, y) podle proměnné y, pak existuje právě jedno řešení splňující počáteční podmínku y(x 0 ) = y 0. Geometrická interpretace uvedené věty spočívá v tom, že pokud je funkce F(x, y) spojitá v nějaké oblasti B, pak každým bodem této oblasti prochází alespoň jedna integrální křivka diferenciální rovnice y = F(x, y). Pokud je navíc splněna podmínka spojitosti parciální 8 A.L. Cauchy ( ) byl francouzský matematik, který se zabýval oblastí matematické analýzy a komplexní analýzy. 6

166 derivace funkce F podle proměnné y, prochází každým bodem oblasti B právě jedna integrální křivka rovnice y = F(x, y). Nyní se vraťme k příkladu z podkapitoly 4.. Pracovali jsme s rovnicí y = y. Je tedy funkce F(x, y) = y. Tato funkce je spojitá ve svém definičním oboru, kterým je horní polorovina nad osou x včetně samotné osy x. Proto v každém bodě této poloroviny má rovnice alespoň jedno řešení. Právě jedno řešení má ve vnitřních bodech této poloroviny, kde je parciální derivace F y 0. Je F y =. Na hranici, kterou je osa x, není parciální derivace definována, neboť jmenovatel je roven nule. Na části osy x, na intervalu( C, + ), je tedy porušena podmínka jednoznačnosti řešení. Na obrázku 46 můžeme vidět, že v každém bodě osy x existují na intervalu ( C, + ) řešení dvě. Jedno získáme z obecného řešení, druhé je singulární řešení y = 0 na ( C, + ). y 4.3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU ŘEŠITELNÁ SEPARACÍ PROMĚNNÝCH Separací proměnných (neboli vlastně oddělením proměnných) lze řešit takovou rovnici F(x, y, y ) = 0, kterou lze algebraickými úpravami převést na tvar y = g(x) h(y). Poté můžeme za y dosadit podíl diferenciálů dy a převést rovnici na tvar dy = g(x)dx, a tím dx h(y) separujeme výrazy s proměnnou y na levou stranu rovnice a výrazy s proměnnou x na pravou stranu rovnice. Dále řešíme integrací obou stran rovnice. Shrňme si postup výpočtu do jednotlivých bodů: a) odstraníme součet nebo rozdíl, pokud se v rovnici vyskytuje b) za y dosadíme zlomek dy a celou rovnici vynásobíme výrazem dx dx c) Převedeme výrazy obsahující y na levou stranu rovnice pomocí násobení nebo dělení, a podobně výrazy obsahující x převedeme na pravou stranu rovnice d) obě strany rovnice integrujeme e) vyjádříme z rovnice y, pokud není vhodnější ponechat výslednou funkci v implicitním tvaru. Řešme diferenciální rovnici y = x a najděme partikulární řešení příslušné k počáteční podmínce y() =. 6

167 Přepíšeme si rovnici takto: dy dx = x, a tedy dy = x dx. Proměnné jsou separovány. Integrujeme obě strany rovnice. Integrační konstantu stačí napsat pouze jednu, neboť je libovolná. Píšeme ji na pravou stranu k proměnné x. Je dy = xdx, a dále je y = x + C, což je obecné řešení rovnice. Řešením jsou tedy kvadratické funkce. Nyní vypočítáme partikulární řešení. Do obecného řešení dosadíme počáteční podmínku a je = + C, a odtud je C = 3. Hledaným partikulárním řešením je funkce y = 3 x. Grafy integrálních křivek jsou na obrázku 47, červená integrální křivka je grafem hledaného partikulárního řešení. Obrázek 47: Integrální křivky rovnice y = x Řešme diferenciální rovnici y = y x Přepíšeme rovnici na tvar dy dx = y x a vynásobíme rovnici výrazem dx. Dostáváme dy = y x dx Nyní je třeba vydělit rovnici výrazem y (přepokládejme tedy, že y 0). Dostaneme dx x dy. Proměnné jsou separovány a můžeme rovnici integrovat. Je dostáváme ln y = ln x + C. y = dx x dy y =, a odtud 63

168 Toto je výhodné zapsat jako ln y = ln x + ln C pro C 0 kvůli snadnému odlogaritmování. (Proti libovolnosti konstanty jsme se tak provinili pouze tím, že jsme vynechali C = 0, neboť logaritmus není v bodě 0 definován). Po odlogaritmování dostáváme y = Cx. Vzhledem k tomu, že konstanta C je libovolná, můžeme psát y = Cx (znaménko ±, které vznikne při odstraňování absolutní hodnoty zmizí v libovolnosti konstanty). Řešením rovnice jsou funkce y = Cx, integrální křivky jsou přímky procházející počátkem s různými směrnicemi. Při výpočtu jsme vynechali funkci y = 0. Dosazením se snadno přesvědčíme, že rovnici vyhovuje též. Není singulárním řešením, neporušuje podmínku jednoznačnosti řešení v R a je obsažena v obecném řešení při volbě konstanty C = 0, kterou jsme z početních důvodů vynechali a která patří k původně vynechanému řešení. Řešme diferenciální rovnice y y = ±x Jedná se o dvě rovnice. Opět je přepišme jako dy dx y = ±x, a násobme výrazem dx. Dostáváme y dy = ±x dx. Je separováno, můžeme integrovat. Dostáváme y = ± x + C a po vynásobení poslední rovnice číslem je y = ±x + C. Ponechme řešení v implicitním tvaru x ± y = C. Tak postupujeme v případě, jedná-li se nám spíše o integrální křivky nežli přímo o funkce, které jsou řešením rovnice. Okamžitě vidíme, že v případě rovnice y y = x jsou integrálními křivkami pro C > 0 soustředné kružnice se středem v počátku, pro C = 0 je řešením počátek soustavy souřadnic, pro C < 0 nemá výsledný vztah smysl. V případě rovnice y y = x jsou pro C 0 integrálními křivkami hyperboly se středem v počátku. Pro C = 0 dostáváme osy. a 3. kvadrantu, viz obrázek č. 48. Osa x k řešení nepatří s výjimkou počátku soustavy souřadnic. 64

169 . Obrázek 48: Integrální křivky rovnic y y = ±x Řešme diferenciální rovnici y = y Rovnici přepíšeme jako dy = y, a vynásobíme výrazem dx. Je pak dy = y dx, a dále je dx dy y e x+c = dx pro y 0. Integrujeme a dostáváme ln y = x + C, a po odlogaritmování y = To je výhodné zapsat jako y = e x e C neboli lze psát y = Ce x,(kde konstanta e C byla opět označena C). Nyní již můžeme odstranit absolutní hodnotu, aniž bychom měli v řešení znaménka ±, což by vlastně představovalo řešení dvou různých tvarů, neboť konstanta C může být libovolná, tedy kladná i záporná. Výsledné obecné řešení rovnice je tedy y = Ce x a integrální křivky jsou exponenciální funkce. Snadno se přesvědčíme dosazením do rovnice, že funkce y = 0, (osa x) kterou jsme vynechali kvůli dělení, je též řešením. Dostaneme ji volbou konstanty C = 0. Integrální křivky vidíme na obrázku 49. Obrázek 49: Integrální křivky rovnice y = y 65