Kvantitativní metody v ekonomické praxi

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kvantitativní metody v ekonomické praxi"

Transkript

1 Kvtittiví metody v ekoomické pri Distčí studijí tet Rdmil Krkošková Krviá 7

2 Obor: Klíčová slov: Aotce: Mtemtik, sttistik mtice, determity, posloupost její limit, fukce její limit, difereciálí počet jedé reálé proměé, kvlittiví zky, kvtittiví zky, biomické rozděleí, Poissoovo rozděleí, ormálí rozděleí, epoeciálí rozděleí, Chí-kvdrát test dobré shody, Chíkvdrát test ezávislosti, regresí lýz Publikce předstvuje studijí oporu zákldího vysokoškolského kurzu mtemtiky sttistiky pro bklářské studium vysoké škole ekoomického změřeí Obshově pokrývá zákldí témt: operce s mticemi, determity, poslouposti, fukce, derivce fukce jedé reálé proměé, kvlittiví kvtittiví zky, rozděleí prvděpodobosti, testováí hypotéz, regresí lýz Součástí tetu jsou řešeé eřešeé příkldy Autor: Mgr Rdmil Krkošková, PhD

3 Obsh ÚVODEM 6 RYCHLÝ NÁHLED STUDIJNÍ OPORY 7 MATICOVÝ POČET A DETERMINANTY 8 Operce s mticemi 9 Rovost mtic Sčítáí mtic Násobeí mtice reálým číslem Násobeí mtice mticí Trspoová mtice Hodost mtice Iverzí mtice 6 Mticové rovice 9 6 Determit mtice 6 Vlstosti determitu 6 Crmerovo prvidlo 8 POSLOUPNOST A LIMITA POSLOUPNOSTI 7 Posloupost 8 Limit poslouposti FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ A JEJÍ LIMITA Fukce jedé reálé proměé Vlstosti fukcí Elemetárí fukce Defiičí obor fukce 6 Limit fukce 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ 7 Pojem derivce fukce 7 Užití difereciálího počtu průběh fukce 8 Mootóost fukce 8 Lokálí etrémy fukcí 8 Ifleí body fukce 8 Koveost kokávost fukce 86

4 POPISNÁ STATISTIKA KVALITATIVNÍ A KVANTITATIVNÍ ZNAKY 9 Sttistické zky 9 Kvlittiví zky 9 Kvtittiví zky 9 Četosti 9 Modus mediá 9 Kvtily 96 Průměry 96 Vričí rozpětí, rozptyl, směrodtá odchylk 97 6 Vričí koeficiet 98 7 Koeficiet šikmosti 99 6 DISKRÉTNÍ A SPOJITÉ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY 6 Diskrétí spojitá áhodá veliči 6 Diskrétí prvděpodobostí modely 7 6 Stejoměré rozděleí 7 6 Biomické rozděleí 8 6 Poissoovo rozděleí 9 6 Spojité prvděpodobostí modely 6 Stejoměré rozděleí 6 Normálí rozděleí 6 Epoeciálí rozděleí 7 TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ PARAMETRICKÉ A NEPARAMETRICKÉ TESTY 7 7 Zákldí pojmy z testováí hypotéz 8 7 Postup při testováí hypotézy prmetrický test 7 Chyby při testováí 7 Neprmetrické testy hypotéz 7 Mediáový test 7 Test dobré shody 7 Test ezávislosti kvlittivích zků 6 8 JEDNODUCHÁ REGRESNÍ ANALÝZA 8 Metod ejmeších čtverců 8 Koeficiet determice 6 8 Korelčí lýz 8

5 PŘÍLOHA LITERATURA SHRNUTÍ STUDIJNÍ OPORY PŘEHLED DOSTUPNÝCH IKON

6 ÚVODEM Teto tet předstvuje studijí oporu pro studium kvtittivích metod studijích progrmů: Cestoví ruch turismus, Fice účetictví v bklářském studiu Slezské uiverzitě, Obchodě podiktelské fkultě v Krvié Tto studijí opor obshuje vybré kpitoly ze studijích opor Kvtittiví metody (Stoklsová, ) Sttistik (Rmík Stoklsová, ) Studijí opor je rozděle do 8 kpitol Prví polovi studijí opory je věová zákldům mtemtiky, druhá část se zbývá zákldy sttistiky V prví části se sezámíte s mticovým počtem, determity, zopkujete si pojem číselá posloupost učíte se počítt její limitu Zlosti o elemetárích fukcích jistě máte ze středí školy rozšíříte si je o zlosti trscedetích fukcí Budete umět určit defiičí obor fukce, zát grfy fukcí, vypočítt limitu fukce Mtemtická část je ukoče difereciálím počtem fukce jedé reálé proměé, kde je důrz klde vyšetřováí průběhu fukce (určeí etrémů, ifleích bodů) Druhá část studijí opory je věová zákldům sttistiky sttistických metod Zde se požduje zlost kombitoriky zákldů prvděpodobosti Postupě se sezámíte s rozděleím sttistických zků kvlittiví kvtittiví s jejich chrkteristikmi polohy vribility Dlší kpitol je věová rozděleí prvděpodobosti áhodé veličiy Jedá se o diskrétí rozděleí (stejoměré, biomické Poissoovo) spojité rozděleí (stejoměré, ormálí epoeciálí) Normálí rozděleí je jedo ejdůležitější ve sttistice V předposledí kpitole jsou uvedey testy hypotéz, jk prmetrické, tk eprmetrické Z eprmetrikých se změříme mediáový test, test dobré shody test ezávislosti Posledí kpitol se zbývá studiem regresí lýzy Změříme se jedoduchou lieárí regresí lýzu Kždá kpitol zčíá distčími prvky: rychlý áhle kpitoly, cíle kpitoly, čs potřebý ke studiu klíčová slov kpitoly Doporučuji tyto prvky bedlivě pročíst, hlvě cíle kpitoly, by bylo zřejmé, co musíte zát umět Součástí kždé kpitoly jsou řešeé příkldy, které doporučuji prostudovt V závěru pk jdete shrutí kpitoly otázky, kde jsou příkldy k procvičeí Pokud zvládete kždou kpitolu spoň v rozshu řešeých příkldů, tk získáte áhled, který vám umoží pochopit osvojit si prktické zásdy lýzy iformcí 6

7 RYCHLÝ NÁHLED STUDIJNÍ OPORY Tto studijí opor obshuje vybré kpitoly ze studijích opor Kvtittiví metody Sttistik Prví část studijí opory je věová mtemtické oblsti Prví kpitol je věová lieárí lgebře Jsou zde uvedey zákldí vlstosti mtic determitů Kpitol druhá rozšíří Vše zlosti o číselých posloupostech jejich limitách Důležitá je třetí kpitol, která je věová fukcím jedé reálé proměé Jsou zde uvedey grfy elemetárích fukcí jejich vlstosti Mezi jedu z ejdůležitějších ptří kpitol, která je věová difereciálímu počtu fukce jedé reálé proměé Dlší kpitoly pokrývjí oblst sttistiky V kpitole se sezámíte se sttistickými zky, jejich rozděleím, chrkteristikmi polohy vribility Následující 6 kpitol je věová áhodé veličiě (diskrétí spojité) prvděpodobostím modelům Z diskrétích modelů jsou uvedey: stejoměré rozděleí, biomické Poissoovo rozděleí Ze spojitých prvděpodobostích modelů jsou uvedey: stejoměré, ormálí epoeciálí rozděleí Testováím hypotéz (prmetrických i eprmetrických) se zbývá kpitol 7 Z eprmetrických testů se sezámíte s mediáovým testem, testem dobré shody s testem ezávislosti Posledí kpitol je věová problemtice regresí lýzy, kde důrz je klde lieárí regresí model Jedotlivé poztky jsou podrobě vysvětley dále plikováy řešeých příkldech N koci kždé kpitoly je sd ěkolik úloh i s jejich výsledky 7

8 Mticový počet determity MATICOVÝ POČET A DETERMINANTY RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY V této kpitole zvedeme pojem mtice reálých čísel příslušé operce, které s mticemi běžě vykoáváme Všechy tyto operce mjí své přímé opodsttěí v reálé pri Pojem mtice ám umožňuje výhodě zpst komplikové systémy lieárích rovic do tbulkové podoby Druhá část této kpitoly se zbývá zvedeím pojmu determit mtice, který je její zákldí číselou chrkteristikou Eistuje ěkolik důvodů, které ás vedou k pojmu determitu Mezi ejdůležitější můžeme zřdit tyto: lezeí iverzí mtice, chrkteristik řešitelosti systémů lieárích rovic, ěkteré plikce využívjící pojem vlstích čísel CÍLE KAPITOLY Po prostudováí této kpitoly budete umět: zákldí operce s mticemi (sčítáí, ásobeí) vypočítt trspoovou mtici, řešit mticové rovice, vypočítt determit mtice, použít Crmerovo prvidlo pro výpočet soustvy lieárích rovic ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU K prostudováí této kpitoly budete potřebovt si 9 miut KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Mtice, operce s mticemi, iverzí mtice, determit, Srussovo prvidlo, Crmerovo prvidlo 8

9 Operce s mticemi Zčěme příkldem mtice typu (,) Tkto zpíšeme typ mtice, která má řádky sloupce Kokrétím příkldem může být příkld tto mtice 7 A 6 8 DEFINICE Mticí typu (m,) zýváme možiu prvků ik uspořádých do m řádků sloupců, tj schém m m m Stručěji zpisujeme: A = (ik), i =,,,m, k =,,, Pro zápis mtic se ěkdy používjí ještě dlší typy závorek: A = ik, A = ik Prví ide i se zývá řádkový ide, druhý ide k se zývá sloupcový ide Prvky mtice mohou být reálá čísl, kompleí čísl, fukce, operátory, vektory tké mtice Hlví digoálu mtice A tvoří prvky,,, pp,kde p = mi m,, vedlejší digoálu prvky, -, -, Mtice lze podle tvru rozdělit čtvercové (m = ) obdélíkové (m ) Mtice typu (, ) se zývá čtvercová mtice stupě (řádu) Bodová mtice je mtice typu (,) Typy mtic: ulová mtice, jejíž prvky jsou uly, tj ik =, i, k, b digoálí mtice je čtvercová mtice, jejíž prvky eležící v hlví digoále jsou uly, tj ik = pro i k, c jedotková mtice E je digoálí mtice, jejíž prvky v hlví digoále jsou jedičky, tj ik = pro i = k, ik = pro i k, d trojúhelíková mtice je mtice, která má pod (resp d hlví digoálou smé uly, tj pro : horí trojúhelíkovou mtici je ik = pro i k, dolí trojúhelíkovou mtici je ik = pro i k, e symetrická mtice je čtvercová mtice, pro kterou pltí ik = ki, i, k, f tisymetrická mtice je čtvercová mtice, pro kterou pltí ik = ki, i, k, 9

10 Mticový počet determity ROVNOST MATIC Mtice A = (ik), B = (bik) téhož typu (m, ) se sobě rovjí, mjí-li stejých místech stejé prvky: A = B ik = bik, i, k ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočtěte, b, c R, jestliže pltí: Řešeí b c b 6 Z podmíek o rovosti odpovídjících si prvků v obou mticích sestvíme soustvu rovic: =, + b =, c =, + b = 6 Řešeím dosteme: =, b =, c = SČÍTÁNÍ MATIC Součtem mtic A = (ik), B = (bik) téhož typu (m, ) rozumíme mtici, jejíž prvky jsou součtem odpovídjících si prvků v mticích A B, tj A + B = (ik + bik), i, k ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočtěte A + B, je-li dáo: A, B

11 Řešeí A B 8 Vlstosti sčítáí mtic: A + B = B + A (komuttiví záko) A + (B + C ) = (A + B) + C, (socitiví záko) A + = + A = A, A + ( A ) = ( A ) + A = Všiměte si, že mtice A, B musí být stejého typu, mtice růzých typů elze sčítt! Dále je ulová mtice stejého typu jko mtice A NÁSOBENÍ MATICE REÁLNÝM ČÍSLEM Součiem čísl r mtice A typu (m,) zýváme mtici ra = (rik), i, k Výsledá mtice je téhož typu (m,), přitom kždý prvek původí mtice vyásobíme číslem r ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočtěte ra, je-li dáo r =, A Řešeí 6 A Nechť p, q R A, B jsou mtice téhož typu Pro ásobeí mtice číslem pltí: pa = Ap, ( ) A = A, p (A + B) = pa + pb, (p + q) A = p A + qa, p(qa) = (pq) A, A = A NÁSOBENÍ MATICE MATICÍ Součiem mtice A typu (m,) mtice B typu (,p) v dém pořdí je mtice C = AB typu (m,p), pro jejíž prvky cik pltí: c b b b b ik j ij jk i k i k i k

12 Mticový počet determity Uvědomte si, že podmíkou eistece defiového součiu AB je rovost počtu sloupců mtice A počtu řádků mtice B ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočtěte AB, je-li dáo: A, B, Řešeí b A, B, c A, B 6 AB b AB = = Násobili jsme mtice typu (,)(,) výsledkem je mtice typu (,) c Nelze ásobit mtice typu (,)(,), protože počet řádků prví mtice eí rove počtu sloupců mtice druhé Souči BA je defiová, eboť ásobíme mtice typu (,)(,) výsledá mtice bude typu (,) Vlstosti součiu mtic: EA = AE = A, A (BC) = (AB)C, A = A =, p (AB) = (pa) B =A (pb), A (B + C) = AB + AC,

13 (A + B) C = AC + BC Komuttiví záko obecě pro souči mtic epltí! Pokud dvě mtice teto záko splňují, tj pltí pro ě rovost AB = BA, pk se zývjí záměé Npříkld kždá digoálí mtice řádu je záměá s kždou digoálí mticí téhož řádu Trspoová mtice Trspoová mtice z mtice A typu (m,) je mtice A T typu (,m), která vzike z mtice A vzájemou výměou řádků sloupců ve stejém pořdí (tj překlopeím prvků mtice kolem hlví digoály) Ozčujeme ji A T Pro operce s trspoovou mticí pltí: (A + B) T = A T + B T, (pa) T = pa T, (AB) T = B T A T ŘEŠENÁ ÚLOHA Trspoujte mtici Řešeí A A T ŘEŠENÁ ÚLOHA 6 Vypočtěte mtici C = A T + B T, je-li dáo: A, B

14 Mticový počet determity Řešeí Nejprve vypočítáme mtice trspoové pk dosdíme do poždové rovosti A T,, T B C Hodost mtice N řádky sloupce mtice se můžete dívt jko řádkové sloupcové vektory Lieárí závislost ezávislost řádků (sloupců) mtice se pk defiuje logicky jko u vektorů DEFINICE Hodost h(a) mtice A je mimálí počet lieárě ezávislých řádků mtice A Hodost ulové mtice je ul Hodost mtice je tké možé defiovt jko mimálí počet lieárě ezávislých sloupců mtice Obě defiice jsou ekvivletí Hodost mtice se ezměí, jestliže v mtici provedeme tzv řádkové elemetárí úprvy: vyměíme dv řádky mtice, ásobíme řádek mtice eulovým číslem, přičteme-li k jedomu řádku mtice lieárí kombici osttích řádků, vyecháme -li v mtici řádek, který je lieárí kombicí osttích řádků Aiž by se změil hodost mtice lze stejé úprvy provádět i se sloupci mtice, eboť pltí: h(a) = h(a T ) Určováí hodosti mtice Pomocí řádkových elemetárích úprv převedeme mtici A horí (resp dolí) trojúhelíkovou mtici B, která má všechy prvky hlví digoále eulové Hodost h(a) mtice A je pk rov počtu řádků trojúhelíkové mtice B

15 ŘEŠENÁ ÚLOHA 7 Určete hodost mtice A Řešeí Hodost mtice zjišťujeme zprvidl tk, že dou mtici převedeme řádkovými úprvmi uvedeými výše mtici, která má v digoále vesměs eulové prvky pod digoálou smé uly Hodost mtice je pk rov počtu řádků Postupujeme tedy tkto: vzájemou výměou prvího posledího sloupce potom prvího druhého řádku dosteme ejprve mtici potom mtici V dlší úprvě se sžíme pod prvkem dostt smé uly Toho dosáheme, když ke třetímu řádku přičteme prví: Pro szší výpočet bude jedodušší, když budeme mít Vyměíme druhý třetí sloupec: Při dlších úprvách se opět sžíme, by prvky pod byly rovy ule, proto ke třetímu řádku přičteme druhý řádek vyásobeý číslem ke čtvrtému řádku druhý řádek vyásobeý číslem Dosteme: 9 6 7

16 Mticový počet determity Prvek Sžíme se, by prvek pod prvkem byl rove ule Toho dosáheme tk, že ke čtvrtému řádku přičteme třetí řádek ásobeý číslem : 7 Uprvili jsme původí mtici mtici horí trojúhelíkovou Hodost mtice trojúhelíkové i hodost původí mtice je h = (počet eulových řádků) DEFINICE Čtvercová mtice A typu se zývá regulárí, jestliže její hodost je rov počtu řádků (sloupců), tj h(a) = Čtvercová mtice, která eí regulárí se zývá sigulárí O regulárosti či sigulárosti hovoříme pouze u čtvercových mtic ŘEŠENÁ ÚLOHA 8 Zjistěte, zd vektory u =,,, v =,,, w =, 9, jsou lieárě závislé Řešeí Dé vektory píšeme jko řádky mtice vypočítáme její hodost Bude-li rov počtu dých vektorů, jsou vektory lieárě ezávislé, bude-li tomu opk jsou vektory lieárě závislé 9 h = vektory u, v, w jsou lieárě závislé Iverzí mtice V této kpitole zčeme jedoduchým příkldem, kterém budeme defiovt pojem iverzí mtice Njděte mtici, která bude vyhovovt ásledující rovosti: 6

17 7 d c b Násobíme mtice levé strě rovosti dostáváme: d b c d b c Dále řešíme soustvu rovic: d b c d b c Řešeím je soustvy je =, b =,, c,, d Hledá mtice je tvru,, Tuto mtici pk zveme iverzí mticí k mtici DEFINICE Iverzí mticí k regulárí mtici A řádu zveme mtici A -, pro kterou pltí: AA - = A - A = E, kde E je jedotková mtice řádu Ke kždé regulárí mtici eistuje právě jed mtice iverzí Vlstosti iverzích mtic: E - = E, (A - ) - = A, (AB) - = B - A - Výpočet iverzí mtice se provádí pomocí elemetárích řádkových trsformcí ŘEŠENÁ ÚLOHA 9 Určete k dé mtici A iverzí mtici A -, je-li:

18 Mticový počet determity 8, A b A Řešeí Kždou mtici A řádu lze je řádkovými (resp je sloupcovými) úprvmi převést jedotkovou mtici E Jestliže se stejých úprv použije řádky (resp sloupce) jedotkové mtice E téhož řádu, pk z této jedotkové mtice obdržíme iverzí mtici A - Výchozí mtice je tvru (A, E) V ásledujícím schémtu uprvujeme mtici A tk, bychom pozicích prvků, dostli ulové prvky v hlví digoále jedičky, E A Následující čtyři úprvy vedou k výpočtu mtice A - : k ásobku řádku přičteme ásobek řádku, k 7 ásobku řádku přičteme řádek, řádek dělíme číslem, ob řádky dělíme číslem 7, , A E E A Iverzí mtice: 7 A b Opět se budeme sžit získt ulové prvky pozicích,,,,, Přesě v tomto pořdí Postupujeme ásledově: k ()ásobku řádku přičteme řádek, k ()ásobku ádku přičteme ásobek řádku, k řádku přičteme ásobek řádku, k 6 ásobku řádku přičteme řádek, k ()ásobku řádku přičteme řádek, k ()ásobku řádku přičteme řádek, řádek dělíme číslem (), řádek číslem (6), řádek číslem 6 ), ( E A 7

19 E, A Po zkráceí zlomků vytkutí dosteme A Výsledek ověříme vypočteím součiu AA - = E 7 Mticové rovice Mticová rovice je rovice, kde ezámá je mtice Při řešeí mticových rovic používáme mticové operce součtu součiu esmíme zpomeout, že pro souči mtic obecě epltí komuttiví záko To mimo jié zmeá, že při úprvách rovic (pokud ásobíme rovici libovolou mticí), je uté obě stry rovice ásobit dou mticí součsě buď zlev ebo zprv Připomíáme dv důležité vzthy, které budeme při řešeí mticových rovic používt: pro regulárí mtici D pltí: DD - = D - D = E, pro mtici X pltí: XE = EX = X ŘEŠENÁ ÚLOHA Řešte mticové rovice: ) AX = B; kde A = ( ), B = ( ) b) XA = B; kde A = ( ), B = ( ) Řešeí ) Z mticové rovice vyjádříme mtici X tk, že rovici ásobíme mticí A zlev: AX = B / A 9

20 Mticový počet determity A = ( ) A A X = A B X = A B X = ( ) ( ) = ( ) b) Z mticové rovice vyjádříme mtici X tk, že rovici ásobíme mticí A zprv: XA = B / A X A A = B A X = B A A = ( ) X = ( ) ( ) = ( ) ŘEŠENÁ ÚLOHA Řešte mticové rovice: T T AX B X D CX, kde A, B, C, D, T T b XA C XB, kde A, B, C, Řešeí Nejprve vyjádříme z mticové rovice ezámou mtici X: Ozčme mtici T T AX B X D CX, T T AX B X CX D, T T A B C X D T A B C F dostáváme:

21 , ) mticí zlev rovici mticovou (ásobíme, T T T D F X D F FX F F D FX Vypočteme mtici F F Vypočteme mtici F Dosdíme do rovosti T D F X dostáváme: X X b Řešíme stejým způsobem uvedeým výše:,, C B A X C XB XA XB C XA T T T T T T Ozčme mtici F B A T T dostáváme:, ) mticí zprv rovici mticovu (ásobíme, CF X CF XFF F C XF Vypočteme mtici 7 F F Vypočteme mtici 7 F Dosdíme do rovosti CF X dostáváme: X X 6 7

22 Mticový počet determity 6 Determit mtice Kždé čtvercové mtici je přiřzeo číslo, které zýváme determitem mtice Pokud mtice eí čtvercová, tk determit defiová eí Pro determit užíváme tto ozčeí: det A = det A ij ij DEFINICE Čtvercovou mtici A zýváme regulárí det A Čtvercovou mtici B zýváme sigulárí det B = DEFINICE 6 Výpočet determitu druhého řádu: det A = Determit se rová rozdílu součiu prvků hlví digoály součiu prvků vedlejší digoály ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočtěte determit Řešeí

23 DEFINICE 7 Výpočet determitu třetího řádu (Srussovo prvidlo): deta= ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočtěte Řešeí Řešíme Srussovým prvidlem připíšeme prví dv sloupce: 6 6 VLASTNOSTI DETERMINANTU Determit mtice A se rová determitu trspoové mtice A T 7 6 Pltí: Jestliže v mtici vzájemě změíme dv řádky (resp dv sloupce), změí determit mtice zméko Pltí:

24 Mticový počet determity Společého eulového čiitele k všech prvků jedoho řádku (resp jedoho sloupce) mtice lze vytkout před determit Pltí: Obráceě: Determit mtice se rová ule, jestliže: všechy prvky spoň jedoho řádku(respjedoho sloupce) jsou rovy ule, 7 b jede řádek (resp sloupec mtice je lieárí kombicí řádků (resp sloupců) s ím rovoběžých 8 6 Pltí: Třetí řádek je součtem dvojásobku prvího řádku trojásobku druhého řádku 7 Jestliže k ěkterému řádku (resp sloupci) mtice přičteme lieárí kombici zbývjících řádků (resp sloupců), potom determit ové mtice je stejý, jko determit původí mtice 6 Jsou-li A, B čtvercové mtice stejého řádu, pltí: det (AB) = deta det B Pltí: DEFINICE 8 Doplěk prvku ij Ve čtvercové mtici A vypustíme i-tý řádek j-tý sloupec Obdržíme tk mtici typu, Její determit ozčíme i j v mtici A Číslo A ij zveme subdetermitem prvku ij Aij Aij zýváme doplňkem prvku ij v mtici A Zpmtujte si, že doplěk (dého prvku) je subdetermitem (tohoto prvku) optřeý vhodým zmékem

25 Ve schémtu je zče symbolem +, resp symbolem poloh prvků, jejichž subdetermit doplěk se sobě rovjí, resp liší se zmékem ŘEŠENÁ ÚLOHA Určete v mtici 6 7 doplěk prvku prvku Řešeí Nejprve vypočteme příslušé subdetermity, které pk dosdíme do vzthu i j A A ij ij A A, 6 A A 7 DEFINICE 9 Výpočet determitu řádu (rozvoj determitu podle prvků určitého řádku resp sloupce): Zp Vzth pro rozvoj determitu podle prvků i-tého řádku : det A = A A A i i i i i i Vzth pro rozvoj determitu podle j-tého sloupce: det A = A A A j j j j j j Pomocí uvedeých vzthů počítáme především determity řádu >, protože pro výpočet determitů řádu = používáme Srrusovo prvidlo V ásledujícím příkldě vypočteme determit rozvojem

26 Mticový počet determity 6 ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočítejte determit rozvojem podle třetího řádku Řešeí 6 6 ŘEŠENÁ ÚLOHA 6 Vypočtěte determit e e Řešeí e e e e e ŘEŠENÁ ÚLOHA 7 Vypočtěte determit Řešeí Řešíme Srrusovým prvidlem: 9

27 7 ŘEŠENÁ ÚLOHA 8 Určete prmetr k R tk, by: mtice A byl regulárí, b mtice B byl sigulárí k A 7 k k B Řešeí Mtice A je regulárí det A Řešíme proto ásledující rovici, kde determit vypočteme Srrusovým prvidlem 6 k k k Mtice A je regulárí pro,, k b Mtice B je sigulárí det B = Řešíme rovici: Mtice B je sigulárí pro, k ŘEŠENÁ ÚLOHA 9 Řešte erovici: Řešeí Srrusovým prvidle vypočteme dý determit: + _ + Řešeí erovice je, 7 k k k k k k -

28 Mticový počet determity 6 CRAMEROVO PRAVIDLO Pomocí Crmerov prvidl můžeme řešit soustvu lieárích rovic, je-li mtice soustvy regulárí Pro umerické výpočty eí Crmerovo prvidlo výhodé, protože výpočet determitů je prcý Výhodou Crmerov prvidl je eplicití vyjádřeí řešeí, což v moh úvhách v mtemtice i v plikcích je důležité Nechť je dá soustv rovic o ezámých b, b Nechť mtice A této soustvy je regulárí (tj det A ) Potom soustv má právě jedo řešeí pltí: i det Bi pro všech i,,,, det A kde Bi je mtice, která vzike z mtice A tk, že i-tý sloupec mtice A hrdíme ritmetickým vektorem prvých str soustvy osttí sloupce poecháme beze změy Teto postup ilustrují ásledující příkldy ŘEŠENÁ ÚLOHA Pomocí Crmerov prvidl řešte soustvu rovic y y Řešeí Nejprve vypočteme příslušé determity pk jejich hodoty dosdíme do příslušých vzthů det A, det B 9, det B y 6 N zákldě Crmerov prvidl dostáváme: det det B A det By, y det A 8

29 ŘEŠENÁ ÚLOHA Pomocí Crmerov prvidl řešte soustvu: Řešeí y z 7 y z 7 y z Vypočteme příslušé determity: deta= 6, det B 7 7 8, det B 7, det B 7 6 y 7 7 Dá soustv má právě jedo řešeí: z det B 8 det B y, y, det A 6 det A 6 det B det A z z 6 6 SHRNUTÍ KAPITOLY Tto kpitol byl věová zákldům lieárí lgebry Kokrétě mticovému počtu determitu mtice V této kpitole jste se učili zákldí operce s mticemi jko je sčítáí mtic, ásobeí mtice reálým číslem, ásobeí mtice mticí Byl zde tké zvede pojem trspoová iverzí mtice Pomocí iverzí mtice se počítjí mticové rovice dá se tím tké defiovt regulrit mtice V této kpitol byl regulrit mtice defiová pomocí determitu mtice V závěru kpitoly bylo předstveo Crmerovo prvidlo, pomocí kterého se djí řešit určité typy soustv lieárích rovic OTÁZKY Řešte příkldy k mticovému počtu 9

30 Mticový počet determity ) Jsou dáy mtice: A, B, C Určete mtice: A, b A + B, c A C, d C A, ) Jsou dáy mtice: A, B, C 7 6 Určete mtice: A B b A C c A + B + C ) Njděte mtici D třetího řádu tk, by pltilo A + B + C + D = Mtice A, B, C jsou mtice z příkldu ) Vypočtěte součiy AB BA, kde A B jsou ásledující mtice: A, B 6, b A, B, A, B

31 ) Vypočtěte ásledující součiy mtic:, b, c, d 6) Jsou dáy mtice A, B, C : A, B, C Určete mtice D, F, G, jestliže pltí: C B A D,, B A F T B A G T 7) Zjistěte, pro která, y R pltí: y y y y b 8 y y y y 8) Určete, y R tk, by mtice B byl trspoovou mticí k mtici A :, y y A B 7, b, y y A 9 B

32 Mticový počet determity 9) Určete hodost mtic: A,, B C ) Určete iverzí mtici A - k mtici A:, 7 A b, A c, A d, A e A ) Z ásledující mticové rovice vyjádřete ezámou mtici X (A, B, C jsou dé mtice vhodého typu, tj tkové, by ásledující operce byly defiováy) uveďte, pro které mtice A, B, C se dá mtice X z této rovice osmosttit:, BA X C AX b, BA XA C c, C BXA BX d B XC X XA ) Řešte mticové rovice:, X b, X Vypočtěte úlohy k procvičeí výpočtu determitů ) Vypočtěte determity druhého řádu 8, b, c, d ) Vypočtěte Srussovým prvidlem determity třetího řádu, b 6, c, d 8

33 ) Vypočtěte determity rozvojem podle vhodého řádku ebo sloupce 8, b, c, d 7 8 8, e, f ) Řešte ásledující rovice erovice, b, c, d, e, f ) Uprvte vypočtěte determity, b 6 6

34 Mticový počet determity 6) Pro která R je determit D rove ule? D 7) Pro která R je determit D záporý? 7 D 8) Určete prmetry v dých mticích tk, by mtice A, C byly sigulárí mtice B, D byly regulárí Mtice jsou:,, 6 6, 6 d d d D c C b b b B A 9) Crmerovým prvidlem řešte soustvy lieárích rovic: z y b z y c z y, z y z y, z y z y 8 z y z y ODPOVĚDI Řešeí příkldů (mtice) ) b 6 c d 9 7 ) b 7 6 c ) 9 7 7

35 ) AB 8 6 8, BA b AB 8 7 8, 7 BA c AB edefiováo, BA ) b c 9 7 d 6) D, F, 8 G 7) =, y = b =, y = 8) =, y b =, y 9) h(a) =, h(b) =, h(c) = ) 7 A b A c A d A e A - eeistuje ( A je sigulárí ) ) C BA E A X, je-li mtice E A regulárí b, A C BA X je-li mtice A regulárí c, A E C B X jsou-li mtice B, A E regulárí d, C E A B X je-li mtice C E A regulárí ) 8 6 X b X

36 Mticový počet determity Řešeí příkldů (determity) ) 8 b 7 c d ) b c 6 d ) b c d e f 6 ), b,, e f c, d, ) b 6),, 7), 7 c, d R,,8,,,,, 8),, b R,, 9) b c 6

37 POSLOUPNOST A LIMITA POSLOUPNOSTI RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY V této kpitole se budeme zbývt posloupostmi Jedá se o speciálí přípd fukcí, jejichž defiičím oborem je moži přirozeých čísel Jsou zde uvedey vlstosti posloupostí, jko je mootoie omezeost Dále se tto kpitol věuje pojmu limit poslouposti hlvě výpočtu limity poslouposti V ekoomických plikcích se vyskytují zejmé dvě poslouposti, to posloupost ritmetická geometrická Tyto poslouposti jsou zámy již ze středí školy CÍLE KAPITOLY Po prostudováí této kpitoly budete umět: defiovt pojmy posloupost limit poslouposti, vypst prvky poslouposti, sestrojit grf poslouposti, vypočítt limitu poslouposti ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU K prostudováí této kpitoly budete potřebovt 9 miut KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Posloupost, limit poslouposti, mootóost poslouposti, omezeost poslouposti, grf poslouposti 7

38 Posloupost limit poslouposti Posloupost DEFINICE Nekoečou číselou posloupostí prvků číselé možiy je fukce, která kždému přirozeému číslu přiřzuje reálé číslo Jelikož je to fukce, má fukčí předpis, defiičí obor (je to moži přirozeých čísel N), obor fukčích hodot (je to moži reálých čísel), grf (je to moži izolových bodů v roviě) V mtemtice se setkáváme tké s posloupostmi, jejichž prvky ejsou čísl, př s posloupostmi bodů, úseček, fukcí podobě V této kpitole se budeme zbývt pouze číselými posloupostmi, proto přívlstek číselá u poslouposti vyecháme Posloupost můžeme zpst příkld tk, že postupě z sebou píšeme prvky,,, které tto fukce přiřzuje číslům,,, ebo použitím zápisu, Nebude-li hrozit edorozuměí, budeme používt jedoduššího zápisu ŘEŠENÁ ÚLOHA Npište prví čtyři čley čle poslouposti Řešeí,,,, Zdáí poslouposti: vzorcem vyjdřujícím -tý čle poslouposti 8

39 Npříkld: Vzorcem N je dá posloupost, jejíž -tý čle je pro kždé,,, td b rekuretě zdáím prvích čleů poslouposti rekuretího vzorce, který vyjdřuje (+k)-tý čle poslouposti pomocí předchozích k čleů To zmeá, že při rekuretím zdáí kromě vzorce musí být uvedeo i prvích k čleů poslouposti Vzorcem,, je dá posloupost,,,,, 9, 6 td c grficky, grfem poslouposti je moži izolových bodů A (, ) DEFINICE Aritmetická posloupost přiřzuje číslu hodotu lieárí fukcí Rozdíl mezi dvěm po sobě jdoucími čley je kosttí, zývá se diferece ritmetické poslouposti zčíme ho d Pltí: ( ) d Součet prvích čleů je dá vzorcem: s Je to součet koečé ritmetické poslouposti Součet ekoečé ritmetické poslouposti je vždy rove, resp zméku diferece d Pro d v závislosti zméku, v závislosti ŘEŠENÁ ÚLOHA Sečtěte všech přirozeá čísl od do Řešeí Čísl,,,, tvoří koečou ritmetickou posloupost s difereci d, prvím čleem, počet čleů této poslouposti je Součet prvích čleů je s 9

40 Posloupost limit poslouposti DEFINICE Geometrická posloupost přiřzuje číslu hodotu epoeciálí fukcí U geometrické poslouposti je kosttí poměr mezi libovolým čleem ( ) předcházejícím čleem Tuto kosttu zčíme q, číslo q se zývá kvociet geometrické poslouposti Pltí: q Jestliže kvociet q, potom pro součet s prvích čleů poslouposti pltí: s q Jedá se o součet koečé geometrické poslouposti q Jestliže q, lze sečíst i ekoečou geometrickou posloupost Pro součet s v tomto přípdě pltí: s q Limit poslouposti DEFINICE VLASTNÍ LIMITA NEKONEČNÉ POSLOUPNOSTI Nekoečá posloupost má vlstí limitu A, když k libovolému reálému číslu eistuje tkové přirozeé číslo, že pro kždé přirozeé je splě erovost A Píšeme lim A, užíváme při tom zkrtky ltiského slov limes Posloupost, která má tu vlstost, že se její čley, počíje ěkterým, libovolě málo liší od čísl A, má v tomto čísle svou mezí hodotu Když je limit ekoečé poslouposti vlstí, pk říkáme, že posloupost je kovergetí ŘEŠENÁ ÚLOHA N zákldě defiice vlstí limity poslouposti dokžte, že pltí lim Řešeí K libovolému musíme určit číslo tk, by pro kždé pltil erovost

41 Provedeme ásledující úprvy: Číslo určíme jko ejmeší přirozeé číslo, pro které pltí eboli Pro, je hledé číslo 8, pro, je 9999, td DEFINICE NEVLASTNÍ LIMITA NEKONEČNÉ POSLOUPNOSTI Nekoečá posloupost má limitu ( plus ekoečo, ozčuje se tké ), když k libovolému reálému číslu M > eistuje tkové přirozeé číslo, že pro kždé přirozeé je splě erovost M Píšeme lim Nekoečá posloupost má limitu (míus ekoečo), když k libovolému reálému číslu M > eistuje tkové přirozeé číslo, že pro kždé přirozeé číslo je splěá erovost M Píšeme lim Pokud je limit ekoečé poslouposti evlstí ebo limit eeistuje, pk říkáme, že posloupost je divergetí ŘEŠENÁ ÚLOHA N zákldě defiice evlstí limity poslouposti dokžte, že pltí Řešeí lim K libovolému reálému číslu M musíme určit pltí erovost M N tk, že pro kždé přirozeé Z této erovosti určíme číslo

42 Posloupost limit poslouposti Dostáváme M ; stovíme jko ejmeší přirozeé číslo, pro které pltí M Npř Pro M hledé číslo je DEFINICE 6 Posloupost se zývá ohričeá (též omezeá), je-li ohričeá shor i zdol Shor je ohričeá tehdy, když eistuje číslo k tkové, že pro kždé pltí k Zdol je ohričeá tehdy, když eistuje číslo m tkové, že pro kždé přirozeé pltí m DEFINICE 7 Říkáme, že posloupost je eklesjící, resp rostoucí, jestliže m pro všech m, N, m, resp m pro všech m, N, m Říkáme, že posloupost je erostoucí, resp klesjící, jestliže m pro všech m, N, m, resp m pro všech m, N, m Jestliže je posloupost buďto eklesjící, rostoucí, erostoucí ebo klesjící, říkáme, že je mootóí Pro mootóí poslouposti pltí: Mootóí posloupost má vždy limitu (vlstí ebo evlstí) Limit eklesjící ebo rostoucí poslouposti je rov supremu této poslouposti, lim sup ; N tedy Limit erostoucí ebo klesjící poslouposti je rov ifimu této poslouposti, lim if ; N tedy Výpočet limit posloupostí K výpočtu limit posloupostí využijeme zlosti limit jedoduchých zákldích posloupostí, zákldích vět o limitách zlosti opercí s prvky v R*, zejmé s

43 Následující soubor prvidel předstvuje mtemtické věty, které lze odvodit přímo z defiice limity Pečlivě si je projděte dobře si je zpmtujte! Budou se vám později hodit k výpočtům příkldů limit Prvidl pro výpočet vlstích limit Pro vlstí limity lim, lim b b, q, N, k R pltí: lim ( b ) lim lim b b, lim ( b ) lim lim b b, lim lim, b, b lim b b lim l l lim, l N lim lim, 6 lim k k lim, lim, lim q, lim 7 lim q q, 8 je-li, c, c, pk lim log log lim, c c k eistuje-li lim pk lim lim, lim e, ( e, 78 je Eulerovo číslo, zákld přirozeých logritmů), k k je-li lim, resp -, potom lim e Prvidl pro výpočet evlstích limit Dále se budeme zbývt limitou součtu (součiu podílu) dvou posloupostí, přičemž lespoň jed ebo obě mjí evlstí limitu Uvžujme poslouposti Jestliže lim, k b číslo R Pltí tto tvrzeí:, lim b, resp lim b, potom lim b Symbolicky lze toto tvrzeí zpst tkto: Jestliže lim Symbolicky:, lim b, resp lim b, potom lim b

44 Posloupost limit poslouposti Jestliže lim,, lim b pokud, potom lim b, potom lim b, Symbolicky: pro, pro Jestliže lim, lim b Symbolicky:, potom lim b Jestliže lim, lim b Symbolicky:, potom b lim 6 Jestliže lim, lim b, potom lim Symbolicky: ( ) b 7 Jestliže lim, lim b Symbolicky:, potom b lim 8 Jestliže lim, lim b, potom lim Symbolicky: ( ) ( ) b Neurčité výrzy Celkem rozezáváme eurčité výrzy typů,,, ( ),, ( ), Jestliže při výpočtu limit po doszeí limití meze zjistíme, že limit je eurčitý výrz musíme teto výrz vhodým mtemtickým obrtem (děleím ebo rozšířeím) převést určitý výrz, tj výrz, jehož limitu záme V ásledujících dvou příkldech vysvětlíme výpočet limit posloupostí, ve kterých podílem mohočleů (rcioálím lomeým výrzem) je ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočtěte lim lim 7 6 Řešeí Limit je eurčitý výrz Neboť lim ( ) lim( 7 6 ) Výrz pro -tý čle poslouposti uprvíme tk, že čittele i jmeovtele dělíme ejvětší mociou

45 lim 7 6 lim lim lim 7 lim lim lim 6 lim 6 7 Uvědomte si, že lim, lim, lim, lim Uvedeým způsobem můžeme postupovt vždy v přípdě výpočtu limity poslouposti, jejíž -tý čle má tvr rcioálího lomeého výrzu obshujícího proměou, tj v čitteli i ve jmeovteli se cházejí mohočley Následující vět ám dává ávod velmi rychlé elegtí řešeí K ZAPAMATOVÁNÍ Jestliže Pm ( ), kde m je stupeň mohočleu v čitteli, r je stupeň mohočleu ve Q ( ) r jmeovteli, potom: pro mr pro m r Pm ( ) lim podíl koeficietů Qr ( ) při ejvyšších pro m r mociách ŘEŠENÁ ÚLOHA 6 Vypočtěte lim lim, b lim lim, 6 8 c lim lim 7 Řešeí P ( ) lim lim, protože stupeň mohočleu v čitteli je meší ež stu- Q ( ) peň mohočleu ve jmeovteli, to zmeá st P ( ) st Q ( )

46 Posloupost limit poslouposti P ( ) b lim lim, protože stupeň mohočleu v čitteli je větší ež stu- Q ( ) peň mohočleu ve jmeovteli, to zmeá st P ( ) st Q ( ) P ( ) c lim lim, st P ( ) st Q ( ), koeficiet u Q ( ) jmeovteli je v čitteli je, ve Limity lgebrických výrzů závisejí čleu, který ejrychleji roste pro rostoucí operci s tímto čleem prováděé Pmtujte si, že ze zámých fukcí ejpomleji roste fukce logritmus log (rgumet je ), potom ásleduje moci,( ), rychleji roste epoeciálí fukce,( ), ještě rychlejší je fktoriál! ejrychlejší je Seřzey vzestupě podle rychlosti růstu (od ejmešího k ejvětšímu) mohou být tkto: log,,,,,,,,,,,,,, -!,!,!,, V ásledujících příkldech vysvětlíme výpočet limit posloupostí, ve kterých je ircioálím výrzem zároveň se jed o limití typ rozšíříme Použijeme idetity zámé z lgebry: místo výrzu b píšeme výrz b b Výrz určující vhodě b b b ( )( ) To zmeá ŘEŠENÁ ÚLOHA 7 Vypočtěte lim lim 7 Řešeí Jedá se o limití typ eboť lim 7 lim ( ) Limití výrz vhodě rozšíříme lim lim 7 lim lim lim 7 7 6

47 7 ŘEŠENÁ ÚLOHA 8 Vypočtěte lim lim Řešeí Pozmeejme, že 9 Limití výrz ejdříve uprvíme tk, by obshovl stejé epoety: lim lim Čittele i jmeovtele dělíme epoeciálím výrzem s ejvětším zákldem V šem přípdě je to 9 dostáváme lim lim Místo děleí epoeciálím výrzem s ejvětším zákldem můžeme smozřejmě teto výrz vytkout z čittele i jmeovtele zkrátit ŘEŠENÁ ÚLOHA 9 Vypočtěte lim Řešeí,,7 lim,, lim lim

48 Posloupost limit poslouposti SHRNUTÍ KAPITOLY V této kpitole jste se sezámili s posloupostmi Jedá se o speciálí přípd fukcí, jejichž defiičím oborem je moži přirozeých čísel Byly zde uvedey vlstosti posloupostí, jko je mootoie omezeost Dále se tto kpitol věovl pojmu limit poslouposti hlvě výpočtu limity poslouposti Důrz je klde výpočet limity rcioálě lomeé fukce OTÁZKY ) Vypočtěte limity posloupostí: ) lim 6 b) c) ( ) lim ( )( ) d) e) lim f) 7 g) lim h) i) lim j) k) l) m) lim ) o) lim p) q) lim 9 7 r) s) lim t) ( )( ) lim 8 lim lim ( )( ) lim lim 7 lim lim lim lim 8 lim 7 lim 9 6 8

49 ODPOVĚDI ) ),8 b) c) d) e) f) g) h) i) j) 7 k) l), m) ) o) 8 p) q) r) s) t) 9

50 Fukce jedé reálé proměé její limit FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ A JEJÍ LIMITA RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Fukce je zákldím objektem, který je zkoumá difereciálím počtem Obecě pod pojmem fukce chápeme jistý způsob přiřzeí mezi dvěm možimi reálých čísel, které musí splňovt jisté předpokldy S tkovým přiřzeím se setkáváme kždém kroku Z ekoomické pre můžeme uvést př závislost možství vyrobeého zboží počtu změstců, vstupích ivesticích či poptávce po tomto zboží Druhá část kpitoly se pk věuje limitě fukce jejímu výpočtu CÍLE KAPITOLY Po prostudováí této kpitoly budete umět: defiovt pojem fukce jedé reálé proměé, uvést vlstosti fukce, črtout grfy elemetárích fukcí, vypočítt defiičí obor fukce, vypočítt limitu fukce ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU K prostudováí této kpitoly budete potřebovt si miut KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Fukce, defiičí obor fukce, obor hodot fukce, mootóost fukce, omezeost fukce, sudá lichá fukce, grf fukce, limit fukce

51 Fukce jedé reálé proměé DEFINICE D f H f jsou dvě podmožiy reálých čísel, tj D f R, H f R D f, y H f Předpis y f se zývá fukcí, jestliže ke kždému D f eistuje právě jedo y H f Nechť echť Proměá se obvykle zývá ezávisle proměá ebo rgumet, kdežto proměá y se zývá závisle proměá Moži D f se zývá defiičí obor fukce f, moži f H se zývá obor hodot (obor fukčích hodot) fukce f Kromě uvedeého ozčeí fukce se čsto používá tké ozčeí: f : D f H f, f : y f, f : y Fukce y = f () je defiová (urče), když je dá její defiičí obor D ( f ) prvidlo, dle kterého je ke kždému číslu D( f ) přiřze právě jed fukčí hodot f () Toto prvidlo může být vyjádřeo ásledujícími způsoby: ) lyticky, tj lytickým výrzem (vzorcem), resp rovicí ebo ěkolik rovicemi pltými v defiičím oboru, které prvkům D( f ) přiřzují fukčí hodotu y H( f ) Je-li závisle proměá y vyjádře pomocí ezávislé proměé, říkáme, že fukce je dá eplicitě, příkld y Jik mluvíme o implicitím zdáí fukce, což obecě můžeme zpst ve tvru F (, y), příkld ( y ) Fukci dou eplicitě můžeme vždy převést implicití tvr Nechť příkld je fukce f zdá eplicitě rovicí y,cos si Uvedeou fukci můžeme vyjádřit implicitě tkto : y cos si Převod implicitího zápisu fukce eplicití eí vždy možý Npříkld fukci f zdou implicitě rovicí y y l e eí sdé vyjádřit eplicitě Pozmeejme, že e kždou rovicí F (, y) je urče fukce Npříkld rovicí y eí ve smyslu defiice urče fukce, eboť hodotám (,) dle uvedeé rovice odpovídjí dvě růzé hodoty y y : y, y

52 Fukce jedé reálé proměé její limit b) tbulkou, která určuje hodoty závislé proměé pro jedotlivé hodoty rgumetu Teto druh určeí fukce můžeme použít jeom tehdy, je-li defiičím oborem dé fukce koečá moži Tbulk může mít př tvr: 8 9 y 8 c) grfem, což je moži všech bodů v roviě, jejichž souřdice jsou, f ( ) Grfem fukce f rozumíme možiu všech bodů uvedeé vlstosti kresleá křivk je obrzem tohoto grfu VLASTNOSTI FUNKCÍ DEFINICE Fukce y f se zývá oboru M R ohričeá shor, eistuje-li tková kostt h, zvá horí závor fukce f oboru M, že pro všech f h Fukce M pltí: y f se zývá oboru M R ohričeá zdol, eistuje-li tková kostt d, kosttí pro všech M, zvá dolí závor fukce f oboru M, že pro všech M pltí: f d Fukce y f je oboru M R ohričeá, právě když je součstě ohričeá zdol i shor Právě tehdy eistuje tková kostt K, že pro všech M pltí f K ŘEŠENÁ ÚLOHA Rozhoděte, zd je kvdrtická fukce f ( ) ohričeá v celém svém D( f ) R Řešeí Protože, je f ( ) pro všech R Fukce f () je zdol ohričeá Grfem uvžové fukce f ( ) je prbol, která má větve směrem horu, proto fukce eí shor ohričeá N zákldě uvedeého můžeme již kosttovt, že f () eí ohričeá možiě R

53 DEFINICE Fukce f () je sudá, jestliže pro všech D( f ) pltí: f ( ) f ( ) Grf sudé fukce je osově souměrý podle osy y Fukce je lichá, jestliže pro všech D( f ) pltí: f ( ) f ( ) Grf liché fukce je středově souměrý podle počátku souřdicového systému ŘEŠENÁ ÚLOHA Sudé jsou příkld fukce: f ( ), eboť, k k k f ( ), eboť ( ), k N, f ( ) cos, eboť cos( ) cos Liché jsou příkld fukce: f ( ), kde, eboť, k k k f ( ), eboť ( ), k N, f ( ) si, eboť si( ) si DEFINICE Fukce f () se zývá periodická fukce, právě když eistuje tkové reálé číslo p, že pro kždé D( f ) je též p D( f ) pltí f ( p) f ( ) Číslo p se zývá period fukce Grf periodické fukce se posuutím podél osy o hodotu p ezměí Typickým příkldem periodických fukcí jsou goiometrické fukce DEFINICE Mootóí fukce jsou tkové fukce, které splňují pro kždou dvojici čísel (, M D( f )) ásledující podmíky: jestliže f ( ) f ( ), f ( ) f ( ), f ( ) f ( ), f ( ) f ( ), pk fukce f je v M rostoucí, klesjící, eklesjící, erostoucí Fukce klesjící rostoucí zýváme ryze mootóí

54 Fukce jedé reálé proměé její limit DEFINICE 6 Fukce f () je D ( f ) prostá (jedozčá), jestliže ke kždým dvěm hodotám, D( f ), kde, přiřzuje hodoty f ) f ( ) ( Pltí: Jestliže je fukce prostá, pk kždá přímk rovoběžá s osou prote její grf ejvýše v jedom bodě Kždá ryze mootóí fukce je prostá, všk e kždá prostá fukce je ryze mootóí Sudá fukce eí ikdy prostá Lichá fukce může, le emusí být prostá DEFINICE 7 Nechť f () je prostá fukce defiová D ( f ) Obor jejích fukčích hodot je H ( f ) Potom fukce, která přiřzuje kždému y H( f ) hodotu D( f ), pro kterou pltí y f (), se zývá iverzí fukcí k fukci f () zčíme ji f ( ) Pltí f ( y), ebo g( y) Fukce y f ( ), D( f ) f ( y), y H ( f ) se zývjí vzájemě iverzí fukce Jejich grfy jsou křivky osově souměré dle osy kvdrtu, tj dle přímky y = ŘEŠENÁ ÚLOHA Iverzí fukcí k epoeciálí fukci fukce je prostá) je fukce logritmická f ( ) e ( celém D ( f ), jelikož epoeciálí f ( ) l Obor fukčích hodot epoeciálí fukce je moži všech kldých čísel, kterou ozčujeme oborem logritmické fukce je tké vždy kldý R, proto defiičím R, tkže rgumet logritmické fukce musí být ELEMENTÁRNÍ FUNKCE Podle toho, jké operce vytvářejí fukci f () z rgumetu, rozlišujeme dvě hlví skupiy fukcí: lgebrické fukce trscedetí fukce

55 ALGEBRAICKÉ FUNKCE Algebrickou fukcí rozumíme fukci, kterou lze vytvořit z kostt z proměé koečým počtem lgebrických opercí (tjsčítáím, odčítáím, ásobeím, děleím umocňováím rcioálím epoetem) Algebrické fukce dělíme rcioálí ircioálí (př y ) Rcioálí fukce dělíme polyomické fukce, též polyomy eboli mohočley př y 8 rcioálí lomeé fukce (př y ), tj fukce, které vzikjí podílem dvou polyomů Uveďme ejprve dv příkldy polyomických fukcí: Lieárí fukce je fukce ve tvru: y b,, b R, kde D( f ) R Grfem této fukce je přímk Jedotlivé koeficiety mjí teto výzm: tg - směrice přímky, která je grfem lieárí fukce, b - úsek (vyťtý přímkou) ose y, viz Obr y y b b Obrázek : Grf lieárí fukce y b Jestliže =, potom hovoříme o fukci kosttí Kvdrtická fukce je fukce ve tvru y b c,, b, c R,, kde D( f ) R Grfem je prbol Jedotlivé koeficiety mjí teto výzm:, pk prbol je koveí fukce R,, pk prbol je kokáví fukce R Rcioálí lomeá fukce Rcioálí lomeou fukcí zýváme fukcí R(), která je podílem dvou polyomických fukcí, tj má tvr R ( ) m b b b m

56 Fukce jedé reálé proměé její limit Mocié fukce r Mocié (potečí) fukce jsou fukce ve tvru y, kde D( f) (, ), tj: >, r je libovolé reálé číslo Pro ěkteré r budeme mociou fukci defiovt i mimo itervl, Jestliže r je přirozeé číslo, pk máme tyto přípdy: Sudá mociá fukce s kldým epoetem je fukce ve tvru y, N, kde D( f ) R Grfem těchto fukcí je koveí prbol ()-tého stupě s vrcholem v počátku souřdic Kokáví prbol ()-tého stupě s vrcholem v počátku souřdic je grfem fukce y, kde N Viz Obr y y 7 y 6 y Obrázek : Grf prboly šestého sedmého stupě b Lichá mociá fukce s kldým epoetem je fukce ve tvru y, N, kde D( f ) R Grfem fukce je prbol (+)-ího stupě, která leží v kvdrtu jejímž středem souměrosti je počátek souřdicového systému V přípdě y 6 y je grfem křivk osově souměrá podle osy ke grfu fukce Tto prbol (+)-ího stupě leží ve kvdrtu Když r, N, je y Nstávjí tyto přípdy: c Sudá mociá fukce se záporým epoetem je fukce ve tvru y, N, D( f ) R kde

57 Fukce y eí defiová pro! Grfem fukce je hyperbol ()-tého stupě, která leží v Kvdrtu V přípdě fukce y je grfem hyperbol ()-tého stupě, která leží ve kvdrtu y y Obrázek : Grf hyperboly čtvrtého stupě d Lichá mociá fukce se záporým epoetem je fukce ve tvru y, N, kde D( f ) R Fukce y opět eí defiová pro! Grfem fukce je hyperbol (+)-ího stupě, která leží v kvdrtu Zvláštím přípdem je fukce y (tj ), jejímž grfem je vám dobře zámá rovoosá hyperbol y y Obrázek : Grf hyperboly pátého stupě 7

58 Fukce jedé reálé proměé její limit TRANSCENDENTNÍ FUNKCE Připomeňme, že fukce, která eí lgebrická, se zývá trscedetí (elgebrická) Především ás budou zjímt epoeciálí, logritmické, goiometrické cyklometrické fukce Epoeciálí fukce má ( rozdíl od mocié fukce) proměou v epoetu Je to fukce ve tvru y,, kde D( f ) R, H( f ) (, ) Pro je to fukce rostoucí, tz ryze mootóí Pro je to fukce kosttí y Pro je to fukce klesjící, tz tktéž ryze mootóí Velmi důležitá je fukce y e se zákldem e,78, což je tzv Eulerovo číslo Toto číslo je ircioálí, podobě jko,9, elze jej vyjádřit jko podíl dvou celých čísel Někde se setkáte s ázvem epoeciálí fukce pouze pro fukci říká obecá moci y e Fukci y se pk y y Obrázek : Grf rostoucí epoeciálí fukce y y Obrázek 6: Grf klesjící epoeciálí fukce 8

59 Logritmická fukce je fukce ve tvru y log,,, kde D( f ) (, ), H( f ) R Logritmická fukce je iverzí k epoeciálí fukci o tomtéž zákldu Pro je to fukce rostoucí, pro je to fukce klesjící Všiměte si, že jsme v defiici vyechli zákld Je to proto, že příslušá epoeciálí fukce y je kosttí, proto k í iverzí fukce eeistuje y y log Obrázek 7: Grf rostoucí logritmické fukce y y log, Obrázek 8: Grf klesjící logritmické fukce Pozámk Při umerických výpočtech užíváme logritmické fukce se zákldem, píšeme zjedodušeě y log Teto logritmus se zývá dekdický Jk bylo již řečeo dříve, čsto užíváme logritmické fukce o zákldu e Kvůli rozlišeí ho píšeme y l teto logritmus zýváme přirozeým logritmem Z vlstostí epoeciálí fukce plyou ásledující vlstosti pro všech přípustá :, log, log, l e 9

60 Fukce jedé reálé proměé její limit Velice čsto je využívá vzth f g g l f e, je kldá fukce kde f Goiometrické fukce y si, y cos, y tg, y cotg Defiice těchto fukcí je zlože vztzích mezi strmi prvoúhlého trojúhelík v kružici o poloměru, která je zázorě Obr 9 cotg - si cos tg - Obrázek 9: Goiometrické fukce v jedotkové kružici Při měřeí úhlů v roviě používáme dvě míry, stupňovou obloukovou Oblouková mír má větší využití při teoretických výpočtech Při stupňové míře je kružice rozděle 6 stupňů, kždý stupeň má 6 miut, kždá miut má 6 vteři Pokud měříme úhel v obloukové míře, pod velikostí úhlu rozumíme délku oblouku, který odpovídá úhlu v kruhové výseči v jedotkové kružici Jedotkou obloukové míry je rdiá Budeme používt pouze obloukové míry úhlů Vzth pro přepočet stupňů rdiáy: stupe ň rd [rdiáů] 8 Zákldí vzthy mezi goiometrickými fukcemi: si cos, tg cotg, si si cos, cos cos si si, si ( cos ), 6 cos ( cos ) Cyklometrické fukce jsou fukce iverzí ke goiometrickým fukcím v itervlech, kde goiometrické fukce jsou ryze mootóí Grfy těchto fukcí jsou zázorěy Obr 6

61 Fukce y si je rostoucí v itervlech k, k klesjící v itervlech k, k, k je celé číslo Zúžíme defiičí obor fukce y si ěkterý z těchto itervlů, kokrétě vybereme itervl, N tomto itervlu je y si ryze mootóí (rostoucí) fukcí proto k í eistuje fukce iverzí, která se zývá rkussius ) Cyklometrická fukce rkussius je fukce ve tvru y rcsi, kde D( f ),, H ( f ), Fukce je ohričeá, rostoucí v celém D ( f ) Grf fukce získáme překlopeím fukce y si v uvžovém itervlu podle přímky y Hodot y = rcsi pro, je číslo y,, jehož sius je rove, tj si y Pltí: rcsi, rcsi,, rcsi 6 b) Cyklometrická fukce rkuskosius je fukce ve tvru y rccos, kde D( f ),, H( f ), Fukce je ohričeá, klesjící v celém D ( f ) Hodoty y = rccos jsou čísl z itervlu,, jejichž kosius je rove Pltí: rccos, rccos,, rccos c) Cyklometrická fukce rkustges je fukce ve tvru y rctg, kde D( f ) R, H( f ), Fukce je ohričeá, rostoucí v celém D ( f ) Grf fukce leží uvitř pásu vytvořeého rovoběžkmi y y Hodoty y = rctg jsou čísl z itervlu,, jejichž tges je rove Pltí: rctg, rctg d) Cyklometrická fukce rkuskotges je fukce ve tvru y rccotg, kde D( f ) R, H( f ) (, ) 6

62 Fukce jedé reálé proměé její limit Fukce je ohričeá, klesjící v celém D ( f ) Grf fukce leží uvitř pásu vytvořeého rovoběžkmi y, y Hodoty y = rccotg jsou čísl z itervlu,, jejichž kotges je rove Pltí: rccotg, rccotg 6 y y y y Obrázek : Cyklometrické fukce 6

63 DEFINIČNÍ OBOR FUNKCE ŘEŠENÁ ÚLOHA Určete defiičí obor fukce f() = l(9 ) + Řešeí 9 > ( )( + ) > ( ; ) Výsledek: < ; ) ŘEŠENÁ ÚLOHA Určete defiičí obor fukce f() = rcsi( ) + + Řešeí ; Výsledek: < ; ) (; > ŘEŠENÁ ÚLOHA 6 Určete defiičí obor fukce f() = + + log( ) Řešeí > > ( )( + ) > > ( ; ) (; ) Výsledek: (; ) 6

64 Fukce jedé reálé proměé její limit ŘEŠENÁ ÚLOHA 7 Pro fukci f ( ) vypočítejte: f (), b f (), c f ( ), d f, stovte D ( f ), e f ( ), f f ( ), g f ( ), h f () Řešeí f (), b f ( ), c f ( ) ( ) 6, d f, D ( f ) R e Je to fukčí hodot v bodě f () () f Fukčí hodot v bodě je ásobe dvěm f ( ) ( ) 6 8 g Fukčí hodot v bodě f ( ) ( ) h Fukce je umocě dvěm Uvědomme si, že tuto skutečost můžeme zpst buďf () ebo ( f ) Pk f ( ) ( ) 9 6 Limit fukce K hlubšímu studiu fukcí je účelé zvést pojem spojité fukce Eistuje řd reálých situcí, ve kterých mlým změám jedé veličiy čsto odpovídjí mlé změy jié veličiy Pojem spojitosti fukce pojem limit fukce lze defiovt dvěm způsoby: buď pomocí okolí bodu (Cuchyov defiice) ebo pomocí posloupostí (Heieov defiice) V této publikci je uvede druhý z uvedeých způsobů Tto část pojedává o reálých fukcích jedé reálé proměé f Zvedeme zčeí f f,defiičí obor fukce budeme zčit D f, výrz C zmeá lim C f DEFINICE 8 O fukci f řekeme, že je v bodě C D f pltí ekvivlece: D f spojitá, jestliže pro kždou posloupost C f f C, eboli lim c právě když lim f f c 6

65 Pltí: ) Nechť f, g jsou spojité fukce v bodě C Potom rověž fukce f f, f g, f g, gc jsou spojité v bodě C g ) Nechť fukce g je spojitá v bodě C fukce f je spojitá v bodě d g C Potom složeá fukce f g, která je dá předpisem y f g, je spojitá v bodě C ) Fukce f je spojitá, jestliže je spojitá v kždém bodě svého defiičího oboru Součet, rozdíl, souči podíl dvou spojitých fukcí, bsolutí hodot spojité fukce fukce složeá ze dvou spojitých fukcí jsou opět spojité fukce VĚTA BOLZANOVA VĚTA Nechť f je reálá fukce jedé reálé proměé spojitá v itervlu,b f f b Potom eistuje reálé číslo c,b tkové, že f c tková, že VĚTA DŮSLEDEK BOLZANOVY VĚTY Nechť f je reálá fukce jedé reálé proměé spojitá v itervlu v itervlu,b v itervlu,b tková, že emá žádý ulový bod Potom fukce f je stále kldá ebo stále záporá,b VĚTA WEISTRASSOVA VĚTA Nechť f je reálá fukce jedé reálé proměé spojitá v itervlu Potom fukce f bývá v itervlu jk svého miim, tk i svého mim DEFINICE 9 Řekeme, že číslo je limitou fukce f v bodě C, jestliže pro kždou posloupost R D f C pltí ekvivlece: C f Zpisujeme lim f C Jestliže R jedá se o vlstí limitu, pro jde o evlstí limitu 6

66 Fukce jedé reálé proměé její limit Eistece hodot limity fukce f v bodě C ezávisí dokoce i tom, zd je či eí fukce f v bodě C defiová ŘEŠENÁ ÚLOHA 8 Vypočtěte limitu lim 8 Řešeí 8 Ozčme fukci f Tto fukce je v bodě spojitá, proto limitu vypočteme jko fukčí hodotu fukce f v bodě Dostáváme: lim ŘEŠENÁ ÚLOHA 9 Z grfu fukce určeme limitu fukce v krjích bodech defiičího oboru fukce: 66 y log, b y rctg, c y rcsi, d y cos, e y, f y Řešeí Defiičí obor fukce y log je itervl, Z grfu vidíme, že lim log, lim log Protože limit lim log eeistuje, eeistuje i lim log b Defiičí obor fukce y rctg jsou všech reálá čísl R, Z grfu vidíme, že lim rctg, lim rctg Dá fukce má dvě vodorové symptoty o rovicích y c Defiičí obor fukce y rcsi je itervl, Z grfu vidíme, že lim rcsi, lim rcsi Protože jedostré limity lim rcsi, lim rcsi eeistují, eeistují i příslušé oboustré limity fukce y rcsi d Defiičí obor fukce cos jsou všech reálá čísl R, Z grfu vidíme, že lim cos, lim cos eeistují, protože fukce je periodická v celém svém defiičím oboru y

67 e Defiičí obor fukce y jsou všech reálá čísl R, Z grfu vidíme, že Fukce y má vodorovou symptotu dou rovicí y f Defiičí obor fukce y jsou všech reálá čísl R, Z grfu vidíme, že lim, lim Fukce y lim, lim má vodorovou symptotu dou rovicí y K ZAPAMATOVÁNÍ Nyí uvedeme obecý vzth pro výpočet limit rcioálích lomeých fukcí, které již záte z výpočtu limit poslouposti Teto vzth budeme používt v dlším řešeém příkldu Nechť k,m N;,,,,b,b,,b R;,b Pk pltí ásledující tvrzeí: k m b, je-li k m,, je-li k m, k k k k I, je-li m m b b b b lim k m, m m b, je-li k m b 67

68 Fukce jedé reálé proměé její limit 68 II, je-li, je-li, je-li, je li ŘEŠENÁ ÚLOHA Pomocí výše uvedeých vzthů vypočtěte ásledující limity fukcí (jsou uvedey v řešeí tohoto příkldu) Je zde zchyceo všech osm přípdů, které mohou stt Řešeí ekometujeme, eboť se zde jedá pouze o určeí stupě polyomu v čitteli ve jmeovteli jedoduchou úvhu Řešeí, lim m m m m k k k k b b b b lim b m, k m, k, b m k m k b m k m k, lim, lim, 8 lim, lim, lim 7, lim lim

69 69 Při výpočtu limity fukce typu dojdeme čsto k výrzu, kdy, (výrz ) hodotu limity přímo elze určit Úprvu provádíme tk, že se sžíme zlomek krátit výrzem kovergujícím k ule Vede k tomu příkld rozkld v souči mohočleů v čitteli i ve jmeovteli ebo použití idetity, pokud se ve výrzu vyskytují druhé mociy ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočtěte limitu Řešeí Pokud do výrzu dosdíme, dosteme výrz Rozložíme čittele i jmeovtele souči kořeových čiitelů, krátíme výrzem koec dosdíme Dostáváme: ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočtěte limitu Řešeí Pokud do výrzu dosdíme, dosteme výrz Rozložíme čittele i jmeovtele souči kořeových čiitelů, krátíme výrzem koec dosdíme Dostáváme: g f lim lim g f b b b b 6 lim lim lim 6 lim lim lim lim lim

70 Fukce jedé reálé proměé její limit 7 ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočtěte limitu Řešeí Pokud do výrzu dosdíme, dosteme výrz Rozložíme čittele i jmeovtele souči kořeových čiitelů, krátíme výrzem koec dosdíme Dostáváme: ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočtěte limitu Řešeí Pokud do výrzu dosdíme, dosteme výrz Rozšíříme zlomek výrzem, potom krátíme výrzem koec dosdíme Dostáváme: lim 7 lim lim lim lim lim lim lim lim

71 ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočtěte limitu lim 7 9 Řešeí Pokud do výrzu dosdíme 7, dosteme výrz Rozšíříme zlomek výrzem, potom krátíme výrzem 7 koec dosdíme 7 Dostáváme: lim 7 9 = lim 9 lim lim 7 7 lim SHRNUTÍ KAPITOLY V této kpitole jsme se sezámili se zákldím pojmem difereciálího počtu tím je pojem fukce jedé reálé proměé Obecě pod pojmem fukce chápeme jistý způsob přiřzeí mezi dvěm možimi reálých čísel, které musí splňovt jisté předpokldy V prví části kpitoly jsou uvedey vlstosti fukcí, jko je mootóost, omezeost fukce, sudost lichost fukce Součástí této kpitoly jsou tké grfy elemetárích fukcí Důrz je klde výpočet defiičího oboru fukce Druhá část kpitoly se pk věuje limitě fukce jejímu výpočtu OTÁZKY ) Odpovězte o či e? ) Fukce y l je ryze mootóí fukcí v celém svém defiičím oboru b) Fukce y si je ryze mootóí fukcí v celém svém defiičím oboru c) Kvdrtická fukce y je klesjící v itervlu ; d) Fukce y je iverzí fukcí ke kvdrtické fukci e) Fukce y e je epoeciálí fukcí y v R 7

72 Fukce jedé reálé proměé její limit f) Defiičím oborem fukce y rcsi je itervl, g) Fukce y je sudá fukce y je lichá 6 9 h) Fukce y rctg l je složeou fukcí i) Defiičí obory fukcí rctg( ) f ( ) ( ) 7 g( ) jsou idetické log ) Npište rovici kvdrtické fukce f ( ) b c, je-li f ( ), f (), f () ) Je dá fukce f ( ) Vypočtěte f ( ), f (), f ( ) ) Určete defiičí obor ásledujících fukcí: y rcsi( ) b y rccos c y rcsi d y ( ) l e y ) Vypočtěte limity fukce v dých bodech: f v bodech,, b f v bodech,, c f v bodech,,,, d f v bodech,,,, 6 8 e f v bodech,,,, f f v bodech,,,, 8 g f v bodech,,,, 9 h f v bodech,,,, 7 i f v bodech,,,, 7

73 ODPOVĚDI ) ) o b) e c) o d) e; kvdrtická fukce eí prostá, proto k í eeistuje iverzí fukce v celém defiičím oboru R e) o f) o g) o h) e; je to souči čtyř zákldích fukcí i) o, (,) (, ) ) f ( ) ),8 ;,9 ; ( )( ) ( ) ), b, c, d R e, ), b, c,,, 9 d,,, eeistuje e eeistuje,,, 8 f,,, g, eeistuje,, h 6,,, i, eeistuje,, 7

74 Difereciálí počet fukce jedé reálé proměé DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Zkoumáí moh přírodích i ekoomických jevů vede k závislostem vyjádřeým ve tvru fukce jedé reálé proměé Derivce této fukce má zásdí výzm pro popis příslušého jevu Pojem derivce vzikl během druhé poloviy 7 století při řešeí kokrétích geometrických fyzikálích úloh Teto pojem byl přesě defiová v 9 století mtemtiky Cuchym Bolzem zákldě jimi zpřesěého pojmu limity fukce CÍLE KAPITOLY Po prostudováí této kpitoly budete umět: defiovt pojem derivce fukce, prvidl derivováí fukcí, používt vzorce pro derivce fukce, vypočítt etrémy fukce ifleí body fukce ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU K prostudováí této kpitoly budete potřebovt si miut KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY Derivce fukce, mootóost fukce, etrémy fukce, ifleí body fukce, koveost kokávost fukce, stcioárí bod 7 Pojem derivce fukce Uvžujme fukci y f () defiovou otevřeém itervlu M (, b) Zvolíme bod uvitř itervlu M Náš úkol bude určit směrici tečy t ke křivce y f () v bodě

75 T, y, kde f ( ) křivku v dlším bodě y Z tímto účelem vedeme bodem T seču s, která protíá T, f ( ), M Ozčíme, f ) f ( ) f ( ) Vše grficky zázoríme (Obr) ( Obrázek : Derivce fukce Potom směrice uvžové sečy je rov f ( ) f ( ) f ( ) tg ( ), () kde () je velikost směrového úhlu přímky s v závislosti -ové souřdici bodu T Přitom rozdíl f ) f ( ) f ( ) () ( se zývá diferece (přírůstek) fukce f v bodě, kdežto rozdíl () se zývá diferece (přírůstek) rgumetu v bodě f ( Diferečí podíl ) je fukcí proměé, ikoliv, které je pevé Připomeňme, že je to směrice sečy Výzm diferečího podílu spočívá v tom, že chrkte- rizuje reltiví změu hodot fukce y f () vzhledem k změě hodot rgumetu Fukce () eí defiová pro Může ovšem mít v tomto bodě limitu DEFINICE Nechť fukce y f () je defiová otevřeém itervlu M echť číslo Derivcí fukce f v bodě zýváme číslo f ( ) f ( ) f ( ) lim eboli f M f ( ) ) lim () ( 7

76 Difereciálí počet fukce jedé reálé proměé Jik řečeo: derivcí fukce y f () v bodě zýváme limitu diferečího podílu f ( ) pro K ZAPAMATOVÁNÍ Prvidl pro derivováí fukcí Nechť f ( ) g( ) mjí derivce itervlu M R Nechť k je libovolá kostt Potom pro M pltí:, f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g(, f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) g( ), pro g ( ) g( ) k f ( ) k f ( ), f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ) Vzorce pro derivováí elemetárích fukcí V bodě, který splňuje připojeé podmíky, pltí pro derivce uvedeých fukcí tyto vzorce: () k, k libovolá kostt, k R, (),, R, () (si ) cos, () (cos ) si, () (tg ) tg, cos, cos (6) (cotg ) ( cotg ), si, si (7) l, e e, (8) log,,, l, l, (9) (rcsi ),,, (rccos ),,, () 76

77 77 () (rctg ),, R () (rccotg ), R ŘEŠENÁ ÚLOHA Derivujte fukci R y, 8 6 Řešeí Kromě ásobého užití vzorce () použijeme též prvidl y ŘEŠENÁ ÚLOHA Derivujte fukci, 8 R y Řešeí Kosttu vytkeme před derivový výrz, dále použijeme postupě prvidlo, vzorec () 8 y ŘEŠENÁ ÚLOHA Derivujte fukci, y Řešeí Čittel dělíme jmeovtelem,,,, y y Ověřte si, že stejý výsledek obdržíte použitím prvidl pro derivováí podílu Postup je ovšem zdlouhvější

78 Difereciálí počet fukce jedé reálé proměé ŘEŠENÁ ÚLOHA Derivujte fukci y, Řešeí Fukci ejprve uprvíme jko mociu proměé, potom použijeme (),, y y,,7,7 Derivový výrz, pokud lze, vždy ejprve uprvíme ŘEŠENÁ ÚLOHA Derivujte fukci y, Řešeí Fukci y můžeme uprvit tkto: y Pk použijeme vzorec () y 9 9 ŘEŠENÁ ÚLOHA 6 Derivujte fukci Řešeí y cos, R Použijeme prvidlo pro derivci součiu y cos (cos ) cos si ŘEŠENÁ ÚLOHA 7 Derivujte fukci Řešeí si y,, l Použijeme prvidlo pro derivci podílu Všiměte si správého pořdí fukcí z čittele jmeovtele derivového zlomku: čittel výsledku zčíá derivcí čittele 78

79 cos l si (si ) l si (l ) y (l ) (l ) cos si l (l ) ŘEŠENÁ ÚLOHA 8 Derivujte fukci y cotg, k Řešeí Použijeme zákldí vzthy mezi goiometrickými fukcemi prvidlo pro derivci podílu cos y cotg, si cos si si cos cos si cos y si si si si Vzorec pro derivci tg ověřte teď smi! ŘEŠENÁ ÚLOHA 9 8 Derivujte fukci y, R Řešeí Použijeme prvidlo pro derivci podílu y ( 8) 6 K ZAPAMATOVÁNÍ Má-li fukce u g() derivci v bodě má-li fukce y f (u) derivci v bodě u g( ), potom y f g() má derivci v bodě pltí prvidlo derivováí složeé fukce: y f g ) f ( u ) g( ) ( 79

80 Difereciálí počet fukce jedé reálé proměé ŘEŠENÁ ÚLOHA Derivujte fukci y si( 9), R Řešeí Položíme u g( ) 9, f ( u) si u, potom derivujeme, g ( ) f ( u) cos u cos( 9) Použitím prvidl obdržíme postupě: y f ( u) g( ) cos u cos 9 ŘEŠENÁ ÚLOHA Derivujte fukci y: y, R Ozčme g( ) u, potom f ( u) u, podle prvidl obdržíme: y u u b y, R Ozčme u, potom y u u c y si( b), R Ozčme b u, potom y (si u) b cosu cos( b ) d y l cos, k, k Ozčme cos u, potom y (l u) (cos ) ( si ) u si cos tg 8

81 ŘEŠENÁ ÚLOHA Vypočtěte šestou derivci fukce y 6 Řešeí Podle defiice derivce vyšších řádů postupě vypočítáme: y 8 8 6, y y 6 y y y () () (6) 8,, 8, 8, Užití difereciálího počtu průběh fukce Vyšetřeí průběhu fukce vyžduje zlost všech předchozích kpitol mtemtické lýzy Výkld v této kpitole je omeze vyšetřováí průběhů lgebrických fukcí MONOTÓNNOST FUNKCE V teorii fukcí jsme defiovli mootóost fukce Zjišťováí mootóosti fukce dém itervlu pomocí dříve uvedeých defiicí je čsto eefektiví, proto tuto vlstost fukce f () v itervlu J (, b) vyšetřujeme pomocí derivce fukce Pltí ásledující vět VĚTA Jestliže pro všech z itervlu J (, b) je splě erovost f ( ), rostoucí, f ( ), klesjící, potom fukce f je v tomto itervlu f ( ), eklesjící, f ( ), erostoucí 8

82 Difereciálí počet fukce jedé reálé proměé ŘEŠENÁ ÚLOHA Určete itervly mootóosti fukce Řešeí f ( ) 6, R Zjistíme ejprve itervly, v ichž pltí f ( ) f ( ) f ( ) (, ) (, ), f ( ) (,) Podle věty je fukce rostoucí v itervlu (, ) (, ) klesjící v itervlu (,) Fukce je spojitá v R, tkže v bodě musí mít lokálí mimum, tz, že v ějkém okolí bodu, tj itervlu obshující bod, je hodot f () mimálí ze všech hodot, jež fukce bývá tomto itervlu Alogicky v bodě = musí fukce mít lokálí miimum V přípdě této kubické fukce, zákldě zlosti průběhu elemetárích fukcí, stovíme chrkter grfu Obecě výpočet etrému emusí být tk jedoduchý Proto pro jejich určeí používáme postup uvedeý v ásledujícím odstvci LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DEFINICE Uvžujme fukci f () defiovou v bodě jeho jistém okolí Říkáme, že fukce f () má v bodě lokálí miimum, právě když eistuje tkové okolí J D( f ) bodu, že pro všech J pltí f ( ) f ( ) Říkáme, že fukce f () má v bodě lokálí mimum, právě když eistuje tkové okolí J D( f ) bodu, že pro všech J pltí f ( ) f ( ) Souhrě se lokálí miim lokálí mim zývjí lokálí etrémy fukce Dále budeme vyšetřovt, z jkých podmíek stává v určitém bodě lokálí etrém DEFINICE Bod, ve kterém je f ( ), se zývá stcioárí bod fukce f () 8

83 VĚTA Nechť fukce f () má v bodě obě derivce f ( ), f ( ) echť je stcioárí bod, tj f ( ) Pk fukce f () v bodě : má lokálí mimum, je-li f ( ), b má lokálí miimum, je-li f ( ) Jestliže všk f ( ) f ( ), pk fukce f () může mít (le i emusí) v bodě lokálí etrém Npř u fukcí f ( ), g( ) ( ) g' () f "() g"() pltí pro f přitom fukce v obou přípdech g má v bodě lokálí miimum, kdežto fukce f v tomto bodě emá etrém, eboť je rostoucí v celém defiičím oboru Nkreslete si tyto fukce! Nyí ás zjímá, jk postupovt, když ve stcioárím bodě druhá derivce je ulová VĚTA Nechť fukce f () má okolí bodu spojitou derivci řádu, přičemž pltí ( ) ( ) f ) f ( ) f ( ), f ( ) B ( Je-li číslo liché, emá f () v bodě lokálí etrém Je-li všk číslo sudé, má f () v bodě : lokálí mimum při B, b lokálí miimum při B ŘEŠENÁ ÚLOHA Určete lokálí etrémy fukce f ( ) Řešeí Vypočteme derivce f ( ) ( ), f ( ) 6 Protože dá fukce f () má všude v R derivci, může mít f () lokálí etrém je ve stcioárích bodech, pro ěž je f ( ) 8

84 Difereciálí počet fukce jedé reálé proměé Proto řešíme rovici ( ) Dosteme stcioárí body,,, Dále pltí f ( ), f (), f () 9 Podle věty má f () v bodě lokálí mimum v bodě lokálí miimum Zbývá rozhodout pomocí věty o situci v bodě Protože f ( ) 6, f () B, emá f () etrém ve stcioárím bodě INFLEXNÍ BODY FUNKCE Ifleí bod fukce je bod v ěmž - zázorěo geometricky - grf fukce přechází z jedé stry své tečy druhou Je to Obr bod I, v ěmž se fukce f () měí z fukce koveí kokáví ebo obráceě Říkáme tké, že fukce f () má v bodě iflei Obrázek : Ifleí bod fukce Nyí ás bude zjímt, z jkých podmíek je bod ifleím bodem VĚTA Je-li ifleím bodem fukce f () eistuje-li druhá derivce f ( ), potom pltí: f ( ) 8

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků: ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b. KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů 6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY KVĚTNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY KVĚTNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T KVĚTNA 09 Dtum koáí koušky:. květ 09 M. možé skóre: 0 Počet řešitelů testu: 80 M. dosžeé skóre: 0 Počet úloh: 0 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, % Mi. dosžeé skóre:

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema

4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema 4 Opové pousy Beroulliho schem Pozám: V ěterých příldech v odstvcích 2 3 jsme počítli prvděpodobosti áhodých jevů, teré byly výsledem opoví áhodého pousu Npř házeí dvěm micemi je stejé jo dv hody jedou

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f

Více

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů. Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů

Více

8.3.1 Pojem limita posloupnosti

8.3.1 Pojem limita posloupnosti .3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Marie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová

Marie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA ZÁKLADY MATEMATIKY Mrie Dostálová Elišk Grdvská Rdk Hmříková Věr Jků Miloslv Tebergová Vtvořeo v rámci projektu Operčího progrmu Rozvoje lidských zdrojů

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a Poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je 8 diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) V ritmetické

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Verze z 17. května 2018.

Verze z 17. května 2018. Verze z 7. květ 8. Úvodí pozámk Tto sbírk byl sepsá se záměrem vytvořit sezm výpočetích postupů triků pro řešeí úloh, které se probírjí ve druhém semestru kurzu mtemtické lýzy. Sezm, v ěmž s devdesátiprocetí

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:

=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy: 3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

( ) ( ) Úpravy algebraických výrazů. Mocniny a odmocniny. a a. b b. b a 1 = 1, ( 1) = 1, ( 1) = 1

( ) ( ) Úpravy algebraických výrazů. Mocniny a odmocniny. a a. b b. b a 1 = 1, ( 1) = 1, ( 1) = 1 Úrvy lgebrických výrzů Mociy odmociy Pro kždé reálé r, s kždé > 0, b > 0 (res ro kždé celé r, s kždé 0, b 0 ltí: r 0 s rs, r r ( b b r r r r s r+ s b b r s rs b : b Dále ltí +, (, ( Je-li N, 0, eistuje

Více

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS , Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9009 Příkld : Spočtěte itu poslouposti 3 + + + 4 + 50 + 00 + 0 0 3 + + Řešeí:Ozčíme : +, b : 4 + 50 + 00 Zlomek,tvořící + 0 0,rozšířímevýrzem ++,čežvytkemeejvyššímociu

Více

16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

16. Kombinatorika ( 125;250;125 ) 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět ZPG Křivk. Hermitov iterpolce. Fergusoov křivk (). KŘIVKY A PLOCHY Cíl Po prostudováí této kpitol budete umět defiovt iterpolčí proximčí křivk pro dé bod defiovt ploch z dých prvků plikovt křivk ploch

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více