(3) µ([0, 1] n ) = 1. Proto při konstrukci míry nebudeme umět určit míru všech podmnožin R n, ale pouze některých.

Transkript

1 1. Základní pojmy teorie míry Motivace: a) Chceme zavést obsah a objem množin v R n. b) Chceme zavést integrál, který je lepší než Riemannův nebo Newtonův. Klíčová je vlastnost f k integrovatelné a f k f v nějakém smyslu, pak f je integrovatelná. Při zavedení míry (=objem množiny) máme problém (Banach-Tarského paradox): Pro n 3 neexistuje množinová funkce µ : exp(r n ) [0, ] s vlastnostmi (1) pro všechny A, B R n, A B = µ(a B) = µ(a) + µ(b), (2) pro všechny A R n a x R n µ(a + x) = µ(a), (3) µ([0, 1] n ) = 1. Proto při konstrukci míry nebudeme umět určit míru všech podmnožin R n, ale pouze některých Množinové systémy, pojem míry Necht je libovolná množina (napřiklad R n ) a exp() značí systém všech podmnožin. Definice. Necht A exp(). Systém množin A se nazývá σ-algebra, pokud: (1) A, (2) A A \ A A, (3) A k A, k N k Dvojici (, A) nazýváme měřitelným prostorem. A k A. Poznámka: Každá σ-algebra je uzavřená i na spočetné průniky, nebot A k = \ ( \A k). Příklady: 1) exp() je σ algebra. 2) {, } je σ algebra. 3) {A : A je spočetná, nebo \ A je spočetná } je σ algebra. Věta L 1.1 (xistence nejmenší σ-algebry). Necht = S exp() je libovolný systém podmnožin. Pak existuje nejmenší σ-algebra obsahující S. Definice. Množina A R n se nazývá otevřená, pokud pro každé x A existuje r > 0 tak, že B(x, r) A. Označme G(R n ) množinu všech otevřených podmnožin R n. Připomeňme, že systém otevřených množin splňuje (1), G(), (2) U 1,..., U k G() k U i G(), (3) U α G() pro všechna α A (libovolný systém) U α G(). Definice. Borelovské množiny tvoří nejmenší σ-algebru obsahující otevřené množiny, tedy B() = σ(g()). Příklad: Necht a b, pak [a, b] a [a, b) jsou borelovské podmnožiny R. Dají se totiž napsat jako [a, b] = R \ ( (, a) (b, ) ) a [a, b) = [a, a+b 2 ] (a, b). Definice. Necht (, A) je měřitelný prostor. Množinová funkce µ : A [0, ] se nazývá míra, pokud není identicky rovna a je σ-aditivní, tedy A k A, k N, jsou po dvou disjunktní, pak µ( A k ) = µ(a k ). Trojice (, A, µ) se nazývá prostor s mírou. Je-li µ() = 1, µ se nazývá pravděpodobnostní míra a (, A, µ) pravděpodobnostní prostor. Poznámka: Snadno si můžeme rozmyslet, že z definice plyne a) µ( ) = 0 - volme A k = pro všechna k b) µ(a B) = µ(a) + µ(b) pro A, B A disjunktní - volme A 1 = A, A 2 = B, A k = pro k 3 c) µ(a) µ(b) pro A, B A, A B - z b) víme µ(a) + µ(b \ A) = µ(b) a µ(b \ A) 0 Přiklady: 1. Na R můžeme definovat Diracovu míru v bodě x 0 R jako i=1 α A µ(a) = 1, pokud x 0 A a µ(a) = 0, pokud x 0 / A. 2. Na N můžeme definovat takzvanou sčítací míru předpisem µ(s) = počet prvků množiny S. 1

2 2 Snadno ověříme z definice, že toto jsou skutečně míry. 3. Na B(R) lze definovat míru, která bude splňovat L 1 ((a, b)) = b a. 4. Na B(R) lze definovat míru (s hustotou), která bude splňovat µ((a, b)) = b ce (x s)2 a Věta L 1.2 (Spojitost míry). Necht (, A, µ) je prostor s mírou. Potom dx. (1) A k A, A k A lim µ(a k) = µ(a), (2) A k A, A k A, µ(a 1 ) < lim µ(a k) = µ(a). Příklad: Necht A k = [k,. Pak A k =, ale lim L 1 (A k ) 0. Konec 1. přednášky Definice. Necht a = [a 1,..., a n ], b = [b 1,..., b n ] R n. Množinu W = { x = [x 1,..., x n ] R n : a i < x i < b i pro všechna i = 1,..., n } (a také každou množinu, která vnikne záměnou libovolného < za ) nazveme n-buňka. Objem n-buňky definujeme jako 0, je-li W = a jako vol(w ) = Π n i=1 (b i a i ) jinak. Věta T 1.3 (Rozšíření elementárního objemu-bd). xistuje právě jedna míra L n na B(R n ) taková, že pro každou n-buňku W platí L n (W ) = vol(w ). Důsledek: Necht A R n je měřitelná a ε > 0. Pak existuje otevřená množina G R n taková, že A G a L n (G \ A) < ε. Poznámka: Tato míra L n je invariantní vůči posunutí - pro všechna x R n a A B(R n ) platí L n (x + A) = L n (A). Definice. Necht (, A, µ) je prostor s mírou. Řekneme, že µ je úplná míra, pokud pro všechna A A s µ(a) = 0 a všechna A A platí A A (a tedy µ(a ) = 0). Věta BD 1.4 (Zúplnění míry). Necht (, A, µ) je prostor s mírou. Necht A 0 je systém všech množin, pro něž existují A, B A tak, že A B a µ(b \ A) = 0. Potom A 0 je σ-algebra obsahující A. Definujme µ 0 () = µ(a). Potom µ = µ 0 na A a (, A 0, µ 0 ) je prostor s úplnou mírou. Definice. Zúplnění σ-algebry B(R n ) vzhledem k L n označíme B 0 (R n ). Pro rozšíření míry L n na σ-algebru B 0 (R n ) používáme stejné značení L n. Toto rozšíření nazýváme Lebesgueova míra a B 0 (R n ) nazýváme σ-algebru Lebesgueovsky měřitelných množin Měřitelné funkce Definice. Necht (, A) je měřitelný prostor a (Y, τ) topologický prostor. Říkáme, že zobrazení f : Y je měřitelné, jesliže f 1 (V ) A pro každou V Y otevřenou. Je-li A = B() množina všech borelovských množin, pak zobrazení f nazýváme borelovské (místo měřitelné). Poznámka: Připomeňme, že zobrazení mezi dvěma topologickými prostory g : Y je spojité, pokud g 1 (V ) je otevřená v pro každou V Y otevřenou. Specielně, každé spojité zobrazení je měřitelné. Lemma 1.5. Necht (, A) je měřitelný prostor, potom charakteristická funkce množiny { 1 pro x A χ A (x) = 0 pro x / A je měřitelná právě tehdy, když A A. Věta L 1.6 (Měřitelnost složeného zobrazení). Necht Y, Z jsou topologické prostory a (, A) je měřitelný prostor. Necht g : Y Z je spojité a f : Y je měřitelné zobrazení. Potom g f je měritelné zobrazení. Věta L 1.7 (Měřitelnost složeného zobrazení v R 2 ). Necht u, v : R jsou reálné měřitelné funkce na (, A). Necht Y je topologický prostor a Φ : R 2 Y je spojité zobrazení. Definujme h(x) = Φ(u(x), v(x)), pak h : Y je měřitelné zobrazení.

3 3 Důsledek: Necht f, g : R jsou měřitelné, pak f + g a fg jsou měřitelné. Stačí použít předchozí větu na u = f, v = g, Φ 1 (x, y) = x + y a Φ 2 (x, y) = xy. Konec 2. přednášky Věta T 1.8 (Vlastnosti měřitelných funkcí). Necht (, A) je měřitelný prostor, Y topologický prostor a f : Y. a) Je-li M systém všech množin A Y, pro něž je f 1 (A) A, potom M je σ-algebra. b) Je-li f měřitelná, B Y borelovská, potom f 1 (B) A. c) Je-li Y = [, ], pak f je měřitelná právě tehdy, když f 1 ((α, ]) A pro všechna α [, ]. d) Je-li f měřitelná, Z topologický prostor a g : Y Z borelovská, pak g f je měřitelná. Poznámka: Jsou-li f, g : R měřitelné, pak množiny jsou měřitelné. {f < g} = {x : f(x) < g(x)}, {f g}, {f = g}, {f g} Věta L 1.9 (Měřitelnost a limitní přechod). Necht (, A) je měřitelný prostor a f k : [, ] jsou měřitelné. Definujme g = sup k N f k a f = lim sup f k. Potom f a g jsou měřitelné funkce. Poznámka: a) Analogické tvrzení platí i pro inf a lim inf. b) Limita posloupnosti měřitelných funkcí je měřitelná funkce. c) max(f, g) a min(f, g) jsou měritelné funkce pro f, g měřitelné. Definice. Necht je množina a s : [, ] je funkce. Řekneme, že s je jednoduchá funkce, když s() je konečná podmnožina [0, ). Tato funkce lze zapsat ve tvaru s(x) = k i=1 α iχ Ai (x), kde α i [0, ) a A i jsou po dvou disjunktní množiny. Není obtížné ukázat, že s je měřitelná právě tehdy, když všechny A i jsou měřitelné. Věta L 1.10 (Aproximace jednoduchými funkcemi). Necht (, A) je měřitelný prostor a f : [0, ] je měřitelná funkce. Pak existují s k jednoduché měřitelné tak, že s k f. Důsledek: Součet a součin měřitelných funkcí do [0, ] jsou měřitelné funkce. Konec 3. přednášky 2. Konstrukce integrálu 2.1. Definice abstraktního integrálu Aritmetika v [0, ]: Domluvme se, že pro všechna a [0, ] máme a + = a pro a > 0 dále a = a =. Navíc definujme 0 = 0 = 0. Definice. Necht (, A, µ) je prostor s mírou a s = k i=1 α iχ Ai je jednoduchá měřitelná funkce. Pro A defunujeme k s dµ = α i µ(a i ). Pro f : [0, ] měřitelnou definujeme (abstraktní) Lebesgueův integrál { } f µ = sup s dµ : 0 s f, s je jednoduchá měřitelná. i=1 Věta L 2.1 (Vlastnosti abstraktního integrálu). Necht (, A, µ) je prostor s mírou a f, g : [0, ]. Potom pro A platí: a) Je-li f g na, pak f dµ g dµ. b) Pro A, B A a A B platí A f dµ B f dµ. c) Pro c [0, ] platí cf dµ = c f dµ d) Je-li f(x) = 0 pro všechna x, pak f dµ = 0 (i pro µ() = ). e) Je-li µ() = 0, pak f dµ = 0 (i pro f = na ). f) f dµ = fχ dµ. g) (Čebyševova nerovnost) Necht α, c (0, ), potom µ ( {x ; f(x) c} ) 1 c α h) Je-li f dµ < a N = {f = }, pak µ(n) = 0. f α dµ.

4 4 Věta L 2.2 (Linearita integrálu pro jednoduché funkce - BD). Necht s, t jsou jednoduché měřitelné funkce a definujme ν() = s dµ. Potom ν je míra a platí (s + t) dµ = s dµ + t dµ Leviho a Lebesgueova věta Věta T 2.3 (Leviho věta). Necht f k : [0, ] jsou měřitelné funkce a f k f. Pak f je měřitelná a f dµ = lim f k dµ. Věta L 2.4 (Leviho věta pro řady). Necht f k : [0, ] jsou měřitelné funkce. Potom ( ) f k dµ = f k dµ. Konec 4. přednášky Věta L 2.5 (Fatouovo lemma). Necht f k : [0, ] jsou měřitelné funkce. Potom (lim inf f k) dµ lim inf f k dµ Linearita integrálu Definice. Označme L 1 (, µ) množinu všech měřitelných funkcí f : [, ] pro něž f <. Pro funkce z L 1 (, µ) definujeme (abstraktní) Lebesgueův integrál jako f dµ = f + dµ f dµ. Tyto funkce nazýváme Lebesgueovsky integrovatelné funkce. Poznámka: Z definice triviálně plyne, že je-li f Lebesgueovsky integrovatelná, je i f Lebesgueovsky integrovatelná. Tedy Lebesgueův integrál je absolutně konvergentní. Tuto vlastnost nemá Newtonův integrál. Lemma 2.6. Necht f L 1 (, µ). Pak f dµ f dµ. Věta L 2.7 (Linearita integrálu). Necht α, β R a f, g L 1 (, µ). Pak αf + βg L 1 (, µ) a (αf + βg) dµ = α f dµ + β g dµ. Věta T 2.8 (Lebesgueova věta). Necht f k : [, ] jsou měřitelné funkce a f = lim f k. Necht dále existuje g L 1 (, µ) tak, že f k (x) g(x) pro všechna k N a x. Potom lim f k f dµ = 0 a f dµ = lim f k dµ. Konec 5. přednášky 2.3. Rovnost skoro všude a upravená definice měřitelnosti Definice. Necht A. Řekneme, že vlastnost V platí skoro všude na, jestliže existuje N A tak, že µ(n) = 0 a vlastnost V platí na \ N. Řekneme, že funkce f, g : R jsou ekvivalentní a značíme f g, jestliže f = g skoro všude na, tedy µ({f g}) = 0. Definice. (nová definice měřitelnosti) Necht (, A, µ) je prostor s mírou a f : R pro A. Řekneme, že f je měřitelná na, jestliže µ( \ ) = 0 a f 1 (V ) je měřitelná pro každou V otevřenou. Věta L 2.9 (Lebesgueova věta pro řady). Necht f k : [, ] jsou měřitelné funkce a necht f k dµ <. Potom f(x) = f k(x) konverguje absolutně pro skoro všechna x a ( ) f dµ = f k dµ = f k dµ Integrál závislý na parametru

5 5 Věta L 2.10 (O spojité závislosti integrálu na parametru). Necht T je metrický prostor, α 0 T a necht f : T R. Necht (i) pro všechna α T je funkce x f(x, α) měřitelná a (ii) pro všechna x je funkce α f(x, α) spojitá v α 0. (iii) Necht existuje g L 1 (, µ) tak, že f(x, α) g(x) pro všechna x a α T. Potom F (α) = f(x, α) dµ(x), α T, je spojitá v α 0. Věta T 2.11 (O derivaci podle parametru). Necht I R je otevřený interval a f : I R. Necht (i) pro všechna α I je funkce x f(x, α) měřitelná, f(x, α) (ii) pro všechna x a α I existuje vlastní, α (iii) existuje g L 1 f(x, α) (, µ) tak, že g(x) pro všechna x a α I, α (iv) existuje α 0 tak, že F (α 0 ) = f(x, α 0 ) dµ(x) R (je konečný). Potom F (α) = f(x, α) dµ(x) R pro všechna α I, existuje derivace této funkce a F f(x, α) (α) = dµ(x). α Konec 6. přednášky 3. Vícerozměrná integrace 3.1. Fubiniova věta v R n Definice. Necht a Y jsou množiny a f je funkce na Y. Definujeme pro x funkci f x : y f(x, y), y Y, a pro y Y definujeme funkci f y : x f(x, y), x. Věta T 3.1 (Fubiniova věta v R n ). Necht f L (R p+q ). Potom pro L p s.v. x R p existuje ϕ(x) = f x dl q = R q f(x, y) dl q (y) R q a pro L q s.v. y R q existuje ψ(x) = f y dl p = R p f(x, y) dl p (x) R p a platí f dl p+q = R p+q ϕ dl p = R p ψ dl q. R q 3.2. Dynkinovy systémy UVAZ, JSTLI CHCS VS DOKAZOVAT - PROMYSLI DUKAZ FUBINKY (TO ZUPLNO- VANI J DIVN ) Definice. Necht Z je množina a D exp(z). Řekneme, že D je Dynkinův systém, jestliže (i) Z D, (ii) D D Z \ D D, (iii) D j D jsou po dvou disjunktní Poznámka: Každá σ-algebra je Dynkinův systém. D j D. Věta L 3.2 (Vztah σ-algebry a Dynkinova systému). Necht D je Dynkinův systém. Potom D je σ-algebra systém D je uzavřený na tvoření průniku (tedy, D D D D). Poznámka: Necht Z je množina a S exp(z). Potom existuje nejmenší Dynkinův systém obsahující S a značíme ho δ(s). Vždy platí δ(s) σ(s). Věta T 3.3 (O nejmenším Dynkinově systému). Necht S exp(z) obsahuje průnik každých dvou množin z S. Pak δ(s) = σ(s). Definice. Míra µ na (, A) se nazývá σ-konečná, jestliže existují S k A, k N, takové, že µ(s k ) < a S k. j=1

6 6 Věta L 3.4 (O jednoznačnosti míry). Necht S exp(z) je systém uzavřený vzhledem k průniku, S k S a S k Z. Necht µ 1 a µ 2 jsou míry na σ(s), µ 1 (S) = µ 2 (S) pro každou S S a µ 1 (S k ) < pro každé k N. Potom µ 1 = µ 2 na σ(s). Konec 7. přednášky Důsledek: xistuje právě jedna míra na B(R n ), která je invariantní vůči posunutí a µ([0, 1) n ) = Součin měr a Fubiniova věta Necht (, S, µ) a (Y, T, ν) jsou prostory s mírou. Chceme definovat míru µ ν na ( Y, S T ). Definice. Řekneme, že M Y je obdélník, jestliže existují A a B Y tak, že M = A B. Pokud A S a B T, tak M nazveme měřitelný obdélník. Definujeme S T jako nejmenší σ-algebru obsahující každý měřitelný obdélník. Definice. Necht Y, x a y Y. Potom definujeme řezy x = {y Y : [x, y] } a y = {x : [x, y] }. Lemma 3.5. Necht S T, x a y Y. Pak x T a y S. Poznámka: Platí B 1 B 1 = B 2, ale pro zúplnění (B 0 =zúplnění B) neplatí B 1 0 B 1 0 = B 2 0. Platí však B 2 0 = zúplnění B 1 0 B 1 0. Věta T 3.6 (O měřitelnosti míry řezu). Necht µ je σ-konečná míra na S, ν je σ-konečná míra na T a S T. Potom x ν( x ), x, je měřitelná funkce (na (, S)) a y µ( y ), y Y, je měřitelná funkce (na (Y, T )). Věta L 3.7 (xistence a jednoznačnost součinové míry). Necht (, S, µ) a (Y, T, ν) jsou prostory se σ-konečnou mírou. Potom existuje právě jedna míra µ ν na S T taková, že Je-li Q S T, pak (µ ν)(a B) = µ(a) ν(b) pro každou A S a B T. (µ ν)(q) = ν(q x ) dµ(x) = Y µ(q y ) dν(y). Poznámka: Pozor, neplatí L p+q = L p L q. Přesněji L p+q je zúplnění míry L p L q. Konec 8. přednášky Lemma 3.8. Necht f je S T měřitelná na Y. Potom pro každé x je f x T -měřitelná a pro každé y Y je f y S-měřitelná. Věta L 3.9 (Fubiniova věta). Necht (, S, µ) a (Y, T, ν) jsou prostory se σ-konečnou mírou. Necht f je S T měřitelná funkce na Y. a) Je-li 0 f a ϕ(x) = Y f x dν, x, a ψ(y) = f y dµ, y Y, pak ϕ je S-měřitelná a ψ je T -měřitelná a (3.1) f d(µ ν) = ϕ dµ = ψ dν Y b) Je-li ϕ (x) = Y f x dν a ϕ dµ <, potom f L 1 (µ ν). c) Necht f x je ν-integrovatelná pro µ s.v. x, f y je µ-integrovatelná pro ν s.v. y Y a f L 1 (µ ν). Pak ϕ je definovaná pro s.v. x, ψ je definovaná pro s.v. y a platí (3.1). Věta T 3.10 (O součinu Borelovských množin v R n - BD). Necht p, q N, pak B p+q = B p B q B p 0 Bq 0 Bp+q 0 a B p+q 0 je zúplněním (R p R q, B p 0 Bq 0, L p L q ). Poznámka: Z předchozí věty plyne, že L p+q je zúplněním L p L q. Za použití této informace lze s trochou práce dokázat Větu 3.1 z předchozích dvou vět. Konec 9. přednášky 3.5. Věta o substituci Připomeňme si tvrzení z lineární algebry. Tvrzení. Necht M je n n matice. Potom existují ortonormální matice A, B a diagonální matice C tak, že M = ACB. Důsledek. Necht M je n n regulární matice a mějme lineární zobrazení ϕ(x) = Mx. Pak pro každou otevřenou množinu platí L n (ϕ(o)) = det M L n (O). Y

7 7 Definice. Necht V R n je otevřená množina a f : V R n je C 1 zobrazení (=všechny první parciální derivace jsou spojité). Definujeme Jakobiho matici zobrazení f jako f 1(x) f x (x) x n Df(x) =..... f n(x) x 1... a Jakobián tohoto zobrazení jako J f (x) = det Df(x). f n(x) x n Definice. Necht V R n je otevřená množina a f : V R n je C 1 zobrazení. Řekneme, že f je difeomorfismus, je-li toto zobrazení prosté a regulární, tedy J f (x) 0 pro všechna x V. Věta T 3.11 (Věta o substituci - BD). Necht V R n je otevřená množina a f : V R n je difeomorfismus. Necht M f(v ) a g : M R je měřitelná funkce, pak g dl n = (g f) J f dl n, pokud má alespoň jedna strana smysl. Příklad: Polární a sférické souřadnice. Konec 10. přednášky M f 1 (M) 4. Rozklad měr, distribuční funkce a různé konvergence 4.1. Radon-Nikodýmova věta Definice. Necht µ, ν jsou míra na A. Řekneme, že ν je absolutně spojitá vzhledem k µ (píšu ν << µ) jestliže pro všechny A A platí µ(a) = 0 ν(a) = 0. Řekneme, že ν je singulární vzhledem k µ (píšu ν µ) jestliže existuje S A tak, že µ(s) = 0 a ν ( \ S) = 0. Příklad: a) Pro f L 1 (R), f 0 je f(x) dx << L 1. b) Pro Diracovu míru platí δ 0 L 1. Věta T 4.1 (Radon-Nykodimova věta). Necht µ, ν jsou konečná míra na A. Následující podmínky jsou ekvivalentní. (i) ν << µ, (ii) existuje f L 1 (µ), f 0 tak, že ν(a) = A f dµ pro všechny A A. Věta T 4.2 (Lebesgueův rozklad). Necht µ je míra na A a ν je σ-konečná míra na A. Potom existuje jednoznačný rozklad ν = ν a + ν s tak, že ν a << µ a ν s µ. Konec 11. přednášky 6.2. Distribuční funkce Definice. Řekneme, že F : R R je distribuční funkce, je-li neklesající, zprava spojitá (x k x F (x k ) F (x)), F ( )(= lim x F ) = 0 a F ( ) = 1. Definice. Řekneme, že míra µ definovaná na měřitelném prostoru (R n, A) je borelovská, pokud B(R n ) A. Věta L 4.3 (xistence distribuční funkce). Necht µ je borelovská pravděpodobnostní míra na B(R) a definujme F (x) = µ((, x]) pro x R. Potom F je distribuční funkce. Věta T 4.4 (Charakterizace distribuční funkce). Necht F je distribuční funkce. Potom existuje právě jedna borelovská pravděpodobnostní míra µ na B(R) tak, že F (x) = µ((, x]) pro x R. Poznámka: Necht F je distribuční funkce. Pak existují neklesající funkce F a, F C a F J tak, že F = F a + F C + F J s následujícími vlastnostmi. Funkce skoků lze napsat jako F J (x) = a j χ [bj, ), j=1

8 8 pro Cantorovskou část platí F C (x) = 0 pro L1 s.v. x R a pro absolutně spojitou část existuje f L 1 (R) tak, že Konec 12. přednášky F a (x) = x f(y) dy Prostory L p a různé druhy konvergence Definice. Necht (, A, µ) je prostor s mírou a 1 p <. Definujeme prostor L p jako kde L p (, µ) := {f : R : f L p < }, ( f L p = f p dµ Definice. Necht g : [0, ] je měřitelná. senciální supremum g definujeme jako Prostor L (, µ) definujeme jako ) 1 p esssup g := inf { α : µ(g > α) = 0 }. L (, µ) := {f : R : f L := esssup f < }. Poznámka: Z důkazu úplnosti L p prostorů v analýze plyne, že pokud f k k v L p, 1 p <, pak existuje podposloupnost f kj tak, že f kj (x) f(x) pro skoro všechna x. Definice. Necht (, A, µ) je prostor s mírou a f, f k : R. Řekneme, že f k konvergují podle míry µ k f a značíme f k µ f, jestliže pro každé δ > 0 platí Příklad: Klouzající hrbol lim µ( {x : f k (x) f(x) δ} ) = 0. Věta L 4.5 (Vztah konvergence v L p a konvergence v míře). Necht 1 p < a f k f v L p (, µ). Pak f k µ f. Věta L 4.6 (Vztah konvergence s.v. a konvergence v míře). Necht µ() <. µ (i) Necht f k f µ-s.v., pak f k f. µ (ii) Necht f k f, pak existuje vybraná podposloupnost fkj, která konverguje k f µ-s.v. Konec 13. přednášky.