1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

Transkript

1 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem; jaké jsou v praxi ejpoužívaější případy vektorových prostorů; jak je defiová rozdíl vektorů; co je to lieárí kombiace vektorů a lieárí ezávislost vektorů; jak je defiová velmi důležitý pojem báze vektorového prostoru a s ím související pojmy souřadice a složka vektoru. Klíčová slova této kapitoly: vektorový (lieárí) prostor, axiomatická defiice vektoru, součet a rozdíl vektorů, ásobeí vektoru skalárem, lieárí kombiace vektorů, lieárě ezávislá možia vektorů, báze vektorového prostoru, souřadice a složka vektoru. Čas potřebý k prostudováí učiva kapitoly: 0,5 + 0,5 hodiy (teorie + řešeí příkladů)

2 Ze středí školy je zám pojem vektoru ve dvou základích výzamech: jedak tzv. geometrický vektor eboli orietovaá úsečka (úsečka s vyzačeým začátkem a kocem), jedak jako fyzikálí veličia, která má určitý směr, orietaci a velikost. Oba výzamy mají společé zaky, zejméa možost sčítat (skládat) vektory a ásobit je číslem, dále určovat velikost vektoru a úhly mezi dvěma vektory, rozkládat je a složky, určovat jejich souřadice atd. Axiomatická defiice vektoru abstrahuje od kokrétí představy a defiuje vektor jako prvek vektorového (také lieárího) prostoru. Vektorový prostor. Defiice. Vektorovým (také lieárím) prostorem ad možiou reálých čísel (skalárů) R je eprázdá možia V, ve které jsou defiováy dvě operace: a) Sčítáí vektorů, které každé dvojici vektorů a, b z V přiřazuje vektor a+ b z V. b) Násobeí vektoru skalárem, které každému skaláru k z R a vektoru a z V přiřazuje vektor ka z V. Tyto operace musí splňovat ásledující podmíky: a) a+ b= b+ a (komutativost sčítáí vektorů). a+ b + c= a+ b+ c (asociativost sčítáí vektorů). b) ( ) ( ) c) Existuje jediý vektor 0 takový, že 0+ a= a pro každé a z V (ulový vektor). d) Pro každý vektor a z V existuje jediý vektor a takový, že a+ ( a) = 0 (opačý vektor). e) Pro každé k, m z R a každý vektor a z V platí k( ma) = ( km) a(asociativost ásobeí skalárem). k+ m a= ka+ ma (distributiví záko). f) Pro každé k, m z R a každý vektor a z V platí ( ) g) Pro každé k z R a každé a, b z V platí ( ) k a+ b = ka+ kb (distributiví záko). h) Pro každý vektor a z V platí 1 a= a (jedotkový prvek pro ásobeí skalárem). Pozámka. a) Možiou skalárů může být také možia komplexích čísel C, obecě jakékoliv tzv. číselé těleso, což je jistá algebraická struktura, která je zobecěím pojmu možiy reálých čísel. Pro větší kokrétost se bude dále hovořit o reálých číslech, ale pro většiu ásledujících tvrzeí eí teto předpoklad utý. b) V geometrii a fyzice je často zvykem dvou a třídimezioálí vektory začit šipkou ad jméem, apř. a, x atd. c) Nulový vektor se v praxi začí obyčejou ulou (číslem). Ukázkový příklad 1. Velmi důležitým příkladem vektorového prostoru je -ásobý kartézský souči R, tz. možia všech uspořádaých tic reálých čísel, ve které jsou operace sčítáí a ásobeí skalárem defiováy takto: ( x, x,..., x ) + ( y, y,..., y ) = ( x + y, x + y,..., x + y ), k ( x, x,..., x ) = ( kx, kx,..., kx ) Vektorovým prostorem je také apř. možia všech spojitých fukcí a určitém itervalu, možia všech matic stejého typu (viz dále) atd.

3 Rozdíl vektorů. Věta. Ke každým dvěma vektorům a, b z V existuje právě jede vektor x takový, že platí: b+ x= a. Teto vektor se azývá rozdílem vektorů a, b a začí se x= a b. Věta Platí: = + ( ) a b a b (odečíst vektor je totéž jako přičíst vektor opačý). Lieárí kombiace vektorů. Defiice. Jestliže pro ějaký vektor x platí rovost x= xb + x b + + x b, pak vektor x azýváme lieárí kombiací vektorů b1, b2,..., b s koeficiety x1, x2,..., x. Číslo je libovolé přirozeé číslo. Lieárí ezávislost vektorů. Defiice. Možia vektorů U daého vektorového prostoru V se azývá lieárě ezávislou, jestliže žádý její prvek x eí lieárí kombiací jiých prvků z U. V opačém případě je možia U lieárě závislá. Báze vektorového prostoru. Defiice. Bází vektorového prostoru azýváme takovou jeho podmožiu B = { b1, b2,..., b }, pro kterou platí: a) B je lieárě ezávislá možia; b) každý vektor x z V lze vyjádřit jako lieárí kombiaci vektorů z B, tz. ve tvaru x= x1b1+ x2b xb. Počet prvků báze B daého vektorového prostoru V ezávisí a kokrétí volbě báze a azývá se dimezí vektorového prostoru. Začí se často dim(v ). Čísla x1, x2,..., x azýváme souřadicemi vektoru x v bázi B, vektory x1b1, x2b2,..., x b složkami vektoru x v bázi B. Pozámka. Souřadice vektoru x1, x2,..., x jsou určey jedozačě. Libovolý vektorový prostor V dimeze je tedy možo vzájemě jedozačě zobrazit a možiu všech uspořádaých - tic reálých čísel R. Odtud také plye e zcela přesá formulace, že vektor je -tice čísel. Ukázkový příklad 2.

4 3 V prostoru R jsou bází apř. možiy vektorů B = 1 {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, B = 2 {(12, 0, 0), (0, - 4.1, 0), (0, 0, 8.4)}, B = 3 {(1, 1, 0), (0, 1, -1), (1, 1, 1)} atd. Shrutí kapitoly: Vyšší matematika abstrahuje od kokrétí představy a defiuje vektor jako prvek určitého vektorového prostoru. Vektorový prostor je defiová axiomaticky jako možia libovolých matematických objektů, mezi kterými jsou defiováy dvě základí operace: sčítáí a ásobeí číslem (skalárem). Tyto operace musí splňovat osm daých axiomů. Pro praxi velmi výzamým vektorovým prostorem je prostor všech -tic reálých (ebo i komplexích) čísel, ebo-li kartézský souči R. Stěžejími pojmy pro práci s vektory jsou pojmy lieárí kombiace vektorů, lieárí ezávislost možiy vektorů a báze vektorového prostoru. Vektor x je lieárí kombiací vektorů b1, b2,..., b s koeficiety x1, x2,..., x, platí-li x= x1b1+ x2b xb. Možia vektorů se azývá lieárě ezávislou, jestliže žádý její prvek eí lieárí kombiací jiých jejích prvků. Bází vektorového prostoru azýváme takovou jeho podmožiu, pro kterou platí, že je lieárě ezávislá a že každý vektor vektorového prostoru lze vyjádřit jako lieárí kombiaci vektorů této možiy. Počet prvků báze daého vektorového prostoru V se azývá dimezí vektorového prostoru a začí dim(v ). Každý vektor vektorového prostoru můžeme jedozačě popsat jeho souřadicemi, příp. složkami v daé bázi. Otázky: Defiujte axiomaticky vektorový prostor. Vyjádřete slově základí myšleku defiice. Jaký je pro praxi ejdůležitější případ vektorového prostoru? Záte další příklady vektorových prostorů? Jak je defiová rozdíl vektorů? Defiujte přesě lieárí kombiaci vektorů. Vyjádřete slově hlaví myšleku defiice. Co rozumíme lieárí ezávislostí možiy vektorů? K čemu je teto pojem užitečý? Defiujte přesě bázi vektorového prostoru. Jaké jsou hlaví výhody zavedeí tohoto pojmu? Jak je defiováa souřadice vektoru a složka vektoru? Souvisejí tyto pojmy s pojmem báze? Jaký je základí rozdíl mezi těmito veličiami?

5 Příklad 1: K daé možiě zaveďte operace sčítáí, ásobeí skalárem, ulový prvek a opačý prvek tak, aby vzikl vektorový prostor. a) triviálí prostor, tvořeý jediým vektorem 0 ; b) možia všech uspořádaých -tic reálých čísel; c) možia všech zobrazeí libovolé možiy M do R ; d) možia všech reálých polyomů. Návod. Zaveďte uvedeé operace ejpřirozeějším způsobem a ověřte, zda takto vytvořeá struktura splňuje axiomy vektorového prostoru. Příklad 2: Zjistěte, zda uvedeá možia vektorů je lieárě ezávislá a zda tvoří bázi příslušého 2 3 prostoru R ebo R : a) (1, 0), (0, 2); b) (-1, 3), (2, -6); c) (1, 2, -1), (-1, -2, 0), (0, 0, 1); D) (1, 2, -1), (-1, -2, 0), (0, 0, -1); E) (1, 2, -1), (-1, -2, 0). Řešeí příkladů: 1a) Součet 0+ 0= 0, k -ásobek k 0= 0, ulový prvek 0, opačý prvek 0= 0; 1b) Součet ( x1, x2,..., x) + ( y1, y2,..., y) = ( x1+ y1, x2 + y2,..., x + y), k -ásobek k ( x, x,..., x ) = ( kx, kx,..., kx ), ulový prvek (0, 0,..., 0), opačý prvek ( x, x,..., x ) = ( x, x,..., x ) ; c) Nechť fg, :M R, x R. Součet ( + )( x) = ( x) + ( x) ( kf)( x) = k f ( x), ulový prvek f ( x ) = 0 pro lib. x M ( f)( x) = f ( x) pro lib. x M ; Další zdroje: f g f g, k -ásobek, opačý prvek 1d) Nechť P( x) = ax a1x+ a0 je libovolý polyom. Součet a k -ásobek polyomů je defiová obvyklým způsobem, ulový prvek Q( x ) = 0 (ulový polyom), opačý prvek ( P)( x) = P( x) = ax... a1x a0. 2a) LN, ao ; 2b) LZ, e ; 2c) LN, ao, 2d) LZ, e, 2e) LN, e. 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.

6 ZÁVĚR: [Tady klepěte a pište]