Zkoušky založené na principu šíření defektů. Zkoušky lomové houževnatosti

Transkript

1 Zkoušky založené na principu šíření defektů Zkoušky lomové houževnatosti

2 Houževnatost materiálu udává jeho odolnost proti křehkému lomu. Ten je nebezpečným druhem porušení, neboť při malé spotřebě energie a nepatrné tvárné deformaci se často šíří velkou rychlostí. Vznik křehkého lomu závisí na řadě faktorů. Nejvýznamnějšími jsou nízká teplota, rychlost zatěžování, tloušťka konstrukce, přítomnost vrubu či výskyt vad, ale i jakost materiálu [1]. Lom je HOUŽEVNATÝ Energetické hledisko KŘEHKÝ

3 S rozvojem používání vysoce pevných ocelí se ukázalo, že únosnost strojních součástí a konstrukcí neurčuje mez kluzu, ale odolnost proti iniciaci lomu z defektu [2]. Vzniká nová disciplína lomová mechanika. Respektuje významný vliv přítomnosti defektů v materiálu, pojednává o napjatosti kolem těchto defektů, o jejich chování při zatěžování statickém či dynamickém a definuje podmínky pro okamžik iniciace nestabilního lomu (z defektu). Objevuje se nový materiálový parametr lomová houževnatost.

4 HISTORIE Stále rostoucí požadavky na zlepšené a nové vlastnosti materiálů musí být splněné při zaručení bezpečnosti, spolehlivosti a životnosti vyráběných strojů a strojních zařízení. Týká se to zejména letecké a automobilové dopravy, tisíců kilometrů tlakových potrubí na ropu a plyn, tlakových zařízení tepelné a jaderné energetiky, ocelových mostů, lodí, ocelových konstrukcí budov, stožárů apod., tj. zařízení, u nichž selhání materiálu může mít katastrofální následky spojené s ohrožením mnohých lidských životů. Neočekávané havárie konstrukcí se začali ve světě vyskytovat koncem 19. století. Již v té době se objevují zprávy o katastrofálních lomech potrubí, plynojemů, nádrží a jiných zařízení. Před druhou světovou válkou, když se ocelové konstrukce namísto nýtování začaly svářet, vzniklo v Evropě několik katastrofálních porušení mostů zhotovených z konstrukčních uhlíkových ocelí vyrobených ve vzduchových konvertorech. Mosty se porušily náhlým lomem při nižším provozním zatížení a po krátkém používání. Materiálová analýza ukázala, že jde o křehké lomy, které byli iniciovány z defektů ve svarech a většina materiálů měla při provozní teplotě nízkou vrubovou houževnatost. Zdroj: [3]

5 Od listopadu 1942 do dubna 1946 se na 976-ti svařovaných námořních plavidlech USA objevilo 1442 vážných poškození trhlinami různých velikostí. Do konce roku 1949 došlo k havárii 11 lodí typu Liberty a 8 tankových lodí jejich úplných příčným rozlomením na dvě části. Většina těchto lomů vycházela z konstrukčních vrubů a z defektů ve svarech. Konstrukčními úpravami nosných dílů trupu lodi a vsazením zastavovačů trhlin v kritických místech se podstatně zredukoval výskyt křehkých lomů. Zkoušky materiálu lodí ukázaly, že kromě konstrukčních chyb byla jedním z primárních faktorů, které přispěly k porušení, i nízká kvalita použité oceli. Uvedené havárie a poškození lodí přinutily Americký úřad pro lodní dopravu v r zavést určité normy pro chemické složení oceli používaných na stavbu lodí. I když byly používány zastavovače trhlin a došlo ke konstrukčním zlepšením i k úpravě chemického složení ocelí na stavbu lodí, křehké lomy se v omezené míře vyskytovaly i nadále. Zdroj: [3] Zdroj: [6]

6 Měření lomové houževnatosti umožňuje nový pohled na jakost materiálu a stanoví přípustné velikosti defektu, který je v součásti za provozních podmínek [2]. lineární (elastická) lomová mechanika elasticko-plastická lomová mechanika Lomová houževnatost je funkcí [2] : Chemického složení Čistoty materiálu Tepelného a mechanického zpracování Teploty Rychlosti deformace Zdroj : [2]

7 RÁZOVÉ ZKOUŠKY V provozu působí často na strojní součásti síla, která se cyklicky mění, popř. její působení je dynamického charakteru. Rázové působení síly je velmi nebezpečné, neboť to může iniciovat náhlou destrukci materiálu, ke které by při statickém zatížení nikdy nedošlo. Náhlý lom vzniklý rázovým působením síly má obvykle ve svém okolí jen nepatrné deformace (křehký lom). Zatímco u stejného materiálu, který je zatěžován statickou silou, dojde před porušením k rozvoji tvárné deformace (tvárný lom). Ke zjištění jak se chová materiál při náhlém vzrůstu namáhání slouží zkoušky rázem. Rázové zkoušky za normálních teplot Podle způsobu jakým působí síla při rázu lze tyto zkoušky rozdělit na: 1. rázové zkoušky v tahu a tlaku Zdroj : [2] 2. rázové zkoušky v ohybu tato zkouška má největší význam 3. rázové zkoušky v krutu

8 RÁZOVÉ ZKOUŠKY - CHARPY, IZOD [1] Rázová zkouška v ohybu má z rázových zkoušek největší význam. Používá se zejména u ocelí. Vzhledem k vysoké houževnatosti ocelí by někdy nedošlo k porušení (přeražení) zkušebního tělesa, ale jen k plastické deformaci. Proto se opatřují zkušební tyče vrubem. V jeho dně dochází při úderu ke koncentraci napětí a vzniká oblast složité napjatosti, což zvýší pravděpodobnost křehkého porušení tělesa. Protože však i při geometrické podobnosti vzniká u tyčí různých rozměrů ve dně vrubu při rázu rozdílná napjatost, nelze výsledky získané na tyčích různých rozměrů srovnávat. Proto jsou tvar i rozměry zkušebních těles stanoveny normou. Podle způsobu uložení tyče, na niž dopadá ráz, rozdělujeme rázové zkoušky na zkoušky podle Charpyho (tyč je uložena na dvou podporách) a zkoušky podle Izoda (tyč uchycena letmo).

9 RÁZOVÉ ZKOUŠKY - CHARPY, IZOD [2] ZKOUŠKA VRUBOVÉ HOUŽEVNATOSTI K [J] - nárazová práce potřebná k přeražení vzorku měla by se vztahovat k deformovanému objemu problém, vztahuje se k velikosti původního průřezu v místě vrubu => nemá fyzikální charakter KC = K / So [J/cm2] vrubová houževnatost Faktory ovlivňující KC: rychlost zatěžování: 4-7 m/s způsob namáhání: trojbodý symetrický ohyb stav napjatosti tvar a rozměry tyče dle ČSN tvar a rozměry vrubu dle ČSN U-vrub, V-vrub jakost povrchu velikost zrna orientace vrubu ke směru tváření vzorek úhel vrubu KC [J/cm2]

10 CHARPYHO KLADIVO [4] energie rázu: J

11 Jeho historie sahá do roku 1901, kdy v Budapešti na sjezdu Mezinárodního svazu pro technické zkoušení materiálu přednášel Francouz G. Charpy o svých zkušenostech stanovení houževnatosti přerážením prismatických tyčí opatřených vrubem. V roce 1909 bylo na kongresu v Kodani doporučeno normování Charpyho zkoušky, která se brzy na to ujala po celém evropském kontinentě. V Anglii navrhl Izod odlišný způsob provedení zkoušky. Izod vetknul tyč až ke vrubu(viz obr.). Rozdíl obou způsobů spočívá v tom, že u Charpyho zkoušky narazí kladivo na zkoušenou tyč v rovině lomu, zatímco u Izodovy zkoušky je ráz veden na místo od lomu vzdálené. Zkoušky Izodova byla zavedena v Anglii a částečně i v Americe. Zdroj: [3] Princip rázové zkoušky dle Izoda

12 ZKOUŠKA VRUBOVÉ HOUŽEVNATOSTI PROVEDENÍ 1. při pokojové teplotě orientačně informativní význam 2. při více teplotách hodnocení přechodu z houževnatého lomu na křehký ZMĚNA MECH. VLASTNOSTI UHLÍKOVÉ OCELI S TEPLOTOU při krátkodobých zkouškách Re Rm má lokální maximum A, Z mají lokální minimum Zdroj : [2]

13 LUDWIK - JOFFEHO TEORIE Joffe sestrojil diagram viz obr., který vysvětluje tzv. křehkost za studena. Tento diagram je sestrojen pro monokrystal kuchyňské soli. Jsou zde zakresleny dvě křivky v závislosti na teplotě. Křivka RK zachycuje tzv. mez pevnosti v kluzu a křivka RT mez pevnosti v kohezi. Z diagramu vyplývá, že hodnota RT zůstává při změně teploty stálá, kdežto hodnota RK s klesající teplotou rychle vzrůstá a protíná přímku RT v bodě a. Tento bod odpovídá tzv. kritické teplotě křehkosti. Při teplotách pod tímto kritickým bodem má na charakter porušení největší vliv křehký stav před lomem. Za teplot vyšších než je kritická teplota křehkosti nastává porušení v oblasti tvárné deformace. Zdroj: [5] Diagram křehkosti za studena pro sůl kamennou RK mez pevnosti v kluzu, RT mez pevnosti v kohezi

14 Lomy houževnatého a křehkého charakteru se mohou objevit u téže oceli, a ukazují na to, že otázka přechodu křehkého stavu do houževnatého, vysvětlená Joffem na monokrystalu NaCl, najde i zde svoji obdobu. Převedeme-li diagram z monokrystalu na polykrystalické materiály, pak má kritická teplota křehkosti určité rozmezí RKmax RKmin a RTmax, RTmin (obr.). V tomto rozmezí se vyskytují oba druhy porušení, jak křehké tak tvárné. Jestliže se u některých materiálů, jako jsou např. slitiny hliníku a mědi se křivky RK a RT neprotínají, pak jsou tyto materiály necitlivé na pokles teploty při rázu, neboť jejím snižováním se nemění dynamická houževnatost. Zdroj: [5] Diagram křehkosti pro polykrystalické struktury, b změna dynamické houževnatosti v kritickém rozmezí křehkosti

15 Hlavním činitelem, který vedle deformační rychlosti a velikosti vrubu má zásadní vliv na vrubovou energii je teplota při které dojde k přeražení vzorku. Hlavní význam zkoušky rázem v ohybu spočívá v určení přechodové teploty TP, tj,. teplota pod níž se materiál chová křehce. Nad touto teplotou má lom tvárný charakter. Způsoby zjišťování přechodové teploty Pro stanovení přechodové teploty neplatí žádná závazná norma. Protože není přechodová teplota jednoznačně definována, existuje více kritérií jejího určování. Stanovení přechodové teploty lze zjistit některým z následujících způsobů: 1. Nejnižší teplota, při níž je lom zkušební tyče v celém průřezu houževnatý. 2. Teplota při níž houževnatý lom tvoří 50% celkového lomové plochy. 3. Teplota odpovídající střední hodnotě vrubové houževnatosti (dle Daviděnka). 4. Teplota odpovídající inflexnímu bodu křivky teplotní závislosti vrubové houževnatosti. 5. Teplota odpovídající dohodnuté vrubové houževnatosti. Zdroj: [5]

16 Teplotní závislost vrubové houževnatosti a) schéma průběhu; b) způsoby stanovení přechodové teploty Zdroj: [5]

17 Přehled nejdůležitějších vlivů na polohu přechodové teploty Zdroj: [5]

18 Neporušené a porušené zkušební tyče Neporušená zkušební tyč před experimentem č. 1 a zkušební tyč po provedení experimentu (pouhé ohnutí tyče č. 2, příp. její nalomení č. 3 v případě, že energie rázu nebyla dostatečná na přeražení tyče), a tyč porušená křehkým lomem č. 4). Zdroj: [3]

19 Štěpný lom interkrystalický Štěpný lom - transkrystalický Zdroj: [6]

20 Tvárné porušení zkušební tyčky přeražené při teplotě 100 C. Křehké porušení zkušební tyčky přeražené při teplotě 20 C. Smíšené porušení zkušební tyčky přeražené při teplotě 65 C. Zdroj : [5]

21 Transkrystalické dutinové tvárné porušení oceli přeražené při teplotě 100 C. Zdroj : [5] Transkrystalické křehké porušení oceli přeražené při teplotě 20 C.

22 ZKOUŠKA VRUBOVÉ HOUŽEVNATOSTI VÝHODY: jednoduchost ekonomická a časová nenáročnost porovnání různých stavů jednoho materiálu porovnání různých materiálů navzájem měření - při pokojové teplotě - orientačně informativní význam při více teplotách => přechodová křivka => přechodová teplota NEVÝHODY: tt - udává jen min. teplotu, při které může být materiál provozován neudává krit. napětí, které při dané teplotě způsobí porušení vztahuje se pouze na zkušební těleso určitých rozměrů malá plocha pro vyhodnocení a posouzení charakteru lomu Zdroj : [2]

23 Kovové materiály - fcc = γ železo - o typu lomu nerozhoduje teplota Čisté kovy lomu vždy předchází plastická deformace a tedy lom bude houževnatý Slitiny zablokování dislokací lom bude křehký (např. zvonovina) Kovové materiály - hcp (hexagonální m.) - o typu lomu rozhoduje teplota Malý počet skluzových systémů lom je zpravidla křehký pouze za zvýšených teplot je možné vyvolat plastickou deformaci Kovové materiály bcc = α - železo o typu lomu rozhoduje teplota, rychlost zatěžování a napjatost (tloušťka stěny, vruby) V závislosti na podmínkách zatěžování se mění charakter lomu. Při vyšších teplotách zpravidla je lom houževnatý, za nízkých teplot lom křehký. Změna charakteru lomu vlivem poklesu teploty se označuje pojmem tranzitní lomové chování ocelí a teplota tranzitu (přechodu) je tranzitní teplota. Zdroj: [6]

24 Při havárii se prohlíží lomová plocha fraktografie Typ lomu se rozlišuje podle mechanismu jakým vznikl. Předchází-li lomu plastická deformace nebo též přetvoření mluvíme o tvárném lomu Nepředchází-li lomu významná makro-plastická deformace, pak se lom šíří po hranicích zrn nebo v krystalografických rovinách mluvíme o štěpném (křehkém) lomu Zdroj: [6]

25 Tranzitní lomové chování ocelí Změna charakteru lomu oceli z tvárného lomu na lom štěpný v závislosti na poklesu teploty. Jak zabránit havárii ocelové svařované konstrukce křehkým lomem - filosofie zastavení trhliny tranzitní teplota - filosofie zabránění iniciace lomu lomová mechanika Zdroj: [6]

26 ZKOUŠKY ZALOŽENÉ NA PŘECHODOVÉ TEPLOTĚ VÝHODY: stanovení teploty, nad kterou nemůže nastat nestabilní růst trhliny s přípustnou velikostí korelace parametrů zkoušek a skutečných podmínek; pro ocelové plechy tt DWTT pro tlustostěnné části tzt podmínka pro konstrukční materiály: tztσopr. = tpr - tb tztσopr. teplota zastavení trhliny při provozním napětí σpr. a při dovolené velikosti defektu cdov. tpr provozní teplota tb - přídavek teploty na bezpečnost Zdroj : [2] NEVÝHODY: hodnotí odolnost materiálu proti křehkému porušení z hlediska šíření defektu, ale nevyjadřuje odolnost materiálu proti iniciaci křeh. trhliny odolnost proti křehkému porušení není vyjádřena kvantitativně příslušným napětím, které by umožnilo dimenzování konstrukcí nelze aplikovat na materiály, které nemají přechod z houževnatého stavu do křehkého (austenitické oceli, vysokopevné hliníkové slitiny)

27 Zkoušky rázem v ohybu provádíme za různých teplot dostaneme tak velké množství údajů o hodnotách nárazové práce při různých teplotách. Po grafickém zpracování těchto experimentálních výsledků získáme tzv. přechodové křivky (ilustrační příklad přechodové křivky je uveden na obr). Čím více údajů máme k dispozici, tím jsou tyto křivky přesnější. Pro některé materiály má uvedená závislost dramatický průběh (křivka a), pro některé vcelku nezajímavý (křivka b). Naneštěstí výraznou závislost nárazové práce na teplotě vykazují právě běžně používané konstrukční materiály uhlíkové oceli s prostorově centrovanou kubickou mřížkou (bcc). Naopak materiály s kubickou plošně centrovanou mřížkou (fcc) některé kovy s hexagonální mřížkou vykazují jen velmi pozvolný a hlavně relativně plynulý nárůst nárazové práce s rostoucí teplotou. Zdroj : [3]

28 Na křivce bcc materiálu je možno vysledovat přechodovou (tranzitní) oblast, v níž dochází v relativně úzkém intervalu teplot k velkému poklesu nárazové práce dá se říct, že materiál při poklesu teploty přes uvedený interval zkřehne. Šířka teplotního intervalu a jeho poloha na teplotní ose stejně jako velikost poklesu nárazové práce závisí na materiálu. Poloha tranzitní oblasti na teplotní ose je specifikována pomocí tzv. přechodové neboli tranzitní teploty Tp. Je to teplota charakteristická pro daný materiál. PRACOVNÍ TEPLOTA SOUČÁSTI V OBLASTI TVÁRNÉHO (HOUŽEVNATEHO) LOMU!!! Zdroj : [3]

29 ZKOUŠKA TEPLOTY NULOVÉ HOUŽEVNATOSTI NDT - nil ductility temperature - vyjadřuje odolnost materiálu proti nestabilnímu šíření trhliny ZKUŠEBNÍ TĚLESO - ploché ocelové těleso 1 - navařený křehký návar - tvrdá elektroda 2 s vyfrézovaným vrubem - tj. iniciátor lomu NAMÁHÁNÍ TĚLESA. - trojbodový ohyb dynamickou silou s omezeným průhybem pomocí narážky 3, tak, že při max. průhybu yk se na tahové straně napětí rovná mezi kluzu Re. Zdroj : [2]

30 PROVEDENÍ ZKOUŠKY rázové namáhání při snižujících se teplotách NDT nejvyšší teplota, při které přechází lom z návaru do základního materiálu koreluje s přechodovou teplotou: nachází se v oblasti dolního ohybu přechodové křivky materiálová charakteristika při daném stavu napjatosti pro b > b0 VÝHODY: přiblížení skutečným poměrům: napětí, složitá napjatost, vrubové účinky defektů Zdroj : [2] určení teploty, při které nastává křehké porušení (σ < Re) pomocné hledisko: hodnota spotřebované energie odpovídá přibližně energii pro šíření trhliny (díky snadné iniciaci)

31 ZKOUŠKA VELKÝCH TĚLES NA RÁZOVÝ OHYB DROP WEIGHT TEAR TEST - DWTT tt přechodová teplota ocelových plechů na tlakové potrubí DWTT ZKUŠENÍ TĚLESO velké zkušební tyče se skutečnou tloušťkou plechu ostrý lisovaný V vrub NAMÁHÁNÍ TĚLESA trojbodý ohyb rázem PROVEDENÍ ZKOUŠKY - padostroj nebo velkokapacitní kyvadlové kladivo energie rázu musí stačit k přeražení jedním úderem - různé zkušební teploty - i pro vzorky se svarem (v ose vrubu) Zdroj : [2]

32 PHL podíl houževnatého lomu Zdroj : [2] PKL = 100 PHL. podíl křehkého lomu tt DWTT - přechodová teplota odpovídající PHL = 75% - koreluje s přechodovými teplotami naměřenými na skutečných potrubích - pokud se vyhodnotí pro PHL = 85% odpovídá zkoušce vrubové houževnatosti (Charpy) na tělesech s V vrubem

33 Zkouška teploty zastavení trhliny podle Robertsona TZT - teplota zastavení trhliny CAT - crack arrest temperature ZKUŠEBNÍ TĚLESO - ploché těleso se skutečnou tloušťkou s vrubem - přivaří se k upínacím hlavám NAMÁHÁNÍ TĚLESA - tahové napětí - dle provozu (např. tlakové nádoby) PROVEDENÍ ZKOUŠKY - teplotní gradient - ochlazování - strana s vrubem - ohřev - druhá strana - úder na straně s vrubem => iniciace trhliny, šíření trhliny kolmo na směr tahového napětí - oblast s nízkou teplotou (podtranzitní): šíření velkou rychlostí m/s - oblast s vyšší teplotou: zpomalení šíření, zastavení trhliny při t = tzt Zdroj : [2]

34 tzt- charakterizuje schopnost materiálu zastavit šíření trhliny při daném nominál. napětí σ ~ na působícím napětí σ ~ na velikosti trhliny c ~ na tloušťce materiálu B σ0- mezní napětí: σ < σ0=> nešíří se křehká trhlina FTE - fracture transition elastic přechodová teplota lomu v elastické oblasti deformace t >FTE => nešíří se křehká trhlina LTTR - limiting transition temperature range - hranice rozsahu teplot zastavení trhliny Robertsonova přechodová křivka teploty zastavení trhliny Zdroj : [2]

35 DIAGRAM ANALÝZY PORUŠENÍ FAD - fracture analysis diagram - závislost charakteru porušení na napětí σ, teplotě t a velikosti defektu c - analyzuje podmínky vzniku lomu - platí pro jeden materiál SESTROJENÍ - 2 Robertsonovy křivky pro tloušťky b1 < b2 > 75 mm - 2 části: Zdroj : [2]

36 1. t<ndt: nestabilní šíření trhl.: ~ stabilita trhliny nezávisí na t ~ na délce trhliny c ~ na velikosti napětí trhlina se šíří, pokud při určitém nap. σ dosáhne c = ckrit, ckrit při σ, σ vyvolávající křeh. lom nezávisí na t. 2. t>ndt: uplatňuje se princip přechodu: stabilita trhliny ~ na t čára B1 FTPb1 - odpovídá napětí na mezi kluzu při c1 = ckrit FTPb1 - přechodová teplota plastického lomu, tj. maximální teplota, pod kterou mohou vznikat lomy v elastoplastické oblasti při σ < Rm body B2, B3, B4 - počátky interpolačních čar pro b1 pro b2 odpovídajících kritickým délkám trhliny c2, c3, c4 body B2, B3, B4 - určují σ a t, při kterých začíná nestabilní růst trhliny příslušející kritickým délkám trhliny c2, c3, c4. σ < Ro - nenastává křehké porušení ani při max. velikosti defektů Zdroj : [2] T > TZTb1 - nenastává křehké porušení pro tloušťku b1 35 / 38

37

38 Zkoušky odolnosti materiálu vůči iniciaci lomu založené na zjišťování materiálových charakteristik zavedených lomovou mechanikou

39 kovová deska: s jednotkovou tloušťkou nekonečnými rozměry ve směru osy x a y s průchozí trhlinou eliptického tvaru o délce 2a zatížená napětím σ tak, aby elastická deformace desky byla konstantní poloměr kořene trhliny intenzita napětí součinitel intenzity napětí K= σ π a B W a

40 V praxi se pro popis vzniku nestabilního lomu používá rovnice: a K Součinitel intenzity napětí E Gc Kc Kritická hodnota součinitele intenzity napětí lomová houževnatost

41

42 materiál bez defektů materiál s defekty Problém: Problém: aby při provozu nedošlo k plastické deformaci zařízení aby při provozu nedošlo k nestabilnímu šíření trhliny z přítomného defektu dané geometrie Mater. Ing. Konstruktér Konstruktér Mater. Ing. umí nalézt umí popsat umí popsat umí nalézt materiálovou provozní zatížení provozní zatížení materiálovou charakteristiku součástky s součástky charakteristiku popisující odolnost defektem dané popisující odolnost materiálu proti geometrie materiálu proti vzniku napětí σ plastické deformaci nestabilní trhliny mez kluzu Re součinitel intenzity napětí K lomová houževnatost KC společně hledají materiál, který je schopen zatížení unést hledají materiál, který je i s defektem dané geometrie schopen zatížení unést Re > σ KC > K

43 KC

44 Příklad aplikace vztahu K = σ π a znám materiál (KC) a zatížení (σ ), hledám kritickou velikost defektu pro vznik nestabilní trhliny 1 KC ac = π σ 2 a < ac bezpečí znám materiál (KC) a velikost defektu (a), hledám kritické zatížení pro vznik nestabilní trhliny σc= KC π a σ < σc bezpečí znám velikost defektu (a) a zatížení (σ ), hledám materiál odolný proti vzniku nestabilní trhliny K = σ π a K < KC bezpečí

45 LITERATURA [1] Macek K., Zuna P.: Strojírenské materiály. ČVUT [2] Podklady pro cv ze Strojírenských materiálů v letech KMM. ZČU v Plzni. Citace literatury [2] je použita v podkladech v celém rozsahu. [3] =%22zkou%C5%A1ky%20podle%20Izoda%20%22 [4] [5] Kříž A. : Podklady pro cv z NM. [6] Vlach: Tranzitní lomové chování. ÚMI. Brno.