MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Diplomová práce BRNO 2014 MARTIN CHVÍLA
|
|
- Miroslav Bláha
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Diplomová práce BRNO 2014 MARTIN CHVÍLA
2 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Tvorba dluhopisového portfolia Diplomová práce Martin Chvíla Vedoucí práce: Ing. Luděk Benada Brno 2014
3 Bibliografický záznam Autor: Bc. Martin Chvíla Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Název práce: Tvorba dluhopisového portfolia Studijní program: Matematika Studijní obor: Finanční matematika Vedoucí práce: Ing. Luděk Benada Akademický rok: 2013/2014 Počet stran: xi + 76 Klíčová slova: dluhopisy; optimalizace portfolia; Markowitzův model; durace dluhopisu; úrokové riziko; výnosová křivka; Vašíčkův model
4 Bibliographic Entry Author: Bc. Martin Chvíla Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Title of Thesis: Formation of a bond portfolio Degree Programme: Mathematics Field of Study: Finance Mathematics Supervisor: Ing. Luděk Benada Academic Year: 2013/2014 Number of Pages: xi + 76 Keywords: bonds; portfolio optimization; Markowitz Model; bond duration; interest rate risk; yield curve; Vasicek model
5 Abstrakt Diplomová práce se zaměřuje na problematiku tvorby portfolia dluhopisů. Nejdříve popisuje strukturu dluhopisů a jejich vlastnosti jako výnos do splatnosti, durace a konvexita. Dále je uveden Markowitzův model zabývající se tvorbou portfolia z cenných papírů a jeho transformace na model portfolia dluhopisů. Rozebrány jsou také dluhopisové strategie běžně používané v praxi. V poslední části práce jsou některé popsané modely použity pro tvorbu portfolia z reálně obchodovatelných dluhopisů. Abstract This thesis is focused on problematics of bond portfolio formation. The first part is concentrated on the structure and characteristics of bonds such as yield to maturity, duration and convexity. Next part deals with Markowitz portfolio theory and its tranformation for usage in bond portfolio formation. Simple bond portfolio strategies used in practice are also discussed. Some of the described models are used in the last part for creation of portfolio from real bonds.
6
7 Poděkování Na tomto místě bych chtěl poděkovat Ing. Luďkovi Benadovi za ochotu, cenné připomínky a čas, který mi věnoval v průběhu psaní diplomové práce. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji diplomovou práci vypracoval samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 12. května Martin Chvíla
8 Obsah Úvod x Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů Náležitosti dluhopisu Dělení dluhopisů Podle úrokových sazeb Podle emitenta Podle doby splatnosti Podle formy dluhopisu Podle měny Rizika investice do dluhopisů Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů Vnitřní hodnota dluhopisu Výnos z dluhopisu Nominální výnos Běžný výnos Výnos do splatnosti Durace dluhopisu Macaulayova durace Modifikovaná durace Konvexita Výnosová křivka Tvar výnosové křivky Ocenění dluhopisu při znalosti výnosové křivky Kapitola 3. Moderní teorie portfolia Výnosnost a riziko cenného papíru vii
9 3.2 Kovariance a korelace cenných papírů Výnosnost a riziko portfolia Optimalizační úloha Kapitola 4. Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia Optimalizační úloha Úprava optimalizační úlohy pro dluhopisy Odhad vstupních parametrů optimalizační úlohy Vašíčkův model Použití Vašíčkova modelu pro odhad vstupních parametrů Kapitola 5. Dluhopisové strategie používané v praxi Indexace portfolia Minimalizace Tracking erroru Imunizační strategie Úrokové riziko bezkupónového dluhopisu Úrokové riziko kupónového dluhopisu Durace portfolia Konvexita portfolia Statická a dynamická imunizace Modely dluhopisových portfolií s pevnou durací Bullet Barbell Ladder Konvexita portfolií s pevnou durací Kapitola 6. Aplikace na reálná data Výběr dluhopisů do portfolia Popis dat Výnosová křivka v průběhu investice Tvorba portfolia pomocí Markowitzova modelu Odhad vstupních dat do optimalizace Použití optimalizační úlohy Optimalizace portfolia při zákazu prodeje na krátko Tvorba portfolia pomocí modelů s pevnou durací
10 Závěr Seznam použité literatury Příloha
11 Úvod Problémem výběru portfolia se zabývá velké množství literatury a moderní teorie portfolia je jedním z nejvýznamnějších pokroků v oblasti financí ve druhé polovině 20. století. Tato teorie nicméně nachází využití hlavně při tvorbě portfolia z akcií. Přestože je v praxi problém výběru portfolia dluhopisů stejně důležitý, není předmětem mnoha výzkumů. Na dluhopisy je možné aplikovat i klasické nástroje moderní teorie portfolia podobně jako na akcie, ale kvůli odlišnostem těchto aktiv tento přístup není příliš vhodný a je nutno model upravit. Hlavním cílem této práce je rozebrat různé strategie tvorby portfolia čistě z dluhopisů a aplikovat tyto strategie na reálně obchodované dluhopisy. Pro splnění tohoto cíle musíme nejdřív zadefinovat pojem dluhopis a rozebrat jeho vlastnosti. Uvedeme si náležitosti dluhopisu podle české normy a několik klasifikací dluhopisů podle různých kritérií. Při investování podstupuje investor několika investičním rizikům, které si charakterizujeme. Vysvětlíme, jaké z těchto rizik se budeme snažit při tvorbě portfolia eliminovat. Dále se zaměříme na vlastnosti dluhopisů, jako je jejich vnitřní hodnota, různé typy výnosů a parametry durace a konvexita. Také je nutné rozebrat pojem výnosové křivky a na příkladech si ukážeme, jaké typy výnosových křivek mohou reálně nastat. V další kapitole si uvedeme moderní teorii portfolia podle Markowitze, která se využívá hlavně pro tvorbu portfolia z akcií. Při aplikaci na portfolio dluhopisů je u tohoto modelu problém s odhadem vstupních parametrů, protože nemůžeme jednoduše použít odhad založený na historických cenách, které jsou závislé na čase do splatnosti. Tento model bude nutné upravit a pro jeho použití zavést pojem modelu úrokové míry. Konkrétně použijeme Vašíčkův model, který dokáže po kalibraci na současné výnosové křivce odhadnout pohyb úrokové míry a s ním související budoucí ceny dluhopisů. Přestože je možné pro tvorbu portfolia použít tyto sofistikované modely, v praxi se většinou využívají jednodušší modely. Uvedeme si pasivní strategii indexace a jednu z metod praktického použití této strategie. Dále si rozebereme modely x
12 Úvod xi založené na cílení durace portfolia, které skládají portfolio z dluhopisů s určitými splatnostmi, aby jeho durace dosahovala požadované hodnoty. V poslední části se budeme snažit použít uvedené modely na reálně obchodované dluhopisy. Určíme si trh, na kterém budeme obchodovat a vybereme několik dluhopisů pro použití do portfolií tvořených pomocí vysvětlených modelů. Využijeme nejen současných, ale i historických dat a vytvoříme několik portfolií, které díky znalosti historických cen můžeme dále analyzovat.
13 Kapitola 1 Charakteristika dluhopisů V první kapitole vymezíme pojem dluhopis, popíšeme jeho základní charakteristiky a uvedeme dělení dluhopisů do skupin podle různých kritérií. Dluhopis (obligace, bond) je dluhový cenný papír vyjadřující závazek emitenta (dlužníka) vůči věřiteli. Je s ním spojeno právo držitele dluhopisu požadovat dlužnou částku v nominální hodnotě a výnosy z ní k určitému datu, stejně jako povinnost emitenta tyto závazky plnit. Emitent vydává dluhopis s cílem získat dlouhodobé nebo krátkodobé finanční prostředky. Z klasického dluhopisu má věřitel dva druhy příjmů ke konci splatnosti obdrží nominální hodnotu dluhopisu a v průběhu doby držení získává pravidelné kupónové platby. Případně může prodat dluhopis před splatností za tržní cenu, protože s dluhopisy je možné obchodovat i na sekundárních trzích. Investice do dluhopisů jsou všeobecně jedny z nejméně rizikových. 1.1 Náležitosti dluhopisu V České republice musí dluhopis v listinné podobě podle zákona č. 190/2004 Sb. o dluhopisech obsahovat následující náležitosti: 1 údaje nutné k jednoznačné identifikaci emitenta, označení, že jde o dluhopis, popřípadě označení zvláštního druhu dluhopisu, identifikační označení podle mezinárodního systému číslování pro identifikaci cenných papírů, je-li přidělováno, nebo jiný údaj identifikující dluhopis, 1 [28] 1
14 Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů 2 jmenovitou hodnotu jako dlužnou částku; to neplatí v případě sběrného dluhopisu, pokud jmenovitá hodnota plyne ze zápisu v příslušné evidenci, údaj o tom, kde se lze seznámit s emisními podmínkami, výnos dluhopisu nebo způsob stanovení jeho výše, datum emise, způsob a místo splacení dlužné částky (splacení dluhopisu) a vyplacení výnosu dluhopisu, data splatnosti dluhopisu a výnosu dluhopisu, není-li výnos určen pouze rozdílem mezi jmenovitou hodnotou dluhopisu a jeho nižším emisním kurzem, číselné označení dluhopisu, údaje nutné k jednoznačné identifikaci jeho prvního vlastníka a podpis emitenta. 1.2 Dělení dluhopisů Pojem dluhopis popisuje velké množství rozdílných dluhových cenných papírů a existuje mnoho kritérií, podle kterých můžeme tyto cenné papíry klasifikovat Podle úrokových sazeb Nejdříve dluhopisy rozdělíme podle způsobu vyplácení jejich výnosů: 2 Dluhopisy s pevnou úrokovou sazbou (plain vanilla bond) klasický typ dluhopisu, do doby splatnosti se vlastníkovi pravidelně vyplácí kupónové platby a na konci doby splatnosti obdrží nominální hodnotu. Kupónová sazba je neměnná, takže je dopředu známá výše všech kupónových plateb. Celkovou výnosnost dluhopisu ale může ovlivnit změna tržních úrokových sazeb v případě reinvestice financí získaných z kupónů. Dluhopisy s pohyblivou úrokovou sazbou úroková sazba není pevně stanovená, ale odvozuje se od aktuální hodnoty stanovené tržní úrokové sazby (např. repo sazby nebo mezibankovní sazby PRIBOR, LIBOR,...). 2 [24] str.8
15 Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů 3 Hybridní dluhopisy výnosy se skládají ze dvou typů úrokových sazeb pohyblivé a pevné, které můžou být doplněny i o podíly na zisku emitenta. Dluhopisy s nulovým kupónem (zero coupon bond) mají nulovou úrokovou sazbu a nevyplácí žádné kupóny. Emitují se pod svou nominální hodnotou za cenu rovnu diskontované nominální hodnotě. Věčné dluhopisy (perpetuita, konzola) emitent vyplácí zúročenou nominální hodnotu ve formě kupónových plateb po neomezeně dlouhou dobu, samotná nominální hodnota se nevyplácí. Naturální dluhopisy kupónové platby nejsou vypláceny ve formě peněz, ale ve formě určené komodity. Svlečené dluhopisy (stripped bonds) jsou speciálním případem dluhopisu s nulovým kupónem. Vznikají z jiného typu dluhopisu rozdělením příjmů na několik cenných papírů, které se obchodují zvlášť. Například kupónový dluhopis se splatností n let může být rozdělen na dluhopis s nulovým kupónem a nominální hodnotou původního dluhopisu a n bezkupónových dluhopisů s nominální hodnotou ve výši hodnoty kupónových plateb původního dluhopisu Podle emitenta Dluhopisy rozdělíme podle emitenta tedy podle toho, kdo a za jaké situace konkrétní dluhopis vydal. 3 Druh emitenta má vliv na riziko dluhopisu, závisející na jeho důvěryhodnosti. Státní dluhopisy emitentem je stát, konkrétně v případě České republiky je to Ministerstvo financí ČR nebo ČNB. Stát je vydává za účelem pokrytí nákladného financování nebo deficitu státního rozpočtu. Tyto dluhopisy mají obvykle malou míru rizika. Státní dluhopisy s dobou splatnosti do 1 roku se označují jako státní pokladniční poukázky. Dluhopisy vydávané ČNB s dobou splatnosti do 6 měsíců se označují jako poukázky České národní banky. Komunální (municipální) dluhopisy emituje územní samosprávný celek za souhlasu Ministerstva financí. Ministerstvo udělí souhlas, pokud ekonomická situace územního samosprávného celku umožňuje splnit závazky 3 [24] str.9
16 Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů 4 vyplývající z komunálních dluhopisů a územní samosprávný celek plánuje získané prostředky využít na investice do dlouhodobého hmotného majetku, odstranění škod způsobených pohromami nebo financování projektu spolufinancovaného Evropskou unií. Podnikové (korporátní) dluhopisy emitují firmy s cílem získat finanční prostředky za různými účely investice do rozšíření firmy, modernizace, ale i odvrácení bankrotu. Obvykle jsou z uvedených typů dluhopisů nejvíce rizikové. Do této kategorie se dají zařadit i bankovní dluhopisy emitovány finančními institucemi, které mají specifické právní i finanční možnosti Podle doby splatnosti Doba splatnosti je další důležitý faktor, který má vliv na riziko dluhopisu. Obecně platí, že čím je tato doba kratší, tím je riziko a tedy i výnosnost dluhopisu menší. Podle doby splatnosti dělíme dluhopisy na : 4 Krátkodobé dluhopisy doba splatnosti do 1 roku (pokladniční poukázky, krátkodobé firemní obligace, depozitní certifikáty). Střednědobé dluhopisy doba splatnosti od 1 roku do 10 let. Dlouhodobé dluhopisy doba splatnosti větší než 10 let. Patří sem také věčné dluhopisy. Krátkodobé dluhopisy považujeme za nástroje peněžního trhu, zatímco střednědobé a dlouhodobé za nástroje kapitálového trhu Podle formy dluhopisu Dluhopisy na jméno práva z dluhopisů plynoucí můžou vykonávat pouze osoby, které jsou zapsány jako majitelé v seznamu vedeném emitentem. Vlastníci je můžou převádět na jinou osobu rubopisem, pokud emitent neomezil převoditelnost. Dluhopisy na doručitele práva spojená s dluhopisy můžou vykonávat osoby, které je vlastní. Vlastník je může převést pouhým předáním. 4 [5]str.10
17 Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů Podle měny Podle měny dělíme dluhopisy na: 5 Domácí dluhopisy dluhopisy vydané v dané zemi za domácí měnu domácím emitentem. Zahraniční dluhopisy dluhopisy vydané v dané zemi za domácí měnu zahraničním emitentem. Eurodluhopisy (eurobonds) dluhopisy emitované domácími subjekty na domácím trhu v cizí měně Dvouměnové dluhopisy nominální hodnota a kupónové platby jsou spláceny v různých měnách 1.3 Rizika investice do dluhopisů Riziko je míra nejistoty, že finanční instrument nedosáhne očekávané úrovně výnosnosti. Investice do každého finančního nástroje sebou nese různé druhy investičních rizik. Konkrétně u dluhopisů jsou nejvíce obvyklá rizika: 6 Úrokové - riziko změny tržních úrokových sazeb. Změna úrokových sazeb v průběhu investičního horizontu ovlivní jak relativní výnos dluhopisu, tak plánované výnosy z reinvestice kupónů. Toto riziko se dá ještě dále rozdělit na kapitálové riziko, které způsobuje kapitálovou ztrátu při předčasném prodeji dluhopisu, pokud úrokové sazby vzrostly, a reinvestiční riziko, které naopak při poklesu úrokových sazeb sníží výnosy z reinvestice kapitálu. Kreditní (úvěrové) - nebezpečí částečného nebo úplného nesplnění závazků ze strany dlužníka (nesplacení kupónů nebo jistiny). Jako indikátor výše tohoto rizika může sloužit úvěrový rating, který vydávají nezávislé ratingové agentury (Moody s, Standard & Poor s, Fitch) státům nebo i konkrétním společnostem (státní dluhopisy mají toto riziko obvykle nižší, než korporátní). Konkrétně u Standard & Poor s je nejvyšším ratingem AAA, následují AA,A a jako poslední investiční rating BBB. Další stupně už jsou tzv. spekulativní. Rating neboli přeneseně kreditní riziko má velký vliv na výši výnosu dluhopisu. 5 [15] str.10 6 [5] str. 5
18 Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů 6 Likviditní - vzniká, když se daný cenný papír na trhu obchoduje v malém množství. Kvůli tomu se může stát, že se od sebe vzdálí poptávková a nabídková cena a dluhopis se přestane reálně obchodovat. Tato situace nastává často při výrazném zhoršení ratingu a následném zvýšení výnosů dluhopisu. Měnové - vyskytuje se u investic do zahraničních dluhopisů. Je to riziko změny kurzu měny, ve které investujeme, vůči domácí měně. Toto riziko je možné eliminovat použitím vhodného měnového derivátu. Obvyklé strategie řízení dluhopisového portfolia se zaměřují hlavně na minimalizaci úrokového rizika, čímž se budeme zabývat i v této práci.
19 Kapitola 2 Vlastnosti dluhopisů V této kapitole si ukážeme, jak se dluhopisy oceňují a definujeme vlastnosti dluhopisů jako je durace a konvexita, které budeme potřebovat při použití některých strategií tvorby dluhopisového portfolia. V poslední části kapitoly zavedeme pojem výnosové křivky. 2.1 Vnitřní hodnota dluhopisu Základním pojmem u oceňování cenných papírů je vnitřní hodnota. Je to taková hodnota cenného papíru, za kterou by se měl prodávat při ohledu na všechny možné vlivy. Porovnáním vnitřní hodnoty cenného papíru (V 0 ) s tržní cenou (P 0 ) může pomoci investorovi s rozhodnutím o koupi cenného papíru. Mohou nastat tyto možnosti: 7 1. P 0 > V 0... cenný papír je nadhodnocen 2. P 0 < V 0... cenný papír je podhodnocen 3. P 0 = V 0... cenný papír je správně ohodnocen Vnitřní neboli současnou hodnotu aktiva obecně spočítáme jako součet současných hodnot peněžních toků: V 0 = n P V i, (2.1) i=1 7 [22] str.172 7
20 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 8 kde V 0... vnitřní hodnota dluhopisu, n... počet peněžních toků, P V i... současná hodnota i-tého peněžního toku Na diskontování peněžních toků můžeme použít spojité nebo složené úročení. V případě spojitého úročení se dá výpočet současné hodnoty rozepsat: V 0 = n CF i e r t i, (2.2) i=1 kde CF i... velikost i-tého peněžního toku r... tržní úroková sazba, t i... čas vyplacení i-tého peněžního tok v letech. Při použití periodického úročení: V 0 = n i=1 CF i (1 + r k )k t i. (2.3) kde k... frekvence úročení. Konkrétně u kupónového dluhopisu se většinou vyplácí kupóny jednou ročně a za předpokladu použití ročního úročení platí k = 1 a t i = i. Peněžní toky v časech i 1, 2,..., n 1 jsou kupónové platby, takže CF i = C i pro i n. V čase n je vyplacena nominální hodnota společně s poslední kupónovou platbou a proto CF n = C n + F n. Vzorec pro výpočet vnitřní hodnoty klasického fixně úročeného dluhopisu má tedy tvar: kde V 0 = C 1 (1 + r) + C 2 (1 + r) + C 3 2 (1 + r) + + C n + F 3 (1 + r) n n C i V 0 = (1 + r) + F (2.4) i 1 + r n i=1
21 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 9 C i... kupónová platba v roce i, n... počet let do doby splatnosti, F... nominální hodnota dluhopisu. Pokud jsou kupónové platby konstantní, tedy platí C 1 = C 2 = = C n = C, dá se vzorec (2.4) upravit na tvar: ( r V 0 = C r ) n. (2.5) Jak můžeme vidět ze vzorců, vnitřní hodnota dluhopisu klesá s rostoucí úrokovou sazbou. Závislost vnitřní hodnoty na úrokové sazbě konkrétně pro dluhopis s nominální hodnotou 100, kupónovou sazbou 10% a dobou splatnosti 10 let můžeme vidět na obrázku 2.1. Vidíme také, že u dluhopisů tohoto typu se vnitřní hodnota rovná nominální hodnotě právě když r = 10%, tedy kupónová sazba rovna úrokové míře. Obrázek 2.1: Závislost vnitřní hodnoty dluhopisu na úrokové míře V r Zdroj: vlastní konstrukce
22 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů Výnos z dluhopisu Rozlišujeme 3 druhy výnosů z dluhopisu: 8 nominální výnos, běžný výnos, výnos do splatnosti Nominální výnos Nominální výnos je definován jako podíl roční výše kupónových plateb a nominální hodnoty dluhopisu: c = C F, (2.6) kde c... nominální výnos, C... roční výše kupónových plateb, F... nominální hodnota dluhopisu Běžný výnos Jako běžný výnos se označuje podíl roční výše kupónových plateb a současné tržní ceny dluhopisu: y b = C, P 0 (2.7) kde y b... běžný výnos, P 0... aktuální tržní cena dluhopisu. Běžný výnos slouží pouze jako orientační určení výnosu z dluhopisů. Nebere v úvahu pohyby ceny dluhopisu v důsledku změn tržních úrokových sazeb ani zbývající dobu splatnosti dluhopisu, proto tato definice výnosu není příliš použitelná. 8 [22] str.173
23 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů Výnos do splatnosti Přesnějším stanovením výnosu je tzv. výnos do doby splatnosti (yield to maturity, YTM). Ukazuje průměrný výnos, který investor získává koupením dluhopisu a jeho držením do doby splatnosti. Dluhopisy se obvykle na trhu obchodují za cenu, při které je výnos do splatnosti roven relevantní tržní úrokové míře. To je způsobeno neexistencí arbitráže na efektivním trhu - pokud by bylo možno dosáhnout vyšších výnosů bez přidaného rizika pouhým držením jednoho instrumentu oproti jinému, jeho cena by vzrostla až na hodnotu, při které budou mít výnos stejný. Proto může být výnos do splatnosti považován také za jakousi přenesenou hodnotu tržní úrokové míry. 9 Výnos do splatnosti klesá s rostoucí tržní cenou dluhopisu. Pokud se tržní cena rovná nominální hodnotě, pak je YTM roven kupónové sazbě. Pokud je YTM větší, než kupónová sazba, je dluhopis prodáván s diskontem a pokud je naopak menší, je prodáván s prémií. 10 Výpočet YTM je založen na určení úrokové sazby, která vytvoří rovnost mezi současnou tržní cenou dluhopisu a diskontovanými budoucími příjmy: 11 kde P = n i=1 P... tržní cena dluhopisu, C i... výše kupónové platby v roce i, n... počet let do doby splatnosti, F... nominální hodnota dluhopisu, Y T M... výnos do doby splatnosti. C i (1 + Y T M) + F i (1 + Y T M), (2.8) n YTM z daného vzorce nelze vyjádřit, dá se spočítat pouze numericky nebo je možné použít aproximaci. Jedna z nejvíce používaných metod určení přibližného výnosu do splatnosti je metoda Hawawiniho a Vory, která se dá použít v případě 9 [8] str.6 10 [13] str [22] str.171
24 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 12 konstantních úrokových plateb C: 12 kde AY T M = AY T M... přibližný výnos do doby splatnosti. C + F P n 0, 6 P + 0, 4 F, (2.9) Při dalších zmínkách výnosu budeme za výnos považovat právě výnos do splatnosti a budeme ho označovat jednoduše jako y. 2.3 Durace dluhopisu Durace je průměrná doba v letech, za kterou investor dostane příjmy plynoucí z dluhopisu za předpokladu reinvestice jednotlivých kupónů a následném prodeji dluhopisu na sekundárním trhu. V takovém případě se označuje jako Macaulayova durace. Jiný význam má tzv. modifikovaná durace, která vyjadřuje citlivost ceny dluhopisu na změnu úrokové sazby a je měřena v procentech. V teoretické situaci, kdy je na příjmy z aktiva použito spojité úročení jsou si tyto dvě různě definované durace rovny, ale v praxi při použití periodického úročení (roční, pololetní, měsíční,...) se budou jejich hodnoty lišit Macaulayova durace Základním a nejznámějším typem durace je Macaulayova durace, nazvaná po ekonomovi kanadského původu Frederikovi Macaulayovi. Počítá se jako vážený průměr splatnosti peněžních toků a říká se jí také střední doba životnosti dluhopisu. 13 Obecný vzorec pro výpočet Macaulayovy durace: D = n t i P V i i=1 = n P V i i=1 n i=1 t i P V i P, (2.10) 12 [19] str [7] str.111
25 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 13 V posledním uvedeném tvaru vidíme splatnosti peněžních toků vynásobené poměrem současné hodnoty jednotlivých peněžních toků vůči současné ceně dluhopisu. Součet těchto poměrů přes všechny peněžní toky je 1 a tedy je můžeme brát jako váhy, kterými násobíme splatnosti, což je definice Macaulayovy durace. 14 Při použití periodického úročení se dá tento vzorec napsat jako: n n D = CF i t i ( 1 + y k i=1 P ) k ti = CF i t i ( 1 + y k i=1 n CF i ) k ti (2.11) i=1 (1 + y k )k t i kde y... výnos do splatnosti. tvar: Konkrétně pro kupónové dluhopisy za předpokladu ročního úročení má vzorec D = n i=1 i C i (1 + y) i + n F (1 + y) n P = n i=1 i n i=1 C i (1 + y) + n F i (1 + y) n C i (1 + y) + F i 1 + y n (2.12) Pro standartní dluhopisy má Macaulayova durace hodnotu vždy mezi 0 a dobou splatnosti, přičemž rovna době splatnosti je pouze u dluhopisů s nulovým kupónem. Macaulayovu duraci můžeme spočítat také za předpokladu spojitého úročení. V tomto případě má rovnice tvar: n n D = i=1 t i CF i e y t i P = i=1 t i CF i e y t i n CF i e y t i i=1 (2.13) 14 V následujících vzorcích budeme označovat cenu dluhopisu jako P a protože předpokládáme, že tržní cena se rovná vnitřní hodnotě, bude toto označení odpovídat dřívějšímu V 0. Stejně tak výnos do splatnosti y bude odpovídat tržní úrokové míře r v původních vzorcích.
26 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů Modifikovaná durace Modifikovaná durace je definována jako derivace logaritmu vnitřní hodnoty aktiva vzhledem k výnosu do splatnosti. Udává se v procentech, ale může být také měřena v absolutních hodnotách (například v dolarech) a v takovém případě se označuje jako Dolarová durace. Koncept modifikované durace může být uplatněn i na instrumenty, které nemají fixní toky peněz, a má tak větší využití než Macaulayova durace. 15 D = 1 P (y) P (y) y ln(p (y)) = y (2.14) Pokud zderivujeme funkci ceny (nebo současné hodnoty) dluhopisu s použitím spojitého úročení (2.2) podle y, dostaneme: P (y) y = n i=1 t i CF i e y t i = D P (y) (2.15) Tedy za předpokladu spojitého úročení platí D = D. Na finančních trzích ale většinou používáme periodické úročení namísto spojitého, které by bylo administrativně náročné, a v tomto případě se zmíněné durace nerovnají. Odvodíme tedy výpočet modifikované durace v případě periodického úročení pomocí derivace ceny dluhopisu tvaru (2.3) podle y: P (y) y = y k n CF i t i ( ) i=1 1 + y k ti. (2.16) k Po dosazení Macaulayovy durace ve tvaru (2.11) a úpravě výrazu dostaneme D 1 + y k = 1 P (y) P (y) y (2.17) Pravá strana je rovna definici modifikované durace, takže jsme odvodili vztah mezi Macaulayovou a modifikovanou durací: D = D 1 + y. (2.18) k Přestože spolu Macaulayova a modifikovaná durace úzce souvisí, jsou odlišné koncepčně. Jak už bylo zmíněno, Macaulayova durace je vážený čas doby spla- 15 [2]
27 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 15 cení, kdežto modifikovaná durace vyjadřuje cenovou citlivost na výnosu. Udává procentuální změnu ceny při změně výnosu do splatnosti o 1 procento, což se dá odvodit Taylorovým rozvojem prvního řádu funkce ceny P(y): 2.4 Konvexita P (y) P (y + y) P (y) = y + o( y) y P (y) P (y) y y P (y) 1 P (y) P (y) P (y) y y = D y Modifikovaná durace, respektive Taylorův rozvoj prvního řádu funkce ceny dluhopisu na výnosu, není příliš přesná pro odhad změny ceny dluhopisu při větší změně výnosu y. V takovém případě je vhodnější použít Taylorův rozvoj druhého řádu. To můžeme vidět na obrázku 2.2, který znázorňuje opravdovou cenu dluhopisu vypočítanou pomocí vnitřní hodnoty a odhady ceny dluhopisu Taylorovým rozvojem prvního i druhého řádu při změně z počátečního výnosu 10%. Vidíme, že odhad pomocí Taylorova rozvoje prvního řádu tvoří lineární funkci, ale funkce reálné ceny v závislosti na výnosu je konvexní. Odhad pomocí Taylorova rozvoje druhého řádu je také konvexní a proto se části, kterou se liší od Taylorova rozvoje prvního řádu říká konvexita a někdy také zakřivení dluhopisu. 16 Samotný vzorec pro výpočet konvexity odvodíme pomocí Taylorova rozvoje druhého řádu funkce ceny dluhopisu: P (y) P (y + y) P (y) = y y P (y) ( y) 2 + o(( y) 2 ) 2 y 2 P (y) P (y) y y P (y) ( y) 2 2 y 2 P (y) 1 P (y) P (y) P (y) y y P (y) ( y) 2 (2.19) 2 P (y) y 2 První člen pravé strany (2.19) odpovídá už odvozené modifikované duraci a ve druhém členu se nám objevila tzv. relativní konvexita, které budeme říkat 16 [5]str. 29
28 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 16 Obrázek 2.2: Odhady pohybu ceny dluhopisu Taylorovým rozvojem P Opravdová cena Odhad Taylorovým rozvojem prvního řádu Odhad Taylorovým rozvojem druhého řádu y Zdroj: vlastní konstrukce zjednodušeně konvexita. 17 Vzorec můžeme přepsat do tvaru: 18 P (y) P (y) D (P (y)) y C(P (y))( y)2 (2.20) kde D (P (y))... modifikovaná durace dluhopisu při výnosu y, C (P (y))... relativní konvexita dluhopisu při výnosu y, Konvexita dluhopisu je tedy druhá derivace ceny dluhopisu podle výnosu: C (P (y)) = 1 2 P (y) (2.21) P (y) y 2 V případě obecného periodického úročení s periodou k má konvexita tvar: 17 používá se i tzv. Dolarová konvexita, která je definovaná jako 2 P (y) y 2 18 [18] str.216
29 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 17 C = n ( t i t i + 1 ) k i=1 P CF i ( 1 + y k ) k ti +2 = n ( t i t i + 1 ) k i=1 n CF i CF i ( 1 + y k ) k ti +2 (2.22) i=1 (1 + y k )k t i Podobně jako vedle modifikované durace D existuje i Macaulayova durace D, můžeme zavést pojem Macaulayovy konvexity C, která se dá odvodit z relativní konvexity vztahem: 19 C = C ( 1 + y k ) 2 (2.23) Analogicky jako u durace jsou tyto dvě definice konvexity rovny při použití spojitého úročení. 2.5 Výnosová křivka Ve vzorcích uvedených v sekci 2.1 figurovala jediná výnosová míra. V reálné situaci ale ani pro dluhy se stejným rizikem nelze určit jednotnou úrokovou míru, protože jejich úroková míra závisí na splatnosti dluhů. Výnosovou křivku, někdy označovanou jako časovou strukturu úrokových měr můžeme obecně definovat jako funkci výnosu (nebo úrokové míry) na splatnosti dluhopisu. Marellini 20 uvádí několik možných definicí funkce výnosové křivky. Rozlišuje křivky: výnosu do splatnosti výnosu bezkupónového dluhopisu 21 výnosu par dluhopisu 22 forwardových úrokových měr Obecně nelze sestrojit jednu výnosovou křivku pro celý trh, ale pouze pro dluhopisy, které mají stejné vlastnosti (hlavně druh emitenta a kreditní rating) a 19 [5] str [18] str v práci budeme používat tuto definici 22 dluhopis s takovou kupónovou mírou, že se prodává za svou nominální hodnotu
30 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 18 liší se pouze dobou splatnosti. Často se výnosové křivky konstruují ze státních dluhopisů, které se vyznačují téměř nulovým kreditním rizikem. Tato výnosová křivka představuje časovou strukturu bezrizikových výnosových měr. K ní se pak vztahují výnosové křivky jiných dluhopisů, které se navýší o hodnotu nazývanou kreditní rozpětí Tvar výnosové křivky Teoreticky by mohla výnosová křivka nabývat jakéhokoliv tvaru, ale reálné výnosové křivky lze obvykle zařadit do jedné z kategorií 24, které si nyní rozebereme. Rostoucí výnosová křivka Nejčastějším tvarem je rostoucí výnosová křivka, někdy označovaná jako normální výnosová křivka. Takovou křivku lze pozorovat za situace, kdy trh neočekává žádné významné změny úrokových měr. Dluhopisy s krátkou dobou splatnosti podle ní mají nižší výnos a dluhopisy s delší dobou splatnosti vyšší, což značí přirozené chování investorů, kteří požadují za dlouhodobější investici (se kterou se pojí vyšší rizikovost) vyšší výnos. Tento typ výnosové křivky můžeme vidět na grafu 2.3 znázorňujícím výnosy japonských státních dluhopisů k datu Klesající výnosová křivka Klesající výnosová křivka znázorňuje negativní závislost úrokové míry na době splatnosti. Tento tvar výnosové křivky nastává v situacích, kdy se očekává pokles úrokových sazeb, protože jsou momentálně na neobvykle vysoké úrovni. Jako příklad uvedeme výnosovou křivku státních dluhopisů Velké Británie z na grafu 2.4. Plochá výnosová křivka Plochá výnosová křivka je přechodový stav mezi rostoucí a klesající výnosovou křivkou. Nastává v situaci očekávání snížení úrokových sazeb, ale ne tak drastického, aby se křivka stala klesající. Teoreticky je při úplně ploché křivce výše úrokové sazby nezávislá na době splatnosti, ale reálně takový typ křivky nemůže nastat. Křivce, která je téměř plochá proto říkáme kvazi-plochá výnosová křivka. Příklad můžeme vidět na grafu 2.5 státních dluhopisů USA z [6] str.4 24 [18] str.65
31 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 19 Obrázek 2.3: Rostoucí výnosová křivka Zdroj: [18] str.65 Zhoupnutá výnosová křivka Posledním typem je tzv. zhoupnutá neboli vyboulená výnosová křivka. Tímto termínem označujeme křivku, která je zčásti klesající a z části rostoucí. Stejně jako klesající výnosová křivka je tento typ docela výjimečný a nastává při očekávání neobvyklého vývoje trhu, například poklesu úrokových měr společně s růstem inflace. 25 Taková křivka může buď klesat v krátkodobých splatnostech a růst v dlouhodobých splatnostech nebo naopak růst v krátkodobých splatnostech a klesat v dlouhodobých, což můžeme vidět na grafu 2.6 státních dluhopisů USA z Ocenění dluhopisu při znalosti výnosové křivky Po zavedení pojmu výnosové křivky můžeme zobecnit vzorec (2.4) pro výpočet vnitřní hodnoty dluhopisu s kupóny. Původní vzorec je zjednodušený s předpokladem konstantní úrokové míry r pro všechna období, což by platilo v případě ploché výnosové křivky, pro jiný typ výnosové křivky je vhodné vzorec upravit. Jsou- li y i body na výnosové křivce pro časy i {1, 2,..., n}, pak dluhopis oceníme 25 [20] str.20
32 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 20 Obrázek 2.4: Klesající výnosová křivka Zdroj: [18] str.65 podle této výnosové křivky vzorcem: 26 V 0 = n i=1 C i (1 + y i ) i + F (1 + y n ) n (2.24) 26 Budínský [5] str. 22
33 Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů 21 Obrázek 2.5: Kvazi-plochá výnosová křivka Zdroj: [18] str.64 Obrázek 2.6: Zhoupnutá klesající výnosová křivka Zdroj: [18] str.66
34 Kapitola 3 Moderní teorie portfolia V následující kapitole si stručně představíme hlavní myšlenky moderní teorie portfolia. 27 Portfolio můžeme definovat jako soubor finančních aktiv v majetku jednoho investora. Obecně je cílem investorů maximalizovat výnos svých investic a zároveň minimalizovat riziko, čehož je možné dosáhnout skladbou portfolia z rozmanitých cenných papírů. Cíle minimalizace rizika a maximalizace výnosu jdou ale proti sobě a proto optimalizovat portfolio znamená podstoupit určitý kompromis. Za vznik moderní teorie portfolia je obecně považován moment vydání článku Harryho Markowitze Portfolio Selection v roce Markowitzův model je model statický, což znamená, že na počátku investice má investor určenou částku peněz, ze které nakoupí portfolio cenných papírů. Tyto aktiva plánuje držet po dobu celého investičního horizontu, na konci kterého je prodá. V průběhu této doby se do složení portfolia nezasahuje. Investor do svého portfolia zahrnuje cenné papíry na základě jejich výnosnosti a rizika. Jeho cílem je dosáhnout co nejvyšší výnosnosti a také co nejmenšího rizika celého portfolia. Výnosnost i riziko jednotlivých cenných papírů jsou ale neznámé parametry, musí se tedy vhodně odhadnout. 3.1 Výnosnost a riziko cenného papíru V modelu považujeme výnosnost investice do každého cenného papíru za náhodnou veličinu. Konkrétně označme X i výnosnost i-tého cenného papíru v portfoliu. Zajímá nás střední hodnota této náhodné veličiny, která vyjadřuje průměrnou vý- 27 Kapitola zpracována podle [23] a [4] 28 [17] 22
35 Kapitola 3. Moderní teorie portfolia 23 nosnost a také směrodatná odchylka, kterou budeme považovat za riziko cenného papíru. Rozlišujeme mezi výnosností ex-post (historická) a ex-ante (očekávaná). Historická výnosnost je odvozena ze skutečně dosažných výnosností v minulosti, oproti tomu ex-ante výnosnost je odhadovaná podle očekávané situace na trhu. Střední hodnotu výnosnosti i-tého cenného papíru spočítáme: m E(X i ) = r i = x ik p(x ik ) (3.1) a riziko, neboli směrodatnou odchylku výnosnosti cenného papíru určíme podle vzorce: σ i = D(X i ) = m (x ik r i ) 2 p(x ik ) (3.2) k=1 k=1 kde E(X i )... střední hodnota výnosnosti i-tého cenného papíru, m... počet výnosností, které uvažujeme, x ik... k-tá uvažovaná výnosnost i-tého cenného papíru, p(x ik )... pravděpodobnost dosažení k-té výnosnosti, r i... odhadovaná hodnota výnosnosti i-tého cenného papíru, σ i... riziko i-tého cenného papíru, D(X i )... rozptyl výnosnosti i-tého cenného papíru. Prakticky se při použití ex-ante výnosů dosazují za p(x ik ) odhadované pravděpodobnosti dosažení příslušné výnosnosti x ik. Dále se budeme zabývat jen metodou odhadu výnosu ex-post, ve které je pravděpodobnost každé výnosnosti vyjádřena jako obrácená hodnota počtu sledovaných období, takže p(x ik ) = 1. Za m výnosnosti x ik dosazujeme jednotlivé historicky dosažené výnosnosti (například denní). Odhadovaná výnosnost má tedy tvar r i = 1 m m x ik (3.3) k=1 A odhadované riziko: σ i = 1 m m (x ik r i ) 2 (3.4) k=1
36 Kapitola 3. Moderní teorie portfolia 24 kde m... počet období, x ik... výnosnost i-tého cenného papíru v k-tém období. 3.2 Kovariance a korelace cenných papírů Další důležitou charakteristikou cenných papírů v portfoliu jsou jejich vzájemné kovariance. Kovariance obecně měří vzájemný vztah mezi dvěma náhodnými veličinami. V našem modelu tato veličina měří podobnost v pohybech výnosů dvou aktiv. Nabývá hodnot od do a proto je vhodné zavést i pojem korelace, který označuje kovarianci normovanou směrodatnými odchylkami jednotlivých náhodných veličin. Korelace nabývá hodnot od 1 do 1 a značí míru lineární závislosti dvou náhodných veličin. Při modelování výnosnosti metodou ex-post má kovariance tvar: σ ij = C(X i, X j ) = 1 m m (x ik r i ) (x jk r j ) (3.5) k=1 kde C(X i, X j )... kovariance mezi náhodnými veličinami X i a X j, σ ij... kovariance cenných papírů i a j. Korelace se z kovariance odvodí následovně: ρ ij = kde σ i... riziko i-tého cenného papíru, ρ ij... korelace cenných papírů i a j. σ ij σ i σ j (3.6) 3.3 Výnosnost a riziko portfolia Prozatím jsme odvodili základní vlastnosti jednotlivých cenných papírů, nás ale hlavně zajímá, jak se bude chovat celé portfolio cenných papírů. Proto musíme zadefinovat pojmy výnosnost a riziko portfolia. Výnosnost portfolia se určuje jako vážený průměr výnosností jednotlivých cenných papírů, kde se jako váha používá podíl příslušného cenného papíru v portfoliu.
37 Kapitola 3. Moderní teorie portfolia 25 Označíme cenné papíry, které uvažujeme do portfolia, jako náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) (3.7) a podíly obsažení příslušných cenných papírů v portfoliu jako vektor w = (w 1, w 2,..., w n ) (3.8) Výnosnost portfolia tedy můžeme označit jako náhodnou veličinu: P = n X i w i = X w (3.9) i=1 kde X i... náhodná veličina výnosnosti i-tého cenného papíru, w i... podíl obsažení i-tého cenného papíru v portfoliu, P... náhodná veličina výnosnosti portfolia. Očekávaná výnosnost portfolia se dá odvodit následovně: ( n ) n r P = E(P ) = E w i X i = w i E(X i ) r P = i=1 i=1 n w i r i (3.10) i=1 Riziko portfolia definujeme jako směrodatnou odchylku náhodné veličiny výnosnosti portfolia: σ P = ( n ) D(P ) = n D w i X i = wi 2D(X i) + 2 i=1 i=1 i=1 j=i n w i w j σ ij (3.11) A protože platí rovnost σ ii = D(X i ), můžeme vzorec napsat ve tvaru: n n σ P = w i w j σ ij (3.12) j>i
38 Kapitola 3. Moderní teorie portfolia Optimalizační úloha Pro vytvoření algoritmu na výpočet vhodného složení cenných papírů v portfoliu musíme zavést optimalizační úlohu. V rámci Markowitzova modelu si můžeme cíl optimalizace vyložit několika způsoby, v prvním kroku můžeme buď maximalizovat výnosnost, nebo minimalizovat riziko. Dále je možné nastavit požadované riziko, respektive výnosnost, při kterém budeme maximalizovat respektive minimalizovat druhou zmíněnou veličinu. V poslední řadě můžeme zakázat prodej cenných papírů na krátko, tím že jejich podíl v portfoliu určíme jako nezáporný. Budeme se zabývat úlohou ve tvaru minimalizace rizika, při stanovené požadované výnosnosti a povoleném prodeji na krátko. Pro snadnější výpočet použijeme místo rizika definovaného jako směrodatná odchylka jeho druhou mocninu (rozptyl), což díky nezápornosti rizika nezmění výsledek úlohy. V této úloze máme vybráno n cenných papírů s výnosy X i a hledáme jejich podíly v portfoliu, tedy vektor w: min σp 2 (3.13) w n w i = 1 i=1 R = r P kde R... požadovaná výnosnost portfolia, r P... očekávaná výnosnost portfolia ve tvaru (3.10), σ P... riziko portfolia ve tvaru (3.12) w i... podíl i-tého cenného papíru v portfoliu Řešíme tedy úlohu vázaných extrémů pomocí Langrangeovy funkce: ( n ) L( w, λ) = σp 2 ( w) + λ 1 w i 1 i=1 + λ 2 (r p (w) R ) (3.14) Parciálními derivacemi podle jednotlivých proměnných získáme analytické vyjádření výsledku této úlohy jako výsledek soustavy rovnic. Pro obecné n má rozšířená matice soustavy tvar:
39 Kapitola 3. Moderní teorie portfolia 27 2σ1 2 2σ σ 1n 1 r 1 0 2σ 21 2σ σ 2n 1 r σ n1 2σ n2... 2σn 2 1 r n r 1 r 2... r n 0 0 R Řešení této soustavy můžeme napsat jako vektor x = (w 1, w 2,..., w n, λ 1, λ 2 ) x = A 1 b (3.15) kde A je matice zadané soustavy a b vektor pravých stran. Prvních n členů výsledného vektoru x vyjadřuje podíly všech vstupních cenných papírů v portfoliu s požadovanými vlastnostmi, čímž máme problém optimalizace portfolia složeného z těchto cenných papírů vyřešen.
40 Kapitola 4 Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia V této kapitole si popíšeme využití Markowitzova modelu při tvorbě dluhopisového portfolia. 29 Popíšeme si proč a jak musí být tento model upraven oproti modelu použitému pro akciové portfolio. Po odvození upraveného modelu si ukážeme, jak odhadnout všechny potřebné vstupní parametry pomocí vhodného modelu úrokových sazeb. Nástroje moderní teorie portfolia jsou často používány při tvorbě portfolia akcií, ale pro optimalizaci portfolia dluhopisů příliš vhodné nejsou. Je to způsobeno hlavně strukturální odlišností dluhopisů od akcií. Hlavním rozdílem je fixní doba splatnosti dluhopisu, která může být vyšší, ale i nižší, než náš investiční horizont, oproti akciím, které žádnou dobu splatnosti nemají, a předpokládáme, že je můžeme držet po libovolně dlouhé období. Dalším rozdílem je odlišná struktura rizika spojeného s těmito cennými papíry. U fixně úročených dluhopisů je na rozdíl od akcií velmi důležité riziko úrokové, protože ceny dluhopisů přímo závisí na výši úrokových měr. Při optimalizace portfolia dluhopisů se budeme zaměřovat na minimalizaci právě tohoto rizika. 4.1 Optimalizační úloha Použijeme optimalizační úlohu z Markowitzova modelu odvozenou v (3.13), kterou vhodně upravíme pro naše konkrétní použití. Jedná se o statický model, což znamená, že se investor v určitém čase rozhodne vytvořit portfolio a drží ho po 29 Zpracováno podle [21] 28
41 Kapitola 4. Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia 29 celou dobu svého investičního horizontu. Mezi počátkem investice a koncem investičního horizontu neprobíhá žádné rebalancování portfolia. Označme T délku investičního horizontu, M 0 majetek určený k investici v čase 0 (tzv. počáteční majetek) a M T investovaný majetek na konci investičního horizontu. Naším cílem je dosáhnout požadované velikosti majetku M při minimalizaci rozptylu veličiny M T. n min D(M T ) (4.1) i=1 N i P 0(i) = M 0 E(M T ) = M kde N i... množství i-tého aktiva v portfoliu, P 0(i)... počáteční cena i-tého aktiva v portfoliu, E(M T )... očekávané množství majetku na konci, D(M T )... rozptyl množství majetku na konci. 4.2 Úprava optimalizační úlohy pro dluhopisy Takto zadaný optimalizační problém jde v principu použít na všechna obchodovatelná aktiva, ale použití na dluhopisy je o něco složitější, než aplikace na akcie. Jedním z největších rozdílů mezi dluhopisy a akciemi je konečná splatnost dluhopisů. Tento rozdíl nám přináší problém v implementaci zadané úlohy pro optimalizaci portfolia, protože dluhopisy se splatností menší, než je investiční horizont, nebudou na konci investice existovat. Proto je nutné se zabývat optimální volbou reinvestice, ať už splacených dluhopisů, tak kupónových plateb z dluhopisů před koncem investičního období. Dalo by se využít rebalancování portfolia v každém čase, kdy dostaneme příjem, ale to už vyžaduje použití dynamického modelu. V rámci našeho statického modelu potřebujeme zavést předpoklad, který nám zamezí možnosti investičního rozhodování v průběhu investičního horizontu a tedy nutného rebalancování. V modelu budeme pro zjednodušení používat pouze dluhopisy s nulovým kupónem a nominální hodnotou 1. Tento předpoklad ale není příliš omezující,
42 Kapitola 4. Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia 30 protože každý kupónový dluhopis se dá nahradit portfoliem dluhopisů s nulovými kupóny. 30 Budeme postupovat podle Wilhelma 31 a všechny příjmy v čase t < T reinvestujeme za příslušnou spotovou úrokovou míru R(t, T ) až do konce investičního horizontu T (a předpokládáme, že v tomto čase existuje požadovaný dluhopis s nulovým kupónem, do kterého můžeme investovat). Spotová úroková míra 32 R(t, T ) značí roční úrokovou míru půjčky v čase t, která je splacena v čase T, kde t T. Spotové úrokové míry úzce souvisí s cenami dluhopisů s nulovým kupónem. V čase t pro cenu dluhopisu s nominální hodnotou 1 a splatností v čase T (označíme P (t, T )) platí následující vztah: P (t, T ) = exp( (T t)r(t, T )) (4.2) Z rovnice (4.2) můžeme naopak vyjádřit úrokovou míru: R(t, T ) = 1 ln(p (t, T )) (4.3) T t Dále ještě označíme r(t) krátkodobou úrokovou míru, kterou definujeme jako úrokovou míru půjčky s okamžitou splatností: r(t) = lim T t R(t, T ) (4.4) Předpokládejme, že existují dluhopisy s nulovými kupóny všech splatností od 1 roku do n let (kde n je dluhopis s největší splatností uvažovaný do portfolia). V čase t = 0 má investor majetek M 0, který použije k nákupu dluhopisů s cenami P (0, t) v množství N t, kde t je splatnost daného dluhopisu. M 0 = n N t P (0, t) (4.5) t=1 Dluhopis se splatností v čase T považujeme za bezrizikový (vzhledem ke změnám úrokových sazeb) a celou sadu dluhopisů tedy můžeme rozdělit na n 1 rizikových a 1 bezrizikový. Ceny rizikových dluhopisů zapíšeme jako vektor ˆP 0 = (P (0, 1),..., P (0, T 1), P (0, T + 1),..., P (0, n)) (4.6) 30 Například pětiletý kupónový dluhopis s nominální hodnotou 10 a kupóny 1 nahradíme čtyřmi dluhopisy se splatností v časech 1, 2, 3, 4 a 11 dluhopisy se splatností v čase 5, kde všechny mají nominální hodnotu 1 31 [27] 32 [21] str. 17
43 Kapitola 4. Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia 31 a jejich množství jako vektor ˆN = (N 1,..., N T 1, N T +1,..., N n ) (4.7) Vzorec (4.5) přepíšeme do tvaru M 0 = ˆN ˆP0 + N T P (0, T ) (4.8) Dále odvodíme majetek investora na konci investičního horizontu M T. Investice N T P (0, T ) do bezrizikového dluhopisu se splatností T roste až do N T v čase T. Hodnota všech dluhopisů se splatnosti větší, než je investiční horizont, je v čase T rovna sumě cen jednotlivých dluhopisů, které jsou závislé na budoucí spotové míře R(T, t). Ocenění dluhopisů se splatností menší, než investiční horizont T, je trochu složitější. Jejich nominální hodnota je reinvestována v časech t < T za budoucí spotovou úrokovou míru R(t, T ) až do konce investičního horizontu. Majetek na konci má tedy hodnotu T 1 M T = N t exp((t t)r(t, T )) + N T + t=1 n t=t +1 Nahradíme úrokové míry cenami dluhopisů podle (4.3) T 1 1 M T = N t P (t, T ) + N T + t=1 Vektorově můžeme předchozí vzorec zapsat N t exp( (t T )R(T, t)) (4.9) n t=t +1 N t P (T, t) (4.10) kde M T = ˆN ˆ PT + N T (4.11) ( ) Pˆ 1 T = P (1, T ),..., 1, P (T, T + 1),..., P (T, n) P (T 1, T ) (4.12) Všimněme si, že první polovinu vektoru ˆ P T tvoří obrácené hodnoty cen dluhopisů v časech t {1, 2,..., T 1} se splatností v čase T. Tyto výrazy vyjadřují v úročitele v časech t {1, 2,..., T 1} do času T. Jsou to výnosy dluhopisů se splatnostmi menší, než je investiční horizont T, které reinvestujeme do konce investičního horizontu za sazbu aktuální v době vypršení. Naopak druhou polovinu vektoru tvoří ceny dluhopisů v čase T se splatností v časech t {T +1, T +2,..., n}.
44 Kapitola 4. Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia 32 Tyto hodnoty vyjadřují odúročitele (diskontní faktory) v čase T pro konkrétní splatnosti. Zajímá nás střední hodnota a rozptyl majetku na konci investičního horizontu. Nejdříve použijeme na rovnici (4.10) operátor očekávání: 33 T 1 E(M T ) = N t E t=1 ( ) 1 + N T + P (t, T ) Vektorově můžeme střední hodnotu zapsat: n t=t +1 N t E (P (T, t)) (4.13) E(M T ) = ˆN E ( ˆ PT ) + N T (4.14) Rozptyl konečného majetku D(M T ) bude mít tvar: T 1 T 1 D(M T ) = t=1 + s=1 n ( 1 N T N s cov n t=t +1 s=t +1 T n t=1 s=t +1 P (t, T ), 1 P (s, T ) ) N t N s cov (P (T, t), P (T, s)) ( ) 1 N t N s cov, P (T, s) P (t, T ) (4.15) kde cov je operátor kovariance. Označme C kovarianční matici složenou z kovariancí mezi budoucími cenami dluhopisů z vektoru ˆP T a předchozí vzorec můžeme napsat ve vektorovém tvaru: D(M T ) = ˆN C ˆN (4.16) Například kovarianční matice pro investiční horizont T = 3 a dluhopisy s maximální dobou splatnosti n = 5 má tvar: ( ) ( ) 1 1 D c P (1, 3) P (1, 3), 1 ( P (2, ) 3) 1... D P (2, 3) ( 1 c c ), P (3, 4) ) ( P (1, 3) 1, P (3, 4) P (2, 3) ( 1 c c ), P (3, 5) ) ( P (1, 3) 1, P (3, 5) P (2, 3) D(P (3, 4)) c(p (3, 4), P (3, 5)) D(P (3, 5)) kde c je operátor kovariance. 33 [27] str.217
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 1 Metodický list č. 1
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úroková sazba a výpočet budoucí hodnoty Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlit pojem úroku a roční úrokové
Základy teorie finančních investic
Ing. Martin Širůček, Ph.D. Katedra financí a účetnictví sirucek.martin@svse.cz sirucek@gmail.com Základy teorie finančních investic strana 2 Úvod do teorie investic Pojem investice Rozdělení investic a)
Analýza cenných papírů 2 Luděk BENADA E-mail: 75970@mail.muni.cz č. dveří 533 508 Boris ŠTURC sturc@mail.muni.cz Konzultační hodiny: pá 16:20-17:5017:50 čt dle dohody Dluhopisy Dluhový instrument CP peněžního
Obligace obsah přednášky
Obligace obsah přednášky 1) Úvod do cenných papírů 2) Úvod do obligací (vymezení, dělení) 3) Cena obligace (teoretická, tržní, kotace) 4) Výnosnost obligace 5) Cena kupónové obligace mezi kupónovými platbami
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Metodický list č. 1
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úroková sazba a výpočet budoucí hodnoty Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlit pojem úroku a roční úrokové
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 2
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 2 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Dluhopisy a dluhopisové portfolio I. Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je popsat dluhopisy jako investiční instrumenty,
PE 301 Podniková ekonomika 2. Eva Kislingerová. Hodnota kmenových akcií a. obligací. Téma 2. Eva Kislingerová
PE 301 Podniková ekonomika 2 Eva Kislingerová Téma 2 obligací Hodnota kmenových akcií a Téma 2 2-2 Struktura přednášky Cenné papíry akcie, obligace Tržní míra kapitalizace (market capitalization rate)
Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko. 2. Riziko ve finančním rozhodování. 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku
Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko ve finančním rozhodování 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku 2. Riziko ve finančním rozhodování - rizika systematická a nesystematická - podnikatelské
Radim Gottwald. Úvod
VYUŽITÍ URACE U OBLIGACÍ PŘI ZAJIŠTĚNÍ PROTI RIZIKU ZMĚNY ÚROKOVÉ SAZBY # Radim Gottwald Úvod Na finančních trzích existuje mnoho typů cenných papírů vhodných k investování. Jedním z nich jsou obligace.
Příručka k měsíčním zprávám ING fondů
Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia
Základní druhy finančních investičních instrumentů
Ing. Martin Širůček, Ph.D. Katedra financí a účetnictví sirucek.martin@svse.cz sirucek@gmail.com Základní druhy finančních investičních instrumentů strana 2 Směnky a jiné krátkodobé cenné papíry strana
Příručka k měsíčním zprávám ING fondů
Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia
Finanční Trhy I. prof. Ing. Olřich Rejnuš, CSc.
Finanční Trhy I. prof. Ing. Olřich Rejnuš, CSc. 15.9.2016 Michal Šrubař 1 Dvousektorový tokový diagram Zboží a služby konečné spotřeby Meziprodukty Platby za zboží a služby Produkční jednotky /Firmy/ Spotřebitelské
Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.
Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných
Varianta Pravděpodobnost Výnos A 1 Výnos A 2 1 0,1 1% 0,1 3% 0,3 2 0,2 12% 2,4 28% 5,6 3 0,3 6% 1,8 14% 4,2
Dobrý den. Kladno, 22. 3. 2007 21:35 Chtěl bych se všem omluvit za ten závěr přednášky. Bohužel mě chyba v jednom z příkladů vykolejila natolik, že jsem se již velice těžko soustředil na svůj výkon. Chtěl
Jak se bránit rizikům při investování? Alena Zelinková Jan D. Kabelka
Jak se bránit rizikům při investování? Alena Zelinková Jan D. Kabelka Obsah Co je riziko? Rizika dluhových instrumentů Rizika akciových trhů Jak s nimi pracovat? Co je riziko? Riziku se nelze vyhnout!
http://www.zlinskedumy.cz
Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor Ročník 3., 4. Obor CZ.1.07/1.5.00/34.0514 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Peníze, mzdy daně, pojistné
CZ.1.07/1.5.00/34.0499
Číslo projektu Název školy Název materiálu Autor Tematický okruh Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0499 Soukromá střední odborná škola Frýdek-Místek, s.r.o. VY_32_INOVACE_261_ESP_11 Marcela Kovářová Datum tvorby
Finanční trh. Bc. Alena Kozubová
Finanční trh Bc. Alena Kozubová Finanční trh Finanční trh je místo, kde se obchoduje se všemi formami peněz. Je to největší trh v měřítku národní i světové ekonomiky. Je to trh velice citlivý na jakékoliv
Obligace II obsah přednášky
Obligace II obsah přednášky 1) Durace obligace 2) Durace portfolia 3) Obchodování obligací kurzovní lístky Durace definice Durace udává střední dobu splatnosti obligace (tento pojem zavedl v roce 1938
Stav Půjčky Splátky Kurzové Změna Stav
II. Státní dluh 1. Vývoj státního dluhu V 2013 došlo ke zvýšení celkového státního dluhu o 47,9 mld. Kč z 1 667,6 mld. Kč na 1 715,6 mld. Kč. Znamená to, že v průběhu 2013 se tento dluh zvýšil o 2,9 %.
Náklady kapitálu. Finanční struktura by měla korespondovat s majetkovou strukturou z hlediska časovosti. Stálá aktiva. Dlouhodobý.
Náklady na kapitál Náklady kapitálu Finanční struktura by měla korespondovat s majetkovou strukturou z hlediska časovosti Aktiva (majetek) Stálá aktiva Oběžná aktiva Dlouhodobý majetek Trvalý OM Dlouhodobý
Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.
Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných
Investiční služby, Investiční nástroje a rizika s nimi související
Investiční služby, Investiční nástroje a rizika s nimi související Stránka 1 z 5 Investiční služby, Investiční nástroje a rizika s nimi související Předmětem tohoto materiálu je popis investičních služeb
Přehled o vývoji státního dluhu v čtvrtletí roku 2004 podává následující tabulka: mil. Kč. Výpůjčky (a) Stav
B. ŘÍZENÍ STÁTNÍHO DLUHU 1. Vývoj státního dluhu Celkový státní dluh dosáhl ke konci září nominální hodnoty 589,3 mld Kč a proti stavu na začátku letošního roku se zvýšil o 96,1 mld Kč, tj. o 19,5 % (schválený
Úvod. Kapitálové statky výrobek není určen ke spotřebě, ale k další výrobě (postupná spotřeba) amortizace Finanční kapitál cenné papíry
TRH KAPITÁLU Úvod Kapitálové statky výrobek není určen ke spotřebě, ale k další výrobě (postupná spotřeba) amortizace Finanční kapitál cenné papíry Vznik díky odložené spotřebě Nutná kompenzace možnost
Pojem investování a druhy investic
Investiční činnost Pojem investování a druhy investic Rozhodování o investicích Zdroje financování investic Hodnocení efektivnosti investic Metody hodnocení investic Ukazatele hodnocení efektivnosti investic
Úvod do analýzy cenných papírů. Dagmar Linnertová 5. Října 2009
Úvod do analýzy cenných papírů Dagmar Linnertová 5. Října 2009 Investice a investiční rozhodování Každý je potenciální investor Nevynaložením prostředků na svou současnou potřebu se jí tímto vzdává Mít
Základy teorie finančních investic
Ing. Martin Širůček, Ph.D. Katedra financí a účetnictví sirucek.martin@svse.cz sirucek@gmail.com Základy teorie finančních investic strana 2 Úvod do teorie investic Pojem investice Rozdělení investic a)
10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Úvod do teorie portfolia. CAPM model. APT model Výhody vs. nevýhody modelů CML SML. Beta faktor
Radka Domanská 1 Úvod do teorie portfolia CML CAPM model SML Beta faktor APT model Výhody vs. nevýhody modelů 2 Množina dostupných portfolií Všechna možná portfolia, která mohou být vytvořena ze skupiny
Úročení a časová hodnota peněz
Úročení a časová hodnota peněz V přednášce budou představeny základní pojmy z finanční matematiky. 1 Jednoduché úročení a diskontování V případě jednoduchého úročení nedochází k připisování úroku k původnímu
Otázka: Cenné papíry kapitálového trhu a burzy. Předmět: Ekonomie a bankovnictví. Přidal(a): Lenka CENNÉ PAPÍRY KAPITÁLOVÉHO TRHU
Otázka: Cenné papíry kapitálového trhu a burzy Předmět: Ekonomie a bankovnictví Přidal(a): Lenka CENNÉ PAPÍRY KAPITÁLOVÉHO TRHU Jsou vydávány na dobu delší než 1 rok Stejně jako šeky a směnky mají zákonem
PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY
PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY Úročení 2 1. Jednoduché úročení Kapitál, Jistina označení pro peněžní částku Úrok odměna věřitele, u dlužníka je to cena za úvěr = CENA PENĚZ Doba splatnosti doba, po kterou
II. Vývoj státního dluhu
II. Vývoj státního dluhu V 1. čtvrtletí 2014 došlo ke zvýšení celkového státního dluhu z 1 683,3 mld. Kč na 1 683,4 mld. Kč, což znamená, že v průběhu 1. čtvrtletí 2014 se tento dluh prakticky nezměnil.
INFORMACE O RIZICÍCH
INFORMACE O RIZICÍCH PPF banka a.s. se sídlem Praha 6, Evropská 2690/17, PSČ: 160 41, IČ: 47116129, zapsaná v obchodním rejstříku vedeném Městským soudem v Praze, oddíl B, vložka 1834 (dále jen Obchodník)
I) Vlastní kapitál 1) Základní jmění /upsaný kapitál/ 2) Kapitálové fondy: - ážio/disážio - dary - vklady společníků 3)Fondy ze zisku: - rezervní
Náklady na kapitál I) Vlastní kapitál 1) Základní jmění /upsaný kapitál/ 2) Kapitálové fondy: - ážio/disážio - dary - vklady společníků 3)Fondy ze zisku: - rezervní fond - statutární a ostatní fondy 4)
Obligace (dluhopisy) Jiří Málek, KBP, VŠE
Obligace (dluhopisy) Jiří Málek, KBP, VŠE Obligace (dluhopisy, bondy) Závazek emitenta vyplácet pravidelně kupónové platby a v závěru jmenovitou hodnotu C C C C C C C C C+JH Obligace (dluhopisy, bondy)
Vývoj státního dluhu. Tabulka č. 7: Vývoj státního dluhu v 1. 3. čtvrtletí 2014 (mil. Kč) Stav Půjčky Splátky Kurzové Změna Stav
II. Vývoj státního dluhu V 1. 3. čtvrtletí 2014 došlo ke snížení celkového státního dluhu z 1 683,3 mld. Kč na 1 683,0 mld. Kč, tj. o 0,3 mld. Kč. Při snížení celkového státního dluhu z 1 683,3 mld. Kč
Oceňování akcií a. Brno 2012
Oceňování akcií a dluhopisů Brno 2012 Osnova 1 Oceňování akcií 2 Akcie Představují podíl na majetku akciové společnosti. Držení je spojeno s řadou práv- právo účasti na hlasování na valné hromadě, právo
3.1.1. Výpočet vnitřní hodnoty obligace (dluhopisu)
Využití poměrových ukazatelů pro fundamentální analýzu cenných papírů Principem této analýzy je stanovení, zda je cenný papír na kapitálovém trhu podhodnocen, správně oceněn, nebo nadhodnocen. Analýza
Finanční matematika. Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. 17. 9. 2012. Katedra matematických metod v ekonomice
Finanční matematika 1. přednáška Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Katedra matematických metod v ekonomice 17. 9. 2012 Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D. (VŠB TUO)
TEORETICKÉ PŘEDPOKLADY Garantovaných produktů
TEORETICKÉ PŘEDPOKLADY Garantovaných produktů 1 Výnosově -rizikový profil Knockoutprodukty Warrants Výnosová-šance Garantované produkty Dluhopisy Diskontové produkty Airbag Bonus Indexové produkty Akciové
Časová hodnota peněz (2015-01-18)
Časová hodnota peněz (2015-01-18) Základní pojem moderní teorie financí. Říká nám, že peníze svoji hodnotu v čase mění. Díky časové hodnotě peněz jsme schopni porovnat různé investiční nebo úvěrové nabídky
Vývoj státního dluhu. Tabulka č. 7: Vývoj státního dluhu v čtvrtletí 2015 (mil. Kč) Výpůjční operace
II. Vývoj státního dluhu V 1. 3. čtvrtletí 2015 došlo ke snížení celkového státního dluhu z 1 663,7 mld. Kč na 1 663,0 mld. Kč, tj. o 624 mil. Kč, přičemž vnitřní státní dluh se zvýšil o 6,6 mld. Kč, zatímco
II. Vývoj státního dluhu
II. Vývoj státního dluhu V 2015 došlo ke snížení celkového státního dluhu z 1 663,7 mld. Kč na 1 663,1 mld. Kč, tj. o 0,6 mld. Kč, přičemž vnitřní státní dluh se zvýšil o 1,6 mld. Kč, zatímco korunová
1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
Value at Risk. Karolína Maňáková
Value at Risk Karolína Maňáková Value at risk Historická metoda Model-Building přístup Lineární model variance a kovariance Metoda Monte Carlo Stress testing a Back testing Potenciální ztráta s danou pravděpodobností
Subjekty finančního trhu = ti, kteří jsou účastníky FT ( banky, obyvatelé, firmy, penzijní fondy ) = KDO
Otázka: Finanční trh Předmět: Ekonomie Přidal(a): Káťa Finanční trh jedná se o obchodování s finančními prostředky = trh se všemi formami peněz na finančním trhu se vytváří cena peněz (např. výše úroků,
Investiční služby, investiční nástroje a jejich rizika DB Finance, s.r.o.
Investiční služby, investiční nástroje a jejich rizika DB Finance, s.r.o. Tento dokument je vytvořen Investičním zprostředkovatelem DB Finance s.r.o. ve smyslu ust. 15d zákona č. 256/2004 Sb., o podnikání
III) Podle závislosti na celkovém ekonomickém vývoji či na vývoji v jednotlivé firmě a) systematické tržní, b) nesystematické jedinečné.
Měření rizika Podnikatelské riziko představuje možnost, že dosažené výsledky podnikání se budou kladně či záporně odchylovat od předpokládaných výsledků. Toto riziko vzniká např. při zavádění nových výrobků
Bankovnictví a pojišťovnictví 5
Bankovnictví a pojišťovnictví 5 JUDr. Ing. Otakar Schlossberger, Ph.D., vedoucí katedry financí VŠFS a externí odborný asistent katedry bankovnictví a pojišťovnictví VŠE Vkladové bankovní produkty Obsah:
Ča Č sov o á ho h dn o o dn t o a pe p n e ě n z ě Petr Málek
Časová hodnota peněz Petr Málek Časová hodnota peněz - úvod Finanční rozhodování je ovlivněno časem Současné peněžní prostředky peněžní prostředky v budoucnu Úrokové výnosy Jiné výnosy Úrokové míry v ekonomice
Rovnovážné modely v teorii portfolia
3. září 2013, Podlesí Obsah Portfolio a jeho charakteristiky Definice portfolia Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost a riziko portfolia Klasická teorie portfolia Markowitzův model Tobinův model CAPM - model
CENNÉ PA CENNÉ PÍRY PÍR
CENNÉ PAPÍRY ve finančních institucích dr. Malíková 1 Operace s cennými papíry Banky v operacích s cennými papíry (CP) vystupují jako: 1. Investor do CP 2. Emitent CP 3. Obchodník s CP Klasifikace a operace
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA RNDr. Petr Budinský, CSc. FINANČNÍ MATEMATIKA Budoucí hodnota při různých typech úročení FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 2 Příklad: Uvažujme FV = 100.000 Kč a úrokovou
Základy teorie finančních investic
Ing. Martin Širůček, Ph.D. Katedra financí a účetnictví sirucek.martin@svse.cz sirucek@gmail.com Základy teorie finančních investic strana 2 Úvod do teorie investic Pojem investice Rozdělení investic a)
Příklad měnového forwardu. N_ MF_A zs 2013
Příklad měnového forwardu N_ MF_A zs 2013 Témata - otázky Jak vydělávají měnoví dealeři ve velkých bankách? Jaký je vztah mezi spotovým a forwardovým měnovým kurzem? Co je to úroková parita? Úvod forwardové
ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D.
ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. Časová hodnota peněz Každou peněžní operaci prováděnou v současnosti a zaměřenou do budoucnosti
Dluhopisy do každého portfolia
Investování Dluhopisový trh Dluhopisy do každého portfolia Oldřich Šoba Stále velmi konzervativní, přesto však rizikovější než nástroje peněžního trhu jsou dluhopisy (tzv. bondy). Neměly by ovšem chybět
Investiční služby, Investiční nástroje a rizika s nimi související
Investiční služby, Investiční nástroje a rizika s nimi související Předmětem tohoto materiálu je popis investičních služeb poskytovaných společností M & M pojišťovací s.r.o. (dále jen Zprostředkovatel
Tomáš Cipra: Matematika cenných papírů. Professional Publishing, Praha 2013 (288 stran, ISBN: ) ÚVOD.. 7
Tomáš Cipra: Matematika cenných papírů. Professional Publishing, Praha 2013 (288 stran, ISBN: 978-80-7431-079-9) OBSAH ÚVOD.. 7 1. DLUHOPISY.. 9 1.1. Dluhopisy v praxi... 9 1.1.1. Princip dluhopisů 9 1.1.2.
Kapitálový trh (finanční trh)
Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 9 Kapitálový trh (finanční trh) Obsah 1. Podstata kapitálového trhu 2. Volba mezi současnou a budoucí
Cvičení z optimalizace Markowitzův model
Cvičení z optimalizace Markowitzův model Vojtěch Franc, 29 1 Úvod V tomto cvičení se budeme zabývat aplikací kvadratického programování v ekonomii a sice v úloze, jejímž cílem bude optimalizovat portfolio
Charakteristika rizika
Charakteristika rizika Riziko je možnost, že se dosažené výsledky podnikání budou příznivě či nepříznivě odchylovat od předpokládaných výsledků. Odchylky od předpokladu jsou: a) příznivé b) nepříznivé
Investičníčinnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic
Investičníčinnost Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie Podnikové pojetí investic Klasifikace investic v podniku 1) Hmotné (věcné, fyzické, kapitálové) investice 2) Nehmotné
Hodnocení ekonomické efektivnosti projektů Průměrný výnos z investice, doba návratnosti, ČSH, VVP
Hodnocení ekonomické efektivnosti projektů Průměrný výnos z investice, doba návratnosti, ČSH, VVP Investice je charakterizována jako odložená spotřeba. Podnikové investice jsou ty statky, které nejsou
E-učebnice Ekonomika snadno a rychle FINANČNÍ TRHY
E-učebnice Ekonomika snadno a rychle FINANČNÍ TRHY - specifický trh, na kterém se obchodují peníze - peníze - můžou mít různou podobu hotovost, devizy, cenné papíry - funkce oběživa, platidla, dají se
Finanční management. Nejefektivnější portfolio (leží na hranici) dle Markowitze: Polemika o významu dividendové politiky
Finanční management Dividendová politika, opce, hranice pro cenu opce, opční techniky Nejefektivnější portfolio (leží na hranici dle Markowitze: existuje jiné s vyšším výnosem a nižší směrodatnou odchylkou
FINANČNÍ MATEMATIKA. PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová
FINANČNÍ MATEMATIKA PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová Radová Tel: 224 095 102 E-mail: radova@vse.cz Kontakt Jednoduché úročení Diskontování krátkodobé cenné papíry Složené úrokování Budoucí hodnota anuity spoření
Bezkuponové dluhopisy centrálních bank Poukázky České národní banky a bezkupónové dluhopisy vydané zahraničními centrálními bankami.
POPIS ČÍSELNÍKU : : BA0088 Druhy cenných papírů a odvozených kontraktů (derivátů) Hierarchická klasifikace druhů cenných papírů podle jejich ekonomické formy a obsahu (věcného charakteru) s návazností
Investiční instrumenty a portfolio výnos, riziko, likvidita Úvod do finančních aktiv. Ing. Gabriela Oškrdalová e-mail: oskrdalova@mail.muni.
Finanční trhy Investiční instrumenty a portfolio výnos, riziko, likvidita Úvod do finančních aktiv Ing. Gabriela Oškrdalová e-mail: oskrdalova@mail.muni.cz Tento studijní materiál byl vytvořen jako výstup
Vyjadřují se v procentech z hodnoty vloženého kapitálu. Někdy se pro jejich označení používá termín cena kapitálu.
1. Cena kapitálu Náklady kapitálu představují pro podnik výdaj, který musí zaplatit za získání různých forem kapitálu (tj. za získání např. různých forem dluhů, akciového kapitálu, nerozděleného zisku
Bankovní účetnictví - účtová třída 3 1
Bankovní účetnictví Cenné papíry a deriváty Bankovní účetnictví - účtová třída 3 1 BANKOVNÍ ÚČETNICTVÍ ÚČTOVÁ TŘÍDA 3 Od klasických služeb, které představují přijímání vkladů a poskytování úvěrů, banky
Účetnictví finančních institucí. Cenné papíry a deriváty
Účetnictví finančních institucí Cenné papíry a deriváty 1 BANKOVNÍ ÚČETNICTVÍ ÚČTOVÁ TŘÍDA 3 Od klasických služeb, které představují přijímání vkladů a poskytování úvěrů, banky postupně přecházejí k službám
Akcie obsah přednášky
obsah přednášky 1) Úvod do akcií (definice, druhy, základní principy) 2) Akciové analýzy 3) Cena akcie 4) Výnosnost akcie 5) Štěpení akcií 6) definice je cenný papír dokládající podíl akcionáře na základním
Vysvětlivky k měsíčním reportům fondů RCM
Vysvětlivky k měsíčním reportům fondů RCM Rozhodný den Pokud není u jednotlivých údajů uvedeno žádné konkrétní datum, platí údaje k tomuto rozhodnému dni. Kategorie investic Třída aktiv a její stručný
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy
Oceňování finančních derivátů ve spojitém čase Václav Kozmík Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy 4. 10. 2010 Úvod Stochastický kalkulus Wienerův proces stochastické procesy Itoovo lemma změna
FRP 6. cvičení Měření rizika
FRP 6. cvičení Měření rizika Podnikatelské riziko představuje možnost, že dosažené výsledky podnikání se budou kladně či záporně odchylovat od předpokládaných výsledků. Toto riziko vzniká např. při zavádění
majetkové CP (akcie, podílové listy) úvěrové (dluhové) směnky, dluhopisy, státní pokladniční poukázky atd. (+ úrok, ten není na směnce)
Otázka: Bankovnictví a cenné papíry Předmět: Účetnictví (Finance) Přidal(a): didisceramo Cenné papíry dlouhodobé skupina 06 a 473 (dluhopisy) krátkodobé 25. skupina vyjadřuje pohledávku majitele za tím,
Vysoká škola ekonomická Fakulta financí a účetnictví
Vysoká škola ekonomická Fakulta financí a účetnictví PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY NA INŢENÝRSKÉ STUDIUM specializace Učitelství ekonomických předmětů pro střední školy školní rok 2006/2007 TEST Z ODBORNÝCH PŘEDMĚTŮ
Cíl: seznámení s pojetím peněz v ekonomické teorii a s fungováním trhu peněz. Peníze jako prostředek směny, zúčtovací jednotka a uchovatel hodnoty.
Vysoká škola finanční a správní, o. p. s. Akademický rok 2006/07, letní semestr Kombinované studium Předmět: Makroekonomie (Bc.) Metodický list č. 3 7) Peníze a trh peněz. 8) Otevřená ekonomika 7) Peníze
Hodnocení pomocí metody EVA - základ
Hodnocení pomocí metody EVA - základ 13. Metoda EVA Základní koncept, vysvětlení pojmů, zkratky Řízení hodnoty pomocí EVA Úpravy účetních hodnot pro EVA Náklady kapitálu pro EVA jsou WACC Způsob výpočtu
4. Přednáška Časová hodnota peněz.
FINANCE PODNIKU 4. Přednáška Časová hodnota peněz. ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ Časová hodnota peněz představuje finanční metodu, která umožňuje porovnání různých částek v různých časech se zohledněním skutečnosti,
Problematika časové hodnoty peněz Dagmar Linnertová Luděk Benada
Problematika časové hodnoty peněz Dagmar Linnertová Dagmar.Linnertova@mail.muni.cz Luděk Benada 75970@mail.muni.cz Definujte zápatí - název prezentace / pracoviště 1 Hodnotící kritéria Úvod do problematiky
Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky
Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky 1) Vybrané krátkodobé cenné papíry 2) Skonto není cenný papír, ale použito obdobných principů jako u krátkodobých cenných papírů Vybrané krátkodobé cenné
Současná teorie finančních služeb cvičení č. 1. 1. Úvod do teorií finančních služeb rekapitulace základních pojmů a jejich interpretace
Současná teorie finančních služeb cvičení č. 1 1. Úvod do teorií finančních služeb rekapitulace základních pojmů a jejich interpretace Úvod do teorií finančních služeb rekapitulace základních pojmů a jejich
Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Finanční trhy Finanční trh je založený na nabídce relativně
Financování podniku. Finanční řízení podniku
Financování podniku Finanční řízení podniku Peněžní toky v podniku NÁKUP výrobní faktory - práce - materiál - stroje VÝROBA výrobky a služby peněžní příjmy PRODEJ peněžní výdaje PENÍZE (CASH FLOW) Úkoly
Sám o sobě, papírek s natištěnými penězy má malinkou hodnotu, akceptujeme ho ale jako symbol hodnoty, kterou nám někdo (stát) garantuje.
Otázka: Finanční trh Předmět: Ekonomie Přidal(a): sztrudy Vznik a význam peněz: Úplně na počátku byl směnný obchod neboli barter - zboží na zboží. Časem bylo ale těžší najít někoho, kdo by směnil právě
Seznam studijní literatury
Seznam studijní literatury Zákon o účetnictví, Vyhlášky 500 a 501/2002 České účetní standardy (o CP) Kovanicová, D.: Finanční účetnictví, Světový koncept, Polygon, Praha 2002 nebo později Standard č. 28,
Funkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf
Metodické listy pro kombinované studium předmětu INVESTIČNÍ A FINANČNÍ ROZHODOVÁNÍ (IFR)
Metodické listy pro kombinované studium předmětu INVESTIČNÍ A FINANČNÍ ROZHODOVÁNÍ (IFR) (Aktualizovaná verze 04/05) Úvodní charakteristika předmětu: Cílem jednosemestrálního předmětu Investiční a finanční
Informace. o finančních nástrojích a rizicích spojených s investováním
Informace o finančních nástrojích a rizicích spojených s investováním Společnost QuantOn Solutions, o. c. p., a. s. (Dále jen QuantOn Solutions nebo i obchodník) poskytuje klientovi v souladu s 73d odst.
KAPITOLA 4: PENĚŽNÍ TRH
KAPITOLA 4: PENĚŽNÍ TRH Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Institute of Technology And Business In České Budějovice Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora
4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
Metodika klasifikace fondů závazná pro členy AKAT
Metodika klasifikace fondů závazná pro členy AKAT Metodika klasifikace fondů AKAT byla vypracována na základě rámcové metodologie ( The European Fund Classification ), kterou vydala Evropská federace fondů
DERIVÁTOVÝ TRH. Druhy derivátů
DERIVÁTOVÝ TRH Definice derivátu - nejobecněji jsou deriváty nástrojem řízení rizik (zejména tržních a úvěrových), deriváty tedy nejsou investičními nástroji - definice dle US GAAP: derivát je finančním
Martin Chudoba. Seminář - Stochastické modelování v ekonomii a financích KPMS MFF UK. dluhopisů pomocí. Black-Scholesova modelu. M.Chudoba.
Martin Chudoba s Seminář - Stochastické modelování v ekonomii a financích KPMS MFF UK 18.10.2010 Uvažujeme bezkupónový dluhopis vyplácející jednotku v čase T Za předpokladu konstantní úrokové míry r pro