MATEMATICKÉ, FYZIKÁLNÍ A CHEMICKÉ TABULKY

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATICKÉ, FYZIKÁLNÍ A CHEMICKÉ TABULKY"

Transkript

1 MATEMATICKÉ, FYZIKÁLNÍ A CHEMICKÉ TABULKY pro střední školy SPN

2 1 I A PERIODICKÁ SOUSTAVA PRVKŮ 1 1,0079 Vodík H 2,20 ls1 2 II A Protonové číslo Název prvku 8 15,999 Kyslík Relativní atomová hmotnost (interval spolehlivosti ± 1 a mensí na posledním desetinném mlstč nebo ± 3, je-li uvedeno označení + )j v závorce je uvedena hodnota Ar nej stálejšího izotopu. 3 6,941 + Lithium L i 0,97 2s ,990 Sodík 4 9,0122 Beryllium B e 1,47 2sa 12 24,305 Hořčík Značka 0 3,50 2s22p4 1 Elektronegativita podle Allreda a Rochowa. Konfigurace elektronů, které má atom prvku navíc proti atomu nejbližšlho předchozího vzácného plynu. U vodíku a helia je uvedena úplná elektronová, konfigurace. N a 1,01 3s1 3sJ 1,23 3 III B 4 IV B.» V B «VI B 7 VII B H VIII 9 VIII 19 39, , , , , , , , ,933 Draslík Vápník Skandium Titan Vanad Chrom Mangan Železo Kobalt K 0,91 C a 1,04 S c 1,20 T i 132 V 1,45 C r 1,56 M n 1,60 F e 1,64 C o 1,70 4s1 4s2 S d ^ 2 3d24s2 3d84s2 SďHs1 3d64s2 3d 4s2 3d74s , , , , , ,94 43 (97,907) , ,91 Rubidium Stroncium Yttrium Zirkonium Niob Molybden Technecium Ruthénium Rhodium R b 0,89 S r 0,99 Y 1,11 Z r 1,22 N b 1,23 M o 1,30 T c 1^6 R u 1,42 R h 1,45 5s1 5s2 4d*5s2 4d25s2 4d45sJ 4d*5s1 4d*5s* 4d75s» 4d95s , , , , , , , , ,22 + Cesium Baryum Lanthan Hafnium Tantal Wolfram Rhenium Osmium Iridium C s 0,86 Ba 0,97 La 1,08 H f 1,23 Ta 1,33 W 1,40 R e 1,46 O s 1,52 I r 1,55 6s1 6s2 5d!6s2 4fl45d26s2 4f145d36s* 4f145d46ss 4f145d86s2 4fl45d, 6s* 4f145d76s2 87 (223,02) 8i! (226,03) 89 (227,03) 104 (261) 105 (262) 106 (263) Francium Radium Aktinium Unnilquadium Unnilpentium Unnilhexium F r 0,86 R a 0,97 A c 1,00 U n q U n p U n h 7s» 7s> 6dl7s2 5fl46d27s2 5fH 6ď W 5f146d47s2 L anthanoidy A ktinoidy , , , (144,91) , ,96 Cer Praseodym Neodym Promethium Samarium Europium C e 1,06 P r 1,07 N d 1,07 P m 1,07 S m 1,07 E u 1,01 4f25d 6sa 4 fa5d 6s2 4f45d»6s2 4f85d 6s2. 4f«5d»6s2 4 f75d 6s ,04 91 (231,04) ,03 93 (237,05) 94 (244,06) 95 (243,06) Thorium Protaktinium Uran Neptunium Plutonium Americium Th 1,11 P a 1,14 U 1,22 N p 1,22 P u 1,22 Am 1,2 5f 6d27s2 S f ^ d W 5f36d17s2 5f46di7s* 5f*6d 7s2 5f76d 7sa

3 18 O 2 4,0026 Helium 13 III A 14 IV A 15 V A 16 VI A 17 VII A H e ls , , , , , ,179 Bor Uhlík Dusík Kyslík Fluor Neon B 2,01 C 2,50 N 3,07 O 3,50 F 4,10 N e 2s22p1 2s32pa 2sa2p3 2s*2p4 2s22p5 2s22p«13 26, , , , , ,948 Hliník Křemík Fosfor Síra Chlor Argon A I 1,47 S i 1,74 P 2,06 S 2,44 C l 2,83 A VIII I B II B 3sa3p1 3s23p2 3s33p8 3s23p4 3s23p6 3s23pe 28 58, , , , ^ , , , ,80 Nikl Méd Zinek Gallium Germanium Arsen Selen Brom Krypton N i 1,75 Cu 1,75 Z n 1,66 G a 1,82 G e 2,02 A s 2,20 S e 2,48 B r 2,74 Kr 3d84s2 3di<>4s1 3d104s2 3d104s24p1 3d104s24p2 3d104s24p3 3d104sa4p4 3d104s24ps 3d104s24p , , , , , , , , ,29 + Palladium Stříbro Kadmium Indium Cín Antimon Tellur Jod Xenon Pd 1,35 A g 1,42 Cd 1,46 In 1,49 S n 1,72 Sb 1,82 T e 2,01 I 2,21 Xe 4d105s 4d105s1 4d105sa 4d105s25pl 4d105s25p2 4d105s25p3 4d105s25p4 4d105s25ps 4d105s25p , , , , ,98 84 (208,98) 85 (209,99) 86 (222,02) Platina Zlato Rtuť Thallium Olovo Bismut Polonium Astat Radon P t 1,44 Au 1,42 H g 1,44 T I 1,44 P b 1,55 B i 1,67 Po 1,76 A t 1,96 R n 4f145d96s1 4f145d106sl 4 f145d106s2 4 f145d106s26p1 4f145d106s26p2 4f145d106s26p3 4f145d106s26p< 4fl45d106s26p5 4f145d106s26p ,25 + Gadolinium Gd l,ii 4f75dl6s ,93 Terbium Tb 1,10 4f*5d 6s ,50 + Dysprosium Dy 1,10 4 f105d 6ss ,93 Holmium Ho 1,10 4 fll5d ,26 + Erbium E r 1,11 4f135d 6s ,93 Thulium Tm 1,11 4f135d 6s ,04 + Ytterbium Yb 1,06 4f145d 6s ,97 Lutecium Lu 1,14 4f145d16s2 96 (247,07) Curium Cm 5f76d17s2 97 (247,07) Berkelium B k 5f"6d07s2 98 (251,08) Kalifornium Cf 5f106d 7s2 ' 99 (252,08) Einsteinium Es SfH ód^s2 100 (257,10) Fermium Fm 5f126d 7s2 101 (258,10) Mendelevium Md 5f136d 7s2 102 (259,10) Nobelium No 5f146d 7s2 103 (260,11) Lawrencium Lr 5f»46d 7s2

4 STÁTNÍ PEDAGOGICK É NAKLADATELSTVÍ PRAHA

5 MATEMATICKÉ, FYZIKÁLNÍ A CHEMICKÉ TABULKY pro střední školy STÁTNÍ PEDAGOGICKÉ NAKLADATELSTVÍ PRAHA

6 Zpracovali RNDr. Jiři Mikulčák, CSc. (matematickou část), doc. RNDr. Ing. Bohdan Klimeš, CSc., RNDr. Jaromír Široký, CSc., RNDr. Václav Sůla, RNDr. František Zemánek (fyzikální a chemickou část) Lektorovali RNDr. Vladimír Roskovec, CSc., doc. RNDr. Josef Pacák, CSc., JUDr. Jaroslav Barták D otisk 1. vydání Schválilo ministerstvo školství ČSR dne 1. června 1987 č. j / jako pomocnou knihu pro studijní obory středních škol. Jiří Mikulčák za kolektiv, 1988

7 OBSAH P ře d m lu v a... 9 MATEMATICKÉ TABULKY 1 M atematické z n a č k y Užití typů latinské abecedy Řecká abeceda Logika, množiny Aritmetika a algebra G eom etrie P řehled nejdůležitějších vzorců a vztahů školské m atem atiky Úvod do matematické logiky a teorie m n o ž in Aritmetika a algebra Vlastnosti rovnosti č ís e l Vlastnosti operací sčítání a násobení Komplexní č í s l a Reálná č ís l a Mocniny a rozklad mnohočlenů Rovnice s jednou neznám ou Posloupnosti Kombinatorika Statistika a pravděpodobnost Goniometrické funkce Planimetrie a trigonometrie Stereom etrie Vektorová algebra Analytická geometrie Lineární útvary v rovině a v p ro sto ru Kvadratické útvary v rovině a v prostoru Diferenciální a integrální p o č e t Derivace f u n k c e Primitivní funkce Určitý integrál O tabulkách fu n k c í Tabelování hodnot funkce Lineární interpolace fu n k c í Vyhledání hodnoty prom ěnné Aproximace čísel a výpočty s n im i Grafy funkcí a jejich užití Úprava ta b u le k Různá č í s l a Rozklad čísel v součin prvočísel Hodnoty a logaritmy hodnot některých konstant F a k to riá ly Binomičtí součinitelé Mocniny čísla

8 I 4.6 Pravidelné m nohoúhelníky Formáty p a p íru Funkce x2, x? Druhá mocnina a odm ocnina Třetí mocnina a odmocnina Převody jednotek velikostí ú h l ů Převod stupňů na radiány Převod stupňů na g r a d y Převod stupňů na d ílce Převod minut a vteřin na desetinné zlomky s tu p n ě Goniometrické funkce sin a, cos a tg a, cotg a sin x ( i v radiánech) cos x (x v radiánech) tg x (xv radiánech) cotg x (jí v radiánech) Funkce e, crx L o g a ritm y Přirozené logaritmy č ís e l Logaritmy dekadické FYZIKÁLNÍ A CHEMICKÉTABULKY Ú v o d Některé státní normy (ČSN) důležité pro fyziku a chem ii Základní jednotky Zákonné měřicí jednotky Definice některých jednotek Přehled veličin, značek a hlavních jednotek Násobky a díly jed n o tek Vedlejší jed n o tk y Jiné jednotky Mezinárodní praktická teplotní stupnice (1968) Řady vyvolených č ís e l Acidobazické neutralizační indikátory Disociační konstanty kyselin a zásad ve vodných roztocích při 25 C Součiny rozpustnosti látek při teplotě 25 C ve vodných roztocích Prvky a jejich v lastn o sti Obsazení elektronových podslupek v atom ech Stabilní nuklidy a jejich v ý s k y t Nejdůležitější elementární č á s tic e Hmotnostní schodky jader některých p rv k ů Radioaktivní přeměnové ř a d y Hustota, součinitel teplotní délkové roztažnosti a měrná tepelná kapacita některých prvků při teplotě 20 C

9 20 Vlastnosti důležitých anorganických sloučenin Vlastnosti důležitých organických sloučenin Hustoty pevných lá te k Mechanické vlastnosti pevných lá te k Tvrdost některých l á t e k Tepelná vodivost některých pevných l á t e k Složení některých s l i t i n Rozpustnost pevných látek ve v o d ě Měrné spalné teplo a výhřevnost p a liv Termochemické ú d a je Délky, úhly a disociační entalpie vazeb v některých jednoduchých molekulách Hustota, dynamická viskozita, tepelná vodivost, objemová roztažnost a povrchové napětí kapalin při 20 C Závislost tlaku a hustoty sytých vodních par na tep lo tě Závislost teploty varu vody na t la k u Tepelné konstanty kapalin Molární hmotnosti, normální hustoty a měrné plynové konstanty p ly n ů Tepelné konstanty p ly n ů Rozpustnost plynů ve vodě za normálního tla k u Střední volná dráha molekul a jiné konstanty p l y n ů Střední kvadratická rychlost pohybu molekul p l y n ů V z d u c h Rychlost šíření zvuku v různých lá tk á c h Přehled hladin akustického tlaku Temperované ladění Součinitelé smykového t ř e n í Ramena valivého odporu Měrný elektrický odpor v o d ič ů Elektrické vlastnosti izo lan tů Termoelektromotorická napětí Polovodivé prvky a lá tk y Elektrochemické ekvivalenty Standardní elektrodové potenciály při 25 C vztahující se ke standardní vodíkové e le k tro d ě Měrný elektrický odpor vodných roztoků při 18 C Závislost magnetické indukce a poměrné permeability na intenzitě magnetického pole Magnetické permeability neferomagnetických látek Přehled televizních pásem Přehled elektromagnetického z á ř e n í Doporučená o světlení Vlnové délky některých intenzivních čar ve spektrech Index lomu různých l á t e k Ionizační práce volných a to m ů... ^ Výstupní práce elektronů z kovů; mezní vlnové aélky fotoelektrického je v u Závislost hmotnosti částice, hmotnosti a energie elektronu na rychlosti Energie a hmotnosti fotonů Slunce, Země, Měsíc Elementy trajektorií p la n e t Fyzikální charakteristiky p la n e t Měsíce planet

10 Údaje o některých významných planetkách Některé komety a meteorické r o j e Paralaxy a vzdálenosti blízkých hvězd Spektrální klasifikace hvězd Základní fyzikální charakteristiky h v ě z d Galaxie (galaktická soustava) Místní skupina galaxií V e s m ír Některé důležité astronomické konstanty Přehled důležitých fyzikálních konstant Přehled důležitých fyzikálních vzorců Přehled vzorců pro chemické výpočty Značky pro elektrotechnická schém ata Rejstřík

11 PŘEDM LUVA V technické praxi i ve všech védních oborech se při řešení problémů často vyskytují různé konstanty, údaje, hodnoty určitých funkcí apod. Není možné a ani nutné si všechny potřebné hodnoty pamatovat. Na pomoc řešitelům se takové hodnoty zpracovávají do tabulek, aby se uspíšilo řešení daného problému. I na středních školách se řeší řada úloh z matematiky, fyziky, z astronomie, z chemie i z jiných vědních oborů, jejichž řešení usnadňují předkládané tabulky. Tabulky obsahují přehled nejdůležitějších matematických značek, se kterými se mohou studující setkat při studiu učebnic a doplňkové literatury. U každé značky je uvedeno její čtení a její význam je doložen vhodným příkladem. Důležitou pomůckou studentů se dále stane přehled vzorců středoškolské matematiky. Radu vzorců si studující osvojí jejich častým užíváním; nahlédnutím do vzorců se mohou přesvědčit o správnosti zapamatování vzorce. Na druhé straně není třeba učit se zpaměti vzorcům, kterých se užije dvakrát nebo třikrát za studia. V takovém případě stačí vědět, kde se vzorce naleznou a umět jich správně použít. U vzorců je uvedeno i vysvětlení užitých symbolů, často však jen pomocí obrázku. Před vlastními tabulkami jsou vysvětleny základní principy sestavování tabulek funkcí a jejich užívání. Prostudování těchto vysvětlivek usnadňuje uvědomělé užívání tabulek a porozumění stručnějším vysvětlivkám před jednotlivými tabulkami. V první části matematických tabulek jsou uvedeny čtyřmístné hodnoty funkcí. Těchto tabulek se užívá při přímých výpočtech pomocí algoritmů písemného sčítání, odčítání, násobení a dělení a při výpočtech pomocí strojů. Protože většina údajů v úlohách z praxe má tři platné číslice, jsou čtyřmístné tabulky dostatečně přesné k výpočtu výsledků těchto úloh. Tabulky logaritmů ve druhé části tabulek urychlují výpočty hodnot výrazů s násobením, dělením, umocňováním a odmocňováním, není-li po ruce počítačka. Fyzikální a chemické tabulky nejsou navzájem odděleny, protože se v mnoha případech překrývají a doplňují. Členění tabulek do menších oddílů je dáno jejich obsahem. K snazšímu hledání v tabulkách jsou na okrajích stránek postupně pod sebou otištěny výhmatky se stručným označením tabelované funkce nebo skupiny tabulek. Přejeme všem uživatelům tabulek, aby je během studia poznali jako užitečnou a nepostradatelnou pomůcku, usnadňující řešení úloh nejen v matematice, ve fyzice, v chemii, ale i v dalších oborech, a to jak ve škole, tak i v praktické činnosti. Autoři 9

12 Značky m3 Míry úhlů sin x tg x ex log x /

13 1 MATEMATICKÉ ZNAČKY Nejdůležitější značky užívané v matematice jsou normovány normou ČSN Matematické značky. Terminologie, jíž se užívá zejména ve školním vyučování, je předepsána příručkou Názvy a značky školské matematiky. Tyto značky a termíny jsou uvedeny na prvním místě. Značky a starší termíny uvedené v tomto přehledu v závorce poněkud přesahují rámec učiva střední školy; přehled obsahuje i značky užívané v odborné literatuře a v populárně vědeckých časopisech, jsou uvedeny i značky obvyklé v zahraniční literatuře. V závorce za výkladem značky je stránka tabulek, na níž je další poučení o příslušném pojmu. Značky 1.1 U žití typů latinské abecedy A, a, B, b, C, c,... A,a, B, b, C, c,... A, o, B, fa, C, c,... A,B,C, T, R, S, 0, H,... (stojaté písmo) jsou symboly pro konstanty, např. značky jednotek (m, g, kg,...) a definované funkce (sin, cos, tg, log,...) (kurzíva, šikmé písmo) jsou symboly pro proměnné, body a přímky, výroky, prvky množin, funkce (gill polotučný kurzíva) jsou symboly pro vektory, orientované úsečky, matice (stojatý gill) jsou symboly pro množiny (kurzíva gill) jsou symboly pro geometrická zobrazení 1.2 Řecká abeceda Křížkem označená písmena se neužívají, aby se nezaměňovala s písmeny latinské abecedy. Písmo Číslo Písmo Název stojaté kurzíva stojaté kurzíva Název Číslo +A a +A a alfa 1 +N v +ÍV v ný 50 +B ß +B ß béta 2 S E 1 ksí 60 r Y r y gamma 3 +o +o omikron 70 A 8 A ô delta 4 n Tt n 71 Pí 80 +E +E e epsilon 5 +p? +p Q ró 100 +Z Ç +Z n (d)zéta 7 2 a z a sigma 200 +H r\ +H v éta 8 +T X +T X tau & 0 9 théta 9 +Y +0 + Y +v ypsilon i +/ i (i)ióta 10 O 9 0 <p fí 500 +K X +K X kappa 20 +x X +-X X chí 600 A X A l lambda 30 r + ip psí 700 +M V- +M mý 40 0 O) Q U) ómega 800 Chybějící čísla 6, 90, 900 se zapisovala zastaralými písmeny; od 1 do 999 se číslice označovaly písmeny s čárkou nahoře: a' = 1; pro tisíce se užívala stejná písmena, ale s čárkou dole před písmenem:,a = Na lince mají malá písmena normalizované řecké abecedy tuto polohu: aß jtço r(p ipu 13

14 1.3 Logika, m nožiny Značka Název nebo čtení Příklady, vysvětlivky, doplňky p, q, A, B výroky p: Trojúhelník ABC je pravoúhlý. ~l P ÍP\ h Np) p a q (p&q> p.q, Kpq) p v q (P + q, Apq) p=> q (p-+ q> p =>q) p o q q> P = q> p~q> Epq) (p y q) Vx ( ; (*)) 3x (V; S.s (E*)) 3! negace výroku p non p konjunkce p a zároveň i q P et q; disjunkce p nebo q; p vel q (u některých autorů alternativa) implikace p implikuje q; z p plyne q', jestliže platí p, pak platí i q ekvivalence; p platí tehdy a jen tehdy, když platí q\ p platí právě tehdy, když platí q úplná disjunkce kvantifikátor obecný, univerzální; pravšechna x platí... kvantifikátor existenční; pro některá x; existuje aspoň jedno x, pro které platí... kvantifikátor existenční s jednoznačností; existuje právě jeden ~]p: Trojúhelník ABC není pravoúhlý. Není pravda, že \ABC je pravoúhlý. p: x < 1; q: x ^ 0 p a q: Pro číslo * platí: x < 1 a zároveň (současně, přitom) i x Sí 0; je tedy 0 x < 1. p: A ABC je pravoúhlý; q: A ABC je rovnoramenný; p v q: A ABC je pravoúhlý nebo rovnoramenný; to znamená: A ABC je jen pravoúhlý nebo jen rovnoramenný nebo pravoúhlý i rovnoramenný současně. Je-li číslo dělitelné devíti, pak je dělitelné i třemi. p předpoklad, q tvrzení p je postačující podmínkou pro q; q je nutnou podmínkou pro p. Číslo je dělitelné šesti, právě když je zároveň dělitelné dvěipa i třemi. p je nutnou i postačující podmínkou pro q (a obráceně). Platí jen p nebo jen q, ale neplatí p i q současně (str. 20). V x > 0 ; x + ^>2 čteme: * 1 Pro všechna x > 0 platí x -\-----> 2. x V a e R, V b e R; (a + b) (a b) = a2 b2. 3x > 0; x + = 2 čteme: Existuje aspoň jedno x > 0, x 1 pro které platí x = 2. X 3! x; x + 2 = 5 čteme: Existuje právě jedno x takové, že x + 2 = 5.

15 Značka Název nebo čtení Příklady, vysvětlivky, doplňky A = {a, b, c} {xer; V(x)} e zápis množiny dané výčtem prvků množina všech reálných čísel, která vyhovují V(x) je prvkem; je elementem A = {a, b, c} je zápis množiny, která obsahuje prvky a, b, c a žádné jiné. {xer ; x2 4 = 0} = {2, 2} 2 e {2, 3, - 4, 8} i není prvkem; - 3 {2, 3,- 4, 8} (i) není elementem 0 prázdná množina {x e R; x + 1 = x} = 0 c inkluze; je částí; je podmnožinou M c N: množina M je podmnožinou množiny N. {2, 4} <= {1, 2, 4} U sjednocení M U N: sjednocení množiny M a množiny N. {2, 3} U {1, 3} = {1, 2, 3} n průnik M n N: průnik množiny M s množinou N. {2, 3, 4} n {1, 2, 3} = {2, 3} M -N rozdíl M a N M = {1,2,3,4}, N = {1, 3, 5} M - N = {2, 4} A symetrický rozdíl množin A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, 3}, A A B = (A B) U (B A) = {1, 4} Značky U Ai í-i HA, í-1 A b sjednocení systému množin Ai, A2,..., A průnik systému množin Ai, A2,..., An doplněk množiny A v množině B (JA< = Ax U A2 U... U A -i ('I Ai Ai n A2 n... n An -i Je-li A c B, pak Ag = B A. 1A počet prvků množiny A A = {a, b, c}, A = 3 A x B kartézský součin množina všech uspořádaných dvojic [x,y] takových, že množin A a B x e A a zároveň y e B 1.4 A ritm etik a a algebra množina všech N - přirozených čísel No = N U {0} = Zjf Z - celých čísel Zó = {x e Z ; íg O } Q - racionálních čísel Qjf = {xeq ; x 2: 0} R - reálných čísel R~ = {x e R; x < 0} C - komplexních čísel (viz str. 22) rovnítko; 3.5 = 15 rovná se; je rovno 15

16 Značka Název nebo čtení Příklady, vysvětlivky, doplňky Značky < > O t ] {} < > < > O o 0,2 0,643 0, E + 04 není rovno; nerovná se; je různé od kongruence je po zaokrouhlení rovno je přibližně rovno odpovídá je menší než je větší než je menší nebo rovno je nejvýše rovno je větší nebo rovno je nejméně rovno je mnohem (řádově) menší než je mnohem (řádově) větší než závorky - okrouhlé - hranaté - složené - úhlové uzavřený interval otevřený interval polouzavřený interval zleva neomezený zprava neomezený periodická čísla 0 celá, dvě periodické 0 celá, 643 periodických 0 celá, 3 desetiny, 28 periodických v počítačích a počítačkách v počítačích a počítačkách zápis čísla v semilogaritmickém tvaru 3 # 5 a = b (mod tri) a je kongruentní s b podle modulu m 637 = « cm ^ 1 km (např. na mapě) - 3 < 5 x > 0 12 ^ 12, x ^ < > označení pořadí početních výkonů 5. [ 3 a - (2a b)] (a») _i ( posloupnost členů a nebo (a«; n = 1, 2,...), n \ ~n+í)n,ie P sloupnost i}, j, [3, 2] souřadnice bodu; uspořádaná dvojice, např. komplexní číslo {2, 3} množina, která má prvky 2 a 3 {a, by... a ^ x ^ b (a, b)... a < x < b <a, b)... a ( oo, b)... x < b <a, + oo)... x ^ a 0,2 = 0, ,643 = 0, ,328 = 0, x < b, zleva uzavřený, zprava otevřený čísla ryze periodická číslo neryze periodické, 3 předperioda desetinná tečka místo desetinné čárky; 3.14 = 3, E + 04 = 5, = E - 02 = 5, = 0,056 16

17 Značka Název nebo čtení Příklady, vysvětlivky, doplňky + X, * * t - > / b a b X a D(a, b, c) «(a, b, c) absolutní (prostá) hodnota a plus minus krát; násobeno krát, násobeno (v počítačích) umocněno (v počítačích) děleno ku děleno (v počítačích, počítačkách) lomeno b dělí a b nedělí a největší společný dělitel čísel a, b, c nejmenší společný násobek čísel a, b, c j i = l (str.23) znak sčítání: znak určitých kladných čísel: + 7 > 0 znak odčítání: 2a a znak určitých záporných čísel: 4 < 0 znak opačného čísla: a je číslo opačné k Sslu a znak násobení: a. b = a X b m. n skalární součin vektorů (str. 40) m x n vektorový součin vektorů (str. 41) 2 * A = 2a A * * 2 = a2 A f 2 = a2 znak dělení: a: b, b # 0 v poměrech a úměrách: a: b = c : d A -í-b = a : i 12 -j- 4 = 3 3 zlomková čára: v písmu, 3/5 v tisku; v programovacích jazycích je,,/eí znak pro dělení je i2 >(18,24) = 6 «(18,24) = 72 Značky % značka procent 3 % z j je L značka promile 3 % o z / ' je 1000 ppm an r. v n n r. v (!) «-tá mocnina čísla a; a umocněno na «-tou odmocní tko; druhá odmocnina n-tá odmocnina binomický koeficient (kombinační číslo) n nad k 3 ppm z j je a3 = a.a.a (str.24) v písmu: /4 = 2 v tisku: t(a + b)*=\a + b\ n pro a ^ 0, b ^ 0 je ]/a = b o bn = a - O - o - 10«"-30» 17

18 Značka Název nebo čtení Příklady, vysvětlivky, doplňky Značky ni n faktoriál 41 = = 24 2 «1 -i n n m -i n-y 0 n-y oo součet (suma) všech at, kde í jsou přirozená čísla od 1 do n součin všech <n, kde i 1. jsou přirozená čísla od 1 do n 2 (H a\ «3 + «4 + as i- 1 ~~ a i' 2 *az n blížící se nule v limitách (str. 47) n rostoucí nade všechny v limitách (str. 29) meze 1.5 G eom etrie «-» AB přímka AB h> AB polopřímka AB <-> ABC rovina ABC i pm i ABC i-» qx polorovina pm polorovina ABC poloprostor qx»-* ABCX poloprostor ABCX KL úsečka KL KL délka úsečky KL Ap vzdálenost bodu A od přímky p pq vzdálenost dvou rovnoběžek p a q a/s vzdálenost rovnoběžných rovin a, fi < A VB konvexní úhel A VB 0 : A VB nekonvexní úhel A VB \< AVB velikost $ A VB Pq odchylka přímek/), q i < pq odchylka přímky p od roviny q < a/3 odchylka rovin a, /S p = AB A počáteční bod polopřímky, B vnitřní bod polopřímky a = «- ABC p hraniční přímka, M vnitřní bod poloroviny *-* AB hraniční přímka, C vnitřní bod poloroviny q hraniční rovina, X vnitřní bod poloprostoru <-* ABC hraniční rovina, X vnitřní bod poloprostoru K, L krajní body úsečky KL = 5 cm; KL \ 5 znamená, že úsečka KL má délku 5 jednotek, např. v analytické geometrii, kde jednotka délky je dána na osách souřadnic <$AVB = VAB fl i-» VBA A VB je sjednocení polorovin opačných k polorovinám A VB a BVA VP, q; 0 ^ Š p q Ž g < PQ š 90 0 ^ <í a/? ^ 90 18

19 Značka Název nebo čtení Příklady, vysvětlivky, doplňky _ je rovno je totožno A = B bod A je roven bodu B body A a B splývají bod A je totožný s bodem B není rovno A B bod A je různý od bodu B je různé od body A a B nesplývají 6 leží na ( v ) A e p bod A leží na přímce p je prvkem bod A je prvkem přímky p A e q bod A leží v rovině q bod A je prvkem (bodem) roviny q C leží v p c a přímka p leží v rovině «je podmnožinou přímka p je podmnožinou roviny «$ není podmnožinou neleží v q (t /9 přímka q neleží v rovině /? p n q p průnik q p Í1 q = {A} průnikem přímek p a q je bod A průsečíkem různoběžek p a q je bod A a 11 ^ a průnik /3 ol H p p průsečnid rovin a, f) je přímka p II je rovnoběžná s a\\b, a a, a /3 1 je kolmá k a _L b, a_l_a, a_l/s t t (tl) souhlasně např. u orientovaných úseček (nesouhlasně) rovnoběžno P«^ je podobný A ABC ~ A MNP je shodný A ABC Sž A TUV /X AVB orientovaný úhel A AVB má počáteční rameno >-» V A a koncové rameno i-* VB ti h. pravý úhel R velikost pravého úhlu 0 ' 5 > stupeň, minuta a vteřina < A VB = 15 30'45" (ve stupňové míře) A trojúhelník A ABC KS; r) kružnice o středu S KM-, Mt ): kružnice k o středu M a s poloměrem, a poloměru r který je roven vzdálenosti bodu M od tečny t AVB oblouk kružnice A, B krajní body, V vnitřní bod oblouku kružnice Značky

20 2 PŘEHLED NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH VZORCŮ A VZTAHŮ ŠKOLSKÉ MATEMAT-IKY Vzorce 2.1 Úvod do m atem atick é logiky a te o rie m nožin Výrok Výrok je každé sdělení, u něhož nastane právě jedna ze dvou možností: bud je pravdivé, nebo je nepravdivé. (Pravdivost výroků označujeme číslem 1, nepravdivost číslem 0.) Logické operátory Negace výroku Negací výroku a je výrok 1 a, který popírá to, co výrok a tvrdí. Je-li výrok a pravdivý, je výrok 1 a nepravdivý, a naopak; přehledně zapisujeme: a a 0 1 Negace výroků s kvantifikátory výrok negace výroku každý... je... alespoň jeden... není... alespoň jeden... je... žádný... není... alespoň n... je... nejvýše(«1)... je... ( «> 1) nejvýše n... je... alespoň {n + 1)... je... («2 1 ) negace výroku <----- výrok Složené výroky Symbol Pravdivost či nepravdivost výroků a složených výroků a b Konjunkce Disjunkce (alternativa) Implikace Ekvivalence Úplná disjunkce a A b a V b a => b a o b a v b

21 Důkazy Nepřímý důkaz Důkaz sporem Důkaz matematickou indukcí Množiny Počet prvků sjednocení dvou množin Místo a=> b dokazujeme ~]b=> ~]a (obměna implikace). 1. Vyslovíme negaci výroku v, tj. výrok ~\v. 2. Z ~\v odvodíme logický důsledek z, který neplatí. 3. Uzavřeme, že neplatí výrok 1 v, tedy platí výrok v. Věta: Pro každé přirozené číslo n íg no platí v(n). Důkaz: 1. Dokážeme, že platí f(«o). 2. Pro každé k^triq dokážeme: jestliže platí v(k), pak platí i v(k + 1). Jsou-li A a B disjunktní množiny, pak A U B = A + B. Nejsou-li množiny A a B disjunktní, pak A U B = A + B 1 A Í1 B. Vzorce 2.2 A ritm etik a a algebra 1 V la stn o sti ro v n o s ti S ísel Dichotomie Rovnost je - reflexívní - symetrická - transitivní Monotonie sčítání a násobeni Součin rovný nule Pro každá dvě čísla a, b platí právě jeden z těchto dvou vztahů: a = b, a b. a a Je-li a = by je také b = a. Je-li a = b a b = c, je také a = c. Pro všechna a, b, c, d platí: Je-li a = b, pak a + c = b + c. Je-li a = by pak a. c b.c. Je-li a = b a c d, pak a + c = b + d. Je-li a = by pak a2 = b2. Pro všechna «^ O a ^ O platí: Je-li a = by pak ya \b. Pro všechna a, b platí: Je-li ab - 0, pak a = 0 nebo 6 = 0. 21

22 2 Vlastnosti operací sčítání a násobení sčítání násobení Vzorce U uzavřenost vzhledem Součet čísel a + b Součin čísel a. b k operaci je číslo je číslo K komutativnost a + b = b + a a. b = b. a A asodativnost (a + b) + c a + (b + c) (a. b). c = a. {b. c) N existence neutrálního a + 0 = 0 +a=a a. 1 = 1. a = a prvku I existence inverzního a + ( a) = 0 prvku D distributivnost násobení (a + b).c == ac + bc vzhledem ke sčítání Pro a ^ 0 a. = a Existuje-li rozdíl (podíl) a b x 0 a = b + x Pro b 0 3 Komplexní čísla Definice komplexních čísel -7- = x 0 a = bx b a = [ai, <22] (uspořádané dvojice reálných čísel, pro které jsou definovány rovnost, součet a součin tak, jak je uvedeno v dalším textu) ai reálná část komplexního čísla a2 imaginární část komplexního čísla Rovnost komplexních čísel Imaginární jednotka Mocniny imaginární jednotky Reálné číslo Imaginární číslo Ryze imaginární číslo Absolutní hodnota Komplexní jednotka Argument Algebraický tvar Goniometrický tvar Exponenciální tvar [ai, 02] = [ >1, 62], právě když ai = >1 a zároveň a2 = 62 i = [0, 1] i2 = 1, i3 = i, í4 = 1; i4i+m = im, k, m přirozená čísla, m < 4 [ai, a2], když a2 = 0, tedy [ai, 0] [ai, az], a2 # 0 [ai, a2], když ai = 0, a2 ^ 0, tedy [0, a2] a = [ai, a2] => a = ]/a? + a\ = jfa. a Komplexní číslo a, pro které platí a = 1 Úhel a, pro který platí cos a = a zároveň sin oc = -~~ a a [ai, az] = ai + a2í [au ať\ a (cos a + i sin «) [au az] = a eťa, e základ přirozených logaritmů 22

23 Číslo komplexně sdružené Součet komplexních čísel Součin komplexních 6'sel Podíl komplexních čísel Mocnina komplexního čísla Moivreův vzorec Odmocniny komplexního čísla Je-li a = [ai, a2], je a = [au az] = ai azi. a + b = [au 02] + [bu bž\ = [ai + bu az + >2] = (ai + azi) + (b\ + 21) = (ai + 61) + («2 + bz) i a.b [«1, a2]. [ i, 62] = [ť»i6i azbz, aybz + a26i] (ai + azi ). ( > i) = (aiii azbz) + (aibz + azbi) i = a (cos a + i sin a ). b (cos -f- i sin /?) = = a j. b [cos (a + /3) + i sin (a + 0)] ab Je-li I b I2 ai + a2i (ai + azi) ( 1 62Í) (ai + <z2i) (bi 2Í) b b\ + bzi ( i + bz i) (bi 62Í) + 1 Pro n reálné a r(cos q -f i sin g) ^ 0 [ r. (cos q + i sin g)] = r. (cos ttq + i sin ng) (cos <p + i sin <p)n (cos rup + i sin n<p) Je-li a a (cos a + i sin a), kde 0 g a < 2n, pak existuje právě n odmocnin z čísla a: y t/í 7- ( a + 2 kn.. a + 2k u \ ]/a = ]/\a \ ^cos \-ism -----J, kde k = 0, 1, 2, n 1. Vzorce 4 Reálná čísla Nerovnosti Trichotomie Pro libovolná reálná čísla a, b nastane právě jeden ze tří případů: a < b%, a = i a > b. Tranzitivnost nerovností Je-li a < b a b < c, pak platí a < c. Monotonie sčítání a násobení Je-li a < b a c libovolné, pak platí a + c < b -f c. Je-li a < b a c > 0, pak platí ac < bc. Je-li a < b a c < 0, pak platí ac > bc. Sčítání nerovností Je-li a < b a c < d, pak platí a -f- c < b + d. Násobení nerovností Je-li 0 < a < b a 0 < c < d, pak platí ac < bd. Absolutní hodnota Je-li a 0, pak a = 0. Je-li a > 0, pak a 1= a. Je-li a < 0, pak a 1= a. Je-li k > 0 a a < k, pak k < a < k. Je-li -k< a < k a k > 0, pak [ a < k. Je-li k >0 a \x a A, pak x e <a -k, a + ky, neboli a k ^ x ^ a + k. Aproximace čísel Zavedení Přípustná hodnota čísla A Neznáme-li číslo A přesně, pak hodnoty čísla A jsou z intervalu <ai, az>, kde au az jsou racionální čísla; ai dolní aproximace, az horní aproximace Každé reálné číslo x, pro které platí a\ íj x ^ az 23

24 Střední aproximace a čísla A a = ai 2 Absolutní chyba aproximace a = ai Vzorce Zápis čísla /I ^4 = a ± a pomocí střední aproximace a cl ^ A ^ a + a absolutní chyby Relativní chyba čísla A \A, a ^ O a Součet a rozdíl čísel A + B = (a + b) ± (a + /9) A = a ± a A B (a 6) ± (a + /?) Součin čísel A. B A. B = ab ±. ab přibližné vzorce p díi Ť ± f e + 4 ) T Relativní chyba součinu \{A. B) = ±A + A B (*)- a podílu A -s*j = A A + A # Mocniny a odmocniny reálných čišel Definice mocniny Pro každé reálné a a n přirozené an = a. a.. Součin mocnin Mocnina mocniny Mocnina součinu Mocnina podílu Podíl mocnin Definice odmocniny Součin odmocnin 24 Pro každé reálné 0 Pro každé reálné a ^ O a n přirozené Pro každé reálné a > 0, r celé číslo a s přirozené číslo Je-li a > 1, pak an > 1. Pro všechna reálná a a b, pro která jsou definovány mocniny s exponenty r, s, r + i, r.sy r s b ^ O 0 Pro a ^ 0, 6 ^ 0 a n přirozené a = a = ]/ar ar.a? ar+* (ar) = a»--* (a. č»)' = ar. br (i)'-* ar i a8 = ar~s n ]/a = i, právě když bn a ýa. ýé = ýa6

25 Podíl odmocnin b ^ O Odmocnina z odmocniny Umocnění odmocniny Rozšiřování odmocnitele Pro a ^ O, m, «přirozená Pro a > O, j celé, n přirozené Pro a ^ 0 a n, p přirozená 1íb m v \ I rt mt tnn / y j = y, 'a /«\8 n IVa) = V? n np l/a = R Krácení odmocnitele Geometrický průměr čísel Logaritmy Definice logaritmu o základu z Hodnoty logaritmu Logaritmus součinu Pro a > 0, m celé a n, k přirozená Pro a a b kladná Pro z > 0, z ^ 1 a n > 0 Pro každé z > 0, Pro a > 0, b > 0 n /a*ro = l/a x 1lab n Vzorce tr 'f / ^ logi n l, právě když z1 = n, tedy z[agzn n logz z = 1 logz 1 = 0 logz z = a logz (ab) = logz a + log* b Logaritmus podílu Logaritmus mocniny Logaritmus dekadický Logaritmus přirozený Převod logaritmů s různými základy Pro a > 0, b > 0 Pro a > 0, n reálné Pro n > 0 a z = 10 Pro n > 0 a z = e (e = 2, ) log» x = loga x. log«, a Převod logaritmů dekadických ln a log a. ln 10 = log a. 2, na přirozené a obráceně log a = ln a. log e = ln a. 0, (str. 92) logz-t" = logz a logz b O logz an rt. logz a log n = logio n = l, tedy 10* = «, IQlogi.» n ln n = lne n = /, tedy e* = n, elnn = n Racionální čísla a lom ené výrazy a Zlomek, a e Z, 6 e N (V literatuře, v níž je OeN, musí být b e N a zároveň b 6 # 0.) a c Rovnost zlomků -r- = právě tehdy* když ad = bc o a Porovnávání zlomků a c --- <, právě když ad < bc o a > -r >P^vě když ad > bc b a 25

26 Zlomky i lomené výrazy - součet a rozdíl a. c ad+ bc n Vzorce - součin - dělení zlomkem nebo výrazem a složený zlomek nebo výraz a c ac 7*7" u b* * a+ b c ac a : = a. =, b ^ 0, c ^ 0 c b b a d ad Procenta Zavedení 1 % z čísla a je 100 Označení údajů v úlohách Výpočet - procentové části p % z čísla a je 100,J z - základ % p - počet procent... např. 24 %... p 24 i - procentová část pomocí výpočtu 1 % ze z _ z 1 ~ 100 ' P - počtu procent p = - základu z = P Vzorce finanční aritmetiky na str. 29. j - m = ž : m 5 Mocniny a rozklad mnohočlenů (a ± b)2 = a2 ± 2ab + A2 (a ± A)3 = a3 ± 3a2A+ 3aA2 ± A3 (a + by = a» + (j) a»-!6 + (j) a ~2A ( _! i ) abn-1 + 6» a2 A2 = (a + b) (a 6) a2 + >2 = (a + ia) (a ia) a3 + A3 = (A + b) (a2 - ab + A2) a3 A3 = (a A) (a2 + aa + A2) a" + A = (a + A) (a -1 an-2a+ an_3a A"*1) pro» liché an A" = (a A) (a *1 -f a"~2a+ a ' 3A An_1) pro n liché i sudé a" An = (a + A) (an_1 an_2a+ a ~3A An_1) pro w sudé (a + A+ c)2 = a2 + A2 + e2 + 2aA + 2ac + 2bc x2 + px + q = (x r) (x s); r a s jsou kořeny rovnice x2 + px -f- q 0; pro r a s platí: r + s = p, rs q 26

27 6 Rovnice s Jednou neznámou Kořen rovnice l(x) p(x) Rovnice anulovaná l{x) p{x) 0, F{x) = 0 Každé číslo a z přípustného nebo daného číselného oboru, pro které platí l{d) = p{a). Vzorce Algebraická rovnice n-tého stupně s reálným i koeficienty Definice Rovnice reciproké Rovnice binomická normovaná kořeny anxn + a»-!.*" aix + ap = 0 ai(i = 0, 1, 2, n) koeficienty, x neznámá dn 0 a-n = <*>, Gn-i = ai, an-z = a%,... nebo Clfl = = í ^ n- 1 # 1* f l» 2 & 2 y obecně an-k nebo an-k = a* Je-li a ^ O, b ^ 0, «přirozené... axre -f- b 0 Je-li m ^ O, n přirozené... xn m. 360,.., 360' 60 \ Pro m > i0 x = ]/m ^ cos k h i sin k n» / * k = 0, 1, 2, n 1 «í/i----í í /180,, 360 \,.. /180, 360 \1 Pro m < 0 x = VT»*I cos - k j + 1 srn ^ h * ^ J k = 0,1, 2,..., n 1 Kvadratická rovnice s reálným i koeficienty Definice Diskriminant Kořeny Rozklad v kořenové činitele Vztah mezi kořeny a koeficienty Pro a # 0 Pro D > 0 dva reálné různé kořeny Pro Z) = 0 dvojnásobný reálný kořen Pro D < 0 dva imaginární komplexně sdružené kořeny ax2 + bx + c 0 D = b2 4ac *2 = x = Xl *2 = b + ]/D a b 2a Jsou-li r a s kořeny rovnice ax2 + bx -f c = 0, pak ax2 + bx -f c = a(x r) (x s) = 0 b c r - f - i = ; r. s = a a - b - M Ď 2a - b + i ] / m 2a - b - i ] / \ Ď \ 2a 27

28 Vzorce Rovnice ryze kvadratická - kořeny J e -li------^ 0 a m >0 Je-li------< 0 a axz + c 0 Xl -R Xz V-Tc Xl = i a x2 m xi = ]/m X2 = j/ffl *i = i / m / Rovnice kvadratická bez absolutního členu m < 0 ax2 bx = 0 X2 = l 1/ x2= i yrm - kořeny *1 = 0, xt = Rovnice normovaná - diskriminant x3 + px + q = 0 (a = 1) D = pz 4q Jsou-li r a 5 kořeny, D (r j)2. - rozklad v kořenové činitele Jsou-li r, j kořeny, (x r)(x s) = 0. - vztahy kořenů a koeficientů r + s = p, r. s = q Rovnice kvadratická s kom plexním i koeficienty Definice Diskriminant Kořeny Lineární rovnice Definice Kořen a*2 + bx + c = 0 a, b, c jsou komplexní čísla, z nichž, aspoň jedno je imaginární D = b2 4ac D je komplexní číslo - b + f Ď X s e í a a* = 0 x b Rozbor rovnice ax + b = 0 7 Posloupnosti Posloupnost aritm etická Definice rekurentní n-tý člen Součet prvních «členů Je-li s = 0 i í = 0, pak kořenem rovnice je každé x Je-li a = 0 a b ^ 0, pak rovnice nemá žádný kořen. Je-li a ^ 0, je rovnice lineární. Je-li d (diference) libovolné reálné číslo, an+i a + d. an = ai + (rt l)d an = ín = y (<n + an) On-l + tfn+i Pro libovolné dva členy platí 28 Jsou-li r, s přirozená, ar = a, + (r j) á.

29 Posloupnost geometrická Definice rekurentní Je-li q (kvocient) libovolné reálné číslo, an+i = a». q. n-tý člen an a i. q -1 \ an = ]/tfn+ i. an-1 Součet prvních n členů Pro q ^ 1 qn 1 1 qn s = ai = ai q 1 1 q Pro <7 = 1 sn = n. a% Pro libovolné dva členy platí ar = a8. qr Vzorce Vzorce finanční aritm etiky Vzrůst hodnoty Pokles hodnoty Částka, hodnota se za určité období zvětší vždy op % z předchozí hodnoty. Je-li ao počáteční hodnota, pak hodnota an po n obdobích je an P Částka, hodnota se za určité období zmenší vždy o p % z předchozí hodnoty. Je-li ao počáteční hodnota, pak hodnota an po n obdobích je Střádání Umořování půjčky Na počátku každého úrokovacího období se pravidelně ukládá částka a; na konci období se k úsporám připisuje úrok ve výši p % úspor. Po n obdobích vzroste vklad na částku an: ^ -» ( r T = r ) > kdcr- ( 1 + w ) - Má-li být půjčka K, úrokovaná p procenty, splacena pravidelnými splátkami za n let, pak splátky s jsou dány vzorcem Nekonečná posloupnost a řady Limita posloupnosti Nekonečná řada lim an = a, právě když ke každému kladnému reálnému číslu e existuje H-MX) n e N tak, že všechny členy dané posloupnosti počínaje členem an+1 patří do intervalu (a e, a + e). O Je-li (an) posloupnost, pak ai + az + <* = 2 a«se nazývá nekonečná řada. " 1 Posloupnost částečných součtů íi = ai, s%= ai + <*2, *3 = U + <*2 + «3, Součet nekonečné řady Je-li (sn) konvergentní, tj. je-li lim s = s, pak j se nazývá součet nekonečné řady. ~*'oc Součet nekonečné Je-li q \ < 1, s ^. geometrické řady ^ Číslo e l i m ( l - f - - ' = e 2, n-oo \ n / 29

30 8 Kombinatorika Počet -členných variací bez opakování z n prvků Pro n přirozená V(k, ti) = n(n 1) (n 2)... (w + 1) Vzorce nl Počet -členných variací s opakováním z ti prvků Počet permutací ti prvků bez opakování n přirozené «= 0 w! = (n 1). n 0! = 1 V\k, n) = nk P( ) = F («, n) = n! Počet permutací n prvků s opakováním Mezi n prvky je r prvků sobě rovných. Počet -členných kombinací bez opakování z n prvků Pro ^ n K(k, n) = n! P W (n )!! n(n 1) (n 2)... (n + 1) T ~ Počet -členných kombinací s opakováním z n prvků Binomický koeficient (kombinační číslo) důležité hodnoty vlastnosti Pascalův trojúhelník binomická věta Pro n přirozená K \ k,n ) = { ^ +kk! ) n\ _ túji 1)(n 2)... (» + 1) ( n - k ) i k l -» O-- (;)-. = 1 (!)-(.-») +(*:.)-(žío Viz str. 62, tabulka 4.4 (a -f- 6)", viz str Statistika a pravděpodobnost Statistický soubor - rozsah souboru - absolutní četnost hodnot znaku x - relativní četnost hodnot znaku * Modus konečná neprázdná množina M n, počet všech prvků množiny M tu, číslo, které udává, kolikrát se v souboru vyskytuje hodnota znaku *< tli. tli, v procentech. 100 ti n Mod (x), x,... nejčastěji se vyskytující hodnota mezi xi, xz,..., x*, tj. hodnota s největší četností m 30

31 Medián Průměrná hodnota znaku x x = (aritmetický průměr) - mají-li hodnoty xt četnost m (vážený aritmetický průměr) Med (x), x,... prostřední člen mezi hodnotami xi, jsou-li uspořádány podle velikosti X = X1 + X %n 1 v = ~ Z x< n n i x m i + x 2n Xkttt 2 n Xitli Vzorce Směrodatná odchylka hodnot s \ 2 (*< #)z znaku maku x ' n <=i Rozptyl hodnot znaku x Koeficient korelace í 2 = - 2 (*» - * )2 n hodnoty znaku x, yi,y*,,y n hodnoty znaku y r , kde 51*2 k = ^ l i {xí x ) { y i 9 ) *1 = 1/ ; - 2 (*< - *)2 r n i«i * 2 = 1 / ^ - 2 ( j y t - ý ) 2 V n,»i Pravděpodobnost Definice pravděpodobnosti jevu A Jev A - jistý - nemožný - náhodný Jev doplňkový A Pravděpodobnost, že nastane aspoň jeden z náhodných jevů A, B, když A n B = í Jestliže nějaká činnost nebo pokus vedou k n možným výsledkům (množina Q) a jestliže náhodný jev A je určen množinou, která obsahuje tn, m^ln, těchto výsledků, potom pravděpodobností náhodného jevu A je číslo P(A) = f. v případě m n P(A) = P(0) = 1 v případě»2 = 0 P(A) = P(0) = 0 v případě 0 < m < n 0 < P(A) < 1 P(A') = 1 P(A) neboli P(A) + P(A') = 1 P(A U B) = P(A) + P(B) Geometrická pravděpodobnost Je-li m{a) míra (velikost) množiny A, /w(í2) míra množiny O a A <= Q, jevu A pak P(A) = * ; m(a), m(íi) jsou vyjádřeny v týchž jednotkách obsahu m(ll) nebo délky. Nezávislost jevů Pravděpodobnost, že při «-násobném nezávislém opakování jev A (jehož pravděpodobnost je P(A)) nastane právě -krát Jevy A a B <= íi jsou nezávislé, jestliže platí P(A Í1 B) = P(A ). P(B). 31

32 10 Goniometrické funkce Vzorce Definice funkcí x velikost úhlu otočení Ol do i-> OL, L bod na jednotkové kružnici se středem O sin x = y L cos x = XL srn x tg x = , cos x cotg x = cos x sin x x = 90 + k. 180 X ^ kk, x ^ k. 180 sec x = 1 cos X x ^ ^ + kn k celé číslo x ^ k. 180 Periodičnost funkcí Hodnoty funkcí pro některé hodnoty x cosec x = srn x x ^ b z x ^ k. 180 Pro k celé sin (x + 2kn) = sin x cos (x + 2kn) = cos x Pro x, pro která jsou tg (x + krc) tg x tg x a cotg x definovány cotg (x + kn) = cotg x 32

33 Hodnoty funkcí pomocí hodnot funkcí z intervalu \ > T / <0 90 > Znaménka hodnot funkcí l / ( «± * ) l - = l / ( 2* ± * ) l = l/(* )l 1/(180 ± 90 I 1/(360 ± 9>) I = \f(<p),(s±,)-u ±,)= I cof(*) /(90 ±?)l = /(270 ±<p) = co% ), kde / sin cos tg cotg cof cos sin cotg tg Vzorce (0, 90 ) (! - ) (90, 180 ) (* ) (180, 270 ) (270, 360 ) sin * + + cos * + + tg * + + cotg * (viz též grafy funkcí v kapitole 7, str. 79 a 89) Hodnoty funkcí záporného argumentu Vztahy mezi funkcemi téhož argumentu Funkce součtu argumentů Funkce dvojnásobného argumentu Funkce polovičního argumentu Pro každé *, pro které je funkce definována Pro každé x Pro každé k e Z Pro každé x a y Pro všechny hodnoty argumentů x, y, pro které jsou funkce tangens a zlomky definovány Pro každé x Pro každé x ^ k. ~ 4 Pro každé x sin ( x) sin x cos ( *) = cos x tg ( *) = tg x cotg ( x) = cotg X sin2* + cos2* = 1 tg *. cotg x = 1 sin (x -j-y) sin * cosjy + cos xsin y sin (x y) = sin * cos y cos * sin y cos (* +j>) = cos * cos y sin * sin y cos (* y) = cos x cos y + sin x sin y tg* + tg 3> tg (* +.y ) = 1 tg* tg y tg * tg y. * ( * -? ) = 1 + t g, tg3, sin 2* = 2 sin * cos * cos 2* = cos2* sin2* 2 tg* tg 2* = il-f 1 tg2* cos * 4* cos * cos i\-f- 33

34 Součet a rozdíl funkcí Pro každé x # k. n, k e Z Pro každé x a y tg sin x + sin y = COS X + COS X 2 sin x + > x y - cos Vzorce sin x sin y = 2 cos x + y. x y -^-sm ~ x + v x y cos x cos y = 2 cos ^ - c o s cos x cos y = 2 sin x + v. x v ^ sm P lanim etrie a trig o n o m etrie Úhly vedlejší doplňkové vrcholové součet primy úhel součet pravý úhel shodné přilehlé souhlasné střídavé součet 180 shodné shodné Trojúhelník Cyklická záměna Součet úhlů C Z a + ß -f y = 180 Vnější úhly a ' = ß + 7) CZ Věty o shodnosti trojúhelníků sss, usu, sus, Ssu Obsah z.v a. Va a CZ; S ab sin y, CZ 34

35 - Heronův vzorec S = y*(í a) (s b)(s c), s = U + 2 Poloměr kružnice opsané abc 4Š, CZ Poloměr kružnice vepsané Věta sinová - užití Věta kosinová - užití «" T 5 a : b : c sin a : sin (i : sin y a b 2 r sin a sin /3 sin y Trojúhelník určen podle vět usu, Ssu a2 = b2 c2 2bc cos a, CZ Trojúhelník určen podle vět sss, sus a ' / av b f \ S ' >4\ c Vzorce Věta tangentová, a j8 a b 2 «+ /? 5 T T = ^ ^ +? tgt 'g CZ - užití Trojúhelník určen podle věty sus Úhly tg l = 7 ^, c Z;sinf = y 5 E M E i r, c z - užití Trojúhelník rovnostranný Strany Úhly Výška Obsah a 1 / s(s a) cos = y bc 5 cos a Trojúhelník určen podle věty sss a = b = c a = /? = y f y * /j2 _1_ r% /j2, CZ 2 bc Poloměry kružnic r - ý V š, í - f v r Trojúhelník pravoúhlý Úhly ostré Obsah a + = 90 a b sm a =, cos a = c c a b tg a = T, cotg a = o a S = ab B Poloměr kružnice opsané r = 35

36 Pythagorova věta Eukleidova věta - pro výšku - pro odvěsny c2 = a2 + b2 v 2c = ca. cb a2 = c.c a, b2 c.ci, Vzorce Obdélník Obvod Obsah Úhlopříčka Poloměr kružnice opsané o 2(a + b) S=ab u = ]/a2 + b2 u Čtverec Obvod Obsah Úhlopříčka Poloměry kružnic o = Aa S = a2 u = a /2 m a r = 2 ^ = 2 Rovnoběžník Obvod Obsah Lichoběžník Obsah c a + c Střední příčka a + c í = = Pravidelný n-úhelník viz též str. 63 Obvod o = na Obsah S = n 2 ť 2 Počet úhlopříček ^ Součet vnitřních úhlů («2)

37 Kružnice a kruh Délka kružnice Obsah kruhu Délka kruhového oblouku o 2tc r = nd <p S = nr2 = 7c nr a ~ 360 ** ( r* í T A l í l r A o ť 11 V i l u 1T A c t i i n t ^ A T r Á Vzorce Obsah kruhové úseče Obsah kruhové výseče Mocnost bodu ke kružnici Obvodový a středový úhel Elipsa Označení Obsah Obvod Konstrukce algebraických výrazů Čtvrtá geometrická úměrná a: b c bc x = 37

38 Střední geometrická úměrná, a : x x : b / V. \ / / geometrický průměr x2 = ab / / / / X ^ \ V b I &1 0-1 Vzorce Konstrukce pomocí Pythagorovy věty x = la2 + b2 x = ]/a2 b2 a > b 2.4 S tere o m e trie V objem, S povrch, Sp obsah podstavy, Spi obsah pláště, v výška tělesa, u tělesová úhlopříčka, r poloměr F' E' Hranol V = Sp. v S = 2SP *S"pi Kvádr V abc S = 2 (ab + ac + bc) u = ta2 + b2 + c2 Krychle K = f l 8 S = 6a2_ u = a /3 T / Válec 2 ^ V = 7crzo = v 4 5 = 2nr(r + v) Jehlan V = j S v.v S Sp + 5pi 38

39 Pravidelný jehlan Vztahy mezi délkami na pravidelném čtyřbokém jehlanu Vzorce Komolý jehlan Rotační kužel Komolý rotační kužel Koule a plocha kulová F = S = 4nr2 Vrchlík, kulová úseč S 2nrv Kulový pás, kulová vrstva k v v= ^ ( 3 ^ + 3 ^ + tf2)

40 2.5 V ektorová algebra Vzorce Umístění vektoru. u = AB, u = B A Souřadnice počátečního bodu A koncového bodu B Souřadnice vektoru u, u = B A (symbolická rovnice) Jedno umístění vektoru u má počáteční bod A, koncový bod B v rovině A[ax, az] B[b1} b2] u = (lil, u2) ui bi ai u> = 62 az A v prostoru A\ai, az, 03] B[bi, 2, >3] u = («1, u2> «3) Mi = 1 a\ ui = 2 az W3 = 3 33 Rovnost vektorů u a v Velikost vektoru Součin vektoru a reálného čísla k Opačný vektor ~ u k vektoru u Rovnoběžnost vektorů u I v Součet vektorů w = u + v w = (zvi, Wz) Lineární kombinace vektorů Vi, vz,... v Skalární součin vektorů u. v Úhel vektorů Kolmost vektorů 40 a zároveň uz = 02 1u 1= y w + u f ku (ktil, kuz) o = ( Ml, uz) u v O v = ku ker, k 0 w = (mi + 01, uz +»2) H>1 = Kl + Ol «02 = M U. V U \V \ + U«V2 COS (p MlOl + UzVz " I * I v- I l / l v o MlOl + UzVz = 0 U = V O U\ = Ol a zároveň uz vz a zároveň U3 = 03 o = 1 u\ + u\ + «1 &U = (&Mi, fe/2, &W3) U = ( Ml, «2, MS) u ] v o v = ku k > O rovnoběžnost souhlasná < O rovnoběžnost nesouhlasná w = (mi + 01, M2 + 02, M3 +»8) U>1 = «1 +»1 K>2 = Uz + 02 «>8 = MS + Os aivi + azyz + + a nv n, ai e R. COS 99 = U.V = MlOl + M2O2 + M3O3 U. V M - M COS (p O á <p š 180 uj_vou.v = 0 MlOl + «202 + M3O8 \u \.\y \ u l v o MlOl + M2O2 + M3O3 = O

41 Vektorový součin - souřadnice - velikost w - poloha w - směr w w u X v W = («2 0 8 V 2U3, U a V l V s U ly U 1V 2 V 1U2) w = u. v. sin <p, <p je úhel vektorů u, v v řlu a zároveň w _L v pravidlo pravé ruky Vzorce 2.6 A nalytická g eo m etrie 1 Lineární útvary v rovině a v prostoru v rovině v prostoru Souřadnice bodů A[ai, <12], S[íi, í2] A[ai, az, as]> Sfris sz, *3] Souřadnice bodu X X[x,y] X[x,y,z] Délka úsečky AB AB = ]/(éi - ai)2 + (bz - a2)2 AB == = /( il fll)2 + (^2 a2)2+(^8 fl3)2 Střed S úsečky AB 0 A B,.. -, S = - symbolická rovnice ai + 1 «i + bi íl== 2 Sl~ 2 az + bz az + bz H S2~ 2 s8 = as + b$ Parametrické vyjádření přímky Směrový vektor o přímky AB «1 = 61 ai uz bz a2 u (ui, «2) u = B A ui b i a i Uz = bz <32 us bz as u = («1, u%, us) 41

42 Přímka daná bodem A a směrovým vektorem u X = A + tu ř e R Vzorce Přímka daná body A, B Polopřímka AB Polopřímka opačná k > AB Úsečka AB Úsečka na přímce AB x = a i + t(b i a{) y = a2 + t(b2 a2) X A + tu, X ~ A -j- tu y X = A -}- tu, X A ~f" tu y x = ai + t{bi ai) y a 2 + t(bz 02) z az + *( >3 az) t ^ o t á o 0 á t ^ 1 m is t n Odchylka co přímek se směrovými vektory u a v Podmínka kolmosti přímek cos co = U l V l - f U2V 2 1/'«? +. /t>? + u. v = 0 0 ^ co ^ 90" I u\vi 4-U2V2 + U3V3 COS co = R + Mí + «3. 1/»1 +»2 +»3 Podmínka rovnoběžnosti přímek MlWl + «2» 2 = O v m. u, ttlwl + « «3 0 3 = O m ^ O d = m. «i j v i = m. u\ V2 = ffj. «2 V2 = tn.u2 i 1)3 w. «3 42

43 Neparametrické rovnice přím ky Koeficienty v rovnici přímky, a, b, c přímky p, Cípy b-py Cp přímky q aq, bq, Cq Úseky přímky na osách souřadnic Směrnice přímky dané body A, B (*-> AB X y) Rovnice přímky - obecný tvar - - směrnice - - normálový vektor - směrový vektor - úsekový tvar - směrnicový tvar p na ose x, q na ose y k tg <P> 90, 2 <*2 « » aii k,»i ai ui ax + by -f c = 0, alespoň jeden z koeficientů a, b různý od nuly k = ~, n = (a, b) u = ( >, a) f p + - q = 1 b ^ O y = kx + q; k = tg<p= ^ - = Vzorce - dané bodem A a směrnicí k y as = k(x a{); y k(x a{) + a2 - normálový tvar ax + by + c = 0, znaménko jmenovatele opačné, než má c ± ]/az + A2 Vzdálenost bodu M od přímky p Poloroviny s hraniční přímkou ax + by -f c = 0 Odchylka cd přímek p, q \M i p\ i = I " 1 + *OT2 + c l/a* + i 2 ax + Ay+cSiOl a x + b y + c ^ 0 ) Poiorovuly Pačné COS (O = QjAq bpbq Podmínka kolmosti přímek />, q Podmínka rovnoběžnosti přímek Posunutí soustavy souřadnic tg (O = 1 -(- P _L í o apuq + bvbq 0 kpkq aq m.ap a zároveň bq m.bpy nebo Ap V původní soustavě souřadnic Oxy je 0'[tn,«]. V nové soustavě pokud kp, kq existují a # 1 m ^ O X'[x',jy'] a platí x x m, y = y n.

44 Vzorce Rovina v prostoru Určení roviny Parametrické vyjádření - roviny - poloroviny pc - poloprostoru QD Rovnice roviny - normálový vektor bodem A[ai, 02, as] a směrovými vektory u = («i, «2, u$) a v = ( 1, V2, V3), z nichž žádný není násobkem druhého. X = A -f tu + sv t, s e R * = ai + tui + sv 1 y = az + tuz + sv2 z = 03 + tu3 + svs p(a, u) X = y í+ ru + ív C $ p, v = C A t, s R a zároveň j ^ 0 g(/í, u, v).y = /I + ru + jv + nv D $ q, w = D 4 í, j, r e R a zároveň r Si 0 ax + ^ + Cir-f-ťf=0, n = (a, b, c) ť* (0, 0, 0) alespoň jeden z koeficientů a, b, c různý od nuly Odchylka rovin q, a nq, na normálové vektory rovin I apaj + bgba cgca cosa = V ^ T X + Ž -Y a l+ b l+ c l Odchylka «přímky p(a, u) cos = od roviny p I u.. «., a = 90 /? Podmínka kolmosti rovin g, a g 1 or o nc. n = 0 a^o + e6<r + Cpi,, = 0. - a «i -f bm2 + cms + d \ Vzdálenost bodu M! Mq I od roviny g V* + * + * 2 Kvadratické útvary v rovině a v prostoru Kuželosečky Parabola - označení prvků V vrchol, F ohnisko, o osa, d řídid přímka, 2p > 0 parametr, I VF\ = j, x+,y+ (x~,y-) kladné (záporné) poloosy souřadnic 44

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Vyučující: RNDr. Ivanka Dvořáčková Třída: 8.A Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Otázka Okruh 1 1. Výroky a operace s nimi 2. Množiny a operace s nimi 2 3. Matematické věty a jejich

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky

Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky A. Informace o zkoušce Písemná maturitní zkouška z matematiky v profilové části se

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

Elektrické vlastnosti látek

Elektrické vlastnosti látek Elektrické vlastnosti látek Druhy elektrického náboje elektrické vlastnosti souvisí nějak s elektrony? částice v atomu jsme značili takto: elekron, proton, neutron znaménka +, - v kolečku značí vlastnost

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

1 18 I. A VIII. A 1,00794 4,003. relativní atomová hmotnost. 3Li 4Be 9F 5B 6C 7N 8O 9F 10Ne 0,97 1,50 4,10 2,00 2,50 3,10 3,50 4,10.

1 18 I. A VIII. A 1,00794 4,003. relativní atomová hmotnost. 3Li 4Be 9F 5B 6C 7N 8O 9F 10Ne 0,97 1,50 4,10 2,00 2,50 3,10 3,50 4,10. 1 18 I. A VIII. A 1 2 3 4 5 6 7 1,00794 4,003 1H 2 13 14 15 16 17 2He 2,20 II. A III. A IV. A V. A VI. A VII. A Vodík relativní atomová hmotnost Helium 6,941 9,012 18,998 10,811 12,011 14,007 15,999 18,998

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

KONTROLNÍ TEST ŠKOLNÍHO KOLA

KONTROLNÍ TEST ŠKOLNÍHO KOLA Ústřední komise Chemické olympiády 51. ročník 2014/2015 ŠKOLNÍ KOLO kategorie D KONTROLNÍ TEST ŠKOLNÍHO KOLA časová náročnost: 90 minut 1 18 I. A VIII. A 1 2 3 4 5 6 7 1,00794 4,003 1H 2 13 14 15 16 17

Více

Matematika - 6. ročník Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby desetinná čísla. - zobrazení na číselné ose

Matematika - 6. ročník Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby desetinná čísla. - zobrazení na číselné ose Matematika - 6. ročník desetinná čísla - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - zaokrouhlování a porovnávání des. čísel ve výpočtových úlohách - zobrazení na číselné ose MDV kritické

Více

KONTROLNÍ TEST ŠKOLNÍHO KOLA

KONTROLNÍ TEST ŠKOLNÍHO KOLA Ústřední komise Chemické olympiády 50. ročník 2013/2014 ŠKOLNÍ KOLO kategorie D KONTROLNÍ TEST ŠKOLNÍHO KOLA časová náročnost: 90 minut 1 18 I. A VIII. A 1 2 3 4 5 6 7 1,00794 4,003 1H 2 13 14 15 16 17

Více

Zařazení materiálu: Šablona: Sada: Inovace a zkvalitnění výuky v oblasti přírodních věd (V/2) Název materiálu: Autor materiálu: Pavel Polák

Zařazení materiálu: Šablona: Sada: Inovace a zkvalitnění výuky v oblasti přírodních věd (V/2) Název materiálu: Autor materiálu: Pavel Polák Projekt: Příjemce: Tvořivá škola, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.3505 Základní škola Ruda nad Moravou, okres Šumperk, Sportovní 300, 789 63 Ruda nad Moravou Zařazení materiálu: Šablona: Sada:

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

PERIODICKÁ TABULKA PRVKŮ. www.egmont.cz

PERIODICKÁ TABULKA PRVKŮ. www.egmont.cz PERIODICKÁ TABULKA PRVKŮ www.egmont.cz 1 PERIODICKÁ H VODÍK 3 4 TABULKA PRVKŮ Be BERYLLIUM Li LITHIUM 11 12 CHEMICKÉ PRVKY, KTERÉ MAJÍ STYL! Mg Na SODÍK HOŘČÍK 20 19 Ca K DRASLÍK Sr Cs BARYUM Ra Fr RADIUM

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Základní škola Blansko, Erbenova 13 IČO

Základní škola Blansko, Erbenova 13 IČO Základní škola Blansko, Erbenova 13 IČO 49464191 Dodatek Školního vzdělávacího programu pro základní vzdělávání Škola v pohybu č.j. ERB/365/16 Škola: Základní škola Blansko, Erbenova 13 Ředitelka školy:

Více

SOUTĚŽNÍ ÚLOHY TEORETICKÉ ČÁSTI

SOUTĚŽNÍ ÚLOHY TEORETICKÉ ČÁSTI Ústřední komise Chemické olympiády 51. ročník 2014/2015 ŠKOLNÍ KOLO kategorie D SOUTĚŽNÍ ÚLOHY TEORETICKÉ ČÁSTI Školní kolo ChO kat. D 2014/2015 V souladu se zásadami pro organizování soutěží je pro vedení

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Úvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost

Úvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Úvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost Prima 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

3.4.1. Tabulace učebního plánu

3.4.1. Tabulace učebního plánu 3.4.1. Tabulace učebního plánu Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: Kvinta, 1. ročník Tématická Číselné obory Druhy čísel (N, Z, Q, R, I) - prezentuje přehled číselných oborů Mocniny

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd. MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro nástavbové studium (hodinová dotace: varianta A 4 až 5 celkových týd. hodin, varianta B 6 celkových týd. hodin) Schválilo

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

SOUTĚŽNÍ ÚLOHY PRAKTICKÉ ČÁSTI

SOUTĚŽNÍ ÚLOHY PRAKTICKÉ ČÁSTI Ústřední komise Chemické olympiády 48. ročník 2011/2012 OKRESNÍ KOLO kateorie D SOUTĚŽNÍ ÚLOHY PRAKTICKÉ ČÁSTI časová náročnost: 75 minut 1 18 I. A VIII. A 1 2 3 4 5 6 7 1,00794 4,003 1H 2 13 14 15 16

Více

Změna týdenní hodinové dotace v 1. ročníku v předmětu matematika. původní dotace 3 hodiny týdně, nově 4 hodiny týdně

Změna týdenní hodinové dotace v 1. ročníku v předmětu matematika. původní dotace 3 hodiny týdně, nově 4 hodiny týdně Dodatek č.. Školního vzdělávacího programu Obchodní akademie Lysá nad Labem, obor -1-M/0 Obchodní akademie, platného od 1. 9. 01 - platnost dodatku je od 1. 9. 015 Změna týdenní hodinové dotace v 1. ročníku

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6.

Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Mezipředm. vazby, PT Číslo a proměnná - užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek - část (přirozeným číslem, poměrem,

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

Matematika Název a adresa školy: Název ŠVP: Hodinová dotace: Platnost ŠVP: Pojetí a cíle vyučovacího předmětu Vyučovací metody, strategie

Matematika Název a adresa školy: Název ŠVP: Hodinová dotace: Platnost ŠVP: Pojetí a cíle vyučovacího předmětu Vyučovací metody, strategie Dodatek č. 14. Školního vzdělávacího programu Obchodní akademie Lysá nad Labem, obor 6-41-M/02 Obchodní akademie, platného od 1. 9. 2012 - platnost dodatku je od 1. 9. 2018 Úpravy ŠVP v souladu s Opatřením

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Racionální čísla a procenta a základy finanční matematiky, Trojúhelníky a čtyřúhelníky, Výrazy I, Hranoly Třída: Sekunda Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 1 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jakou část obsahu kruhu

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

SOUTĚŽNÍ ÚLOHY TEORETICKÉ ČÁSTI

SOUTĚŽNÍ ÚLOHY TEORETICKÉ ČÁSTI Ústřední komise Chemické olympiády 51. ročník 2014/2015 OKRESNÍ KOLO kategorie D SOUTĚŽNÍ ÚLOHY TEORETICKÉ ČÁSTI časová náročnost: 90 minut 1 18 I. A VIII. A 1 2 3 4 5 6 7 1,00794 4,003 1H 2 13 14 15 16

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla. Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat Přírozená čísla Číselné obory Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Základní poznatky Teorie množin Výroková logika Mocniny a odmocniny Množiny Vennovy diagramy

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 8.

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 8. 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 8. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A PROMĚNNÁ M9101 M9102

Více