BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Metody pro výpočet kořenů polynomů
|
|
- Peter Neduchal
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Metody pro výpočet kořenů polynomů Vedoucí diplomové práce: RNDr. Horymír Netuka, Ph.D. Rok odevzdání: 2013 Vypracovala: Zuzana Vranová III. ročník
2 Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto práci napsala samostatně za vedení RNDr. Horymíra Netuky, Ph.D. a že jsem v seznamu použité literatury uvedla všechny zdroje použité při zpracování práce. V Olomouci dne
3 Poděkování Ráda bych na tomto místě poděkovala mému vedoucímu práce RNDr. Horymíru Netukovi, Ph.D. za věnovaný čas a rady, bez kterých by tato práce nemohla vzniknout.
4 Obsah Úvod Řešení algebraických rovnic Násobné kořeny Snížení stupně polynomu Startovací metody Grafická metoda Metoda bisekce Müllerova metoda Algoritmus Müllerovy metody Laguerrova metoda Algoritmus Laguerrovy metody Bairstowova metoda Algoritmus Bairstowovy metody Příklady Problémy při hledání kořenů polynomů Závěr Seznam příloh Literatura... 38
5 Úvod Tato práce se zabývá různými numerickými metodami sloužícími k výpočtu kořenů polynomů s reálnými koeficienty. Kořeny lineárního polynomu a polynomů druhého i třetího stupně můžeme vyřešit velmi jednoduše pomocí vzorců. Pro polynomy vyšších stupňů je však řešení složitější, jelikož žádné vzorce neexistují nebo jsou velmi komplikované, takže využíváme iteračních metod. K odhadu kořenů polynomu můžeme použít jakoukoliv metodu, která slouží k nalezení kořene nelineární rovnice, ale existují i metody, které jsou zvláště vhodné pro polynomy. V první kapitole si připomeneme základní vlastnosti algebraických rovnic. V druhé kapitole se budeme zabývat startovacími metodami, grafickou metodou a metodou bisekce, které nám sice neposkytnou příliš přesné výsledky, ale jsou vhodné k hrubému odhadu řešení. V dalších kapitolách se budeme postupně zabývat iteračními metodami pro výpočet kořenů polynomů, konkrétně metodou Müllerovou, Laguerrovou a Bairstowovou. Tyto metody konvergují k hledanému řešení poměrně rychle, ale potřebujeme znát alespoň přibližnou polohu kořenů. Metody uvedené v této práci jsou vhodné i pro určení komplexních kořenů polynomu. V této práci se také zaměříme na vytvoření programů uvedených metod v programovacím jazyce Fortran 77 a s jejich pomocí vyřešíme konkrétní příklady. Realizace uvedených metod ve Fortanu jsou přiloženy na CD. 4
6 1 Řešení algebraických rovnic Polynomy jsou zvláštní formou nelineárních rovnic. V následujících kapitolách se budeme zabývat různými numerickými metodami, kterými lze najít množinu řešení algebraické rovnice ve tvaru Polynomem stupně rozumíme funkci kde je stupeň polynomu a jsou reálné koeficienty polynomu a Číslo je kořenem polynomu pokud platí rovnost Kořeny mohou být reálné i komplexní, jednoduché nebo násobné. Pokud jsou všechny koeficienty reálné, pak komplexní kořeny jsou vždy komplexně sdružené. Základní věta algebry nám říká, že polynom stupně má právě kořenů. Každý kořen počítáme tolikrát, kolik je jeho násobnost. Polynom můžeme zapsat také ve tvaru Descartovo pravidlo znamének nám říká, že počet kladných kořenů polynomu je roven počtu znaménkových změn nenulových koeficientů nebo je menší o sudé číslo. 1.1 Násobné kořeny V praxi se často setkáváme s funkcemi, které nemají jednoduchý kořen a jeho výpočet je tedy obtížnější. Geometrická interpretace násobnosti kořenů je taková, že pokud má funkce násobné kořeny, pak má tečnu na ose. Nelineární rovnice má -násobný kořen jestliže pro platí, kde 5
7 Kořen má násobnost, právě tehdy, když platí ale Pokud, pak a rovnice má jednoduchý kořen. Například v rovnici řešení je dvojnásobným kořenem. 6
8 1.2.1 Snížení stupně polynomu Jedním z možných postupů, jak určit všechny kořeny polynomu, je postupně snižovat stupeň polynomu. To provádíme tak, že polynom vydělíme lineárním činitelem, kde je již známý kořen daného polynomu. je polynom stupně Stupeň polynomu také můžeme snížit dělením kvadratickým trojčlenem. kde je polynom stupně, a je zbytek, Pokračujeme hledáním kořenů rovnice. Postup opakujeme do té doby, než určíme všech kořenů polynomu. Metody používané k hledání kořenů, můžeme rozdělit do dvou skupin a) startovací metody b) zpřesňující metody 7
9 2 Startovací metody V praxi je situace taková, že rychle konvergující metody většinou vyžadují dobrou počáteční aproximaci. Je tedy dobré začít nějakou méně přesnou, avšak spolehlivou metodou. Rychlost konvergence startovacích metod není příliš velká, ale zato konvergují vždy a jejich výhodou je, že není potřeba znát počáteční aproximaci. 2.1 Grafická metoda Představu o počtu a pozici kořenů rovnice si můžeme snadno udělat, pokud si vykreslíme graf funkce. Přibližné kořeny rovnice pak zjistíme jako x-ové souřadnice průsečíků grafu funkce s osou x. Pomocí grafické metody také můžeme zjistit, zda má rovnice v daném intervalu nějaký kořen. 2.2 Metoda bisekce Metoda bisekce neboli metoda půlení intervalu je velmi jednoduchá a univerzální metoda založená na známé větě z matematické analýzy. Je to poměrně pomalá metoda, ale zato je jednou z nejspolehlivějších. Spočívá v tom, že se snažíme nalézt velmi malý interval, ve kterém funkce mění své znaménko. Předpokládáme, že je reálná spojitá funkce na intervalu a je takový interval, že znaménka čísel a v koncových bodech intervalu jsou opačná. Potom existuje kořen rovnice a. Existuje-li první derivace funkce a nemění-li znaménko v intervalu, pak má funkce v tomto intervalu právě jeden kořen. Sestrojíme posloupnost intervalů Položíme a, je středem intervalu, 1. Pokud je kořenem rovnice. 2. Pokud potom interval bude ten z intervalů, pro který platí, že v jeho krajních bodech má funkce různá znaménka. 8
10 3 Müllerova metoda Müllerova metoda byla poprvé prezentována Davidem E. Müllerem roku Je vhodná k výpočtu kořenů jakékoliv funkce, ale je převážně využívána k určení kořenů polynomů. Tato metoda slouží i k nalezení násobných kořenů. V kombinaci s některou ze startovacích metod nám Müllerova metoda poskytuje velmi efektivní řešení. Tato metoda je založena na metodě sečen, která začíná se dvěma počátečními aproximacemi kořene. Další aproximaci určíme jako průsečík přímky procházející body [ ], [ ] a osy. Müllerova metoda využívá tři počáteční aproximace, kterými proloží parabolu. Jako další aproximaci poté vezmeme průsečík sestrojené paraboly s osou. V Müllerově metodě začínáme se třemi (dobrými) aproximacemi kořene rovnice. Sestrojíme polynom, procházející body [ ] [ ] [ ] kde [ ] [ ] [ ] [ ] 9
11 Konstanty jsou určeny z podmínek Abychom určili, kořen polynomu, položíme. Vzhledem k zaokrouhlovacím chybám při odečítání téměř stejných čísel, kořen rovnice vyjádříme ve tvaru Znaménko u odmocniny vybíráme tak, aby bylo shodné se znaménkem. Tedy tak, aby jmenovatel v absolutní hodnotě byl co největší. Tato metoda je vhodná i k odhadu komplexních kořenů polynomů. Ze vztahu výše vidíme, že výraz pod odmocninou může nabývat i záporných hodnot a můžeme tedy určit komplexní kořeny i při reálné počáteční aproximaci. Pokud je komplexním kořenem polynomu s reálnými koeficienty, pak je také kořenem polynomu a je dělitelem polynomu. Po určení postup opakujeme a místo použijeme a tak určíme následující aproximaci. Pokračujeme tak dlouho, dokud nedostaneme uspokojivou aproximaci kořene. 10
12 3.1 Algoritmus Müllerovy metody Vstup:, seřazeny od největšího, maximální počet iterací, požadovaná přesnost For If else a If pak algoritmus končí Příprava pro další iteraci 11
13 Příklad 3.1: Pomocí Müllerovy metody určete kořeny rovnice. Řešení: V tabulkách jsou uvedeny jednotlivé aproximace a funkční hodnoty v těchto bodech. Výpočet jsme zastavili podmínkou Z hodnot v tabulkách vidíme, že, a 12
14 4 Laguerrova metoda Laguerrova metoda byla pojmenována po francouzském matematikovi Edmondu Laguerrovi. Hlavní výhodou Laguerrovy metody je to, že je vhodná pro jakékoliv typy kořenů: reálné, komplexní, jednoduché i násobné. Zvlášť vhodná je pro výpočet jednoduchých a reálných kořenů, u nichž je zaručena velmi rychlá konvergence k některému kořenu a to při jakékoliv počáteční aproximaci. Pro polynomy s komplexními kořeny toho o konvergenci není příliš mnoho známo, ale případy kdy metoda není konvergentní jsou velmi neobvyklé. V případě určování násobných kořenů se konvergence zpomalí v okolí násobného kořene. Předpokládáme, že a jsou dva kořeny daného polynomu. Zkonstruujeme parabolu, která prochází bodem počáteční aproximace a jejíž kořeny leží v blízkosti krajních bodů intervalu Další aproximací pak bude ten kořen paraboly, který leží podstatně blíže krajnímu bodu intervalu než původní aproximace Předpokládáme, že jsou kořeny rovnice. Potom každý polynom může být zapsán ve tvaru a (4.1) Obě strany rovnice (4.1) zlogaritmujeme a dostaneme Označíme ( ) 13
15 Předpokládáme, že kořen leží ve vzdálenosti od současné aproximace, a že ostatní kořeny leží ve vzdálenosti,. Potom můžeme a vyjádřit ve tvaru Vyřešíme-li tuto soustavu dostaneme ( ( ) ) Znaménko před odmocninou vybíráme tak, aby absolutní hodnota jmenovatele byla co největší. Následující aproximaci kořene vypočteme podle vzorce Jelikož hodnota pod odmocninou může být záporná, může být komplexní číslo a tedy kořen může být komplexní i přestože předchozí odhad kořene byl reálný. Pro polynomy s komplexními kořeny metoda nemusí být konvergentní při jakékoliv počáteční aproximaci, jako tomu bylo u reálných kořenů, ale ze zkušeností víme, že případy kdy metoda není konvergentní, se vyskytují jen zřídka. Laguerrova metoda může využívat komplexní aritmetiku i při konvergenci k reálným kořenům. Počáteční aproximaci si zvolíme libovolně. Postup opakujeme tak dlouho, dokud neobdržíme dostatečně malou hodnotu. Jestliže jsou kořeny rovnice seřazeny tak, že a, pro, pak proces konverguje k jednomu z kořenů. Pokud pak konverguje k, pokud pak konverguje k. Hodnotu polynomu a jeho derivací v daném bodě vypočítáme pomocí Hornerova algoritmu, postup výpočtu je uveden například v [6]. 14
16 4.1 Algoritmus Laguerrovy metody Vstup: For For Výstup: Pokud pak algoritmus končí Označili jsme 15
17 Příklad 4.1: Pomocí Laguerrovy metody řešte rovnici. Řešení: V tabulce jsou uvedeny jednotlivé aproximace a funkční hodnoty v těchto bodech. Výpočet zastavíme podmínkou. Z hodnot v tabulce vidíme, že, a 16
18 5 Bairstowova metoda Bairstowova metoda se poprvé objevila roku 1920 v knize Leonarda Bairstowa Applied Aerodynamics. Pokud reálný polynom má komplexně sdružené kořeny, běžnými metodami je nemůžeme určit, aniž bychom využívali komplexní aritmetiku. Bairstowova metoda nám umožňuje se komplexní aritmetice vyhnout. Tato metoda se snaží převést řešení algebraické rovnice na řešení rovnice kvadratické, a to tak, že najde kvadratický trojčlen, který je dělitelem daného polynomu. Bairstowova metoda konverguje poměrně rychle, ale je potřeba znát dobrou počáteční aproximaci. Předpokládáme reálný polynom -tého stupně, Polynom vydělíme libovolným kvadratickým trojčlenem (5.1) Kořeny rovnice (5.1) jsou i kořeny polynomu právě tehdy když dělí polynom beze zbytku. Po vydělení polynomu dostaneme polynom stupně Polynom nyní můžeme obecně zapsat ve tvaru (5.2) kde je zbytek a, koeficienty zbytku závisí na parametrech, což znamená a 17
19 Zbytek bude nulový, pokud oba koeficienty a budou nulové a tedy bude platit soustava, Tuto soustavu nelineárních rovnic budeme řešit Newtonovou metodou. Předpokládáme-li, že kvadratický trojčlen je aproximací dělitele, pak řešením soustavy bude další aproximace, kde a. ( ) Označíme a soustavu přepíšeme do tvaru (5.3) Čísla a získáme pomocí zobecněného Hornerova schématu. Derivujeme rovnici (5.2) parciálně podle Soustavu přepíšeme do tvaru (5.4) (5.5) 18
20 Koeficienty jsou koeficienty lineárních zbytků při dělení polynomu trojčlenem. Koeficienty jsou koeficienty lineárních zbytků při dělení polynomu trojčlenem. Označíme a a dopočítáme koeficienty a. Rovnici (5.5) upravíme tak, že ji vynásobíme činitelem Po další úpravě dostaneme ( ) (5.6) Porovnáme rovnice (5.4) a (5.6) a dostaneme a Vypočtené koeficienty dosadíme do původního vztahu (5.3) a získáme soustavu Vyřešením této soustavy získáme kvadratický dělitel, jehož kořeny jsou i aproximací kořenů polynomu. Bairstowova metoda bude konvergovat ke kořenům polynomu, pokud počáteční aproximace koeficientů určíme dostatečně blízko skutečným hodnotám koeficientů. 19
21 Zobecněné Hornerovo schéma Pro výpočet koeficientů zbytků použijeme zobecněný Hornerův algoritmus. Postup výpočtu je uveden například v [6]. 20
22 5.1 Algoritmus Bairstowovy metody Vstup: For For Výstup: Dále pokračujeme tak, že stanovíme a. Proces opakujeme tak dlouho, dokud nedosáhneme předem stanovené podmínky, např. ( ) 21
23 Příklad 5.1: Užitím Bairstowovy metody nalezněte komplexní kořeny polynomu Řešení: Jako počáteční aproximační trojčlen zvolíme. Koeficienty trojčlenu jsou uvedeny v tabulce. Výpočet zastavíme podmínkou ( ) Z hodnot v tabulce určíme opravený kvadratický trojčlen Kořeny tohoto trojčlenu jsou 22
24 6 Příklady Příklad 1: Pomocí uvedených metod najděte všechny kořeny polynomu Řešení: Do příkazového okna Fortranu zadáme koeficienty polynomu data a/1.0,0.0,2.0,-1.0,-3.0/ a) Nejdříve kořeny polynomu určíme pomocí Müllerovy metody. Do příkazového okna zadáme počáteční aproximace data x/-2.0,-1.0,-0.5/ a po spuštění dostaneme Roots of polynomial x^4+2x^2-x-3 Real Complex #iter ( , ) 6 Spočítáme i druhý reálný kořen polynomu data x/0.0,1.0,2.0/ Roots of polynomial x^4+2x^2-x-3 Real Complex #iter ( , ) 5 23
25 Našli jsme dva reálné kořeny polynomu. Polynom vydělíme kvadratickým trojčlenem příslušným kořenům a získáme tak polynom. Kořeny tohoto polynomu jsou. b) Dále kořeny odhadneme pomocí Laguerrovy metody. x0=0 Roots of polynomial x^4+2x^2-x-3 Real Complex #iter ( , ) 3 X0=2 Roots of polynomial x^4+2x^2-x-3 Real Complex #iter ( , ) 2 Laguerrovou metodou jsme určili dva reálné kořeny. Opět vydělíme příslušným kvadratickým trojčlenem a dostaneme polynom, jehož kořeny jsou c) Nakonec kořeny vypočítáme ještě Bairstowovou metodou. Jako počáteční aproximační trojčlen vezmeme. p=1 q=1 Roots of polynomial x^4+2x^2-x-3 Root x1 Root x2 #iter ( , ) ( , ) 4 Vypočítali jsme kořeny získanými kořeny a určíme komplexně sdružené kořeny. Polynom opět vydělíme již 24
26 Příklad 2: Určete všechny kořeny polynomu Řešení: a) Müllerova metoda Počáteční aproximace Kořeny polynomu #iterací Zbývá nám určit poslední kořeny kvadratické rovnice vzniklé po vydělení původního polynomu již určenými kořeny. b) Laguerrova metoda Počáteční aproximace Kořeny polynomu #iterací Z kvadratické rovnice dopočítáme poslední dvojici komplexních kořenů c) Bairstowova metoda Koeficienty aproximačního trojčlenu Kořeny polynomu #iterací Bairstowovou metodou jsme určili první dvě komplexně sdružené dvojice kořenů. Zbývá z lineární rovnice dopočítat poslední kořen. 25
27 Příklad 3: V intervalu určete reálný kořen polynomu s přesností Řešení: a) Nejdříve k výpočtu použijeme Müllerovu metodu. Za počáteční aproximace vezmeme,,. Výsledek jsme obdrželi po pěti iteracích. b) Následně kořen odhadneme pomocí Laguerrovy metody. Za počáteční aproximaci vezmeme krajní bod uvedeného intervalu. Po třech iteracích získáme výsledek. c) Nakonec použijeme ještě Bairstowovu metodu. Jako počáteční aproximační trojčlen vezmeme. Bairstowovou metodou dostaneme hledaný kořen po 8 iteracích. Nejrychlejší metodou v tomto případě byla Laguerrova metoda, ale bylo potřeba určit dobrou počáteční aproximaci. Pokud bychom zvolili například vypočítali bychom komplexní kořeny, což není námi hledané řešení. Stejně tak u metody Müllerovy jsme museli zvolit vhodné aproximace. Jako nejlepší metoda se zdá v tomto případě metoda Bairstowova, která nám kořen určila bez ohledu na zvolené počáteční koeficienty. Pokud bychom za počáteční aproximační trojčlen vzali získáme stejný výsledek. 26
28 Příklad 4: Určete reálné i komplexní kořeny polynomu Řešení: a) Müllerova metoda Počáteční aproximace Kořeny polynomu #iterací b) Laguerrova metoda Počáteční aproximace Kořeny polynomu #iterací 27
29 c) Bairstowova metoda Koeficienty aproximačního trojčlenu Kořeny polynomu #iterací Z tabulek vidíme, že rozdíly mezi řešeními podle různých metod jsou zanedbatelné, takže příliš nezáleží na tom, jakou metodu k vyřešení příkladu použijeme. Nejrychleji konverguje Laguerrova metoda, výsledek jsme získali již po dvou iteracích. 28
30 Příklad 5: Určete reálné kořeny polynomu Řešení: Z grafu funkce vidíme, že polynom má pouze 2 reálné kořeny. a) Müllerova metoda Počáteční aproximace Kořeny polynomu #iterací Hodnota,0 b) Laguerrova metoda Počáteční aproximace Kořeny polynomu #iterací Hodnota 29
31 c) Bairstowova metoda Koeficienty aproximačního trojčlenu Kořeny polynomu #iterací Hodnota Pro hledání pouze reálných kořenů se zdá nejvhodnější metoda Laguerrova, která byla nejrychlejší a nejpřesnější z uvedených metod, a zároveň nebylo potřeba přemýšlet nad zvolením počáteční aproximace. Pokud bychom vzali za počáteční aproximaci pro bychom získali stejný výsledek již po 7 iteracích. Bairstowova metoda pro tento příklad nebyla příliš vhodná, jelikož při stanovení koeficientů nebo nám našla pouze komplexní kořeny. Nás však zajímala pouze reálná řešení rovnice. 30
32 Příklad 6: Najděte reálné i komplexní kořeny polynomu a) Müllerova metoda Počáteční aproximace Kořeny polynomu #iterací Müllerovou metodou jsme příliš přesné výsledky nezískali a navíc při výpočtu jsme překročili povolený počet iterací. U tohoto příkladu je lepší pro výpočet zvolit jinou metodu. b) Laguerrova metoda Počáteční aproximace Kořeny polynomu #iterací 0 0 Laguerrovou metodou jsme získali přesnější výsledky. Zvolíme-li pro o něco lepší počáteční aproximaci získáme pro daný kořen zcela přesný výsledek. 31
33 c) Bairstowova metoda Počáteční koeficienty trojčlenu Kořeny polynomu #iterací Pomocí Bairstowovy metody jsme našli přesné kořeny rovnice. 32
34 Příklad 7: Určete všechny kořeny polynomu. Tento polynom má pouze reálné kořeny a to a dvojnásobný kořen. I z grafu vidíme, že v okolí hodnoty se pravděpodobně bude nacházet násobný kořen. Řešení: a) Müllerova metoda Počáteční aproximace Kořeny polynomu #iterací,0 Při určování kořenu jsme překročili povolený počet iterací a daný kořen měl i komplexní část, tu jsme ale vzhledem k tomu, že zaokrouhlujeme na sedm desetinných míst, v tabulce neuvedli. Násobný kořen můžeme také určit tak, že zadáme a získáme. Poté bychom určili násobnost kořene tak, že spočítáme -té derivace polynomu v bodě (viz kapitola 1.1). Pokud, je násobnost kořene. V našem případě ale, tedy a kořen je dvojnásobný. 33
35 b) Laguerrova metoda Počáteční aproximace Kořeny polynomu #iterací Konvergence Laguerrovy metody se v okolí násobného kořene velmi zpomalí. Vezmeme-li vypočítáme kořen po iteracích. Pokud a počet iterací bude. c) Bairstowova metoda Počáteční koeficienty trojčlenu Kořeny polynomu #iterací Bairstowova metoda nám poskytla poměrně přesné řešení, i přesto si ale myslím, že je vhodnější pro násobné kořeny použít některou z ostatních metod. 34
36 7 Problémy při hledání kořenů polynomů Přestože metody uvedené v této práci jsou ve většině případů konvergentní, může při hledání kořenů polynomů nastat několik problému. Mezi hlavní problémy patří nedostatečná počáteční aproximace. Neznáme-li dobrou počáteční aproximaci, metoda může konvergovat ke špatnému kořeni nebo nemusí k hledanému řešení konvergovat vůbec. Tomuto problému se dá snadno vyhnout, pokud sestrojíme graf funkce nebo použijeme jinou startovací metodu. Další problém může nastat, pokud kořeny polynomu leží příliš blízko. Může být těžké určit, zda se v problémovém místě nachází jeden kořen, dva kořeny nebo dvojnásobný kořen. I tento problém můžeme snadno vyřešit tak, že si vykreslíme graf funkce a v problémovém místě jej zvětšíme. Násobné kořeny, pokud o nich víme, mohou být řešeny například Laguerrovou metodou. Jestliže ale nevíme, zda má polynom vůbec nějaké násobné kořeny, může se efektivnost uvedených metod zhoršit. Sestrojení grafu funkce nám může pomoci zjistit, zda je existence násobných kořenů možná. Největším problémem je špatná podmíněnost polynomu, která se většinou vyskytuje u polynomů vyššího stupně. Špatně podmíněný polynom je takový polynom, u kterého i malé změny v koeficientech způsobí větší změny v jeho kořenech. Většina polynomů v této práci se chovala dobře, ale vždy musíme počítat s tím, že se mohou objevit nečekané problémy a řešení rovnice se tím ztíží. 35
37 Závěr Cílem této práce bylo nastudovat metody vhodné pro řešení algebraických rovnic. Práce byla rozdělena na část teoretickou a praktickou. V první části jsem se seznámila s tím, jak postupovat při řešení dané problematiky a ve druhé části jsem se naučila jak vyřešit konkrétní příklady pomocí programu vytvořeného v programovacím jazyce Fortran 77. Startovací metody slouží k hrubému odhadu řešení algebraické rovnice, ale samy o sobě nám příliš dobrou aproximaci kořene neposkytnou. V této práci jsme dále uvedli tři metody, které jsou vhodné zvláště pro výpočet kořenů polynomů. Všechny metody vyžadovaly určení počáteční aproximace a poté vygenerovaly posloupnost, která konvergovala ke hledanému řešení rovnice. Pokud jsme již jeden či více kořenů polynomu určili, dále jsme pokračovali tak, že jsme polynom vydělili již určenými kořeny a pokračovali jsme v hledání kořenů redukovaného polynomu. Všechny zde uvedené metody jsou vhodné pro řešení algebraických rovnic jak s reálnými kořeny, tak s komplexními. Z příkladů vidíme, že nejrychleji konvergovala metoda Laguerrova. Počet iterací ale u žádné metody nebyl příliš vysoký a při výpočtu na počítači nehraje příliš velkou roli. Výhodou Bairstowovy metody je zase to, že nám spočítá hned dva kořeny daného polynomu najednou. Všechny metody většinou konvergovaly k velmi podobným výsledkům, rozdíl byl jen minimální, takže nejde jednoznačně určit, která z metod je pro výpočty nejlepší. K této práci je přiloženo CD s programy uvedených metod. 36
38 Seznam příloh Příloha A CD s programy metod pro určování kořenů polynomů 37
39 Literatura [1] Burden, R. L., Faires, J. D., Numerical Analysis, 9th edition, Boston: Brooks Cole, [2] Hamming, R., W., Numerical methods for scientists and engineers, 2nd edition, Mineola : Dover Publications, [3] Horová, I., Zelinka, J., Numerické metody, 2. vydání, Brno: Masarykova univerzita, [4] Hřebíček, J., Programovací jazyk FORTRAN 77 a vědeckotechnické výpočty, Praha: Academia, [5] Kincaid, D, Numerical Analysis: Mathematics of Scientific Computing, 3rd edition, American Mathematical Society, [6] Μíka, S., Numerické metody algebry, 2. vydání, Praha: SNTL, [7] Nekvida, M, Šrubař, J, Vild, J, Úvod do numerické matematiky, Praha: SNTL, [8] Press, W. H., Numerical recipes in Fortran 77: The art of scientific computing, 2nd edition, Cambridge: Cambridge University Press, [9] Stoer, J., Bulirsch, R. Introduction to numerical analysis, 2nd edition, New York: Springer Verlag, [10] Vitásek, E., Numerické metody, Praha: SNTL,
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceAlgebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.
Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceNewtonova metoda. 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce
VíceŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceNumerické řešení rovnice f(x) = 0
Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Přemysl Vihan 9.10.2003 Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l. 2. ročník, PMVT-mag. Abstrakt Seminární práce se zabývá numerickým řešením
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceČebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
VíceSoustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda.
Úvod Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Mnoho technických problémů vede na řešení matematických úloh, které se následně převedou na úlohy řešení soustav nelineárních rovnic
Vícemetoda Regula Falsi 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda Regula Falsi Michal Čihák 23. října 2012 Metoda Regula Falsi hybridní metoda je kombinací metody sečen a metody půlení intervalů předpokladem je (podobně
VíceNerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí
VíceŘešení nelineárních rovnic
Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
VíceNumerické metody a programování. Lekce 7
Numerické metody a programování Lekce 7 Řešení nelineárních rovnic hledáme řešení x problému f x = 0 strategie: odhad řešení iterační proces postupného zpřesňování řešení výpočet skončen pokud je splněno
VíceNerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceM - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceNumerická matematika Banka řešených příkladů
Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceHledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceM - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Více2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceŘešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VícePolynomy a racionální lomené funkce
Polnom a racionální lomené funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Polnom Definice a základní pojm Násobnost kořene Počet kořenů Kvadratický polnom Rozklad na součin kořenových
Víceúloh pro ODR jednokrokové metody
Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceVZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
VíceNelineární rovnice. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Nelineární rovnice Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Ohraničení kořene Hledání kořene Soustava Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Hledáme bod x, ve kterém je splněno pro zadanou funkci
VíceNerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceCitlivost kořenů polynomů
Citlivost kořenů polynomů Michal Šmerek Univerzita obrany v Brně, Fakulta ekonomiky a managementu, Katedra ekonometrie Abstrakt Článek se zabývá studiem citlivosti kořenů na malou změnu polynomu. Je všeobecně
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceMatematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Více4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceAbstrakt. Bairstowovy iterační metody. V práci je odvozena Bairstowova metoda
Hledání kořenů algebraické rovnice Michaela Kožuchová 1,MichaelaSládková 2,Vojtěch Pék 3 Abstrakt Práce se zabývá hledáním kořenů algebraické rovnice za pomoci Bairstowovy iterační metody. V práci je odvozena
VíceHledání extrémů funkcí
Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
Více----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice
Minimum Maximum Minimum Maximum Studijní obory z matematiky z matematiky z matematiky z matematiky * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice * Obecná matematika Navazující magisterský studijní
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VíceALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
Více2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
Více9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická
VíceNerovnice. Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková
Nerovnice Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011
Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení
VíceMETODA PŮLENÍ INTERVALU (METODA BISEKCE) METODA PROSTÉ ITERACE NEWTONOVA METODA
2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 1 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC - řešení nelineární rovnice f(x) = 0, - separace kořenů =
VíceMATLAB a numerické metody
MATLAB a numerické metod MATLAB je velmi vhodný nástroj pro numerické výpočt mnoho problémů je již vřešeno (knihovní funkce nebo Toolbo), jiné si můžeme naprogramovat sami. Budeme se zabývat některými
VíceLogaritmická rovnice
Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,
VíceM - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,
VíceMocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5
Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt
VíceAnalytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
VíceVZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
VíceRovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky
Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice
VíceDělení. Demonstrační cvičení 8 INP
Dělení Demonstrační cvičení 8 INP Přístupy k dělení sekvenční s restaurací nezáporného zbytku bez restaurace nezáporného zbytku SRT kombinační obvod založen na úplné odečítačce iterační algoritmy Newtonův
VíceModerní numerické metody
Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
VíceNelineární obvody. V nelineárních obvodech však platí Kirchhoffovy zákony.
Nelineární obvody Dosud jsme se zabývali analýzou lineárních elektrických obvodů, pasivní lineární prvky měly zpravidla konstantní parametr, v těchto obvodech platil princip superpozice a pro analýzu harmonického
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
Více10. cvičení - LS 2017
10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro
VíceKVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,
KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla.
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
VíceAPROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL
APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL Jiří Kulička 1 Anotace: Článek se zabývá odvozením, algoritmizací a popisem konstrukce
VíceLibovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.
A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin
VíceÚvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav
Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové
VíceCVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23
CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :
VíceAlgebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
VíceDRN: Kořeny funkce numericky
DRN: Kořeny funkce numericky Kořenem funkce f rozumíme libovolné číslo r splňující f(r) = 0. Fakt. Nechť f je funkce na intervalu a, b. Jestliže f(a) f(b) < 0 (tj. f(a) a f(b) mají opačná znaménka) a f
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
VícePoznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
VíceCVIČNÝ TEST 17. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 17 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Jsou dány funkce f: y = x + A, g: y = x B,
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VíceMAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce
MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
Více