15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace

Transkript

1 @ Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) ax + by + c 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) ax + by + c < 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) ax + by + c > 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) jsou poloroviny; první dvě s, druhé dvě bez hraniční přímky. Úkol: Zakreslete do kartézské souřadné soustavy grafické řešení soustavy nerovnic, tj. průnik všech tří polorovin. 3x - 2y x + y x + y výsledek

2 @176 Množinu přípustných řešení máme zobrazenu. Z grafu snadno vyčteme, že J. H. může vyrábět (příklady jsou v tabulce) třeba 0 kusů, ale tak bude mít ztrátu za nákup surovin, proto uvádíme hrubý zisk. počet kusů výrobku hrubý zisk A = x B = y = 5x + 4y Jen tak zkusmo hledat zisk je možné, ale k optimálnímu řešení se tak snadno obvykle nedostaneme. Všimněme si, že zisk se počítá z rovnice zisk = 5x + 4y resp. z rovnice 5x + 4y - zisk = 0 Protože koeficienty u x a y jsou konstantní, mění se jen absolutní člen, grafickým zobrazením je soustava rovnoběžek. Když se zisk mění, posouvá se přímka blíž nebo dále od počátku souřadnic, ale zachovává si stále stejný směr. Naším úkolem je nalézt takovou rovnoběžku, která bude obsahovat aspoň jeden bod z množiny přípustných řešení a přitom bude nejdále od počátku souřadnic.

3 V našem případě to splňuje přímka (viz obrázek), která obsahuje jediný bod z množiny přípustných řešení a to [1000; 2500]. Tedy bude-li J.H. vyrábět 1000 ks výrobku A a 2500 ks výrobku B dosáhne za zadaných podmínek nejvyššího možného zisku Kč. Poznámka: Nalezený bod optimálního řešení je průsečíkem odpovídajících přímek. Máme to ale štěstí. Získali jsme x a y, které je přirozené. To je totiž další podmínka, kterou jsme zanedbali. Snaha prodat nedodělaný výrobek se sice občas vidí, ale rozhodně to není seriózní. pokračování

4 @180 Bohužel - chybička se vloudila. zkuste znovu

5 @183 Bohužel Sice utratíme všechny peníze, které jsme chtěli investovat, a získáme největší možný počet drahých PC, ale i náklady na údržbu nebudou zrovna levné. Nemyslím, že to je to pravé. znovu prostudujte

6 @174 Řešte graficky soustavu nerovnic 3x - 2y x + y x + y Řešení: Grafickým řešením bude průnik tří polorovin 3x - 2y hraniční přímka prochází body např. [1; 1], [3; 4] bod [0; 0] je součástí poloroviny - 5x + y hraniční přímka prochází body např. [-1; -2], [0; 3] bod [0; 0] je součástí poloroviny 2x + y hraniční přímka prochází body např. [2; -1], [0; 3] bod [0; 0] je součástí poloroviny průnik těchto polorovin tvoří trojúhelník

7 pokračování

8 @178 Příklad: K vybavení nové kanceláře firmy ASTORIE je třeba koupit aspoň 5 ks PC. Pro tento nákup je k disposici Kč. V úvahu připadají dva typy, které je smluvní firma ASTA ochotna udržovat: typ A za Kč s roční údržbou Kč a typ B v ceně Kč s roční údržbou 80.- Kč. Vedení firmy ASTORIE rozhodlo o těchto podmínkách nákupu: 1) PC typu A se nekoupí více než 3 ks 2) PC typu B se koupí aspoň o 3 ks více než typu A 3) dvojnásobek počtu strojů typu A plus počet strojů typu B musí být aspoň 7 kusů Jak se má nákup zařídit, aby celkové náklady na roční údržbu byly co nejmenší? Úkol: Vytvořte systém lineárních nerovnic, které popisují uvedenou úlohu. pokračování

9 @181 Správně Úkol: Náklady jsou určeny soustavou rovnoběžných přímek 100x + 80y - náklady = 0 Z přípustných řešení minimalizuje náklady bod (viz graf) varianta A: [3; 7] varianta B: [0; 8] varianta C: [1; 5]

10 @175 Prosím, omluvte číselnou nesmyslnost následujících příkladů. Nejde nám o naturalistický popis reálné situace, jde nám o modelovou situaci, která nás příliš numericky nezatíží a přitom ukáže základní princip řešení úloh zvaných lineární programování. Název je historický, dnes by se asi nazval jinak. Příklad: Podnikatel J. H. stojí před problémem. Jeho dílna vyrábí dva výrobky. Rozsah je závislý na disponibilním množství surovin S1 a S2, které může dostat od dodavatelů za rok. Ostatních výrobních činitelů má dostatečné množství a rozhodování tedy neovlivňují. Podmínky výroby lze shrnout do tabulky surovina potřeba na jeden výrobek v kg disponibilní v kg A B množství v kg S S zisk v Kč/ks 5 4 Kolik kusů výrobků A a B má J. H. vyrábět, aby měl co největší zisk? Řešení: Nejprve nalezneme všechna možná řešení. Pak budeme hledat řešení, které přinese největší zisk. Označme x počet ks výrobku A y počet ks výrobku B Přirozené omezení je x 0 y 0 Další omezení přináší disponibilní množství surovin (sledujte tabulku) 2x + 4y x + 2y Úkol: Řešte graficky soustavu lineárních nerovnic 2x + 4y x + 2y x 0 y 0 Doporučení: volte měřítko na obou osách 1000 výsledek

11 @179 K vybavení nové kanceláře firmy ASTORIE je třeba koupit aspoň 5 ks PC. Pro tento nákup je k disposici Kč. V úvahu připadají dva typy, které je smluvní firma ASTA ochotna udržovat: typ A za Kč s roční údržbou Kč a typ B v ceně Kč s roční údržbou 80.- Kč. Vedení firmy ASTORIE rozhodlo o těchto podmínkách nákupu: 1) PC typu A se nekoupí více než 3 ks 2) PC typu B se koupí aspoň o 3 ks více než typu A 3) dvojnásobek počtu strojů typu A plus počet strojů typu B musí být aspoň 7 kusů Jak se má nákup zařídit, aby celkové náklady na roční údržbu byly co nejmenší? typ PC počet nákupní cena náklady údržby A x B y x + 3y 24 objem finančních prostředků x 3 podmínka 1) -x + y 3 podmínka 2) 2x + y 7 podmínka 3) x + y 5 podmínka v 1.větě textu x 0 y 0 x,y N náklady = 100x + 80y Úkol: Graficky řešte vzniklou soustavu lineárních nerovnic a určete počet přípustných řešení. varianta A: 10 přípustných řešení varianta B: nekonečně mnoho přípustných řešení varianta C: soustava nemá řešení, 0 přípustných řešení

12 @182 Bohužel Sice utratíme všechny peníze, které jsme chtěli investovat, a získáme největší možný počet PC, ale i náklady na údržbu budou největší. Nemyslím, že to je to pravé. znovu prostudujte

13 @184 Správně Firma získá potřebný počet PC (proč kupovat víc než je nutné), náklady na údržbu budou minimální a to Kč a ještě jí zbudou prostředky na další nákupy ve výši Kč. KONEC LEKCE