Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Transkript

1 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro náš vlastní prospěch. Joseph Ford

2 Co se dozvíte Náhodná veličina, zákon rozdělení pravděpodobnosti. Diskrétní náhodná veličina. Pravděpodobnostní funkce. Spojitá náhodná veličina. Funkce hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce. Charakteristiky náhodné veličiny střední hodnota a rozptyl. 2

3 Zamyslete se Paretův zákon Cca 20% obyvatel vlastní 80% bohatství, naopak 80% občanů se dělí pouze o 20% majetku. Nelze určit, jaký majetek má náhodně vybraný občan, ale rozdělení majetku mezi všemi občany je možné vyjádřit matematickou funkcí. Lorenzova křivka Bohatství občana je náhodnou veličinou. kumulativní majetek kumulativní počet 3

4 Náhodná veličina číselná veličina, jejíž hodnota je jednoznačně dána výsledkem náhodného pokusu při hodu kostkou padne na kostce X ok 1 = 3 X náhodná veličina hodnota (realizace) náhodné veličiny X výsledek hodu kostkou (obecně) výsledek hodu kostkou (konkrétní hod) 2 = 5 3 = 2 4 = 1 5 =

5 Diskrétní a spočetná veličina diskrétní náhodná veličina nabývá hodnot ze spočetné množiny (konečné nebo nekonečné) počet studentů zapsaných na ekonomickou fakultu počet zákazníků v obchodě životnost výrobku ve dnech spojitá náhodná veličina nabývá hodnot ze spojité množiny (z daného intervalu) kurs eura vůči koruně hmotnost výrobku při výstupní kontrole 5

6 Rozdělení diskrétní náhodné veličiny pravidlo (předpis), přiřazující každé hodnotě náhodné veličiny pravděpodobnost jejího výskytu pravděpodobnostní funkce vlastnosti pravděpodobnostní funkce 0 P( ) 1 P( ) = 1 omezení pro pravděpodobnost součet všech pravděpodobností je 1 6

7 Příklad X výsledek hodu kostkou pravděpodobnostní funkce řada rozdělení P() 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 polygon rozdělení 0,25 0,2 0,15 0,1 0,

8 Charakteristiky náhodné veličiny číselné charakteristiky vyjadřují rozložení náhodné veličiny míry polohy: střední hodnota E(X) modus Mod(X) míry variability: rozptyl D(X) směrodatná odchylka σ(x) 8

9 Míry polohy střední hodnota E(X) E(X) epected value (očekávaná hodnota) modus Mod(X) 9

10 Míry variability rozptyl D(X) výraz lze upravit jako směrodatná odchylka 10

11 Příklad X výsledek hodu kostkou střední hodnota veličina X nemá modus PROČ? rozptyl směr. odchylka 11

12 Zamyslete se Analogie náhodná proměnná - statistická proměnná náhodná proměnná statistická proměnná pravděpodobnostní fce střední hodnota rozptyl náhodné veličiny relativní četnost střední hodnota výběrový rozptyl teoretický model (zobecnění, abstrakce) praktická realizace (výběrový soubor) 12

13 Rozdělení spojité náhodné veličiny pravidlo, které přiřazuje každému intervalu hodnot náhodné veličiny pravděpodobnost, že veličina nabude hodnoty z tohoto intervalu distribuční funkce vlastnosti distribuční funkce 0 F( ) 1 < F( ) F( ) lim F( ) = 0 lim F( ) = 1 + F() Distribuční funkce 1 0,8 0,6 0,4 0,

14 Hustota pravděpodobnosti f() vyjadřuje rychlost změn pravděpodobnostního rozdělení spojité náhodné veličiny frekvenční funkce vlastnosti hustoty pravděpodobnosti f ( ) 0 f ( ) d = 1 lim f ( ) = 0 ± f() 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Frekvenční a distribuční funkce F() 14

15 Výpočet pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné z distribuční funkce z hustoty pravděpodobnosti POZOR: znaménka nerovnosti mohou být i neostrá 15

16 Charakteristiky spojité náhodné veličiny střední hodnota E(X) rozptyl D(X) 16

17 Kvantily spojité náhodné veličiny kvantil p inverzní funkce k distribuční funkci F() 0,5 medián 0,25 0,5 0,75 kvartily 0,1 0,2 0,9 decily 0,01 0,02 0,99 percentily 17

18 Příklad Náhodná veličina X je definována distribuční funkcí 1 F( ) = 1 pro > 1 4 Určete: a) hustotu pravděpodobnosti b) střední hodnotu c) rozptyl a směrodatnou odchylku d) kvartily (sestrojte bo plot) e) pravděpodobnost P(2<X<4) 18

19 Příklad -řešení hustota pravděpodobnosti f ( ) df( ) 4 = = d 5 Distribuční funkce Frekvenční funkce 1 0,8 0,6 4 3,5 3 2,5 F() F() 2 0,4 0, ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 1,5 1 0, ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 19

20 Příklad střední hodnota E(X) E( X ) = d = d = 1,33 = = 3 3 rozptyl D(X) směrodatná odchylka σ(x) D( X ) = d 1,33 = 1,33 = 0, σ ( X ) = D( X ) = 0, 223 = 0, 47 20

21 Příklad dolní kvartil 0, = 0, ,25 = 1, 075 medián 0,5 1 1 = 0,5 4 horní kvartil 0, = 0,75 4 0,50 = 1,189 0,75 = 1,

22 Příklad bo plot Bo plot 0 0,5 1 1,5 2 2,5 pravděpodobnost P(2<X<4) P(2 < X < 4) = F(4) F(2) = 0,059 22

23 Co Vás čeká příště 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny Rovnoměrné rozdělení. Binomické a hypergeometrické rozdělení. Poissonovo rozdělení. Normální rozdělení. Normované normální rozdělení, tabulky normálního rozdělení. Aproimace binomického rozdělení. 23