Kódování Obsah. Reedovy-Solomonovy kódy. Radim Farana Podklady pro výuku. Cyklické kódy.

Transkript

1 .9.4 Kódování Radim Farana Podklady pro výuku Obsah Cyklické kódy. Reedovy-Solomonovy kódy Reedovy-Solomonovy kódy Byly vytvořeny v roce 96 v Lincolnově laboratoři na Massachusetts Institute of echnology. Reed, Irving Stoy *.. 9, Seattle, USA Solomon, Gustave *

2 .9.4 Reedovy-Solomonovy kódy jedná se o BCH-kódy nad q-znakovou abecedou GF(q), kde je q mocnina prvočísla. Jejich vlastnosti jsou analogické s binárními BCH-kódy. Volíme vzdálenost d a jejich konstrukce zajistí že d min d. akže můžeme opravit t-násobné chyby pro d = t +. Reedovy-Solomonovy kódy Definice: q-znakový BCH-kód s plánovanou vzdáleností d =,, 4, je kód délky n d, kde je n nesoudělné s q, který má generující kořeny: j j, j, j,, d (pro některé j =,,, n d + ), kde je α prvek n-tého řádu v tělese GF(q m ). Kontrolní matice RS-kódu Z nesoudělnosti čísel n a q vyplývá, že prvek α vždy existuje. Kontrolní matice BCH-kódu je: H j j j jd ( ) j j j n j j j n j j j n ( ) jd jd jd n ( )

3 .9.4 Příklad Máme binární BCH-kód délky 7 s generujícími kořeny a α. Volíme primitivní prvek tělesa GF(8). Potom α má minimální polynom M (x) = x + x + a má minimální polynom M (x) = x = x +. Generující polynom kódu je: g( x) ( x )( x x ) Jedná se o zmenšený Hammingův kód, kódová slova jsou v(z), pro která platí v() = (nebo-li v v v n- má sudou paritu) a v(α) = (čili v v v n- patří k Hammingovu kódu). Příklad ernární BCH-kód délky 8 s generujícími kořeny α, α, α 4, α 5. Volíme α primitivní prvek tělesa GF(9). Potom prvek α a také α má minimální polynom x + x +. Prvek α má minimální polynom: 6 M ( x) ( x )( x ) x Prvek α 4 = má minimální polynom M 4 (x) = x = x + a prvek α 5 má minimální polynom: 5 7 M ( x) ( x )( x ) x x 5 Příklad Generující polynom kódu je pak: g( x) ( x )( x x )( x )( x x ) Zjišťujeme, že pouze jeden znak je informační, takže jde o opakovací kód.

4 .9.4 Příklad ernární BCH-kód délky 8 s generujícími kořeny, α, α, α. Volíme opět α primitivní prvek v GF(9). Generující polynom je v tomto případě: g( x) M ( x) M ( x) M ( x) ( x )( x x )( x ) akže se jedná o (8-) kód opravující dvojnásobné chyby Příklad 4 čtyřznakový BCH-kód délky s generujícím kořenem α. Kódovou abecedu volíme ve tvaru: GF(4) = {,, z, t}, kde je t = z = + z. Protože prvek z má řád, můžeme volit z = α. Minimální polynom prvku α = t je x t (= x + t), proto: g( x) ( x t) Jedná se o (, )-kód s generující maticí: t G t a jedná se o Reedův-Solomonův kód. Reedovy-Solomonovy kódy RS-kódy jsou speciální BCH-kódy délky q. Mají největší myslitelnou minimální vzdálenost. S jejich pomocí je možno sestavit dobré binární kódy. Při přenosu jsou znaky takového zdroje vyjádřeny binárními ekvivalenty. Při výskytu shlukové chyby, která způsobí změnu několika po sobě jdoucích bitů, je možné opravit znak vyšší abecedy. 4

5 .9.4 Reedovy-Solomonovy kódy Kód z příkladu 4 je RS-kód (, )-kód. Sedmiznakový RS-kód plánované velikosti s generujícími kořeny α, α, α můžeme určit tak, že zvolíme: Z 7 primitivní prvek tělesa Z 7. Generující polynom je pak: g( x) ( x )( x )( x 6) x x x 6 Reedovy-Solomonovy kódy takže se jedná o (6, )-kód s generující maticí: 6 G 6 6 Generující polynom g(x) RS-kódu s generujícími kořeny α, α,, α t je dán t výrazem: g( x) ( x )( x )( x ) a jeho minimální vzdálenost je d = n k +. Je to největší možná vzdálenost lineárního (n, k)-kódu. Příklad 5 osmiznakový RS-kód s minimální vzdáleností 5. Označíme α = z primitivní prvek tělesa: GF(8) Z /( x x ) Kód nad abecedou GF(8) s generujícími kořeny α, α, α, α 4, má generující polynom: g( x) ( x z)( x z )( x z )( x z ) x z x z x z Generující matice je tedy 5 z z z 5 G z z z 5 z z z 5

6 .9.4 Vytváření dobrých binárních kódů V RS-kódu (n, k)-kódu kde je n = m. můžeme každý znak nahradit binárním slovem délky m +. Protože kódová abeceda má n + = m znaků, takže tvoří těleso: GF( m ) Z / f ( x) Každý znak a je polynomem a + a z + + a m z m nad tělesem Z, který nahradíme slovem délky m + tak, že přidáme kontrolu parity: Vytváření dobrých binárních kódů a a a a a a m m kde je am a a am nad Z. Vznikne tak binární (n*, k*)-kód, kde je * n n( m ) ( k * m. k m )( m ) Generující matice Generující matici sestavíme tak, že každý její řádek v nahradíme řádky: m v, z. v, z. v,, z. v převedenými do binární podoby. Například abecedu GF(4) = Z /(x + x + ) převádíme: z t 6

7 .9.4 Generující matice čtyřznakový (, )-kód z příkladu 4 převedeme na binární (9, 4)-kód s generující maticí: G Vytváření dobrých binárních kódů akto vytvořené kódy mají velmi dobré parametry. Minimální vzdálenost d binárního kódu je nejméně dvojnásobkem minimální vzdálenosti RS-kódu: d * ( m k ) Vytváření dobrých binárních kódů Například z RS-kódu délky 5 a minimální vzdálenosti 6 vznikne binární (75, 4)-kód s minimální vzdáleností. ento kód opravuje pětinásobné chyby (pro srovnání binární BCH-kód délky 6, opravující pětinásobné chyby má 6 informačních bitů). Poznámka: takto vytvořené binární kódy jsou lineární, ale nemusí být cyklické. Zato jsou schopny opravovat shlukové chyby. 7

8 .9.4 Shlukové chyby Shlukovou chybou délky b nazýváme slovo e = e e e n, jehož všechny nenulové složky tvoří část, ležící mezi b po sobě jdoucími znaky. Nebo-li slovo: e ei ei eib Shlukové chyby Binární lineární kód objevuje shlukové chyby délky b, jestliže žádné nenulové kódové slovo není shlukem délky b. o znamená, že při vyslání kódového slova v a přijetí slova v + e, kde e je shluk chyb délky b, není v + e kódové slovo. Při přijetí slova v + e tedy víme, že došlo k chybě. Příklad cyklický Hammingův (7-4)-kód objevuje shluk chyb délky. o je totiž buď slovo: e e ee e e z ez nebo cyklický posun takového slova. Polynom prvního nebo druhého stupně přitom není kódovým slovem, proto ani jeho cyklický posun není kódovým slovem. 8

9 .9.4 Shlukové chyby Binární lineární kód opravuje shlukové chyby délky b, jestliže při vyslání slova v a přijetí slova v + e, kde e je shluk chyb délky b, poznáme, že bylo vysláno slovo v. Obdobně kód opravuje dva shluky chyb délky b, jestliže při vyslání slova v a přijetí slova v + e + e. kde e a e jsou shlukové chyby délky b poznáme, že bylo vysláno slovo v, atd. Binární kódy vytvořené z RS-kódů jsou vhodné pro opravu shlukových chyb. Shlukové chyby Nechť K je RS-kód (n, k)-kód pro n = m. Binární kód K*, který z něj vytvoříme, opravuje shlukové chyby délky m +. takový shluk totiž poškodí nejvýše dva znaky původního slova (každému znaku původního slova odpovídá m + binární znak), původní slovo definované nad GF( m ) odvozené binární slovo shluková chyba zasahující do tří původních slov nedokážeme opravit shluková chyba zasahující do dvou původních slov dokážeme opravit Shlukové chyby Pokud má RS-kód plánovanou vzdálenost d, pak binární kód K* opravuje t shlukových chyb délky m + kdykoliv je t < d/4. Binární (75, 4)-kód vzniklý z RS-kódu (5, )-kódu opravuje shluk délky 6 (protože m = 4) a objevuje shlukové chyby délky 7, protože taková shluková chyba způsobí v původním slově poškození pěti znaků a to RSkód objeví. ento binární kód má minimální vzdálenost, takže opraví 5 chyb a objeví chyb. Z RS-kódu (5, 7)-kódu vznikne binární (75, 8)-kód. en je schopen opravit dva shluky chyb délky 6 (protože m = 4 a d = 6). 9

10 .9.4 Zabezpečení pamětí Konstrukci kontrolní matice kódu ukážeme na rozkladu kontrolní matice na tzv. doprovodné matice nerozložitelného primitivního polynomu b g( x) x g g b b x Zabezpečení pamětí Matice je čtvercová matice (b x b) a má tvar: g g g g g 4 g b Zabezpečení pamětí Pak mocniny doprovodné matice jsou b b matice,,,,, Jestliže má mít RS-kód schopnost opravovat jednu bytovou chybu a detekovat dvě bytové chyby, musí mít kódovou vzdálenost d = 4 mezi slovy nebinárního kódu sestrojeného nad Galoisovým tělesem GF(b).

11 .9.4 Zabezpečení pamětí Kontrolní matice kódu má tvar: ) ( 6 4 b b H Zabezpečení pamětí uto matici je možné prodloužit o soustavu jednotkových matic uspořádaných do konfigurace jednotkové matice (vytvoří jednotkovou matici ve výsledné matici): H ) ( 6 4 b b Příklad 6 RS-kód pro opravu jedné bytové chyby a detekování dvou bytových chyb se nazývá SBC-DBD (Single-Byte Correcting, Double-Byte Detecting). Nerozložitelný polynom třetího stupně nad GF() je g(x) = x + x +. Doprovodná matice má tvar:

12 .9.4 Příklad 6 Sedmá mocnina doprovodné matice je shodná s nultou mocninou doprovodné matice, tedy s jednotkovou maticí. Při dalším umocňování se posloupnost matic opakuje. Jedná se tedy o cyklickou multiplikativní grupu konečného tělesa GF().. Příklad 6 Sedmá mocnina doprovodné matice je shodná s nultou mocninou doprovodné matice, tedy s jednotkovou maticí. Při dalším umocňování se posloupnost matic opakuje. Jedná se tedy o cyklickou multiplikativní grupu konečného tělesa GF(). Kontrolní matice kódu po vyjádření v binární podobě má tvar: Příklad 6 Kontrolní matice má tvar

13 .9.4 Příklad 6 Dekódování RS-kódu podle této kontrolní matice provádíme následovně:. Vypočítáme subsyndromy z chybových řádků vektorů jednobytových chyb.. Pokud je jeden ze syndromů nenulový a ostatní dva nulové, je chyba v i-tém kontrolním bytu.. Pokud existuje řešení rovnic subsyndromů, opravíme subsyndromem i-tý byte, pokud neexistuje, ohlásíme neopravitelnou chybu. Paměťové médium pro zvukový záznam na kompaktní disk je plastový kotouč s průměrem mm, tloušťkou, mm a roztečí záznamových stop,6 μm. Při přehrávání je informace z disku čtena koherentním optickým paprskem rychlostí,5 m.s -. Ve spirální záznamové stopě na disku jsou značky, které jsou nazývány jamky (pits) a plochá místa mezi jamkami nazývané země (lands). Číslicový zvukový signál je zaznamenán v uspořádání délek jamek a zemí. Symbol,, je představován přechodem z jamky na zem nebo naopak, zatímco symbol je zaznamenán jako setrvání bez přechodu. S ohledem na malé rozměry jamek jsou u kompaktních disků používány RLL-kódy (Runlength-Limited Codes), které kódují vstupní skupiny bitů na výstupní s ohledem na minimalizaci počtu výskytů znaku a současně tak, aby nevznikly příliš dlouhé posloupnosti znaků.

14 .9.4 Např (, 7) RLL-kód je popsán tabulkou: Vstupní data (, 7) RLL kód Pro přenos dat na dlouhé vzdálenosti se používají DC-free RLL kódy, jako např. DC Free (,7) RLL kód, popsaný tabulkou (x představuje inverzi předchozího bitu): Vstupní data DC Free (,7) RLL kód x x x x Vzhledem k malým rozměrům se na discích vyskytují především shlukové chyby. Pro rozpoznání a opravu chyb jsou používány dva RS-kódy. Jedná se ve skutečnosti o dva zkrácené RS-kódy, které jsou získány tak, že některé informační bity jsou položeny rovny nule. ím se redukují čísla k a n, ale nemění se nejmenší Hammingova vzdálenost kódu. 4

15 .9.4 První RS-kód, označovaný C je Reedův- Solomonův (8, 4)-kód. Druhý kód C je Reedův-Solomonův (, 8)-kód. Abeceda, nad níž jsou oba tyto kódy definovány, je tvořena binárními posloupnostmi o délce osmi bitů. Vstupní informační posloupnost, přiváděná do kodéru kódu C, je tvořena dvaceti čtyřmi symboly. ato posloupnost je označována jako rámec (frame) a je kódována do dvaceti osmi symbolů. Symboly, vystupující z kodéru kódu C, jsou prokládány, aby se snížil vliv shlukových chyb a aby se chyby rozprostřely na náhodně rozprostřené. akto upravený signál je kódován kodérem C do třiceti dvou symbolů. Na výstupu kodéru kódu C jsou liché symboly každého rámce seřazeny do skupin se sudými symboly příštího rámce. ím se vytváří nový rámec. Na výstupu kodéru kódu C jsou symboly odpovídající šesti vzorkům zvukového signálu zakódovány do třiceti dvou osmibitových symbolů. Navíc je jeden osmibitový symbol přidán. ěchto osm bitů obsahuje informace o uspořádání informace v záznamu. ím je zkompletován celý rámec, který nyní obsahuje třicet tři symboly. Výstupní slova jsou zpracovávána kodérem (4, 8)-kódu (FM ight to Fourteen Modulation, který je variantou DC Free RLL kódu), který přiřazuje každému symbolu čtnáctibitovou posloupnost. Dále jsou přimíchány ještě tři bity, což zvyšuje délku posloupnosti na 7, aby bylo zajištěno, že délka kódu bude dostatečná. 5

16 .9.4 Rámec je dále doplněn dvacetičtyřbitovým synchronizačním vzorkem a třemi dalšími spojovacími bity, aby byla zajištěna dostatečná délka po spojení do rámce. o dává celkový počet kódových bitů na rámec se šesti vzorky 6 x x 6 = 9 bitů na x = 588 bitů kanálu. Počet bitů kanálu za jednu sekundu je dán 44 : 6 = 4 8. Na CD se 67 minutami záznamu je: 67 x 6 x 4 8= bitů. Příklad kódování FM osmibitová data čtrnáctibitová data doplněné bity proud bitů povrch CD 6