10. Afinní a euklidovský prostor

Transkript

1 10. Afinní a euklidovský prostor Definice Afinním prostorem A = AV nad vektorovým prostorem V rozumíme trojici A, V,+,kde Ajemnožina,jejížprvkynazývámebody, V jevektorovýprostor,+jeoperace,která boduavektorupřiřadíbod:+:a V A,splňujícínásledujícíaxiomy: i a+o=aprolibovolnýbod a A ii a+v+w=a+v+wprolibovolnýbod a Aavektoryv,w V iiikekaždédvojicibodů a, b Aexistujeprávějedenvektorv V,prokterý a+v=b.tento vektorznačíme b a. Euklidovským prostorem EV rozumíme afinní prostor spolu se skalárním součinem na V neboli euklidovský prostor je afinní prostor nad unitárním prostorem. Dimenzí afinního nebo euklidovského prostoru rozumíme dimenzi příslušného vektorového prostoru. a + v 1 + v 2 = a + v 1 + v 2 d v 1 + v 2 v 1 v 2 a + v 1 d c a = a + o c Obrázek 1: Afinní prostor. Axiomiiříká,ževevýrazechtypu a+v 1 +v nemusímepsátzávorky.zaxiomůiaiii vidíme,že a a=o.zaxiomuiiivyplývá,že a+b a=bprolibovolnédvabody a, b. Základnímpříklademafinníhoprostorujeprostor AT n.bodyivektoryjsouuspořádané n-ticeprvků T. Operace sčítání bodu a vektoru je definována jako obvyklé sčítání n-tic. Vezmeme-li navíc na vektorovémprostoru T n běžný skalárnísoučin,mámezákladnípříkladeuklidovskéhoprostoru prostor ET n. Z kapitoly o homomorfismech vektorových prostorů víme, že každý vektorový prostor dimenze n je izomorfníaritmetickémuprostoru T n.trochuvágněřečeno,jedinývektorovýprostordimenze nje, ažnaizomorfismustj.přeznačníprvků, T n.prostoryzpředchozíhoodstavcemajípodobnouroliv afinnícheuklidovských prostorech: Uvidíme, že jediný afinníresp. euklidovský prostor dimenze n je,ažnaafinníresp.izometrickýizomorfismus,prostor AT n resp. ET n. Vlibovolnémafinnímprostoruplatínásledujícívztahy,kterájsouvafinnímprostoru AT n zřejmé. Pozorování10.2.Nechť AVjeafinníprostor, a, b, c, d Abody,u,v V vektory.pak ia+u b+v=a b+u v, iia b+c d=a d+c b, iiia b+b c=a c. 1

2 Důkaz. Pozorování lze snadno dokázat přímo z definiceviz cvičení, nebo lze výpočet převést na výpočetvat n kdejsoutvrzenízřejmávyužitímnějakésoustavysouřadnicvizníže. Podprostory Definice Nechť AV je afinníresp. euklidovský prostor. Říkáme, že BW je podprostorem AV,pokud B A, W V, W jevektorovýmpodprostorem V, Bjeuzavřenánasčítání boduavektoruzw arozdíllibovolnýchdvoubodůzb jevektorve W.Jinýmislovy, BWje podprostor AV, pokud tvoří se zúženými operacemi prostoru AV afinníeuklidovský prostor. Je-li b Blibovolnýbod,pak B= b+w= {b+w w W }. Naopak,prolibovolnýbod b Aapodprostor W V je BW,kde B= b+w,podprostorem AV. Důkaz. Dokážeme nejprve druhé tvrzení. Musíme ukázat, že 1. součetbodu b+w 1 b+w avektoruw 2 jebodvb+w.toplatí,protožeb+w 1 +w 2 = b+w 1 +w 2 axiomi. 2. rozdíldvoubodů b+w 1, b+w 2 b+wjevektorve W.Toplatí,protožeb+w 1 b+w 2 = b b+w 1 w 2 =o+w 1 w 2 =w 1 w 2 V podlepozorování,bodii,poznámceza definicí afinního prostoru a axiomui. Prvnítvrzení:SoučetboduzBavektoruzWjebodzB,tedy b+w B.Je-li a Blibovolnýbod, pak a b Wpodledefinice.Pakale a=b+a b b+wpodlepoznámkyzadefinicíafinního prostoru.čili B b+w. Chápeme-li T n jakovektorovýprostor,pakpodprostoryjsou rovnéútvary přímky,roviny,... procházejícípočátkem.podprostoryafinníhoprostoru AT n jsou rovnéútvary,kterépočátkem procházet nemusí. Afinní prostor dimenze 0 je bod. Afinnímu prostoru dimenze 1 říkáme přímka, afinnímu prostoru dimenze 2 říkáme rovina. Podprostoru dimenze n 1 v afinním prostoru dimenze n říkáme nadrovina. Při zadání afinního podprostoru většinou uvádíme pouze množinu B a říkáme, že B je podprostor AV. Příklad.Množina B=1,2,3+ 4,5,6 ={1,2,3+t 4,5,6 t R}={1+4t,2+5t,3+6t t R}jepodprostorafinníhoprostoru R 3.Jetopřímka,protožedimW=dim 4,5,6 =1. Množina B =1,2,3+ 4,5,6,7,8,9 jerovinaazároveňnadrovinavr 3,protožedimW= dim 4,5,6,7,8,9 =2. 2

3 Soustavy souřadnic, jejich transformace Soustavousouřadnicvafinnímprostoru AVrozumímemnožinu S= {a,m 1,m 2,...,m n },kde a AaM= {m 1,...,m n }jebáze V. Kartézkou soustavou souřadnic v euklidovském prostoru EV rozumíme soustavu souřadnic S= {a,m 1,m 2,...,m n },kde M= {m 1,...,m n }jeortonormálníbáze V. Bod asenazývápočáteksoustavysouřadnic.přímky a+ u i senazývajísouřadnicovéosy. Souřadnicebodu b Aresp. Evsoustavěsouřadnic Sdefinujemejakovyjádřenívektoru b av bázi M,tedyvztahem {b} S = {b a} M. Souřadnicevektoruv V vsoustavěsouřadnic Sdefinujemejakovyjádřenívektoruvvbázi M, tedy vztahem {v} S = {v} M. Zvolitsoustavusouřadnictedyznamenáurčitpočátek bod a,avektorym i,kterétvoříbázi.kartézká soustavasoustavasouřadnicjetaková,ževektorym i majívelikost1ajsounavzájemkolmé. osa a + m 2 b a b {b} S = 1.5,2 m 2 a m 1 osa a + m 1 Obrázek2:Soustavasouřadnic S= {a,m 1,m 2 }var 2.Bod bajehosouřadnice. Uvektorovýchprostorůvíme,že {v 1 +v 2 } M = {v 1 } M + {v 2 } M a {t v 1 } M = t {v 1 } M prolibovolnou bázi M,vektoryv 1,v 2 V a t T.Operaceve V tedy můžemeprovádětvat n přejdeme-liod vektorůkjejichvyjádřenívbázi M.Podobnásituacejeuafinníchprostorů všechnyoperacevafinním prostoru můžemeprovádětvat n přejdeme-liodvektorůabodůkjejichvyjádřenívzhledemk soustavě souřadnic S: Tvrzení10.4.Mějmeafinníprostor AVajehosoustavusouřadnic S.Prolibovolnévektoryv 1,v 2 V,body b, c Aaprvek t Tplatí: {v 1 +v 2 } S = {v 1 } S +{v 2 } S, {t v 1 } S = t {v 1 } S, {b+v 1 } S = {b} S +{v 1 } S, {b c} S = {b} S {c} S. Je-li EVeuklidovskýprostoraSkartézkásoustavasouřadnic,pakprolibovolnévektoryv 1,v 2 V platí v 1 v 2 = {v 1 } S {v 2 } S. 3

4 Důkaz. Snadné. Z prvního semestru víme, jak se mění souřadnice vektorů při přechodu od báze k bázi. Nyní spočítáme, jak se mění souřadnice bodů při přechodu od soustavy souřadnic k jiné soustavě. Tvrzení Mějme dvě soustavy souřadnic S = {a,m 1,...,m n } a S = {a,m 1,...,m n} v afinnímprostoru AVdimenze n.označme P maticipřechoduodbáze M = {m 1,...,m n }kbázi M = {m 1,...,m n}tedy P= {id} M M.Pakprolibovolnýbod b Aavektorv V platí {b} S = {a } S + {b} S P T, {v} S = {v } S P T. Důkaz. {b} S = {b a} M = {b a +a a} M = {a a} M + {b a } M = = {a } S + {b a } M P T = {a } S + {b} S P T. Příklad.Vafinnímprostoru R 2 mámedánysoustavysouřadnic S= {a,m 1,m 2 }={1,1,1,2, 2,3}, S = {a,m 1,m 2}={ 4,5,5,3, 7,14}. Napištevzorečkynavýpočetvyjádřeníbodu b R 2 resp.vektoruvvsoustavěsouřadnic Smáme-li danévyjádřenívsoustavěsouřadnic S Řešení. Najdeme nejprve matici přechodu P od M = {1,2, 2,3} k M = {5,3, 7,14} metodou z kapitoly o homomorfismech: Tedy P= Spočítámeještě {a } S = {a a} M = { 5,4} M : tedy {a } S = 1, Mějmebod b R 2,jehožvyjádřenívS je {b} S =x, y.pakvyjádření bvs spočtemepodle přechozího tvrzení {b} S =x, y= 1,2+x, y P T = 1,2+x, y 3 1, 1 4 takže x= 1+3x + y, y=2 x +4y. Máme-livektorv R 2 jehožvyjádřenívs je {v} S =x, y,pak {v} S =x, yspočteme x=3x + y, y= x +4y., 4

5 Afinní zobrazení, izometrie Definice10.6.Nechť AV, A V jsouafinníprostory, a A, a A body, f: V V homomorfismus.zobrazení F: A A definovanépředpisem Fa+v=a + fv nazýváme afinní zobrazení vytvořené homomorfismem f. Je-li f monomorfismus, nazývá se F regulární afinní zobrazení. Je-li f izomorfismus, nazývá se F afinní izomorfismus. Nechť EV, E V jsoueuklidovsképrostory.afinnízobrazení F: E E vytvořenéhomomorfismem f: V V senazýváizometrie,pokud fjeunitárnízobrazenízachováváskalárnísoučin. Pokud f je navíc izomorfismus, nazývá se F izometrický izomorfismus. a + v F v a = Fa fv Fa + v = a + fv a Obrázek3:AfinnízobrazenízR 2 do R 2. Afinnízobrazeníjetedyurčenoobrazemjednohoboduvdefinicibylourčeno Fa=a aobrazy vektorů.navolběbodu anezáleží:je-li Fa+v=a + fv,paktaké Fb+v=Fb+fvpro libovolnýbod b A,jaklzesnadnoověřit. Mějmeafinníprostory AU, BV, CW.Jsou-li F: A B, G:B Cafinnízobrazenívytvořená homomorfismy f : U V, g : V W,paksloženézobrazení GF : A C jeafinnízobrazení vytvořené homomorfismem f: U W. Je-li F afinní izomorfismus, pak existuje inverzní zobrazení F 1 : B Aatoto Fjeafinnízobrazenívytvořenéhomomrfismem f 1 : V U.Ověřenítěchtofaktů a formulaci podobných tvrzení pro euklidovské prostory přenecháme čtenáři. Všimněme si rovněž, že každá izometrie je regulární afinní zobrazeníprotože unitární zobrazení je prosté. Nyní dokážeme poznámku z první části: Jediný afinníresp. euklidovský prostor dimenze n je, až na afinníresp.izometrickýizomorfismus,prostor AT n resp. ET n. Věta Každý afinní prostor AV dimenze n je afinně izomorfní aritmetickému afinnímu prostoru AT n.každýeuklidovskýprostor EVdimenze njeizometrickyizomorfníaritmetickémueuklidovskémuprostoru ET n. Důkaz.Zvolímelibovolnousoustavusouřadnic Svprostoru AV.Zobrazení Fb={b} S jeafinní izomorfismusprostorů AVaAT n,protožeprolibovolné bje Fb+v={b+v} S = {b} S + {v} S, 5

6 tedy F jeafinnízobrazenívytvořenéizomorfismem f: V AT n, fv={v} M.Proeuklidovský prostor zvolíme kartézkou soustavu souřadnic a zobrazení F definujeme stejně. Parametrickéarovnicovévyjádřenípodprostorů AT n Každýpodprostor Bafinníhoprostoru AT n můžemevyjádřitvetvaru B= a+v,kde ajenějaký bodzba V jepodprostor T n.zvolíme-linějakoubázi M= {m 1,...,m k }prostoru V,máme B= a+ m 1,...,m k. Tomuto vyjádření se říká parametrické vyjádření podprostoru B. Připomeňme, že každý bod b B můžeme vyjádřit jako b=a+t 1 m t k m k, t i T. Vektort 1,...,t k jeurčenjednoznačněprotože Mjebáze,jetovlastněvyjádřeníbodu bvsoustavě souřadnica,m 1,...,m k. Zpodprostory AT n jsmesejižsetkalipřiřešenísoustavyrovnic.uvažujmesoustavu krovnicon neznámých Ax T = b,kde ha=k=ha b,tj.žádnázrovnicnení nadbytečná asoustavamá řešení.množinavšechřešeníje v p +KerA,kde v p T n jelibovolnéřešenísoustavy,dimkera= n k.takžemnožinavšechřešeníjepodprostor AT n dimenze n k.protosoustavě Ax T = b říkámerovnicovévyjádřenípodprostoru v p +KerA. Přechod od rovnicového vyjádření k parametrickému je zřejmý: Příklad.Určeteparametrickypodprostor B R 5 danýrovnicemi x 1 +2x 2 x 3 + x 5 = 1 2x 1 +4x 2 + x 4 x 5 = 4 Řešení. Máme vlastně pouze vyřešit danou soustavu rovnic. Gaussovou eliminací vypočteme Tedy B můžeme vyjádřit parametricky např. taktopři počítání báze řešení homogenní soustavy volíme parametryna2.,4.a5.místě,volímepostupně0,0,2,0,2,0,1,0,0,abyřešenívyšlo hezky B=2,0,1,0,0+ 1,0,5,0,2, 1,0, 1,2,0, 2,1,0,0,0. Mějmenynínaopakparametrickévyjádření B= a+v = a+ m 1,...,m k achcemepodprostor B vyjádřitrovnicově.tedyhledámesoustavu n krovniconneznámých Ax T = b T,jejímžřešenímje právěmnožina B.Jinýmislovychceme,abyKerA=V aabypartikulárnímřešenímbylbod a.to jsmesenaučilivkapitoleolineárníchformáchaduálech.napíšemevektorym 1...m k dořádkůmatice 6

7 Cadořádkůmatice AnapíšemenějakoubáziKerC.PakmámeKerA=V.Vektorpravýchstran určíme,abysoustavuřešilbod a zvolíme b=aa T. Příklad.Najdětenějakérovnicovévyjádřenípodprostoru B R 5 danéhoparametricky B=2,0,1,0,0+ 1,0,5,0,2, 1,0, 1,2,0, 2,1,0,0,0. Řešení. Postupujeme podle návodu nad příkladem. Vyřešíme hommogenní soustavu rovnic s maticí C: C= KerC= 1, 2, 1,0,2,5,10, 1,2,0 Rovnicové vyjádření B bude x 1 2x 2 x 3 +2x 5 = b 1 5x 1 +10x 2 x 3 +2x 4 = b 2 Pravoustranuurčíme,abyzadanésoustavěvyhovovalbod2,0,1,0,0,tedy b 1 = 3, b 2 =9.Rovnicové vyjádření B je tedy například: x 1 2x 2 x 3 +2x 5 = 3 5x 1 +10x 2 x 3 +2x 4 =9 Všimněmesiještěgeometrickéhovýznamuřádkůvrovnicovémvyjádření Ax T = b T podprostoru a+v euklidovskéhoprostoru ER n.veuklidovskémprostoru ER n jekerarovnoortogonálnímudoplňku lineárního obalu řádků matice A. Tedy v řádcích matice A máme bázi ortogonálního doplňku prostoru V.Jinýmislovy,lineárníobalřádkůmatice Ajepřesněmnožinavektorůkolmýchna V.Tomuto prostoru se proto také říká normálový prostor, libovolnému nenulovému prvku tohoto prostoru říkámenormálovývektor.vpřípadě,že a+v jenadrovina,tj.dimv=n 1,paknormálový prostor má dimenzi 1, tedy normálový vektor je určen jednoznačně až na násobek. Příklad.2x 1 3x 2 +4x 3 =2jerovnicovýpopisroviny1,0,0+ 2,0,1,3,2,0 vr 3.Vektor 2, 3,4jenormálovývektor.Normálovýprostorje 2, 3,4. 7

8 Vzájemná poloha podprostorů v afinním prostoru Definiceatvrzení10.8.Nechť BUaCWjsoupodprostoryafinníhoprostoru AV.Říkáme, že BUaCWjsou rovnoběžné,pokud U Wnebo W U; různoběžné, pokud mají alespoň jeden společný bod a nejsou rovnoběžné; mimoběžné, pokud nemají společný bod a nejsou rovnoběžné. Pokud B C,pak B C= d+u W, kde d B Cjelibovolnýbod. Průniku B Cněkdyříkámeprůsečík Ba C,jetonejvětšíafinnípodprostor AV,kterýjeobsažen v obou podprostorech. Důkaz tvrzení, viz cvičení. Proověřenírovnoběžnostidvoupodprostorůsivšimněme,ževztah W W platíprávětehdy,když dimw W =dimw.podobně W Wprávětehdy,kdyždimW W =dimw. Příklad.Určete,zdajsoupodprostory B= b+w, B = b + W Z 4 5 rovnoběžné: B=1,2,3+ 1,0,4, B =3,0,1+ 1,4,3,2,4,2 Řešení.ZřejmědimW=1.UrčímedimW : UrčímedimW W Jetedy W W,podprostory Ba B jsourovnoběžné , dimw =2, dimw W =2. Následuje kriterium na rozlišení různoběžných a mimoběžných podprostorů: Tvrzení Nechť BU a CW jsou nerovnoběžné podprostory afinního prostoru AV. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: i Podprostory B a C jsou různoběžné; iiprokaždé b B, c Cje b c U W; iiiexistují b B, c Cje b c U W. Důkaz.i ii.vezmemelibovolnýbod d B C.Vektor b dležívu,vektor d cležívw podledefinicepodprostouuzavřenostnaodčítání.tedy b c=b d+d c U W. 8

9 ii iiijezřejmé. iii i.protože b c U W,máme b c=u+w,kdeu U,w W.Bod b u=c+wležív BivC. Proprakticképočítáníjeužitečnápodmínkaiiispoluspozorováním,že b c U Wprávětehdy, kdyždim b c U W=dimU W. Mějmedvěmimoběžnépřímky p, qvafinnímprostorudimenze3.přímku r=c+ w,kteráprotíná oběpřímky,nazývámepříčkoumimoběžek paqvesměruw. Tvrzení Nechť p=a+uaq = b+vjsoumimoběžnépřímkyvafinnímprostoru AV dimenze3aw V nenulovývektor.pakpříčkamimoběžek paqvesměru w existujeprávětehdy, kdyžw u v.vtomtopřípadějeurčenajednoznačně. Důkaz.Uvažujmerovinu ρ=a+ u,w.pokud rjepříčka paqsesměremw,pak rležívrovině ρa protíná q.protože b ρtoplyneztoho,že paqjsoumimoběžné,musínutněw u v jinak byse qa ρneprotly.vtomtopřípadějeprůnikem ρaqjedinýbod dprotože u v w ={o}. Tedypříčka rjeurčenajednoznačně: r=d+ w. Přímky paqjsoumimoběžné,pokudnejsourovnoběžnétonastaneprávětehdy,kdyždim u,v =2 anejsourůznoběžnétonastaneprávětehdy,kdyždim b a,u,v >dim u,v.dohromady, paq jsoumimoběžné,právěkdyždim b a,u,v =3. Podmínkaw u v jesplněna,právěkdyždim w,u,v =dim u,v. Příklad.Vafinnímprostoru R 3 naleznětepříčkumimoběžek p=a+ u =1,2, 1+ 1, 1,1, q= b+ v =0,9, 2+ 1,0,0 vesměruw=1,2,0. Řešení.Určímenejprvedim b a,u,v tedydim w,u,v =3ap,qjsouskutečněmimoběžné.Podobněověříme,žedim w,u,v =3,tedy příčka ve směru w existuje. Spočítáme průsečík d přímky q s rovinou ρ=a+ u,w =1,2, 1+ 1, 1,1,1,2,0. Prvnízpůsob:Bod dležínapřímce q,tedy d=0,9, 2+α1,0,0,avrovině ρ,tedy d=1,2, 1+ β1, 1,1+γ1,2,0.Rozepsánímdosložekzískámesoustavutřírovnicotřechneznámých.Vyjde α=3.takže d=3,9, 2., 9

10 Druhý způsob: Spočítáme rovnicové vyjádření roviny ρ: Řešením této soustavy je 2, 1, 3.Dopočtením pravé strany získáme vyjádření ρ: 2x+y+3z= 3. Průsečík d=x, y, zmusíležetnapřímce q,tedyx, y, z=α,9, 2,avrovině ρ,tedymusíplatit 2α+9+3 2= 3.Takže α=3, d=3,9, 2. Hledanápříčkaje3,9, 2+ 1,2,0. Tvrzení10.11.Nechť p=a+uaq= b+vjsoumimoběžnépřímkyvafinnímprostoru AVdimenze 3ac Alibovolnýbodneležícína pani q.pakpříčkamimoběžek paqprocházejícíbodem cexistuje právětehdy,když c a, c b u v.vtomtopřípadějeurčenajednoznačně. Důkaz.Uvažujmerovinu ρ=a+ u, c a.pokud rjepříčka paqprocházejícíbodem c,pak rležív rovině ρ a protíná q. Tedy p a ρ nemohou být rovnoběžné. Zřejmě p a ρ jsou rovnoběžné, právě když c a u,v.symetrickouúvahourovinu ρvedemepřímkou qabodem czjistíme,že c b u,v. Vpřípadě,že c=a, c b u,v jeprůnikem ρaqjedinýbod d.příčka rexistujeajeurčena jednoznačně: r=d+ c d.detailypřenechámečtenáři. Příklad.Vafinnímprostoru R 3 naleznětepříčkumimoběžek p=a+ u =3,3,3+ 2,2,1, q= b+ v =0,5, 1+ 1,1,1 procházejícíbodem c=4,5,3. Řešení.Snadnoověříme,žedim b a,u,v =dim c a,u,v =dim c b,u,v =3,tedypřímkyjsou skutečně mimoběžné a příčka procházející bodem c existuje. Najdeme průsečík d přímky q s rovinou procházející přímkou p a bodem c: ρ=a+ u, c a =4,5,3+ 1,2,0,2,2,1. Vyjde d=0, 5,1.Hledanápříčkaje d+ c d =0, 5,1+ 4,0,4 =0, 5,1+ 1,0,1. 10

11 Vzdálenost a úhel v euklidovských prostorech Nechť EV je euklidovský prostoru dimenze n. Vzdáleností bodů a, b rozumíme velikost jejich rozdílu: da, b:= a b = a ba b. Nechť Ba Cjsoupodprostory EV.Vzdálenostípodprostorů B, B rozumímenejmenšímožnou vzdálenost b Bod c C: db, C:=min{db, c b B, c C}. Úhlemvektorůu,v V rozumímečíslo u,v 0, π 2,proněž cos u,v= uv u v. Úhlempodprostorů BU, CWrozumímenejmenšímožnýúhel αvektorůu U,w W: B, C:=min{ u,w u U,v W }. Minima v definici vzdálenosti a úhlu dvou podprostorů se skutečně nabývánebudeme dokazovat. Výraz vpravo v definici úhlu dvou vektorů je v intervalu 0, 1 Cauchyova nerovnost. Definice tedy dávají smysl. Všimněme si, že úhel dvou vektorů je stejný jako úhel jejich libovolných nenulových násobků. Nyní se naučíme počítat vzdálenost dvou rovnoběžných podprostorů a vzdálenost dvou mimoběžek. Tvrzení Mějme dva podprostory BU a CW euklidovskéhoprostoru EV, U W a libovolnýbod b B.Pakpodprostor b+w protínápodprostor Cvjedinémbodě cadb, C=db, c. Důkaz.Podprostory b+w a C= c+w zde c Cjelibovolnýbodnejsoumimoběžné,protože nejsourovnoběžnéw W = {o}ab c W W W W = Vpoužilijsmekritériumna mimoběžnost.průnikemjetedyprostor c+w W =c+{o}.zbýváukázat,ževzdálenost db, c jenejmenšímožná.vezmemelibovolnédvabody e B, f C adokážeme de, f db, c.bod g= f+b eležívcw,protože b e Ua U W.Protože g b=f e,platí de, f=db, g. Vektor c bjekolmýna c g,protože c b W a c g W.PodlePythagorovyvětymáme d 2 b, g=d 2 b, c+d 2 c, g,takže de, f=db, g db, c. Příklad.Spočítejtevzdálenostpřímky p=x+uaroviny ρ=y+ Wv ER 4 : p=6,0,1,0+ 1,3, 1,2, ρ= 2,4,5,3+ 1,2,3,1,2,5,2,3. Řešení.Snadnoověříme,žedimU=1,dimW=2,dimU W=2,takže paρjsouskutečně rovnoběžné.spočítáme W

12 Takže W = 11,4,1,0,1, 1,0,1. Řešenímsoustavyrovniczjistíme,žex+W ρ=c= 3,2,2,2.Vzdálenost pod ρje dp, ρ= dx, c= = 90=3 10. Tvrzení10.13.Mějmedvěmimoběžnépřímky p=b+u, q= c+wveuklidovskémprostoru EV dimenze3.pakexistujeprávějednapříčkamimoběžekvesměru u,w.označíme-li e, fjejíprůsečíky s paq,pak dp, q=de, f. Důkaz.Exsitenciprávějednépříčkamimoběžekvesměru v = u,w námzaručujetvrzení10.10 vektoryu,w,vtvoříbázi.uvažujmerovinu ρ=c+ uw.protožepřímka pjerovnoběžnásrovinou ρae+ u,w ρ = f,zpřechotíhotvrzenívíme,že de, f = dp, ρ.protože q ρ,máme de, f dp, q.opačnánerovnost de, f dp, qjezřejmá. Příklad.Spočtětevzdálenostmimoběžek p=b+u, q= c+wvprostoru ER 3 : p=1, 8,11+ 2,3, 6, q=8,3,13+ 6, 1,12. Řešení.Snadnoověříme,ževektory b c,u,w tvoříbázi R 3,takžepřímky paqjsouskutečně mimoběžné.určíme v = u,w : , takženapř.v=3, 6, 2.Nyníurčímeprůsečík fpříčkymimoběžek paqvesměru v spřímkou q spočítáme f=a+ u,v q.vyjde f=2,4,1.příčkavesměru v jetedy r=2,4,1+ 3,6, 2. Spočteme e=r p.vyjde e=5, 2, 1.Vzdálenost paqje de, f= =7. Nyní se naučíme počítat úhly dvou podprostorů v některých speciálních případech. Tvrzení Mějme euklidovský prostor EV. Pak i Úhel dvou přímek je roven úhlu jejich směrových vektorů. ii Úhel dvou nadrovin je roven úhlu jejich normálových vektorů iii Úhel přímky a nadroviny je roven doplňku úhlu směrového vektoru přímky a normálového vektoru nadrovinydo π 2. Důkaz. Viz cvičení. Trojpoměr, geometrická charakterizace afinních a izometrických zobrazení Definice Mějme tři různé body a, b, c v afinním prostoru A ležící na jedné přímce. Dělícím poměremnebotrojpoměrembodu cvzhledemkbodům a, brozumímeprvek λ T,prokterý c a=λc bzřejměexistuje,protožebodyležínajednépřímce.značíme λ=c; a, b. Pokudc; a, b= 1aTmácharakteristikurůznouodnuly,říkáme,že cjestředemúsečkya, b. Platí c=a+ 1 2 b a=b+1 2 a b. 12

13 Dělicípoměrtedyudává,kolikrátjevětšívektorc aoprotivektoruc b.znaménkoudává,zda jsou vektory c a a c b souhlasněznaménko +, nebo nesouhlasně orientoványznaménko-. Některé jednoduché vlastnosti dělicího poměru, viz cvičení. Následující pěkná věta charakterizuje afinní zobrazení ryze geometricky afinní zobrazení jsou přesně ta, která zachovávají trojpoměr: Věta10.16.Nechť AVaA V jsouafinníprostorynadtělesemcharakteristikyrůznéod2, F : A A zobrazení.jeekvivalentní: i Fjeafinnízobrazení ii F zachovávátrojpoměr:prolibovolnétřibody a, b, c Aležícínajednépřímcejebuď Fa= Fb=Fc,neboFa; Fb, Fc=a; b, c Důkaz.i 2.Vizcvičení. ii i.zvolímelibovolnýbod a A.Hledámehomomorfismus f: V V,kterývytváří F,tedy chceme, aby pro libovolné b A platilo Fb=Fa+fb a Položíme proto fu:= Fa+u Fa. Musímeověřit,že f jehomomorfismus ověřitžeprolibovolné t T avektoryu,v V platí ftu=tfuafu+v=fu+fv.nebolichcemedokázat,že Fa+tu Fa=t Fa+u Fa 1 a Fa+u+v Fa=Fa+u Fa+Fa+v Fa 2 Nejprveprvnívztah.Pokud t=0nebou=o,pakvztahzřejměplatí.vopačnémpřípadějsou a, a+uaa+tutřirůznébodyležícínajednépřímceaplatía; a+tu, a+u=t.podlepředpokladu buď Fa+tu=Fa+u=Faavztah1platí,neboFa; Fa+tu, Fa+u=t,cožjepřesně dokazovaný vztah. Druhý vztah můžeme upravit do ekvivalentní formy Fa+u+v Fa+u=Fa+v Fa 3 Je-liu=onebov=o,vztah3platí.Předpokládejmetedy,žeu,v o.označíme bstředúsečky a, a+u+v.snadnoověříme,že bjezároveňstředemúsečkya+u, a+v.rozlišímečtyřipřípady 1. Fb=Fa=Fa+u+v=Fa+u=Fa+v.Vtomtopřípadězřejmě3platí. 2. Fb=Fa=Fa+u+v,Fb; Fa+u, Fa+v= 1.Vtomtopřípadě Fb Fa+u= Fa+v Fb.Levástranajerovna Fb Fa+u,pravástranajerovna Fa+v Fb= Fb Fa+u. 13

14 3. Fb; Fa, Fa+u+v= 1, Fb=Fa+u=Fa+v.Vtomtopřípadě Fb Fa= Fa+u+v Fb.Levástranajerovna Fa+u+v Fb=Fb Fa.Pravástrana rovněž. 4. Fb; Fa, Fa+u+v= 1,Fb; Fa+u, Fa+v= 1.Vtomtopřípadě Fb= Fa+ 1 2 Fa+u+v Fa=Fa+u+1 2 Fa+v Fa+u.Tedy2Fa+u Fa= Fa+u+v Fa+Fa+u Fa+v.Poúpravěvyjde3. Izometrie lze charakterizovat jako zobrazení, která zachovávají vzdálenosti. Věta10.17.Nechť EVaE V jsoueuklidovsképrostory, F: E E zobrazení.jeekvivalentní: i Fjeizometrie ii F zachovávávzdálenosti:pro libovolnédva body a, b A platí dfa, Fb = da, b, kde vzdálenostvlevojevprostoru E V ;vzdálenostvpravojevprostoru EV. Důkaz.i ii.je-li F izometrievytvořenáhomomorfismeme f,pak f jedledefiniceunitární zobrazení, tj. homomorfismus, který zachovává skalární součin. Potom ale f zachovává normy vektorů, takže F zachovává vzálenosti. ii i.návodkdůkazu: 1. Nejprve pomocí trojúhelníkové nerovnosti odvoďte, že obrazem třech různých bodů na jedné přímce je trojice různých bodů ležících na jedné přímce, a že F zachovává trojpoměr. 2. Zpředchozívětyplyne,že F jeafinnízobrazení,tedy Fa+u=Fa+fu.Odvoďte,že f zachovává normy vektorů. 3. Libovolný homomorfismus, který zachovává normy vektorů, je unitární. 14