Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Transkript

1 Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost kořenů a jejich počet Separace kořenů Aproimace kořenů metodou půlení intervalu Bernard Bolzano

2 Základní pojm Definice (algebraická rovnice) Algebraickou rovnicí stupně n (n 1) rozumíme rovnici tvaru kde P n () = 0, P n () = a 0 n + a 1 n a n 1 + a n je polnom stupně n s reálnými koeficient a 0, a 1,..., a n, kde a 0 0. Poznámka (algebraická rovnice) Algebraická rovnice má ted tvar a 0 n + a 1 n a n 1 + a n = 0. Algebraická rovnice se nazývá normovaná, je-li koeficient a 0 u nejvšší mocnin roven jedné. Definice (řešení algebraické rovnice) Řešením (kořenem) algebraické rovnice P n () = 0 rozumíme každé číslo c (reálné nebo komplení), které je kořenem polnomu P n (), tj. P n (c) = 0. Poznámka (řešení algebraické rovnice) Každá algebraická rovnice stupně n má právě n kořenů (včetně kompleních), přičemž každý kořen počítáme tolikrát, kolik je jeho násobnost. Reálné kořen algebraické rovnice jsou průsečík grafu polnomu P n () s osou. Komplení kořen algebraické rovnice jsou sdružen po dvojicích.

3 Metod řešení algebraických rovnic 1. algebraické řešení Pro n = 1 (lineární rovnice a + b = 0) a n = 2 (kvadratická rovnice a 2 + b + c = 0) umíme řešení určit pomocí vzorců. Pro n = 3 a n = 4 také eistují pro nalezení řešení vzorce, jsou však příliš složité a v prai se nepoužívají. Pro n 5 žádné podobné vzorce neeistují. 2. grafické řešení Algebraickou rovnici P n () = 0 upravíme na tvar f () = g(), kde na levé i pravé straně rovnice jsou polnom f () a g(), jejichž graf lze snadno nakreslit. Reálné kořen rovnice P n () = 0 pak najdeme jako -ové souřadnice průsečíků grafů funkcí f () a g(). Grafick lze určit pouze reálné kořen algebraické rovnice, a to pouze přibližně. Příklad (grafické řešení) Grafick řešte algebraickou rovnici = 0. Rovnici upravíme na tvar 3 = Graf funkcí = 3, = 3 1 se protínají ve třech bodech: 1 ( 2, 1), odhadem 1. = 2, 2 (0, 1), odhadem 2. = 0, 5, 3 ( 2, 1), odhadem 3. = 1, Graf polnomu P() =

4 Numerické řešení 3. numerické řešení Umožňuje nalézt pouze přibližné hodnot (aproimace) reálných kořenů. Postup se děĺı do následujících kroků: 1 odhad kořenů - ohraničenost kořenů a jejich počet určení intervalu, ve kterém leží všechn reálné kořen odhad počtu kladných a záporných kořenů 2 separace kořenů 3 aproimace kořenů (metodou půlení intervalu) Používá se pro řešení algebraických rovnic stupně n 3. Ohraničenost kořenů a jejich počet Věta (ohraničenost kořenů) Pro všechn kořen (i komplení) i (i = 1,..., n) normované algebraické rovnice n + a 1 n a n 1 + a n = 0 platí i < 1 + A, kde A = ma{ a i, i = 1,..., n}. Pro reálné kořen ted platí odhad i ( 1 A, 1 + A). Věta slouží k určení intervalu, ve kterém leží všechn reálné kořen normované algebraické rovnice.

5 Příklad (ohraničenost kořenů) Určete interval, ve kterém leží reálné kořen algebraické rovnice Počet kořenů n = 3, A = ma{ 5, 3, 5 } = 5, = 0. i < = 6 (i = 1, 2, 3) platí i pro komplení kořen, i ( 6, 6) (i = 1, 2, 3) platí pro reálné kořen. Graf polnomu P() = Věta (Descartova věta) 1 Počet kladných kořenů algebraické rovnice P n () = 0, kde P n () = a 0 n + a 1 n a n 1 + a n je roven počtu znaménkových změn v posloupnosti koeficientů a 0, a 1,..., a n polnomu P n () nebo o sudé číslo menší. 2 Počet záporných kořenů této algebraické rovnice je roven počtu znaménkových změn v posloupnosti koeficientů polnomu P n ( ) nebo o sudé číslo menší. Koeficient, které jsou rovn nule, přitom neuvažujeme. O sudé číslo menší znamená, že mezi kořen mohou být dvojice kompleně sdružených kořenů. Pomocný polnom P n ( ) obdržíme z polnomu P n (), změníme-li znaménka u koeficientů, které přísluší mocninám lichého stupně. Důsledkem vět je tvrzení, že polnom, jehož všechn koeficient jsou nezáporná čísla, nemůže mít kladné kořen.

6 Příklad (počet kladných a záporných kořenů) Zjistěte počet kladných a záporných kořenů algebraické rovnice Počet kořenů je n = = 0. 1 kladné kořen P() = Posloupnost koeficientů +1, 5, +3, +5 má 2 znaménkové změn 2 kladné kořen nebo žádný kladný kořen. 2 záporné kořen P( ) = ( ) 3 5( ) 2 + 3( ) + 5 = Posloupnost koeficientů 1, 5, 3, +5 má 1 znaménkovou změnu 1 záporný kořen Separace kořenů Separací kořenů rozumíme nalezení intervalů takových, že v každém z nich leží právě jeden kořen algebraické rovnice P n () = 0. Vužíváme přitom Bolzanovu větu. Věta (důsledek Bolzanov vět) Necht polnom P n () nabývá v koncových bodech intervalu a, b hodnot s opačnými znaménk, tj. P n (a) P n (b) < 0. Pak uvnitř tohoto intervalu leží alespoň jeden kořen polnomu P n (). Tento kořen bude jediný, jestliže P n() nemění na intervalu (a, b) znaménko.

7 Poznámka (opačná znaménka) Je-li P n (a) P n (b) < 0, leží v intervalu (a, b) jeden nebo lichý počet kořenů polnomu P n (). 0 a c b 0 c 1 a c 2 c 3 b Poznámka (stejná znaménka) Je-li P n (a) P n (b) > 0, leží v intervalu (a, b) sudý počet kořenů nebo zde neleží žádný kořen polnomu P n (). 0 c 1 c 2 0 a min b a min b Leží-li v intervalu a, b dva kořen, polnom P n () v něm roste i klesá a má zde lokální etrém. Má-li hodnota P n () v tomto lokálním etrému opačné znaménko než v koncových bodech intervalu, leží v intervalu a, b dva kořen. Jsou-li všechna znaménka stejná, kořen v intervalu a, b neleží.

8 Poznámka (separace kořenů) Při separaci kořenů polnomu stanovíme nejprve interval, ve kterém leží všechn reálné kořen, tj. interval ( A 1, A + 1). Tento interval dále rozděĺıme vhodnými bod na menší interval. Obvkle voĺıme celá čísla a bod lokálních etrémů. V těchto bodech určíme znaménka polnomu. Hledáme ten z podintervalů, v jehož krajních bodech má polnom opačná znaménka. Poznámka Separaci je možné provádět také grafick. Příklad (separace kořenů 1) Separujte kořen algebraické rovnice = 0. Reálné kořen i ( 4, 4), i = 1, 2, 3. Kladné kořen: P() = ; Záporné kořen: P( ) = ; 1, 3, 1 2 nebo 0 kladný kořen. 1, 3, 1 1 záporný kořen. Znaménka polnomu P() v krajních a celočíselných bodech intervalu ( 4, 4). P() sgn ( 2, 1) 2 (0, 1) 3 (1, 2) Graf polnomu P() = Rovnice má 3 reálné kořen v intervalech ( 2, 1), (0, 1), (1, 2).

9 Příklad (separace kořenů 2) Separujte kořen algebraické rovnice = 0. Reálné kořen i ( 3, 3), i = 1, 2, 3. Kladné kořen: P() = ; Záporné kořen: P( ) = ; 1, 2, 2 2 nebo 0 kladný kořen. 1, 2, 2 1 záporný kořen. Znaménka polnomu P() v krajních a celočíselných bodech intervalu ( 3, 3). P() sgn ( 1, 0) záporný kořen Další dva kořen jsou bud reálné kladné a oba leží v některém z intervalů (0, 1), (1, 2), (2, 3), nebo jsou kompleně sdružené. Příklad (separace kořenů 2 - pokračování) P () = = (3 4) P () = 0 (3 4) = 0 1 = 0, 2 = 4 (1, 2) ( ) ( ) 3 ( ) P(1) = 1 > 0, P(2) = 2 > 0, P = = > 0 V intervalu (1, 2) neleží žádný reálný kořen. Další dva kořen musí být komplení. Graf polnomu P() =

10 Aproimace kořenů metodou půlení intervalu Mějme dánu algebraickou rovnici P n () = 0 a interval a, b, který jsme získali separací, tj. platí P n (a) P n (b) < 0. Metoda půlení intervalu spočívá v opakovaném půlení intervalu na dvě stejné části a ve výběru té polovin, v jejíž koncových bodech mají funkční hodnot polnomu P n () opačná znaménka (leží zde kořen). 1 Určíme střed c = a + b 2 interval a, c a c, b. 2 Vpočteme hodnotu polnomu v bodě c. Je-li P n (c) = 0, pak c je hledaný kořen rovnice. intervalu a, b, kterým interval rozděĺıme na dva V opačném případě vbereme z obou intervalů ten, v jehož koncových bodech má polnom opačná znaménka. Je-li P n (a) P n (c) < 0, pak kořen leží v intervalu (a, c), P n (c) P n (b) < 0, pak kořen leží v intervalu (c, b). 3 Takto vbraný interval znovu rozpůĺıme a proces výpočtu opakujeme, dokud nedosáhneme požadované přesnosti. Metoda půlení intervalu = P n () 0 b 3 b 2 b = b 1 a a 1 = a 2 = a 3 Vbíráme tu polovinu intervalu, ve které dochází ke znaménkové změně hodnot polnomu P n ().

11 Po určitém počtu kroků dostaneme bud kořen nebo posloupnost zužujících se intervalů a 1, b 1, a 2, b 2,..., a k, b k takových, že P n (a k ) P n (b k ) < 0, b k a k = 1 (b a). 2k Každý z těchto intervalů je polovinou intervalu předchozího a obsahuje hledaný kořen. Výpočetní proces ukončíme, jestliže polovina délk intervalu, je menší než předem zvolená přesnost ε, tj. 1 2 b k a k < ε. Za aproimaci (odhad) kořene s přesností ε voĺıme střed intervalu c k = (a k + b k ). 2 Příklad (metoda půlení intervalu) Metodou půlení intervalu určete kladný kořen rovnice = 0 s přesností ε < 0, 005. Reálné kořen i ( 3, 3), i = 1, 2, 3, 4. Kladné: P() = ; Záporné: P( ) = ; kořen. +1, +2, 1, 1 1 kladný kořen. +1, 2, +1, 1 3 nebo 1 záporný Znaménka polnomu P() v krajních a celočíselných bodech intervalu ( 3, 3). P() sgn 1 ( 2, 1) záporný kořen (0, 1) kladný kořen Graf P() = Ze separace plne, že kladný kořen leží v intervalu (0, 1).

12 Příklad (metoda půlení intervalu - pokračování) a c = a+b 2 b P(a) P ( a+b 2 ) P(b) ε = b a 2 0 0, , , 5 0, 5 0, , , , 25 0, 75 0, , , , 125 0, 75 0, , 875 0, , , , , , , 875 0, , , , , , , 875 0, , , , , , , 875 0, , , , , , , , 0039 P(0, 5) = (0, 5) 4 + 2(0, 5) 3 0, 5 1 = 1, 1875 P(0, 75) = (0, 75) 4 + 2(0, 75) 3 0, 75 1 = 0, 5898 P(0, 875) = (0, 875) 4 + 2(0, 875) 3 0, = 0, 0510 P(0, 8125) = (0, 8125) 4 + 2(0, 8125) 3 0, = 0, 3039 P(0, 8438) = (0, 8438) 4 + 2(0, 8438) 3 0, = 0, 1356 P(0, 8594) = (0, 8594) 4 + 2(0, 8594) 3 0, = 0, 0446 P(0, 8672) = (0, 8672) 4 + 2(0, 8672) 3 0, = 0, = 0, 8633 ± 0, 0039 = (0, 8594; 0, 8672)