Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Transkript

1 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

2 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných čísel. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Je dána přímka p svým bodem A[4, 1] a směrovým vektorem s = (1, 1). Přímka q prochází rovněž bodem A ale je k přímce p kolmá. Průsečík přímky p a přímky q a průsečíky přímek p a q se souřadnicovou osou x tvoří vrcholy trojúhelníku. 2 Určete obsah S tohoto trojúhelníku. 3 Řešte pro m ( 2, 0) (0,2) rovnici m m + m m + m m + = 2m V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Těleso vzniklo spojením dvou kuželů a válce. Poměr výšek dolního kužele, prostředního válce a horního kužele je 2 : 3 : Určete poměr jejich objemů (ve stejném pořadí). 4.2 Určete objem celého tělesa, je-li osovým řezem válce čtverec o straně délky 12 cm. (Výsledek zaokrouhlete na celé cm 2.) 2 Maturita z matematiky 05

3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 V dětském výletním vláčku je stejný počet pětimístných, šestimístných a třímístných vagónků. Vláček má pro dětské výletníky k dispozici 42 míst k sezení. 5 Kolik vagónků má vláček? 1 bod VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Směrem od komína se zvedá přímý svah stoupající pod úhlem 30 vzhůru. Na něm stojí 20 m od sebe vzdálené (měřeno po svahu) stejně vysoké stožáry elektrického vedení. Vrchol komína dosahuje do stejné výšky jako je výška úpatí výše položeného stožáru. Z vrcholu komína je vidět úpatí níže položeného stožáru v hloubkovém úhlu Určete vzdálenost x vrcholu komína od paty níže stojícího stožáru. (Výsledek vyjádřený v metrech zaokrouhlete na celé decimetry.) Maturita z matematiky 05 3

4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C. Výška v na přeponu dělí přeponu na úseky dlouhé 3 a 9 cm přiléhající po řadě k bodu A a k bodu B. 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Výška v má délku 3 3 cm. 7.2 Pro úhly φ a z obrázku platí: φ >. ANO NE 7.3 Pro odvěsny a a b platí: a b = Obsah trojúhelníka ABC je roven 31 cm 2. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Na polopřímce jsou po sobě zakresleny úsečky délek x a y. Na druhé polopřímce, která má s první společný počátek, jsou vyznačeny dílky v základní jednotce j. 8 Která z možností A E určuje délku úsečky x + y? A) ( 5 2 x) j B) (3x) j; C) (x + 4) j D) (4x) j E) (5x) j 2 body 4 Maturita z matematiky 05

5 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dána vzestupná řada deseti celých nezáporných čísel 0, 1, 2, x, y 4, x + 3, y, 8, 9,11. Aritmetický průměr tohoto souboru čísel je 5, modus 3. 9 Která z možností A E udává hodnoty čísel x a y? A) x = 1, y = 9 B) x = 2, y = 8 C) x = 3, y = 7 D) x = 4, y = 6 E) x = 5, y = 5 2 body max. 4 body 10 Přiřaďte každé ze zadaných rovnic ( ) počet a charakter jejich řešení (A F) (x + 2) 2 = 4x + 8 x = 2x + 1 x + 2 x x = 6 + 5x 10.4 x = x + 4 A) Právě dva různé záporné reálné kořeny. B) Právě dva různé kladné reálné kořeny. C) Právě dva různé vzájemně opačné reálné kořeny. D) Právě jeden záporný reálný kořen. E) Právě jeden kladný reálný kořen. F) Žádný reálný kořen. KONEC TESTU Maturita z matematiky 05 5

6 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných čísel. Průsečík je bodem, pro něhož jsou si předpisy funkcí rovny. x + 2 = x x + 4 = x x 1 3 = x Druhou souřadnici bodu P dostaneme dosazením do jednoho z předpisů. y = y = 1 Průsečíkem grafů funkcí f a g je bod P[3, 1]. Řešení: P[3, 1] VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Je dána přímka p svým bodem A[4, 1] a směrovým vektorem s = (1, 1). Přímka q prochází rovněž bodem A ale je k přímce p kolmá. Průsečík přímky p a přímky q a průsečíky přímek p a q se souřadnicovou osou x tvoří vrcholy trojúhelníku. 2 Určete obsah S tohoto trojúhelníku. Určíme obecné rovnice přímek p a q a jejich průsečíky s osou x. Vzájemným průsečíkem přímek p a q je bod A, jej počítat nemusíme. Na závěr určíme obsah tohoto trojúhelníka. Přímka p má normálový vektor n p = (1, 1) s = (1, 1). Její obecná rovnice má tedy tvar x + y + c = 0. Dosazením bodu A určíme koeficient c c = 0 c = 3 Rovnice přímky p je x + y 3 = 0. Obdobně určíme i rovnici přímky q. Přímka q má normálový vektor n q = (1, 1) s = (1, 1). Její obecná rovnice má tedy tvar x y + d = 0. Dosazením bodu A určíme koeficient d. 4 ( 1) + d = 0 d = 5 Rovnice přímky q je x y 5 = 0. Dosazením y = 0 určíme průsečíky P a Q přímek p a q se souřadnicovou osou x. P[x, 0] x = 0 x = 3 P[3, 0] Q[x, 0] x 0 5 = 0 x = 5 Q[5, 0] Trojúhelník PAQ je rovnoramenný pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu A, jeho obsah vypočteme ze souřadnic jeho vrcholů jako polovičku součinu velikosti y-ové souřadnice bodu A (výška) a rozdílu velikostí x-ových souřadnic bodu Q a P (délka základny). S = y A x Q x P = = 2 Obsah S trojúhelníka je roven 2. Řešení: S = 2 6 Maturita z matematiky 05

7 3 Řešte pro m ( 2, 0) (0,2) rovnici m m + m m + m m + = 2m V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Na levé straně rovnice je nekonečná geometrická řada, jejíž první člen a 1 je roven m a kvocient q je 1 2. Pro takový kvocient je řada konvergentní a lze vypočítat její součet s. Určíme jej, neboť je roven výrazu na pravé straně rovnice. s = a 1 m s = 1 q 1 ( a 2 ) = m 1 + a = m = 2m m = 2m m = 6m 3 3 = 2m m = 3 2 ( 2, 0) (0, 2) Řešením rovnice je m = 3 2. Řešení: m = 3 2 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Těleso vzniklo spojením dvou kuželů a válce. Poměr výšek dolního kužele, prostředního válce a horního kužele je 2 : 3 : Určete poměr jejich objemů (ve stejném pořadí). Výšky těles mají délky po řadě 2x, 3x, x. Tělesa mají společnou podstavu s obsahem S, určíme poměr jejich objemů vyjádřených pomocí proměnných x a S. ( 1 3 S 2x) : (S 3x) : ( 1 3 S x) Poměry upravíme (vydělíme S a x, vynásobíme 3): 2 : 9 : 1 Objemy těles jsou v poměru 2 : 9 : 1. Řešení: 2 : 9 : 1 Maturita z matematiky 05 7

8 4.2 Určete objem celého tělesa, je-li osovým řezem válce čtverec o straně délky 12 cm. (Výsledek zaokrouhlete na celé cm 2.) Objem tělesa spočteme jako součet objemu jednotlivých částí. V = ( 1 S 3 2x) + (S 3x) + ( 1 S 3 x) = 2Sx + 9Sx + Sx = 12Sx = 4Sx 3 3 Určíme x. Válec má výšku v rovnu délce strany čtverce, jenž je jeho osovým řezem, tj. v = 12 cm 3x = 12 cm x = 4 cm. Poloměr r podstavy válce (a obou kuželů) je roven polovině délky strany čtverce, jenž je jeho osovým řezem. Spočteme S. r = 6 cm S = πr 2 S = π6 2 cm 2 S = 36π cm 2 Spočteme V. V = 4Sx S = 36π cm 2 x = 4 cm V = 4 (36π cm 2 ) (4 cm) V = 576π cm 3 = cm 3 Objem tělesa je cm 3. Řešení: cm 3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 V dětském výletním vláčku je stejný počet pětimístných, šestimístných a třímístných vagónků. Vláček má pro dětské výletníky k dispozici 42 míst k sezení. 5 Kolik vagónků má vláček? 1 bod Označíme počet vagónů V a počet vagónů jednotlivých skupin dle míst k sezení označme x. Pro V a x platí: V = 3 x ( ) x = 42 V = 3 42 = 9 14 Ve vláčku je 9 vagónků. Řešení: 9 8 Maturita z matematiky 05

9 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Směrem od komína se zvedá přímý svah stoupající pod úhlem 30 vzhůru. Na něm stojí 20 m od sebe vzdálené (měřeno po svahu) stejně vysoké stožáry elektrického vedení. Vrchol komína dosahuje do stejné výšky jako je výška úpatí výše položeného stožáru. Z vrcholu komína je vidět úpatí níže položeného stožáru v hloubkovém úhlu Určete vzdálenost x vrcholu komína od paty níže stojícího stožáru. (Výsledek vyjádřený v metrech zaokrouhlete na celé decimetry.) K výpočtu využijeme trojúhelník tvořený vrcholem komína a patami stožárů. U výše položeného stožáru doplníme vnitřní úhel jako střídavý k úhlu určujícímu stoupání svahu. Úhel u vrcholu komínu označíme jako hloubkový dle zadání. K výpočtu úsečky délky x využijeme větu sinovou. x = 20 m sin 30 sin 20 x = sin 30 (20 m) = 29,2 m sin 20 Vzdálenost vrcholu komína od paty níže stojícího stožáru činí 29,2 m. Řešení: 29,2 m Maturita z matematiky 05 9

10 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C. Výška v na přeponu dělí přeponu na úseky dlouhé 3 a 9 cm přiléhající po řadě k bodu A a k bodu B. 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Výška v má délku 3 3 cm. 7.2 Pro úhly φ a z obrázku platí: φ >. ANO NE 7.3 Pro odvěsny a a b platí: a b = Obsah trojúhelníka ABC je roven 31 cm K výpočtu délky výšky použijeme Eukleidovu větu o výšce. v = (3 cm) (9 cm) = 3 3 cm Tvrzení je pravdivé. 7.2 Protože trojúhelník ABC je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu C, platí: + β = 90 φ + β = 90 = φ. Tvrzení je nepravdivé. 7.3 Přepona c daného trojúhelníka má délku 12 cm. Z Eukleidových vět o odvěsnách platí: a = (9 cm) (12 cm) = b (3 cm) (12 cm) (9 cm) = 3 cm 3 = 3 3. (3 cm) 3 cm 3 3 Protože 3 3 9, tvrzení je nepravdivé. Podobného závěru bychom dosáhli pomocí správně zvolené dvojice podobných trojúhelníků (Eukleidovy věty jsou jejich důsledkem). 7.4 Obsah trojúhelníka ABC vypočteme z délky výšky a přepony. S = v c = 3 3 (3 cm + 9 cm) = 18 3 cm 2 = 31,17 cm 2 > 31 cm Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, NE, NE, NE 10 Maturita z matematiky 05

11 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Na polopřímce jsou po sobě zakresleny úsečky délek x a y. Na druhé polopřímce, která má s první společný počátek, jsou vyznačeny dílky v základní jednotce j. 8 Která z možností A E určuje délku úsečky x + y? A) ( 5 2 x) j B) (3x) j; C) (x + 4) j D) (4x) j E) (5x) j 2 body K řešení využijeme tzv. čtvrtou geometrickou úměrnou, důsledek podobnosti trojúhelníků. Z obrázku plyne: (x) j = (y) j y = (3x) j (x + y) j = (4x) j. 1 3 Správná je možnost D. Řešení: D VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dána vzestupná řada deseti celých nezáporných čísel 0, 1, 2, x, y 4, x + 3, y, 8, 9,11. Aritmetický průměr tohoto souboru čísel je 5, modus 3. 9 Která z možností A E udává hodnoty čísel x a y? A) x = 1, y = 9 B) x = 2, y = 8 C) x = 3, y = 7 D) x = 4, y = 6 E) x = 5, y = 5 2 body Maturita z matematiky 05 11

12 Úlohu můžeme řešit experimentálně, vypsat si jednotlivé řady a zjistit, která z nich vyhovuje zadání. Lze postupovat i takto: Aby byl dodržen požadavek, že jde o vzestupně seřazenou řadu, musí platit, že 8 x 2 8 y x y 8 5 x 2 8 y 6. Aritmetický průměr daných deseti čísel je roven (x) + (y 4) + (x + 3) + y = x + 2y = x + 2y = 50 x + y = 10 Neboť 5 x 2 8 y 6, uspořádané dvojice celých čísel, které jsou řešením rovnice, tvoří množinu: {[2, 8],[3, 7],[4, 6]}. Protože alespoň dvě z čísel x, y 4, x + 3, y musí být rovna 3, přičemž ani x + 3 ani y to z předchozích podmínek být nemohou, musí tedy být x = 3 a y = 7. Správně je tedy možnost C. Řešení: C max. 4 body 10 Přiřaďte každé ze zadaných rovnic ( ) počet a charakter jejich řešení (A F) (x + 2) 2 = 4x + 8 x = 2x + 1 x + 2 x x = 6 + 5x 10.4 x = x + 4 A) Právě dva různé záporné reálné kořeny. B) Právě dva různé kladné reálné kořeny. C) Právě dva různé vzájemně opačné reálné kořeny. D) Právě jeden záporný reálný kořen. E) Právě jeden kladný reálný kořen. F) Žádný reálný kořen (x + 2) 2 = 4x + 8 x 2 + 4x + 4 = 4x + 8 x2 4 = 0 (x 2)(x + 2) K = { 2; 2} Řešení: C 10.2 x 1 x + 2 = 2x + 1 2x + 1 (x 1) = 0 2x + 1 x + 1 = 0 x 2 x + 2 x + 2 x + 2 = 0 x 2 x = 2 x 2 K = Řešení: F 12 Maturita z matematiky 05

13 x = 6 + 5x x x x + x 2 = 6 + 5x x 6 5, 6 x 2 17x + 30 = 0 x 6 5, 6 (x 15)(x 2) = 0 x 6 5, 6 K = {2} Řešení: E 10.4 Rovnice má geometrický význam, který říká, že obraz neznámého čísla x má stejnou vzdálenost od 4 jako od počátku. Takovým číslem je právě jen číslo x = 2. K = { 2} Řešení: D KONEC TESTU Maturita z matematiky 05 13

14 14 Maturita z matematiky 05

15 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 P[3, 1] 1 bod 2 S = 3 2 body 3 Na levé straně rovnice je nekonečná geometrická řada, jejíž první člen a 1 je roven m a kvocient q je 1 2. Pro takový kvocient je řada konvergentní a lze vypočítat její součet s. Určíme jej, neboť je roven výrazu na pravé straně rovnice. s = a 1 m s = 1 q 1 ( a 2 ) = m 1 + a = m = 2m m = 2m m = 6m 3 3 = 2m m = 3 2 ( 2, 0) (0, 2) Řešením rovnice je m = 3 2. Řešení: m = : 9 : 1 1 bod cm 3 1 bod bod 6 29,2 m 2 body 7 4 podúlohy 2 b. 7.1 ANO 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 NE 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 NE 7.4 NE Maturita z matematiky 05 15

16 8 D 2 body 9 C 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b C 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b F 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b E 10.4 D 16 Maturita z matematiky 05

17 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 3 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod 2 2 body bod bod 5 1 bod 6 2 body 7 4 podúlohy 2 b podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 05 17

18 8 2 body 9 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 05