Mgr. Marcela Sandnerová

Transkript

1

2 Mgr. Marcela Sandnerová

3 Základní kombinatorická pravidla Kombinatorické pravidlo součinu Kombinatorické pravidlo součtu

4 Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 1 Kolika způsoby si může Pavel připravit snídani jestliže si vybírá z následujících možností: nápoj: čaj, káva, mléko, kakao, džus; pečivo: chléb, rohlík, celozrnná bageta; tuk: máslo, Rama, bez tuku; obloha: tavený sýr, šunka, salám, plátkovaný sýr, marmeláda, med, vejce. Např. káva, chléb s máslem a medem.

5 Kombinatorické pravidlo součinu Řešení příkladu 1 Snídaně - počet možností p nápoj: čaj, káva, mléko, kakao, džus 5 = n 1 pečivo: chléb, rohlík, celozrnná bageta 3 = n 2 tuk: máslo, Rama, bez tuku 3 = n 3 obloha: tavený sýr, šunka, salám, plátkovaný sýr, marmeláda, med, vejce 7 = n 4 p = n 1 n 2 n 3 n 4 = = 315 Pavel si může připravit snídani 315 způsoby.

6 Kombinatorické pravidlo součinu Počet všech uspořádaných dvojic, jejichž první člen lze vybrat n 1 způsoby a druhý člen po výběru prvního n 2 způsoby, je roven: p = n 1 n 2 Zformulujte kombinatorické pravidlo součinu pro uspořádanou trojici, čtveřici, k-tici.

7 Kombinatorické pravidlo součinu Počet uspořádaných trojic, jejichž první člen lze vybrat právě n 1 způsoby, druhý člen po výběru prvního členu právě n 2 způsoby a třetí člen 2 po výběru druhého právě n 3 způsoby, je roven: p = n 1 n 2 n 3

8 Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 2 Kolik čtyřciferných přirozených čísel menších než lze sestavit z číslic 0 až 9, jestliže se číslice v zápisu čísla neopakují?

9 Kombinatorické pravidlo součinu Řešení příkladu 2 Kolik čtyřciferných přirozených čísel menších než lze sestavit z číslic 0 až 9, jestliže se číslice v zápisu čísla neopakují? řád tisíců n 1 = 6 možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6 řád stovek řád desítek řád jednotek n 2 = 9 (o jednu číslici méně) n 3 = 8 (o jednu číslici méně) n 4 = 7 (o jednu číslici méně) p = n 1 n 2 n 3 n 4 = = Lze sestavit čtyřciferných přirozených čísel menších než

10 Kombinatorická pravidla součtu a součinu Příklad 3 Novákovi zvažují, zda pojedou v létě na dovolenou k moři, kde by jim termínem vyhovovaly čtyři pobyty s možností výběru plné penze, nebo polopenze. Druhou variantou je pět zahraničních poznávacích pobytů, u kterých je nabídka plné penze, polopenze, nebo vlastního stravování.

11 Kombinatorická pravidla součtu a součinu Řešení příkladu 3 Dovolená - počet možností p = p 1 + p 2 Dovolená u moře p 1 = n 1 n 2 - možnosti pobytu: 4 = n 1 - možnosti stravování: 2 = n 2 Poznávací pobyt p 2 = n 3 n 4 - možnosti pobytu: 5 = n 3 - možnosti stravování: 3 = n 4 p = p 1 + p 2 = n 1 n 2 + n 3 n 4 = = 23 Novákovi vybírají dovolenou z 23 možností.

12 Kombinatorické pravidlo součtu Jsou-li A 1 a A 2 konečné množiny, pro které platí: - mají po řadě p 1 a p 2 prvků, - jsou disjunktní, pak počet prvků množiny A 1 A 2 je roven: p = p 1 + p 2 Zformulujte kombinatorické pravidlo součtu pro uspořádanou k-tici.

13 Kombinatorické pravidlo součtu Jsou-li A 1, A 2,, A k konečné množiny, pro které platí: - mají po řadě p1, p2,, pk prvků, - každé dvě jsou disjunktní, pak počet prvků množiny A 1 A 2 A k je roven: p = p 1 + p p k

14 Kombinatorická pravidla součtu a součinu Příklad 4 Kolik přirozených čísel menších než 370 lze sestavit z číslic 0 až 9, jestliže se číslice v zápisu čísla neopakují?

15 Kombinatorická pravidla součtu a součinu Řešení příkladu 4 1. část Přirozená čísla menší než 300, číslice 0 až 9, neopakují se počet možností p = p 1 + p 2 + p 3 - jednociferná přirozená čísla p 1 = n 1 = 9 řád jednotek n 1 = 9 (možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - dvojciferná přirozená čísla p 2 = n 1 n 2 = 9 9 = 81 řád desítek n 1 = 9 (nelze použít 0) řád jednotek n 2 = 9 (o jednu číslici méně, ale přidána 0) - trojciferná přirozená čísla p 3

16 Kombinatorická pravidla součtu a součinu Řešení příkladu 4 1. část Přirozená čísla menší než 300, číslice 0 až 9, neopakují se počet možností p = p 1 + p 2 + p 3 - jednociferná přirozená čísla p 1 = n 1 = 9 (možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - dvojciferná přirozená čísla p 2 = n 1 n 2 = 9 9 = 81 řád desítek n 1 = 9 (nelze použít 0) řád jednotek n 2 = 9 (o jednu číslici méně, ale přidána 0) - trojciferná přirozená čísla p 3

17 Kombinatorická pravidla součtu a součinu Řešení příkladu 4 2. část - jednociferná přirozená čísla p 1 = n 1 = 9 - dvojciferná přirozená čísla p 2 = n 1 n 2 = 9 9 = 81 - trojciferná přirozená čísla p 3 = n 1 n 2 n 3 = = 144 řád stovek n 1 = 2 (možnosti: 1, 2) řád desítek n 2 = 9 (o jednu číslici méně) řád jednotek n 3 = 8 (o jednu číslici méně) p = p 1 + p 2 + p 3 = = 234 Lze sestavit 234 přirozených čísel menších než 300.

18 Kombinatorická pravidla součtu a součinu Řešení příkladu 4 2. část - jednociferná přirozená čísla p 1 = n 1 = 9 - dvojciferná přirozená čísla p 2 = n 1 n 2 = 9 9 = 81 - trojciferná přirozená čísla p 3 = n 1 n 2 n 3 = = 144 řád stovek n 1 = 2 (možnosti: 1, 2) řád desítek n 2 = 9 (o jednu číslici méně) řád jednotek n 3 = 8 (o jednu číslici méně) p = p 1 + p 2 + p 3 = = 234 Lze sestavit 234 přirozených čísel menších než 300.

19 Zdroje: Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autorky.