ZÁKLADY STATISTIKY A FINANČNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY STATISTIKY A FINANČNÍ MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro niţší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - vyuţití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2010

2 Základy statistiky a finanční matematiky Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

Základy statistiky a finanční matematiky 3 Obsah Procenta... 6 Co je procento... 6 Důleţité pojmy:... 7 Výpočet procentové části ( č )... 8 Výpočet procentové části Varianta A... 9 Výpočet procentové části Varianta B... 11 Výpočet procentové části Varianta C... 13 Výpočet základu - celku ( z ):... 15 Výpočet základu celku Varianta A... 16 Výpočet základu celku Varianta B... 18 Výpočet základu celku Varianta C... 20 Výpočet počtu procent ( p ):... 22 Výpočet počtu procent Varianta A... 23 Výpočet počtu procent Varianta B... 25 Výpočet počtu procent Varianta C... 27 Souhrnné příklady k procvičení... 29 Promile... 31 Co je promile... 31 Příklady pouţití promile:... 32 Promile Varianta A... 33 Promile Varianta B... 35 Promile Varianta C... 37 Úroky... 39 Úroky Varianta A... 40 Úroky Varianta B... 42 Úroky Varianta C... 44

4 Základy statistiky a finanční matematiky Základy statistiky... 47 Základní pojmy... 48 Četnost, relativní četnost... 49 Grafické znázornění řešení statistické úlohy statistické diagramy... 50 Četnost, relativní četnost, statistické diagramy Varianta A... 53 Četnost, relativní četnost, statistické diagramy Varianta B... 57 Četnost, relativní četnost, statistické diagramy Varianta C... 65 Aritmetický průměr, modus a medián... 70 Aritmetický průměr, modus a medián Varianta A... 73 Aritmetický průměr, modus a medián Varianta B... 75 Aritmetický průměr, modus a medián Varianta C... 77 Souhrnné příklady k procvičení... 80 Přílohy:... 95 Příloha č. 1: Počet obyvatel v městech ČR k 31. 12. 2004... 96 Příloha č. 2: Věkové sloţení obyvatelstva... 97 Příloha č. 3: Země základní údaje... 98 Příloha č. 4: Klimatické hodnoty v roce 2008... 99 Příloha č. 5: Ţáci čtyřletých gymnázií... Příloha č. 6: Přírůstky a úbytky obyvatelstva od roku 1970 do roku 2008... 101 Příloha č. 7: Porodnost a úmrtnost v ČR od r. 1970 do r. 2008... 102 Příloha č. 8: Sňatkovost a rozvodovost v ČR od r. 1970 do r. 2008... 103 Příloha č. 9: Mezikrajové srovnání za 1. - 3. čtvrtletí 2006... 104 Příloha č. 10: Mezinárodní srovnání v roce 2004... 104 Příloha č. 11: Školní ročenka 2005.pdf... 104 Základy pravděpodobnosti... 105 Základní pojmy... 105 Základy finanční matematiky... 108

Základy statistiky a finanční matematiky 5 Základní pojmy... 108 Jednoduché úrokování... 110 Sloţené úrokování... 112 Kombinované úrokování... 114 Úrokování se zdaněním... 115 Úrokování se zdaněním Varianta A... 115 Úrokování se zdaněním Varianta B... 119 Různá úrokovací období... 119 Spoření, pravidelné vklady... 120 Úrokování se zdaněním Varianta C... 123 Dluhy a úvěry... 123 Valuty, devizy, převody měn... 126 Valuty, devizy, převody měn Varianta A... 128 Valuty, devizy, převody měn Varianta B... 131 Literatura:... 134

6 Základy statistiky a finanční matematiky Procenta Co je procento Procento znamená setinu daného celku: 1 1% celku celku 0, 01celku Např.: 10 1 20 1 25 1 10% 0,1 20% 0, 2 25% 0, 25 10 5 4 30 3 50 1 75 3 30% 0,3 50% 0, 5 75% 0, 75 10 2 4 1 % 1 1% 0, 01

Základy statistiky a finanční matematiky 7 Důleţité pojmy: základ (celek) - z stonásobek části, která odpovídá 1 %, tj. % procentová část (část celku) - č část základu, která odpovídá určitému počtu procent počet procent - p určuje, kolikrát se jedna setina celku vejde do jeho části

8 Základy statistiky a finanční matematiky Výpočet procentové části ( č ) %... z p %... č č z p Nebo pomocí jednoho procenta: %... z z 1%... z p č (p%)... p z Příklad: Zboţí v prodejně stojí 2000 Kč, o kolik korun bude levnější po slevě o 25%? 2000 Řešení: z 2000 Kč, č hledáme, p 25 č 25 500 Zboţí bude levnější o 500 Kč.

Základy statistiky a finanční matematiky 9 Výpočet procentové části Varianta A Příklady: 1) Určete zpaměti: a) 1 % z čísla 2 500 2500 1% odpovídá jedné setině celku zadané číslo stačí vydělit stem 25 b) 20 % z 600 l 20 % celku je 20 2) Vypočtěte 22 % z 56 22 56 12,32 2 10 2 2 z 600 600 120 10 10 Výsledky řešení: 1) a) 25 b) 120 l 2) 12,32 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

10 Základy statistiky a finanční matematiky Příklady k procvičení: 1) Určete zpaměti: a) 1 % z čísel: i) 120 [1,2] ii) 2 000 050 [20 000,5] iii) 12,5 [0,125] iv) 0,0025 [0,000 025] v) 3 3 [0,0375] 4 vi) 150 374 [1 503,74] b) 10 % 600 m 2 [60 m 2 ] c) 30 % z 600 kg [180 kg] d) 50 % z 80 km [40 km] e) 75 % z 80 ha [60 ha] f) 25 % z 80 g [20 g] 2) Určete jedno procento hodnot: a) 150 kg [1,5 kg] b) 890 Kč [8,9 Kč] c) 2 564 m [25,64 m] d) 12 000 s [120 s] e) 0,6 g [0,006 g] f) 0,02 km [0,000 2 km = 0,2 m] 3) Vypočtěte: a) 0,4 % z 64 [0,256] b) 0,7 % ze 158 [1,106] c) 1,7 % z 0,12 [0,002 04] d) 56 % z 280 [156,8] e) 95 % z 1,54 [1,463] f) 120 % z 60 [72] g) 250 % z 18 [45] h) 1 200 % z 6 [72] 4) Vypočítejte, kolik sekund odpovídá jednomu procentu jedné hodiny. [36 s]

Základy statistiky a finanční matematiky 11 Výpočet procentové části Varianta B Příklady: 1) Vypočtěte 70 % ze 5 3, výsledek vyjádřete ve tvaru zlomku. 70 3 5 7 10 3 5 21 50 2) Zvětšete číslo 56 o 22 %. Zvětšit dané číslo o 22% znamená určit % + 22% = 122% daného čísla: 122 56 6832 68,32 3) Zmenšete číslo 56 o 22 %. Zmenšit dané číslo o 22% znamená určit % 22% = 78% daného čísla: 78 56 4368 43,68 Výsledky řešení: 1) 21 50 2) 68,32 3) 43,68 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

12 Základy statistiky a finanční matematiky Příklady k procvičení: 1) Určete jedno procento hodnot: a) 12 7 12 700 b) c) 20 7 45 2 1 35 9 40 d) 7 5 7 500 2) Vypočtěte, výsledek vyjádřete ve tvaru zlomku: a) 50 % z 5 1 1 10 b) 20 % ze 5 4 c) 25 % z 7 5 4 25 5 28 d) 75 % ze 5 4 3) Zvětšete číslo: 3 5 a) 280 o 56 % [436,8] b) 1,54 o 95 % [3,003] c) 60 o 120 % [132] d) 64 o 0,4 % [64,256] e) 158 o 0,7 % [159,106] f) 0,12 o 1,7 % [0,12204] g) 18 o 250 % [63] h) 6 o 1 200 % [78] 4) Zmenšete číslo: a) 280 o 56 % [263,2] b) 1,54 o 95 % [0,077] c) 158 o 0,7 % [156,894] d) 0,12 o 1,7 % [0,117 96]

Základy statistiky a finanční matematiky 13 Výpočet procentové části Varianta C Příklad: Na vkladní kníţku s roční úrokovou mírou 3,5% jsme uloţili 150 000 Kč. Kolik na ní bude po připsání úroku na konci roku? Kolik na ní bude ještě po odečtení 15% daně ze zisku? Řešení: Úrok, který bude přičten na konci roku odpovídá 3,5% vkladu 3,5 15 150000 150000 5250 3,5 787,5 4462,5 1500 154462,5 5250 5250 787,5 150000 4462,5 5250 Úrok je tedy 5 250 Kč, po přičtení ke vkladu získáme částku 155 250 Kč. 155250 Pokud odečteme daň ze zisku (tj. daň ze získaného úroku), zbude úrok 4 462,50 Kč a s původním vkladem je konečná částka 154 462,20 Kč. Výsledek řešení: Po připsání úroku na konci roku bude na vkladní knížce 155 250 Kč a po odečtení úroku 154 462,20 Kč. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

14 Základy statistiky a finanční matematiky Příklady k procvičení: 1) Ve firmě je zaměstnáno 1 500 zaměstnanců. V současné době je jich 5% na dovolené. Kolik zaměstnanců je na dovolené a kolik jich nemá dovolenou? [75 zaměstnanců má a 1 425 nemá dovolenou] 2) Soutěţe se zúčastnilo 60% studentů školy. Kolik se soutěţe zúčastnilo a kolik ne, jestliţe na škole je celkem 750 studentů? [450 se zúčastnilo a 300 ne] 3) Televizor stál 15 730 Kč a byl zlevněn o 15%. Jaká je jeho nová cena? [13 370,50 Kč] 4) Klíčivost semen v balíčku je 88%. Kolik rostlinek vzešlo, je-li v balíčku 150 semínek? [132]

Základy statistiky a finanční matematiky 15 Výpočet základu - celku ( z ): Trojčlenkou p %... č %... z z č p Nebo pomocí jednoho procenta: p %... č 1%... p č č %... p Příklad: Zboţí v prodejně zlevnili o 500 Kč, coţ odpovídá 25% původní ceny. Jaká byla původní cena zboţí? Řešení: z hledáme, č 500 Kč, p 25 z 500 25 2000 Původní cena zboţí byla 2 000 Kč.

16 Základy statistiky a finanční matematiky Výpočet základu celku Varianta A Příklad: 1) Určete zpaměti základ, z něhoţ: a) 20% je 500 b) 20% je 2,5 2) Vypočítejte základ, z něhoţ 27% je 4 860. Řešení: 1) Základ určíme pomocí jednoho procenta: a) 20%... 500 1%... 25 zadanou část vydělíme počtem procent %... 2 500 výsledek vynásobíme stem b) protoţe víme, ţe zadanou část budeme dělit počtem procent a násobit stem, můţeme uvedený postup provést také v opačném pořadí: nejdříve zadanou část vynásobíme stem (získáme místo desetinného čísla číslo, které se zpaměti dělí snáz): 2,5 : 20 250: 20 25: 2 12,5 2) Pouţijeme postup uvedený v předchozím příkladě: 4860 27 180 18000 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: 1) a) 2 500 b) 12,5 2) 18 000

Základy statistiky a finanční matematiky 17 Příklady k procvičení: 1) Určete zpaměti základ, z něhoţ: a) 1 % je 7 [700] b) 2% je 7 [350] c) 5% je 45 [900] d) 7% je 420 [6 000] e) 10% je 150 [1 500] f) 20% je 12 [60] g) 30% je 60 [200] h) 50% je 3,5 [7] i) 75% je 300 [400] j) 40% je 20 [50] k) 90% je 9 [10] l) 120% je 24 [20] m) 150% je 30 [20] n) 35% je 70 [200] 2) Vypočítejte základ, z něhoţ: a) 2,5% je 37,5 [1 500] b) 34% je 57,8 [170] c) 70% je 0,35 [0,5] d) 23% je 2,875 [12,5] e) 210% je 147 [70] f) 0,4% je 0,192 [48] g) 12,5% je 44,725 [357,8] h) 29,3% je 4,395 [15] i) 89,1% je 31 025,511 [34 821] j) 48% je 262,08 [546] k) 117% je 299,683 8 [256,14] l) 156% je 74,053 2 [47,47] m) 14,9% je 3,829 3 [25,7] n) 0,25% je 0,15 [0,6] o) 0,09% je 0,4 5 [500] p) 98,6% je 34,017 [34,5]

18 Základy statistiky a finanční matematiky Výpočet základu celku Varianta B Příklad: Vypočítejte základ, z něhoţ 30% je 1 den, 19 hodin a 12 minut. Řešení: Nejdříve si 1 den, 19 hodin a 12 minut převedeme - například na hodiny: 12 12 minut = 0, 2 hodin 60 19 hodin 1 den = 24 hodin Dohromady: 43,2 hodin Základ určíme pomocí jednoho procenta: 144 144 hodin = 6 24 30%... 43,2 hodin 1%... 1,44 hodin zadanou část vydělíme počtem procent %... 144 hodin výsledek vynásobíme stem dnů Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Základ je 144 hodin = 6 dnů.

Základy statistiky a finanční matematiky 19 Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte základ, z něhoţ: a) 0,52% je 2,6 m [500 m] b) 39% je 8 424 minut [21 600 minut = 360 hodin = 15 dnů] c) 115% je 1 725l [1 500 l] d) 64% je 5,12 ha [8 ha] e) 13% je 78 km [600 km] f) 5,9% je 2,36 cm 2 [40 cm 2 ] g) 58% je 8 hodin a 42 minut [15 hodin] h) 235% je20,21 g [8,6 g] 2) Na výrobní lince se za směnu vyrobilo 522 výrobků, coţ bylo 116% průměrné výroby. Jaká byla průměrná výroba této linky na směnu? [Na lince se za směnu vyrobilo průměrně 450 výrobků.] 3) Na parkovišti bylo 544 vozů a kapacita parkoviště tak byla vyuţita na 68%. Jaká byla kapacita parkoviště? [Kapacita parkoviště byla 800 vozů.]

20 Základy statistiky a finanční matematiky Výpočet základu celku Varianta C Příklad: 1) Hokejový brankář během zápasu chytil 39 střel a měl úspěšnost cca 95,27%. Kolik střel bylo vysláno na jeho branku během zápasu? 2) Na rovném úseku trati zvýšil vůz rychlost o 15% na 95 km/h. Jaká byla jeho původní rychlost? Řešení: 1) Trojčlenkou: 95,27%... 39 %... z z 39 95,27 40,93628 2) Zvýšením rychlosti o 15% je výsledná rychlost vozu 115% rychlosti původní 115%... 95 km/h %... z z 95 115 82,60869 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: 1) Na brankáře bylo vysláno 41 střel. 2) Původní rychlost vozu byla přibliţně 82,6 km/h.

Základy statistiky a finanční matematiky 21 Příklady k procvičení: 1) Soutěţe se zúčastnilo 102 ţáků, coţ odpovídalo 68% z celkového počtu v ročníku. Kolik ţáků bylo v ročníku celkem? [150 ţáků] 2) Ve třídě onemocnělo 5,88% ţáků a chybí dva. Kolik jich je ve třídě celkem? [34 ţáků] 3) Ve škole je 378 dívek, coţ odpovídá 56% z celkového počtu všech studujících. Kolik jich studuje na této škole? [675 ţáků] 4) Klíčivost semen je 67%. Kolik jich bylo zaseto, jestliţe vzešlo 402 rostlinek? [600 semen] 5) Hmotnost výrobku bez obalu je 13,2 kg. Hmotnost obalu je 2% z celkové váhy. Kolik váţí celý výrobek? [15,5 kg] 6) Ztráty hmotnosti při tepelném zpracování suroviny činí 13%. Kolik kilogramů suroviny potřebujeme pro výrobu 33,8 kg výrobku? [260 kg]

22 Základy statistiky a finanční matematiky Výpočet počtu procent ( p ): Trojčlenkou: %... z p %... č p z Nebo pomocí jednoho procenta: č %... z z 1%... p %... z č : č z Příklad: Zboţí v prodejně stálo 2000 Kč. O kolik procent bylo zlevněno, je-li jeho současná cena 1 500 Kč? Řešení: z 2000 Kč, č 2 000 1 500 = 500, p hledáme p 500 2000 25 Zboţí bylo zlevněno o 25 % původní ceny.

Základy statistiky a finanční matematiky 23 Výpočet počtu procent Varianta A Příklady: 1) Určete zpaměti, kolik procent je 500 z 10 000. 2) Vypočítejte, kolik procent je 2,679 z 8,93. Řešení: 1) Počet procent vyjadřuje, kolikrát se jedna setina celku vejde do jeho části v tomto? č případě je to: 00 500, tedy také kolik setin je podíl? z? 500 00 2) Pomocí trojčlenky: 500 00 %... 8,93 5 p %... 2,679 5%. p 2,679 8,93 30 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: 3) 5% 4) 30%

24 Základy statistiky a finanční matematiky Příklady k procvičení: 1) Určete zpaměti, kolik procent je: a) 10 ze [10%] b) 6 z 60 [10%] c) 10 ze 40 [25%] d) 20 z 0 [2%] e) 150 z 200 [75%] f) 200z 2 000 [10%] g) 200 ze 4 000 [5%] h) 50 z 2 000 [2,5%] i) 50 ze 400 [12,5%] j) 3 ze 75 [4%] k) 9 z 10 [90%] l) 90 ze [90%] m) 2 z 5 [40%] n) 45 z 90 [50%] 2) Vypočtěte, kolik procent je: a) 0,2 z 0,5 [40%] b) 1,5 z 15 [10%] c) 15 z 1,5 [1 000%] d) 15,84 z 396 [4%] e) 0,56 ze 7 [8%] f) 75,33 z 81 [93%] g) 330,72 z 1 248 [26,5%] h) 9,705 z 64,7 [15%] i) 205 z 326 [63%] j) 146,3 ze 154 [95%] k) 1,35 z 15 [9%] l) 0,497 z 0,7 [71%] m) 183,05 z 523 [35%] n) 30,24 z 11 200 [0,27%] o) 5,46 ze 78 [7%] p) 553,66 ze 2 356 [23,5%]

Základy statistiky a finanční matematiky 25 Výpočet počtu procent Varianta B Příklady: 1) Vypočtěte, kolik procent je 2 520 dm 3 ze 12 m 3. 2 2) Vypočtěte, kolik procent je z 5. 5 Řešení: 1) Pomocí trojčlenky: %... 12 m 3 =12 000 dm 3 p %... 2 520 dm 3 p 2520 12000 21 2 2) Pomocí vzorce p č 2 p 5 2 z 5 25 25 2 4 8 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: 1) 21% 2) 8%

26 Základy statistiky a finanční matematiky Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte, kolik procent je: a) 255 cm ze 3 m [75%] b) 900 m z 5 km [18%] c) 1 815 g z 1,5 kg [121%] d) 24 minut ze 2 hodin [20%] e) 5 hl z 250 l [200%] f) 21,6 mm 2 ze 72 cm 2 [0,3%] g) 7,35 cm z 10 m [73,5%] 2) Vypočtěte, kolik procent je: a) b) c) d) e) 1 1 z 16 4 [25%] 2 ze 4 [10%] 5 3 15 z 2 4 1 5 z 2 3 3 3 ze 4 2 f) 0,3 z 2 1 [40%] [30%] [50%] [60%]

Základy statistiky a finanční matematiky 27 Výpočet počtu procent Varianta C Příklady: Honza má v peněţence 4 koruny, 10 dvoukorun, 6 pětikorun, 3 desetikoruny, 5 dvacetikorun a 2 padesátikoruny. Kolik procent z celkového počtu mincí tvoří desetikoruny? Řešení: Základem bude celkový počet mincí: 4 10 6 3 5 2 30 desetikoruny má 3 určíme tedy, kolik procent je 3 ze 30 například pomocí trojčlenky: %... 30 mincí p %... 3 mince p 3 30 10 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Honza má v peněţence 10% desetikorun z celkového počtu mincí.

28 Základy statistiky a finanční matematiky Příklady k procvičení: 1) Honza má v peněţence 4 koruny, 10 dvoukorun, 6 pětikorun, 3 desetikoruny, 5 dvacetikorun a 2 padesátikoruny. Kolik procent z celkového počtu mincí tvoří a) koruny? [13,33%] b) dvoukoruny? [33,33%] c) pětikoruny? [20%] d) dvacetikoruny? [16,67%] e) padesátikoruny? [6,67%] 2) Kolem rybníka roste 28 topolů a 22 vrb. Kolik procent z těchto stromů tvoří a) topoly? [56%] b) vrby? [44%] 3) Do prvních tříd ZŠ nastoupilo 134 dívek a 112 chlapců. Kolik procent z prvňáčků této ZŠ je a) dívek? [přibliţně 54,47%] b) chlapců? [přibliţně 45,53%] 4) O kolik procent je číslo 697,89 větší neţ číslo 541? [o 29%] 5) O kolik procent je číslo 35,383 menší neţ číslo 41? [o 13,7%]

Základy statistiky a finanční matematiky 29 Souhrnné příklady k procvičení 1) Turisté jiţ urazili 25 km, coţ odpovídá 20% celé trasy. Jak dlouhou trasu mají naplánovanou? Kolik jim ještě zbývá urazit? [125 km, km] 2) Pravidelnou prohlídku u lékaře jiţ absolvovalo 760 zaměstnanců, coţ odpovídá 95% z celkového počtu zaměstnanců firmy. Kolik jich má ještě jít na prohlídku? [40 zaměstnanců] 3) Z patnáctihodinového programu jiţ uběhlo 27%. Kolik ještě zbývá do konce? [10,95 hodin = 10 hodin a 57 minut] 4) Honza za posledních pět let vyrostl o 8,85% a teď měří 160 cm. Jaká byla jeho výška pře pěti lety? [přibliţně 146,99 cm] 5) Spotřeba paliva je 6,8 litrů na km. Mimo městský provoz je spotřeba o 15% niţší. Jaká bude spotřeba paliva na 50 km ujetých mimo město? [2,89 l] 6) Cena zboţí byla navýšena o 48% na 9 472 Kč. Jaká byla původní cena zboţí? [6 400 Kč] 7) Cena jednoho automobilu se základní výbavou je 150 000 Kč, s kompletní výbavou je o 15% draţší a bez klimatizace je oproti plné výbavě levnější o 1,5%. O kolik je cena vozu se základní výbavou levnější, neţ s výbavou bez klimatizace? [o 19 912,5 Kč ceny jsou: 150 000 Kč, 172 500 Kč, 169 912,50 Kč] 8) Ráno bylo 15 C a večer uţ 24 C. O kolik procent stoupla za den teplota? [o 60%] 9) Dva sourozenci si rozdělili odměnu 2 500 Kč tak, ţe starší dostal 60% a mladší zbytek. Kolik dostal kaţdý z nich? [1 500 Kč a 1 000 Kč ] 10) Sponzorský dar na výhry v soutěţi bude rozdělen mezi první tři umístěné. Kolik kdo dostane, mají-li si rozdělit částku 500 000 Kč takto: vítěz dostane 50%, druhý 30% a třetí zbylých 20%? [250 000 Kč, 150 000 Kč a 000 Kč] 11) Zmenšíme-li neznámé číslo o 39%, dostaneme 305. Určete neznámé číslo. [500] 12) Zvětšíme-li neznámé číslo o 39%, dostaneme 834. Určete neznámé číslo. [600] 13) Rozloha zahrady s chatou je 800 m 2, samotná chata má obdélníkový půdorys o rozměrech 14 12 metrů. Kolik procent pozemku zabírá nezastavěná plocha? [79%] 14) Na zahradě s výměrou 500 m 2 jsou dva obdélníkové záhony, oba mají délku 2 metry, jeden je široký1,5 m a druhý 3,5 m. Zbývající plochu zahrady zabírá trávník, z něhoţ ještě 5% jsou cestičky. Kolik procent zahrady zabírá samotný trávník? [93,1% - záhony: 10 m 2, trávník: 465,5 m 2, cestičky: 24,5 m 2 ] 15) O kolik procent se zlevnila PC sestava na cenu 42 000 Kč, byla-li původní cena 48 000 Kč? [o 12,5%]

30 Základy statistiky a finanční matematiky 16) V odborech ve firmě je pouze 153 z celkových 756 zaměstnanců. Kolik procent zaměstnanců firmy v odborech není? [79,76%] 17) V restauraci je obsazeno 22 z 50 stolů. Kolik procent stolů je volných? [56%] 18) Zboţí bylo dvakrát zdraţeno, nejprve o 25% a potom ještě o 10%, teď stojí 6 325 Kč. Jaká byla původní cena zboţí? [4 600 Kč ] 19) Zboţí bylo dvakrát zlevněno, nejprve o 25% a potom ještě o 10%, teď stojí 3 105 Kč. Jaká byla původní cena zboţí? [4 600 Kč] 20) Zboţí stojí 5 000 Kč. Kolik by stálo, pokud by bylo dvakrát zdraţeno, nejprve o 25% a potom ještě o 10%? [6 875 Kč] 21) Zboţí stojí 5 000 Kč. Kolik by stálo, pokud by bylo dvakrát zlevněno, nejprve o 25% a potom ještě o 10%? [3 375 Kč]

Základy statistiky a finanční matematiky 31 Promile Co je promile Promile znamená tisícinu daného celku: 1 celku 1 0 celku 0, 001 celku Např.: 1 10 1 1 0,001 10 0, 01 0 0 1 0 0,1 0 1 0 10 0 Promile znamená také desetinu procenta, jedno procento je deset promile: 1 celku 1% 10 celku 1 % celku = 10 celku

32 Základy statistiky a finanční matematiky Příklady pouţití promile: 1,5 alkoholu v krvi kaţdý litr krve daného člověka obsahuje 1,5 litru = 1,5 ml 0 alkoholu 3 narozených dětí 3 z kaţdých 0 novorozenců Stoupání trati 12 trať stoupne na kaţdém kilometru o 12 m Promile se nepouţívají tak často jako procenta, pravidla pro jejich pouţívání jsou obdobná jako u procent (s tím, ţe celek odpovídá 1 000 ). Příklad: Kolik promile je 5 ze 200? Řešení: Trojčlenkou: Odpověď: 5 ze 200 je 25. 1 000... 200 x... 5 x 0 5 200 25

Základy statistiky a finanční matematiky 33 Promile Varianta A Příklad: 1) Převeďte 99 na procenta. 2) Převeďte 99 % na promile. 3) Vyjádřete 24,8 ve tvaru zlomku. 4) Vyjádřete 16,4 ve tvaru desetinného čísla. 5) Určete, kolik je 20 z 80. 6) Určete základ, z něhoţ 30 je 150. Řešení: 1) 1 celku 1% 10 99 celku 9, 9 10 2) 1 % celku = 10 celku 99 10 990 3) 24,8 0 31 1250 16,4 4) 0,0164 0 20 5) 80 1, 6 0 150 6) 0 5000 30 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: 1) 9,9 % 2) 990 3) 31 1250 4) 0,0164 5) 1,6 6) 5 000

34 Základy statistiky a finanční matematiky Příklady k procvičení: 1) Převeďte na procenta: a) 4,8 [0,48 %] b) 0,48 [0,048 %] c) 48 [4,8 %] d) 9 [0,9 %] e) 90 [9 %] f) 190 [19 %] 2) Převeďte na promile: a) 4,8 % [48 ] b) 0,48 % [4,8 ] c) 0,048 % [0,48 ] d) 48 % [480 ] e) 0,9 % [9 ] f) 9 % [90 ] 3) Vyjádřete zadanou část základu ve tvaru zlomku: a) 0,36 0,36 0 9 25000 b) 1,7 1,7 0 17 00 c) 75 d) 350 75 0 350 0 4) Vyjádřete zadanou část základu ve tvaru desetinného čísla: a) 0,42 [0,000 42] b) 1,3 [0,001 3] c) 25 [0,025] d) 150 [0,15] 5) Určete, kolik je: a) 3 ze 120 [0,36] b) 20 z 800 [16] 6) Určete základ, z něhoţ: a) 1,5 je 30 [20 000] b) 25 je 5 [200] 7) Kolik promile je: a) 20 z 80? [250 ] b) 2 z 800? [2,5 ] 3 40 7 20

Základy statistiky a finanční matematiky 35 Promile Varianta B Příklad: 1) Penále za opoţděnou splátku pojistného je 1,5 nenaplacené částky za kaţdý den zpoţdění. Kolik korun bude muset zaplatit pan Novák, který se zpozdil se splátkou ve výši 3 890,- Kč o 28 dní? 2) Roční pojistné domácnosti je 4,8 hodnoty zařízení. Kolik korun budou platit Novákovi, byla-li hodnota jejich zařízení domácnosti odhadnuta na 364 000,-Kč? 3) Lék obsahuje 2,5 účinné látky. Kolik gramů této účinné látky je obsaţeno v půl kilogramu léku? Řešení: 1) Penále je 1,5 z 3 890,- Kč, to je 5,835 Kč za kaţdý z 28 dní celkové penále je: 5,835 28 = 163,38 dohromady s původní splátkou je částka k zaplacení 3 890 + 163,38 = 4 053,38 po zaokrouhlení na celé koruny pak 4 053,- Kč. 4,8 2) 4,8 z 364 000,-Kč je 364000 1747, 2 Kč 0 a 1 747,- Kč po zaokrouhlení na celé koruny. 2,5 3) 2,5 z půl kilogramu je 500 0 g = 1,25 g. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: 1) Pan Novák bude muset zaplatit 4 053,- Kč. 2) Novákovi budou za pojištění domácnosti platit 1 747,-Kč ročně. 3) Půl kilogramu léku obsahuje 1,25 g účinné látky.

36 Základy statistiky a finanční matematiky Příklady k procvičení: 1) Penále za opoţděnou splátku pojistného je 1,5 nenaplacené částky za kaţdý den zpoţdění. Kolik korun bude muset zaplatit pan Nový, který se zpozdil se splátkou ve výši 4 290,-Kč o 27 dní? [Pan Nový bude muset zaplatit 4 464,-Kč.] 2) Penále za opoţděnou splátku pojistného je 1,5 nenaplacené částky za kaţdý den zpoţdění. Kolik korun bude muset zaplatit pan Starý, který se zpozdil se splátkou ve výši 3 980,-Kč o 26 dní? [Pan Starý bude muset zaplatit 4 135,-Kč.] 3) Roční pojistné domácnosti je 3,8 hodnoty zařízení. Kolik korun budou platit Horákovi, byla-li hodnota jejich zařízení domácnosti odhadnuta na 296 000,-Kč? [Horákovi budou za pojištění domácnosti platit 1 125,- Kč ročně.] 4) Roční pojistné domácnosti je 3,6 hodnoty zařízení. Kolik korun budou platit Dolákovi, byla-li hodnota jejich zařízení domácnosti odhadnuta na 482 000,-Kč? [Dolákovi budou za pojištění domácnosti platit 1 735,- Kč ročně.] 5) Lék obsahuje 3 účinné látky. Kolik gramů této účinné látky je obsaţeno v jednom a půl kilogramu léku? [Jeden a půl kilogramu léku obsahuje 4,5 g účinné látky.] 6) Lék obsahuje 2 účinné látky. Kolik gramů této účinné látky je obsaţeno ve čtvrt kilogramu léku? [Čtvrt kilogramu léku obsahuje 0,5 g účinné látky.] 7) Novorozenecká úmrtnost znamená, kolik dětí se narodilo mrtvých, nebo zemřeli během prvních sedmi dnů po porodu. V krajské nemocnici byla v roce 2000 novorozenecká úmrtnost 4,1. Kolik dětí zemřelo z celkových 4 878 novorozenců? [V roce 2000 zemřelo v krajské nemocnici 20 novorozenců.] 8) V krajské nemocnici byla v roce 2008 novorozenecká úmrtnost 2. Kolik dětí zemřelo z celkových 3 500 novorozenců? [V roce 2008 zemřelo v krajské nemocnici 7 novorozenců.]

Základy statistiky a finanční matematiky 37 Promile Varianta C Příklad: 1) Mezi místy A a B, jejichţ vodorovná vzdálenost AP je 20 km, má trať stoupání 12. Určete výškový rozdíl na trase mezi místy A, B. 2) Čep opracovaný na soustruhu má mít průměr 2 cm a délku 65 cm. Norma připouští odchylku těchto rozměrů maximálně o ±2 poţadované délky. Jaké největší/nejmenší rozměry smí mít hotový čep? Řešení: 1) Stoupání na trati o s12 znamená, ţe na vodorovné vzdálenosti 20 km stoupne trať o 12 0 z této vzdálenosti 1... 20 000:1 000=20 12... 12 20=240 BP 240 m 2) Nejprve je nutné určit maximální přípustné odchylky zadaných rozměrů, tedy 2 šířky i délky; Hledané rozměry pak určíme přičtením a odečtením odchylek od poţadovaných rozměrů: 2 ze 2 cm... 0,004 cm 2 ze 65 cm... 0,13 cm 2 cm ± 0,004 cm... 2,004 cm a 1,996 cm 65 cm ± 0,13 cm... 65,13 cm a 64,87 cm Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: 1) Mezi místy A a B je na trati výškový rozdíl 240 m. 2) Hotový čep můţe mít průměr maximálně 2,004 cm a minimálně 1,996 cm a délku maximálně 65,13 cm minimálně 64,87 cm.

38 Základy statistiky a finanční matematiky Příklady k procvičení: 4) Nákladní vůz má maximální stoupavost 38. To znamená, ţe na kaţdém úseku trasy můţe být maximální výškový rozdíl 38 délky úseku. Jaký výškový rozdíl můţe zdolat na trase dlouhé 5 km? [Nákladní vůz můţe zdolat maximální výškový rozdíl 190 m.] 5) Nákladní vůz má maximální stoupavost 42. To znamená, ţe na kaţdém úseku trasy můţe být maximální výškový rozdíl 42 délky úseku. Jaký výškový rozdíl můţe zdolat na trase dlouhé 5 km? [Nákladní vůz můţe zdolat maximální výškový rozdíl 210 m.] 6) Mezi zastávkami A a B, jejichţ vodorovná vzdálenost je 9 km, má ţelezniční trať stoupání 17, mezi zastávkami B a C, jejichţ vodorovná vzdálenost je 14 km, má ţelezniční trať stoupání 8. Určete výškový rozdíl zastávek A a C. [Výškový rozdíl zastávek A a C je 265 m.] 7) Mezi zastávkami A a B, jejichţ vodorovná vzdálenost je 24 km, má ţelezniční trať stoupání 14, mezi zastávkami B a C, jejichţ vodorovná vzdálenost je 16 km, má ţelezniční trať stoupání 9. Určete výškový rozdíl zastávek A a C. [Výškový rozdíl zastávek A a C je 480 m.] 8) Výškový rozdíl dvou zastávek na ţelezniční trati je 27,54 m, jejich vodorovná vzdálenost je 5,4 km. Určete stoupání trati. [Stoupání trati je 5,1.] 9) Výškový rozdíl dvou zastávek na ţelezniční trati je 46,32 m, jejich vodorovná vzdálenost je 15,44 km. Určete stoupání trati. [Stoupání trati je 3.] 10) Čep opracovaný na soustruhu má mít průměr 4 cm a délku 125 cm. Norma připouští odchylku těchto rozměrů maximálně o ±2 poţadované délky. a) Jakou největší délku smí mít hotový čep? [125,25 cm] b) Jakou nejmenší délku smí mít hotový čep? [124,75 cm] c) Jaký největší průměr smí mít hotový čep? [4,008 cm] d) Jaký nejmenší průměr smí mít hotový čep? [3,992 cm]

Základy statistiky a finanční matematiky 39 Úroky Kdyţ si chceme něco půjčit, musíme za to zaplatit, záleţí na hodnotě zapůjčené věci a samozřejmě na době zapůjčení. Peníze jsou zvláštní druh zboţí. Kdyţ si chceme půjčit peníze, platíme úroky. Ukládáme-li nějaké peníze do banky, jako bychom je půjčovali my bance. Co to tedy je úrok? Úrok je část vypůjčené částky, vyjádřená v procentech. základ... jistina (půjčený obnos, vklad)... j procentová část... úrok... ú počet procent... úroková míra... p Výpočet úroku za jeden rok: ú j p Počítáme-li úrok jen za část roku, počítá se pro jednoduchost, ţe: každý měsíc má 30 dní a rok má 360 dní, den výběru se nepočítá, den vkladu ano. Označíme-li d jako počet dní, pak je: Výpočet úroku za část roku: ú j p d 360

40 Základy statistiky a finanční matematiky Úroky Varianta A Příklad: Jaký úrok připíše banka za rok ke vkladu 150 000 Kč, je-li vklad úročen 3% úrokovou mírou? Řešení: j = 150 000,- Kč p = 3% ú =? Kč ú j p 150000 3 1500 3 4500 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Banka připíše ke vkladu za rok 4 500,- Kč.

Základy statistiky a finanční matematiky 41 Příklady k procvičení: 1) Určete úrok a konečnou částku po jednom roce, je-li: a) vklad 80 000,- Kč a úroková míra 1,5 % [1 200,- Kč, 81 200,- Kč] b) vklad 60 000,- Kč a úroková míra 1,5 % [900,- Kč, 60 900,- Kč] c) vklad 120 000,- Kč a úroková míra 1,5 % [1 800,- Kč, 121 800,- Kč] d) vklad 140 000,- Kč a úroková míra 1,5 % [2,- Kč, 142,- Kč] e) vklad 80 000,- Kč a úroková míra 2,3 % [1 840,- Kč, 81 840,- Kč] f) vklad 60 000,- Kč a úroková míra 2,3 % [1 380,- Kč, 61 380,- Kč] g) vklad 120 000,- Kč a úroková míra 2,3 % [2 760,- Kč, 122 760,- Kč] h) vklad 140 000,- Kč a úroková míra 2,3 % [3 220,- Kč, 143 220,- Kč] i) vklad 80 000,- Kč a úroková míra 3,2 % [2 560,- Kč, 82 560,- Kč] j) vklad 60 000,- Kč a úroková míra 3,2 % [1 920,- Kč, 61 920,- Kč] k) vklad 120 000,- Kč a úroková míra 3,2 % [3 840,- Kč, 123 840,- Kč] l) vklad 140 000,- Kč a úroková míra 3,2 % [4 480,- Kč, 144 480,- Kč] m) vklad 80 000,- Kč a úroková míra 3,5 % [2 800,- Kč, 82 800,- Kč] n) vklad 60 000,- Kč a úroková míra 3,5 % [2,- Kč, 62,- Kč] o) vklad 120 000,- Kč a úroková míra 3,5 % [4 200,- Kč, 124 200,- Kč] p) vklad 140 000,- Kč a úroková míra 3,5 % [4 900,- Kč, 144 900,- Kč] 2) Podnikatel si v bance půjčil na nové stroje. Dluh se mu podařilo splatit najednou právě po jednom roce. Určete, jak velká byla jeho splátka, je-li: a) půjčka 500 000,- Kč a úroková míra 6,2 % [531 000,- Kč] b) půjčka 1 500 000,- Kč a úroková míra 7,2 % [1 608 000,- Kč] c) půjčka 2 500 000,- Kč a úroková míra 7,8 % [2 695 000,- Kč] d) půjčka 3 500 000,- Kč a úroková míra 8,2 % [3 787 000,- Kč] e) půjčka 750 000,- Kč a úroková míra 6,7 % [800 250,- Kč] f) půjčka 1 750 000,- Kč a úroková míra 7,7 % [1 884 750,- Kč] g) půjčka 2 750000,- Kč a úroková míra 8,3 % [2 978 250,- Kč] h) půjčka 3 750 000,- Kč a úroková míra 8,7 % [4 076 250,- Kč]