Regulační diagramy CUSUM pro atributivní znaky Eva Jarošová
Obsah. Klasické diagramy pro atributivní znaky, omezení a nevýhody jejich aplikace 2. Přístup založený na transformaci sledované veličiny 3. CUSUM diagramy pro transformovanou proměnnou 4. CUSUM diagramy založené na předpokládaném rozdělení sledované veličiny 2
Klasické Shewhartovy diagramy Pro počet neshodných jednotek v podskupině Pro podíl neshodných jednotek v podskupině Pro počet neshod Pro podíl neshod na jednotku Založeny na předpokladu normálního rozdělení, jímž lze za určitých podmínek aproximovat skutečné rozdělení sledované veličiny 3
Podmínky pro aproximaci Binomické rozdělení Bi(n,p) střední hodnota np 5 nebo np 8 Poissonovo rozdělení Po(l) střední hodnota (nezávislost) l 5 nebo l 8 Regulační meze ve vzdálenosti 3 sigma riziko falešného signálu v podobě překročení horní regulační meze,35 4
Důsledky nesplnění podmínky vlivem nedostatečného rozsahu výběru nesymetrické meze záporná hodnota pro dolní mez se nahradí nulou větší riziko falešného signálu (i pro np=5) nelze diagnostikovat okamžik zlepšení 5
Alternativní přístupy Transformace + Shewhartův diagram Transformace + CUSUM CUSUM přímo 6
Podstata CUSUM diagramů První CUSUM Page (954), od té doby řada modifikací Dvě základní Kumulativní součty odchylek od cílové hodnoty t S ( X ) t i rozhodování pomocí V-masky Kumulativní součty Si max Si ( Xi K ); Si min Si ( Xi K ); tabelární CUSUM (podobný klasickému diagramu) i 7
Tabelární CUSUM pro měřitelné znaky cílová hodnota K H C max ; x ( K) C i i i C min ; x ( K) C i i i C C k směrodatná odchylka 2 h rozhodovací interval k,5 h 4 nebo 5 8
CUSUM pro počet neshodných Založen na binomickém rozdělení počtu neshod v podskupině horní CUSUM dolní CUSUM Si max Si ( Xi K ); Si min Si ( Xi K ); Cílová hodnota počtu neshod v podskupině p Konstanta pro identifikaci posunu p p Meze pro S+ a S- (rizika a ) K K p nln p p p ln p p H ln p p ln p p H ln p p ln p p 9
CUSUM pro počet neshod Založen na Poissonovu rozdělení počtu neshod v podskupině horní CUSUM dolní CUSUM Si max Si ( Xi K ); Si min Si ( Xi K ); Cílová hodnota počtu neshod v podskupině c Konstanta pro identifikaci posunu c c Meze pro S+ a S- (rizika a ) K c c K c ln c H ln c ln c H ln c ln c
Případová studie Dodávky nárazníků Počet poškozených nárazníků 7 6 5 4 3 2 2 4 6 8 2 4 Proměnná velikost dodávek 263 58 kusů, průměrná velikost 434
Proportion P-diagram, konstantní meze Základní hodnoty nejsou dány p 3 p( p) / n P Chart of d,4,2, UCL=,,8,6,4,2, _ P=,267 LCL= 4 27 4 53 66 Sample 79 92 5 8 LCL vychází záporná LCL = Nestejné rozsahy - proměnlivé riziko falešného signálu 2
Proportion P-diagram, proměnné meze p 3 p( p) / ni,4,2 P Chart of d, UCL=,958,8,6,4,2, _ P=,267 LCL= 4 27 4 53 66 Sample 79 92 5 8 Tests performed with unequal sample sizes 3
Proportion P-diagram, konstantní meze p 3 p ( p ) / n Základní hodnoty dány; p =,25 P Chart of d,4,2, UCL=,969,8,6,4,2, _ P=,25 LCL= np,85 4 27 4 53 66 Sample 79 92 5 8 Skutečné riziko falešného signálu (překročení UCL),5 4
Proportion P-diagram, proměnné meze Základní hodnoty dány; p =,25,4,2 P Chart of d,,8 UCL=,99,6,4,2, _ P=,25 LCL= 4 27 4 53 66 Sample 79 92 5 8 Tests performed with unequal sample sizes 5
Přístup založený na transformaci A. Transformace založená na normování B. Transformace arcsin X i I-diagram pro individuální hodnoty CUSUM diagram p i p p ( p ) / n i Y i arcsin xi 3 / 8 n 3 / 4 i 6
Individual Value I-diagram Diagram pro individuální hodnoty (regulace měřením) I Chart of x 5 4 3 UCL=3 2 _ X= - -2-3 LCL=-3 4 27 4 53 66 Observation 79 92 5 8 Normované normální rozdělení - pevné meze 3 7
Proportion I-diagram a zpětná transformace Základní hodnoty dány; p =,25 P Chart of p,6,4,2, UCL=,48,8,6,4,2, _ P=,25 LCL=,484 4 27 4 53 66 Sample 79 92 5 8 Střední hodnota arcsin p, směrodatná odchylka 4n 8
Cumulative Sum CUSUM pro transformovanou proměnnou 5 CUSUM Chart of x 5 UCL=4-5 LCL=-4-4 27 4 53 66 Sample 79 92 5 8 Cílová hodnota =, směrodatná odchylka =, h =,5, k = 4 9
Cumulative Sum CUSUM pro transformovanou proměnnou,3 CUSUM Chart of arcsin,2, UCL=,96, -, LCL=-,96 4 27 4 53 66 Sample 79 92 5 8 Cílová hodnota p =,25 Cílová hodnota po transformaci =,5; směrodatná odchylka =,24, h =,5, k = 4 2
Případová studie Průměr procesu p,267 Cílová hodnota p,25 Směrodatná odchylka kolísání p p ( p ) / n,24 Nepřijatelná hodnota p, která by měla být odhalena p,5 Rizika chybného rozhodnutí,35, Parametry CUSUM K K,439 H 9,498 H 6,62 2
S-, S+ Horní a dolní CUSUM K K,439 prokazatelné zhoršení procesu H 9,498 H 6,62 2-2 4 6 8 2-2 -3-4 -5 prokazatelné zlepšení procesu 22
Použití diagramu Překročení horní meze hledá se vymezitelná příčina; je-li hledání úspěšné, příčina se odstraní a kumulativní součet se vynuluje (na obrázku se vynulování neuvažuje) Překročení dolní meze znamená zlepšení procesu s ohledem na neustálé zlepšování procesu by se měla revidovat cílová hodnota, určit nové parametry CUSUM diagramu, vynulovat kumulativní součty a pokračovat dál (jinak při podílu neshodných trvale lepším než je původní cílová hodnota bude dolní kumulativní součet pořád klesat a jeho zobrazování přestává mít smysl) 23
S-, S+ S-, S+,35, Vliv volby rizik 2-2 4 6 8 2,, -2-3 -4-5 2-2 4 6 8 2-2 -3-4 -5 24
Sample Count Diagram pro počet neshod Příklad Ford Motor (Ryan) 8 C Chart 6 UCL=5,8 4 2 8 6 _ C=7,56 4 2 LCL= 3 5 7 9 3 5 Sample 7 9 2 23 25 25
Sample Count Příklad Ford Motor (Ryan) Základní hodnota dána: c = 7 8 C Chart of c-ryan 6 4 2 UCL=4,94 8 6 _ C=7 4 2 LCL= 3 5 7 9 3 5 Sample 7 9 2 23 25 26
Individual Value Transformace y c c 9 8 I Chart of c-transf UCL=8,474 7 6 5 _ X=5,474 4 3 2 3 5 7 9 3 5 Observation 7 9 2 23 25 LCL=2,474 2 l Střední hodnota, směrodatná odchylka 27
Průměr procesu c 7,56 CUSUM Poisson Cílová hodnota c 7 Směrodatná odchylka kolísání c c 2, 6 Chceme odhalit posun c c = 2 c 9 Rizika chybného rozhodnutí,35, Parametry CUSUM K K 7,958 H 26,292 H 8,324 28
S-, S+ Horní a dolní CUSUM K K 7,958 prokazatelné zhoršení procesu H 26,292 H 8,324 4 3 2 - -2-3 -4-5 5 5 2 25 Podskupina prokazatelné zlepšení procesu 29
Sekvenční kontrola Sledování jednotek kus po kuse Speciální případ binomického CUSUM pro n = (Bernoulliho rozdělení) Modifikace konstanty K a mezí H + a H - viz [4] Další možnost sleduje se počet shodných jednotek mezi dvěma neshodnými (geometrické rozdělení) 3
Příklad Kumulativní počet udává, kdy se vyskytla neshodná jednotka Kumulativní počet Pořadí neshodných 5 75 25 347 45 473 958 455 2 3 4 5 6 7 8 Y 5 24 75 97 68 58 485 497 Kumulativní počet Pořadí neshodných 89 92 934 27 2246 242 274 288 9 2 3 4 5 6 Y 364 4 236 76 75 39 68 3
S-, S+ CUSUM - Bernoulli Cílová hodnota p =,2,35, K K H 7,88 H 5,9,3275 Nepřijatelná hodnota p =,5 8 6 4 2 zhoršení procesu -2 5 5 2 25 3-4 -6 32
S-; S+ CUSUM geometrický K K / K 35,36 G G B H mh m 224 G G H mh m 2496 G G m K G 5 5-5 - -5-2 -25-3 2 4 6 8 2 4 6 Překročení dolní meze představuje signál, že podíl neshodných je větší, tedy zhoršení procesu 33
Literatura. ČSN 266: 985 Special types of statistical control: Method of cumulative sums (In Czech) 2. PAGE, E.S. Continuous inspection schemes. Biometrika, 954, vol. 4, pp. -4. 3. KENETT, R.S., ZACKS, S. Modern Industrial Statistics: Design and Control of Quality and Reliability. Pacific Grove: Duxbury Press, 998. 62 p. 4. REYNOLDS, M.R., STOUMBOS, Z.G. A CUSUM Chart for Monitoring a Proportion When Inspecting Continuously. Journal of Quality Technology, 999, Vol. 3, No., pp. 87-8. 5. GOH, T.N. A control chart for very high yield processes. Quality Assurance, 987, vol. 3, no., pp. 8 22. 6. CHAN, L.Y., LIN, D.K.J., XIE, M., GOH, T.N. Cumulative probability control charts for geometric and exponential process characteristics. International Journal of Production Research, 22, Vol. 4, No., pp.33-5. 34