FINANČNÍ MATEMATIA Jarmila Radová BP VŠE Praha
Osova Jedoduché úročeí Diskotováí krátkodobé ceé papíry Metody vedeí a výpočtu úroku z běžého účtu Skoto Složeé úrokováí Budoucí hodota auity spořeí Současá hodota auity důchody
Literatura Základí Radová J., Dvořák P., Málek J.: Fiačí matematika pro každého (7. vydáí) Radová J. a kol.: Fiačí matematika pro každého - příklady Radová J., Chýa V., Málek J.: Fiačí matematika v příkladech Cipra T.: Fiačí matematika v praxi
Metody fiačí matematiky Preferece ivestora při ivestováí: - raději více peěz ež méě - raději méě rizika ež více - raději (stejá suma) peíze dříve ež později
Časová hodota peěz souvisí s 3. preferecí ivestora - fiačí metoda - slouží k porováí růzých peěžitých částek z růzých období - současá a budoucí hodota peěz - spojea s důležitými fiačími pojmy jako úrok a úroková míra
Časová hodota peěz Úrok odměa za dočasou ztrátu kapitálu (když jede subjekt půjčí druhému), za riziko spojeé se zehodoceím kapitálu (apř. iflací), za ejistotu, že kapitál ebude splace v daé lhůtě a výši. Úrok je také cea vypůjčeého kapitálu pro dlužíka Úroková míra (sazba) je procetuálí vyjádřeí výše úroku k celkové výši půjčeého kapitálu
Základí druhy úrokové míry omiálí úroková míra úrokové období efektiví úroková míra zvažovaá úroková míra vitří výosové proceto
Typy úročeí dle způsobu připisováí úroku - jedoduché úročeí - složeé úročeí dle doby placeí úroku - polhůtí či dekursiví úročeí - předlhůtí či aticipativí úročeí
Jedoduché úročeí polhůtí úročí se stále pouze základí částka, vyplaceé úroky se k í epřičítají. ú = 36. p. t.1 ú = i
Doba uložeí - v letech = délka dy roku Počet dí v čitateli může být uvede podle kódů: ACT skutečý počet dí smluvího vztahu bez prvího de; 3E celý měsíc 3A liší se od 3E maximálě o 1de koec smluvího vztahu je a 31. de v měsíci a začátek eí 3. ebo 31.de. Délka roku ve jmeovateli je uvedea: rok jako 365 dů (resp. 366 v přestupém roce); rok jako 36 dů.
Stadardy - kovece ombiace uvedeých možostí ACT/365 (aglická metoda) skutečý počet dů úrokového období (čitatel) a délka roku 365 (resp. 366) dů; ACT/36 (fracouzská či meziárodí metoda) skutečý počet dí v čitateli zlomku, ale délka roku (ve jmeovateli) se započítává jako 36 dů; 3E/36 (ěmecká či obchodí metoda) kombiaci započítáváí celých měsíců jako 3 dů (v čitateli) a délky roku (ve jmeovateli) jako 36 dů.
Příklad Na kolik se zúročí 1 tis. č při růzých stadardech a úrokové míře 1 % p.a. v období od 15.1.1996 do 7.9.1996, od 1.1.1997 do 3.3.1997 a od 29.1.1999 do 31.12. 1999.
Excell Počet dů při růzých stadardech Od Do ACT 3E 3A ACT/36 ACT/365 3E/36 3A/36 15.1.1996 7.9.1996 236 232 232,6556,6448,6444,6444 1.1.1997 3.3.1997 52 53 53,1444,1425,1472,1472 29.1.1999 31.12.1999 63 61 62,175,1726,1694,1722 při růzých stadardech ACT/36 ACT/365 3E/36 3A/36 1 655,56 1 644,81 1 644,44 1 644,44 1 144,44 1 142,47 1 147,22 1 147,22 1 175, 1 172,6 1 169,44 1 172,22
Excell - vzorce
Základí rovice pro jedoduché úročeí polhůtí Budoucí hodota Současá hodota = 1 = 1 + i ( + i ) Míra výosu i =
Příklad Půjčka ve výši 2 č se splácí měsíčěčástkou 1 č plus úrok s měsíčí úrokovou mírou 1% ze zůstatku. Jaká je celková úroková platba? Výsledek: 21
Příklad Půjčili jste si peíze. Věřitel Vám abíde 3 možosti spláceí: za 11 měsíců 2, za 8 měsíců 19, za 2 měsíce 2 a za 12 měsíců 18. terou možost zvolíte, čií-li běžá úroková sazba 16 % p.a.? Výsledek: 2. variata
Řešeí Přes současou hodotu = 1+ i 1744,19 1716,87 1746,53
Příklad Půjčili jste si 15 EUR a dům. Ročí úroková sazba je 8,5 %. Měsíčě budete splácet 128 EUR po dobu 25 let. Jakou hodotu domu zaplatí prví splátka (o kolik se síží dluh po prvím měsíci spláceí)? Výsledek: 145,5
Řešeí: ejprve zjistíme úrok ú = i 162,5 pak úmor 145,5
Příklad Zájemce má možost zaplatit za ákup pozemku okamžitě 5 EUR za rok 54 EUR. Hotovost může reivestovat při úrokové sazbě 7,2 % p.a. terá variata je pro ěj výhodější?
Řešeí 3 možosti ejčastěji PV = 1+ i Lépe okamžitě
Jedoduché úročeí předlhůtí - diskot - souvisí s eskotem směek a obchodováí s krátkodobými ceými papíry, - diskot je odměa ode de výplaty do de splatosti pohledávky - počítá se z budoucí hodoty pohledávky
Výpočet obchodího diskotu směečá suma diskotí sazba doba od eskotu do splatosti D = i d
Obchodí diskot Vyplaceá částka = D = (1 id ) Ekvivalece úrokových měr i d = i i 1 d i = + i 1 i d
Grafické zázorěí srováí dvou typů úročeí Jedoduché úročeí polhůtí Diskot 1 =.(1 + i.t) ob = 1.(1 - d.t) ú 1.i 1.d D 1 1 Jaká doba uplyula 1 Jaká doba zbývá do
Příklad Baka odkoupila směku zějící a 23 č s dobou splatosti 1 rok. Jakou byla diskotí sazba baky, jestliže za směku vyplatila 2 č? Možosti: 8%, 1%, 15%, žádá Výsledek:???
Řešeí Diskotí sazba i d = Míra výosu i =
Příklad Potřebujete získat kapitál od baky a 1 rok. Baka vám abízí 2 možosti: a) úvěr polhůtě úročeý za úrokovou sazbu 8% p.a., b) odkup směky, kterou vlastíte, za diskotí sazbu 7,5% p.a.. Směka je splatá za rok. Rozhoděte, co je pro vás výhodější. Výsledek: i ekv = 8.11% ebo i d(ekv) = 7,41%
Řešeí Spočteme odpovídající diskotí sazbu pro i = 8 % a porováme s daou diskotí sazbou 7,5 % (7,41%) i d i = 1+ i Spočteme odpovídající úrokovou sazbu pro id = 7,5 % a porováme s daou polhůtí sazbou 8% (8,11%) i i = 1 i d d
Příklad Stavebí firma vydala směku zějící a částku 1 65 se splatostí 1.6. Obchodí společost zakoupila tuto směku 8.3. při diskotí sazbě 9,5 %. 5.4. směku prodala při diskotí sazbě 9,3 %. Jaká byla míra zisku pro tuto obchodí společost. Výsledek: 1,13% p.a.
Řešeí Spočteme ákupí ceu směky částku po srážce obchodího diskotu (mezi 8.3. a 1.6. uplye 85 dů): 1 612 99 Spočteme prodejí ceu směky částku po srážce obchodího diskotu (mezi 5.4. a 1.6. uplye 57 dů): 1 625 74 Výosost i = = 1 i d t 36
Složeé úročeí U jedoduchého úročeí úroky arůstají lieárě, evzikají úroky z úroků U složeého úročeí se úroky přičítají k původímu kapitálu a úročí se ze zúročeého kapitálu Úročí se pouze polhůtě
Budoucí hodota kapitálu Výpočet složeě úročeého kapitálu předpoklady: a) úrokovací období je jede rok b) ukládá se celý počet úrokových období (let) Poecháme stejé začeí
Rok Stav kapitálu a koci roku 1 2 3-1 1 = +.i 2 = 1 + 1.i = 1.(1 + i) 3 = 2 + 2.i = 2.(1 + i) -1 = -2 + -2.i = -2.(1 + i) =.(1 + i) =.(1 + i) 2 =.(1 + i) 3 =.(1 + i) -1
Vzorce Základí rovice pro složeé polhůtí úročeí ( i) = 1+ = (1 + i) i = 1
Příklad Jaká byla úroková sazba z vkladu, jestliže částka 2 mil. č uložeá po dobu 2 let vzrostla a 2 163 2 č. Úroky byly připisováy jedou ročě a poecháy a účtu a dále úročey stejou sazbou. Výsledek: 4% Řešeí: i = 1
Předpoklady a) úrokovací období je jede rok - X b) ukládá se celý počet úrokových období (let) V praxi úrokové období může být kratším ež 1 rok, tz. Úroky jsou připisováy častěji ež jedou za rok Úrokové období může být pololetí, čtvrtletí, měsíčí, Stav kapitálu a koci roku, když během 1 roku úroky jsou připisováy m-krát, bude urče ásledově
Část roku 1 Stav kapitálu a koci příslušé části roku 1/m = +.i /m =.(1 + i/m) 2 3 m 2/m = 1/m + 1/m.i/m = 1/m (1+i/m) 3/m = 2/m + 2/m.i/m = 2/m.(1+i/m) m/m = m-1/m + m-1/m. i/m= -1 (1+i/m) =.(1+1/m) 2 =.(1+ i/m) 3 =.(1+i/m) m
Budoucí hodota - obecěji m/m = 1, stav kapitálu za let, je-li úrok připisová m-krát za rok = i 1 + m m* Z toho i ostatí veličiy stejě
Příklad Podikatel dluží bace 2 č splatých za rok a 3 č splatých za 2 roky. Dispouje dostatečým obosem, který eí schope lépe ivestovat, proto okamžitě vyrová dluh. olik zaplatí, jestliže baka účtuje 15 % úrokovou sazbu s půlročím úročeím a dovoluje předčasé splaceí bez sakcí? Výsledek: 397 76,-
Řešeí Sečteme současou hodotu prví a druhé splátky. 2 1 +,15 2 3 = + = 2 4 1 +,15 2 397 76,68
Příklad Osoba si půjčila 5 č. Dluh má splatit formou dvou stejých splátek za rok a za dva roky. Jaká je velikost splátek při úrokové sazbě 6 % p.a. a ročím připisováí úroků? Výsledek: 27 272,-
Řešeí 3 možosti současá hodota budoucí hodota míra výosu 5 = a 1+ i + a ( 1+ i) 2
Příklad Jaký byl počátečí kapitál a úroková sazba, při které byl ulože, víme-li, že po roce byl jeho stav 1 a po dvou letech 11? Řešeí: 1 = (1 + i) 1 ( ) 2 11 = + i z toho i, kapitál
Zdaěí úroku pro jedoduché úročeí pro složeé úročeí d i i + = ( ) i d + = ) (1 1 m m d i + = ) (1 1
Příklad terá alterativa je pro uložeí kapitálu a 3 roky při ročím připisováí úroků ejvýhodější: eměá úroková sazba 5 % p.a., proměé zúročeí, stoupající meziročě ze 4 % p.a. a 5 % p.a. resp. 6 % p.a., pevé zúročeí 4 % p.a. a a koci 3. roku bous ve výši 3 % z uspořeéčástky? Úroky i bous jsou ve všech třech případech zdaěy patácti procety. Výsledek: 3. variata
Řešeí porováme variaty = 3 ( 1 +,5,85) = 1, 133 ( 1 +,4,85) ( 1 +,5,85) ( 1 +,6,85) = 1, = 13292 = 3 ( 1 +,4,85) ( 1 +,3,85) = 1, 1337
Předpoklady a) úrokovací období je jede rok - X b) ukládá se celý počet úrokových období (let) - X Nechť počátečí kapitál je ulože a dobu, kdy je kladé, ale eí celéčíslo lze vždy zapsat takto: = [] + ( []) de: [] je celáčást čísla, začí počet ukočeých období, kdy je kapitál ulože [] je desetiáčást čísla, začí ecelou část jedoho období ( []) < 1
Smíšeé úročeí apitál a koci celých [] období se úročí složeě, tedy: [] =.(1 + i) [] oečý stav kapitálu je kapitál a koci [] celých období [] jedoduše zúročeý a zbytek ( []) období, tedy: =.(1 + i) [].{1 +( []).i} Pozámka: Nezapomeout upravit úrokovou míru tak, aby odpovídala délce období.
Příklad: olik čií splatá částka, je-li uložeo 3 tis. č a 3 roky a 8 měsíců při eměé úrokové sazbě 5,5% p.a.. Úrokové období je: a) ročí b) pololetí a c) čtvrtletí. Řešeí: a) = 3tis.(1 +,55) 3.(1 +,55.8/12) = 36518,91 č b) = 3tis.(1+,55/2) 3.2+1.(1+(,55/2).(2/6)) = 3666,4 č
c) = 3tis.(1+,55/4) 3.4+2.(1+(,55/4).(2/3)) = 36 653,57 č d) = 3tis.(1+,55/4) (3.12+8)/3 = 36 652,81 č c) d) =,76 č