Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že je výsledek pokusu závislý na dalších nám neznámých podmínkách, které můžeme označit jako náhodné činitele. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka S náhodnými jevy můžeme pracovat jako s množinami a využít množinových operací
Množinová symbolika Symbolem Ω označíme celý množinový prostor (ve statistice jev jistý). Symbolem A označíme množinu (část prostoru, jev. aje prvkem množiny A, zapíšeme: a єa a ; a 2 ;a jsou prvky množiny A zapíšeme jako A є{a ; a 2 ; a } Symbolem {ø} nebo ø označíme prázdnou množinu (jev nemožný) Pokud vždy, když nastane jev A, nastane i jev B, pak říkáme, že: jev A implikuje jevb, resp. jev Amá za následek jev B: A >B znamená to také, že A je podmnožinou B: A B Pokud nastane alespoň jeden z jevů A, B, jedná se o sjednocení jevů: A UB Pokud nastanou jevy A, Bsoučasně, mluvíme o průniku jevů: A B Jev A nazveme opačný (komlementární, doplňkový) k jevu B, když platí: A UB Ω a současně A B ø Doplněkk jevu A značíme A nebo Ā
Příklad O náhodných jevech A a B jsou známy následující skutečnosti: (a) Pravděpodobnost, že nastane alespoň jeden z jevů A a B, je /4. (b) Pravděpodobnost, že oba jevy A a B nastanou současně, je /4. (c) Pravděpodobnost, že nenastane jev A, je 2/. Určete pravděpodobnosti obou jevů A a B. Jaká je pravděpodobnost, že nastane jev A a přitom nenastane jev B? A B ¼ 2 ) ( 4 ) ( 4 ) ( A P B A P B A P 2 2 8 2 4 ) ( 2 4 )) ( ( 2 ) ( B P B A A P A P Zadání: Řešení: ¼ /2 2/
Definice pravděpodobnosti Elementární jevy jsou takové jevy, které už dále nemůžeme rozložit. Složené jevy se skládají alespoň ze dvou jevů elementárních. KLASICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI Mějme pokus, který může vykázat n-různých stejně možných výsledků. Mluvíme o nich jako o elementárních jevech. Pokud m z n výsledků má za následek jev A a zbylých n - m výsledků jevavylučuje,pakpravděpodobnostjevuajerovna: P(m/n STATISTICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI Při dostatečně velkém opakování téhož náhodného pokusu se podíl sledovaného jevu ustaluje kolem nějaké konstanty. Tuto konstantu nazveme pravděpodobností sledovaného jevua výrok za jednu z mnoha formulací ZÁKONA VELKÝCH ČÍSEL.
ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL Jestliže jsou pokusné řady dosti dlouhé a dostatečně často se opakují, lze dosáhnout vypočítané pravděpodobnosti v průměru těchto pokusů s libovolnou přesností. Pravděpodobnost, že v ruletě padne červenáje 0,5 a černáje také 0,5. Společně dávají jev jistý není možné, aby padla jiná barva. V tomto případě pravděpodobnosti sčítáme: 0,5 + 0,5,0 Pokud padne x po sobě červená, pravděpodobnost tohoto jevu vypočteme násobením: 0,5*0,5*0,5 0,5 0,25 Pravděpodobnost, že opět hodíme v dalším hodu červenou, se s každým dalším hodem zmenšuje: pravděpodobnost, že hodíme 5x po sobě červenouje asi 0,0, 0x po sobě červenou je už méně než 0,00,... Tento zákon přesto neříká nic o tom, že jestliže desetkrát po sobě padla červená, musí co nejdříve padnout černá, protože je zralá, ba dokonce přezrálá. Ani karty ani ruleta ani hrací automaty nemají paměť, každý pokus je nezávislý na předchozím.
Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi PRAVDĚPODOBNOSTÍ nazveme reálnou funkci, která každému náhodnému jevu přiřadí nezáporné reálné číslo z intervalu < 0, > a platí pro ni: pravděpodobnost jistého jevu je pravděpodobnost nemožného jevu je 0 pravděpodobnost opačného jevu k jevu A je jsou-li A a B neslučitelné jevy, pak jsou-li A a B dva libovolné jevy, pak je-li A B, pak P( P( P ( A P( + P( mluvíme v tomto případě také o implikaci: A implikuje B zapisujemejakoa>b aznamenáto,žeamusíbýtpodmnožinab opačně: B>Abyznamenalo,žeBjepodmnožinaA P( A ) P( P( A P( + P( P( A P( B P( P( A
Podmíněná pravděpodobnost Mějme dva jevy A ab takové, že P( > 0. Jev A nastává za podmínky, že nastane jev B. Podmíněná pravděpodobnost, že nastane jev A se definuje jako P( A P( A P( Nezávislost jevů Mějme dva jevy A ab takové, že P( > 0 a P( > 0. Nechť platí a zároveň, pak jevy A ab jsou na sobě nezávislé. Jinak vyjádříme, když dosadíme např. za P(B a vynásobíme P(: P ( A P( P ( B P( P( A P( P( P( A P( P(
Příklad: Nezávislost jevů V květinářství začali prodávat sezónní truhlíkové květiny a první den prodali 70 pelargonií a fuchsií 50. Červených pelargonií prodali 0 a červených fuchsií 20. Pokud náhodně vybereme jednu z prodaných květin, jaká je pravděpodobnost, že to bude červená fuchsie? Určete, zda jev A: náhodně vybraná květina je fuchsie a jev B: náhodně vybraná květina je červená, jsou nezávislé. Řešení : prodaných pelargónií: 70 prodaných fuchsií: 50 Celkem květin: 20 Jevy A a B jsou nezávislé, když platí: P( A P( P( Jev A: p( 50/20 5/2... pravděpod., že prodaná květina je fuchsie Jev B: p( (0+20)/20 5/2... pravděp., že prodaná květina je červená pravděpodobnost vybrání červené fuchsie: p(a 20/20 /6 0,67 p( * p( 5/2 * 5/2 25/44 0,74 Jevy A ab nejsou nezávislé
Příklad: Nezávislost jevů Řešení 2: prodaných pelargónií: 70 z toho 0 červených prodaných fuchsií: 50 z toho 20 červených Celkem květin: 20 jev A: náhodně vybraná květina je fuchsie jev B: náhodně vybraná květina je červená Jevy jsou nezávislé, když platí 20 P(A 20 2 P(A 0,4 P( 50 5 20 50 5 P( 0,466 20 2 Jevy A a B nejsou nezávislé P ( A P( a zároveň P ( B P( 20 P(B 20 2 P(B 0,4 P( 50 5 20 5 P( 0,466 2
Násobení pravděpodobností Uvažujme jevy A, A 2,, A n takové, že P(A A 2 A n- ) > 0. Pak lze vypočítat pravděpodobnost, se kterou nastanou všechny jevy současně jako P(A A 2 A n ) P(A )P(A 2 A )P(A A 2 A ) P(A n A A 2 A n- ) Příklad: Paní Smithová se přepravuje za dcerou postupně třemi leteckými společnostmi.. letecká společnost garantuje riziko max. %, že ztratí její zavazadlo. 2. letecká společnost garantuje riziko max. 2%, a. letecká společnost maximálně %, že ztratí její zavazadlo.. Vypočtěte, jak velké je riziko, že se její kufr ztratí. 2. Vypočtěte s jakou pravděpodobností kufr ztratila. letecká společnost za předpokladu, že se kufr ztratil. Vypočtěte, s jakou pravděpodobností by jej ztratila 2. a. letecká spol. 4. Zkontrolujte bod 2 a pomocí jevu jistého
ZÁKONY PRAVDĚPODOBNOSTI Zákony pravděpodobnosti jsou zcela zvláštního druhu snášenlivé pružné nezavrhující zcela pošetilé krajnosti dlouhodobě spolehlivé důvěryhodné Příklad: házení mincí pravděpodobnost, že padne hlava nebo orel je stejná p 0,5 jistotu, že padne jeden z těchto jevů vyjádříme p házíme-li víckrát, jedná se o nezávislé pokusy, pravděpodobnost výsledných kombinací se násobí: pravděpodobnost, že padne třikrát po sobě hlava: 0,5 * 0,5 * 0,5 0,25 celkem 8 kombinací: HHH, HHO, HOH, OHH, HOO, OHO, OOH, OOO + + + 8 8 x 0,25
POČET PRAVDĚPODOBNOSTI Pravděpodobnost, že nastane určitá kombinace, závisí na poměru četností dané kombinace a všech kombinací, které mohou nastat. Názorným zobrazením je model římské kašny, kde voda odtékající do další kašny je rovnoměrně rozdělena vpravo a vlevo Pravděpodobnost se dělí analogicky jako teče voda na polovinu, na čtvrtiny, osminy, šestnáctiny,... zlomek mocnin čísla 2 / 2 / 2 / 4 2 / 4 / 4 / 8 / 8 / 8 / 8 / 6 4 / 6 6 / 6 4 / 6 / 6 Je to dodnes princip hracích automatů: kuličky padají do prostředních přihrádek častěji než do krajních
POČET PRAVDĚPODOBNOSTI - binomické koeficienty Podobně odvodíme Binomické KOEFICIENTY někdy neprávem nazývané Pascalův trojúhelník jedničky po obvodu, uvnitř součet čísel vpravo a vlevo z horního řádku: 2 4 6 4 5 0 0 5 Ze školní matematiky známe vzorec: (a+b) 2 a 2 +2ab + b 2 analogicky pro (a+b) a + a 2 b + ab 2 + b Odpovídá kombinačním číslům (a+b) 5 a 5 + 5a 4 b + 0a b 2 + 0a 2 b + 5ab 4 + b 5 5 0 5 5 2 5 5 4 5 5
POČET PRAVDĚPODOBNOSTI - binomické koeficienty Matematické vyjádření pravděpodobnosti, že při 5tazích z karet s vracením vytáhneme srdcovou kartu (jev a) nebo naopak některou z ostatních karet (b) (a+b) 5 a 5 + 5a 4 b+ 0a b 2 + 0a 2 b + 5ab 4 + b 5 Co představují jednotlivé části vzorce? Rozložíme na elementární jevy: a pravděpodobnost, že táhneme srdcovou kartu b jev doplňkový (opačný) - netáhneme srdcovou kartu (a+b).. jev jistý (P) 5. mocnina pokus provedeme v pěti tazích za rovnítkem a 5 5 srdcových karet (táhli jsme srdcovou při každém z pěti tahů) 5a 4 b 5x může nastat kombinace, kdy srdcovou kartu táhneme ve čtyřech tazích (a 4 ), v jednom tahu jsme táhli jinou než srdcovou kartu (b) 0x... 0x dvě kombinace: srdcové + 2 jiné nebo 2 srdcové a jiné 5x... srdcová a 4 jiné x... žádná vytažená karta nebude srdcová
POČET PRAVDĚPODOBNOSTI - binomické koeficienty pravděpodobnost jevu a 0,25(srdce) a jevub 0,75 (piky, kara, listy) Výpočet levé strany vzorce: a 5 +5a 4 b+0a b 2 + 0a 2 b + 5ab 4 + b 5 a 5 (0,25) 5 0,00098 0,000977 0,00 5a 4 b 5*(0,25) 4 *0,75 0,0465 0,04648 0,05 0a b 2 0*(0,25) *(0,75) 2 0,08789 0,08789 0,088 0a 2 b 0*(0,25) 2 *(0,75) 0,2667 0,26672 0,264 5ab 4 5*0,25*(0,75) 4 0,955 0,95508 0,96 b 5 (0,75) 5 0,27 0,2705 0,27 ------------------- ----------------------- -------------,0000,00000,00 Součet všech možných jevů je jev jistý - nastane s pravděpodobností Červeně - chyba zaokrouhlení. Podle zaokrouhlení rozvoje výsledků za desetinnou čárkou dostaneme také součet pravděpodobností všech možných jevů(jev jistý) s přesností na příslušný počet desetinných míst.
POČET PRAVDĚPODOBNOSTI - binomické koeficienty Binomické koeficienty v podobě kombinačního čísla udávají počet kombinací, které mohou nastat: Podrobněji se s tímto vzorcem seznámíme v Kombinatorice )! (!! k n k n k n