Meno a priezvisko: Škola: Predet: Školský rok/blok: / Skupina: Trieda: Dátu: Škola pre ioriadne nadané deti a Gynáziu Fyzika Teória Mechanické kitanie a vlnenie. Mechanické kitanie.. Úvod, základné pojy, kitavý pohyb V tejto kapitole sa oboznáie s ďalší pohľado na svet okolo nás. Budee sa zaoberať echanický kitaní a vlnení. Veľkú pozornosť si zasluhuje zvuk a javy s ní súvisiace. Po vhodení kaeňa do bazénu alebo do jazera, šíri sa z iesta dopadu kruhová vlna, ako na obrázku. Vlna sa tiež šíri pozdĺž hadice v záhrade, ak jej konco kitáe hore-dolu. Vlna na vodnej hladine a vlna na hadici sú dva bežné príklady vlnenia. Neskôr sa ôžee zaoberať aj inýi druhi vlnenia napríklad svetlo alebo vlnení ktoré patrí k letiaceu elektrónu. Zatiaľ sa však obedzíe na echanické vlnenie. Isto ste už sedeli na brehu jazera a zdalo sa vá, že vlny, ktoré sa šíria sero ku brehu, prinášajú naň vodu. Nie je to však celko tak. Vlny sa šíria istou rýchlosťou, zatiaľ čo časti vodnej hladiny iba kitajú okolo rovnovážnej polohy. Vlna nespôsobuje pohyb listu padnutého na hladinu v sere jej šírenia. List iba kitá okolo rovnovážnej polohy. Toto je všeobecná vlastnosť vlnenia. Vlnenie sa ôže šíriť na veľké vzdialenosti, ale prostredie (voda, hadica) koná iba obedzený pohyb bod prostredia kitá okolo rovnovážnej polohy. Vlnenie sa šíri bez toho, aby nieslo so sebou aj časti prostredia. Zdrojo vlnenia je teda kitanie, a je to zároveň kitanie, čo sa šíri prostredí a vytvára vlnenie. Ak zdroj kitá haronicky (časová závislosť je sínusoida s určitou frekvenciou) a prostredie je dokonale pružné, aj vzniknuté vlnenie je haronické. Ak sa na takéto vlnenie pozriee v ľubovoľno okaihu (napr. ak takéto vlnenie odfotíe), vlnenie á tvar sínusoidy. Na druhej strane, ak sa pozriee na pohyb jedného bodu, grafo závislosti výchylky z rovnovážnej polohy od času je tiež sínusoida.
Kitavý pohyb (echanické kitanie) je po pohyboch priaočiarych a krivočiarych tretí základný typo pohybu, s ktorý sa stretávae v prírode aj technickej praxi. Príklady kitavých pohybov sú napríklad pulz srdca, chvenie v bubienku ucha pri prijíaní zvuku, kyvadlo, piest autoobilu, vysielanie a príje signálu rozhlasu, televízie,.... Základný pojo je echanický oscilátor. Mechanický oscilátor je zariadenie, ktoré voľne kitá. Podienka, aby oscilátor kital voľne znaená, že á kitať bez vonkajšieho pôsobenia. Budee sa zaoberať aj situáciou, keď bude oscilátor kitať vplyvo vonkajšej sily, ale to nie je všeobecný prípad. Mechanický oscilátoro ôže byť srdce, pružina v autoobile, kyvadlo hodín, obil zavesený na šnúrke na krku, skokan bungee-jupingu,.... Rozlišujee dva špeciálne typy echanických oscilátorov. Ich špeciálnosť sa prejavuje v ich jednoducho opise. Ďalšie typy oscilátorov sú na opis výrazne koplikovanejšie.. Teleso zavesené na pružine kitanie je spôsobené silou pružnosti.. Kyvadlo kitanie je spôsobené tiažovou silou. Pre ďalší opis je dôležité poznať poje rovnovážna poloha. Rovnovážna poloha je taká poloha echanického oscilátora, pri ktorej sú všetky pôsobiace sily na oscilátor v rovnováhe. Je to poloha, v ktorej sa echanický oscilátor zastaví a saovoľne (t.j. bez konania práce z okolia) z nej nevyjde. Trajektóriou pohybu echanického oscilátora je buď úsečka alebo časť krivky. O úsečku sa jedná v prípade kitania telesa zaveseného na pružine. Časť kružnice opisuje napríklad kyvadlo hodín. Krivku opisuje napríklad skokan bungee-jupingu, ktorý koná zložitejší pohyb: kitá na pružine (pružno lane), ale zároveň sa kýve ako kyvadlo. Závislosť okažitej polohy kitajúceho telesa na čase zobrazujee ako časový diagra. Z neho vidieť, že:. Teleso prejde v rovnakých časových intervaloch rôzne dráhy kitavý pohyb je teda pohyb nerovnoerný.. Kitajúce teleso vždy po určitej dobe dospeje do rovnakej polohy. Periodicky sa opakujúca časť kitavého pohybu sa nazýva kit... Periodické deje, kitanie Dôležitý druho fyzikálnych dejov sú periodické deje sú to deje, pri ktorých sa fyzikálna sústava pravidelne dostáva do toho istého stavu charakterizovaného istýi fyzikálnyi veličinai. Najenší súbor stavov, ktorého opakovaní vznikne periodický dej, sa nazýva kit.
Kity echanického oscilátora (aj ľubovoľného periodického pohybu) je ožné charakterizovať poocou:. Periódy (doby kitu) T - čas, za ktorý prebehne jeden kit a oscilátor dospeje do rovnakej polohy ako v počiatočno čase; T s.. Frekvencie (kitočtu) f - je daná počto kitov za jednu sekundu. f ; T f s Hz T. V súvislosti s kitaní kyvadiel sa uvádza ešte doba kyvu. T Doba kyvu je čas, ktorý je rovný polovici periódy, t.j. platí:. Oscilátor teda prejde za jeden kyv polovičnú dráhu ako pri dráhe prejdenej za jeden kit. kit=kyvy. Príklady niektorých kitavých pohybov a ich frekvencií zobrazuje tabuľka: Periodický dej Ľudské srdce,5 Striedavý prúd v elektrickej sieti 5 Zvuk tónu a 44 f Hz Periodický dej Hz Tón časového signálu v rozhlase Kitanie kryštálu v hodinkách f Periodický dej f Hz Kitanie procesoru počítača. 9 3,3. 4 Signál družicovej televízie. 9 Perióda alebo doba kitu T je najkratšia doba, po ktorej sa dej periodicky opakuje. Jej jednotkou je jedna sekunda. Fyzikálny dej je periodický s periódou T, ak jeho charakteristická veličina je periodickou funkciou času, t.j. v(t) v( t) v( t kt) kde k je celé číslo. Prevrátená hodnota periódy je frekvencia f. Frekvencia je veličina, T ktoré určuje počet kitov za sekundu. Jednotkou je hertz Hz : f s Hz T. Jeden hertz je frekvencia periodického deja, ktorého perióda je s. Veličina f sa nazýva uhlová frekvencia. Periodické deje sa nazývajú kitanie. Presnejšie povedané, periodické deje sa nazývajú periodické kitanie a za kitanie vo všeobecnosti považujee aj niektoré neperiodické deje. V ďalšo, ak nepoviee ináč, budee kitanie chápať ako periodické kitanie. Kitajúca sústava sa nazýva oscilátor. Ak veličina podľa funkcie sínus, teda v v(t) ( t) v sin( t ) opisujúca kitanie závisí od času nazýva sa kitanie haronické a oscilátor sa nazýva haronický oscilátor. Hodnota nazýva aplitúda veličiny v, veličina t je fáza, je počiatočná fáza veličiny v. v sa Kitanie oscilátora, ktorý po dodaní energie ponecháe na seba, sa nazýva vlastné kitanie. Frekvencia (perióda) vlastného kitania sa nazýva vlastná frekvencia (perióda) oscilátora... Kitavý pohyb Špeciálny prípado kitania je kitavý pohyb. Kitavý pohyb je echanický pohyb sústavy charakterizovaný veličinai, ktoré sú periodickýi funkciai času. Fyzikálna sústava konajúca 3
kitavý pohyb sa nazýva echanický oscilátor napríklad hotný bod pohybujúci sa rovnoerne po kružnici, závažie na pružine, guľôčka na niti, tyč otáčavá okolo vodorovnej osi neprechádzajúcej ťažisko. Kitavý pohyb hotného bodu je pohyb, pri ktoro sa hotný bod pohybuje okolo tzv. rovnovážnej polohy tak, že kineatické veličiny opisujúce pohyb sú periodickýi funkciai času. Rovnovážna poloha je poloha, ktorej zodpovedá iniu potenciálnej energie. Kitavý pohyb hotného bodu kineaticky opisujee polohový vektoro r (t) bodu vzhhľado na rovnovážnu polohu. Ak hotný bod koná kitavý pohyb na priake, nazýva sa lineárny oscilátor napríklad závažie na pružine. Kitavý pohyb lineárneho oscilátora kineaticky opisujee okažitou výchylkou y (t) z rovnovážnej polohy, okažitou rýchlosťou v (t) a okažitý zrýchlení a(t). Graf závislosti okažitej výchylky od času je časový diagra kitavého pohybu...3 Haronické kitanie Kineaticky opísať kitavý pohyb znaená vyjadriť okažitú polohu echanického oscilátora v závislosti od času. Budee opisovať telesá zanedbateľných rozerov, ktoré kitajú v sere osi y a ktoré ajú rovnovážnu polohu v počiatku súradnicovej sústavy. V prípade opisu kitavého pohybu telesa, ktorého rozery nie je ožné v zvolenej sústave zanedbať, je rozunejšie opisovať pohyb ťažiska tohoto telesa a nie celého telesa. Ak echanický oscilátor kitá, je jeho okažitá poloha určená súradnicou y, ktorá sa nazýva okažitá výchylka. Okažitá výchylka sa ení v čase v závislosti na funkcii sinus nadobúda kladné a záporné hodnoty. Absolútna hodnota najväčšej výchylky y. sa nazýva aplitúda výchylky (axiálna výchylka) Fakt, že grafo závislosti okažitej výchylky od času je sínusoida je ožné overiť napríklad tak, že rozkitáe závažie na pružie a budee s ní kráčať. Takto dostanee z pohľadu kolého k seru pohybu oscilátora peknú sínusoidu. Vzťah pre okažitú výchylku nájdee porovnaní kitavého pohybu s pohybo po kružnici. Gulička pevne pripevnená na rotujúcej platni aj gulička na pružine vrhajú na tienidlo tieň. Zariadenie je ožné synchronizovať tak, že tiene oboch guličiek na tienidle sa pohybujú zhodne (tiene sa prekrývajú). Kitavéu pohybu teda zodpovedá prieet pohybu rovnoerného pohybu po kružnici do zvislej roviny. Poocou tejto úvahy je ožné ľahko odvodiť rovnicu pre okažitú výchylku. 4
Na obrázku je znázornený hotný bod M, ktorý sa pohybuje po kružnici stálou uhlovou rýchlosťou s veľkosťou. Okažitá poloha bodu M je určená polohový vektoro r, ktorý zviera s osou x uhol. Hotný bod M bol v čase t v bode X, teda v toto čase je. V čase t platí t. Prieet okažitý ch výchyliek vektora r do osi y je vektor y určujúci okažitú výchylku hotného bodu. Pre okažitú výchylku y (veľkosť vektora y ) platí: y r.sin Zrovnáe tieň hotného bodu M s tieňo kitajúcej guličky zavesenej na pružine. Ak sa n echádza hotný bod M v najvyššo bode kružnice, je kitajúca gulička (ktorej pohyb je s bodo M synchronizovaný) práve v aplitúde svojho pohybu. Preto poloeru r zodpovedá aplitúda y. Je ožné pre okažitú výchylku y napísať: y y.sint. Uhol sa nazýva fáza kitavého pohybu a určuje jednoznačne okažitú výchylku. V prípade kitavých. pohybov sa používa pre terín uhlová frekvencia a platí.. f T Graf zobrazený na obrázku zodpovedá kitavéu pohybu, ktorý á aplitúdu výchylky a periódu 4 s. Okažitú výchylku v závislosti na čase je ožné opísať rovnicou y.sin t sin t 4 V týchto rovniciach býva zvyko nedosadzovať za hodnotu 3,4596..., ale nechať v rovnici sybol. Je to výhodnejšie pre ďalšie výpočty, pre zakreslovanie grafov,.... Jedinou neznáou (preennou) v tejto rovnici je čas t. Pokiaľ by se potrebovali vypočítať n apríklad okažitú výchylku v čase t, 5s, stačí do rovnice dosadiť y.sin t. sin.,5.sin.,4 4 4 5
Periodický pohyb, ktorého grafo závislosti okažitej výchylky na čase je sínusoida, sa nazýva haronický pohyb. Pod sínusoidou rozuiee základný graf funkcie po ľubovoľnej ose. y sin x vrátane jeho ľubovoľného posunu..3 Haronický kitavý pohyb rýchlosť a zrýchlenie haronického kitavého pohybu Najjednoduchší kitavý pohybo hotného bodu na priake je haronický kitavý pohyb. Je to taký kitavý pohyb, pri ktoro okažitá výchylka y (t) závisí od času podľa funkcie sínus, teda t) y sin( t ) y( y je aplitúda okažitej výchylky y, veličina je uhlová frekvencia, je počiatočná kde fáza. Časový diagra haronického kitavého pohybu je sínusoida. Ak y, hotný bod je v rovnovážnej polohe, ak y y, hotný bod je v krajnej polohe. Pre okažitú rýchlosť a zrýchlenie platí: t y t v cos a ( t) y( t) y sin( t ) Okažité zrýchlenie á opačný ser ako okažitá výchylka. V rovnovážnej polohe je okažitá rýchlosť axiálna, á hodnotu v y, v krajnej polohe je v. Okažité zrýchlenie á aplitúcu v krajnej polohe, v rovnovážnej polohe a. a y Rýchlosť kitavého pohybu telesa je axiálna vtedy, keď teleso prechádza rovnovážnou polohou (t.j. y ). Naopak, nulová rýchlosť je v bodoch, v ktorých dosah uje oscilátor axiálnu výchylku, t.j. y y. Rovnicu pre rýchlosť kitavého pohybu odvodíe opäť na základe analógie s pohybo po kružnici. Vektor rýchlosti á ser dotyčnice v každo bode trajektórie a veľkosť v je prieeto vektoru v do osi y. v rovnoerného pohybu po kružnici r. Rýchlosť kitavého pohybu Z obrázku vyplýva: v v cos r cost y cost v cost, kde v y je axiálna veľkosť rýchlosti kitajúceho oscilátora. a Vektor zrýchlenia rovnoerného pohybu po kružnici seruje do stredu kružnice a á veľkosť a r. Zrýchlenie a kitavého pohybu je prieeto vektora a do osi y. Vektor a á opačný ser ako je ser vektora y, preto á vektor zrýchlenia opačné znaienko ako okažitá výchylka y. Zrýchlenie kitajúceho bodu ieri vždy do rovnovážnej polohy do polohy, v ktorej sa pohyb nakoniec ustáli. Do tejto polohy ťahá oscilátor sila, ktorej ser je (podľa. Newtonovho zákona) rovnaký ako ser zrýchlenia, ktoré danéu telesu (kitajúceu bodu) udeľuje. 6
A okažitá výchylka sa eria vždy z rovnovážnej polohy - teda opačne ako je ser zrýchlenia. Na základe obrázku dostávae: a a sint r sint y sin t y Zrýchlenie haronického pohybu je priao úerné okažitej výchylke a á v každo okaihu opačný ser ako je ser okažitej výchylky. Zrýchlenie je axiálne práve vt edy, keď y y, nulové je v rovnovážnej polohe. Použití diferenciálneho počtu je ožné vzťah pre závislosť rýchlosti resp. zrýchlenia od času odvodiť jednoduchšie. Stačí si uvedoiť, že pre veľkosť rýchlosti platí vzťah pohybu oscilátora ôžee písať: dy d v y sint y cost dt dt dv d a y cost y sin dt dt zrýchlenia je ožné písať: t ds v dt. V prípade. Analogicky pre veľkosť..4 Fáza haronického kitavého pohybu Nie všetky kitania začínajú vykonávať svoj kitavý pohyb v počiatočno okaihu z rovnovážnej polohy. Pri takoto kitaní je zrejé, že oscilátor prechádzal rovnovážnou polohou pred začiatko erania času prechádzal rovnovážnou polohou pred začiatko erania času teda prechádzal rovnovážnou polohou o čas skôr. t Inýi slovai: Oscilátor se najskôr rozkitali a až neskôr po čase t se spustili záznaové zariadenie, ktoré zaznaenáva jeho okažitú výchylku v závislosti od času. Môžee napísať vzťah: y y sin. t t y sin. t. t y sin t. 7
kde je počiatočná fáza kitavého pohybu, ktorá určuje hodnotu okažitej výchylky (rýchlosti, zrýchlenia) v počiatočno okaihu. Poloha hotného bodu konajúceho rovnoerný pohyb po kružnici by bola znázornená vektoro, ktorý zviera s osou x uhol v čase t. Pozn.: Podľa potrieb označujee počiatočnú fázu kitavého pohybu t alebo. Z grafu na obrázku ôžee určiť čas, v ktoro oscilátor prechádzal rovnovážnou polohou, poerne jednoducho. Stačí si uvedoiť, že arguent gonioetrickej funkcie usí byť v to okaihu nulový, t.j. usí platiť t. Odtiaľ t. Súvislosť kitavého pohybu s rovnoerný pohybo po kružnici sa využíva k sybolickéu znázorneniu veličín kitavého pohybu (periodických dejov). Veličina je znázornená vektoro, ktorého dĺžka je úerná veľkosti veličiny, a poloha v pravouhlej sústave súradníc je určená počiatočnou fázou veličiny. Toto sybolické znázornenie veličín kitavých dejov sa nazýva fázory, ktoré sa znázorňujú vo fázorovo diagrae. S fázori pracujee rovnako ako s vektori. Po definovaní počiatočnej fázy kitavého pohybu ôže napísať skôr odvodené vzťahy nasledovne: y( t) y sin( t ) v t y cost a( t) y( t) y sin( t Počiatočná fáza výchylky, rýchlosti a zrýchlenia sú rovnaké! ) Fázový rozdiel Ak ajú dve haronické veličiny rovnakú uhlovú frekvenciu a rôzne počiatočné fázy a, ôžee určiť ich fázov ý rozdiel : t t Fázový rozdiel používae pre posúdenie vzájoných vzťahov fyzikálnych veličín (nielen) kitavého pohybu. Na základe odvodených vzťahov závislosti okažitej výchylky od času, veľkosti okažitej rýchlosti od času, veľkosti zrýchlenia od času a na základe vlastností gonioetrických funkcií ô fá vo posunutá o žee písať, že napríklad rýchlosť je zo vzhľado na výchylku. Existujú špeciálne prípady fázových rozdielov:. Ak k ; N ( k ) k - obe veličiny ajú rovnakú fázu k N. Ak ; - obe veličiny ajú opačnú fázu Príklad: Napíšte rovnicu haronického kitavého pohybu s aplitúdou výchylky c, periódou,s o a začiatočn u fázou 6...5 Grafy opisujúce pohyb echanického oscilátora Pre jednoduchšie pochopenie a zobrazenie vzájoných väzieb sú na obrázku znázornené grafy, ktoré vyjadrujú časovú závislosť veličín charakterizujúcich echanický oscilátor: 8
. y( t) y sin( t ) graf závislosti okažitej výchylky od času. v t y cost graf závislosti okažitej rýchlosti od času 3. a( t) y( t) y sin( t ) graf závislosti okažitého zrýchlenia od času Obrázok je zakreslený pre tieto hodnoty: T 4s ; aplitúda výchylky ; počiatočná fáza. y V tabuľke sú uvedené význačné hodnoty okažitej výchylky, veľkosti okažitej rýchlosti a veľkosti okažitého zrýchlenia v ráci jednej periódy. Časové okaihy sú počítané pre všeobecný prípad ak rovnica okažitej výchylky á tvar y t) y sin( t ). Z nej je t ( ožné vypočítať čas priech odu echanického oscilátora rovnovážnou polohou (t.j. okaih, ked y po prvý krát bude ): sin( t ), odtiaľ: sin( t ). Z vlastnosti funkcie sínus vyplýva y y t, odkia ľ pre čas priechodu echanického oscilátora rovnovážnou polohou dostávae: t. Maxiálne hodnoty uvedené v tabuľke pri čítaní daného riadku postupne striedajú znaienka: T 4 Časový okaih (v jednej perióde) T 3T 4 T Okažitá výchylka nulová axiálna nulová axiálna nulová Veľkosť okažitej rýchlosti axiálna nulová axiálna nulová axiálna Veľkosť okažitého zrýchlenia nulová axiálna nulová axiálna nulová..6 Energia haronického kitavého pohybu Uvažuje hotný bod s hotnosťou konajúci haronický kitavý pohyb s rovnicou y t y t. V čase t á hotný bod kinetickú energiu ( ) sin( ) E k v y.cos t Ak hladinu nulovej potenciálnej energie zvolíe v rovnovážnej polohe, tak potenciálna energia v čase bude t 9
E p ky y. sin t Poto celková echanická energia hotného bodu konajúceho haronický kitavý pohyb bude E E k E p y Pri haronicko kitavo pohybe je celková echanické energia stála, ení sa iba kinetické energia na potenciálnu a naopak. Uvedený poznatok platí iba vtedy, ak na oscilátor okre sily, ktorá spôsobuje haronický kitavý pohyb, nepôsobí žiadna iná sila. Na reálne oscilátory pôsobia aj iné sily, napríklad sila trenia, sila odporu prostredia, atď. Tieto sily spôsobujú, že echanická energia oscilátora sa ení na iné fory energie. S úbytko echanickej energie súvisí zenšovanie aplitúdy kitavého pohybu. Kitavý pohyb, ktorého aplitúda výchylky sa s časo zenšuje, sa nazýva tlený kitavý pohyb. Vlastné kitanie reálneho oscilátora je vždy tlené. Tlené kitanie je vždy neperiodické kitanie. Periodická preena energie Pri haronicko kitaní dochádza k periodický preená energie oscilátora. V okaihu priechodu rovnovážnou polohou á oscilátor axiálnu veľkosť rýchlosti a teda aj axiálnu kinetickú energiu. V okaihu, keď dosiahne krajné polohy svojho pohybu, á nulovú rýchlosť a axiálnu hodnotu potenciálnej energie (potenciálna energia pružnosti pre teleso na pružine, potenciálna energia polohy pre kyvadlo). F ky Zavesení telesa na pružinu v rovnovážnej polohe vo výške h získa oscilátor kľudovú potenciálnu energiu ťiažovú (zdvihnutí telesa do výšky h ) a pružnosti (deforácia E pt pružiny). Potenciálna energia pružnosti sa rovná práci spotrebovanej pružin ou pri predĺžení o dĺžku l. Pri tejto deforácii pôsobiaca sila postupne rastie, až do svojej axiálnej hodnoty k. l. Práca je rovná obsahu trojuholníka v grafe, teda: E pt E pr k l Vzhľado k tou, že pre tiažov ú potenciálnu energiu platí vzťah E pt gh, energia E k l gh zavesení telesa predĺži o l. je pokojová. Zdvihnutie telesa do výšky h a zavesenie na pružinu, ktorá sa po Ak uvediee echanický oscilátor do kitavého pohybu, jeho celková energia sa zväčší o energiu kitavého pohybu. Pri určitej okažitej výchylke á oscilátor výchylku y a veľkosť okažitej rýchlosti v. Pre jeho celkovú energiu ôžee písať: E celková g ( h y) k( l y) v
Fakt, že sa líši znaienko okažitej výchylky y v tvare výrazu potenciálnej energie pružnosti a tiažovej potenciálnej energie, vyplýva z fyzikálnej podstaty probléu. Ak rastie tiažová potenciálna energia oscilátora, závažie na pružine stúpa vyššie a zenšuje sa teda predĺženie pružiny. Pri poklese tiažovej potenciálnej energie, závažie klesá dole a výchylka pružiny sa zväčšuje. Tento výraz zjednoduše za predpokladu využitia podienky platiacej v rovnovážnej polohe:. g k. l : E celková gh k( l) ky v E ky v Ak teraz do vzťahu dosadíe okažité hodnoty výchylky a rýchlosti, dostanee: E celková E ky v E ky sin t v cos t E ky E v konšt. Na odvodenie se využili tieto vzťahy: v y a k. Odvodený vzťah platí všeobecne pre všetky typy echanických oscilátorov. Výraz predstavuje axiálnu hodnotu potenciálnej energie, výraz ky v axiálnu kinetickú energiu oscilátora. Pri haronicko kitavo pohybe sa periodicky ení potenciálna energia kitania na energiu kinetickú a naopak. Celková energia oscilátora je konštantná. Príklad: Hotný bod koná haronický kitavý pohyb určený rovnicou čase je jeho kinetické energia tri krát väčšia ako potenciálna? y( t) y sin(6t ). V ktoro