4.2. Lineární rovnice s jednou neznámou, její řešení a ekvivalentní úpravy

Transkript

1 4. Lineární rovnice 8. ročník 4. Lineární rovnice 4.. Rovnost. Vlstnosti rovnosti. Rovnost v ritmetice vzth mezi dvěm číselnými výrzy Př = 0 + Skládá se z : levé strny rovnosti prvé strny rovnosti rovnítk znku rovnosti Nerovnost v ritmetice vzth mezi dvěm číselnými výrzy Př Skládá se z : levé strny nerovnosti prvé strny nerovnosti nerovnítk znku nerovnosti ( můžeme používt tké znky : < > ) Vlstnosti rovnosti : ) refleivnost kždý výrz se rovná sám sobě = Př. 7 = 7 b) symetričnost jestliže = b, pk b = Př = = c) trnzitivnost jestliže = b b = c, pk = c Př. 7 + = 8 8 = = Lineární rovnice s jednou neznámou, její řešení ekvivlentní úprvy Rovnice v lgebře vzth mezi dvěm lgebrickými výrzy Př. 5 = 9 + rovnice s jednou neznámou 5 = 9y + rovnice se dvěm neznánými ( proměnnými ) y - proměnné 5 = rovnice neznámá 4 řešení rovnice ( kořen rovnice ) Řešení rovnice má význm : ) postupu b) čísl ( výsledek řešení ) Součástí řešení rovnice je zkoušk, při které ověřujeme, zd-li při doszení kořenu rovnice z neznámou do levé i prvé strny dostneme rovnost. Rovnice se skládá z : levé strny prvé strny rovnítk Při řešení rovnice používáme tzv. ekvivlentních úprv : ) přičtení, odečtení téhož čísl nebo výrzu s proměnnou k oběm strnám rovnice

2 ) vynásobení, vydělení obou strn rovnice stejným číslem nebo výrzem neznámou, který se nerovná nule N ekvivlentní úprvy rovnice můžeme upozornit vprvo od rovnice svislou črou nznčení relizovného úkonu. Doporučení : setkáme-li se v rovnici se závorkmi zlomky, tk nejdříve odstrňujeme závorky pk zlomky. Příkld : Vyřešte rovnici : ) 4 = 5 + b) 9-6.( ) = 5.( + ) c) d) 4 ) 4 = = 6 / = = 0 / : = 5 Zkoušk : L =.5 4 = 6 P = 5 + = 6 L = P b) 9-6.( ) = 5.( + ) = = / - 6 = + 7 / = /. - 0,5 = = - 0,5 Zkoušk : L = 9. (-0,5) 6.[ (- 0,5 - ] = -4,5-6. ( -,5 ) = -4,5 + 9 = - 4,5 P = 5. [ ( -0,5 )+ ] = 5. (,5) = 7,5 = 4,5 L = P c) / ( 6 5 ) 0 - =.( 8 ) 0.( 0 6 ) = = / = 4 /+ 8 6 = 5 / : 6 = Zkoušk : L P =

3 d) 4 4.( ) 4.( ) = = = + = 9 /.4.( + ) 8. ročník 4. Lineární rovnice Zkoušk : L = P = L = P Příkld : Řešte rovnici : ) 4,9 + =,,8 5 b) 7 7 c) 0,8 + = 5,5.,4 d) 7 = + e) 0 = +,5 f) 5.( ) + = 4.( + 6 ) 5 g).( + ) 4 =.( ) + h) 7.( ) + 5.( - + ) = 4 ch).( 8 ) +5.( ) = - 5 i) 4. 6 j) 4, 8, 7 k) , 5 l). 8. 5,5 7 0 m) n) 0 -.( 7 ) +,4 = + 9 o) 6,5 p) 0 ( ) -7.( ) + = 0 r) 9, ( 7,6 5, ) = -,4 + s) 0,7-5.( 0, ) =.( 4 0,6 ) t) (y 7 ).( 9 + 4y) = (6y ).(5 + y) u) (6 ).(5 + 4) = ( 5).( + ) v) ( 8 ).(5 + ) = (4 + 5 ) w) (9 ).(4 8) = (6 ) ) z) Příkld : Řešte rovnici : ) 4 b) c) 8 d) e) f) 4 4 g) 4 h) 8 9 ch) i) 4 5,5 j) 8 k) 8 5 l) m) 5 9, 0,8 n) 5 o) 4 p) r) s) 4 t) 7 - =,5 + u) 5 - = v) 7 w) 9 4

4 5 ) z) ročník 4. Lineární rovnice Příkld : Řešte rovnici : 5 7 ) 4 8 b) c) d) e) f) g) 4 6 h) ,5 8 i) j) 5 4 s k) 8 s l) 4 4 m) 4 6 c c n) 5 n 5n 4 4n 9 o) 5 p) 0 7 4y 5 5y q) 6 u 4u r) t 7t s) z z z t) z u) 4 9 t Příkld 4 : Řešte rovnici v oboru přirozených čísel : 7 ) 5 5 b) c) 5.,5, d) e) f) Počet řešení lineární rovnice Lineární rovnice může mít : ) jedno řešení podkpitol. b) nemá řešení neeistuje kořen rovnice c) nekonečně mnoho řešení Příkld : Řešte lineární rovnici : ).( - ) =.( + ) b). ( + ) = 5.( + ) 4

5 ).( - ) =.( + ) 6 4 = rovnice nemá řešení b). ( + ) = 5.( + ) + 6 = = = 0 rovnice má nekonečně mnoho řešení Příkld 5 : Řešte rovnici v oboru reálných čísel : ) 0 0 b) c) 5 6 d) Příkld 6 : Řešte rovnici : ) b) c) d) e) f) g) e) f) g) 4.( ) 4 h) h) i) 5 9 j) k) l) m) n) 9 5 0,5.( 7) Vyjádření neznámé ze vzorce Příkld : Z výrzu =.( b.c) vyjádřete : ) b) b ) =.( b.c) = kde b.c 0 b 0 c 0 bc. = bc. b) =.( b.c) 5

6 bc. = -bc kde 0 = -bc c 0 c -b = = - b c. 8. ročník 4. Lineární rovnice b = - c. Příkld 7 : Ze vzorce pro výpočet : ) obsh trojúhelník vyjádřete výšku b) obshu lichoběžník vyjádřete zákldnu c) obshu lichoběžník vyjádřete zákldnu c d) obshu lichoběžník vyjádřete výšku e) obshu lichoběžník vyjádřete střední příčku f) objemu válce vyjádřete poloměr podstvy g) objemu válce vyjádřete výšku válce h) povrchu krychle hrnu ch) povrchu válce vyjádřete výšku válce i) objemu kvádru vyjádřete hrnu c j) povrchu kvádru vyjádřete hrnu c k) obshu kruhu vyjádřete poloměr l) obshu kruhu vyjádřete průměr m) tělesové úhlopříčky krychle vyjádřete hrnu krychle Příkld 8 : Ze vzthu = + b 4c vyjádřete : ) b) b c) c Příkld 9 : Ze vzthu + y 6 + y = b vyjádřete : ) b) c) y Příkld 0 : Ze vzthu + 4y y 5d = z vyjádřete : ) b) y c) d) d 4.5. Slovní úlohy Obecné slovní úlohy Příkld : Otci je 6 let, jeho synovi je 6 let. Z kolik let bude otec třikrát strší jež jeho syn?. fáze : zápis Bude to z let. Nyní je... z bude Otci Synovi fáze : sestvení rovnice její řešení : Z let bude pltit : 6 + =.( + 6 ) 6 + = + 8 = 8 = 4 6

7 zkoušk rovnice L = = 0 P =.( ) =. 0 = 0 L = P 8. ročník 4. Lineární rovnice. fáze : zkoušk slovní úlohy : Nyní je z 4 roky bude Otci = 0 Synovi = 0 výpočet odpovídá podmínkám příkldu 4. fáze : odpověď Otec bude z 4 roky třikrát strší než jeho syn. Příkld : Ochránci přírody vyčistili během tří dnů potok. První den vyčistili jednu třetinu, druhý den jednu třetinu ze zbývjící části potok třetí den vyčistili potok v délce 8 km. Jk dlouhý je potok?. fáze : zápis Potok je dlouhý km.. den.. den 9. den 8. fáze : sestvení rovnice její řešení : = 9 4 = 7 = 8 zkoušk : L = P = 8 L = P. fáze : zkoušk slovní úlohy :. den.6 km. den 4 km. den 8 km celkem 8 km výpočet odpovídá podmínkám příkldu 4. fáze : odpověď Potok je 8 kilometrů dlouhý. Příkld : Dvojciferné číslo má n místě jednotek číslici 8. změníme-li pořdí číslic, dostneme číslo, které je o 45 větší než původní číslo. Určete jké to bylo číslo?. fáze : zápis původní dvojciferné číslo má tvr 8 změníme-li pořdí číslic dostneme číslo, které má tvr 8 tvr 8 můžeme desetinným rozkldem zpst tvr 8 můžeme desetinným rozkldem zpst

8 změněné číslo je o 45 větší než původní 8. ročník 4. Lineární rovnice. fáze : sestvení rovnice její řešení : = = 7 = zkoušk rovnice L = = 8 45 = 8 P = = 8 L = P. fáze : zkoušk slovní úlohy : 8 = 8 45 výpočet odpovídá podmínkám příkldu 4. fáze : odpověď Hledné číslo je 8. Příkld : Ve školní třídě tvoří chlpci 0 % všech žáků, 5 dívek předstvuje 75 % všech dívek. Kolik žáků je ve třídě? Kolik chlpců kolik děvčt má tříd, Příkld : Součet dvou lichých po sobě jdoucích čísel je 68. Která čísl to jsou? Příkld : V první nádobě je 6 litrů vody ve druhé 7 litrů. Do obou nádob chceme přidt stejné množství vody tk, by bylo ve druhé nádobě třikrát méně vody než v první. Jké množství musíme přidt? Příkld 4: Peněžní sbírk v jisté společnosti má vynést určitou částku. Kdyby kždý účstník dl 75.- Kč, bude chybět Kč. Dá-li kždý účstník 80.- Kč, pk stejná částk bude přebývt. Kolik lidí se zúčstnilo sbírky? Příkld 5 : Tři brigádníci dostli z práci dohromdy Kč. První dostl o 0 % méně než druhý třetí dostl o 00.- Kč více než druhý. Kolik dostl kždý z nich? Příkld 6 : Mmink koupil v tržnici brmbory, cibuli pomernče. Z cibuli zpltil o.- Kč méně než z pomernče z brmbory o 5.- Kč méně než z cibuli. Dohromdy zpltil z nákup 5.- Kč. Kolik korun stály brmbory, kolik cibule kolik pomernče? Příkld 7 : Při zlesňování bylo během tří dnů vysázeno 950 stromků. Druhý den bylo vysázeno o 00 stromků více než první den, třetí den o 5 % více než druhý den. Kolik stromků bylo vysázeno v jednotlivých dnech? Příkld 8 : Cyklist n třídenním výletu ujel první den 40 % celkové trsy, druhý den 5 8 zbytku, třetí den pouze 7 kilometrů. Jk dlouhá byl jeho cest celkem kolik kilometrů ujel v jednotlivých dnech? Příkld 9 : Petr musí co nejdříve vrátit vypůjčenou knihu. Spočítl si, že když kždý den přečte 5 strn, odevzdá ji včs. Podřilo se mu le přečíst denně 8 strn, tk knihu odevzdl o dv dny dříve. Kolik strn měl knih? Příkld 0 : Knystr s benzínem má hmotnost 0,5 kg. Odlijeme-li 60% benzínu do nádrže ut, bude mít knystr hmotnost 5,7 kg. Jkou hmotnost má prázdný knystr? Příkld : Ve společnosti devdesáti osob je čtyřikrát více mužů než žen. Dětí je o 0 víc než dospělých. Kolik je mužů, žen dětí? 8

9 Příkld : Kždý účstník večírku má zpltit 50.- Kč. Pět účstníků odešlo bez plcení. kždý ze zbývjících přítomných tk zpltí 00.-Kč. Kolik bylo původně účstníků večírku? Příkld : Nádob byl do třetiny nplněn vodou. Když se z ní odlilo 7 litrů vody, zůstl nplněn do čtvrtiny. Kolik litrů vody se vejde do nádoby? Příkld 4 : Tři sourozenci měli nšetřeno 74.- Kč. Petr měl o 5% víc než Jirk Hnk o 0 % méně než Petr. Kolik korun měl kždý z nich? Příkld 5 : Cyklist ujel první den dvě pětiny cesty, druhý den o 5 km méně než první den celkem urzil tři čtvrtiny cesty. Kolik kilometrů mu zbývá do cíle? Příkld 6 : Čtyřem osobám byly vypláceny prémie tk, že kždá následující osob dostl dvojnásobek toho, co dostl osob předcházející. Vypočtěte, kolik korun prémií dostl kždá osob, jestliže celkem n všechny čtyři prémie bylo vyplceno 65.- Kč. Příkld 7 : Když řidič pohlédl n ukztel ujetých kilometrů, bylo tm číslo Řidič si všiml, že počet ujetých kilometrů je vyjádřen symetrickým číslem tj. tkovým, které zůstává stejné, ť se čte zlev nebo zprv. Z dvě hodiny sptřil řidič n ukzteli dlší symetrické číslo. Určete, jkou průměrnou rychlostí jel řidič tyto dvě hodiny. Uvžujte pouze průměrné rychlosti do 90 km/hod. Příkld 8 : Hlupák Lenošivý odmítl cokoliv dělt jen přemýšlel, jk sndno vydělt peníze. Nkonec se dohodl s čertem. Když přejde Hlupák most, množství peněz, které má v kpse, se mu zdvojnásobí, le čertu musí odevzdt po kždém přechodu 4 zltek. Hlupák n to přistoupil. Ke svému zděšení zjistil, že když přešel most potřetí odevzdl čertu 4 zltek, neměl v kpse už vůbec nic. Čert se zchechtl zmizel. Kolik zltek měl Hlupák Lenošivý původně v kpse? Příkld 9 : Plivová nádrž ut má objem 4 litrů. Auto spotřebuje 6,5 litrů n 00 km jízdy. N počátku výletu v délce 50 km byl nádrž nplněn ze tří čtvrtin. kolik pliv zůstlo v nádrži n konci výletu? Příkld 0 : Prodvč měl několik losů. Třetinu prodl prvnímu zákzníkovi třetinu zbylých dlšímu zájemci. Zbylo mu 6 losů. Kolik jich měl původně? Příkld : Čtvrt hodiny před zhájením vernisáže byly přítomny ve výstvní síni 7 pozvných osob. Po deseti minutách se dostvily ještě z osttních pozvných osob. Krátce před zčátkem vernisáže 4 odešli účstníci. Vernisáže se zúčstnily 4 5 pozvných osob. Kolik lidí bylo pozváno n vernisáž? Příkld : Ve třech nádobách jsou celkem litry mlék. V první nádobě bylo o 6 litrů více než ve druhé. Po přelití 5 litrů z první nádoby do třetí je ve druhé třetí nádobě stejné množství mlék. Kolik litrů mlék bylo původně v první nádobě? Příkld : Dvojciferné číslo má n místě jednotek číslici o 6 větší než n místě desítek. Změníme-li pořdí číslic, dostneme číslo o 54 větší, než je číslo původní číslo. Jké to bylo řešení? Příkld 4 : Trojmístné číslo má n místě desítek číslici 6. Převrátíme.li pořdí číslic vzniklé trojmístné číslo sečteme s původním číslem, dostneme součet 87. Jké bylo původní číslo? 9

10 Příkld 5 : Trojmístné číslo má n místě desítek číslici 6. Převrátíme-li pořdí číslic vzniklé trojmístné číslo odečteme od původního čísl, dostneme rozdíl 594. Jké bylo původní číslo? Příkld 6 : Výkony dvou čerpdel jsou v poměru, :,8. Prvním čerpdlem se z hodiny přečerpá 540 hl kpliny. Kolik hl kpliny se přečerpá oběm čerpdly z 5 hodin? Příkld 7 : Všek má dvkrát více sester než brtrů jeho sestr má tolik brtrů, kolik má sester. Urči počet Vškových sourozenců? Příkld 8 : Skupin turistů byl n třídenním výletě ušl 4 km. První den ušl dvkrát více než třetí den druhý den o 4 km více než třetí den. Kolik kilometrů ušl skupin v jednotlivých dnech? Mezi slovními úlohmi mjí zvláštní místo slovní úlohy n : ) pohyb, b) společnou práci, c) směsi. Mnohé z nich lze řešit lineární rovnicí o jedné neznáme. K některým těmto rovnicím se všk vrátíme při procvičování soustvy dvou rovnic o dvou neznámých, pomocí kterých lze tyto slovní úlohy tké řešit Slovní úlohy n pohyb Při řešení slovních úloh n pohyb se setkáváme nejčstěji s těmito situcemi. ) dv objekty se pohybují ze stejného míst stejným směrem : dráh prvního se rovná dráze druhého, s A s s = s b) dv objekty se pohybují ze stejného míst opčným směrem : v kždém okmžiku se součet jejich drh rovná jejich okmžité vzdálenosti, s s A s s + s = s c) dv objekty se pohybují ze dvou různých míst směrem k sobě setkjí se : vzdálenost výchozích míst se rovná součtu drh bsolvovnými oběm objekty, s s A s B s + s = s d) dv objekty se pohybují ze dvou různých míst opčnými směry : součet vzdálenosti obou míst drh, které urzily ob objekty v dném okmžiku, se rovná okmžité vzdálenosti obou objektů. s s s 0

11 s + s + s = s A B Dále budeme využívt nšich znlostí z fyziky : dráh = rychlost krát čs s = v. t 8. ročník 4. Lineární rovnice Příkld : Z chodcem jdoucím průměrnou rychlostí 5 km/hod vyjel z téhož míst o hodiny později cyklist průměrnou rychlostí 0 km/hod. Z jk dlouho dohoní cyklist chodce?. etp zápis v podobě čs rychlost dráh tbulky chodec 5 5. etp sestvení rovnice cyklist ( ) její vyřešení 5 = 0.( ) 5 = = 60 = 4 Zkoušk : L = 5. 4 = 0 P = 0. ( 4 ) = 0 L = P. etp zkoušk slovní úlohy : ) cyklist jel o hodiny méně, protože 4 = b) dráh chodce je stejná jko dráh cyklisty, protože 5.4 = etp odpověď : Cyklist dohoní chodce z jednu hodinu. Příkld 9 : Z Kutné Hory směrem ke Kolínu vyjel v 6 hodin 0 minut cyklist A průměrnou rychlostí km/hod.. V 7 hodin 40 minut vyjel z téhož míst opčným směrem n Čáslv cyklist B rychlostí 8 km/hod. V kolik hodin bude vzdálenost mezi cyklisty 79 km. Výsledek udejte v hodinách minutách. Jk dleko od Kutné Hory bude v téže době cyklist B? Příkld 40 : Cest kolem, přehrdy je dlouhá 8 km. Z jednoho míst součsně vyběhl běžec průměrnou rychlostí km/hod. opčným směrem vyjel cyklist. Určete průměrnou rychlost cyklisty, potká-li se s běžcem z 5 minut. Příkld 4 : Auto ujelo vzdálenost z 4 hodiny. Kdyby byl průměrná rychlost ut o 7 km/hod větší, ujelo by tuto vzdálenost o hodinu dříve. Určete původní průměrnou rychlost vzdálenost obou míst. Příkld 4 : Kmion jede po dálnici z Prhy do Brtislvy průměrnou rychlostí 7 km/hod. V okmžiku, kdy je kmion od Prhy 54 km, vyjíždí z Prhy osobní uto jedoucí tké do Brtislvy jeho průměrná rychlost je 90 km/ hod. Z jkou dobu v jké vzdálenosti od Prhy dohoní osobní uto kmion? Příkld 4: Jiráskovi jeli utem n dovolenou do Itálie. Po 0 minutách jízdy se n 0 minut zstvili n odpočívdle oprvovli uto. Jejich syn zjistil, že zpomněli vzít cestovní psy vydl se z nimi n motocyklu přesně z 0 minut po jejich odjezdu. Jkou průměrnou rychlostí musel jet, když je dohonil po ujetí kilometrů uto jelo průměrnou rychlostí 7 km/hod? Příkld 44 : Nákldní uto vozí n stvbu písek. Jezdí-li průměrnou rychlostí 0 km/hod, trvá mu jedn cest půl hodiny. Jkou rychlostí by muselo uto jezdit, by zkrátilo kždou jízdu o pět minut?

12 Příkld 45 : Turist šel cesty rychlostí 4,5 km/hod, 0,4 cesty rychlostí 4 km/hod zbývjící 4 km rychlostí 5 km/hod. Kolik kilometrů ušel jk dlouho mu trvl cest? Čs počítejte ve zlomcích hodiny. Příkld 46 : Z křižovtky dvou nvzájem kolmých silnic odjíždí ve stejném okmžiku osobní utomobil průměrnou rychlostí 96 km/hod nákldní uto průměrnou rychlostí 7 km/hod. Kždé uto jede po jiné silnici. Určete přímou vzdálenost ut po 5 minutách jízdy Slovní úlohy n společnou práci Příkld : Petr poseče louku sám z 6 hodin Pvel z 4 hodiny. Z jk dlouho ji posečou společně? Protože je potřeb louku posekt z,5 hodiny, tk jim pomůže Zdeněk. Z jk dlouho on sám poseče louku? ). etp - zápis společně louku posečou z hodin Petr poseče louku z 6 hodin Petr poseče z hodinu 6 ( louky ) Petr poseče z hodin ( louky ) 6 Obdobná úvh pro Pvl. Společně posečou celou louku ( louky ). etp sestvení rovnice její vyřešení : 6 4 =,4 (hodiny) Zkoušk rovnice : L =,4, ,4 0,6. etp zkoušk slovní úlohy : Zkoušk slovní úlohy je stejná jko zkoušk rovnice. 4. etp odpověď. Petr s Pvlem společně posečou louku z,4 hodiny. b). etp zápis Zdeněk poseče louku sám z y hodin Zdeněk z hodinu poseče Zdeněk poseče z dobu společné práce. etp sestvení rovnice její řešení :,5,5,5 6 4 y y = 4 ( hodiny ) P = y ( louky ),5 y ( louky ) L = P Zkoušk rovnice : L =,5,5, P = L = P

13 . etp zkoušk slovní úlohy : Zkoušk slovní úlohy je stejná jko zkoušk rovnice. 4. etp odpověď : Zdeněk sám poseče louku z 4 hodiny. POZOR : obecný tvr rovnice n společnou práci dobspolečnépráce. objektu dobspolečnépráce. objektu dobzkteroupráciudělá. objekt dobzjkdlouhoudělápráci. objekt POZNÁMKA : přípd kdy dob společné práce není stejná : Druhý dělník zčne prcovt o hodiny později ( nebo měl přestávku ) je dob práce n společném díle prvního dělník 6 4 nebo y y y je dob práce n společném díle druhého dělník 6 4 Obě řešení jsou správná, le vyjde o větší než y, protože obě veličiny vyjdřují něco jiného. Příkld 47 : Dětský bzén se nplní jedním přítokem z 5 hodin, druhým přítokem z 7 hodin. Z kolik hodin se nplní oběm přítoky součsně? Výsledek vyjádřete v hodinách minutách. Příkld 48 : Dělník A by splnil dný úkol z hodin, dělník B z 0 hodin. Protože práce měl být splněn z 4 hodiny, přibrli ještě dělník C. Z kolik hodin by splnil dný úkol dělník C sám? Příkld 49 : Dělník Adm může splnit úkol z 40 hodin, dělník Bláh z 0 hodin. N dném úkolu zčli prcovt společně. Po jisté době byl dělník Bláh odvolán dělník Adm dokončil práci sám z dlších 5 hodin. Kolik hodin prcovli společně jký díl práce kždý z nich vykonl? Příkld 50 : Vodní nádrž se nplnil jedním přítokem z 6 minut, druhým z 45 minut. Z jk dlouho se nplní, přitéká-li vod nejdříve 9 minut prvním přítokem pk oběm přítoky součsně? Příkld 5 : Nádrž o objemu 600 hl má několik přítoků. Prvním přitéká z minutu 0 litrů vody, druhým se nplní z hodiny, třetím z 900 minut. Z jk dlouho se nplní při součsném otevření tří otvorů. Z jk dlouho se nplní při otevření prvního ze tří otvorů o půl hodiny později než druhého třetího otvoru..výsledek v obou přípdech minutách zokrouhli nhoru Slovní úlohy n směsi Příkld : Z deset známek ( po 5.- Kč 8.- Kč ) bylo zplceno 6.- Kč. Kolik bylo lcinějších držších známek?. etp zápis v podobě tbulky : počet cen kusu hodnot dného druhu známky I. druhu 5 5 známky II. druhu ( 0 ) směs ( celkem ) 0 6. etp sestvení rovnice její vyřešení :

14 5 + 8.( 0 ) = 6 - = -8 = 6 Zkoušk L = ( 0 6 ) = 0 + = 6 P = 6 L = P 8. ročník 4. Lineární rovnice. etp zkoušk slovní úlohy : Zkoušk slovní úlohy je stejná jko zkoušk rovnice. 4. etp odpověď : Levnějších známek bylo 6 kusů držších 4 kusy. Příkld : Vypočítejte koncentrci roztoku, který byl připrven smícháním 6 kg 95 % roztoku kyseliny sírové 4 kg 0 % roztoku kyseliny sírové.. etp zápis v podobě tbulky množství druhu množství sledovné látky v jednotce objemu množství sledovné látky dného druhu I. druh 6 0,95 6.0,95 II. druh 4 0, 4.0, směs 0 0. etp sestvení rovnice její vyřešení : 6. 0, , = 0 = 0,7 Zkoušk L = , = 8, P = 8, L = P. etp zkoušk slovní úlohy : Zkoušk slovní úlohy je stejná jko zkoušk soustvy rovnic. 4. etp odpověď : Výsledná směs bude 7 procentní. Příkld 5 : Jirk koupil dv druhy szenic rjčt, celkem 4 kusy z 79.- Kč. Szenice jednoho druhu stál.- Kč, druhého.- Kč. Určete, kolik szenic kterého druhu Jirk koupil? Příkld 5 : Vlk veze n 9 vgonech 55 tun uhlí. Některé vgony jsou dvcetitunové, jiné ptnáctitunové. Kolik je kterých, jestliže všechny vgony jsou plné? Příkld 54 : Po zhrdě běhjí slepice králíci. Víme, že jich je dohromdy mjí 6 nohou. Kolik je kterých? Příkld 55 : Chlpec střádl pětikorunové dvoukorunové mince. Když jich měl 50, tk zjistil, že uspořil 90 Kč. Kolik nstřádl pětikorunových mincí? Příkld 56 : Jeden litr morvského vín stojí 80.- Kč, jeden litr mělnického vín stojí 60.- Kč. Kolik musím smícht kterého vín, bych dostl 8 litrů směsky v hodnotě 65.- Kč z litr? 4

15 Příkld 57 : Kolikprocentní líh obdržíme smícháním 0 litrů 60 % s 0 litry 75% s 6 litry vody? Příkld 58 : Z plného chldiče ut s objemem 0 litrů vyteklo 40 % nemrznoucí směsi, která byl 0 procentní. Kolik litrů frideu kolik litrů vody je třeb dolít do chldiče, by byl opět plný vzniklá směs obshovl 40 % frideu Lineární rovnice s bsolutní hodnotou Příkld : Řešte rovnici : + 4. = 5 metodou intervlů Řešení : + 4. = 5 Pro 0 je = nebo pro < 0 je = - + < + 4.( ) = ( - + ) = 5 = - 5 = -5 není větší nebo rovno proto není řešením je menší než proto tto hodnot je řešením. Kždý si sám provede zkoušku! Řešením této rovnice je číslo Příkld : Řešte rovnici = - + metodou nulových bodů.. fáze : Určíme nulové body lineárních dvojčlenů v bsolutních hodnotách : + = 0 = - = 0 = 5 = 0 = 5. fáze : Tyto nulové body rozdělí množinu reálných čísel n čtyři disjunktní množiny. V tbulce určíme pro jednotlivé intervly hodnoty bsolutních hodnot. ( - ; - ) < - ; ) < ; 5 ) < 5 ; ) fáze : Řešíme dnou nerovnici v jednotlivých intervlech. ) ( - ; - ) ( 5 ).( - ) = ( ) + ( - ; - ) = -,5 dílčí výsledek = -,5 b) < - ; ) ( 5 ).( + ) = ( ) + < - ; ) = -0,5 dílčí výsledek = -0,5 c) < ; 5 ) ( 5 ).( + ) = ( - ) + < ; 5 ) =,5 dílčí výsledek 5

16 d) < 5 ; ) ( 5 ).( + ) = ( - ) + < 5 ; ) = -,5 dílčí výsledek 8. ročník 4. Lineární rovnice 4. fáze : Kždý si sám provede zkoušku doszením 5. fáze : Řešením dné rovnice je = -,5 = -0,5 Příkld 59 : Vyřešte rovnici : ) - = + b) Lineární rovnice s prmetrem Příkld : Vyřešte rovnici =, kde je neznámá prmetr. Řešení : Vyjdřujeme neznámou =. ( - ) = pro = pro = rovnice nemá řešení Příkld 60 : Vyřešte rovnice, kde je prmetr : ) + =. ( ) b) ( + ). ( ) + ( ). ( ) + ( ) = 0 c) ( + ). ( ) = Souhrnná cvičení : ) Řešte rovnici : ) b) c) d) e). 4 4 f) g) h) ch) 4 0, ,5. i) j) 4 8 6

17 k) l) 0, ročník 4. Lineární rovnice ) Řešte rovnici : ) Geprd pronásledovl ntilopu. Když byl v místě A, byl mezi ním ntilopou vzdálenost 0 metrů. Přestože ntilop utíkl průměrnou rychlostí 7 km/hod, geprd ji dohonil z sekund. Jkou průměrnou rychlostí v kilometrech z hodinu běžel geprd? 4) Třídy se zvázly nsbírt minimálně 5 kg bylin. Při vyhodnocení soutěže se zjistilo, že 6. A závzek překročil o dvě pětiny, 6.B splnil svůj závzek n 40 % 6.C nsbírl o kg více než se zvázl. Určete pořdí tříd, 5) Součet čtyř po sobě jdoucích přirozených čísel je 4. Urči jejich nejmenší společný násobek. 6) Turist procestovl 78 km z hodiny. Část cesty šel pěšky rychlostí 6 km/hod, zbytek cesty jel utobusem průměrnou rychlostí 0 km/hod. Jk dlouho šel pěšky? 7) V sudu pod okpem bylo určité množství vody. Po dešti se množství vody zvětšilo n čtyřnásobek původního množství. N zlévání bylo použito 60 litrů vody. Dlším deštěm se zbylé množství vody v sudu zdvojnásobilo. N druhé zlévání bylo použito 0 litrů vody. V sudu pk zůstl dvojnásobek původního množství vody. Kolik litrů vody bylo v sudu n počátku? 8) Součet tří po sobě jdoucích lichých čísel je 75. Určete tto čísl. 9) Ze dvou míst vzdálených od sebe metrů vyšli proti sobě součsně dv chodci průměrnými rychlostmi 5 km/hod 5 km/hod. Z jk dlouho se potkjí? 0) Turist ušel během tří dnů 47 km. Druhý den ušel o 0 % více než první den, třetí den o 4 km méně než druhý den. Kolik kilometrů ušel v jednotlivých dnech? ) 00 krbic prcích prášků bylo v obchodě nrovnáno ve třech řdách. V první řdě bylo o krbic víc než ve druhé řdě, přičemž ve druhé řdě bylo o jednu pětinu víc než ve třetí řdě. Kolik krbic bylo v jednotlivých řdách? ) V internátu je ve 45 pokojích, z nichž některé jsou třílůžkové některé pětilůžkové, ubytováno celkem 69 žáků tk, že všechny pokoje jsou plně obszeny. Urči počet třípokojových pokojů. ) Družstvo sklízelo pšenici z celkové plochy 0 h. Sklizeň zhájili v pondělí z pěkného počsí, v úterý už sklidili jen třetinu zbývjící plochy ve středu dosáhli pouze 50 % pondělního výkonu, tkže zůstlo 7 h neposečených. Vypočítejte plochy sklizené v uvedených dnech. 4) Sečteme-li podíl, součin, rozdíl součet neznámého čísl čísl, dostneme číslo 8. Jké je hledné číslo? 5) Z míst A vyjelo do míst B přesně v 8 hodin uto průměrnou rychlostí 54 km/hod. V 8 hodin 0 minut vyjelo z míst B do míst A po stejné cestě uto průměrnou rychlostí 0 m/s. Aut se potkl 7

18 přesně uprostřed cesty mezi místy A B. Určete, v kolik hodin se potkjí jk jsou míst A B od sebe vzdálen. 6) Míst A B jsou vzdálen 0 km. Z míst A vyšel chodec průměrnou rychlostí 4 km/hod. O 45 minut později vyjel proti němu z míst B cyklist to průměrnou rychlostí 6 km/hod. Jk dleko od míst A z jk dlouho se setkjí? 7) Dvě ut vyjel součsně proti sobě z míst vzdálených od sebe 70 km. Jedno uto jede rychlostí 50 km/hod druhé 70 km/hod. Jk dleko budou od sebe obě ut 0 minut před okmžikem setkání? 8) Tovární hl má čtyři stroje. První prcuje dvkrát výkonněji než druhý, třetí stroj vyrobil o 8 součástek méně než čtvrtý, ten o 56 více než první stroj. Dohromdy bylo vyrobeno 6 součástek. Kolik součástek vyrobily jednotlivé stroje? 9) Z měděného odlitku jsou zhotoveny tři součástky. N první byl spotřebován polovin odlitku, n druhou dvě třetiny zbytku, třetí měl hmotnost 5 kg. Jkou hmotnost měl celý odlitek? 0) Součet dvou čísel je 45. Určete tto čísl, víme-li, že druhé je 45 % hodnoty prvního. ) Určete největší trojciferné číslo, které má tyto dvě vlstnosti : ) součet cifer n místě stovek jednotek je roven 6, b) výměnou cifer n místě jednotek stovek vznikne číslo o 98 větší než původní číslo. ) Rozdělte odměnu Kč mezi tři prcovníky tk, by druhý dostl o 5 % více než první třetí o 0,4 více než druhý. Kolik dostl kždý? ) Z míst A do B, vzdáleného 40 km, vyjelo v 8.00 hodin nákldní uto rychlostí 60 km/hod. Z míst B vyjelo v 8.0 hodin osobní uto rychlostí 80 km/hod do míst. V kolik hodin jk dleko od A se setkjí? 4) Závodní uto projelo okruh průměrnou rychlostí 84 km/hod z minut 5 sekund. Kolik metrů měřil okruh? 5) Chodec vyšel v 8.00 hodin ráno rychlostí 4 km/hod. V 9 hodin 0 minut z ním vyrzil cyklist rychlostí 8 km/hod. Z jk dlouho v kolik hodin dostihne cyklist chodce? Jkou vzdálenost při tom ujede? 6) Vlk dlouhý 0 metrů projíždí tunelem rychlostí 7 km/hod. Tunek je dlouhý,5 km. Kolik sekund bude lespoň část jednoho vozu v tunelu? 7) Vzdálenost z míst A do B je 08 km. Z obou míst vyjel součsně proti sobě dvě ut. Rychlost ut jedoucí z míst A byl o km/hod větší, než rychlost druhého ut. Jká byl rychlost kždého z ut, jestliže se potkl z 54 minut? 8) V 8 hodin vyjel z Kltov do krlovrského podniku M nákldní utomobil průměrnou rychlostí 40 km/hod. V 9 hodin 5 minut vyjel z ním po stejné cestě osobní utomobil průměrnou rychlostí 60 km/hod. Vzdálenost Kltovy krlovrský podnik M je 5 km. V kolik hodin v jké vzdálenosti od podniku M dožene osobní utomobil nákldní utomobil? 9) Dvě měst jsou od sebe vzdálen 0 km. Z měst A vyjede v 7 hodin uto průměrnou rychlostí 60 km/hod. Z měst b vyjede proti němu v 7 hodin 40 minut uto průměrnou rychlostí 75 km/hod. Kdy v jké vzdálenosti od měst A se ut setkjí? 8

19 0) Děti se vyprvily n kolech n chtu vzdálenou 0 km. Vyrzily v 7 hodin jely rychlostí 6 km/hod. O půl hodiny později vyjel z nimi ttínek rychlostí 4 km/hod. V kolik hodin jk dleko od chty to bylo? ) Z Olomouce směrem n Hrdec Králové vyjel v 7.00 hodin nákldní utomobil průměrnou rychlostí 40 km/hod. Z Hrdce Králové, vzdáleného 0 km od Olomouce, vyjel v 7 hodin 45 minut osobní utomobil průměrnou rychlostí 80 km/hod. Z kolik hodin od výjezdu nákldního utomobilu jk dleko od Olomouce se potkjí? ) Motocyklisté Libor Honz vystrtovli součsně n trsu dlouhou 40 km. Libor jel první polovinu trsy rychlostí 80 km/hod, druhou polovinu rychlostí 50 km/hod. Honz jel celou trsu průměrnou rychlostí 60 km/hod. Rozhodni, kdo dojede do cíle první, vypočti jeho čsový náskok. Jkou rychlostí jel Libor? ) Jeden nložený těžkotonážní vlk měl stejnou hmotnost jko pět obyčejných nákldních vlků. Nložený těžkotonážní vlk byl o 400 tun těžší než obyčejný nákldní vlk. Jká byl hmotnost těžkotonážního vlku? 4) N turistické mpě zhotovené v měřítku : je vzdálenost dvou míst po přímé silnici 7, cm. Z kolik minut ujede tuto vzdálenost cyklist n kole, jestliže jede 8 km/hod. 5) Obchodník nkoupil 60 párů bot z Kč. Držší pár stál Kč, druhý byl levnější o 60.- Kč. Kterých párů bylo více o kolik? 6) Do průtokového zásobníku vod přitéká součsně je z něho odváděn. Kdyby vod pouze přitékl, nplnil by se prázdný zásobník z 8 minut. Kdyby vod pouze odtékl, vyprázdnil by se plný zásobník z 0 minut. Z kolik hodin se nplní prázdný zásobník, jestliže součsně otevřeme přívod i odtok vody? 7) Zásob uhlí by stčil n vytápění většího pokoje rekreční chty n týdnů, menšího pokoje n 8 týdnů. Zpočátku se po dobu 4 týdnů topilo v obou pokojích, pk jenom v menším. Určete, n kolik dní by stčil zásob uhlí? 8) Dvojciferné číslo má ciferný součet. Změníme-li pořdí cifer, získáme číslo o 8 větší. Určete původní číslo. 9) Z Chebu do Liberce vyjelo nákldní uto průměrnou rychlostí 0 km/hod. Součsně s ním vyjel utobus s průměrnou rychlostí 40 km/hod přijel do Liberce o hodinu 45 minut dříve než nákldní uto. Určete vzdálenost mezi Chebem Libercem. 40) Jkou teplotu bude mít vod, která vznikne, jestliže do 7 litrů vody teplé 45 stupňů Celsi přidáme 6 litrů 80 stupňů teplé vody? 4) Jký roztok vznikne smícháním litrů 5 % roztoku s 5 dl 80 %? 4) Jkou bude mít teplotu vod, přilejeme-li do 4 litrů vody o teplotě 80 C litry vody o 60 C chldnější? 4) Jn nsbírá,5 litru borůvek z hodiny. Mrtin litr z hodiny. Z jk dlouho společně nsbírjí litr? 44) Vodní nádrž se prvním čerpdlem vyprázdní z 6 hodin, druhým čerpdlem z hodiny. Aby byl vyprázdněn z hodinu, musel být njednou spuštěn všechn tři čerpdl. Z jk dlouho by se nádrž vyprázdnil, kdyby bylo spuštěno jenom třetí čerpdlo? 9

20 45) Njděte prvdivé rovnosti : ) b) ( -b ) = -( b + ) 46) Určete hodnoty neznámých, b, c, d : ) je největší dvojciferné číslo, které po dělení sedmi dává zbytek 5 b) b je součtem všech kldných dělitelů čísl 0 c) c je největší číslo zpsné pomocí jedné nuly, jedné jedničky jedné dvojky, le není to všk číslo 0 d) d je rovn tem čtvrtinám ze tří čtvrtin druhé mocniny čísl 0. 47) Vypočítejte délky strn prvoúhlého trojúhelník ABC s přeponou c, jestliže délk odvěsny = 84 cm obvod trojúhelník je 8 cm. 48 ) ze vzorce pro obvod obdélník vyjádřete strnu, b) ze vzorce pro obsh čtverce vyjádřete strnu čtverce c) ze vzorce pro úhlopříčku ve čtverci vyjádřete strnu čtverce, d) ze vzorce pro délky kružnice vyjádřete poloměr kružnice e) ze vzorce pro obsh lichoběžník vyjádřete, f) ze vzorce pro obsh lichoběžník vyjádřete c, g) ze vzorce pro obsh lichoběžník vyjádřete v, h) ze vzorce pro obsh lichoběžník vyjádřete velikost střední příčky, i) ze vzorce pro objem krychle vyjádřete hrnu, j) ze vzorce pro povrch krychle vyjádřete hrnu, k) ze vzorce pro objem kvádru vyjádřete hrnu, l) ze vzorce pro povrch kvádru vyjádřete hrnu. 49) Vyjádřete z výrzu : ) b c b) Z f f 50) Pomocí proměnných, y zpište následující vzthy mezi výrzy : ) součet dvou čísel je krát větší než jejich rozdíl, b) součin dvou čísel je rovný 80 % jejich podílu c) součet druhých mocnin dvou čísel je rovný součtu druhé mocniny rozdílu těchto čísel dvojnásobku jejich součinu. 5) Ze zápisu b m r cd vyjádřete : ) b b) d 5) Lenk říká : V nší třídě mám pětkrát více spolužáků než spolužček. Krel z téže třídy říká : Já mám čtyřikrát více spolužáků než spolužček. Kolik žáků je ve třídě kolik z nich je chlpců? 5) ve třídě je žák, z toho je 5 chlpců, 5) Nkldtelství vydá knihu. Bez ohledu n to, kolik výtisků vydá, zpltí z její příprvu pro tisk Kč. Kromě toho zpltí tiskárně ještě 80.- Kč z kždý výtisk. Jký nejmenší počet výtisků je možno vydt, by celkové nákldy n jeden výtisk nepřesáhly 95.- Kč? 54) Prodvč prodl z den 0 košil, přičemž šestin prodných košil byl po 40.- Kč, pětin byl po 50.- Kč, třetin byl po Kč zbytek byl po 50.- Kč. Kolik utržil z všechny prodné košile? Jká byl průměrná cen košile? 0

21 55) Kolik stojí čjová souprv, která obshuje konvici, cukřenku, dv šálky dv tlířky, jestliže konvice stojí 50.- Kč, šálek sedminu ceny celé souprvy, tlířek polovinu cenu než šálek cukřenk je třikrát držší než tlířek? 56) Vyřešte rovnici : ) Vyřešte rovnice, kde je prmetr : ) = + b) Výsledky příkldů 8 ) 5,6, b) 4, c) 6,9, d) -8, e) -,5, f) 6, g), h) -, ch) -6, i) 5,5, j) 4,4, k) 6,9, l),5, m) -, n),6, o),5, p) 0,5 r) 5, s),55, t), u) 8 5, v) 5, w) 4, ) nemá řešení, z) -, ) 6,8, b) 40, c) 56, d) j) 4, k) -4,4, l), m) 4, n) -, o) u) 0,5, v) 6,5, w) 7, ) 5, z) 0, 9, e) 8, f) 4, g) -4,5, h) 9, ch) -, i) -5,, p),8 r) 7, s) 4 0, t), ) ) ; b) 0,5; c) ; d) 0; e) ; f) 8; g) 7,5; h), i) 0, j) ; k) 7; l) 4; m) ; n) 7; o) ; p) 6; q) ; r) 7; s) ; t) ; u) ; 4 ) 5, b) 49, c) nemá řešení, protože není přirozené číslo, d) 7, e), f) nemá řešení, protože 4 není přirozené číslo 4 5 ) nekonečně mnoho řešení, b), c) nekonečně mnoho řešení, d), e) 0,, f) 7, 7 g), h) nekonečně mnoho řešení; 6 ) 7, b) -0, c), d) nekonečně mnoho řešení, e) -, f) 8, g) 6, h), i), j) -6, k) 0, l) nemá řešení, m) nekonečně mnoho řešení, n) nemá řešení, 7 ).S V g). r l) 0, b).s v r 0, h) 4.S u., m) c V, ch), v 0, c).s v 0, d).s.s - c, e) v 0,f) v c v S S.. r b. V r 0, i).. r b. 0 b 0,j) - b, k) b V. v v 0, S, 8 ) 9 ) b 4c 0 b y y 6, + b 4c 0, b) y 6 0, b) 4c b 0, c) c b y y 0,5, c) y 6 b 4 b 6

22 0 ) 4 5 y z d y y 0, b) y z 5d 4, 8. ročník 4. Lineární rovnice z 5d y 4y 4y y z c) d) d, 5 ) ve třídě je 5 žáků, z toho je 0 děvčt 5 chlpců,) 5, ) musí se přidt,5 litru vody, 4) 76 lidí,5) 600,- Kč, Kč, 00.- Kč, 6) brmbory stály 0.- Kč, cibule 5.- Kč, pomernč 6.- Kč, 7). den 800 stromků,. den 000 stromků,. den 500 stromků, 8) celá trs měří 0 km,. den ujel 48 km,. den 45 km,. den 7 km,9) 80 strn,0),5 kg, ) 8 žen, mužů, 50 dětí,) 0 osob,) 84 litrů,4) Petr měl 460 Kč, Jirk 400 Kč Hnk 44 Kč, 5) 5 km,6)75 Kč, 50 Kč, 700 Kč, 400 Kč,7) 6 06, 55 km/hod,8) zltek, 9) 8,75 litrů pliv,0) nemá řešení,) 40 osob,) litrů,) tři řešení 7, 8, 9 4) 968, 869,5) 96, 86, 76,6) 50 hl,7) Všek má 6 sourozenců, 8). den 9 km,. den,5 km,. den 9,5 km 9) 79 km vzdáleni od sebe budou v 9 hodin 50 minut. Cyklist bude v téže době od Kutné Hory vzdálen 9 km., 40) 0 km/hod,4) 5 km/hod, vzdálenost je 04 km, 4) osobní uto dožene kmion z hodiny ve vzdálenosti 70 km Prhy, 4) syn jel průměrnou rychlostí 79, km/hod,44) rychlostí 6 km/hod, 7 45) ušel 5 km z dobu hodiny,46) 0 km,47) hodiny 55 minut ) z 5 hodin,49) ob dělníci prcovli společně 5 hodin kždý z nich uděll polovinu práce 50) z 4 minut5) 6 minut minut,5) szenic po.- Kč szenic po.- Kč, 5)8 vgonů dvcetitunových vgonů ptnáctitunových,54) slepic, 9 králíků, 55) 0 pětikorunových mincí,56) litry držšího vín 6 litrů levnějšího vín, 57) 50%,58) 5,6 litru frideu,,4 litru vody,59 ) všechn reálná 0,5, b) = = 4 60) ) pro = ; pro = rovnice nemá řešení ; b) 0 = ; pro = 0 rovnice nemá řešení ; Výsledky souhrnných cvičení ) -, b), c) -, d) -4, e) -, f), g) -, h), ch) 5, i), j) -, k), l) -0, ), ) 08 km/hod, 4 ) 6. A 6.B nsbírli stejné množství, pokud 6.C se zvázl nsbírt jenom 5 kg, pk nsbírl stejně jko 6.A 6.B, pokud se všk zvázl nsbírt více než 5 kg, pk procentuálně nsbírl o méně než ob třídy, le v kilogrmech mohl nsbírt více než 6.A 6. B, 5) 980,6) 0,5 hodiny,7) 5 litrů vody,8), 5, 7;9) z 46,8 minuty,0) 5 km, 8 km, 4 km, ). řd 79 krbic,. řd 66 krbic,. řd 55 krbic,) 8, ) pondělí 54 h, úterý h, střed 7 h,4) 8,5) v 0.00 hodin, A B jsou vzdálen 6 km, 6) 6,4 km od míst A z hodinu 6 minut,7) 0 km, 8). stroj součástek,. stroj 6 součástek,. stroj 80 součástek, 4. stroj 88 součástek,9) 0 kg, 0) 00 5,) 94,). dělník Kč,. dělník Kč,. dělník Kč, ) v 0.00 hodin, 0 km od míst A,4) 7 50 metrů, 5) z 0 minut, v 9.0 hodin, ujede při tom 6km,6) 8 sekund,7) 6 km/hod, 59 km/hod, 8) osobní uto nákldní nedohoní. Setká se s ním ž po hodinách 5 minutách, v.0 hodin, kdežto nákldní uto dorzí do podniku již v hodin 7,5 minuty, 9) v 8.0 hodin, 80 km od měst A, 0) v 8.0 hodin ve vzdálenosti 6 km od chty, ) z hodiny 5 minut od výjezdu nákldního utomobilu, 90 km od Olomouce,

23 ) v cíli bude dříve Libor o,5 minuty, Libor jel průměrnou rychlostí 6,5 km/hod., ) 000 tun,4) minut,5) držších bylo o 0 více,6) hodiny,7) týdnů, 8) 57, 9) 0 km,40) přibližně 6,5 stupňů teplé vody,4),5 litru 6 % roztoku, 4) 7,5 C,4) 45 minut,44) hodiny,45),46 ) 96, b), c) 0, d) 5. 47) b = cm, c = 85 cm 48 ) f) k) 49 ) O. b, b) S, c) c u., d) O r, e).. S v..s, g) v v c, h) c S v, i) V, j) S bc. V bc., l) b c, bc c b, b) Zf Z f. S v. c v S, 6, 50 ) + y =. ( y ), b) y = 0,8. y, c) y y y, 5 ) b = ( r + m ).cd, b) d c. r b m 5) nejmenší počet výtisků je kusů, 54) z všechny košile utržil 0.- Kč, průměrná cen košile byl 47.- Kč, 55) 40.- Kč,56) -, 4 57) ) pro - = ; pro = rovnice nemá řešení; b) pro -0,5 = 0; pro = -0,5 řešením kždé + nebo -.