KVAZINORMY PRO ODHADY DISKRÉTNÍCH ROZD LENÍ PRAVD PODOBNOSTI

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "KVAZINORMY PRO ODHADY DISKRÉTNÍCH ROZD LENÍ PRAVD PODOBNOSTI"

Transkript

1 VAZINORMY PRO ODHADY DISRÉTNÍCH ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI Zdek aríšek, Petr Jurák, Jakub Šácha Odbor stochastických a otializaích etod, Ústav ateatiky Fakulta stroího ižeýrství, Vysoké ueí techické v Br Techická 896/, Bro karisek@e.vutbr.cz Abstrakt: Reerát azaue ožé ešeí klasického statistického robléu alezeí rozdleí ravdodobosti ozorovaé diskrétí áhodé veliiy oocí iializace tzv. Helligerovy, Shaoovy a Pearsoovy kvaziory za vedleších oetových odíek, které vycházeí z estraých odhad obecých oet ozorovaé áhodé veliiy. Jde vlast o alezeí absolutího iia daé kvaziory a odrostoru rostoru všech koeých diskrétích rozdleí vzhlede k lieárí odíká daý edesaýi obecýi oety. Písvek á síše ehledový charakter a eho souástí sou také íklady výot a PC. líová slova: -divergece, kvaziora, odhad diskrétího rozdleí ravdodobosti, obecé oetové odíky, Lagrageovy iltilikátory AMS klasiikace: 6E7, 6H, 6G7, 65C5, 65C6. Úvod Rozhoduící úlohu v alikacích etod ateatické statistiky á i itervalových odhadech araetr a araetrických testech statistických hyotéz alezeí tvaru rozdleí ravdodobosti ozorovaé áhodé veliiy ebo áhodého vektoru. Na základ ou divergece (vzdáleosti) dvou rozdleí e ožé vyvodit ostuy uožuící takové rozdleí odhadout []. Tyto ostuy však usí obvykle resektovat další odíky kladeé a toto rozdleí. Jde easti o odíky daé ariorí staoveí hodot vybraých íselých charakteristik, a. stedí hodoty, roztylu aod. Naší základí ideou e aít takové rozdleí, které á aké ožadovaé vlastosti (slue zadaé vedleší odíky) a e v isté syslu blízké vhod zvoleéu rozdleí. Pesi de o alezeí rozdleí, které e s takový evý rozdleí totožé i abseci vedleších odíek, ale s idáváí odíek se od tohoto evého rozdleí ostu vzdalue i souasé iializaci zvoleé divergece hledaého a daého evého rozdleí.. Divergece a kvaziory diskrétích rozdleí ravdodobosti Ozae ožiu reálých ísel a ožiu reálých ísel rozšíeou o evlastí rvky - a +. Pedokládáe, že e dá diskrétí ravdodobostí rostor,,p, kde e soetý základí rostor, e -algebra a P e ravdodobostí íra. Bez úy a obecosti žee edokládat, že íe P odovídá rozdleí ravdodobosti aké diskrétí áhodé veliiy. Poocí ásleduícího ou [] vyádíe blízkost (divergeci) dvou rozdleí ravdodobosti a q a,,p. Pozaeee, že za aiál divergetí ovažuee tzv. ortogoálí rozdleí ravdodobosti a q, t. když eistuí disuktí odožiy EF,, ro které e q. E F 8. NÁRODNÍ ONFERENCE STATISTICÉ DNY V BRNĚ, BRNO ČERVNA, 6

2 Nech ukce u e koveí a (, ), strikt koveí v u a (). divergecí rozdleí ravdodobostí, q a diskrétí ravdodobostí rostoru,,p rozuíe ukcioál D q, q, q kde kladee, ro všecha, a Pro libovolou -divergeci latí erovost D q,, ( u) () li u. u iež ob dv rovosti eohou astat souas. Levá rovost latí, ráv když q a ravá rovost latí, ráv když a q sou ortogoálí a souas. Z uvedeé erovosti dále lye, že rozdleí ravdodobosti, q sou avzáe odobé, estliže eich -divergece D ( q, ) e blízká. Naoak odely sou avzáe eodobé, když se D ( q, ) blíží aiálí hodot. Pehled easti oužívaých -divergecí ro stochastické odelováí v rzých alikaích oblastech e v ásleduící tabulce. u Paraetr ulog u Ozaeí D ( q, ) Název I( q), I-divergece Tvar D ( q, ) q l q u /, / D ( q, ) -divergece D ( q, ) / Helligerova vzdáleost q / q / ( q, ), V ( q, ) Totálí variace q u, ( q, ) - divergece q q ( q, ) - divergece q q sig u,, D ( q, ) -divergece D ( q, ) -divergece q q 8. NÁRODNÍ ONFERENCE STATISTICÉ DNY V BRNĚ, BRNO ČERVNA, 6

3 Jestliže ozorovaá diskrétí áhodá veliia abývá koe oha ožých hodot, e vhodé za uvažovaé evé diskrétí rozdleí zvolit rozdleí se steýi ravdodobosti. Toto rozdleí á aiálí euritost vyádeou oocí etroie a avíc ro vybraé -divergece také iializue itegrál -divergecí od všech diskrétích rozdleí z uvažovaého ravdodobostího rostoru. To ás oravue k zavedeí ásleduícího ou []. Jde o istou aalogii zavedeí idukovaé ory a lieárí rostoru s etrikou oocí eutrálího rvku. Nech (,, ) a,, ro sou diskrétí rozdleí z ravdodobostího rostoru,,p, a D e -divergece deiovaá a daé rostoru. vaziorou rozdleí ravdodobosti (,, ) a,,p rozuíe Pro libovolou kvazioru, divergeci D,. a) D,, D latí []: b) D, e syetrická ukce roých,,...,. Pro odhady diskrétích rozdleí za vedleších oetových odíek oocí iiálích kvaziore volíe: a) Helligerovu vzdáleost D ( q, ) /, z íž získáe tzv. Helligerovu kvazioru D(, ), b) I-divergeci I( q),, z íž získáe tzv. Shaoovu kvazioru c) S(, ) l l l l, - divergeci ( q, ), z íž získáe tzv. Pearsoovu kvazioru P,. Pedokládáe, že ozorovaá diskrétí áhodá veliia X, eíž rozdleí ravdodobosti (,, ) chcee odhadout, abývá evýše koe oha avzáe rzých reálých hodot s ezáýi ravdodobosti P X,,...,,. Pozorováí áhodé veliiy X získáe statistický soubor,, a eho roztídí dostaee roztídý statistický soubor,,,,, kde e absolutí etost ozorovaé hodoty. Dále edokládáe, že a ro všecha vyecháe.,,. Jestliže získáe o ozorováích etost, ak -tou tídu 8. NÁRODNÍ ONFERENCE STATISTICÉ DNY V BRNĚ, BRNO ČERVNA, 6

4 3. Helligerova kvaziora Rozdleí ravdodobosti (,, ) ozorovaé diskrétí áhodé veliiy X á a ravdodobostí rostoru,,p, kde,,,, a e ožia všech odoži, tzv. iiálí Helligerovu kvazioru za oáteích oetových odíek k Mk, k,,, estliže eho Helligerova kvaziora D(, ) e iiálí ro M k k k,,,. Pro obdržíe [5], [6],,,, k k k kde k, k,, sou Lagrageovy ultilikátory ro Lagrageovu ukci k, D, k M,, k k,. Lagrageovy ultilikátory k e ožo urit oocí elieárí soustavy rovic odovídaící ulovéu gradietu Lagrageovy ukce aebo ío alikovat kterou etodu elieárí otializace ro ureí eího iia. Jestliže ozaíe D i D,, kde,, e odhad rozdleí ravdodobosti s iiálí Helligerovou kvaziorou za daých oetových odíek, ak D k k k. Pro e,,,, a D. Seciál ro de o iterolaci,,,, a D. Platí, že D D. Jestliže ozorovaá áhodá veliia X á eirické rozdleí,,, ak statistika, á ro asytoticky rozdleí chí-kvadrát s stui volosti. Asytotickou vlastost žee oužít k testováí vhodosti alezeého rozdleí ravdodobosti,,. Pro raktické oužití ožaduee [], aby 5 bylo ro všecha,,. To lze ro dostate velký rozsah dosáhout 8. NÁRODNÍ ONFERENCE STATISTICÉ DNY V BRNĚ, BRNO ČERVNA, 6

5 sloueí sousedích tíd, salýietosti. testováí vhodosti odhadutého rozdleí ravdodobosti,, žee také využít ío Helligerovu vzdáleost. Jde o eíliš záý tzv. Pitav Helligerv test shody [7], který soívá ve skuteosti, že statistika 4D, 4 á ro asytoticky rozdleí chí-kvadrát s k stui volosti. Postuý idáváí oetových odíek a oakovaý odhade rozdleí ravdodobosti oocí iiálí Helligerovy kvaziory lze urit iiálí otebý oet tchto odíek tak, aby latilo,, res. 4D,, kde e -kvatil rozdleí chíkvadrát s daý ote stu volosti ro hladiu výzaosti. 4. Shaoova kvaziora Rozdleí ravdodobosti (,, ) ozorovaé diskrétí áhodé veliiy X, á a,,p,, a e ožia všech ravdodobostí rostoru, kde,, odoži, tzv. iiálí Shaoovu kvazioru za oetových odíek estliže eho Shaoova kvaziora M, k,,, k k S(, ) l l e iiálí ro k M k, k,,. Pro obdržíe [3], [4] k e k,,,, k kde k, k,,, sou Lagrageovy ultilikátory ro Lagrageovu ukci k, S, k M,, k k,. Lagrageovy ultilikátory k e ožo urit oocí elieárí soustavy rovic odovídaící ulovéu gradietu Lagrageovy ukce aebo ío alikovat kterou etodu elieárí otializace ro ureí eího iia. Jestliže ozaíe S i S,, kde,, e odhad rozdleí ravdodobosti s iiálí Shaoovou kvaziorou za daých oetových odíek, ak k k S l k e k. k k 8. NÁRODNÍ ONFERENCE STATISTICÉ DNY V BRNĚ, BRNO ČERVNA, 6

6 Pro e,,,,,,, a S. Seciál ro de o iterolaci, a S l. Platí, že S S. V íad Shaoovy kvaziory sou odhady araetr k aiál vrohodé, ebo de souas o odhady araetr odiikovaou etodou iiálího chíkvadrát. Dále ak žee alikovat Pearsov, res. Pitav-Helligerv, test shody rozdleí. Postuý idáváí oetových odíek a oakovaý odhade rozdleí ravdodobosti oocí iiálí Shaoovy kvaziory lze urit iiálí otebý oet tchto odíek tak, aby latilo 4D,,, res., kde e -kvatil rozdleí chíkvadrát s k stu volosti ro hladiu výzaosti. Navíc á každé takto ostu získaé rozdleí ravdodobosti vždy aiálí etroii ro daé oetové odíky. ravdodobostí rostoru, kde,, 5. Pearsoova kvaziora Rozdleí ravdodobosti (,, ) ozorovaé diskrétí áhodé veliiy X á a,,p,, a e ožia všech odoži, tzv. iiálí Pearsoovu kvazioru za oetových odíek k Mk, k,,, estliže eho Pearsoova kvaziora e iiálí ro P, M k k k,,,. Pro obdržíe [9],,,, k k k kde k, k,,, sou Lagrageovy ultilikátory ro Lagrageovu ukci k, P, k M k,,,. k Lagrageovy ultilikátory k e ožo urit oocí elieárí soustavy rovic odovídaící ulovéu gradietu Lagrageovy ukce aebo ío alikovat kterou etodu elieárí otializace ro ureí eího iia. Jestliže ozaíe P i P,, kde,, e odhad rozdleí ravdodobosti s iiálí Pearsoovou kvaziorou za daých oetových odíek, ak P k k. k 8. NÁRODNÍ ONFERENCE STATISTICÉ DNY V BRNĚ, BRNO ČERVNA, 6

7 Pro e,,,, a P. Seciál ro de o iterolaci,,,, a P. Platí, že P P. Dále ak žee alikovat Pearsov, res. Pitav-Helligerv, test shody odhadutého rozdleí ste ako v íad Helligerovy ebo Shaoovy kvaziory. Postuý idáváí oetových odíek a oakovaý odhade rozdleí ravdodobosti oocí iiálí Pearsoovy kvaziory lze urit iiálí otebý oet tchto oetových odíek tak, aby latilo, res., 4D,, kde e -kvatil rozdleí chíkvadrát s k stu volosti ro hladiu výzaosti. 6. Alikace Píklad : Poítaovou siulací diskrétí áhodé veliiy X s Poissoový rozdleí ravdodobosti s araetre,5 se získali statistický soubor ozorovaých hodot, i,...,, zasaý v tabulce: i Po roztídí ozorovaého souboru a sloueí vodích tí tíd s alýi etosti ro 4,5, 6 dostaee roztídý statistický soubor, který e uvede v ásleduící tabulce: Poet tíd 5 a rozsah, takže 5 5 M, M.5, M 4. Poocí otializaího ástroe ešitel z Ecelu ro ureí iia Pearsoovy kvaziory a ásleduící chí-kvadrát teste se získali výsledky v ásleduících tabulkách: k,, 9839, NÁRODNÍ ONFERENCE STATISTICÉ DNY V BRNĚ, BRNO ČERVNA, 6

8 , , , P,.95 Hyotéza 9,8 9,4877 zaítáe 37,,3 6,6 4,,,898 6, ,847 zaítáe,8 38,,,5 6,4,48853,5894 5,995 ezaítáe Rozdleí ravdodobosti získaá ro a vedleších oetových odíek a hladi výzaosti,5 zaítáe. Dokládaí to také odhady etostí v orováí s ozorovaýi etosti v edcházeící tabulce i zázorí výsledk a ásleduící obrázku. 4 3 Observed = = = Píklad : Sledováí diskrétí áhodé veliiy X se získali statistický soubor o rozsahu 6. Po eho roztídí se obdrželi biodálí diskrétí eirické rozdleí áhodé veliiy X zasaé v ásleduící tabulce, kde sou stedy tíd a ozorovaé absolutí etosti: Hledáe iiu Helligerovy, Shaoovy a Pearsoovy kvaziory za vedleších odíek daých rvíi ti obecýi oety M, M 4,5, M, 95, M 3 3 5, 5, M , NÁRODNÍ ONFERENCE STATISTICÉ DNY V BRNĚ, BRNO ČERVNA, 6

9 Výsledky byly získáy oocí otializaí úlohy v rograu GAMS. Výsledky za ostuého idáváí oetových odíek ro všechy kvaziory sou ilustrováy tabulkou: Vzdáleost M M, M M, M, M M, M, M, M M, M M M M D,,3939,4676,445,3883 S,,7853,853,8838,64759 P,,564,68758,6999,5675 V ásleduící tabulce sou vyoteé výsledky, kde horí ide odhadu etosti odovídá rvíu íseu ázvu daé kvaziory: = 8, , , , , , , = 7, ,5599 7, ,479 9, ,636857,3568 H = 6,8466 7, ,435 8,7455 9,4397 9, ,97675 = 3 6, , , , , ,835 9,857 = 4 5,454,5678 7, , , , ,863 = 8, ,5749 8,5749 8,5749 8,5749 8, ,57466 = 7,469 7,5765 7, , , ,647438, S = 6, , ,493 8,7494 9,3478 9, , = 3 6, , ,9769 8, ,3847 9, , = 4 5,8, , ,4579 8, , ,8577 = 8, ,5743 8, , , , ,5743 = 7,8654 7,5494 7, ,3778 8,985 9,64588,46578 P = 6, , , , ,8854 9,7683 9,93594 = 3 6, , ,9786 8, ,376 9, ,8765 = 4 5,763753, , ,7499 7,645 5,956 7,78748 Graická ilustrace výsledk e a ásleduících obrázcích. Z edcházeící tabulky i gra sou zeé dobré aroiace vodího ezáého rozdleí oocí všech tí kvaziore ro = 4. To lze také rokázat teste hyotézy o shod alezeého rozdleí ravdodobosti. 8. NÁRODNÍ ONFERENCE STATISTICÉ DNY V BRNĚ, BRNO ČERVNA, 6

10 Odhad oocí Helligerovy kvaziory 6 4 etosti 8 Orig. = = = =3 = Stedy tíd Odhad oocí Shaoovy kvaziory 6 4 etosti 8 Orig. = = = =3 = Stedy tíd Odhad oocí Pearsoovy kvaziory 6 4 etosti 8 Orig. = = = =3 = Stedy tíd 8. NÁRODNÍ ONFERENCE STATISTICÉ DNY V BRNĚ, BRNO ČERVNA, 6

11 Byla rovž zkouáa ožost ío aroiovat bioické rozdleí a diskretizovaé Weibullovo, eoeciálí a orálí rozdleí. V íad uvedeých soitých rozdleí de vlast o aroiaci oocí o ástech rovorého rozdleí. Píklad 3: Pro orálí rozdleí ravdodobosti se stedí hodotou a srodatou odchylkou se zvolili 9 tíd odovídaících ibliž íadéu výbru o rozsahu. Vyoteé esé hodoty teoretických tídích etostí sou v tabulce: Stedy tíd Horí hraice tíd Hodota distribuí Pravdodobost ro tídu ukce P F F F Teoretická etost P -4-3,5,459,459 4,59-3 -,5,565, , ,5,667,977, ,5,494, ,6664 5,5,59876, ,45 6,5,773373, ,6664 7,5,89435,977, ,5,95994, , ,,459 4,59 Forálí alikací Helligerovy, Shaoovy a Pearsoovy kvaziory se obdrželi ásleduící výsledky: P ro ro 4 Helliger. Pearso. Shao. Helliger. Pearso. Shao. kvaziora kvaziora kvaziora kvaziora kvaziora kvaziora -4 4,59 39,349 48, , , ,985 39, , ,945 64,3 73, ,6 66,559 68,745 -,9774 6, 66 93,4464 4,769 6,775 8,55 7,788-74, , 8 59,5983 7, , ,697 74,833 97,45, ,7787 9,755,368 9,86,749 74, ,8 59,5983 7, , ,697 74,833,9774 6,66 93,4464 4,769 6,775 8,55 7, , ,945 64,3 73, ,6 66,559 68, ,59 39,349 48, , , ,985 39, NÁRODNÍ ONFERENCE STATISTICÉ DNY V BRNĚ, BRNO ČERVNA, 6

12 Získaé výsledky sou zázory a ásleduících obrázcích: = -Helliger -Pearso -Shao = 4 -Helliger -Pearso -Shao Vzhlede k syetrii rozdleí eá syslu uvažovat liché hodoty. Získaé výsledky ro 4 azauí ožost alikací kavaziore i ro diskretizovaá soitá rozdleí ravdodobosti. Forál lze také testovat kvalitu aroiace, avšak ta e ovliva zvoleou hodotou. 7. Závr Eirický ístu k odhad rozdleí ravdodobosti vyžadue i ešeí kokrétích úloh dostateou dávku zkušeostí a elze ito soléhat a roesioálí statistické sotwarové rodukty, které avíc obsahuí ouze evelké ožství rzých ty rozdleí. Výše osaý zsob odhadu diskrétích rozdleí ravdodobosti evyžadue od uživatele íliš oho statistických zalostí a eví se ako dobe oužitelý i v íadech, kdy e statistický soubor ultiodálí. Z íkladu e zeé, že v íad takových rozdleí ravdodobosti e odhad dostate esý, avšak e zaotebí dodat více uesuících 8. NÁRODNÍ ONFERENCE STATISTICÉ DNY V BRNĚ, BRNO ČERVNA, 6

13 odíek. Ukazue se také, že etoda hledáí rozdleí ravdodobosti založeá a kvaziorách e vhodá i ro vícerozré statistické soubory [6] a e oužitelá i ro aroiace diskretizovaých soitých rozdleí. Posaé odhady rozdleí iáší avíc ové tyy tíd dosti leibilích diskrétích rozdleí ravdodobosti, kde Lagrageovy ultilikátory sou eich araetry. Teoretické asekty uvedeého ístuu k odhad esou zdaleka ešt vyeraé a odhaleé, a avozuí adu dalších roblé. Praktické PC alikace osaých odhad sou však oezey kvalitou elieárích otializaích eši. Zatí byl ro otializaci Lagrageovy ukce vyzkouše seciálí sotware GAMS a eši v Ecelu, oba s veli dobrýi výsledky. Pro výoty oocí alikace GAMS e irave ový ee ile a ro výoty v Ecelu byla vytvoea odovídaící akra []. Literatura. VAJDA, I.: Teória iorácie a štatistického rozhodovaia. Bratislava: Ala, 98.. ANDL, J.: Statistické etody. Praha: Matyzress, ARPÍŠE, Z.: Statistical Proerties o Discrete Probability Distributios with Maiu Etroy. Folia Fac. Sci. Nat. Uiv. Masarykiaae Bruesis, Matheatica 9, Bro,,. -3, ISBN ARPÍŠE, Z., JURÁ, P.: Modellig o Probability Distributio with Maiu Etroy. I MENDEL.7th Iteratioal Coerece o Sot Coutig. Bro,,. 3-39, ISBN X. 5. ARPÍŠE, Z., JURÁ, P.: Estiate o Discrete Probability Distributio by Meas o Helliger Distace. I MENDEL. 8 th Iteratioal Coerece o Sot Coutig. Bro,,. 3-36, ISBN JURÁ, P., ARPÍŠE, Z.: Helliger Quasior ad Shao Quasior i N- diesioal sace. I MENDEL 4. th Iteratioal Coerece o Sot Coutig. Bro, 4,. -5, ISBN ARPÍŠE, Z., SADOVSÝ, Z., ŠÁCHA, J.: Pita Helliger Test o Fit. I 4 th Iteratioal Coerece APLIMAT 5 (art II). Bratislava, 5, , ISBN X. 8. ARPÍŠE, Z., SADOVSÝ, Z.: Fitováí diskrétích rozdleí ravdodobosti. I Celostátí seiá Aalýza dat 5/II. Láz Bohdae 5,. 43-5, ISBN ARPÍŠE, Z., JURÁ, P.: Estiate o Discrete Probability Distributio by Meas o Pearso Quasior. I MENDEL 5. th Iteratioal Coerece o Sot Coutig. Bro, 5,. -6, ISBN ARPÍŠE, Z.: F-divergece or Discrete Probability Distributio Estiatio. (iraveo k ublikaci).. ALICH, D.: Odhady diskrétích rozdleí ravdodobosti. Diloová ráce. ÚM FSI VUT v Br, 6. Reerát e souástí ešeí roektu MŠMT eské reubliky ís. M647 Cetru ro akost a solehlivost výroby CQR a gratového roektu GAR reg.. 3/5/9 Otializace avrhováí rogresivích betoových kostrukcí. 8. NÁRODNÍ ONFERENCE STATISTICÉ DNY V BRNĚ, BRNO ČERVNA, 6

ij m, velikosti n je tvořen (n m) rozměr-ným polem dat x 11 ... x 12 ... x 22 x n1 ... x n2 7.1 Druhy korelačních koeficientů

ij m, velikosti n je tvořen (n m) rozměr-ným polem dat x 11 ... x 12 ... x 22 x n1 ... x n2 7.1 Druhy korelačních koeficientů 1 7 KORELACE Pro vyádřeí itezity vztahů ezi složkai ξ ξ -rozěrého áhodého vektoru 1 ξ se používá korelačích koeficietů Data tvoří áhodý výběr z -rozěrého rozděleí áhodého vektoru ξ Neuvažue se obyčeě a

Více

20. Kontingenční tabulky

20. Kontingenční tabulky 0. Kotigečí tabulky 0.1 Úvodí ifomace V axi e velmi častá situace, kdy vyšetřueme aedou dva statistické zaky, kteé sou svou ovahou diskétí kvatitativí( maí řesě staoveý koečý očet všech možostí ); soité

Více

STATISTIKA A PRAVD PODOBNOST - P EHLED VZORC A POZNATK. Doc. RNDr. Zden k Karpíšek, CSc. RNDr. Pavel Popela, Ph.D. Ing. Josef Bedná, Ph.D.

STATISTIKA A PRAVD PODOBNOST - P EHLED VZORC A POZNATK. Doc. RNDr. Zden k Karpíšek, CSc. RNDr. Pavel Popela, Ph.D. Ing. Josef Bedná, Ph.D. Vysoké ueí techické v Br Fakulta stroího ižeýrství Ústav matematiky Doc. RNDr. Zdek Karpíšek, CSc. RNDr. Pavel Popela, Ph.D. Ig. Josef Bedá, Ph.D. STATISTIKA A PRAVDPODOBNOST - PEHLED VZORC A POZNATK uebí

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 2. část: Základy matematického programováí, dopraví úloha. 1 Úvodí pomy Metody a podporu rozhodováí lze obecě dělit a: Eaktí metody metody zaručuící alezeí optimálí řešeí, apř. Littlův algortimus, Hakimiho

Více

Ě ÉčÁ Š éč Š ď éč Š ů éč Š é Í é Š Š ž é éč Š é ř š ž é ř ž č Č Í Š ž úú č ý č Í é ťú é č é Í ť č č é č ú é ž č ý ý ň č Í Ž ž č č úč č ř ů ř ť š ř Í č ý ý ó č éó Š ý Í ž é ž é ý č Š Č éč Š č Í ů Ý Č ý

Více

í Š í Š Í Í ú š š š Š š Š ě ý íň ý í í Ž é ě š Ť í í ý ú ý ý é ý Ř Ý š Žď ě š é ý ďí ě ě ě í í í ď š ší Ž í Ř ý í Í ý ž ý ý Ž ě Í ě í ď ě ý ě ě Í ý ý ú í ý ý ě š ý í Í ž ý ý ý í í Žď é ě ý í ší é ě ť é

Více

é é ž é é ěž é é ž é ž š ý ž ě š ý ž ž é ž ž éž ě é é ěž é ž ě é é é é ž ý ž š ě ý ž ý é é ě Š š š š ě é š ě ě ěš š é š Á Š Í ě Š Í ň š Í ď Š é Š Í ý š š ň š š š ň ý ň ú ň Š Í š Š ě é Š ď ň ý Š Í ýš Í

Více

ý ž é é é ýš Í Č Á Ž ě é ěž ý ý Ž ěž ý ú ě é ý ě ý ý Ž Ž ěž é é Ž é é ě ěš ě ýš é é ý ý ě š š ě ě Č é ě ú ěš ě é Ž ě š ů ě Ů Ř Č Ž Ý ů é é Ž é Ž é ě Ž ň ů ý Ú Č Ž ý š Ž š ě é é Ú é ů ý ě Ž ě ů Ž Ž ě Ú

Více

6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY

6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY 6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY Rozdleí áhodé veliiy je edis, terým defiujeme ravdodobost jev, jež lze touto áhodou veliiou osat. Záladím rozdleím oisujícím výbry bez vraceí je hyergeometricé

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část)

KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část) KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část) V prví kaptole jsme se seáml s algebrackým tvarem komplexího čísla. Některé výpočty s komplexím čísly je však lépe provádět ve tvaru goometrckém. Po. V ásledujícím textu předpokládám

Více

Á ř é Ú ř š ř ý ěř ů é ě ě é ř é ř š ů é é ř ě ěř Ů ě ě ř é ř ý ř ě é ř Č ř ř Ú ř ř ě é ř ř é ř ě ý ě ř ě é ř ě é ě ů š ě ý ř Ú ě ř ě é ř Č ú ěř ř ě é ř ř ě é ř ř é ú ř Ú ř ě é ř ů ú Ú ř ú ě é ř ěř é ř

Více

Nejistoty v mìøení III: nejistoty nepøímých mìøení

Nejistoty v mìøení III: nejistoty nepøímých mìøení Nestoty v ìøeí III: estoty epøíých ìøeí MÌØIÍ TEHNIK V èácích [] a [] by podá pøehed soèasých ázorù a probeatk estot v ìøeí obecì a pøedstave zpùsob výpoèt estot pø éì ároèých pøíých ìøeích. Teto tøetí

Více

ÍÍ ů Š ý ú ý ú é é ý é Í é é é Í ý é Ž Ž é é ý é ý ý ý ý é ý é é é é é é é é ú é ú ý ý é Í é é ý é Í é ů é é ý Í Ž ů ý é Ž ý ú ý é é ú é é ů é ý ý ý é ů ů é Ž ů é é Ž é é ů Ž é ý ů é ý Í Í é ů é ů é ů

Více

Ý Í Á Š Á Č ÉŠ Š Š Í Č ó ú š š š š Ť Čš š é š Ť ó é š š ú š Ú é š Š é š š ž š é š š ů é ů Éš š é š Š Č ď š š Ý ó Š ď ó Č Ú é š é š š Š ž ů Í é š ž ů ž ů ď š Í éš ď Č Ú Ý ž ů ž ů š ž ů Í ó ž ů Í š žá ů

Více

ť Č á ě š é é ú á ň á á ě ě ě á ě é Č á é á á é š á š á á á š á á ž áš ž á é á ž á á é é ů á Ž á é ě á ž é ě ž ů ý ě ý ý é á ú ý á š ě á ě é ý á ý á ý ě ě á á Í ů Ž š á é á ú ý á š ě á ú š ě žá é š é é

Více

ř ř á á ý é ř é á ň ž ý á ý č ř á ů ř á ř á á ň řá ý á ý č ň ř č ý ř á š č á é ň á ů á ý á á š é č ů š č ů š č é á č š č é ž š á ř ý ř ý š á ř á ř ř ř ř ř á ý č Č ř ř é ý č ž ů á ů á ř é á č č á ý ž ž

Více

Ý Í Á ž ú ú é é é Ú ů éž ú é é ň ú ú ž é Ž Íž ň Í ň É š é é Í ž ů Č ž ž é é Í é Í Š Í Í Š é Š éš Í é š é š é ů é Š š ů Í é é É é É Í é ž š é Í Š Š Š Íš Í Š Š š é ž É Í Š é É é é Í Í š ú ň Ž é Ž ů ů Ý

Více

Š ů Š Á š ů ů Ú Č š ů š ů ů ť ť ů ů Č š ů ů ů š ú Ú š ú Č ů ů š ň š Ú ů ů Á Í ť ú š Ě ů ů š ů š ň ň š ú ň š Í ň Č Í Ý Š Š Í Á š ú Ů Ž Ú š š š ú Č š š ů ů š ť ů ů ů š š š ů š ň š š š Ň ň š š š š ň ú ú Č

Více

ň Ě É Á Á Áš Áš Ý Á Ě ú Á ú Ě ě ě á á á é é á Č ú á á řá é é á á ě á ň áš á ý á é á Ú ě á Ú Ú ě Ú áš š á é á ě ú á ú ě ě Ú Ú á ě ě Í ě Ú ú ě ž é á ú á ž ú ž ý ě ě Ú Ú ě é é ž é é áďá ň ř é é ž ř á á ě

Více

ř ý š ě š ř ř ř č ř ý š é š ř č Ě ý ů é š ř č é ě é ř ř ý š é š ř š š ř č ý é é é é č č ě ý č é č é č š ř ř ž ý ř Á é č š ř ř Ž ý ř ý č š ý ž ú Í ý č š ý Ž Ú é č č ě ý ý ý Ž é č č ě ý ý ý ý Ž ý ť ý ě ě

Více

Ý ú é Č ý Ř ě ž Ť ý ů ý ů ě ď ě ý Ť ž é ú ú ě ě ďó ý ů ý ů ě ý ů é é ýú ý ý é ěš ď ý ě ý é ě ď ý ý ů ý é š é š ě Š Š ýš ď ý ě Ú Ú é ú ý ěň ů é ý ýš ň ů ý ý ď Í ť ě ď ú é ý ú é ú é ú š ý ď ů ýš ýš é é ý

Více

ě ř ó é ž ó ř ý ó ě ě š ř ů ó ó ř ů ý ů ě ď ě ě ř ě ě ř ě ě ř é ř ě ř é ý ě é é ř š ě ů ů ý ů Ť ď ý ů š ů ř é é š ž ý ý ě é ý ý ý ů ě ž ů ů é š ě é é ů ř é ě ě é ř é ž Íš ř ž é ď é ě ř ů ď ý ž ď ě ě é

Více

Á ú Ě š Í ě ď š ň Ú Í Í ý ě ú ú š ý é ú ě ě š ů ď ú ž ž ě Ť ě ó ě é š é é š ě šú ě ú ú ě Í ú úě ť é ž ž é ž é ý ů ú ě ý ý Č š ě Ť ž ě ů é é ě ě Ž ě ě ě ž ú é ě ě ý é ú ě Ť ž ý ě ů é Í Ó ť š ě Í ě é é Ú

Více

ž é é Ž ů ů ŽÁ Í ŘÁ Ř Í Ú ž Ž é Ž é ť é é žé Í ž ž ů ď ů ž ž ů ž Ž é é ž é ž ď Ž ž é é ť Žď ž ž Ž ž ú ů é é Ž ď é ď é é Ž ď é é ž ž ďď Ť ž é Ž é ž ď é ů Ž é Ž Ž Ž é é é Ž ž ž ů ž Ž ž ň é Ž Ž ž é é ů ď

Více

ú Ž ž Č Č í í í í ě é í ě Ž í í ú í ů ů í í í í í í Ž í ě í í í í Ž í ú í ě í ě í í ú é í í í í í í í ě ě ů í ě í í í ú ů í ě í í ů ě í ú Č í í ú Ý í í í š ě é í í í í í í Ú í í Ó í í ů í í í Ů Š í ě í

Více

Í Č Á Í Č Č Ř Á Č Ž Č Á Í Á Ó ň Í

Í Č Á Í Č Č Ř Á Č Ž Č Á Í Á Ó ň Í ť Ť Í Č Á Í Č Č Ř Á Č Ž Č Á Í Á Ó ň Í ň ť Ť Ť Ť ň ň ňí Ž ň Ý ď ň Ž ň ň Í ň Í Ť ň ň ň ď Í Ř Ť Ť ň ň Ť Ť Ť ň Ť Í Ť Í ň Ť ň Ý ň ň Ť ď Ť ň ň Í Ó Ť ň ň ň ň ň ň ť ň Ď ň Ť ň ň ň Ť Ť Í Ť ť Ť ň Á Ť Ž ň ň ň Ť ď

Více

Í ú Ý ý ú Ý Í í č Č Ú Ř Ž ž ý í ý ž č Í š í ýš čí Ž ů ů í ě ý ý ů ó ž Ů ý í í í í ě ť ýš í č ě í ý Ú č Í í í í č í Ž ě ýš čí ž í č č ě í Í š í Í ě Ž Í ěž ě ší č ě í í ě ě í í í č í ů í ě ý š ěš í ú í í

Více

Á Í ň Í é ň Ý ď ž Ť Á š é ý Š é š é š ý é ž ý ž é š é é š é ň Ď Á Á Á Í š ň ý ý ž é é ž š š é é ú š é ž š é ž é ý ž é ň š ž ň š é é é ň ý ú š é š é ž ý š é é Í Í š ž é š š š ň š š š ú š é é é š ž é ž ž

Více

č č č Ž ě ě š ď ů č č ť č ěč ěč Ú ž ě ě č Ř č č úč č ě ě ě č č č úč č ě ě ě ý ě ů č ý ě č ý ě č ýý ě č ý ě š ú ě č ú č ý š ě ú ě č č ě ý ě č ě č ú ě č č ě ě č ě Í Ž č ú ě ů č č ě ý ě č ě č ú č č ě ů š

Více

Ě Ř Ž ÁŘ Ě Ň Á Í Á ÁŽ ŮŽ ů Ž Ž ůž Ž ů ů Ž Ž Ž Ť Ž Ž Ž Ž ů ď ů ť ď ď Í Ž Ž Č ú ů Ž ď ú Ž Í ů Ž ú Ž Ž ů ů ů Ž ů Ž ů ť Ž Ž Ž Ž Ů ň ů ů Í Ž Ž ů ůž ť ÁŽ ť Í Ě Ř Č ů Ž Ž ů Ž ú Ž Í ÍÍ Ž Ž Ž Ž Ž Ž ů Ž Ž Ž Í Í

Více

Č é š Č é ě Č é é Š Č é ě Č Č Á éú ě éú é é é Š Č é ě š š ě é ě ě ž ú š ě Ž Ž é é š ě éž Ž é é Č é ě Š Č Č š ě ú ě Č Č é é Č é ě Š Č Č š é Č Č ú ě Č é ě ě ě Č é ě Ú ě Ř ě ě é ě ě Ž ě ěž é ě Ž ě š ú é Ú

Více

Á é ů é ž é ů ů Ř ů ě ž ů ž ů ž ě ú ě ě ý ý ý ů š ů ň ů ž ý ě ť š ů ň ů ů ž š ů š ú ň ý ě ý ž é é ů ž é ě ů ě ě ý ů ů š ů ú ů š é ě ů Ř ů ě ž ů ů ž ž é ě ů ž é š ů ě ě ě ň ů ě š Á Í Ů é ů ž é Í Ů ě ě š

Více

2.8.8 Kvadratické nerovnice s parametrem

2.8.8 Kvadratické nerovnice s parametrem .8.8 Kvadratické nerovnice s arametrem Předoklady: 806 Pedagogická oznámka: Z hlediska orientace v tom, co studenti očítají, atří tato hodina určitě mezi nejtěžší během celého středoškolského studia. Proto

Více

ě ř é ř ý ř é ř ř é ž ř ý é ě ř ý ě ě ř ě ě š Í ř úř ř ý é ř ý ř ě ě ř é ř ě Í é é Ť š ě ž é é ř ý ě ř ý é ě ě š ě Ž é é ý ž Í ý ě ř é ř žší ř ř ě é š é ř ř ý é ý é Í ř ř ý ě ý ř ý ý ž ě Í ř ů é ý ď ž

Více

Í Ž ž š ž Í š š ň š š ž Ť š ž ž Ť ď Ť ž ž ť É ď Í ď Ó ď Ň ď Í Í Í Í É ť Ó Á Í Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ň Á ž É Ú Ó É ď Ť Í Á Ó Í ď Í š Í ž ň ž ž ž ž š Í Ť Ď Ž š Ž Ť Ť Ť Ž Ť Ť Ž ž Ťž ž ř Ž Ť Í Í Áž š ž Í Ť Í š Ť Í ť

Více

Opakování. Metody hodnocení efektivnosti investic. Finanční model. Pravidla pro sestavení CF. Investiční fáze FINANČNÍ MODEL INVESTIČNÍHO ZÁMĚRU

Opakování. Metody hodnocení efektivnosti investic. Finanční model. Pravidla pro sestavení CF. Investiční fáze FINANČNÍ MODEL INVESTIČNÍHO ZÁMĚRU Metody hodoceí efektvost vestc Opakováí Typy vazeb v uzlové síťové grafu K čeu slouží stude využtelost Fačí odel vestčího záěru Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Napšte strukturu propočtu Fačí odel FINANČNÍ

Více

ě úř š úř ú ř ě úř úř ú Š ú ř ě ě š ř ů ú ř ř ň ě ě é ř Š ě é ě ř š ě š ú ě ú ř ř ú ř ě ř ě é ě ř é é ě ú ú ě ě ě ř ř ě ú ř ů ů ř ě é ř Ň š ů ť ě ě ť é ú ě é é é ě é ě é Ú ř ě ř ě é ř ě é š ě ě ě ř ř ě

Více

ř ý ý š Ě Á š Á š š š ž é ř ů é ý é š ý ý š ý š é ž é ř ž ř ý ž ý š ř ý ř ý ř ř ž ů ř é ň ů ý é ň ř ř ř ž ý é Ž Í ť ú ř é é Ď Ž é Š ř š Š ý ž ý Ě ž é Š ř š Š ý é ř ý š ý ů é ř é ž é š ř š Š ý ž é ř ž ý

Více

Á Ě ň Í Á Ě Á Ý Í Ř Á Í Ř Í ú é ú ů ů ě é ě Š Ě ň ě Ž ě ů é Č ě é ě ě ě ě ď ú ů ů ě ů ě ůč é Í ž š ě š ě ů ě ů ů ú ů ú Ž ě ě é ě ů ě é Í é ů š ů é ů š ů ěž ů ú Ž Í ě ú ěš Ž é é š ě š ě é ď š ě ž ž ěž ů

Více

á Í Ž á á á ý č Í é ů š ě ž říš ě č í í Í č í á í í č í Ží í ů ů ě ř ě á á é í í ě á é ů ě ň ž é é áš ě í á í ř š í á í á á ý ý š ř ů á ž ž á ž é ě ř š ě š ý é é á í á Ž š ů ří í ř é ě š ž ý í Š Ř áš ř

Více

ÚŘ Č Ý Č Ú Ú ť Ů Ú Č Š Ý Ý Ř É Ť Č Č Ú Ú Ú é š ž Ú é Ť é Č Ú é Ů Ú é š Ú Ť Ť é Í š é š š Ť ť Í éí š Ú Ť Ú Ú Ů Ť é ť Ú ť Ú Š ť Č Ú é Ú é ž š é Ť Ú Ú ť é Ž é é Ť é Ť Ť Ú Ú é é Í é Í Ť Ú ť Í Í Ť é Ť Í Ú Ť

Více

Á ú Ú ú Í Ů ť Í Ů Í Ú Ů Ě Č Ů Č Í Ů Ů Ě Ď Ú Ě ť Ě Ď Ě ť ť Ý Ý Ý ť ř ú Í Ů Ů Ů ť Ů Í ď Í ť ň Í ú ť Ů ť ú Í Í Ď ť Š Ů ň Ý ň Ů Ů Ů ť ť ť Ů Ď Ů Ů Ů Ů ň Ů Ď Ů ř ř ř ň ú Í Ů Ů Í Ů ř Ů Í Ý ď Ů Ů Ů ď ř Ů Ů Ů ň

Více

Ž Ý ř ý ý é á ý á ř ý ů ý Í ář á ý ř ý ů ý ř ů á ř é ř ř á Í ř Ž ý ý ř é Í á Í Í ý é ř Ž ý Í á Ýý ý ň Š é ř ť ý á á á á ř ý ý é á á é é ů ř é á ř é ř á ř ř á á ů ý Ž é é é ý ý ý á á ř é ř á ř á ó á Ř ř

Více

Š ď é ě ěř é š ř ř Ž é ř é ě ď ěř é ď Ú ě ý ú ř ř Á ř ě é ř ě ř ě úř ř ý é ě ř Ž ř š é ř é ě Í Í ý ř ě ú ě š ěř š ěř ěř š Ž ř š ě š ě Ú ř Ú é ě š ě Ú ě é ě Ú ř ř ě é ř é ě š ě é ě ě š ý é úř ý ř ř ť é

Více

ý Á Á Á Š É Ř č ř ý é ě ř ř é Ú ý é ď ě é ř č ě ž ř ěř ý ý č č š ř ě ř é žš ž é ž ř ě ý ě č ý ě č é š ž ž é ř ůž č č ě ř ě ý ů ě ý ž é ý ž č ů ě ř ž č ů ř š ž š ů ěř ý ů é ň Ž ž č ů ř é ůž ě č ý č č é

Více

Á ů š ČÁ Ú Í Í Í Ú š š ť ď ů š š Č š ČÁ Á Č š š Ě Ž ť ť š Í š Í Ú Ú Í Ú Ú Ú š Í Ú Ú ť Í ť š š ť š š Ú Í Í Ě É ň š š ť Ž š š Ú ť Í š š Í š Í Ú ť š Í ť š Í ť Ú Í Ý Í Ž Ú ť ť ť Í š ť š ř Ú Í É Í Ú ť š Ě š

Více

ť ý ř í ú í í í í í í é ó ř ří ů ť ď ý ř í ř í š ě í éž í Ž Í í ěř í ří ěř ý ří í í ř í ř í í í ř í ř í í úř š í ú í ž ř í í í í ř í ř í í í ú ř í í í é ř í í í ň ú í ř í ř í é Č ř í ř í ú í ý ů ý Ů Í

Více

ř ě ý ř é ř ý ý Ú ř ý Š ě Ú ý ť ú ř ř ý ú ř ě ř é ř ř ě ě é ž ý Ú ř ř ě ř é ř é ý ý Ú ě é é é é é é ě š é š é ě ě Á š ě ě Á ě ě ř ý ě ř ř ř ě ě ý š ž é ý ř é ý ě ž ř ř é ě ý ý Ž é ýš é ř ř ýš é Žš šš ě

Více

Ú č á í í í ý á ý á ý ň í á é ě á ý á č ř í á í č á á á ř ý ř ý á ř ř ě é ý ů ě ř ý í ž á í é ý ř ž é á á Š í í ž é Ž ě í í ářů ý í ý á č ý í á á é í ý á é ě é í í í ěá č ú ý čá í é á ž é é ě é á í ž ú

Více

ě š ž ě ř ř ě ž ň ú ě ě ě ě ý š ě ě š ř ě ř ě ě š ř Ů š Ú ě š š Ž ě ř ř ě Ž ň Ú ě ř Ž ř ě ý ý ě ý ě ý ý ř ě ý ú ý ř ě Č ž ř ě ř ě ý Ž ř š ě ě š Í ě ý ý ě ý Ž ř Ž ě Ž ř Ž ě ě Ž ř š ě ě ř Úř ý Ž ř š ě ě

Více

ř é ě ř ř Ž ý ů ý Ž Ž ř ě š ý šť ý ř š ý é ě Ž ý ý ř ě ě Ž ž ý Ž ř ý ý ý ý é ř ě ř é ě ř é ú ěř Ž ý ě ů é é ě ř Č ž ř Č ý é é š š ě ř é ě ý ř úř Úř Ž ý Ž Ž ú ý é ě ý ý ý ů ě ý ě é ř ř š úř ě é ě ý é š

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA. Jarmila Radová KBP VŠE Praha

FINANČNÍ MATEMATIKA. Jarmila Radová KBP VŠE Praha FINANČNÍ MATEMATIA Jarmila Radová BP VŠE Praha Osova Jedoduché úročeí Diskotováí krátkodobé ceé papíry Metody vedeí a výpočtu úroku z běžého účtu Skoto Složeé úrokováí Budoucí hodota auity spořeí Současá

Více

Ý č Č Ú Ř Ž Ž ž č š Í Í š č Ž ů ě ů č Ž ů ě ť š ň ě Č ú č Í Í č Ž ě š č Ž č č ě š ě Ž ěž ě š Ó č ě ě ě ě Í ů ě š ěš ú Ť š č Ž ú ů ě ě ě ž ň Í ě Ž ě ů ů š Ž ú úč ů Ž š š č Ž ů ž ě š ú ě ňů ž č ě ě š č ž

Více

Ě Ý úř Ý ÚŘ ř ů ž ř á á ř ů ř á á ě Š Ř Á Á Í ě ý ť ř ř ť ž ř á ť ř ě ě ř ý á č á ě ě ě á ů á ě ě ř ť á á á á úř á č ú á á řá á é ě ř ů ě ř ý á á á č á řá ě ě ŠÍ ř Ů č ý ě Č á é á á á á Š ř ů á č á Š ř

Více

ŘÍ Ň ÍÍ Č Á Ů Ř Ň Š Š Á Á č Č úř Ť ň ř ý č č é č ě ůé č š ě é úč ř ý čů ž ě ý ř é é č ř š ý ř ě é š š č š č š é é š ž ů Í š č č é č ř ř ř ů ř ř ů ř ž é ž č š č č ř š č č é ý Ž é úř ě ř ň č č š é š č ý

Více

ž Á Ř ž Á ř ž é ř ů Ú ř ý ý Č šť ř é Č šť ř Ú ř ý ř ř š š ý ž Ů é ž ý ř ý ř é ž ž ž ý ý ž é Ž ž šť ý ž é š š ý ř é ú ý é ú ů ů ř ž ž é ž Ú é ř ý ý ř ž é ř é ž ý š ř ň é ř ř ř ú ř ř ž é é ň š ž ň é é ř

Více

ť Á Í í í ó č ř ý ó ó é ě í ó í ří í ří í ý í ť ř ó čí ř é í é ó ř é í ěť é ří ě ř ř ř é ó ř ó é č íú ř é č ř í ří ř ě ň ó Ť Ť Ť ř ě ó ř ě ř é í í ů í í ý é í é ý řů ě í ž í č í í ý čó í í í ó í ň í í

Více

ž Ú é ř č ý Ů ú č ů ř ř é ě é ř ř é ř ř š é ý ů š é é ú ý š ě é š ž š ž é š ýč ž ý ý ř ý ú ž ú é š šř Ů ň ý ř ř č é ř ě ě š é ě š é éť ě š é č ř úř ů ú ů č ý ý Ú é Ú ěř ř Ú č ř ů ú ý úř Ú é ě ý úř ě é

Více

í ň é í í í úř ň í č ů č í é č í ř é í Í í ř í í č é í ů é ř ů é ř í ť í ů í ří ř í é č í íť é ú ý ř ř č ů ň ýé í í č í ř č č é č í č š ř í ř í č ř Ť ří č ý č ří č č č é ř í ří é č ř í č ří ýší č ť č í

Více

í é ě ů ří é ů í ř Ťí ď í ú í í í ří ř ů í é ěř ů í ěř ěř ý í ů ů í í ý í ů í í ř í í ú ěř ů í í í í Ú Ú ý ú ů é í ý ý é í ě í ě é ř ě ě í ý é í ě Žď ř ý ň í ů Č ň ý ý úř ř é í í í Ž ě ú í ů é ý í ů í

Více

Í č Í Á ř Š í ý ý ů ý ý ů é ý ý ý ů ý ř Ž č í é ú í í é č í š í í čí č í čí ý í ý čí ý é é ó ř é é é í í ý ý ý ů ý é ý í í í í í é í í í í é Í í č í í í ů é í é ď í ř ř ý í í ý ý ů ř ř ř Í é ť í ří ý č

Více

Í Ž š ř š š ř é é Ž ř ů ů ů ž Ů é š é ř é Ž Š š é Š ůž Ž š Ž ů é ř Í é é ž ž š Í ú ů é š é ř š é Š é ř é ř é é ř ř é ř é Ž ť Í ř ž Í Ó Í Š ř é ř šř Í ť ť Íť Í š š ú ř š š š Ž é ů ř é ň ň Ž Í Ž Á Š ř Š

Více

ů ý é ď ž é ý Ž é é ř ř ž é ř ý Í ý ý ř ý š ý š š ň é Ý ň é ý Ž ř ř Ž é é ř ú é ú ý ýš é ř ú é ú ý ýš é é Ž ř Ž ý ů ý ř ý ů ý ř ů ýš ů ř ý ř š ř é ž ý é é ř ýš ý ů ž ž é ů ý Ž ý ř ů ú ž ý é é ř ýš ý ů

Více

ž ě í č í ě š í é í ů š č í Í ž í áš í ů ě í í á ížá í á Í ížá Í Ž í á í á á Í ů í í ě Á É Ř Í Ů á É ě á ň ž íž í Í í é ž é ě é ž í í é ň ě č é ťí í ě ž ě é é ž í í á é é ď Ť ě š í Ý íž é ě é í ú ž ď é

Více

ú ú ů ů ů ž Í ú ó óž ó ž ó ů ž ú ó ž ů ů ůž ž ó ž ó ó ž ů ó Ž ú ů ó ó ž žó ó ů ó ó ó ž ž ó ž ž ž ó ž ů ó ó ú ů ů Ú ó ó ž ó óž ó ó ž ó ů ž ú ž ž ž ů ů ůč ž ž ž ť ž ň ůč ó ň Ú Ú ůč ó ť ž ů ů Ú ů ž ú úž ž

Více

Ě Á ÁŠ Č ě í í ď í č é ě í íí í é í í č é ě í ř í é í é ě š Ř ř é ř š ě é í š ď Ř ř é ř š ě ř š ě č č ú ř š ě šť í ř š ě í í ř š ě í í Ž ě ř š ě ří ě ě úř ě é í č ěúř ě é í č ř ř š š ě í ř š ě Ž é í í

Více

č č é č ě é á ý ě ýš á é é č š Ž é š é Í č ě ě ě á é ý ě á é ě á ě ý ě ý č ůž á á ě á č ě ý ě é čá é ý á č ó č á š á á Ž é č á Č Ž á č ě ě ý á č Í č é š á č á č ě á ě é č ě ě áč á é ú ý áů ě ý č č ů é

Více

Ú á á ě ý Ú š ě ř ý ě é ř á á š ě á é á ú ý Úř á á ě ý á Úř ž á Č é á á ě ě š ř ů á ř š ř ž ý á áš ř ž á á á ě ě š ř ů ě š á ý š ě ý ě é ř á éž Ř á é é ě é á á á ě ů ž áž ě ú ý é á úř ý á š ě ě é é ř ř

Více

Ě ŠŤ Í Á Ě šť É é ěú š Ů š é ě š Š š Š é ě Ů ú é š ě ě ě ý Ů Ů é Ů é Š ě ě ě ě ě Šť š ě šť ě š ěú ě é ě é ý Ů ě š é ě Žý Ů š ě é ě ě š ů ý Ů é é é ě ě ěň ě é ě ě šť Č é šť ň š ě é ý é é šť ě ŠÍ Č ě é ě

Více

ř š ě é ě Í ě ř é ř ý Ť é ě ýš ř ý ř ý ě Í š ě š é ř š é ú é é š ě Š ě ě ý Ř Ý š Ž ý ý Ť š ů ř žě ý Á É é ž ý ě ý ý é ě ě ř ž ě ů ě ř ř é ž ú ž ě ř é é ě ě é ě ž é ž é ě é ú ž ó É Ž ý ů ě ž ú ž ýš ě é

Více

é ú š ř ý Č šť ř é ř ž Č ý ť ž ý š š Č š Č Ě Í ú ý Š ž š éř ř š éř Č šť éř š éř ž š éř é ž Č Ř Ý š Ě Í Ž Í Š Ě Í ú ž š Í ř š Í ž žý š ř Í ž ř š Í ú š Í ý é ř ř š š é é ú ž š ř š š ř ř š Í ž ú š š ř ď ú

Více

Ý ú Ť š é á š š á Ř Á ÁŠ Í ú é ú ú š ý á ú á á á š ů á á žá á ú é ž š é š é é ó ú ý á Š š á Š áš šú ú Í á ú á á é ý ý ž š ý ýš ú é é š é é á š š é á ž ž é ý ů ý ů é á á á á ý á ý ň á é ý é á ů á ů ú á

Více

Ý úř ř č é ř ř Š Č ř č é č ř ř ú ů ů ř š Č Ý ř ř Ť ř ř Č ř č Í ú ř ř č ř ř ú ů ů ř ů ř é ř é č úč ř é úč ř úř č č ž č ř úř č ř č ř č ť é č é č é č ř č č Š ů č Ž é úč é é ř č ž č š š é é ř č č Ť ž č Ž č

Více

ž úř ř ě ř ý ž ř ř ě ř ň ř ý Č ř ý ž ěř ý ř ž ň ý ě ň ř ř ž ř ř ě ú ž ž ě ě š ř ů ý ě ě ž ž ě ě š ř ů ž ž ž ó ž Ž É Á ŘÍ ž ř ě ž ž ž ů ě ž É Á Ž ž ž ř š ě ř Ě Á ň ň ň ň Ý ř ě ř Ě ů ě ý ě ú Ň Ů Č Ž ůž ůž

Více

Č í í ýúř í á íá ě ý á č ířá í é ž í š č á ě ť í é ž ř é ří Č í ť ž í Š č í á ž í ří ý č íří í é ě č á á É Ž Ý Ě Í ť č í á í ší ž ý ě í ý ě á ř í Ť é é Ž Ý ť řá Ý á í ř é áž ž ž éč á í č í é ž ří ž š á

Více

Ó Ě É Á Á Á Ě É É Ř Á Ú Í ř Ě Ž ř ž Ž ý Ž ř ň é ý ý Č é é ň ú ý ý Ž ř š é ř š é ý Ú é ů ý ú ý ý ý é ý ý ý ý é é š ř ů ř ů é é Ž ú ř ý ů Č é Ž ý é ý é é ý é šť Ž é š é Ž ý ý ř ů ž Š ý ý é ř ý ý ů Š ž é

Více

á í ť Ť Ú ř í ý á úř ó í č ú ý ó ří Č č ří ň Úé ý úř ů č Ýé ť á óíř í Í ě ě á ý úť í ě ří š ý Á Íí Íú á ě í é ří Áí í á č ř í á ě í íí á ří Íí éá ě á í řá ě í ě š ř ů ó í ě é č Ž É ě ě Ž ě č ú Ž Ý Ř ě

Více

á Ď ž é á ž á ň á á Ť á Ť é é á é ň á é á Ť é ň á á ň é á ň á Ť é á á ž á á Ť é á ň é áť á ň á ž áň Ť Í Ť Ť é Ť ž ňá é ž á é ň é ň ť á á á á é é ť Š á é ž é ň Ž é Í ž é á ň ž á á ň é á ž á á Í ž á é ž

Více

Š Ě š ě ř ý Ř š ě é Ú ř é ě é š ě š ě ř ř ž ř š ě é ř ě š š é ů ě ý ř ěř ěř ů ž ěř é ě š š ř ý ů ž ěř é é ž ř ě é úř š ě š ě ž ř ř ě ý ř úř š ě Í ě é ř ž é š ě ě ů é ě ě ř Ž ř ř ů é ě é ž ř ř š ň š ě ý

Více

á á ř ř Č ř áč ť á ř č á á á á á ý á á ř é ř č ý Š č á žá ý ů Č á ř á ů é ř ž č ě ř é ř á á é ř ř ú á ř é Ž ý ý á á ž á ř ě Č Ů á á ř ý ý é áš á ěř é á Ž áš é á ěř á áš á ř ž á á é ř á ě ě á č é á Š ě

Více

ě ý úř úř á š Ť Ú á Á Í Í Ú Í Í ŘÍ Í Á Í É Ř Á Ř ú ú š úě Ú ě á á á á ě ý ř á ě á ý á ú ř ě ý Úř úř úř ř š ý á Ú á á řá á ě ě š ř ů á á ú ř á á řá ě ě š ř ů á řá ú á á ú ě ř á žá ř é ú á é á ě ú ý ů ý

Více

ť Á ř ř ó Č ř ě ů ě Ž ň Č Č ň Č ú ř é ž ž Č ú Č Č ř ě ř ž ř é ě Ř Ě ř é ú ě ť ě ž ů ť Á Ý Á Á ě ž ě ě ů ů ů Ů ř ů ř Č žň ř ů é ě é ř ž ž é ě ř é ž é ů ů ě ř ů ř ů ě ž Šř é ž é ř Ů é ř é ž ř Ú ě Ů ě ž ú

Více

Í Í É ř ě á é ď á á Č ě č úč ř ě é á ď Š Č Č Í ú ó É ť ě úě ě ý ř é ý á é ě é ó Žá óň Í á č ě ýá é ě á ě ý ď ú é š ě ý ý ů č é č á ě á ě é é č á é é ř š ž Ž Ž é á ě á ě ň é á č á ě é ý ů šť ř ň á š ě ý

Více

Ý Á Í Í É Í Á ř ž ě ř ý ě ě š ř ů ř Ž ý ýš ř ř ý ě Ť ř ý ť ř ř ř Í š Ž Ř Á Š ž Š ěž ú ú ť ú ó ěř ě ž ř ě ř ě Ř Á Š ž ý ě ó ů ř š ě ř ž Íž ř ý ů ě ý ž ý ý ě ý ě ř ý ě Ž ý ů ř ě Ť ů ř ř š ě ě ě Ž ý ě ř š

Více

ú ž ý Č Č ř č Č Á š ř ě ř ý ř ř ě ř Ž ř ž ř Ú Š Ě ř č ř ý ř ž ě ů ý ř ř ý ť Ž ý ř ř ý ů ř ž ř ě ř ě ýš ý ý ř ř Ž č Ž ý ř č ť č ř š ó ř ř žš ě Ž Ž ě ě ř ě č úč Ž ý ý ě ý ě ř ě ý ě ř ý ř š Ž ý č ř ý ř Č

Více

ě ě á á áš á á žá á ě ě é áí é ó ě Š žá ě ěí ě š ů á á Žá ě Š á ě ě š ů ě á ů áš á áš Ú áš á žá ú ě á ě ě ý á žá ě ě ž ů ů ž ž ť ý á ý á ú ě š ě ý ů ý é áš á žá ý é áš ú ů ú Ž ě éů ě ě ů Ž á á á ú ě Žá

Více

é ů ó á ří č Č é ů ó č á ěř Č í Á Ě í í í Ú í ý í í ř Š ř á á ý í ě Á Á Í Í Á Ř É Á ó á č í é Ů č Č á ř é á í í ř é á ří í í ě ů í ý í á ř á á č ž ěž Í Á Ě Á Í í ú í č ý í í ř Š á ěž ř ě č ž š ř í á í

Více

Š É Á ÁŠ Š Č ŽÁ Í ŘÁ ó ě ž Č ďě Č ě ě ě ů ě ě ů ě Ú ě ž Č ě ý Ž ž ů ž ž ý ý ě ý ů ž ý ú ů ú ž ů ě ť ž ě ů ú ů ú ž ě ě ý ž ě ě ů Ž ž ž ě ě ý ž ů ž ě ě ž ý ý ž ý ý ž Ž ý ý ý ý ů ě Š ě ů ů Č ý Í ú ž ý ý ž

Více

Ýúř ř č é Ů Ú Č ř ř ř ě Ý Á Ě ŠŤ Í Í Í č ů ž ř ě ě ě ů ů ž ř ě ě š ř ů č ú ě é ě ř č ř ú ýě ý ýó č ý ů ř ě ú ýě é ž ó ň ý ů ě čť ý é ž é č ě ý ů č ň é ž é é ř č é ž š ý ě ě ý ň é Ú é ž ď ř ě ř ý ů é ý

Více

ů ý é é ř ý ů ř Š Š é ď š Í ú é úš ú ý ý ř ř éš ů ý ř ř ý ř š ů ý ř ř Í ř ů š ů ý ř é ý ř ť ý ý ů ý š ý ý é ř ť ý Í Í Č ýš ř é ř ý ť ý ď Í ř ý ý é ř ů ů ý ť ř ř ý ů ý Č ýš ř ý ý ý é ř ú ů ý ř ř ý ů ý Č

Více

š š ň í ž š í ě íš ó ě í š š á ě Á š š š ď á ý áž č é ó ž ř í ř ř ó š ě Ž é á ř ž í ž ě ď ú ď š íš ř ř ě ří ý ď í ý č á ř ů ž ř ď č ú ý š ď č á ě í é á ř š č ž á š íš íš šíš š ěž ř č ř ř óš ď ď ý ý šč

Více

ý ří á í á í ší ř é č ě ř áš ě á í ů ý á á í ě í Č ň ý čř ů ú ď ř í í Í ď č í ě á ď ř ý ř ó ě á í é ó ť é É í í ť í í ř á ď í ří ř ě í á á ř ť Řý í í É í í ď ť í č í ň á ř ý í í á ř ř ří ě ř ý č ří á á

Více

é é é ú Š Ó ú ý Š ý Ý ÁŽ ý ý é é é é é é é é é ó ů ť ť ť é ý é Ý Í ý é Ý Ý ý é é ó Í ň ň é ý ň ý é ý é ý ý Ý ý ó Ž Ž é é é Ř Ě Í ú ó Ú ý Š ý é ů é ů ý Ž ů ť Í ť Í ť Ž é ý ý é ý Ž ý Ž Š Ž ÁŽ ý Í Ž ý é ý

Více

š Á Ý Á é é é é ě š éž ž ú ú Č ú Č ě š ě é š ý ý ý ú ě é ě é ěž ž ú ú ě é ž ěž ě ě ž é é éž ž ý éž é ž Á Á ó ú ú ž ň ý ě ž ý ž ž ý ď ě é éž ý ž ý éž š é ý ě ž š ě ž é ě ú ě ý ó ž é ž é ě é ě ť ž é š ž

Více

Úř ě ý Ú š ě ř ý ě é ř š ě é ú Úř ě ý Ú Ž é ě ě š ř ů ř š ř Ž ý š ř Ž ě ě š ř ů ě Š ý š ý ě éř éž Ř é é ý ý ěř ě ř ů ý ěř ě ě ý ů ě š ý Š ř š é ř ú Í ě é é ú é Í Úř ý š ě ě é ř ř ý ý ě ě ú é ř ý ě ý ý

Více

Í Ř Ý ť Ť ď Ý Ř Ť Ť Ť É Ť Š Ť Ť Á Ó Á ň Ě Ť Ů ť ť Ť Í ť Í É Ů Í Ó Ů Ů Ť Ď ď Š Ť ň Í Ť ř Ť Í ď Ť Ů Í Á Ů ť Ť Í Ó ň Ť Ť Ť Ý ň Í Ť Ť Í ř ú Ú Í Ý Ť Í Ý Í Ť ť Ú ť ť ť Í Š Í Í Š Š ť Í Š Š ť Ť Í Í Í Ť Á Ť Ť Í

Více

Š Í ú ú Ž Š š ú ú ž Í š Š ů ů ú š ú Ú ú Š ú Ú ú ú Ú ú ů ú Č Ú ú Ú ú Š Š ú Č ú Č Í š ú ú ú ú Ú Š Í Á Č Č ú Ú š Č Š Š Š ú ú ú Ú ú ú ů š ů ů ů Ž ů Ž Ž ů ú Ž Ž ů ú ů ů ú š ú ů ů ů ů ů ů š Ú Ž ú ň ú ů ů š ů

Více

é Č Č ý ř é á á Á Í áš á ř é é č é á č ř ý á é ě á á á š ě ě ý ář ý ů á ř é Ř á áš á Ž ř ě é č á á á úč ů č á č ř ě ř š á á ý ěř á ů ěř š é ú Ř é Ú ř č ý á š ě á ý ěř Á á ů ý ěř á ů š é ú á é Ú ř č ý á

Více

Ž Ř Š ň ř Ř Á ÁŠ Ř É ý úř ň é Í ž ř ě ě ě ř š ý ř ě ě š ů ř ě ě š ř ů ř ě ř ě ě š ř ů ě ř ě ř ř é š ě ě é Ž ý é Á ř é ž ý ý ů ý ě ř š ě ř é ý š Ž š š ě ě é ž é ř Ž ž š ě Ú ů ý ě ý ě ý ů ú ů é úř ň é ě

Více