ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

Transkript

1 ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS IX. Zdoje magnetických polí Obsah 9 ZDROJE MAGNETICKÝCH POLÍ 9.1 IOTŮV-SAVARTŮV ZÁKON MAGNETICKÉ POLE POHYUJÍCÍHO SE ODOVÉHO NÁOJE 8 9. SÍLY MEZI DVĚMA PARALELNÍMI VODIČI AMPÉRŮV ZÁKON SOLENOID MAGNETICKÉ POLE DIPÓLU ZEMSKÉ MAGNETICKÉ POLE V PRAZE 9.6 MAGNETICKÉ MATERIÁLY MAGNETIZACE PARAMAGNETISMUS DIAMAGNETISMUS FEROMAGNETISMUS SHRNUTÍ DODATEK 1: MAGNETICKÉ POLE MIMO OSU SYMETRIE PROUDOVÉ SMYČKY DODATEK : HELMHOLTZOVY CÍVKY ALGORITMY ŘEŠENÍ ÚLOH IOTŮV-SAVARTŮV ZÁKON AMPÉRŮV ZÁKON ŘEŠENÉ ÚLOHY TÉMATICKÉ OTÁZKY NEŘEŠENÉ ÚLOHY 5

2 9 Zdoje magnetických polí 9.1 iotův-savatův zákon Poudy, kteé vznikají díky pohybu nábojů, jsou zdoji magnetických polí. Když se nabité částice pohybují vodičem a vytvářejí poud I, pak magnetické pole, kteé je v nějakém bodě P vytvořeno tímto poudem, můžeme spočítat sečtením jednotlivých příspěvků magnetického pole d od malých částí vodiče ds (viz obázek 9.1.1). Ob : Magnetické pole d v bodě P způsobené poudovým elementem I ds. Tyto segmenty vodiče můžeme považovat za vektoové veličiny mající velikost délky daného segmentu a smě poudu, kteý danou částí vodiče potéká. Infinitezimální poudový zdoj magnetického pole může být tedy zapsán ve tvau I ds. Nechť označuje vzdálenost od poudového zdoje k bodu P, ve kteém sledujeme pole a ˆ je odpovídající jednotkový vekto. iotův-savatův zákon nám udává příspěvek magnetického pole d, kteý je vytvořený elementáním poudovým zdojem I ds: µ Ids ˆ d =, (9.1.1) kde konstanta µ se nazývá pemeabilita vakua a její velikost je 7 µ = 1 T m/a. (9.1.) Všimněme si, že výaz je nápadně podobný Coulombovu zákonu po elektické pole, kteé je geneované elementáním nábojem dq: 1 dq de= ˆ (9.1.3) ε Po získání celkové hodnoty magnetického pole v bodě P musíme všechny příspěvky poudového zdoje sečíst µ I ds ˆ = d =. (9.1.4) zdoj Tento integál je vektoový integál, to znamená, že hodnota je ve skutečnosti dána třemi integály, každým po jednu komponentu. Vektoový chaakte integálu je dán vektoovým součinem Id s. ˆ Pochopení, jak vyhodnotit tento vektoový součin a jeho úlohu ve výpočtu celkového integálu, bude klíčové ke spávnému použití iotova-savatova zákona. zdoj

3 Inteaktivní simulace 9.1: Magnetické pole malého úseku vodiče s poudem Na obázku 9.1. je snímek inteaktivní ShockWave simulace, kteá znázoňuje magnetické pole poudového elementu, daného ovnicí (9.1.1). Na inteaktivní simulaci můžeme měnit polohu místa pozoovatele vůči zdojovému poudovému elementu a sledovat tak, jak se na její závislosti mění hodnota magnetického pole. Pozoovacím bodem (čenou kuličkou) můžete pohybovat kuzoovými klávesami a pozoovat pole v ůzných místech vzhledem k poudovému elementu. Čevená šipka v místě poudového elementu a půhledná čevená šipka v pozoovacím místě ukazují smě elektického poudu. Půhledná oanžová šipka v místě pozoování ukazuje smě od poudového elementu k místu pozoování. Modá šipka znázoňuje magnetické pole v místě pozoování. Ob. 9.1.: Magnetické pole elementáního poudového příspěvku. Příklad 9.1: Magnetické pole vytvořené ovným vodičem konečné délky Tenký přímý vodič, kteým pochází poud I, je umístěn podél osy x tak, jak je znázoněno na obázku Spočítejte magnetické pole v bodě P. Předpokládejte, že přívody ke koncům vodiče nemají žádný vliv na celkové magnetické pole v bodě P. Ob : Tenký přímý dát, kteým pochází poud I. Řešení: Toto je typický příklad vyžadující použití iotova-savatova zákona. Poblém budeme řešit pomocí metodiky shnuté v kapitole 9.1. (1) od zdoje (souřadnice označená čákou). Uvažujme nekonečně malý element ds= dx ˆi, kteým potéká poud I ve směu x. Poloha tohoto elementáního zdoje magnetického pole je dána vztahem = x ˆi. () od, ve kteém počítáme magnetické pole (označený P ). od P je umístěn v poloze (x, y) = (, a), jeho polohový vekto má tva = a ˆj. P 3

4 (3) Relativní polohový vekto. Vekto = P je vzájemný polohový vekto, kteý ukazuje z místa zdoje do místa P, kde sledujeme pole. V našem případě je = aˆj x ˆi a velikost = = a + x je vzdálenost mezi zdojem pole a bodem P. Odpovídající jednotkový vekto je dán vztahem aˆj x ˆi ˆ = = = sinθ ˆj cosθ ˆi. a + x (4) Vektoový součin d s. ˆ Vektoový součin je dán vztahem ds ˆ = dx ˆi cosθ ˆi+ sinθ ˆj = dx sinθ k ˆ ( ) ( ) ( ) (5) Zapíšeme příspěvek magnetického pole způsobeného I ds: µ I ds ˆ µ I dxsinθ d= = k ˆ, 4 π že magnetické pole v bodě P míří ve směu +k ˆ, tj. ven z náysny. (6) Zjednodušení a integace. Poměnné θ, x a nejsou navzájem nezávislé. Abychom mohli povést integaci, přepišme poměnné x a pomocí poměnné θ. Z obázku vidíme, že = a/sinθ = acscθ x = acotθ dx = acsc θ dθ Po substituci do předchozího výazu obdžíme příspěvek magnetického pole ve tvau ( acsc θdθ) µ I sinθ µ I d = = sinθ dθ a ( a cscθ ) Po integování přes všechny úhly mezi θ 1 a θ (potože integujeme přes záponou část osy x, musíme mít u úhlu θ 1 záponé znaménko). Potom obdžíme µ I µ I = = + a a θ sinθdθ ( cosθ cosθ1). (9.1.5) θ1 Pvní člen obsahující θ je příspěvek od kladné části osy x a člen s θ 1 je příspěvek od záponé části osy x. Oba členy se sčítají! Nyní můžeme vyzkoušet následující případy: (i) V symetickém případě, kdy θ = θ 1 je zkoumaný bod pole P umístěn na přímce, kteá dělí osu x kolmo na dvě stejné části. Délka vodiče je L. Potom je 1 cos θ = L/ L + a a magnetické pole bude µ I µ = cosθ I L 1 = πa πa L + a. (9.1.6) 4

5 (ii) Vodič je nekonečně dlouhý, tj. L. Výsledek tohoto limitního případu získáme tak, že dosadíme za θ 1 =θ =. Magnetické pole ve vzdálenosti a pak bude µ I =. (9.1.7) π a Poznamenejme jen, že v limitě (ii) systém získává cylindickou, tj. válcovou symetii a silokřivky magnetického pole jsou pak kuhové, jak je ukázáno na obázku Ob : Silokřivky magnetického pole v okolí nekonečně dlouhého vodiče, kteým potéká poud I. Smě vektoů magnetického pole podél přímého vodiče můžeme učit pomocí pavidla pavé uky (Ob ) Ob : Smě silokřivek magnetického pole vytvořeného nekonečně dlouhým dátem. Jestliže namíříte palec pavé uky ve směu poudu pocházejícího vodičem, pak se psty pavé uky stáčí ve směu magnetických silokřivek. Ve válcových souřadnicích (, ϕ, z), kde jednotkové vektoy vzájemně splňují ˆ ϕ ˆ = zˆ, platí, že jestliže tok poudu je ve směu +z, pak s použitím iotova-savatova zákona musí magnetické pole mířit ve směu ϕ. Příklad 9.: Magnetické pole vytvořené kuhovou poudovou smyčkou Kuhovou smyčkou v ovině xy s poloměem R pobíhá poud I (viz ob ). (a) Jaké je magnetické pole v bodě P ležícím na ose smyčky ve vzdálenosti z od jejího středu? (b) Jestliže umístíme magnetický dipól µ = µ ˆ z k do bodu P, nalezněme magnetickou sílu, kteá na dipól působí. Je síla přitažlivá nebo odpudivá? Co se stane, jestliže obátíme smě dipólu, tj. jestliže bude µ = k ˆ? µ z 5

6 Ob : Magnetické pole způsobené kuhovou smyčkou, kteou pochází stejnosměný poud. Řešení (a): Toto je další příklad na iotův-savatův zákon. Znovu budeme hledat magnetické pole užitím stejné metody, jako jsme použili v příkladu 9.1. (1) od zdoje. V katézských souřadnicích můžeme poudový element ležící v místě ' = R cos φ ' ˆi+ sin φ ' ˆj vyjádřit ve tvau ( ) ( / φ ) φ φ( sinφ ˆ cosφ ˆ) Ids= I d d d = IRd i+ j. () od, kde sledujeme pole. od P volíme v ose smyčky ve vzdálenosti z od jejího středu, polohový vekto bodu P potom je = z k. ˆ (3) Relativní polohový vekto = P. Vzájemný polohový vekto je dán jehož velikost P = cos ˆ sin ˆ ˆ P = R φ i R φ j + zk, (9.1.8) ( cosφ ) ( sinφ ) = = R + R + z = R + z (9.1.9) je vzdálenost mezi poudovým elementem a bodem P. Odpovídající jednotkový vekto z I ds do P je ˆ P = =. (4) Zjednodušení vektoového součinu. Vektoový součin d ( ) následovně: P s se dá zjednodušit ( ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ ˆ P φ sinφ i cosφ j cosφ i sinφ j k ) = Rdφ ( zcosφ ˆi + zsinφ ˆj + R kˆ ) ds = Rd + R R + z P (9.1.1) (5) Vyjádření d. Užitím iotova-savatova zákona zjistíme, že příspěvek poudového elementu do magnetického pole je v bodě P oven 6

7 ( R + z ) ( ) µ I ds ˆ µ I ds µ I ds d = = = P π 3 3 π π P µ ˆ ˆ ˆ IR zcosφ i + zsinφ j + Rk = 3/ (9.1.11) (6) Výpočet integace. S využitím výpočtů získaných výše obdžíme velikost magnetického pole v bodě P π µ ˆ ˆ ˆ IR zcosφ i + zsinφ j + Rk = 4 3/ d φ π (9.1.1) ( R + z ) Velikosti x-ové a y-ové komponenty snadno spočteme jako nulové: x y a z-ová komponenta je π µ IRz µ IRz = cos sin, 3/ φ dφ = φ 3/ = (9.1.13) ( R + z ) ( R + z ) π µ IRz µ IRz = sin cos, 3/ φ dφ = φ 3/ = (9.1.14) ( R + z ) ( R + z ) z π IR π IR IR dφ 3/ 3/ 3/ µ µ µ = = =. (9.1.15) 4 π π ( R + z π ) ( R + z ) ( R + z ) Vidíme tudíž, že díky symetii úlohy je podél osy z jedinou nenulovou složkou magnetického pole z. Závislost z / jako funkce z/r, kde = µ I/R je velikost magnetického pole v z =, je znázoněna na obázku 9.1.7: Ob : Magnetické pole z / jako funkce z/r. Řešení (b): Jestliže umístíme magnetický dipól µ = µ ˆ z k do bodu P, jak bylo diskutováno v kapitole 8, bude díky nehomogennosti magnetického pole působit na dipól síla 7

8 d F z ( ) ( ) ˆ = µ = µ zz = µ z k (9.1.16) dz Po povedení deivace (9.1.15) a dosazení do (9.1.16) obdžíme 3 3µ zµ IR z ˆ 5/ F = k (9.1.17) ( R + z ) Z výsledku (9.1.17) vidíme, že dipól je přitahován směem ke středu kuhu. A naopak, pokud smě dipólu otočíme, tj µ = k ˆ, bude výsledná síla odpudivá. µ z Magnetické pole pohybujícího se bodového náboje Předpokládejme, že máme nekonečně malý poudový element ve tvau válce s půřezem A a výškou ds obsahující n nosičů náboje na jednotku objemu. Všechny nosiče se pohybují stejnou ychlostí v podél osy válce. Nechť I je poud v elementáním objemu, kteý definujeme jako množství náboje pocházející za jednotku času plochou řezu válečku. Z kapitoly 6 víme, že můžeme poud I vyjádřit jako naq v = I. (9.1.18) Celkové množství nábojových nosičů v poudovém objemu je jednoduše dn = nads, takže s použitím (9.1.1) je magnetické pole d vybuzené dn nábojovými nosiči dáno výazem ( ) ( ) ( ) µ naq v ds ˆ ˆ ˆ µ nads qv µ dn qv d = = =, (9.1.19) 4 4 π π kde je vzdálenost mezi nábojem a bodem P, ve kteém měříme magnetické pole, jednotkový vekto ˆ = / míří od zdoje pole (náboje) směem k bodu P. Příůstek vektou ds je definován tak, aby byl ovnoběžný s v. V případě jednoho náboje dn = 1 přejde tento výaz na µ qv ˆ =. (9.1.) Nicméně poznamenejme toto: jelikož jeden bodový náboj nemůže vytvořit ustálený elektický poud, tato ovnice je platná jen po neelativistickou limitu, kdy ychlost v c (ychlost světla) a tudíž efekt etadace můžeme zcela ignoovat. Tento výsledek můžeme okamžitě zobecnit na soubo N nábojů, z nichž každý se pohybuje ozdílnou ychlostí. Nechť i-tý náboj q i je umístěn v bodě (x i, y i, z i ) a pohybuje se ychlostí v i. S využitím pincipu supepozice obdžíme po magnetické pole vztah N µ ( x x ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ i i+ y yi j+ z zi k = qiv i 3/. (9.1.1) i= 1 ( x xi) + ( y yi) + ( z zi) Animace 9.1: Magnetické pole pohybujícího se náboje Obázek ukazuje snímky animace magnetického pole pohybujícího se kladného a záponého bodového náboje. Předpokládáme, že ychlost náboje je malá ve sovnání s ychlostí světla. 8

9 Ob : Magnetické pole pohybujícího se kladného náboje (nalevo) a pohybujícího se záponého náboje (napavo) Rychlost náboje je malá opoti ychlosti světla. Animace 9.: Magnetické pole několika nábojů pohybujících se po kužnici. Předpokládejme, že chceme spočítat magnetická pole většího počtu nábojů pohybujících se po obvodu kužnice a majících mezi sebou stejné vzdálenosti. Po spočítání tohoto pole, musíme sečíst vektoově magnetická pole všech jednotlivých částic užitím vztahu (9.1.1). Ob : Magnetické pole čtyř nábojů pohybujících se po kužnici. Směy vektoů magnetického pole jsou zobazeny pouze v jedné ovině. Kuličky představují pohybující se náboje, kteé magnetické pole vytvářejí. Obázek je odkazem na animaci, ve kteé jsou 4 pohybující se náboje. Další animace ukazují stejnou situaci po 1, a 8 nábojů. Když se dostáváme k počtu osmi nábojů, začíná se vynořovat chaakteistický obazec tva magnetického dipólu. Daleko od pstence je tva silokřivek stejného tvau, jako je tva silokřivek elektického dipólu. Inteaktivní simulace 9.: Magnetické pole pstence pohybujících se nábojů Obázek odkazuje ShockWave simulaci, kteá znázoňuje magnetické pole geneované pstencovým poudem a ukazuje, že podle pincipu supepozice lze spojité ozložení poudu chápat jako výsledek součtu velkého počtu poudových elementů (zde třiceti). Každý element vytváří své vlastní pole, popsatelné iotovým-savatovým zákonem (epezentované zde malými vektoy v místě pozoování), kteé po sečtení dají vzniknout celkovému výslednému poli pstence (velký výsledný vekto). V této animaci je k celkovému poli přidáván element za elementem (zvýazněná část pstence) a výsledné pole se příslušně mění. Potože integace se týká celého pstence, příspěvky složek v ovině pstence se vyuší a v ose pstence je výsledné pole kolmé na pstenec. Na obázku je ukázána ShockWave aplikace, kteá je podobná té předchozí (9.1.1). V simulaci vidíte magnetické pole vytvořené pstencem potékaným poudem. Při konstukci pole využijeme pincip supepozice. Spojitý elektický poud si představíme jako součet mnoha diskétních poudových elementů (v našem případě třiceti). Každý z nich geneuje 9

10 pole popsané iotovým-savatovým zákonem (v animaci je ukázáno malými vektoy v místě pozoování). Po sečtení příspěvků od všech částí pstence získáme celkové pole geneované pstencem (zobazené výsledným vektoem a dvouozměnou mapou pole). Místo pozoování můžete měnit pomocí kuzoových kláves. V simulaci vidíte magnetické pole vytvořené pstencem potékaným poudem. Při konstukci pole využijeme pincip supepozice. Spojitý elektický poud si představíme jako součet mnoha diskétních poudových elementů. (v našem případě třiceti). Každý z nich geneuje pole popsané iotovým-savatovým zákonem (v animaci je ukázáno malými vektoy v místě pozoování). Po sečtení příspěvků od všech částí pstence získáme celkové pole geneované pstencem (zobazené výsledným vektoem a dvouozměnou mapou pole). Místo pozoování můžete měnit pomocí kuzoových kláves Ob : ShockWave simulace užití pincipu supepozice k učení magnetického pole způsobeného třiceti elementy pohybujícími se v kuhu. od pozoovatele je v ose kužnice. Ob : Magnetické pole způsobené třiceti náboji pohybujícími se po kužnici. Polohu bodu pozoovatele je možné měnit, abychom snáze poozuměli, jak jednotlivé náboje přispívají v ůzných místech celkovému magnetickému poli. 9. Síly mezi dvěma paalelními vodiči V předchozím jsme se přesvědčili, že poud potékající vodičem geneuje magnetické pole. Navíc po umístění vodivého dátu do magnetického pole pozoujeme, že na něj také začne působit síla. Tudíž očekáváme, že dva ovnoběžné vodiče, kteými pochází poud, budou na sebe vzájemně působit silou. Uvažujme dva paalelní vodiče vzdálené od sebe navzájem a. Vodiči pochází poudy I 1 a I vkladném směu osy x tak, jak znázoňuje obázek

11 Ob. 9..1: Síly mezi dvěma paalelními vodiči Magnetická síla F 1, kteou vodič působí na vodič 1, může být spočtena s využitím výsledků z předchozího příkladu následovně: magnetické silokřivky pole, kteé geneuje poud I tekoucí v kladném směu osy x, jsou soustředné kužnice s vodičem ve svých středech. Pole směřuje v tangenciálním směu. Tudíž v libovolném bodě umístěném na vodiči 1 budeme mít pole = ( µ I /πa ) ˆj, kteé míří ve směu kolmém k vodiči 1 tak, jak je znázoněno na obázku Je tedy ˆ µ I ( ) ˆ µ IIl F = I l = I l i ˆ j = πa k (9..1) πa Je vidět, že F 1 míří ve směu k vodiči. Závěem tohoto jednoduchého výpočtu můžeme říci, že pokud v obou vodičích teče poud stejným směem, bude výsledná síla přitažlivá. A na duhou stanu, pokud poudy tekou v opačných směech, výsledná síla bude vždy odpudivá. Animace 9.3: Síly mezi dáty, jimiž potékají poudy Obázek 9.. ukazuje ovnoběžné vodiče, kteými potékají poudy ve stejném a opačném směu. V pvním případě konfiguace magnetického pole takto vytváří přitažlivou sílu mezi oběma dáty. Ve duhém případě, opačné poudy vytváří magnetické pole, kteé dáty odpuzuje. Ob. 9..: Nalevo přitažlivé působení mezi dvěma vodiči, jimiž potéká poud ve stejných směech. Smě pohybu oanžových kuliček ve vizualizaci ukazuje smě toku kladného náboje. Napavo odpudivé působení mezi dvěma vodiči, jimiž potéká poud v opačných směech. 9.3 Ampéův zákon Viděli jsme, že pohybující se náboje nebo elektické poudy jsou zdoji magnetismu. To můžeme snadno demonstovat tím, že do blízkosti dátu potékaného poudem umístíme kompas. Jak je vidět na obázku nalevo, pokud vodičem nepochází žádný poud, ukazují všechny střelky kompasů stejným směem. Ale pokud je I, stočí se všechny střelky do tangenciálního (tečného) směu ke kuhovým silokřivkám (obázek napavo). 11

12 Ob : Stáčení magnetických střelek v blízkosti vodiče, kteým potéká poud. Rozdělme nyní kuhovou dáhu s poloměem do velkého počtu malých vektoů délky s = s ϕ ˆ, kteé míří v tečném směu a mají velikost s (obázek 9.3.). V limitě s, obdžíme Ob. 9.3.: Ampéova smyčka. µ I π ( ) ds= ds= π = µ I. (9.3.1) Tento výsledek získáme tak, že zvolíme uzavřenou (v tomto případě kuhovou) smyčku, kteá sleduje jednu magnetickou silokřivku. Uvažujme nyní tochu složitější křivku, takovou, kteá je znázoněna na obázku Ob : Ampéova smyčka sestávající ze dvou silokřivek. Křivkový integál magnetického pole po dáze abcda je ds= ds+ ds+ ds+ ds= abcda ab bc cd da ( θ) ( π θ) = , (9.3.) kde délka oblouku bc je θ a 1 (π θ) je oblouk da. Pvní a třetí integál je nulový, potože magnetické pole je kolmé k integační křivce. Po hodnoty 1 = µ I/π 1 a = µ I/π bude integál (9.3.) oven 1

13 µ I µ I ds = ( ) ( ) I π + =. (9.3.3) abcda θ 1 π θ µ π 1 Vidíme, že jsme obdželi stejný výsledek, jako když jsme volili integační cestu po jedné magnetické silokřivce. Jak jsme ukázali v příkladu 9.1, je ve válcových souřadnicích (, θ, ϕ) magnetické pole geneované poudem tekoucím v kladném smyslu podél osy z dáno výazem = ( µ I/π ) ϕ ˆ. Libovolný element délky můžeme ve válcových souřadnicích napsat ve tvau ds= d ˆ+ d ϕ ˆ + dz zˆ. (9.3.4) Poto vidíme, že µ I µ I µ I π π π ( ) ds= dϕ = dϕ = π = µ I. (9.3.5) Jinými slovy, křivkový integál I uz, kteý je křivkou uzavřen. d s přes jakoukoliv uzavřenou křivku je úměný poudu Ob : Ampéova křivka libovolného tvau. Zobecnění na jakoukoliv uzavřenou křivku libovolného tvau (viz příklad 9.3.4), kteá obsahuje mnoho magnetických silokřivek, je známo jako Ampéův zákon: d s= µ Iuz. (9.3.6) Ampéův zákon je v magnetizmu analogií Gaussovu zákonu elektostatiky. Abychom ho mohli aplikovat, systém musí mít učitou symetii. V případě, že lineání vodič je nekonečně dlouhý, systém získá válcovou symetii a může být okamžitě aplikován Ampéův zákon. V případě, že délka vodiče je konečná, musíme namísto toho užít iotův-savatův zákon. µ I d ˆ iotův-savatův zákon Ampéův zákon s d = µ Iuz = s obecný poudový zdoj Příklad: konečný dát poudový zdoj má nějakou symetii Příklad: nekonečný dát (cylindická) Ampéův zákon je snadno aplikovatelný při následujících konfiguacích: 1. Nekonečně dlouhý přímý vodič potékaný stejnosměným poudem I (příklad 9.3). Nekonečně velká vodivá plocha tloušťky b s poudovou hustotou J (příklad 9.4) 3. Nekonečný solenoid (kapitola 9.4) 4. Tooid (příklad 9.5) Ukažme si všechny čtyři konfiguace detailně. 13

14 Příklad 9.3: Pole uvnitř a vně dátu, kteým potéká poud Uvažujme dlouhý přímý vodivý dát s poloměem R, kteým potéká poud I s ovnoměnou poudovou hustotou, tak jak je znázoněno na obázku Nalezněme půběh magnetického pole. Ob : Ampéovy smyčky po výpočet pole v okolí dátu s poloměem R. Řešení: (i) Vně vodiče, kde R, Ampéova smyčka zcela uzavře zdojový poud, poto je I uz = I. Aplikováním Ampéova zákona obdžíme ds= ds= ( π ) = µ I. Odtud dostaneme µ I =. π (ii) Uvnitř vodiče, kde < R, je množství poudu uzavřené Ampéovou smyčkou (na obázku menší koužek) úměné ploše koužku, tj. A tedy máme I π = I π R uz π µ I d s = ( π ) = µ I =. πr πr Odtud vidíme, že magnetické pole je nulové ve středu dátu a lineáně oste s, až do = R. Mimo vodič pak bude magnetické pole klesat nepřímo úměně se vzdáleností. Půběh magnetického pole je znázoněn na obázku Ob : Magnetické pole vodiče o poloměu R, kteým pochází poud I s homogenní poudovou hustotou. 14

15 Příklad 9.4: Magnetické pole geneované nekonečnou vodivou deskou Uvažujme nekonečně velkou desku o tloušťce b ležící v ovině xy s homogenní poudovou hustotou J = J i. Najděte půběh magnetického pole v okolí desky. ˆ Ob : Nekonečně velká deska s poudovou hustotou J = J i. ˆ Řešení: Vodivou desku si můžeme představit jako soubo mnoha paalelních vodičů v +x-ovém směu. Z obázku vidíme, že magnetické pole v bodě P nad ovinnou deskou směřuje v záponém směu osy y. Z-ová komponenta magnetického pole po sečtení příspěvků od všech vodičů zcela vymizí. Analogicky vidíme, že pod deskou magnetické pole směřuje v kladném směu osy y. Ob : Magnetické pole ovinné desky. K výpočtu magnetického pole nekonečně velké ovinné vodivé desky můžeme nyní aplikovat Ampéův zákon. Ampéovy smyčky jsou znázoněny na obázku Ob : Ampéovy smyčky v případě ovinné vodivé desky. K získání pole vně integujeme podél křivky C 1. Celkový poud uzavřený křivkou C 1 bude Po aplikaci Ampéova zákona obdžíme ( ) I uz = J d A = J b. (9.3.7) 15

16 ( ) µ µ ( ) d s= l = Iuz = Jb, (9.3.8) čili = µ J b/. Poznamenejme, že magnetické pole vně desky je konstantní, nezávislé na vzdálenosti od desky. Nyní nalezneme magnetické pole uvnitř desky. Celkový poud uzavřený křivkou C je I uz = J da= J ( z ). (9.3.9) Aplikováním Ampéova zákona získáme d s= ( l) = µ Iuz = µ J( z ), (9.3.1) čili = µ J z. Ze symetie také vyplývá, že po z = magnetické pole vymizí. Výsledek můžeme shnout do tvau µ Jb ˆ, j z > b / = µ Jz ˆ, j b / < z< b /. (9.3.11) µ Jb ˆ, j z< b / Uvažujme nyní limitu, kdy je deska nekonečně tenká, tj. b. V tomto případě budeme místo poudové hustoty J = J ˆ i mít povchový poud K = K ˆi, kde K = J b. Poznamenejme, že ozmě K je [poud/délka]. V této limitě přejde magnetické pole na µ K ˆ j, z >, = (9.3.1) µ K ˆ j, z. < 9.4 Solenoid Solenoid je dlouhá cívka dátu těsně navinutého do spiálovité (helikální) stuktuy. Obázek ukazuje silokřivky magnetického pole solenoidu, kteým pochází stejnosměný poud I. Vidíme, že pokud jsou jednotlivé závity těsně u sebe, bude výsledné magnetické pole uvnitř solenoidu zcela homogenní, ovšem za předpokladu, že délka solenoidu bude mnohem větší, než jeho půmě. Po ideální solenoid, jehož délka je nekonečně velká a kteý má závity těsně navinuté, bude magnetické pole uvnitř solenoidu homogenní a ovnoběžné s osou, zatímco mimo solenoid vymizí. Ob : Silokřivky magnetického pole solenoidu. 16

17 Po výpočet magnetického pole uvnitř ideálního solenoidu můžeme užít Ampéův zákon. Na obázku 9.4. je ukázán řez ideálním solenoidem. Po výpočet magnetického pole užijeme pavoúhlé smyčky délky l a výšky w. Po křivce se budeme pohybovat poti směu hodinových učiček. Křivkový integál přes takovouto křivku nám dá d s = d s + d s + d s + d s = (9.4.1) = + + l +. Ob. 9.4.: Ampéova smyčka k výpočtu magnetického pole ideálního solenoidu. Při předchozím výpočtu byly příspěvky přes úseky a 4 nulové, potože je kolmé k ds. A navíc = i v úseku 1, potože magnetické pole je nenulové pouze uvnitř solenoidu. Na duhou stanu, celkový poud uzavřený Ampéovou smyčkou je I uz = NI, kde N je počet závitů. Při užití Ampéova zákona obdžíme d s = l =µ NI, (9.4.) čili µ NI = = µ ni, (9.4.3) l kde n = N/l je počet závitů na jednotku délky. Vyjádřeno v hodnotách povchového poudu, či v jednotkách poudu na jednotku délky K = ni, můžeme magnetické pole vyjádřit jako = µ K. (9.4.4) Co se ale stane, když délka solenoidu bude konečná? K nalezení magnetického pole, kteé vznikne okolo konečného solenoidu, musíme solenoid apoximovat jako soubo sestávající z velkého množství těsně u sebe sovnaných kuhových smyček. Užitím výsledku obdženého v příkladu 9., můžeme magnetické pole v bodě P na ose z spočítat následovně: povedeme řez těsně namotaných smyček umístěných v místě z a majících tloušťku dz tak, jak je znázoněné na obázku Velikost potékajícího poudu je úměná tloušťce řezu, platí di = I( nd) z = I( N/ l) dz, kde n = N/l je počet závitů na jednotku délky. Příspěvek magnetickému poli v místě P od tohoto množství smyček je R R 3/ 3/ µ µ dz = di = nidz ( z z ) + R ( z z ) + R ( ). (9.4.5) 17

18 Ob : Solenoid konečné délky. Integací přes celou délku solenoidu obdžíme z l/ µ nir dz µ nir z z = = = 3/ l/ ( z z ) + R ( z z ) + R l/. (9.4.6) µ ni l/ z l/+ z = + ( z l/ ) + R ( z+ l/) + R Půběh z /, kde = µ ni je magnetické pole nekonečně dlouhého solenoidu, jako funkce z/r je znázoněn na obázku po l = 1R a l = R. l/ Ob : Magnetické pole konečného solenoidu po (a) l = 1R a (b) l = R. Všimněme si, že hodnoty magnetického pole v oblasti z < l/jsou téměř homogenní a ovnají se přibližně. 18

19 Příklad 9.5: Tooid Uvažujme tooid, kteý sestává z N závitů tak, jak je znázoněno na obázku Nalezněte půběh magnetického pole. Ob : Tooid s N závity. Řešení: Tooid si můžeme představit jako solenoid stočený do kuhu se spojenými konci. Magnetické pole je tudíž zcela uzavřené uvnitř tooidu a je oientované v azimutálním směu (ve směu hodinových učiček v závislosti na toku poudu, jak je znázoněné na obázku 9.4.5). Po aplikaci Ampéova zákona obdžíme ds = ds = ds = ( π ) = µ NI, (9.4.7) čili µ NI, (9.4.8) π kde je vzdálenost měřená od středu tooidu. Na ozdíl od magnetického pole solenoidu, není magnetické pole uvnitř tooidu homogenní a jeho velikost klesá s 1/. 9.5 Magnetické pole dipólu Nechť magnetický dipólový moment µ = µ kˆ je umístěný v počátku (například ve středu Země) v ovině xy. Jaké je magnetické pole v daném místě (například v Paze) ve vzdálenosti od počátku? Ob : Složky magnetického pole Země. 19

20 Na obázku je vyobazeno magnetické pole dipólu a jeho složky v Paze; y- a z-ové složky magnetického pole jsou dány vztahy ( ) 3 y µ µ µ µ 3 sin θ cos θ, z 3 3cos θ 1 (9.5.1) Po detailní odvození odkazujeme čtenáře na kapitolu 9.8. Ve sféických souřadnicích (, θ, ϕ) můžeme adiální a polání komponenty magnetického pole vyjádřit ve tvau µ µ = ysinθ + zcosθ = cos θ, 3 (9.5.) µ µ θ = ycosθ zsinθ = sinθ. 3 (9.5.3) Tudíž dipólové magnetické pole v Paze bude ( sinθ ˆ cosθ ˆ) ˆ µ ˆ µ = θ+ = θ +. (9.5.4) 3 Všimněme si podobnosti mezi tímto výazem a polem elektického dipólu p. Viz řešený příklad.13.4): ( sinθ cosθ ) 1 p E= θ ˆ + ˆ. 3 ε Záponé znaménko v (9.5.4) je způsobeno tím, že zemský magnetický dipól směřuje ve směu osy z. Obecně magnetické pole vytvořené dipólovým momentem µ je možné vyjádřit jako ( ) µ ˆ ˆ 3 µ µ = 3. (9.5.5) Pomě adiální a polání komponenty je dán Zemské magnetické pole v Paze θ µ µ 3 cos θ = = cotθ. (9.5.6) µ µ sinθ 3 Magnetické pole se chová podobně, jako by uvnitř Země byl ukytý silný tyčový magnet. Na obázku 9.5. je ve středu Země namalovaný pomyslný tyčový magnet oientovaný tak, aby vytvářel magnetické pole stejné jako je magnetické pole Země. Všimněme si, že jižní pól takovéhoto kompasu je na sevení polokouli a tudíž přitahuje sevení pól magnetických střelek kompasů. Po popis bodu P na povchu Země je nejpřiozenější užití sféických souřadnic (, θ, ϕ), kde je vzdálenost od středu Země, θ je polání úhel od osy z a nabývá hodnot θ π a ϕ je azimutální úhel v ovině xy, měřený od osy x a nabývá hodnot ϕ π (viz obázek 9.5.3). Pokud fixujeme souřadnici = E, na poloměu Země, bod P bude paametizován dvěma úhly θ a ϕ.

21 Ob. 9.5.: Magnetické pole Země. V paxi tedy polohu na Zemi popisujeme dvěma čísly zeměpisnou délkou a šířkou. Jak zeměpisná délka a šířka souvisí s θ a ϕ? Zeměpisná šířka, označíme ji δ, je úhlová vzdálenost od oviny ovníku. Souvisí tedy s úhlem θ vztahem δ = 9 θ. S užitím této definice má ovník zeměpisnou šířku, zatímco sevení a jižní póly jsou na ±9 zeměpisné šířky. Zeměpisná délka φ daného místa je jednoduše dána azimutálním úhlem užívaným ve sféických souřadnicích. Křivky konstantní zeměpisné délky se nazývají poledníky. Velikost zeměpisné délky je dána místem, kde odečítání začínáme. Z histoických důvodů je poledník pocházející Kálovskou astonomickou obsevatoří v Geenwichi ve Velké itánii označen jako hlavní poledník s nulovou zeměpisnou délkou. Ob : Učení bodu P na povchu Země za použití sféických souřadnic. Nechť osa z je osou otace Země a osa x pochází hlavním poledníkem. Odpovídající magnetický dipól Země pak můžeme vyjádřit jako µ E = µ E( sinθ ˆ ˆ ˆ cosφ i + sinθsinφ j+ cosθ k ), (9.5.7) = µ, 6 ˆi+,18 ˆj,98 kˆ E ( ) kde µ E = 7,79 1 Am a (θ, φ ) = (169, 19 ). Z výazu vidíme, že µ E nevymizí v žádném ze tří směů katézských souřadnic. Dále, poloha Pahy je 5 sevení šířky a 15 východní délky (5 seveně od ovníku a 15 východně od hlavního poledníku). To znamená, že θ P = 9 5 = 4 a φ P = 15. Tudíž polohový vekto Pahy můžeme vyjádřit jako ( sinθ cosφ ˆ sinθ sinφ ˆ cosθ ˆ ) (, 6 ˆi,17 ˆj, 77 kˆ ) = i+ j+ k PRAHA E P P P P P = + + E. (9.5.8) 1

22 Úhel mezi µ E a PRAHA je dán θ PE PRAHA µ = accos E = accos(,76) = 4,3. (9.5.9) PRAHA µ E Poznamenejme, že úhel θ je definován jako θ = accos( k, ˆ ˆ ) tj. invezní funkce ke kosinu ze skaláního součinu jednotkových vektoů polohy ˆ a jednotkového vektou +k ˆ v kladném směu osy z tak, jak je znázoněné na obázku Tudíž pomě mezi adiální a polání komponentou zemského magnetického pole v Paze bude = cot4,38. (9.5.1) θ Všimněme si, že kladný adiální smě míří ven od středu a kladný polání smě ukazuje směem k ovníku. Inteaktivní simulace 9.4: Tyčový magnet v magnetickém poli Země Na obázku vidíme tyčový magnet a kompas umístěné na stole. Inteakce mezi magnetickým polem tyčového magnetu a magnetickým polem Země je ilustována pomocí silokřivek, kteé vycházejí ven z magnetu. Silokřivky, kteé vycházejí z okajů magnetu, jsou obecně popojeny se silokřivkami opačného pólu. Silokřivky vycházející přímo z oblasti pólů se snaží odchýlit pyč a může dojít k ekonekci (přepojení) na silokřivky magnetického pole Země, kteé je v tomto případě přibližně homogenní se sklonem 6 od vodoovné oviny. Při pohledu na kompas zjistíme, že střelka vždy ukazuje ve směu místního pole. V tomto případě je místní pole ovlivněno zejména tyčovým magnetem. Scénu v SHOCKWAVE simulaci můžete natáčet pomocí myši. Zoomovat lze tažením myši při stisknuté klávese CTRL. Ob : Tyčový magnet v magnetickém poli Země. 9.6 Magnetické mateiály V úvodu k magnetickým mateiálům, postředků ke studiu magnetizmu, jsme ve velmi odlišné situaci ve sovnání s mateiály, kteé jsme uvažovali ke studiu elektostatiky. Při klasifikování mateiálů v elektostatice jsme viděli, že jejich působení vždy vedlo k edukci, tj. zeslabení elektického pole E, což bylo dáno množstvím volných elektických nábojů. Na ozdíl od toho, při třídění magnetických mateiálů zjistíme, že se mohou chovat jedním z následujících případů (i) snižují pole díky učitému množství volných poudů (takové mateiály nazýváme diamagnetické).

23 (ii) zvyšují pole nepatně (mateiály nazýváme paamagnetické) (iii) značně zvýší pole (mateiály feomagnetické) Dále popíšeme, jak k těmto jevům může dojít Magnetizace Magnetické mateiály se skládají z velkého množství pemanentních nebo indukovaných magnetických dipólů. Jedna z představ důležitých po poozumění magnetickým mateiálům je střední magnetické pole podukované mnoha navzájem uspořádanými magnetickými dipóly. Předpokládejme, že máme kousek mateiálu ve tvau dlouhého válce s podstavou A a výškou L, a kteý obsahuje N magnetických dipólů, každý s magnetickým dipólovým momentem µ. Magnetické dipóly jsou ovnoměně ozptýleny v objemu válce tak, jak je znázoněno na obázku Ob : Válec s N magnetickými dipólovými momenty. Předpokládejme také, že všechny magnetické dipólové momenty µ jsou oientovány shodně podél osy válce. Jaké bude magnetické pole vytvořené těmito samotnými dipóly při absenci jakéhokoliv vnějšího pole? Před odpovědí na tuto otázku si uvědomme, že každý magnetický dipól je obklopen svým vlastním magnetickým polem. Definujme nyní vekto magnetizace M jako součet všech magnetických dipólů v jednotce objemu: 1 M = µ i, (9.6.1) V kde V je objem. V případě našeho válce, kde jsou všechny dipóly oientovány stejně, je velikost M dána jednoduše M = Nµ / AL. A nyní, co je střední magnetické pole tvořené všemi dipóly ve válci? i Ob. 9.6.: Nalevo pohled shoa na váleček obsahující magnetické dipólové momenty. Napavo odpovídající elektický poud. 3

24 Obázek 9.6. nalevo ukazuje malé poudové smyčky povázané s dipólovými momenty. Směy poudů smyček znázoňují šipky. Vidíme, že uvnitř válce se tok poudu v jednom směu zcela vyuší s poudem tekoucím v potisměu v sousední smyčce. Jediné místo, kde ke vzájemnému vyušení nedojde je v blízkosti okaje válce, kde poudové smyčky již s žádnými nesousedí. Tudíž uvnitř válce jakékoliv poudy vymizí, zatímco na jeho obvodu se objeví nenulový poud. Situace je znázoněna na obázku 9.6. napavo, kde po obvodu je vyznačen ekvivalentní poud I eq. Tva poudu I eq může být odvozen z požadavku, že magnetický dipólový moment vytvořený poudem I eq musí být stejný, jako je celkový magnetický dipólový moment systému. Tato podmínka nám dá I eqa= Nµ (9.6.) nebo Nµ I eq =. (9.6.3) A Nyní spočtěme magnetické pole vytvořené poudem I eq. S poudem I eq tekoucím po obvodu máme stejnou konfiguaci jako v případě solenoidu, kteým potéká povchový poud (nebo poud na jednotku délky) K. Tyto dvě hodnoty souvisí jednoduchým vztahem I eq Nµ K = = = M. (9.6.4) L AL Tudíž vidíme, že povchový poud K je ekvivalentní magnetizaci M, kteá je středním magnetickým dipólovým momentem na jednotku objemu. Střední magnetické pole podukované ekvivalentním poudem I eq systému je (viz kapitolu 9.4) = µ K = µ M. (9.6.5) M Potože smě magnetického pole je stejný jako magnetizace M, předchozí výaz můžeme psát jako M = µ M. (9.6.6) Je to přesný opak poti elektickému dipólu, kdy střední elektické pole je antipaalelní (směřující opačným směem) než směy samotných dipólových momentů. Příčina je ta, že v oblasti vnitřku vzoku je smě magnetických dipólových momentů stejný jako smě magnetického pole. A tedy nás nemůže překvapit, že po vystředování přes velký objem bude střední magnetické pole také směřovat ovnoběžně a stejným směem jako střední magnetický dipólový moment objemové jednotky. Povšimněte si, že magnetické pole v ovnici (9.6.6) je střední, tj. půměné pole všech dipólů. Můžeme však pozoovat velmi odlišný výsledek, pokud budeme sledovat pole ve velké blízkosti těchto jednotlivých malých dipólů. A nyní se podívejme na vlastnosti ůzných magnetických mateiálů Paamagnetismus Atomy nebo molekuly, kteé obsahují paamagnetické mateiály, mají pemanentní magnetický dipólový moment. Na duhou stanu, pemanentní magnetické dipóly v paamagnetických matiálech nebývají nikdy sovnány spontánně. Při absenci nějakého vnějšího magnetického pole jsou uspořádány zcela náhodně. Tudíž M = a střední magnetické pole M je také nulové. Nicméně v případě, že umístíme paamagnetický mateiál 4

25 do vnějšího magnetického pole, pocítí jednotlivé dipóly točivý moment τ = µ, kteý se snaží stočit µ do směu, a tudíž vytvoří magnetizaci M ovnoběžnou se směem. Potože M je paalelní s, bude mít tendenci zvětšit. Celkové magnetické pole je potom součet těchto polí: = + M = +µ M. (9.6.7) Všimněme si, jaký je to ozdíl od případu dielektických mateiálů. V obou případech způsobí točivý moment sovnání dipólových vektoů paalelně s vnějším polem. Nicméně v případě paamagnetika, uspořádání způsobí náůst exteního magnetického pole, v případě dielektika vnější pole zeslabí. V mnoha paamagnetických mateiálech není magnetizace M ve stejném směu jako, ale je také přímo úměná velikosti pole. Je to zřejmé, potože bez vnějšího pole by nenastalo uspořádání dipólů, a tudíž by nebyla magnetizace M. Lineání závislost mezi M a je dána výazem M, (9.6.8) = χ m µ kde χ m je bezozměné veličina nazvaná magnetická susceptibilita. Rovnici (9.6.7) pak můžeme přepsat kde ( ) = 1+ χ = κ, (9.6.9) κ m m m = 1+ χ (9.6.1) je elativní pemeabilita mateiálu. Po paamagnetické mateiály je κ m > 1, nebo ekvivalentně, χ m >, ačkoliv χ m je obvykle řádově 1 6 až 1 3. Magnetická pemeabilita µ m mateiálu muže být také definována jako Paamagnetické mateiály mají µ m > µ. ( 1 ) m µ = + χ µ = κ µ. (9.6.11) m m m Diamagnetismus V případě magnetických mateiálů, kteé neobsahují žádné pemanentní magnetické dipóly, vyvolá v jeho atomech nebo molekulách přítomnost vnějšího magnetického pole indukovaný magnetický dipólový moment. Nicméně tyto indukované magnetické dipóly jsou antipaalelní k, což způsobí, že magnetizace M a stření pole M bude také antipaalelní k. Tudíž velikost celkového magnetického pole bude nižší. I v případě diamagnetických mateiálů můžeme stále definovat magnetickou pemeabilitu, ačkoliv nyní je κ m < 1,nebo χ m < a χ m je obvykle řádově 1 5 až 1 9. Po diamagnetické mateiály platí µ m < µ Feomagnetismus Ve feomagnetických mateiálech je silná inteakce mezi sousedními atomickými dipólovými momenty. Feomagnetické mateiály sestávají z mnoha polí nazývaných domény tak, jak vidíme na ilustaci (nalevo). Po zapnutí vnějšího pole budou mít elementání magnetické dipóly snahu se uspořádat ve směu vnějšího pole (obázek napavo). Silná inteakce mezi sousedními atomickými dipólovými momenty způsobí mnohem silnější uspořádání magnetických dipólů než v paamagnetických mateiálech. 5

26 Ob : Napavo feomagnetické domény. Nalevo uspořádání magnetických momentů ve směu vnějšího pole. Náůst aplikovaného vnějšího pole pak může být velmi výazný, magnetické pole uvnitř feomagnetika je 1 3 až 1 4 vyšší než vnější pole. Pemeabilita κ m feomagnetik není konstanta, potože ani celkové pole, ani magnetizace M neostou lineáně s. Ve skutečnosti vztah mezi M a není jednoznačný, ale závisí na histoii mateiálu. Tento jev je známý jako hysteeze. Změna M jako funkce vnějšího pole je ukázána na obázku Křivka abcdef se nazývá hysteezní smyčka. Ob : Hysteezní smyčka. Navíc ve feomagnetikách může silná inteakce mezi sousedními dipólovými momenty tyto dipólové momenty udžet uspořádané i v době, kdy vnější pole je již nulové. Tyto uspořádané dipólové momenty pak samy budou vytvářet silné magnetické pole i bez přítomnosti vnějšího magnetického pole. Takto vznikají pemanentní magnety. Po představu jak silné mohou tyto magnety být, si musíme uvědomit fakt, že magnetické dipólové momenty atomů mají typickou velikost řádově 1 3 A m. Typická hustota atomů je 1 9 atomů/m 3. Jestliže by všechny tyto dipólové momenty byly uspořádány, pak by magnetizace nabyla velikosti ( )( ) M 1 A m 1 atomů /m 1 A/m. (9.6.1) Tato magnetizace samotných atománích poudů odpovídá hodnotě magnetického pole M = µ M řádově 1 Tesla nebo 1 Gaussů. To je důvod, poč máme pemanentní magnety s polem řádově Gaussů. 6

27 9.7 Shnutí iotův-savatův zákon uvádí, že stejnosměný poud I tekoucí elementem délky ds v místě geneuje magnetické pole d µ Ids d =, 7 kde = a µ = 1 T m/a je pemeabilita vakua. Velikost magnetického pole ve vzdálenosti od nekonečně dlouhého přímého vodiče potékaného poudem I je µ I =. π Velikost magnetické síly mezi dvěma přímými vodiči potékanými poudy I 1 a I vzdálenými od sebe l je F µ I1Il =. π Ampéův zákon říká, že křivkový integál ds přes jakoukoliv uzavřenou křivku je úměný celkovému poudu pocházejícímu jakoukoliv plochou, kteá je danou křivkou ohaničená: d s =µ Iuz. Magnetické pole uvnitř tooidu, kteý má N těsných závitů vodiče potékaného poudem I, je dáno µ NI =, π kde je vzdálenost od středu tooidu. Magnetické pole uvnitř solenoidu sestávajícího z N těsných závitů vodiče potékaného poudem I, je dáno vztahem N = µ I = µ ni, l kde n je počet závitů na jednotku délky. Vlastnosti magnetických mateiálů jsou Mateiál Magnetická susceptibilita χ m Relativní pemeabilita κ m = 1+ χ m Magnetická pemeabilita µ m = κ m µ Diamagnetikum κ m < 1 µ m < µ Paamagnetikum κ m > 1 µ m > µ Feomagnetikum χ m 1 κ m 1 µ m µ 7

28 9.8 Dodatek 1: Magnetické pole mimo osu symetie poudové smyčky V příkladu 9. jsme počítali magnetické pole buzené kuhovou smyčkou o poloměu R ležící v ovině xy, kteou potéká poud I. Pole jsme počítali v bodě P ležícím na ose symetie. Nyní použijme stejný postup, ale ozšíříme poblém na výpočet pole mimo osu symetie poudové smyčky v ovině yz. Ob : Výpočet magnetického pole mimo osu symetie poudové smyčky. Jak bylo ukázáno v příkladě 9.1, elementání příůstek poudu je dán vztahem Ids= Rdφ ( sinφ ˆi+ cosφ ˆj ) a jeho poloha je popsána polohovým vektoem ' = R ( cos φ ' ˆ + sin φ ' ˆ) i j. od P nyní leží v ovině yz, ˆ ˆ P = yj + zk, jak vidíme na obázku Odpovídající polohový vekto bude jeho velikost bude P ( φ ) ' = ' = R cos φ' ˆi+ y Rsin ' ˆj + zk ˆ, (9.8.1) ( ) ( ) = = Rcos φ ' + y Rsin φ' + z = R + y + z yrsinφ (9.8.) a jednotkový vekto míří od Ids do P. Vektoový součin ˆ = = P P ' ' d s ˆ můžeme vyjádřit jako ( ) ( ) ds ˆ = Rdφ' sin φ' ˆi+ cos φ' ˆj Rcos φ' ˆ y Rsin φ' ˆ zˆ i + j+ k = Rdφ' z cos φ' ˆ+ z sin φ' ˆ+ ( R y sin φ' ) ˆ i j k (9.8.3) Užitím iotova-savatova zákona dostaneme příspěvek poudového elementu magnetickému poli v místě P ( ) µ ds ˆ µ ˆ ˆ ˆ I ds ˆ µ zcos φ' i + zsin φ' j+ R ysin φ' k d = = =. (9.8.4) / π π R y z yr Magnetické pole v P tedy bude ( + + sin φ ') 8

29 ( ) µ IR π zcos φ' ˆi+ zsin φ' ˆj+ R ysin φ' kˆ (, yz, ) = dφ '. (9.8.5) 3/ X-ová komponenta je zřejmě ovná nule: x ( R + y + z yrsin φ ') µ IRz π cos φ ' dφ '. (9.8.6) 3/ = = ( R + y + z yrsin φ ') Výsledek snadno obdžíme pomocí substituce w= R + y + z yrsin φ '. Tento výsledek je také patný z důvodů symetie: příspěvek φ se vyuší s příspěvkem π φ. Na duhou stanu y-ová a z-ová složka pole y z = µ IRz π sin φ ' dφ ', (9.8.7) 3/ µ IR = ( R + y + z yrsin φ ') ( ) π R ysin φ' dφ' (9.8.8) 3/ ( R + y + z yrsin φ ') vede na eliptické integály, kteé se dají řešit numeicky. V limitě y =, je příspěvek pole v bodě P umístěný na ose z a obdžíme výsledek stejný jako v příkladu 9.: a y π IRz π sinφ dφ IRz φ 3/ µ µ = = cos = (9.8.9) z ( R + y + z yrsinφ ) IR π π IR IR dφ 3/ 3/ 3/ µ µ µ = = =. (9.8.1) 4 ( R + z π ) ( R + z ) ( R + z ) Nyní uvažujme bodový dipól, limitu, kde R (y +z ) 1/ =, tj. chaakteistická velikost poudové smyčky je mnohem menší ve sovnání se vzdáleností, ve kteé pozoujeme magnetické pole. V této limitě můžeme jmenovatel v integálu ozvinout To vede k výsledku ( R y z yr φ ) ( R yrsinφ ) 3/ 3/ 3/ sin = =. (9.8.11) 1 3 ( R yrsinφ ) =

30 a poslední komponenta pole bude y ( R yrsinφ ) µ I Rz π 3 1 sinφ dφ 3 µ I 3R yz π µ I 3π R yz = sin φ dφ 5 = 4 5 π ( R yrsin φ ') ( φ ) (9.8.1) µ I R π 3 z 1 R ysin ' dφ' 3 = 3 µ I R π 3R 9R 3Ry = R 1 sinφ sin φ dφ 3 =. (9.8.13) 3 µ I R 3R 3π Ry = π R 1 3 = µ I π R 3y = členy vyšších řádů 3 + Veličina I(πR ) je magnetický dipólový moment µ = IA, kde A = πr je plocha smyčky. Za použití sféických souřadnic, kde y = sinθ a z = cosθ, můžeme nenulové složky pole přepsat na z y ( π ) ( I R ) ( )( ) µ π 3 sin θ cos θ µ 3 µ sin θ cos θ 5 3 = =, (9.8.14) µ I R 3 sin θ µ µ µ µ = 3 = 3 ( sin θ) = 3 ( 3cos θ 1). (9.8.15) A tudíž vidíme, že magnetické pole v bodě R vytvořené poudovým pstencem lze apoximovat jako pole malého magnetického dipólu umístěného v počátku souřadnic (obázek 9.8.). Ob. 9.8.: Magnetický dipólový moment µ = µ kˆ. Silokřivky magnetického pole okolo poudové smyčky a dipólového momentu (malého tyčového magnetu) jsou znázoněny na obázku

31 Ob : Silokřivky magnetického pole okolo poudové smyčky (nalevo) a malého tyčového magnetu (napavo). Magnetické pole v bodě P můžeme také psát ve sféických souřadnicích = + θ ˆ. (9.8.16) ˆ Sféické komponenty a θ souvisí s katézskými komponentami y a z takto = sinθ + cos θ, = cosθ sinθ. (9.8.17) Po jednotkové vektoy platí θ y z θ y z ˆ = sinθ ˆj + cos θkˆ, θ ˆ = cosθˆj sinθkˆ. (9.8.18) S užitím těchto vztahů můžeme sféické komponenty vyjádřit jako a (, θ ) = θ (, θ ) V limitě, kdy R, obdžíme a µ IR cos θ π dφ ' 3/ (9.8.19) µ IR = ( R + Rsinθsin φ' ) ( ) sin φ' Rsin θ dφ' π. (9.8.) 3/ ( R + Rsinθsin φ' ) IR π IR dφ ' µ cosθ µ π cosθ µ µ cosθ = = (9.8.1) θ µ IR = π ( sin sin ) ( R + Rsinθsinφ ) φ R θ dφ µ IR π 3R 3R + 3R sinθ sin 1 sin 3 sin sin 3 R θ + φ + R θ φ dφ (9.8.) µ ( I R ) sin IR µ π θ 3 ( πrsinθ + 3πRsinθ) = 3 µ µ sinθ = 3 3/ 31

32 9.9 Dodatek : Helmholtzovy cívky Uvažujme dvě cívky s N závity, poloměy R, každá je kolmá k ose symetie a jejich středy jsou umístěny v z = ±l/. Oběma cívkami potéká stejnosměný poud ve stejném směu, jak je znázoněné na obázku Nalezněme magnetické pole na ose ve vzdálenosti z od středu jedné cívky. Ob : Helmholtzovy cívky. Užitím výsledků ukázaných v příkladu 9. po jednu cívku a aplikováním pincipu supepozice, magnetické pole v místě P(z, ) (bod ve vzdálenosti z l/ od centa jedné a z+l/ od středu duhé cívky) po obě cívky bude µ NIR 1 1 honí spodní 3/ 3/ z = + = + ( z l/ ) + R ( z+ l/) + R Půběh z /, kde µ ( ) 3/ na obázku (9.9.1) = NI / 5/4 R je velikost pole v místě z = a l = R, je znázoněn Ob. 9.9.: Magnetické pole jako funkce z/r. Podívejme se na vlastnosti pole z detailněji. Deivováním z podle z obdžíme dz µ NIR 3 ( z l/) 3 ( z+ l/) z = = dz ( z l/ ) + R ( z+ l/) + R 5/ 5/ Snadno se přesvědčíme, že v centu v bodě z = je deivace nulová:. (9.9.) 3

33 Po další deivaci obdžíme d dz z= =. (9.9.3) d Nµ IR 3 15 ( z l/) z ( z) = = + 5/ 7/ dz ( z l/ ) + R ( z l/) + R. (9.9.4) 3 15 ( z+ l/) + 5/ 7/ ( z+ l/ ) + R ( z+ l/) + R V centu v bodě z = se předchozí výaz zjednoduší na d Nµ I 6 15l z ( ) = = + 5/ 7/ = dz z= ( l/) + R ( l/) + R. (9.9.5) µ 6( R l ) NI =. 7/ ( l/) + R Vidíme, že podmínka, kdy duhá deivace z bude ovna nule, nastane v z = po l = R. To znamená, že vzdálenost mezi oběma cívkami je ovna jejich poloměu. Konfiguace s l = R je známá jako Helmholtzovy cívky. Po malá z budeme mít Tayloův ozvoj pole z (z) okolo z = : 1 z( z) = z( ) + z( ) z+ z( ) z + (9.9.6)! Z faktu, že pvní dvě deivace v z = vymizí, vyplývá, že magnetické pole je v malé oblasti =. okolo z = téměř homogenní. Stejně snadno lze ukázat, že i třetí deivace z ( ) Připomeňme si, že síla působící na dipól v magnetickém poli je F ( ) = µ. Jestliže umístíme magnetický dipól µ = kˆ do z =, bude magnetická síla působící na dipól µ z dz F ( ) ˆ = µ zz = µ z k (9.9.7) dz velmi malá, potože je zde magnetické pole téměř homogenní. Animace 9.5: Magnetické pole Helmholtzových cívek Animace na obázku (nalevo) ukazuje magnetické pole Helmholtzových cívek. V této konfiguaci potéká poud v honí a spodní cívce stejným směem a tudíž jejich dipólové momenty jsou souhlasně uspořádány. Magnetické pole od obou cívek se sčítá a jeho půběh je ve středu mezi cívkami téměř homogenní. Poněvadž je vzdálenost mezi cívkami stejná jako je velikost jejich poloměů a zůstává neměnná, vytváří přitažlivá síla mezi nimi tah znázoněný 33

34 silokřivkami pole, kteé se natahují tak, aby uzavřely obě cívky. Pokud by vzdálenost mezi cívkami nebyla neměnná (tento případ je znázoněn animací napavo), budou se obě cívky díky přitažlivé síle pohybovat směem k sobě navzájem. Na této animace potéká vchní cívkou poloviční poud, než potéká spodní. Silokřivky jsou znázoněny metodou šumové textuy. Ob : Nalevo magnetické pole Helmholtzových cívek, jejichž vzájemná vzdálenost je stejná jako jejich polomě. Napavo dvě souosé vodivé smyčky potékané poudem ve stejném směu. Smyčky se navzájem přitahují. Nyní ukažme případ, kdy poudy potékají oběma smyčkami v opačných směech tak, jak je znázoněno na obázku Ob : Dvě kuhové smyčky, kteými potékají poudy v opačných směech. Stejně jako v předchozím případě, po užití pincipu supepozice obdžíme celkové pole v bodě P(,, z), kde z > µ NIR 1 1 z = 1z + z = ( z l/ ) + R ( z+ l/) + R 3/ 3/. (9.9.8) Závislost z /, kde = µ NI/R je velikost pole v místě z = a l = R, je znázoněn na obázku Ob : Magnetické pole jako funkce z/r. 34

35 Deivací z podle z obdžíme dz µ NIR 3 ( z l/) 3 ( z+ l/) z = = + dz ( z l/ ) + R ( z+ l/) + R V bodu v postřed mezi oběma cívkami z =, máme 5/ 5/. (9.9.9) d 3 ( z µ NIR l z ) = =. (9.9.1) dz 5/ z= ( l/) + R Tudíž na magnetický dipól µ = kˆ umístěný v z = bude působit síla ( µ ) ( ) µ z ( ) µ µ d ˆ NIR 3l F µ µ k kˆ. (9.9.11) z = = z z = z = dz 5/ l Po l = R, se předchozí výaz zjednoduší na ( ) + R 3µ zµ NI F ˆ = k. (9.9.1) 5/ 5/4 R Animace 9.6: Magnetické pole dvou cívek, potékaných opačným poudem Animace zachycená na obázku ukazuje magnetické pole dvou cívek stejných, jako byly Helmholtzovy, ale nyní jimi potékají poudy navzájem v opačných směech. V takovémto případu jsou magnetické dipólové momenty příslušných cívek antipaalelní. Ob : Nalevo magnetické pole dvou cívek, jimiž potékají poudy v opačných směech. Napavo dvě souosé smyčky, kteými potékají navzájem opačné poudy, a kteé se poto navzájem odpuzují. Konfiguace polí je zde znázoněna metodou šumové textuy. Spodní smyčkou potéká poud dvakát větší, než honí. V centu mezi oběma cívkami na ose symetie je magnetické pole nulové. S danou fixní vzdáleností mezi oběma cívkami mezi nimi vzniká odpudivá síla jako důsledek magnetického tlaku. To je znázoněno jako zhuštění siloča pole podél centální vodoovné osy mezi cívkami. 35

36 Animace 9.7: Síly mezi souosými vodiči, kteými potéká poud Ob : Magnet přístoje TeachSpin inteagující s magnetickým polem poudové smyčky. Sevení pól magnetu směřuje směem dolů. Obázek ukazuje odpudivou sílu mezi magnetickým polem pemanentního magnetu a pstencem přístoje TeachSpin, kteým pochází poud. Magnet je připevněn tak, že jeho sevení pól míří směem dolů. Poud pocházející honí smyčkou přístoje potéká při pohledu shoa poti směu hodinových učiček. Celkovým výsledkem je odpudivá síla mezi magnetem a smyčkou. Vizualizace ukazuje pnutí silokřivek přenášená poli magnetu a poudové smyčky. Animace 9.8: Magnet oscilující mezi dvěma cívkami Obázek ukazuje snímek animace, ve kteé si můžeme pohlédnout magnetické pole pemanentního magnetu umístěného v přístoji TeachSpin TM a magnetické pole dvou cívek potékaných poudy. Zobazen je svislý řez zařízením. Ob : Oscilace magnetu mezi dvěma cívkami. Magnet je oientován sevením pólem vzhůu a poud v obou závitech je sinusový s fázovým posuvem 18. V okamžiku, kdy efektivní dipólový moment honí cívky míří nahou, míří dipólový moment dolní cívky dolů. Magnet je poto přitahován honím závitem a odpuzován dolním závitem, což způsobuje pohyb směem vzhůu. V duhé polovině cyklu se podmínky obátí a magnet se poto pohybuje dolů. Poces může být také popsán pomocí podélného tahu a příčného tlaku magnetických silokřivek. Pokud je dipólový moment jednoho ze závitů oientován shodně s magnetem, vzniká tah silokřivek (podélný gadient tlaku), kteý se snaží spojit magnet a závit. Naopak, pokud jsou dipólové momenty magnetu a závitu oientovány opačně, vzniká gadient tlaku kolmý na silokřivky, kteý se snaží magnet a závit vzdálit. Animace 9.9: Magnet zavěšený mezi dvěma závity Obázek ukazuje animaci, ve kteé si můžete pohlédnout magnetické pole pemanentního magnetu umístěného mezi dvěma závity potékanými elektickým poudem. Zobazen je svislý řez zařízením. Magnet je oientován sevením pólem vzhůu a poud 36

37 v obou závitech je sinusový a ve fázi. V okamžiku, kdy efektivní dipólový moment honí cívky míří nahou, míří dipólový moment dolní cívky také nahou. Magnet je poto přitahován oběma závity a výslednice sil je nulová. V expeimentu ovšem vzniká točivý moment, kteý není znázoněn, potože je magnet uměle udžován ve svislém směu. V duhé polovině cyklu se podmínky obátí a magnet je odpuzován oběma závity, což opětovně vede na nulovou výslednici sil. Poces může být také popsán pomocí podélného tahu a příčného tlaku magnetických silokřivek. Pokud je dipólový moment závitů oientován shodně s magnetem, vzniká tah silokřivek (podélný gadient tlaku), potože jsou natahovány na obě stany. Naopak, pokud jsou dipólové momenty magnetu a závitů oientovány opačně, vzniká gadient tlaku kolmý na silokřivky, a ty jsou stlačovány z obou stan. Ob : Magnet zavěšený mezi dvěma cívkami. 9.1 Algoitmy řešení úloh V této kapitole se podíváme, jak lze užít iotův-savatův a Ampéův zákon k výpočtu magnetického pole, jehož zdojem je elektický poud iotův-savatův zákon Tento zákon nám říká, že magnetické pole v bodě P geneované poudem I tekoucím délkovým elementem ds umístěným v bude dáno µ Ids ˆ µ Ids d = =. 4 3 π Výpočet magnetického pole může být poveden následovně: (1) Místo zdoje: Vybete vhodný souřadnicový systém a zapište výaz po difeenciální poudový element Ids a vekto, popisující polohu elementu Ids. Velikost ' = ' je vzdálenost mezi Ids a počátkem. Poměnnými s čákou značíme bod zdoje. () od pole: od pole P je bod v postou, ve kteém počítáme magnetické pole dané ozdělením poudů. S použitím stejného souřadného systému zapíšeme polohový vekto P bodu P. Velikost P = P je vzdálenost mezi bodem P a počátkem. (3) Relativní polohový vekto: Relativní polohový vekto mezi místem zdoje pole a bodem pole je daný vektoem = P. Odpovídající jednotkový vekto je P ' ˆ = = ', P 37

38 kde = = P ' je vzdálenost mezi zdojem a bodem P kde sledujeme pole. (4) Spočtěte vektoový součin d s ˆ nebo d s. Výsledný vekto nám udává smě magnetického pole v souhlase s iotovým-savatovým zákonem. (5) Dosaďte do výazu po d a pokuste se co možná nejvíce zjednodušit zápis. (6) Jestli to bude možné, poveďme integaci po výsledné. Velikost nebo geometie systému je zahnuta v mezích integace. Někdy záměna poměnných může pomoci v uskutečnění integace. Dále ilustujme, k jakým výsledkům vedou tyto koky v případě lineáního vodiče délky L a poudové smyčky o poloměu R. Konfiguace Konečný dát délky L Kuhová smyčka s poloměem R Obázek (1) od zdoje () od pole (3) Relativní polohový vekto (4) Skalání součin d s ˆ (5) Vyjádření d (6) Integace ( φ ˆ φ ˆ) ( ) ˆ ' = R cos ' i+ sin ' j ' = xi d ' ds= ( d'/ dx ') dx ' = dx 'ˆi ds= dφ ' = Rdφ' sin φ' ˆi+ cos φ' ˆj dφ ' P = yˆj P = zk ˆ = yˆj x ' ˆi = R cos φ' ˆi Rsin φ' ˆj + zkˆ z = = x' + y' ( ) = = R + z ˆ = yˆj x ' ˆi R cos φ' ˆi Rsin φ' ˆj + zkˆ ˆ = x' + y R + z ds ˆ = ydx ' kˆ Rdφ ' ( z cos φ ' ˆi + z sin φ ' ˆj + Rkˆ ) ds ˆ = y + x' R + z d µ I ydx ' kˆ ˆ ˆ ˆ = µ I Rdφ' zcos φ' i + zsin φ' j+ Rk 3/ d = 4 π 3/ y + x' R + z ( ) x y = = µ / Iy L dx ' = 4 π ' µ I = ( y + x ) L / L 4 π y y + L/ ( ) 3/ z ( R + z ) ( R + z ) ( ) π x = φ dφ 3/ = cos ' ' π y = φ dφ 3/ = µ IRz µ IRz sin ' ' µ IR µ IR = = π dφ ' ( R + z ) ( R + z ) 3/ 3/ 38

39 9.1. Ampéův zákon Ampéův zákon nám říká, že křivkový integál ds přes nějakou uzavřenou křivku je úměný celkovému poudu, kteý pochází plochou, kteou křivka uzavíá: d s= µ Iuz. Po použití Ampéova zákona k výpočtu magnetického pole, musíme pojít následujícím postupem: (1) Nakeslit Ampéovu smyčku s ohledem na symetii úlohy () Nalézt poud, kteý je křivkou uzavřený (3) Spočíst křivkový integál d s podél dané křivky (4) Poovnat d s s µ Iuza vyřešit. Dále shneme, jak lze tuto metodu použít k výpočtu magnetického pole nekonečného lineáního vodiče, ideálního solenoidu a tooidu. Systém Nekonečný vodič Ideální solenoid Tooid Obázek (1) nakeslete Ampéovu smyčku () nalezněte poud, uzavřený smyčkou (3) spočtěte d s podél smyčky (4) sovnejte µ I uz s d s po získání I uz = I I uz = NI I uz = NI ( π ) d s = d s = l µ I π = d s = ( π ) µ NI µ NI = = µ ni = l π 9.11 Řešené úlohy : Magnetické pole přímého vodiče Mějme přímý vodič délky L, kteým potéká poud I v kladném směu osy x tak, jak je znázoněno na obázku (zanedbáváme dáhu navacejícího se poudu). Jaké je magnetické pole v testovacím bodě P v ovině xy? 39

40 Řešení: Ob : Konečný přímý vodič potékaný poudem I. Tento poblém je velmi podobný příkladu 9.1. Nyní bod P, ve kteém budeme počítat pole, bude v ovině xy. Znovu vyřešme poblém použitím metodologie popsané v sekci 9.1. (1) od zdoje. Z obázku vidíme, že infinitezimální délka dx popsaná polohovým vektoem ' = x ' ˆi představuje poudový zdoj Ids= ( Idx' )ˆ i. () od pole. Jak je možné vidět z obázku 9.1.1, polohový vekto bodu P pole je dán vztahem = xˆi+ yˆj. (3) Relativní polohový vekto. Relativní polohový vekto od zdoje do bodu P je = ' = ( x x' )ˆ + y ˆ P = P = ' = x x' + y je vzdálenost mezi zdojem a bodem P. Příslušný jednotkový vekto je i j, jeho velikost ( ) ˆ ' ( ') ( ') x x ˆi + yˆj P = = = 1/ P ' x x + y (4) Zjednodušení vektoového součinu. Vektoový součin ds může být zjednodušen na ( dx ' ˆi ) ( x x ') ˆ y ˆ i + j = ydx ' k ˆ, kde jsme použili ˆ i ˆ i = a ˆ i ˆ j = k ˆ. (5) Vyjádření d. Užitím iotova-savatova zákona je infinitezimální příspěvek od Ids dán výazem µ I ds ˆ µ I ds µ I ydx' d= = = k ˆ. (9.11.1) 3 3/ ( x x' ) + y Odtud již vidíme, že smě magnetického pole je ve směu +k ˆ. (6) Povedení integace a získání. Celkové magnetické pole v bodě P můžeme obdžet integací přes celou délku vodiče: L / µ Iydx' ˆ µ I ( x x' ) = d ˆ = L / 3/ k = = y 4 π ( x x' ) + y ( x x' ) k + y L / L / 1/ 4

41 µ I ( x L/ ) ( x+ L/) 4 π y ( x L/ ) + y ( x+ L/) + y = Nyní uvažujme následující limity: (i) x =. V tomto případě je bod pole P na ose y, tj. (x, y) = (, y). Magnetické pole pak bude ( L/) k ˆ µ I L/ + L/ = kˆ = y ( L/ ) + y ( + L/) + y µ I L/ ˆ µ I = k = cosθ kˆ πy + y πy (9.11.3) v souhlase se vztahem (9.1.6). (ii) Limita nekonečné délky. Uvažujme limitu, kde L x, y. Tato limita nám dá výsledek již spočtený po případ vodiče nekonečné délky: µ I L/ + L/ ˆ µ I = ˆ 4 πy L/ L/ k = k. (9.11.4) πy Jestliže použijeme válcové souřadnice s vodičem umístěným do osy z, pak magnetické pole můžeme popsat výazem µ I = ϕ ˆ, (9.11.5) π kde ˆϕ je tangenciální jednotkový vekto a bod P pole je ve vzdálenosti od vodiče : Poud potékající obloukem Uvažujme poudovou smyčku sestávající ze dvou adiálních segmentů a ze dvou částí soustředných kužnic se středy v bodě P, jak je znázoněno níže. Nalezněte magnetické pole v bodě P. Ob : Oblouk potékaný poudem, Řešení: V souhlase s iotovým-savatovýn zákonem je velikost magnetického pole geneovaná poudovým elementem Ids dána výazem µ I ds ˆ µ I dθ ' µ I d = = dθ '. (9.11.6) 4 π Po vnější oblouk dostaneme 41

42 µ I θ µ Iθ out = dθ ' b =. (9.11.7) b Smě pole out je dán výsledkem vektoového součinu d s, ˆ kteý ukazuje ven z náysny. Podobně po vnitřní kuh máme Po in míří vektoový součin in µ I θ µ Iθ = dθ ' a =. (9.11.8) a d s ˆ směem do obazovky. Tudíž bude celkové pole ovno µ I 1 1 = in + out = (do náysny). (9.11.9) a b : Pavoúhlá poudová smyčka Učete magnetické pole (a vyjádřete pomocí I, a, a b) poudové smyčky znázoněné na obázku v počátku souřadnic O. Ob : Pavoúhlá poudová smyčka. Řešení: Po konečný vodič nesoucí poud I je příspěvek magnetickému poli v bodě P dán (9.1.5) µ I = ( cosθ1+ cosθ ), kde θ 1 a θ jsou úhly, kteé paametizují délku dátu. Abychom obdželi magnetické pole v místě O, využijeme tento vztah. Příspěvek může být ozdělen na tři části: (i) Spočtěme nejpve levý segment dátu, kteý leží v intevalu od ( xy, ) ( a, ) = + do ( a,+d). Úhly, kteými paametizujeme tento úsek nám dají cos θ 1 = 1 (θ 1 = ) a cos θ = b/ b + a. Tedy µ I ( cos cos ) µ I = θ + θ = 1 b a a b + a 1 1 Smě 1 vede ven z náysny, neboli ve směu ˆ +k.. (9.11.1) 4

43 (ii) Dále uvažujme segment, kteý leží mezi (x, y) = ( a, +b) a (+a, +b). Cosiny příslušných úhlů jsou dány a cosθ 1 =, ( ) a + b a cosθ = cosθ1 =. (9.11.1) a + b To nám dá výsledek Smě míří do obazovky neboli µ I a a µ Ia = + = b a + b a + b π b a + b ˆ k. (iii)třetí úsek vodiče leží mezi ( x, y) = ( + a, + b) a ( a, ) stejný výsledek, jako v pvním případě: 3 1. ( ) + +. Snadno ukážeme, že obdžíme =. ( ) Smě pole míří opět ven z náysny, tj. ve směu +k ˆ. Celkové magnetické pole potom je = = 1+ = µ I b ˆ µ Ia 1 k kˆ =. ( ) a b + a π b a + b µ I = ˆ ( b a + b b a ) k π ab a + b Všimněme si, že v limitě a hoizontální úsek zcela zmizí a zbudou dva polopřímkové vodiče nesoucí poud navzájem v opačných směech. Tudíž výsledné příspěvky se musí navzájem vyušit a celkové magnetické pole bude v této limitě nulové : Vodič ve tvau U potékaný poudem Nekonečně dlouhý vodič potékaný poudem, je ohnut do tvau U tak, jak je vidět na obázku Nalezněte magnetické pole v bodě P ležící ve středu polokužnice. Ob : Vodič ve tvau U potékaný poudem. Řešení: Úlohu opět ozdělíme na tři části: dvě polopřímky a jedna polokužnice. 43

44 (i) Nechť P leží v počátku v ovině xy. Pvní polopřímková část pak leží mezi ( x, y) = (, ) až (, ). Dva úhly, kteé paametizují tento úsek, jsou pak dány cosθ1 = 1 ( θ1 = ) a cosθ = ( θ = π / ). Příspěvek magnetickému poli od tohoto segmentu je v bodě P dán vztahem 1 = µ I (cosθ1+ cos θ) = µ I ( 1+ ) = µ I 4 π. ( ) Vekto 1 pak směřuje ven z náysny, tj. ve směu +k ˆ. (ii) Po polokuhový oblouk s poloměem použijeme iotův-savatův zákon: µ I d = s ( ) a obdžíme µ I π dθ µ I = =. 4 ( ) Vekto pak směřuje ven z obazovky, tj. ve směu +k ˆ. (iii)třetí úsek vodiče vede od ( x, y) = (, + ) do (, + ). Snadno zjistíme, že tento úsek dá stejný příspěvek jako pvní, tj.: µ I 3 = 1 =. 4 π Vekto 3 pak opět směřuje ven z náysny, tj. ve směu +k ˆ. Celková velikost magnetického pole je µ I ˆ µ I ˆ µ I = = 1 + = k ( π ) ˆ π + k 4 = + k. (9.11.) Poznamenejme, že příspěvek dvou polopřímkových vodičů je stejný jako od nekonečného vodiče.: : Dva nekonečně dlouhé vodiče µ I π ˆ = 1+ 3 = 1 = k. (9.11.1) Uvažujme dva nekonečně dlouhé vodiče, kteými potéká poud v záponém směu osy x. Ob : Dva nekonečně dlouhé vodiče. (a) Zakeslete tva magnetického pole v ovině yz. (b) Nalezněte vzdálenost d od osy z, kde je magnetické pole maximální. 44

45 Řešení: (a) Silokřivky magnetického pole jsou zakesleny na obázku Poudy v obou vodičích tekou směem do náysny. Ob : Silokřivky magnetického pole dvou vodičů, kteými potéká poud ve stejném směu. (b) Magnetické pole v (,, z) od vodiče č. 1 nalevo je, s užitím Ampéova zákona 1 µ I µ I = = π π a + z. (9.11.) Poněvadž poud teče v záponém směu osy x, směřuje magnetické pole ve směu vektoového součinu ˆi ˆ = ˆi cosθ ˆj + sinθ kˆ = sinθ ˆj cosθ k ˆ. (9.11.3) Máme tedy ( ) 1 ( ) ( ) ( sinθ ˆ cosθ ˆ ) µ I 1 = j k. (9.11.4) π a + z Po vodič číslo (vpavo) platí, že jeho magnetické pole má stejný půběh jako pole dátu levého: 1 =. Jeho smě je ale dán ˆi ˆ = ˆi cosθ ˆj + sinθ kˆ = sinθ ˆj + cosθ k ˆ. (9.1.5) ( ) ( ) ( ) Sečtením obou těchto příspěvků od obou dvou dátů, z-ová komponenta vymizí (jak očekáváme z požadavků symetie), obdžíme µ I sinθ = ˆ 1+ = j. (9.11.6) π a + z Ob : Supepozice magnetického pole geneovaného dvěma poudovými zdoji. 45

46 Po nalezení maxima, položíme d/dz =, d µ I 1 z µ I a z = dz π 3 = =, (9.11.7) a + z ( a + z π ) ( a + z ) kteé nám dá z = a. (9.11.8) Tudíž po z = a je velikost magnetického pole je maximální a jeho velikost je max : Nehomogenní poudová hustota µ I =. (9.11.9) π a Uvažujme nekonečně dlouhý, válcový vodič s poloměem R, kteým potéká poud I s nehomogenní poudovou hustotou J = α, (9.11.3) kde α je konstanta. Najděte půběh magnetického pole. Ob : Nehomogenní poudová hustota. Řešení: Úlohu můžeme řešit použitím Ampéova zákona: kde poud uzavřený křivkou je dán jako (a) Po < R je uzavřený poud oven d s =µ Iuz, ( ) ( α )( π ) I J da d. (9.11.3) uz = = uz 3 πθ πα. ( ) I = d = Po aplikování Ampéova zákona obdžíme magnetické pole v bodě P neboli 1 ( ) 3 3 µ πα π = ( ) 3 46

47 1 αµ =. ( ) 3 Smě magnetického pole 1 je tangenciální k Ampéově smyčce, kteá uzavíá poud. (b) Po > R je uzavřený poud oven což nám dá uz R 3 παr πα, ( ) I = d = ( ) Magnetické pole v bodě P mimo vodič je tedy 3 3 µπα R π =. ( ) 3 αµ R 3 Půběh jako funkce je znázoněn na obázku : 3 =. ( ) Ob : Magnetické pole jako funkce vzdálenosti od osy vodiče : Tenký kovový použek Uvažujme nekonečně dlouhý, tenký použek kovu šířky w ležící v ovině xy. Použkem potéká poud I v kladném směu osy x tak, jak je znázoněno na obázku Nalezněte magnetické pole v bodě P, kteý leží v ovině použku a je od něj vzdálen s. Řešení: Ob : Tenký kovový použek. Uvažujme tenký použek šířky d ovnoběžný se směem toku poudu ve vzdálenosti od bodu P. Viz. obázek Množství poudu, kteý pochází tímto difeenciálním elementem je dán 47

48 d di = I w. ( ) Užitím Ampéova zákona vidíme, že příspěvek magnetickému poli v místě P od tohoto elementu bude neboli ( π ) µ µ ( ) d = I = di (9.11.4) uz µ di µ Id d = = π π w. ( ) Ob : Tenký použek šířky d, kteým potéká poud I. Integací tohoto výazu obdžíme s+ w µ I d µ I s + w = ln s =. (9.11.4) πw πw s Užitím pavidla pavé uky vidíme, že smě magnetického pole směřuje v kladném směu osy z, čili µ I w = ln 1 ˆ + k. ( ) π w s Všimněme si, že pokud s šířkou půjdeme k nule, w s, ( w s) předchozí výaz na ln 1 + / w/ s, přejde µ I = k ˆ, ( ) π s což je magnetické pole nekonečně dlouhého, tenkého, přímého dátu : Dva polopřímkové vodiče Vodičem pochází poud I po ose y v záponém směu od + směem dolů k počátku a odtamtud k nekonečnu osy x. Ukažte, že magnetické pole je v kvadantu x, y >, v ovině xy dáno vztahem z µ I 1 1 x y = x y y x + y x x + y. ( ) 48

49 Řešení: Nechť P(x, y) je bod v pvním kvadantu ve vzdálenosti 1 od bodu (, y ) ležícím na ose y a ve vzdálenosti od bodu (x, ) ležícím na ose x. Ob : Dva polopřímkové vodiče. Užitím iotova-savatova zákona zjistíme, že magnetické pole je v bodě P dáno vztahem µ I ds µ I ds µ I ds = d= = π π vodič y 1 π vodič x. ( ) Nyní analyzujme každý úsek zvlášť. (i) Podél osy y bude difeenciální element ds ˆ 1 dy' j, kteý leží ve vzdálenosti = xˆi+ y y' ˆj od bodu P, přispívat 1 ( ) ( ) ( ) d s ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 = dy' j x + y y' i j = xdy' k. ( ) (ii) Analogicky podél osy x obdžíme příspěvek od ds dx'ˆi ve vzdálenosti = x x' ˆi+ yˆj, kteý dá ( ) ds = ydx' k ˆ. ( ) Tedy vidíme, že magnetické pole bude v bodě P směřovat v kladném směu osy z. S použitím předchozích výsledků obdžíme po vzdálenosti ( ) a ( ) x x y = + výsledné pole ' z µ I xdy' µ I ydx' = x + ( y y' ) y + ( x x' ) π 3/ π 3/ x y y 1 = + '. ( ) Integály snadno spočteme s použitím bds 1 a = +. (9.11.5) 3/ b b + ( a s) b a + b Tedy celkový výaz po magnetické pole je dán jako 49

50 µ I 1 y 1 x = k ˆ x y x x + y y x + y Dokažte, že tento výaz je v souladu s ovnicí (9.1.5). 9.1 Tématické otázky 1. Poovnejte iotův-savatův zákon v magnetostatice s Coulombovým zákonem v elektostatice.. Jestliže poud teče pužinou, dojde k jejímu natažení nebo smštění? Vysvětlete. 3. Jak vybíáme integální cestu d s, když používáme Ampéův zákon? 4. Mějme dvě soustředné kuhové smyčky s ůznými poloměy ležící v jedné ovině. Smyčkami pochází poud ve stejném směu. udou se přitahovat nebo odpuzovat? Vysvětlete. 5. Mějme tři nekonečně dlouhé ovnoběžné dáty, kteé jsou uspořádány tak, že na kolmém řezu leží ve vcholech ovnostanného tojúhelníka. Mohou být poudy uspořádány tak (kombinace poudů jdoucích z a do náysny), aby se všechny tři dáty (a) přitahovaly a (b) všechny navzájem odpuzovaly? Vysvětlete Neřešené úlohy : Použití Ampéova zákona Nejjednodušší možné použití Ampéova zákona nám dovoluje spočítat magnetické pole v okolí jednoho nekonečně dlouhého dátu. Přidáním dalších dátů s ozdílnými poudy nás vyzkouší z poozumění Ampéova zákona. (a) Spočtěte pomocí Ampéova zákona magnetické pole = ( ) jak funkci vzdálenosti v okolí nekonečně dlouhého přímého dátu, kteým potéká poud I. Ukažte na náčtku, jakou zvolíte integační cestu a zejména uveďte, jak využít symetie. Jaké bude pole ve vzdálenosti 1 mm od dátu, kteým potéká poud 1 A? (b) Máme osm ovnoběžných dátů vstupujících kolmo do náysny ve znázoněných bodech. Dáty jsou označeny celými čísly k (k = 1,,..., 8) a potéká jimi poud k kát I, (tj. I k = ki ). Po k = 1 4 teče poud směem ven z náysny, po zbytek dátů teče poud do náysny. Spočtěte d s podél uzavřené křivky (viz obázek) ve směu vyznačeném šipkou. (Pozo na znaménka!) Ob : Ampéova smyčka. 5

51 (c) Můžete použít jednoduchou aplikaci Ampéova zákona k nalezení pole v bodě v okolí 8 dátů? Poč? Jak byste postupovali v hledání pole v libovolném bodě P? 9.13.: Užití Ampéova zákona k výpočtu magnetického pole Uvažujme válcový vodič s dutinou ve svém středu a měděnou stěnou tloušťky b a tak, jak je znázoněno na obázku Poloměy vnitřní a vnější stěny jsou a esp. b. Potékající poud I je ovnoměně ozložen skze půřez měděného vodiče. (a) Spočtěte velikost magnetického pole v oblasti mimo vodiče, > b. (Návod: předpokládejte, že celý vodič je jednoduchý tenký dát, zkonstuujte Ampéovu smyčku a aplikujte Ampéův zákon). Jaký bude smě? (b) Spočtěte magnetické pole uvnitř vnitřního poloměu < a. Jaký bude smě? (c) Spočtěte magnetické pole uvnitř vlastního vodiče, tj. a < < b. Jaký je smě? (d) Nakeslete půběh velikosti magnetického pole () od = do = 4b. Je () spojité v = a a = b? A jaká je jeho změna (deivace)? (e) Nyní předpokládejte, že v ose tohoto vodiče je umístěný velmi tenký dát, kteým potéká stejný poud I, ale v opačném směu. Můžete zhuba znázonit změnu () bez dalších detailních výpočtů? (Návod: nezapomeňte, že vektoy d z ůzných poudových elementů je možné sčítat, abychom obdželi celkové magnetické pole.) : Válec s dutinou Ob : Dutý válec potékaný stejnosměným poudem I. Dlouhá měděná tyč s poloměem a má mimo svoji osu válcovou dutinu skze celou svoji délku tak, jak je znázoněno na obázku Vodičem potéká poud I směřující ven z náysny, a kteý je ovnoměně ozdělený podél řezu vodiče. Nalezněte velikost a smě magnetického pole v bodě P. Ob : Válcový vodič s dutinou. 51

52 9.13.4: Magnetická pole solenoidu Solenoid má těsně navinutých závitů, tudíž po většinu jeho délky lze předpokládat, že je to ideální solenoid. Je dlouhý,5 m, půmě má,1 m a pochází jím poud,3 A. (a) Nakeslete solenoid a zakeslete smě vinutí, smě poudu a silokřivky magnetického pole (vně i uvnitř) s šipkami znázoňujícími jejich směy. Jaký je převládající smě magnetického pole uvnitř solenoidu? (b) Nalezněte velikost magnetického pole uvnitř solenoidu pomocí Ampéovy smyčky a užitím Ampéova zákona. (c) Má magnetické pole složku ve směu dátu, z něhož je vytvořený solenoid? Jestliže ano, spočtěte jeho velikost jak uvnitř, tak vně solenoidu ve vzdálenostech 3 mm, esp. 6 mm od středu solenoidu a ukažte jeho smě na náčtku : Rotující disk Kuhový disk s poloměem R s konstantní nábojovou hustotou σ otuje s úhlovou ychlostí ω. Ukažte, že magnetické pole ve středu disku je 1 = µ σωr. Návod: Uvažujte kuhový pstenec s poloměem a tloušťce d. Ukažte, že poud v tomto di = ω/π dq = ωσd. elementu je ( ) : Čtyři dlouhé vodivé dáty Čtyři nekonečně dlouhé ovnoběžné dáty vedou stejné poudy I a jsou uspořádány způsobem, kteý je vidět na obázku tak, že na kolmém řezu jsou umístěny ve vcholech čtvece. Poudy A a D míří ven z náysny a poudy a C míří do náysny. Jaké je magnetické pole ve středu čtvece? Ob : Čtyři ovnoběžné vodivé dáty : Magnetické síly na poudové smyčce Pavoúhlá smyčka délky l a šířky w je potékána poudem I 1. Smyčka je umístěna v blízkosti nekonečně dlouhého dátu, kteým potéká poud I tak, jak je znázoněno na obázku Jaká je magnetická síla působící na smyčku a kteá je způsobená magnetickým polem dátu? 5

53 Ob : Magnetická síla působící na poudovou smyčku : Magnetický moment obíhajícího elektonu Chceme odhadnout magnetický dipólový moment vytvořený pohybem elektonu obíhajícím poton. K tomu užijeme semi-klasický model. Předpokládejme, že elekton má ychlost v, a obíhá poton (předpokládejme, že je velmi těžký), kteý je umístěný v počátku souřadnic. Elekton se pohybuje po kužnici o poloměu =, m poti směu hodinových učiček při pohledu z kladného směu osy z. Viz ob Ob (a) Dostředivá síla mv e /, kteá udžuje pohybující se elekton na kužnici, je způsobena Coulombickou přitažlivou silou mezi elektonem a potonem (m e je hmotnost elektonu). S využitím tohoto faktu a ze známé vzdálenosti, kteá je dána výše nalezněte ychlost elektonu v našem semi-klasickém modelu. [, m/s.] (b) Známe-li tuto ychlost, jaká je pak oběžná peioda T elektonu? [1, s.] (c) Jaký je poud asociovaný s tímto pohybem? Představme si, že je elekton ovnoměně natažen podél celé své dáhy. Za čas T je celkový náboj q, kteý pojde danou kužnicí, oven pávě e. [1,5 ma. Veliký!] (d) Jaký je magnetický dipólový moment asociovaný s tímto obitálním pohybem? Učete velikost a smě. Velikost tohoto dipólového momentu je tzv. ohův magneton, µ. [9,7 1 4 A m v záponém směu osy z.] (e) Jeden z důvodů, poč je tento model semiklasický je ten, že zde není žádný příčina, poč by obita měla mít zovna tuto zadanou velikost poloměu své dáhy. Velikost je dána z kvantově mechanických úvah, kteé říkají, že moment hybnosti obíhajícího elektonu je jen celočíselným násobkem = 1, J/s je edukovaná Planckova konstanta. Jaký je obitální moment hybnosti zde v této úloze v jednotkách? 53

54 9.13.9: Feomagnetismus a pemanentní magnety Železný disk má výšku h = 1, mm a polomě = 1, cm. Magnetický dipólový moment atomu železa je µ = 1,8 1 3 A m. Molání hmotnost železa je 55,85 g a jeho hustota je 7,9 g/cm 3. Přepokládejme, že všechny atomy železa v tomto disku mají své dipólové momenty uspořádané ve směu osy disku. (a) Jaká je koncentace atomů železa? Kolik atomů železa je v tomto disku? [8,5 1 8 atomů/m 3,,7 1 atomů.] (b) Jaká je magnetizace M disku? [1, A/m, ovnoběžně s osou.] (c) Jaký je magnetický dipólový moment disku? [,48 A m.] (d) Jestliže bychom ovinuli disk smyčkou z dátu o stejném poloměu, jak veliký poud by musel dátem pocházet, abychom dostali stejný dipólový moment jako je v (c)? Je to ekvivalentní povchový poud způsobený atománími poudy uvnitř magnetu? [1 55 A.] : Náboj v magnetickém poli Cívkou o poloměu R, kteá má svojí osu v kladném směu osy +x, pochází poud I. Kladný náboj q se pohybuje ychlostí v = v ˆj v okamžiku, kdy kříží osu cívky ve vzdálenosti x od jejího centa. Viz obázek Ob Popište následný pohyb náboje. Jaký je okamžitý polomě křivosti dáhy náboje? : Pemanentní magnety Magnet ve tvau válcové tyče má délku 4,8 cm a polomě 1,1 cm. Má homogenní magnetizaci M = 53 A/m směřující ovnoběžně s osou. (a) Spočtěte magnetický dipólový moment tohoto magnetu. (b) Jaké je osové pole ve vzdálenosti 1 met od středu magnetu ve směu osy? [(a),4 1 A m, (b) 4,8 1 9 T, tj. 4,8 1 5 gaussů.] : Magnetické pole solenoidu (a) Solenoid s 3 závity má délku 6 cm a půmě 8 cm. Jestliže solenoidem pochází poud 5, A, nalezněte velikost magnetického pole uvnitř solenoidu zkonstuováním Ampéovy smyčky a aplikací Ampéova zákona. Jaké bude ve sovnání s magnetickým polem Země (5 1 5 T, čili,5 gaussů)? [,314 T, čili 314 gaussů, což je asi 6-kát silnější, než je pole Země.] Magnetické pole obdžíme následujícím způsobem: máme dlouhou válcovou slupku z nevodivého mateiálu, kteá nese povchový náboj σ [C/m ] vázaný na povch tak, jak je 54

55 ukázáno na obázku Válec je zavěšený takovým způsobem, že se může volně a bez tření otáčet okolo své osy. Na počátku je v klidu. udeme ho postupně oztáčet podél jeho osy až do konečné ychlosti povchu v. Ob (b) Jaký bude povchový poud K na povchu válce v A/m? [K = σv.] (c) Jaké je magnetické pole uvnitř válce? = µ K = µ σv oientované podél osy podle pavidla pavé uky vzhledem k ose.] (d) Jaké je magnetické pole vně válce? Předpokládejme, že válec je nekonečně dlouhý. [] : Paamagnetický jev Solenoidem s 16 závity/cm pochází poud 1,3 A. (a) Jak naoste magnetické pole uvnitř solenoidu, když do něj vsuneme dokonale padnoucí chomovou tyč? (Chom je paamagnetický mateiál s magnetickou susceptibilitou χ =,7 1 4.) [,86 µt] (b) Nalezněte velikost magnetizace M této tyče. [,68 A/m.] 55