FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ Měření zpoždění mezi signály EEG Ondřej Drbal Vedoucí diplomové práce: Doc. Ing. Roman katedra Teorie obvodů rok obhajoby 24 Čmejla, CSc.

2 Zadání diplomové práce školní rok 23/24 Diplomant: Obor: Ondřej Drbal Elektronika, 5. ročník Název tématu: Měření zpoždění mezi signály EEG Measurement of delay between EEG Zásady pro zpracování: 1. Seznamte se s problematikou analýzy EEG 2. Použijte korelační funkce, DFT spektra a parametrické metody pro měření zpoždění na simulovaných i přirozených signálech 3. Proved te vyhodnocení dosažených výsledků včetně přesnosti metod a jejich omezení Vedoucí diplomové práce: Oponent: Doc. Ing. Roman Čmejla, CSc. Prof. Ing. Pavel Sovka, CSc. i

3 Čestné prohlášení Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci vypracoval samostatně a použil jsem pouze podklady uvedené v přiloženém seznamu. Nemám závažný důvod proti užití tohoto školního díla ve smyslu 6 Zákona č.121/2 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon). V Praze dne 15. ledna podpis ii

4 Abstrakt Cílem této práce je vytvořit přehled a popis možných metod pro měření zpoždění mezi signály EEG a otestovat jejich funkčnost a parametry. EEG dává určitou představu o tom, co se děje v lidském mozku, který je nejsložitějším orgánem lidského těla. Měření zpoždění mezi signály EEG může být použito pro určení toho, jak se vyvíjí epileptický záchvat, popř. lokalizaci místa v mozku, které epileptický záchvat vyvolalo. Pro tyto účely je třeba poměrně vysoká přesnost určení zpoždění mezi jednotlivými signály. Proto jsem se v této práci snažil o zdokonalování jednotlivých metod a o návrh lepších a kvalitativně přesnějších algoritmů. V práci jsou popsány tři základní algoritmy. Jsou to korelační funkce, metoda vzájemné fáze a metoda autoregresních modelů. Abstract The aim of this project is to make a report and a description of various methods for measurement of delay between EEG and to test their reliability performance and parameters. EEG is making a conception about proceses in a human brain, that is the most complex organ of human body. The measurement of delay between EEG could be used for purpose how is developing the epileptic attack, or for localization of position in brain, which evokes an epileptic attack. For this purposes is needed relatively high precision identification of delay between individual signals. I tried therefore in this project to improve of individual methods and to design better and qualitative more precise algorithms. There are described three methods of basic algorithms in this project. These are correlation function, method of cross phase and method of autoregresive models.

5 Obsah Zadání diplomové práce Čestné prohlášení Abstrakt i ii iii 1 Úvod Cíl práce Úvod do problematiky Teorie a seznámení s EEG Měření EEG signálu Elektrická aktivita neuronových polí Použití elektrod k měření Model elektrody Zapojení elektrod na skalpu Zpracování EEG signálu Rozdělení na frekvenční pásma Základní aktivita Signál EEG při epileptickém záchvatu Zpracování signálů Rozdělení signálů Signály spojité a diskrétní Signály deterministické a náhodné Signály stacionární a nestacionární Signály ergodické a neergodické Signály periodické a neperiodické Signály harmonické a komplexní periodické iv

6 Obsah Obsah Signály téměř periodické a tranzientní Signály energetické a výkonové Korelační funkce Autokorelační funkce Vlastnosti korelační a autokorelační funkce Fourierova řada Fourierova transformace Diskrétní Fourierova řada Diskrétní Fourierova transformace Rychlá Fourierova transformace Vlastnosti Fourierovy transformace Filtrace v kmitočtové oblasti pomocí FFT Měření zpoždění Signály pro měření zpoždění Modelované signály Korelační funkce Popis metody Výpočet korelační funkce Implementace v Matlabu Dosažené výsledky DFT spektrum Popis metody Výpočet vzájemné spektrální hustoty Koherence Implementace v Matlabu Dosažené výsledky Parametrická metoda Typy modelů Wienerova filtrace Estimace signálu Popis metody Implementace v Matlabu Dosažené výsledky Průběžné metody Porovnání metod v

7 Obsah Obsah 4.6 Měření na reálných signálech Korelační metoda DFT spektrum Parametrická metoda Porovnání výsledků s reálnými signály Závěr Implementace algoritmů Přesnost algoritmů Rychlost algoritmů Vhodnost algoritmů vzhledem k vlastnostem signálů Celkové zhodnocení Opakování pokusů A Poznámky ke zpracování signálů 55 A.1 Prosakování ve spektru A.2 Kritéria pro určení řádu AR modelu A.3 Odstup signálu od šumu A.3.1 Směs signálu a šumu s požadovaným SNR A.4 Zpoždění mezi signály B Poznámky k Matlabu 62 B.1 Výpočet energie signálu B.2 Vytváření vektorů C CD-ROM 64 C.1 Text diplomové práce C.2 Prezentace C.2.1 Prezentace na blány C.2.2 Prezentace na PC C.3 Obrázky C.4 Testovaná data C.5 Programy C.5.1 Programy pro opakování pokusů C.6 Licence a autorská práva Literatura 67 vi

8 Seznam obrázků 2.1 Elektrický obvod modelující vlastnosti elektrody Orientační schéma umístění elektrod na hlavě Rozdělení EEG signálu na základní pásma EEG signál při epileptickém záchvatu Rozdělení signálů Skutečný EEG signál Model EEG signálu Model signálu EEG s šumem Průběh korelační funkce Chyba určení zpoždění korelační metody v závislosti na SNR Chyba určení zpoždění korelační metody v závislosti na délce signálu Chyba určení zpoždění korelační metody Váhovací okna Segmentace signálu Znázornění Welchovy metody výpočtu spektrální hustoty Vzájemná spektrální hustota a fáze Vzájemná fáze a koherence Chyba určení zpoždění DFT metody v závislosti na délce signálu Chyba určení zpoždění DFT metody v závislosti na SNR Chyba určení zpoždění DFT metody Obecný estimátor Frekvenční odezva a fáze FIR filtru AR modelu Nalezení lineární oblasti fáze u AR modelu Chyba určení zpoždění AR modelu v závislosti na délce signálu Chyba určení zpoždění AR modelu v závislosti na SNR Chyba určení zpoždění AR modelu vii

9 Seznam obrázků Seznam obrázků 4.22 Porovnání chyb zpoždění v závislosti na délce signálu Porovnání chyb zpoždění v závislosti na délce signálu (log měřítko) Porovnání chyb zpoždění v závislosti na SNR Průběh korelační funkce pro reálné signály Průběh vzájemné fáze pro reálné signály (DFT spektrum) Impulzová odezva a fáze pro reálné signály (AR modelování) Porovnání naměřených zpoždění mezi reálnými signály (proměnná délka) Porovnání naměřených zpoždění mezi reálnými signály (proměnný SNR) Oblast použití metod A.1 Demonstrace prosakování spektra A.2 Demonstrace odstranění prosakování spektra A.3 Závislost kritéria na stupni modelu A.4 Demonstrace velikosti zpoždění mezi signály viii

10 Seznam tabulek 2.1 Rozdělení pásem EEG signálu Výsledky korelační metody pro proměnnou délku signálů Výsledky korelační metody pro různé hodnoty SNR Výsledky metody DFT spektra pro proměnnou délku signálů Výsledky metody DFT spektra pro různé hodnoty SNR Výsledky parametrické metody pro proměnnou délku signálů Výsledky parametrické metody pro různé hodnoty SNR ix

11 Kapitola 1 Úvod 1.1 Cíl práce Cílem této práce je navrhnout algoritmy pro měření časového zpoždění mezi signály EEG. Metod, jak zpracovávat EEG signály existuje mnoho, ale v této práci se budu zabývat v souladu se zadáním korelační funkcí, DFT spektrem a především parametrickými metodami. Snahou je vyhodnocení dosažených výsledků, přesnosti jednotlivých algoritmů a vyhodnocení jejich použitelnosti a omezení. Vzhledem k tomu, že při analýze zpoždění mezi signály EEG není možné zjistit, do jaké míry je algoritmus přesný, protože přesné zpoždění neznám, je nutné pro otestování algoritmu použít simulované signály s přesně definovaným vzájemným zpožděním. Teprve po navržení správně fungujících algoritmů je možné přistoupit k testování na přirozených signálech. V následujících kapitolách se budu zabývat seznámením s EEG, které je nutné pro pochopení této práce, teoretickým rozborem jednotlivých algoritmů a poté jejich realizací a otestování v Matlabu. Pro tento účel mám k dispozici 45-minutový záznam EEG pacienta trpícího epilepsií. 1.2 Úvod do problematiky V dnešní době výpočetní technika stále více zasahuje do jiných oborů, jako je např. neurologie a stává se jejich nezbytnou součástí. Počítačem prováděná analýza EEG záznamu velmi přispívá ke zpřesnění diagnózy pacienta a tedy i možnému zlepšení jeho zdravotního stavu. Ještě před nedávnem byly záznamy z EEG přístrojů pořizovány na papír, ze kterého lékař prováděl diagnózu. Z toho vyplývají problémy se zaznamenáváním delších úseků EEG záznamu a trvalá nemožnost jejich dalšího zpracování. Dnes ale lékaři mají mnohem větší možnosti, mohou zpracovávat tento záznam v elektronické podobě, uchovávat ho, rychle 1

12 Kapitola 1. Úvod 1.2. Úvod do problematiky ho vyhledat, posílat po síti a mohou používat dnešní obrovský výpočetní výkon počítačů k přesnějšímu stanovení diagnózy. Odtud pramení velká potřeba spolupráce odborníků různých oblastí jako je medicína a informatika, kteří se společně podílejí na vývoji programů, usnadňující zpracování a získávání důležitých informací z naměřených dat EEG přístrojů. K nadstavbovým analýzám prováděným nad EEG záznamy, které poskytují počítače, se však stále pohlíží jako na doplňující nástroj či informaci. Počítače totiž stále nejsou schopny kompletně posoudit přesný stav pacienta, protože lidský mozek je velmi složitý orgán, který dosud není plně prozkoumán. S vývojem výpočetní techniky a medicíny budou ovšem přibývat nové analýzy, které nám budou sloužit k lepšímu pochopení stavu pacienta. Oblasti v medicíně, které se zabývají zpracováním EEG záznamu jsou především neurologie, psychologie a psychiatrie. Měření zpoždění jako takové lze jednoduše měřit pouze mezi dvěma signály, které jsou totožné, pouze časově posunuté. To ovšem není případ signálů EEG, nebot signály EEG, i když jsou z párových sond, mohou být časově posunuté, ale nejsou zcela totožné. To je způsobeno tím, že každý ze signálů prochází jinou částí mozku, proto jsou různě tvarově zdeformovány. Proto je nutné přistoupit k složitějším metodám měření zpoždění. V této práci se těmito metodami budu zabývat. 2

13 Kapitola 2 Teorie a seznámení s EEG V této kapitole se seznámíme teoreticky se základy elektroencefalografie, která se označuje zkratkou EEG. 2.1 Měření EEG signálu Orgánem sledovaným při měření je mozek. Mozek je nejdůležitější a nejkomplikovanější orgán lidského těla, který obsahuje 1 miliard neuronů a více, spojených navzájem stovkami až desetitisíci spoji. Pro svoji činnost využívá bioelektřinu, jejíž potenciál a distribuci v celém organismu ovládá. Je tedy generátorem i regenerátorem bioelektrického proudu, který je stejnosměrný a jehož homeostatickým režimem povolený rozkmit hodnot je v mozku a míše zdravého dospělého člověka přibližně 5 až 21mV a,5 až 4Hz. Homeostáza je autonomní samoregulační režim, který hlídá a koriguje povolený rozkmit hodnot činnosti životně důležitých funkcí Elektrická aktivita neuronových polí Nejpřehlednějším a z vyhodnocovacího hlediska nejvýznamnějším parametrem práce mozku je rychlost generování elektrických výbojů v cyklech za sekundu, vyjádřený v Hertzích. Poněvadž k elektrickému výboji dochází odděleně v každé jednotlivé nervové buňce neuronu, je z praktického hlediska nutné, chceme-li měřením získat údaj o aktuálním výkonu mozku v konkrétním okamžiku, abychom měřili celá větší či menší neuronální pole. To nám umožňuje získat částečně zprůměrované hodnoty, protože jmenovité výkony jednotlivých seskupení neuronů s ohledem na jejich konkrétní funkce i lokalizaci se vždy poněkud liší. Pomocí EEG tedy měříme proměnlivé elektrické signály, jejichž zdrojem jsou synchronizované výboje nervových buněk, šířící se neuronovými okruhy. 3

14 Kapitola 2. Teorie a seznámení s EEG 2.1. MěřenÍ EEG signálu Použití elektrod k měření Při elektroencefalografii jsou na povrchu skalpu 1 umístěny elektrody. Snímají jemné rozdíly elektrických potenciálů (okolo 1mV) a vedou je ke zpracování do přístroje. Potenciály vznikají na základě synchronizovaných výbojů ohromných skupin nervových buněk. Naměřené hodnoty proudů jsou příliš nízké, proto se zesilují, aby je bylo možno lépe hodnotit. Naměřené a zesílené hodnoty elektrických potenciálů (vzestup a pokles hodnot) vytváří v záznamu vlny. Potenciály ve skutečnosti představují záznam velikostí rozdílů potenciálů mezi dvěma místy skalpu (mezi dvěma elektrodami). Při odečítání záznamu EEG můžeme např. posoudit, v jaké fázi spánkového cyklu se daná osoba nachází, zda-li je mozek zdravý, nebo zjistit a rozlišit různé druhy epilepsie. Typický vzorec vln EEG vzniká činností skupin neuronů, kdy se skupiny navzájem střídavě excitují a inhibují. Když dorazí k určité skupině neuronů impulz, který je excituje (podráždí), skupina odpoví synchronizovaným elektrickým výbojem. Při tom podráždí mimo jiné sousední skupinu nervových buněk. Výboj vede k potlačení aktivity předešlé skupiny. Jakmile podnět odezní, skupina tlumivých neuronů se vypne. Skupina excitatorních neuronů může reagovat na nový impulz výbojem. Celý proces se opakuje. Velikost vln EEG závisí na tom, jaké množství neuronů je zapojeno do vysílání synchronizovaných výbojů. Čím vyšší vlny, tím více neuronů odpovídá synchronizovaným výbojem. Aktivované skupiny neuronů produkují elektrické výboje, které potom zaznamenáváme pomocí EEG Model elektrody Elektroda slouží k propojení mezi vodivou tekutinou ve tkáních, v nichž je generován elektrický proud a vstupním zesilovačem EEG přístroje. Elektrody mohou mít různá technická uspořádání, nicméně vždy je přítomno rozhraní tekutina kov. Ideální elektroda by neměla zkreslovat snímaný signál. Úplné potlačení zkreslení však není z technických důvodů možné. Kov v prostředí elektrolytu uvolňuje kladně nabité ionty do roztoku a sám se tak nabíjí záporně. Vzniká elektrická dvojvrstva, která brání přechodu záporného náboje do elektrody a podobá se svými vlastnostmi kondenzátoru a ovlivňuje tak impedanci elektrody. Vlastnosti elektrody lze modelovat obvodem uvedeným na obrázku 2.1 na straně 5. Elektrod existuje více druhů, mezi něž patří např. skalpové, sfenoidální, elektrokortikografické a intracerebrální elektrody. Materiály, používané pro výrobu elektrod, jsou např. směs Ag/AgCl, ocel, Ag, Pt a Wf. 1 kůže a ostatní měkké tkáně přiléhající k lebečním kostem 4

15 Kapitola 2. Teorie a seznámení s EEG 2.1. MěřenÍ EEG signálu R 1 R2 C Zesilovač C Obrázek 2.1: Elektrický obvod modelující vlastnosti elektrody Zapojení elektrod na skalpu Systém 1/2 Bioelektrický signál se získává z elektrod (umístěných ve většině případů na kožním povrchu vlasaté části hlavy). Jejich umístění a označení je dáno mezinárodní normou (tzv. systém 1/2, či Montrealskou konvencí) a je znázorněno na obrázku 2.2 na straně 5. Elektroencefalografické záznamy jsou obvykle snímány větším počtem elektrod, většinou 19 až 64. Záznam je pak tvořen souborem o 19 až 64 kanálech snímaných současně. FP1 Ppz FP2 F7 F3 Fz F4 F8 T3 C3 Cz C4 T4 T5 P3 Pz P4 T6 O1 Oz O2 Obrázek 2.2: Orientační schéma umístění elektrod na hlavě 5

16 Kapitola 2. Teorie a seznámení s EEG 2.2. ZpracovánÍ EEG signálu Elektrody mimo střed jsou vždy párové, např. F7 a F8. Označení elektrod má svůj význam dle umístění. Elektrody začínající písmenem: P se nacházejí na parientálním laloku, F se nacházejí na frontálním laloku, T se nacházejí na temporálním laloku, O se nacházejí na okcipitálním laloku. 2.2 Zpracování EEG signálu Signály získané měřením se dále zpracovávají pomocí různých nadstavbových programů nebo lze přímo stanovit diagnózu, což ale vyžaduje určitou dávku praxe, kdy je lékař schopen určit, zda signál obsahuje určité frekvence a zda vlny odpovídají určitým vzorcům. Používané programy mají za úkol usnadnit lékařům práci právě při stanovování diagnózy Rozdělení na frekvenční pásma Elektrické charakteristiky mozkových vln rozdělují stavy vědomí do čtyř základních hladin. Pro pojem hladiny se používá také pojmu frekvenční pásma a rytmy. Jednotlivá pásma jsou charakteristická určitým frekvenčním rozsahem a rozsahem amplitud [5]. Tato základní pásma jsou uvedena v tabulce 2.1. Pásmo Rozsah frekvencí [Hz] Amplituda [µv] poznámka delta 4 do 1 patologický jev theta hluboké uvolnění, spánek,... alfa klid, relaxace beta 13 3 do 3 soustředění, hněv,... sigma okolo 14 okolo stádium spánku gama 22 3 uvádí se jen zřídka Tabulka 2.1: Rozdělení pásem EEG signálu Na obrázku 2.3 na straně 7 je znázorněno, jak vypadá signál EEG při normálním stavu člověka a jak vypadají jednotlivé základní rytmy EEG. Tato jednotlivá pásma byla filtrována v Matlabu filtry FIR 2. 2 finite impulse response (filtr s konečnou impulzovou odezvou) 6

17 Kapitola 2. Teorie a seznámení s EEG 2.2. ZpracovánÍ EEG signálu 1 EEG a jeho základní rytmy delta theta alfa t [s] beta t [s] Obrázek 2.3: Rozdělení EEG signálu na základní pásma Pásmo delta Při tomto stavu jsou výrazně utlumeny všechny životní funkce. V tomto rytmu se nalézáme během bezesného spánku (nemusí jít tedy vždy o patologický jev), ale i během bezvědomí, způsobeného nemocí nebo úrazem. Pásmo theta Zde jde opět o výrazný útlum funkcí. Nalézáme se v něm při ospalosti, usínání, uvolnění, ale i při poruchách pozornosti a lehké mozkové dysfunkci. Pásmo alfa V tomto rytmu tělo a mysl nereaguje na vnější podněty, ale člověk je při plném vědomí, jde tedy o klid a relaxaci. 7

18 Kapitola 2. Teorie a seznámení s EEG 2.2. ZpracovánÍ EEG signálu Pásmo beta V tomto rytmu je člověk zcela při vědomí a je připraven reagovat na vnější podněty, přičemž čím vyšší je frekvence beta vlnění, tím více je člověk pozorný. Při frekvencích okolo 3Hz je člověk např. podrážděný, ve stavu úzkosti, nebo ve vysoce náročné životní situaci a je zcela připraven co nejrychleji reagovat Základní aktivita Je nutné poznamenat, že dominantní frekvence pro základní aktivitu mozku závisí na každém pacientovi, ale i na věku pacienta. Člověk těsně po narození má tuto aktivitu na frekvenci přibližně 4Hz, která se postupně zvedá s věkem do 4 let na frekvenci asi 8Hz. Po tomto věku již základní frekvence roste pomalu a v dospělosti se ustálí na frekvenci okolo 1Hz Signál EEG při epileptickém záchvatu Signál EEG za přítomnosti epileptického záchvatu je charakteristický tzv. komplexem hrotvlna. Takový signál je pro funkci mozku velice špatný, protože část mozku, která je takto rozkmitána, není schopna přenášet a generovat životně důležité pulzy. V případě, že se takto rozkmitá jen určitá část mozku, dojde k nefunkčnosti pouze té části a člověk má např. tiky nebo podobné reakce. Veliký problém nastane tehdy, pokud se od tohoto centra epileptického záchvatu rozkmitá celý mozek. V tom případě je již postižený člověk naprosto mimo svoji kontrolu a dochází k nejtěžšímu záchvatu. Právě v případě přítomného komplexu hrot-vlna má smysl měřit zpoždění mezi jednotlivými signály z párových 3 elektrod. Ze znalosti zpoždění mezi signály EEG z jednotlivých elektrod jsou schopni lékaři pozorovat průchod signálů mozkem, popř. lokalizovat centrum epileptického záchvatu, které celkový záchvat vyvolává a operativně zakročit tak, aby k celkovému záchvatu nedocházelo (odizolováním centra od ostatních částí mozku). Jednotlivými metodami, kterými lze měřit zpoždění mezi signály EEG se budu zabývat v kapitole 4 na straně 17. Příklad signálu za přítomnosti epileptického záchvatu je na obrázku 2.4 na straně 9. Na tomto signálu je zřetelný výše zmiňovaný komplex hrot-vlna. Na obrázku je patrný nárůst delta aktivity, což je v tomto případě, jak uvádí tabulka 2.1, patologický jev. Pásmo theta zůstalo oproti normálnímu EEG prakticky stejné. V pásmu alfa a beta ovšem nastal problém. Jak je vidět, v těchto pásmech jsou patrny periodické složky, které odpovídají opakovací frekvenci komplexů hrot-vlna. Tato dvě pásma jsou 3 signály z párových elektrod jsou podobné, pouze časově posunuté 8

19 Kapitola 2. Teorie a seznámení s EEG 2.2. ZpracovánÍ EEG signálu důležitá pro stavy klidu, relaxace a soustředění a protože tato pásma jsou vlivem epileptického záchvatu potlačena, není mozek (část mozku) schopen zmíněné aktivity provádět. 1 EEG a jeho základní rytmy delta theta alfa t [s] beta t [s] Obrázek 2.4: EEG signál při epileptickém záchvatu Potlačení epileptického záchvatu je velice důležité, protože člověk, který např. řídí automobil, je při záchvatu přímo ohrožen na životě. Jedna z možností, jak potlačovat záchvat je tedy operativně s přesným určením centra záchvatu. Vzhledem k velkým rychlostem mozkových signálů je třeba určit zpoždění s velikou přesností, proto se budu přesností navržených algoritmů obzvláště pečlivě zabývat. 9

20 Kapitola 3 Zpracování signálů Signál je veličina, zpravidla fyzikální, která nese informaci. Informace je v signálu reprezentována časovými změnami okamžité hodnoty fyzikální veličiny. 3.1 Rozdělení signálů Signály spojité a diskrétní Signály rozdělujeme na dva hlavní typy: spojité (analogové) signály, které jsou definované pro všechny hodnoty nezávisle proměnné a diskrétní (digitální), které jsou definované jen pro některé diskrétní hodnoty nezávislé proměnné. Základní rozdělení signálů je na obrázku 3.1. Signály deterministické náhodné periodické neperiodické nestacionární stacionární harmonické téměř periodické tranzientní komplexní periodické ergodické neergodické Obrázek 3.1: Rozdělení signálů Signály deterministické a náhodné Pokud můžeme předpokládat, že signál je popsán funkcemi a posloupnostmi, jejichž hodnotu lze pro daný časový okamžik přesně vypočítat, je to signál deterministický. 1

21 Kapitola 3. ZpracovánÍ signálů 3.1. RozdělenÍ signálů Samozřejmě existují i signály, u kterých nemůžeme přesně určit, jakou hodnotu nabudou a jejich časový průběh nelze popsat matematickým výrazem. Takové signály tedy nejsou deterministické, ale jsou náhodné - stochastické Signály stacionární a nestacionární Stacionární signály jsou zvláštním případem náhodných signálů, se kterými se lze často setkat. Jsou to signály, jejichž pravděpodobnostní popis nezávisí na volbě počátku osy času. Pokud tomu tak není, jedná se o signál nestacionární. Pro stacionární signály platí x ss = x, (3.1) R(τ) = B x (τ), (3.2) P = E [ x(t) 2] = σx 2 + x 2, (3.3) C x (ω) = S x (ω). (3.4) Signály ergodické a neergodické Časové charakteristiky signálu jsou náhodnou veličinou. Proto jsou v případě stacionárních signálů určovány střední časové charakteristiky. Další speciální třída náhodných signálů jsou signály ergodické, jejichž určité časové charakteristiky mají nulový rozptyl. Takové charakteristiky se nemění na množině realizací. Pro signál, který je ergodický vůči stejnosměrné složce, platí x ss = x ss, (3.5) pro signál, který je ergodický vůči časové autokorelační funkci, platí R(τ) = R(τ). (3.6) Signály periodické a neperiodické Signál s(t) je periodický, jestliže existuje takové kladné číslo T tak, že platí s(t) = s(t + kt ) t R, k Z. (3.7) Pokud takové číslo T (perioda) neexistuje, jedná se o signál neperiodický Signály harmonické a komplexní periodické Harmonický signál je důležitý signál, který spadá do signálů periodických. Reálný harmonický signál má časovou závislost s(t) = A cos(ωt + ϕ) (3.8) 11

22 Kapitola 3. ZpracovánÍ signálů 3.1. RozdělenÍ signálů a komplexní periodický signál má časovou závislost s(t) = Ae j(ωt+ϕ) = A cos(ωt + ϕ) + ja sin(ωt + ϕ). (3.9) Signály téměř periodické a tranzientní Pokud sečteme několik sinusovek, jejichž frekvence jsou v racionálním poměru, získáme signál periodický. Pokud tomu ale tak není, získáme signál, který periodický není, ale vypadá jako periodický. Takovému signálu říkáme téměř periodický signál [6]. Signál tranzientní je signál, který není ani nevypadá jako signál periodický. Příkladem takového signálu může být např. odezva stabilního filtru na budicí impulz Signály energetické a výkonové Při řešení mnoha úloh teorie signálu není nutné znát časový průběh signálu, ale stačí znát jen některé jeho charakteristiky, jako je např. energie, výkon a korelační funkce. Energie signálu ve spojitém čase je definována a signálu v diskrétním čase E = E = k= s(t) 2 dt (3.1) s(k) 2. (3.11) Signály, které mají konečnou energii, nazýváme energetické. U signálů s nekonečnou dobou trvání může nastat případ, kdy energie roste nade všechny meze. V takovém případě nemá energie žádnou vypovídající schopnost a definujeme výkon a pro signály v diskrétním čase P = lim T 1 2T T T 1 P = lim N 2N + 1 s(t) 2 dt (3.12) N k= N s(k) 2. (3.13) Potom signály, které mají nenulový, konečný výkon, nazýváme výkonové signály. Jednotkou výkonu samozřejmě není watt, ale kvadrát jednotky signálu. 12

23 Kapitola 3. ZpracovánÍ signálů 3.2. KorelačnÍ funkce 3.2 Korelační funkce Korelace obecně vyjadřuje míru podobnosti dvou signálů [3]. Tato funkce posouvá navzájem signály a pro každé posunutí vypočítává integrál násobku prvního posunutého signálu se signálem druhým. Získané korelační koeficienty nám dávají určitý odhad toho, jak si jsou signály při vzájemném posouvání podobné. Korelační funkce pro spojité signály je definovaná jako R 12 (τ) = s 1 (t + τ)s 2(t) dt (3.14) a pro signály v diskrétním čase R 12 (τ) = s 1 (k + τ)s 2(k), τ Z. (3.15) k= Autokorelační funkce Závislost hodnot jednoho a téhož signálu vyjadřuje autokorelační funkce, která je pro spojité signály definovaná jako R(τ) = s(t + τ)s (t) dt (3.16) a pro signály v diskrétním čase R(τ) = s(k + τ)s (k), τ Z. (3.17) k= Vlastnosti korelační a autokorelační funkce Velikost vzájemné korelační funkce je omezena energií resp. výkonem jednotlivých signálů, z čehož vyplývá R 12 (τ) 2 R 1 ()R 2 (), (3.18) R(τ) R(). (3.19) Pořadí signálů při výpočtu vzájemné korelační funkce není libovolné. Substitucí t = t + τ v definici vzájemné korelační funkce dostáváme R 12 (τ) = R21( τ) (3.2) a podobně pro autokorelační funkci platí R(τ) = R ( τ). (3.21) 13

24 Kapitola 3. ZpracovánÍ signálů 3.3. Fourierova řada 3.3 Fourierova řada Fourierova řada se používá pro spojité periodické signály a je to matematický zápis tvrzení, že periodický signál x(t) s opakovací frekvencí f lze složit z konstantního signálu (stejnosměrné složky) a harmonických signálů o frekvencích k f, kde k Z. Matematicky lze tvrzení zapsat takto s(t) = A n cos(nω t + ϕ n ) = a 2 + [a n cos(nω t) + b n sin(nω t)], (3.22) n= kde a 2 je stejnosměrná složka signálu, a k a b k jsou Fourierovy koeficienty, pro které platí n=1 a k = 2 T I per s(t) cos(kωt) dt, (3.23) b k = 2 T I per s(t) sin(kωt) dt. (3.24) 3.4 Fourierova transformace Fourierova transformace se používá pro spojité neperiodické signály s obecně nekonečně dlouhou dobou trvání a určuje jeho spektrum. Toto frekvenční spektrum lze vyjádřit S(ω) = s(t)e jωt dt. (3.25) Zpětnou Fourierovou transformací lze z frekvenčního spektra získat zpět původní signál dle vzorce s(t) = 1 2π 3.5 Diskrétní Fourierova řada S(ω)e jωt dω. (3.26) Diskrétní Fourierova řada slouží ke spektrální reprezentaci periodických diskrétních signálů posloupnosti s(k). Fourierovy koeficienty lze vypočítat Signál lze potom vyjádřit jako c n = 1 N s(k) = k I per s(k)e jnωk, n +N 1 Ω = 2π N (3.27) n=n c n e jnωk, k Z. (3.28) 14